Centrale

Sujet de Concours MP

Abd. ELAKILI, 2015-2016

Centrale-Sup´elec

On note E l’ensemble des fon ions f continues sur l’intervalle I =]; +∞[ a valeurs complexes telles que, pour tout nombre r´eel s >  , la fon ion f (u) u 7→ u +s soit int´egrable sur I. On note fb la fon ion d´efinie sur I par la formule R +∞ f (u) du. fb(s) =  u +s L’objet du probl`eme est d’´etudier quelques propri´et´es de la fon ion fb.

´ 1 – Partie I - Etude de E .

(a) Montrer que E est un C-espace ve oriel non r´eduit a` {} et stable par l’application f 7−→ |f |. (b) On note L l’espace ve oriel des fon ions a` valeurs complexes continues et int´egrables sur I. Comparer au sens de l’inclusion les espaces ve oriels L et E. (c) Pour tout nombre r´eel α , on note f α la fon ion d´efinie sur I par f α (u) = u α− .

D´eterminer les valeurs de α pour lesquelles f α appartient a` E, et prouver alors que fbα est proportionnelle a` f α .

On exprimera le coefficient de proportionalit´e a` l’aide d’une int´egrale que l’on ne cherchera pas a` calculer.

. Soit f une fon ion appartenant a` E.

2 – Propri´et´es de fb

(a) Montrer que la fon ion fb est continue sur I. (b) Comportement asymptotique de fb en +∞.

i. D´eterminer la limite de fb en +∞. ii. On suppose de plus f int´egrable sur I. D´eterminer la limite, lorsque s tend vers +∞, de R +∞ f (u) du. u  + s ` quelle condition ce r´esultat permet-il d’obtenir un e´ quivalent de fb au voisinage de +∞ ?

A Donner dans ce cas cet e´ quivalent.

Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications, , ou m’appeller au    .



n’h´esitez pas a` m’envoyer un mail a` abdelakili@gmail.com

iii. Donner des conditions suffisantes portant sur f permettant d’obtenir un d´eveloppement limit´e a` tout ordre de la fon ion fb en +∞.

Donner un tel d´eveloppement ainsi qu’un exemple de fon ion v´erifiant les conditions trouv´ees : on pourra observer que, pour tout n ∈ N∗ , n n− P  uk u  = . (−)k k+ + (−)n u + s k= s u +s s

(c) Soit a un nombre r´eel stri ement positif.

Pour tout nombre r´eel h tel que |h| < a e´ tablir que ! +∞ R P f (u) p +∞ b f (a + h) = (−)  u hp . (u + a)p+ p= Que vient-on de d´emontrer pour fb? Que peut-on en d´eduire ?

3 – Expression de fb comme transform´ee de Laplace

. On note F le sous-espace ve oriel des fon ions complexes continues sur I telles que, pour tout nombre r´eel x > , la fon ion u 7−→ e −xu f (u) soit int´egrable sur I. La fon ion Lf d´efinieR alors par la formule +∞ Lf (x) =  e −xu f (u)du s’appelle la transform´ee de Laplace de f . (a) Transform´ee de Laplace d’un e´ l´ement de E. i. Soit x un nombre r´eel >  . Justifier l’existence du nombre r´eel M(x) = sup (e −xu ( + u)). u>

Comparer M(x ) et M(x ) lorsque  < x < x . ii. Montrer que E est contenu dans F. iii. Soit f une fon ion appartenant a` E. A. Montrer que la fon ion Lf est continue sur I. Quel est son comportement en +∞ ?

B. Donner une condition suffisante portant sur f pour que Lf poss`ede une limite en + .

Donner un exemple de fon ion r´eelle appartenant a` E telle que lim+ Lf (x) = +∞. x→

(b) Transform´ee de Laplace d’une fon ion de type Lf ou` f appartient a` E. Soit f un e´ l´ement de E. d´efinie sur I par la formule i. Pour tout n ∈ N∗ , on note gn la fon ion Rn gn (x) = /n e −xu f (u)du.

Montrer que gn est continue sur I. Quel lien existe-t-il entre la suite (gn )n≥ et la fon ion Lf ? ii. Soient a et b deux nombres r´eels tels que  < a < b et n un entier naturel non nul. Pour tout s ∈ I , montrer que R b −sx R R −sa n −au f (u) −sb n −bu f (u) e g (x)dx = e e du − e e du. n a /n /n u +s u +s En d´eduire que R b −sx R R −sa +∞ −au f (u) −sb +∞ −bu f (u) e Lf (x)dx = e e du − e e du. a   u +s u +s 

iii. Montrer que

Rb a

e −sx Lf (x)dx admet une limite lorsque a tend vers  et que b tend vers +∞.

iv. Montrer que Lf est e´ l´ement de F et que sa transform´ee de Laplace est fb, c’est-`a-dire que, pour tout s ∈ I, R +∞ −sx e Lf (x)dx = fb(s)  v. Application. Soit α un e´ l´ement de ]; [.

En consid´erant la fon ion f α d´efinie au I.C, e´ tablir que R +∞ u α− Γ(α)Γ( − α) =  du +u ou` Γ est la fon ion d´efinie sur I par R +∞la formule Γ(α) =  e −y y α− dy.

R +∞ u α− 4 – Calcul de l’int´egrale :  du +u . On se propose d’´etablir la formule Z

+∞ 

u α− iλ

ue + 

du =

π e −iλα sin πα

()

ou` α appartient a` ]; [ et λ appartient a` ] − π; π[. ´ (a) Etudier l’int´egrabilit´e de u 7−→ ] − π; π[. (b) On pose γ (α, λ) = e iλα

u α− ue iλ + 

sur I lorsque α appartient a` ]; [ et λ appartient a`

R +∞ u α−

du,  < α < , −π < λ < π ue iλ +  Montrer que, pour tout  < α <  , la fon ion λ 7−→ γ (α, λ) est constante sur l’intervalle ] − π; π[ (on pourra observer que si λ est un e´ l´ement de ] − π; π[, pour tout u >  et tout |λ| ≤ λ , |ue iλ + | ≥ |ue iλ + | ). 

(c) En utilisant la relation γ (α, −λ) = γ (α, λ) et la formule d’Euler  sinλα = (e iλα − e −iλα ) i montrer que, pour tout  < λ < π, R +∞ uα γ (α, λ) sinλα = sinλ  du.  + u cos λ + u  ` l’aide d’un changement de variable, prouver que A R +∞ (u sin λ − cos λ)α γ (α, λ) sinλα = cot λ du. u +  (d) En introduisant une suite d’´el´ements de ]; π[ convergeant vers π, obtenir la formule ().

Calculer finalement l’int´egrale R +∞ u α− du  +u et en d´eduire la valeur de l’int´egraleR de Gauss +∞ −t  e dt. 

Fin

