Résumé intég param

Int´egrales d´ependant d’un param`etre

Abd. ELAKILI, 2015-2016

R´esum´e de Cours – Int´egrales d´ependant d’un param`etre

1 – Convergence domin´ee pour une suite de fonctions

Th´eor`eme 1.

(Th´eor`eme de convergence domin´ee) Soit (f n )n une suite de fon ions a` valeurs dans dans

R ou C. Si : . Pour tout n ; f n est continue par morceaux et int´egrable sur I. . (f n )n converge simplement sur I vers une fon ion f continue par morceaux sur I. . Il existe une fon ion φ continue par morceaux sur I, positive et int´egrable sur I telle que : pour tout entier n, |f n | ≤ φ. (Hypoth`ese de domination) R R Alors f est int´egrable sur I et I f = lim I f n . n→+∞

2 – Int´egration terme a` terme sur un intervalle

Th´eor`eme 2. (Th´eor`eme Int´egration terme a` terme d’une s´erie de fon ions) Soit (fn )n une suite de fon ions a` valeurs dans dans R ou C. Si : . Pour tout n ; f n est continue par morceaux et int´egrable sur I. P . La s´erie f n converge simplement sur I et a pour somme une fon ion S continue par morceaux sur I. PR . La s´erie ( I |f n |) converge. +∞ +∞ +∞ R P P PR Alors La fon ion S = f n est int´egrable sur I et N (S) ≤ N (f n ) et I S = f .

I n n=

n=

n=

3 – Continuit´e d’une int´egrale d´ependant d’un param´etre

Th´eor`eme 3. (Continuit´e d’une int´egrale d´ependant d’un param´etre) Soit f une fon ion a` valeurs complexe sur A × I, ou A est une partie d’une espace ve oriel norm´e de dimension finie. Si : . Pour tout x de A, t 7→ f (x, t) est continue par morceaux et int´egrable sur I. . Pour tout t de I, x 7→ f (x, t) est continue sur A. Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications, , ou m’appeller au    .



n’h´esitez pas a` m’envoyer un mail a` abdelakili@gmail.com

. Il existe une fon ion φ coninue par morceaux et int´egrable sur I telle que : ∀(x, t) ∈ A × I, |f (x, t)| ≤ φ(t).(Hypoth`ese de domination), R Alors La fon ion g d´efinie sur A par : g(x) = I f (x, t) dt est continue sur A.

Remarque 1. En fait, il suffit de v´erifier l’hypoth`ese de domination sur tout compa inclus dans A, c’est a` dire a` remplacer la condition  par : Pour tout compcat K contenu dans A, il existe une fon ion φ K continue par morceaux et int´egrable sur I telle que : ∀(x, t) ∈ K × I, |f (x, t)| ≤ φ K (t). (Hypoth`ese de domination locale.)

4 – D´erivation sous le signe int´egrale

Th´eor`eme 4. (D´erivation sous le signe int´egrale) Soit A un intervalle de R et f une fon ion a` valeurs r´eelle ou complexe d´efinie sur A × I et k ∈ N∗ ∪ {∞}. Si : . f est k fois d´erivable par rapport a` x sur A × I. . Pour tout x de Aet tout p ∈ [|, k|], t 7→ f (x, t) et t 7→ int´egrables sur I.

∂p f (x, t) ∂xp

sont continues par morceaux et

. Il existe, ∀p ∈ [|, k|] une fon ion φ p continue par morceaux sur I, positive et int´egrable sur I telle que : ∂p f ∀(x, t) ∈ A × I, | ∂xp (x, t)| ≤ φ p (t) (Hypoth`ese de domination) R R ∂p f Alors la fon ion g : x 7→ I f (x, t) dt est de classe C k sur A et ∀x ∈ A, ∀p ∈ [|, k|], g (p) (x) = I ∂xp (x, t) dt.

Remarque 2. . Le cara `ere C p e´ tant une propri´et´e locale, il suffit de v´erifier l’hypoth`ese de domination sur tout compa inclus dans A. . g est de classe C ∞ si est seulement si g est de classe C p pour tout p ∈ N.

Fin

