Milan O. Raspopoviœ Jovan P. Šetrajæiœ Zoran M. Raspopoviœ
FIZIKA
За
во
д
за
уџ бе
ни ке
za drugi razred gimnazije prirodno-matematiækog smera
Рецензенти Dr Branislav Cvetkoviœ, viši nauæni saradnik Instituta za fiziku u Beogradu Jovica Milisavqeviœ, profesor u Matematiækoj gimnaziji u Beogradu Biqana Vlaæiœ, profesor u gimnaziji „Laza Kostiœ” u Novom Sadu
Уредник Tatjana Bobiœ
ни ке
Oдговорни уредник Dr Tatjana Kostiœ
За издавача Dr Milorad Marjanoviœ, v. d. direktora
уџ бе
Главни уредник Dr Milorad Marjanoviœ
за
Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je ovaj uxbenik rešewem broj 650-02-660/2019-03 od 11.5.2020. godine za upotrebu u drugom razredu gimnazije prirodno-matematiækog smera.
37.016:53(075.3)
во
д
CIP – Каталогизација у публикацији Библиотеке Матице српске, Нови Сад
За
РАСПОПОВИЋ, Милан, 1936Физика 2 : за други разред гимназије природно-математичког смера / Милан О. Распоповић, Јован П. Шетрајчић, Зоран М. Распоповић ; [илустрације Игор Милентијевић, Александар Перш]. - 1. изд. Београд : Завод за уџбенике, 2020 (Београд : Planeta print). - 167 стр. : илустр. ; 27 cm Тираж 1500. ISBN 978-86-17-20354-0 1. Шетрајчић, Јован, 1951- [аутор] 2. Распоповић, Зоран М. [аутор] COBISS.SR-ID 18043145
ISBN 978-86-17-20354-0 © ZAVOD ZA UXBENIKE, Beograd (2020) Ovo delo se ne sme umnoþavati, fotokopirati i na bilo koji naæin reprodukovati u celini ni u delovima, bez pismenog odobrewa izdavaæa.
PREDGOVOR
За
во
д
за
уџ бе
ни ке
Uxbenik je napisan u skladu sa aktuelnim Nastavnim planom i programom. U wemu su obraðene tematske celine: Molekulsko-kinetiæka teorija gasova, Termodinamika, Osnovi dinamike fluida, Molekulske sile i fazni prelazi, Elektrostatika i Jednosmerna struja. Molekulsko-kinetiæka teorija gasova se zasniva na tvrdwi da se svako telo sastoji iz molekula (atoma) koji se neprekidno haotiæno kreœu. Polazeœi od te pretpostavke opisuju se i tumaæe gasovi, wihova svojstva i pojave, zakoni kojima se gasovi pokoravaju i moguœnosti wihove praktiæne primene. Oblast fizike koja se formirala u procesu prouæavawa toplotnih pojava i primene unutrašwe energije (energije molekula, atoma), odnosno toplotne energije za vršewe mehaniækog rada (toplotne mašine), naziva se termodinamika. U okviru tematske celine Osnovi dinamike fluida upoznaœemo osnovna svojstva teænosti i gasova sa makroskopskog (fenomenološkog) stanovišta, wihove zakonitosti i konkretne primene. Promene agregatnih stawa ili fazni prelazi mogu da se razmatraju sa makroskopskog (termodinamiækog) gledišta, ne uzimajuœi u obzir strukturu supstancije i u sklopu molekulsko-kinetiæke teorije supstancije. Pristupi su razliæiti, ali se ne iskquæuju, naprotiv, oni se uzajamno dopuwavaju. O agregatnim stawima supstancije, wihovim svojstvima i uzajamnim prelazima (sa makroskopskog stanovišta) govori se u poglavqu Molekulske sile i fazni prelazi. Svojstva naelektrisanih tela (æestica), wihovo uzajamno delovawe u stawu relativnog mirovawa (elektriæna sila), koje se ostvaruje posredstvom elektriænog (elektrostatiækog) poqa kao i zakonitosti elektriænih pojava razmatraju se u poglavqu Elektrostatika. Jednosmerna struja koja se ne mewa u toku vremena, wena osnovna svojstva i efekti kao i odgovarajuœi zakoni, predmet su izuæavawa tematske celine Jednosmerna struja. U uxbeniku se insistira na problemskim oblicima nastave s namerom da se uæenik ukquæi u taj proces kao aktivni uæesnik (sagovornik) i da pomoœu uxbenika moþe i sam da reprodukuje osnovne fiziæke ideje i sadrþaje. Sadrþaji uxbenika nisu uvedeni kao gotov skup æiwenica i definicija, veœ se nastoji da se predstavi proces kojim se do tih saznawa došlo. To se postiþe nizom odabranih problemskih situacija koje se u uxbeniku postupno razrešavaju. Posebno smo nastojali da se sadrþaji uxbenika nastavqaju na predznawe uæenika iz osnovne škole i prvog razreda gimnazije, kako bi se oæuvao kontinuitet u izuæavawu fizike. Zastupqeni su i istorijsko-filozofski i epistemološki aspekti fizike, ne izdvojeni iz konteksta veœ ukquæeni u razvoj fizike kao fundamentalne prirodne nauke. U ciqu da se potpunije shvati razvojna linija fizike, ukratko su dati osnovni podaci fiziæara koji su najviše doprineli utemeqewu pojedinih oblasti fizike koje se interpretiraju u ovom uxbeniku. U uxbeniku se naroæito istiæe uloga fiziækog ogleda i modela u konstrukciji fiziæke teorije. Izbegnuto je pozitivistiæko shvatawe prema kojem se uloga eksperimenta svodi samo na verifikacije teorijskih rezultata, a istaknuta je uloga ogleda u razvoju osnovnih ideja i nauænih teorija.
3
За
во
д
за
уџ бе
ни ке
Kvantitativna interpretacija sadrþaja uxbenika usklaðena je sa Nastavnim planom i programom matematike (koliko je to bilo moguœe zbog neusaglašenosti programa ove dve nastavne discipline). Imali smo na umu, da fizika ima dubok uticaj na razvoj drugih nauka i razliæitih tehniækih oblasti kao i da saznawa u fizici bitno utiæu na usmeravawe uæenika u daqem školovawu i pripremu za wihov profesionalni poziv. Na kraju svake tematske celine postoji kratki rezime i pitawa za samokontrolu i proveru znawa. Kratak pregled celine omoguœuje uæeniku da se usmeri na suštinu nastavnog sadrþaja, da konkretizuje prethodno steæeno znawe i da ga preko odgovora na postavqena pitawa primeni u osvajawu novih saznawa i za rešavawe praktiænih zadataka.
4
Autori
SADRÞAJ PREDGOVOR ........................................................................................................................................................................................ 3
ни ке
1. MOLEKULSKO-KINETIÆKA TEORIJA GASOVA ................................................................................................................ 8 Uvod .................................................................................................................................................................................................. 8 1.1. Molekulsko kretawe .............................................................................................................................................................. 9 Raspodela molekula po brzinama ........................................................................................................................................ 9 1.2. Idealni gas ............................................................................................................................................................................ 11 Model idealnog gasa .............................................................................................................................................................. 11 Osnove molekulsko-kinetiæke teorije idealnog gasa...................................................................................................... 12 Temperatura i apsolutna nula.......................................................................................................................................... 15 1.3. Gasni zakoni .......................................................................................................................................................................... 18 Bojl–Mariotov zakon .......................................................................................................................................................... 18 Šarlov zakon ........................................................................................................................................................................ 20 Gasni termometar .............................................................................................................................................................. 21 Gej-Lisakov zakon .................................................................................................................................................................. 22 Avogadrov zakon i jednaæina stawa idealnog gasa .......................................................................................................... 24 Gasni zakoni sa stanovišta kinetiæke teorije gasova .............................................................................................. 25 Rezime ............................................................................................................................................................................................ 29 Pitawa............................................................................................................................................................................................ 31
За
во
д
за
уџ бе
2. TERMODINAMIKA .................................................................................................................................................................... 32 Uvod ................................................................................................................................................................................................ 32 2.1. Unutrašwa energija, toplota i prvi princip termodinamike.................................................................................. 33 Unutrašwa energija ............................................................................................................................................................ 33 Promena unutrašwe energije ............................................................................................................................................ 34 Koliæina toplote .............................................................................................................................................................. 35 Prvi princip termodinamike .......................................................................................................................................... 36 2.2. Gasni izoprocesi sa energijskog stanovišta ................................................................................................................ 37 Rad gasa pri izobarskom procesu ........................................................................................................................................ 37 Rad gasa pri izotermskom procesu .................................................................................................................................... 38 Toplotni kapacitet i specifiæne toplotne kapacitivnosti gasova ................................................................ 40 Adijabatski proces ............................................................................................................................................................ 43 Pitawa............................................................................................................................................................................................ 44 2.3. Povratni i nepovratni termodinamiæki procesi ...................................................................................................... 45 Uvod ................................................................................................................................................................................................ 45 Entropija .............................................................................................................................................................................. 46 Drugi princip termodinamike ........................................................................................................................................ 48 Pitawa .......................................................................................................................................................................................... 50 2.4. Toplotni motori .................................................................................................................................................................. 51 Princip rada i energetski bilans toplotnog motora ................................................................................................ 51 Karnoov ciklus .................................................................................................................................................................... 53 Koeficijent korisnog dejstva .......................................................................................................................................... 54 Ureðaji za hlaðewe i toplotne pumpe ............................................................................................................................ 55 Rezime ............................................................................................................................................................................................ 59 Pitawa .......................................................................................................................................................................................... 61 3. OSNOVI DINAMIKE FLUIDA .............................................................................................................................................. 62 Fiziæki parametri idealnog fluida pri kretawu .............................................................................................................. 62 3.1. Jednaæina kontinuiteta ...................................................................................................................................................... 63 3.2. Bernulijeva jednaæina .......................................................................................................................................................... 65 Primena Bernulijeve jednaæine .......................................................................................................................................... 67 Toriæelijeva teorema .......................................................................................................................................................... 67 Mlaznica .............................................................................................................................................................................. 68 Pitoova cev .......................................................................................................................................................................... 68 Venturijeva cev .................................................................................................................................................................... 69 Rezime ............................................................................................................................................................................................ 72 Pitawa .......................................................................................................................................................................................... 73
5
уџ бе
ни ке
4. MOLEKULSKE SILE I FAZNI PRELAZI ............................................................................................................................ 74 Uvod ................................................................................................................................................................................................ 74 4.1. Molekulske sile .................................................................................................................................................................... 75 Toplotno širewe tela ...................................................................................................................................................... 75 Struktura ævrstih tela. Kristali .............................................................................................................................. 77 Elastiænost ævrstih tela. Hukov zakon ........................................................................................................................ 79 Pitawa .......................................................................................................................................................................................... 81 4.2. Svojstva realnih teænosti .................................................................................................................................................. 82 Viskoznost ............................................................................................................................................................................ 82 Wutnov zakon ...................................................................................................................................................................... 83 Stoksov zakon viskoznosti ................................................................................................................................................ 84 Površinski napon teænosti ............................................................................................................................................ 84 Kapilarnost ........................................................................................................................................................................ 85 Rezime ............................................................................................................................................................................................ 87 Pitawa .......................................................................................................................................................................................... 88 4.3. Fazni prelazi ........................................................................................................................................................................ 89 Promena agregatnog stawa.................................................................................................................................................. 89 Topqewe i oævršœavawe...................................................................................................................................................... 90 Trojna taæka ........................................................................................................................................................................ 91 Isparavawe i kondenzacija ................................................................................................................................................ 92 Trojna i kritiæna taæka....................................................................................................................................................93 Promena unutrašwe energije i entropije pri faznim prelazima .............................................................................. 93 Rezime ............................................................................................................................................................................................ 96 Pitawa .......................................................................................................................................................................................... 97
За
во
д
за
5. ELEKTROSTATIKA...................................................................................................................................................................... 98 Uvod ................................................................................................................................................................................................ 98 5.1. Uzajamno delovawe naelektrisanih tela ........................................................................................................................ 100 Koliæina naelektrisawa ................................................................................................................................................ 100 Elektriæna sila. Kulonov zakon .................................................................................................................................... 101 Elektriæno poqe ................................................................................................................................................................ 103 Jaæina elektriænog poqa .................................................................................................................................................. 103 Potencijalna energija elektriænog poqa i elektriæni potencijal ...................................................................... 104 Rad elektriænog poqa i elektriæni napon .................................................................................................................. 105 Zakon odrþawa koliæine naelektrisawa .................................................................................................................... 106 Pitawa ........................................................................................................................................................................................ 108 5.2. Elektriæno poqe u razliæitim sredinama .................................................................................................................... 109 Linije sile i elektriæni fluks ...................................................................................................................................... 109 Ekvipotencijalne površi ................................................................................................................................................ 111 Jaæina i potencijal elektriænog poqa.......................................................................................................................... 112 Provodnik u elektriænom poqu ...................................................................................................................................... 113 Elektriæni dipol .............................................................................................................................................................. 114 Elektriæno poqe u dielektriku i dielektriæna propustqivost .......................................................................... 115 Elektriæna kapacitivnost............................................................................................................................................ 118 Eletriæni kondenzator.................................................................................................................................................... 119 Vezivawe elektriænih kondenzatora ............................................................................................................................ 120 Energija elektriænog poqa................................................................................................................................................ 120 Energija elektriænog poqa u dielektriku .................................................................................................................... 121 Rezime .......................................................................................................................................................................................... 123 Pitawa ........................................................................................................................................................................................ 125 6. JEDNOSMERNA STRUJA............................................................................................................................................................ 126 Uvod .............................................................................................................................................................................................. 126 6.1. Elektriæna struja .............................................................................................................................................................. 126 Uslov nastajawa elektriæne struje .............................................................................................................................. 126
6
За
во
д
за
уџ бе
ни ке
Elektriæni napon i elektromotorna sila .................................................................................................................. 128 Jaæina i gustina elektriæne struje .............................................................................................................................. 129 Omov zakon i elektriæna otpornost provodnika ...................................................................................................... 132 Xul–Lencov zakon .............................................................................................................................................................. 134 Omov zakon za strujno kolo .............................................................................................................................................. 135 Kirhofova pravila ............................................................................................................................................................ 136 Pitawa ........................................................................................................................................................................................ 143 6.2. Elektriæna provodqivost ævrstih tela ........................................................................................................................ 144 Poluprovodnici.................................................................................................................................................................. 144 Kontaktni elektriæni potencijal.............................................................................................................................. 146 Termoelektriæne pojave .................................................................................................................................................... 146 Izlazni rad ........................................................................................................................................................................ 147 Pitawa ........................................................................................................................................................................................ 149 6.3. Elektriæna provodqivost elektrolita .......................................................................................................................... 150 Elektrolitiæka disocijacija ........................................................................................................................................ 150 Faradejevi zakoni elektrolize ........................................................................................................................................ 152 Prvi Faradejev zakon ........................................................................................................................................................ 153 Drugi Faradejev zakon ........................................................................................................................................................ 153 Galvanski elementi .......................................................................................................................................................... 154 6.4. Elektriæna struja u gasovima ............................................................................................................................................ 156 Jonizacija i rekombinacija .............................................................................................................................................. 156 Nesamostalno praþwewe .................................................................................................................................................. 157 Udarna jonizacija .............................................................................................................................................................. 158 Samostalno praþwewe i plazma .................................................................................................................................... 159 Tiwavo i elektroluæno praþwewe.................................................................................................................................. 159 Rezime .......................................................................................................................................................................................... 160 Pitawa ........................................................................................................................................................................................ 162 REGISTAR IMENA .................................................................................................................................................................. 163 REGISTAR POJMOVA .............................................................................................................................................................. 163
7
UVOD
prouæavawu svojstava i ponašawa gasova koriste se dva osnovna teorijska pristupa: molekulsko-kinetiæki (statistiæki) i makroskopsko-termodinamiæki (fenomenološki) metod. Molekulsko-kinetiæki metod prouæavawa gasova polazi od molekulske strukture supstancije. Razmatraju se kretawa i uzajamna delovawa molekula (atoma) da bi se izveli zakquæci o svojstvima i ponašawu gasova kao celine. Uzimawem sredwih vrednosti brzina i kinetiækih energija ogromnog broja molekula mogu se izraæunati vrednosti veliæina koje karakterišu stawa makroskopskih gasovitih tela, kao što su pritisak, temperatura, unutrašwa energija i druge. U ovakvim proraæunima koristi se statistika zasnovana na teoriji verovatnoœe. Stoga se ovaj pristup naziva i statistiæki metod, a zakoni dobijeni wegovom primenom statistiæki zakoni. Termodinamiæki (makroskopski) metod zanemaruje unutrašwu strukturu tela (gasova) kao što se u mehanici zanemaruje struktura tela prilikom primene modela materijalne taæke, krutog tela ili idealnog fluida. Termodinamiæko prouæavawe gasop T vitih tela zasniva se na dva principa termodinamike (prvi i drugi princip termodinamike, o kojima œemo posebno govoriti). Termodinamika Gas uspostavqa veze meðu veliæinama koje karakterišu V (para) K makroskopska stawa gasovitih tela, kao što su: pritisak, zapremina, koliæina toplote, temperatura, entropija i druge. Pomoœu ovih veliæina (slika 1.1) opisuju se stawa i procesi u gasovima sa makroskopQ skog stanovišta. Takav metod opisivawa pojava naziva se još i makroskopski ili fenomenološki metod.
За
во
д
за
уџ бе
ни ке
U
Slika 1.1. Prouæavawe gasova (para)
8
1.1.
MOLEKULSKO KRETAWE
уџ бе
ни ке
U osnovnoj školi smo saznali da se molekuli (atomi) gasova kreœu neprekidno i haotiæno. Neureðenost (haotiænost) se ogleda u tome što su brzine molekula (atoma) u gasovima veoma razliæite po intenzitetu, pravcu i smeru. Vrednosti wihovih brzina mogu da budu u rasponu od neke minimalne vrednosti (æak i nulte vrednosti) do nekih maksimalnih vrednosti, od nekoliko stotina metara u sekundi. Svi su pravci i smerovi kretawa molekula (atoma) ravnopravni. Nema „privilegovanih“ pravaca i smerova, naravno, ako je reæ o gasnim stawima bez spoqašwih uticaja. Pratiti kretawe pojedinaænih molekula (atoma) je skoro nemoguœe. Stoga se obiæno uzima sredwa brzina molekula (atoma) gasova. Usled neureðenog kretawa broj wihovih meðusobnih sudara tokom jedne sekunde je ogroman, tako da je putawa molekula (atoma) izlomqena linija (cik-cak linija).
RASPODELA MOLEKULA PO BRZINAMA
За
во
'N f (v )= N = D N , 'v N 'v
д
за
Treba pokazati kako su molekuli rasporeðeni po brzinama u nekom vremenskom trenutku ili kolika je verovatnoœa da jedan molekul u nekom vremenu poseduje brzinu iz odreðenog intervala brzina. Ako DN od ukupnog broja N molekula u gasu poseduju brzine u intervalu v i v + Dv, onda se moþe obrazovati tzv. funkcija raspodele:
gde je DN/N relativan broj molekula koji imaju brzine u intrevalu Dv oko brzine v. Ovu funkciju raspodele odredio je Maksvel, a oblik funkcije raspodele prikazan je grafiæki (slika 1.2).
fDv
v vn
Površina prevuæena crticama, sa osnovom Dv, pokazuje deo od ukupnog broja molekula koji imaju brzine u intervalu Dv oko brzine v = 600 m (sa slike 1.2). s
Dv
vs 200
400
600
800
1000 1200 v m s
[ ]
Slika 1.2. Maksvelova raspodela molekula gasa po brzinama
9
ни ко
f(v)[10 –3 s/m]=
N N v
Maksimum krive raspodele, predstavqene na slici, odgovara najverovatnijoj brzini vn, oko koje se grupiťe najveœi broj molekula. To znaÌi da najveœi broj molekula ima brzinu vn. Sa poveœawem temperature gasa poveœava se najverovatnija brzina, ťto znaÌi da se maksimum raspodele molekula po brzinama na grafiku pomera prema veœim brzinama (slika 1.3). Sa poviťewem temperature poveœava se relativan broj molekula koji imaju veœe brzine.
ŃƒŃ&#x; йо
T=80 K
T=300 K
Са
0
vn
v m s
[ ]
Đ´
Slika 1.3. Maksvelova raspodela za dve temperature
Đ—Đ°
вО
Merewem intenziteta karakteristiÌnih brzina molekula naðene su sledeœe proporcionalnosti: a) brzine molekula srazmerne su kvadratnom korenu apsolutne temperature; b) na stalnoj temperaturi brzine molekula su obrnuto srazmerne kvadratnom korenu mase molekula gasa. Na osnovu funkcije raspodele mogu se odrediti: najverovatnija (vn), sredwa aritmetiÌka (v̄) i sredwa kvadratna (vs) brzina molekula:
vn
2kT , v m
8kT ; vs m
3kT , m
gde su: k = 1,38 ×10 23 J – Bolcmanova konstanta, T – apsolutna temperatura, K a m – masa jednog molekula gasa.
10
1.2.
IDEALNI GAS
MODEL IDEALNOG GASA
за
Slika 1.4. Æoveka neprestano „bombarduju“ molekuli vazduha
уџ бе
ни ке
Realne molekule gasa zamišqamo kao elastiæne kuglice zanemarqive zapremine, æiji su meðusobni sudari, kao i sudari sa zidovima suda u kojem se gas nalazi, apsolutno elastiæni (kinetiæka energija molekula pre i posle sudara se ne mewa). Pri tim sudarima molekuli razmewuju impulse, usled æega se wihove putawe mewaju i imaju oblik cik-cak (izlomqene) linije. Na slici 1.4 prikazani su molekuli vazduha koji nas neprekidno „bombarduju“ i na slici 1.5 putawe haotiænog kretawa molekula.
За
во
д
Broj molekula u gasu (bez obzira na zapreminu suda) je ogroman, ali wihovo meðusobno rastojawe je mnogo veœe u poreðewu sa rastojawima izmeðu molekula u teænim i ævrstim telima. Zato se uzajamno delovawe izmeðu molekula u gasu moþe zanemariti (privlaæne molekulske sile veoma brzo opadaju sa rastojawem). Uzajamno delovawe meðu molekulima gasa praktiæno se svodi na meðusobne sudare, kao i sudare sa zidovima suda u kojem je gas zatvoren. Kada kaþemo da se molekuli kreœu haotiæno, to se odnosi na intenzitet, pravac i smer kretawa molekula. Nema, dakle, „privilegovanih“ smerova. Ta pretpostavka se temeqi na æiwenici da pritisak gasa ostaje konstantan ako su stalni zapremina i temperatura. Naime, pritisak na zidove suda mikroskopski tumaæimo sudarima molekula gasa o zidove suda. Pritisak gasa zato bitno zavisi od brzine molekula.
Slika 1.5. Putawe molekula gasa
11
уџ бе
ни ке
Za objašwavawe svojstava supstancije u gasovitom stawu koristi se model idealnog gasa. Pojam idealnog gasa je idealizacija, sliæno kao i model materijalne taæke ili model krutog tela. Svi modeli su idealizacija objekata i pojava koje postoje u stvarnosti i uvode se radi jednostavnijeg prouæavawa realnog sveta. Modeli u fizici ne predstavqaju stvary nost, veœ idealizaciju (sliku) stvarnosti. Ustanovqeno je da se model idealnog gasa moþe primeniti na realne gasove koji su dovoqno razreðeni i ako su wihove temperature iznad temperature kondenzovawa. Osnovna karakteristika modela idealnog gasa je da molekuli (idealne male elastiæne loptice) uzajamno deluju samo pri neposrednim sudarima i pri udaru o zidove suda u kome se nalaze x (slika 1.6). Zanemarivawem uzajamnog delovawa izmez ðu molekula gasa zanemaruje se i odgovarajuœa Slika 1.6. Molekuli (atomi) gasa kreœu se potencijalna energija. Stoga se unutrašwa ravnomerno u svim smerovima i energija idealnog gasa svodi na kinetiæku pravcima (nema „privilegovanih“ energiju molekula (atoma). pravaca)
За
a)
во
д
за
OSNOVE MOLEKULSKO-KINETIÆKE TEORIJE IDEALNOG GASA
b)
PRITISAK GASA
Jedan od prvih i vaþnijih uspeha molekulsko-kinetiæke teorije supstancije bilo je kvalitativno i kvantitativno objašwewe pritiska gasa na zidove suda. Kvalitativno objašwewe sastoji se u tome što molekuli idealnog gasa sa zidovima suda uzajamno deluju po zakonima elastiænog sudara. Neka je gas zatvoren u sudu oblika kocke (slika 1.7a). Masa jednog molekula je m a sredwa kvadratna brzina vs. Zamislimo i pratimo molekul koji se kreœe u smeru x-ose (prema naznaæenoj stranici) brzinom vsx (sredwa brzina), normalno na zid suda. Posle sudara sa zidom suda molekul se odbija, pri æemu brzina ima isti pravac i intenzitet a suprotan smer (slika 1.7b). U jednom sudaru sa zidom suda intenzitet proseænog impulsa molekula promeni se:
' px Slika 1.7. Sudar molekula gasa sa zidom suda
12
mvs x mvsx
2mvs x
U vreme sudara molekul deluje na ovaj zid suda silom pritiska proseænog intenziteta:
Fx
' px 't
2mvsx . 't
Ovo je intenzitet komponente proseæne sile jednog molekula koji normalno udara o posmatrani zid površine S. Ako u kocki postoji N molekula, onda ukupna proseæna sila molekula iznosi:
F=
N . mvs . Δt 3
(Indeks x kod vs je namerno izostavqen jer to moþe biti bilo koji pravac.) Pritisak te sile, na osnovu definicije, predstavqa:
N mvs . 3 S 't
F S
p
vx2 = vy2 =vz2 , pa je:
ни ке
Kako su podjednako verovatni svi pravci kretawa molekula i ravnomerno su raspodeqeni intenziteti brzine molekula u svakom od pravaca, to je
за
уџ бе
v2= vx2 + vy2 +vz2 = 3vx2 1 2 vx2 = v 3 Postavqa se pitawe koji œe molekuli uæestvovati u procesu udara o zid suda, odnosno, koliko je vreme (Dt) trajawa promene impulsa molekula. Kreœuœi se brzinom vs, za vreme Dt, molekul preðe put l = vs Dt. Znaæi, samo molekuli koji su na rastojawu najviše l od zida suda mogu dospeti do zida. Drugim reæima, samo molekuli koji se nalaze u zapremini:
S l
V
S vs 't
V , a kada se to vs
во
д
uæestvuju u stvarawu pritiska. Iz ove relacije sledi: S 't uvrsti u izraz za pritisak, dobija se:
p
1 n0mvs2 , 3
За
N gde je n0 = – koncentracija molekula gasa (broj molekula u jedinici zapreV mine). Broj molekula u 1 cm3 idealnog gasa pri normalnim uslovima je Lošmitov broj (NL = 2,687 . 1013 m–3). Prethodna jednaæina naziva se osnovna jednaæina molekulsko-kinetiæke teorije gasova. Ona povezuje mikroskopske veliæine – masu molekula i sredwu brzinu molekula, i makroskopske veliæine – pritisak i koncentraciju gasa. SREDWA KINETIÆKA ENERGIJA IDEALNOG GASA
Sredwu vrednost kinetiæke energije translatornog kretawa molekula idealnog gasa moþemo izraziti preko sredwe kvadratne brzine:
Ek
1 mvs2 , 2
Kako je sredwa kvadratna brzina gasa: v 2 + v22 + ... + vN2 , vs2 = 1 N
13
a ona se moþe odrediti iz Maksvelove raspodele f(v), slika 1.2 i slika 1.3: vs2 = 3kT . m Zamenom ovog izraza u izraz za sredwu kinetiæku energiju idealnog gasa, dobijamo: Ek = 3 kT . 2
ни ке
Sredwa kinetiæka energija molekula idealnog gasa srazmerna je apsolutnoj temperaturi.
OPŠTA JEDNAÆINA GASNOG STAWA
уџ бе
Poreðewem osnovne jednaæine molekulsko-kinetiæke teorije sa definicijom sredwe kinetiæke energije, lako dolazimo do drugog oblika jednaæine molekulsko-kinetiæke teorije gasova: p = 2 n0 Ek . 3
д
за
Pritisak idealnog gasa srazmeran je koncentraciji gasa i sredwoj kinetiækoj energiji molekula gasa. Pošto je n0 = N , moþe da se napiše: V pV = 2 NEk . 3
во
Proizvod pritiska i zapremine odreðene koliæine gasa (N = const) srazmeran je sredwoj kinetiækoj energiji molekula gasa.
За
Prethodno je pokazano da je sredwa kinetiæka energija srazmerna apsolutnoj 3 ¬ temperaturi gasa Ek = kT . Ako se ovo zameni u gorwi izraz, dobija se: 2 ® pV = NkT.
Proizvod pritiska i zapremine odreðene koliæine gasa (N = const) srazmeran je apsolutnoj temperaturi tog gasa. Ova formulacija je iskaz opšte jednaæine stawa idealnih gasova.
14
TEMPERATURA I APSOLUTNA NULA
уџ бе
ни ке
Sa pojmom temperatura sa makroskopskog (fenomenološkog) stanovišta upoznali smo se u osnovnoj školi. Tada smo saznali za razliæite vrste termometara kojima se meri temperatura. Iako konstrukcija termometra moþe da bude razliæita, oni su svi zasnovani na pojavama koje su uzrokovane promenom stepena zagrejanosti, tj. temperature tela. Najæešœe se koriste termometri sa þivom i alkoholom koje smo detaqno prouæavali. Sa stanovišta kinetiæke teorije supstancije temperatura je tesno povezana sa unutrašwom energijom koja se kod idealnih gasova praktiæno svodi na kinetiæku energiju molekula (atoma). Potencijalna energija uzajamnog delovawa molekula gasa moþe se zanemariti jer su meðumolekulska rastojawa znatno veœa u odnosu na rastojawa izmeðu molekula (atoma) kod ævrstih i teænih tela. Temperatura je fiziæka veliæina koja karakteriše sredwu kinetiæku energiju molekula gasa. Temperatura je srazmerna sredwoj kinetiækoj energiji haotiænog kretawa molekula gasa T ~ 1 mvs2 , 2
За
во
д
за
gde je m – masa molekula gasa, v2s – sredwa vrednost kvadrata brzina kretawa molekula gasa. Na ovaj naæin se definiše apsolutna temperatura. Obiæno se oznaæava sa T i predstavqa jednu od sedam osnovnih fiziækih veliæina. Temperatura je jednaka nuli ako je sredwa kinetiæka energija ravna nuli. To je najniþa moguœa vrednost temperature (teorijski izraæunata) zato što kinetiæka energija ne moþe da ima negativnu vrednost. Temperatura na kojoj prestaje kretawe molekula (kinetiæka energija i brzina jednaka nuli) naziva se apsolutna nula. Sredinom XIX veka teorijski je ustanovqeno da je najniþa moguœa temperatura –273,15 °C (apsolutna nula). Æesto se ova vrednost zaokruþuje na –273 °C. Temperatura koja se meri od apsolutne nule naziva se apsolutna ili Kelvinova temperatura. Jedinica temperature u Meðunarodnom sistemu je kelvin (K). Na slici 1.8 su prikazane dve temperaturske skale: Kelvinova (apsolutna) i Celzijusova (konvencionalna). Vidimo da promena temperature za odreðen broj stepeni u Cel373,15 K zijusovoj skali odgovara promeni za isti broj kelvina u Kelvinovoj skali. Na primer, ako promena temperature nekog 273,15 K tela iznosi 1 °C, moþe se takoðe reœi da je ta promena 1K. Temperatura po Kelvinovoj skali izraæunava se tako što se broju 273 doda temperatura t merena u Celzijusovoj skali. Dakle: ¬ 0K T = 273 + t K. °C ® Na primer, sobna temperatura od 20 °C u Kelvinovoj skali iznosi 293 K.
100 ˚C 0 ˚C
–273,15 ˚C
Slika 1.8. Kelvinova i Celzijusova skala
15
1.
Primer 1. Koliko iznosi najverovatnija brzina molekula kiseonika (O2) na temperaturi T = 300 K? Molarna masa kiseonika je 0,032 kg/mol. Podaci: T = 300 K, M = 0,032 kg/mol, vn = ?
ни ко
ReĹĄewe. Na osnovu izraza vn = 2kT , uzimajuĹ“i u obzir da je masa molekum Â? M ÂŹÂ la jednaka odnosu molarne mase i Avogadrovog broja žžm =  kao i da je uniN A ÂŽÂ Â&#x;
2.
2RT = M
J ¸ 300K mol ¸ K = 394,73 m . kg s 0,032 mol
2 ¸ 8,31
Са
vn =
J , dobija se: mol ¸ K
ŃƒŃ&#x; йо
verzalna gasna konstanta R = k N A = 8,31
вО
Đ´
Primer 2. Gustina gasa u elektriĂŚnoj sijalici je 0,9 kg/m3. Kada se sijalica „upali“, pritisak gasa u woj poraste sa 8Ă—104 Pa na 1,1Ă—108 Pa. Za koliko se pri tome uveĹ“a sredwa kvadratna brzina molekula gasa? Podaci: r = 0,9 kg/m3, p1 = 8Ă—104 N/m2, p2 = 1,1Ă—108 N/m2; vs2 – vs1 = ?
Đ—Đ°
ReĹĄewe. Proizvod mase jednog molekula i koncentracije molekula (broj molekula u jedinici zapremine) jednak je masi molekula u jedinici zapremine, to jest, gustini gasa. Saglasno tome, osnovna jednaĂŚina molekulsko-kinetiĂŚke teorije
moĂže da se napiĹĄe u obliku p = 1 rvs2 . 3 2 Zato su v s1 =
3p1 3p i vs22 = 2 , r r
a odatle:
vs 2 vs1 = 3 ( p2 p1 ); vs 2 vs1 = 89,13 m . s r
16
Primer 3. Kolika je sredwa kinetiĂŚka energija translatornog kretawa svih (N) molekula vazduha u prostoriji 6 m Ă— 5 m Ă— 3 m na normalnom atmosferskom pritisku?
3.
Reťewe. Ek = 3 pV = 3 105 N2 ¸ 90 m 3 =13,5 ¸10 6 J =13,5 MJ. 2 2 m
Primer 4. Koliki je odnos sredwih kvadratnih brzina molekula kiseonika i azota na istim apsolutnim temperaturama?
4.
3RT MO = 3RT MN
kg 0, 028 MN mol = 0, 935 = MO kg 0, 032 mol
ŃƒŃ&#x; йо
vsO v O = = vsN v N
ни ко
ReĹĄewe. Odnos sredwih kvadratnih brzina molekula kiseonika i azota iznosi:
5.
Са
Primer 5. Pritisak gasa iznosi 1,6×105 Pa, a broj molekula po jedinici zapremine 1025 m–3. Kolika je sredwa kinetiÌka energija molekula gasa? Podaci: p = 1,6×105 Pa, n0 = 1025 m–3 ; Ē k = ?
Đ´
ReĹĄewe. Iz osnovne jednaĂŚine molekulsko-kinetiĂŚke teorije gasova sledi:
a odatle je:
вО
p = 2 n0 Ek , 3
Đ—Đ°
1,6 ¸10 5 Pa p Ek = 3 = 3 ¸ = 2,4 ¸ 10 20 J. 2 n0 2 10 25 m 3
Primer 6. Kolika je sredwa kinetiĂŚka energija jednog molekula jednoatomskog idealnog gasa ĂŚija je temperatura 300 K?
6.
Reťewe. Sredwa kinetiÌka energija je: Ek = 3 kT = 3 ¸ 1,38 ¸ 10 23 J ¸ 300K = 6,21 ¸ 10 21 J. 2 2 K
17
1.3.
GASNI ZAKONI
уџ бе
ни ке
Za potpuno odreðivawe stawa idealnog gasa treba istovremeno poznavati veœi broj parametara: koliæinu gasa (koncentracija gasa), pritisak, zapreminu i temperaturu. Meðutim, mnoge procese u gasovima, koji se odvijaju u prirodi i koji se ostvaruju u tehnici, moþemo posmatrati pribliþno kao procese u kojima se mewaju samo dva parametra, a pri tome ostali imaju konstantne vrednosti (izoprocesi). Posebnu ulogu u fizici i tehnici imaju tri vrste procesa: izotermski koji se odvijaju pri stalnoj temperaturi, npr. Bojl–Mariotov zakon, izohorski procesi pri kojima se ne mewa zapremina – Šarlov zakon i izobarski procesi pri konstantnom pritisku – Gej-Lisakov zakon. Svi gasni zakoni su prvo eksperimentalno utvrðeni, a tek na osnovu molekulsko-kinetiæke teorije gasova dobijaju adekvatnu kvalitativnu i kvantitativnu interpretaciju.
за
BOJL–MARIOTOV ZAKON
За
во
д
Bojl Robert (Boyle Robert, 1627–1691), engleski fiziæar i hemiæar irskog porekla, Wutnov savremenik i jedan od osnivaæa Britanske akademije nauka (The Royal Society of London), radio je u Oksfordu. Eksperimentalno je utvrdio zavisnost pritiska gasa od wegove zapremine pri konstantnoj temperaturi. Nezavisno od wega istu zakonitost je ustanovio i francuski fiziæar Mariot (Mariotte Edme, 1620–1684) i zato je kasnije nazvan Bojl–Mariotov zakon. Bojl je pokazao da teænost moþe da prokquæa na niþoj temperaturi od taæke kquæawa ako je izloþena pritisku niþem od atmosferskog. Za svoje oglede konstruisao je barometar. Znaæajne zasluge Bojla su i u hemiji. Uveo je pojam hemijskog elementa (1661) i uveo je u hemiju eksperimentalan metod, dajuœi time doprinos utemeqewu hemije kao nauke.
Boyle Robert (1627–1691)
U drugoj polovini XVII veka Bojl i Mariot, nezavisno jedan od drugog, prouæavali su ponašawe gasova pri izotermskim uslovima, odnosno uzajamnu zavisnost pritiska i zapremine pri stalnoj vrednosti temperature. Eksperimentalnim putem su ustanovili da za izotermske procese vaþi relacija pV = const, za T = const, N=const. Ova relacija kasnije je nazvana Bojl–Mariotov zakon.
18
Proizvod pritiska i zapremine odreðene koliæine gasa pri stalnoj temperaturi je konstantan. Ili Pritisak i zapremina odreðene koliæine gasa pri stalnoj temperaturi obrnuto su srazmerni:
p = const ; V = const ; T = const , N=const. V p
T = const
уџ бе
ни ке
Da bismo prikazali Bojl–Mariotov zakon, posmatraœemo odreðenu koliæinu a) b) p gasa u zatvorenom cilindru sa pokretnim (1) klipom (bez trewa) koji je spojen sa V1 manometrom M (slika 1.9a). Manometrom se meri pritisak gasa u cilindru. U toku eksperimenta temperatura gasa se ne mewa. (2) M V2 Stalna temperatura gasa se postiþe (3) sporim pomerawem klipa da bi se ostvariV3 la razmena unutrašwe energije sa okolinom i tako odrþala stalna temperatura. T = const Temperatura se odrþava stalnom i tako što se cilindar sa klipom postavi u širi Slika 1.9. Prikaz Bojl–Mariotovog zakona sud sa vodom konstantne temperature. Pri dva puta mawoj zapremini pritisak gasa je dva puta veœi, a pri tri puta mawoj zapremini pritisak gasa se tri puta uveœa itd, tako da proizvod pritiska i zapremine odreðene koliæine gasa, pri stalnoj temperaturi, ostaje konstantan, to jest: p1V1 = p2V2 = ... = pnVn = const, N=const.
За
ili u opštem sluæaju
во
д
за
V
pV = const, za T = const, N=const.
p
300 K 200 K 100 K
zo
i
Grafik izotermskog procesa (slika 1.9b) naziva se izoterma. Izoterma se predstavqa u pravouglom koordinatnom sistemu u kojem su vrednosti zapremine nanesene na apscisnoj a pritisak na ordinatnoj osi. Na slici 1.10 su prikazane izoterme za razliæite temperature iste koliæine gasa. Na višim temperaturama brzina molekula se poveœava, a time i broj wihovih sudara o zid suda kao i impuls koji se predaje pri tim sudarima. To uslovqava poveœawe pritiska za iste vrednosti zapremine. Zato je izoterma na višoj temperaturi iznad izoterme na niþoj temperaturi (slika 1.10).
te r
me
V Slika 1.10. Bojl–Mariotov zakon za razliæite temperature
19
ŠARLOV ZAKON
Slika 1.11. Prikaz Šarlovog zakona
ни ке
V=const
p [Pa] a)
b)
p [Pa] a
за
p
уџ бе
t
Zavisnost pritiska od temperature prvi je eksperimentalno prouæavao francuski fiziæar Šarl (Charles Jacques Cesar, 1746 –1823). Ustanovio je zakon, kasnije nazvan Šarlov zakon. Šarlov zakon moþe se eksperimentalno prikazati pomoœu aparature prikazane na slici 1.11. Odreðena koliæina gasa (vazduha) nalazi se u staklenom sudu (balonu) stalne zapremine koji je spojen sa metalnim manometrom. Temperatura gasa se mewa grejawem vode u kojoj se nalazi balon s gasom i oæitava se na termometru. Pritisak gasa se meri manometrom. Rezultati merewa su prikazani u p, t i p, T-dijagramima (slika 1.12). U prvom dijagramu je prikazana zavisnost pritiska gasa od temperature u Celzijusovim stepenima (°C), a u drugom zavisnost pritiska od apsolutne temperature izraþene u kelvinima (K).
or
h zo
i
во
–273
д
p0
0
t
t [˚C]
0
T [K]
За
Slika 1.12. Grafikon Šarlovog zakona u p, t-sistemu i p, T-sistemu
Svaka taæka (par vrednosti pritiska i temperature) u jednom i drugom dijagramu predstavqa stawe gasa. Na osnovu ogleda zakquæuje se: sa povišewem temperature poveœava se pritisak i ta zavisnost ima linearni karakter (prava linija). Uoæava se da u p, t-sistemu prava linija preseca t-osu u taæki t = –273 °C (slika 1.12a). Meðutim, prava linija u p, T -sistemu polazi iz koordinatnog poæetka (T = 0 K, slika 1.12b). Temperature t = –273 °C i T = 0 K su vrednosti apsolutne nule u dva razliæita koordinatna sistema, odnosno u Celzijusovoj i Kelvinovoj (apsolutnoj) temperaturskoj skali. (U oba sluæaja, vidimo da nema pritiska gasa, p = 0 Pa.) U p,T -dijagramu prava prolazi iz koordinatnog poæetka (0 Pa; 0 K), pa wena jednaæina ima oblik: p = aT,
20
gde je a, kao i u p, T -dijagramu (slika 1.12) koeficijent pravca prave i ima eksperimentalno utvrĂ°enu vrednost: p0 a= , 273,15 K pa prethodna relacija moĂže da se napiĹĄe u obliku:
p p0 =const, za V=const i N=const. ¡ T ili p= 273,15 K T U p,t -dijagramu (slika 1.12a):
gde je
p0 ¸ t = p0 (1+ g t ), 273,15 K
Â? ÂŹ Â? ÂŹ g =žžž 1 ÂÂÂK 1 = žžž 1 °C 1 . 273,15 273,15 Â&#x; ÂŽ Â&#x; ÂŽ
ни ко
p = p0 +
ŃƒŃ&#x; йо
Konstanta g naziva se termiÌki koeficijent pritiska koji odreðuje kolika je relativna promena pritiska pri izmeni temperature za 1°C (1 K). Relacije p p = 0 ⋅ T = p0 (1+ g t ), V = const, N=const T0
вО
Đ´
Са
su razliĂŚiti oblici Ĺ arlovog zakona koji je eksperimentalno utvrĂ°en 1783. godine. Prava koja prikazuje linearnu zavisnost pritiska od temperature pri nepromewenoj zapremini gasa naziva se izohora. Proces promene stawa odreĂ°ene koliĂŚine gasa pri stalnoj zapremini je, zbog toga, izohorski termodinamiĂŚki proces. On se opisuje Ĺ arlovim zakonom linearne promene pritiska sa temperaturom. GASNI TERMOMETAR
Đ—Đ°
Za merewe temperature koristi se i gasni termometar koji se bazira na Šarlovom zakonu, to jest na izohorskoj promeni gasnog stawa. Princip wegovog rada se zasniva na tome da se temperatura odreðuje merewem pritiska gasa pri stalnoj zapremini. Gasni termometar je precizniji od ostalih termometara u ťirokom intervalu temperatura. Stoga se prema wemu proveravaju i drugi termometri. Kao gas najÌeťœe se koristi vodonik ili helijum. Ako je posuda u kojoj se nalazi gas od kvarca, odnosno od platine, gasni termometar se moÞe primeniti i do 1500 °C. Gasni termometar sastoji se od suda A napuwenog vodonikom (helijumom) i povezanog sa levim krajem Þivinog manometra. Otvoreni desni kraj manometra spojen je sa levim krajem manometra pomoœu gumene cevi. Sud A se dovodi u kontakt sa sredinom (telom) Ìija se temperatura meri. Da bi se promena temperature vodonika izvrťila izohorski (pri stalnoj zapremini), nivo Þive u levom kraju manometra odrÞava se na istom nivou oznaÌen sa a, pri Ìemu se podiÞe ili spuťta desni kraj preko kotura B pomoœu ruÌice C (slika 1.13).
B
h
C
a A
Slika 1.13. Gasni termometar
21
Iz matematiæke formulacije Šarlovog zakona dobija se izraz za traþenu temperaturu: T T = 0 p. p0 Na osnovu poæetnog (atmosferskog) pritiska p0 i poæetne temperature T0 vodonika u sudu A, odreðuje se konaæan pritisak p, po formuli: p = p0 + ph,
уџ бе
ни ке
gde je ph – pritisak koji se oæitava kao razlika visina nivoa þive u levom (uvek na istom nivou) i desnom kraku manometra: ph = rgh, gde je g = 9,81 m/s2 – ubrzawe Zemqine teþe, r = 13600 kg/m3 – gustina þive. U gasnom termometru merewe temperature svodi se, dakle, na merewe pritiska, odnosno razlike nivoa þive.
GEJ-LISAKOV ZAKON
За
во
д
за
Þozef Luj Gej-Lisak (Joseph Louis Gay-Lussac, 1778–1850), francuski fiziæar i hemiæar, bio je ælan Pariske akademije nauka. Eksperimentalno je ispitivao zavisnost zapremine gasa od temperature pri stalnom pritisku i ustanovio vezu meðu tim veliæinama koja je nazvana Gej-Lisakov zakon. Dokazao je da koeficijent širewa ima istu vrednost za sve gasove i odredio je wegovu brojnu vrednost: g = 1/ (273,15 °C). Gej-Lisak ima veliki broj radova i iz hemije. Izdvojio je kalcijum, hlor i jod i ispitivao je svojstva sumpornih, azotnih i cijanskih jediwewa. Izradio je niz pribora: hidrometar, barometar, termometar, razne pumpe. Jedan je od pionira avijacije. Podigao se balonom na visinu od preko 6000 m obavqajuœi razna istraþivawa u atmosferi.
Joseph Louis Gay-Lussac (1778–1850)
Slika 1.14. Prikaz Gej-Lisakovog zakona
22
Eksperimentalno prouæavawe zavisnosti zapremine gasa od temperature pri stalnom pritisku (p = const) sproveo je 1802. godine francuski fiziæar Gej-Lisak. Ono moþe da se prikaþe pomoœu pribora prikazanog na slici 1.14, koji se naziva dilatometar. Sastoji se iz šireg suda napuwenog vodom u kome se nalazi sud napuwen gasom. Obiæno je to stakleni balon, kroz æiji otvor prolazi staklena cev savijena pod pravim uglom. Iza horizontalnog dela ove cevi nalazi se skala æiji jedan podeqak najæešœe oznaæava zapreminu cevi od 1 cm3. Cev je zatvorena kapqicom þive koja se, zavisno od zapremine gasa, pomera u horizontalnom delu cevi i to praktiæno bez trewa.
Kada se u sud sa vodom unese dovoqna koliÌina leda posle izvesnog vremena temperatura vode u wemu i gasa u staklenom balonu, biœe 0 °C. Tada poloÞaj Þivine kapqice oznaÌava zapreminu V0. Postepenim zagrevawem temperatura gasa se poveœava i kapqica Þive pomera udesno, ťto ukazuje na ťirewe gasa u sudu. Zanemarujuœi ťirewe staklenog balona, promena zapremine gasa V oÌitava se na skali S. To se ponavqa za nekoliko vrednosti temperature, recimo u intervalu od 0 do 80 °C. Na osnovu rezultata merewa zakquÌuje se: promena zapremine odreðene koliÌine gasa pri stalnom pritisku (u naťem ogledu atmosferski pritisak) upravno je srazmerna izmeni temperature i zapremini gasa, to jest:
ни ко
V V0 ~ (t t0 ).
Poťto je t = 0 °C, onda je V V0 ~V0t , odnosno V V0 = gV0t .
Odavde se dobija matematiÌki oblik Gej-Lisakovog zakona, izraÞen preko temperature u Celzijusovim stepenima (°C):
ŃƒŃ&#x; йо
V =V0 (1+ gt ); p = const.
Koeficijent g je termiĂŚki koeficijent ĹĄirewa gasa i za sve gasove iznosi: g=
1 . 273,15 °C
V0
¡
T ili V =const, za p=const i N=const.
Đ´
V=
Са
UkquÌujuœi vrednosti termiÌkog koeficijenta ťirewa gasa i apsolutnu temperaturu, Gej-Lisakov zakon se moÞe napisati u drugom obliku:
Đ—Đ°
вО
T T0 Zapremina odreĂ°ene koliĂŚine gasa pri stalnom pritisku upravno je srazmerna wegovoj apsolutnoj temperaturi. Grafici izobarske promene stawa gasa u V, t (a) i u V, T (b) koordinatnom sistemu prikazani su na slici 1.15. p1 p2
V [m3]
V
V0 –273
0
t
iz
ob
ar
a
V [m3]
p2 > p1 t [ËšC]
0
t [K]
Slika 1.15. Izobarske promene stawa idealnog gasa
Prava koja pokazuje zavisnost zapremine gasa od temperature pri stalnom pritisku naziva se izobara. Sa dijagrama se vidi da izobara polazi od apsolutne nule.
23
Proces promene stawa odreĂ°ene koliĂŚine gasa pri stalnom pritisku je izobarski termodinamiĂŚki proces i opisuje se Gej-Lisakovim zakonom linearne promene zapremine sa temperaturom. Treba naglasiti da Gej-Lisakov zakon vaĂži, kao i ostali gasni zakoni, samo za idealne gasove, odnosno za realne gasove relativno male gustine i za temperature iznad taĂŚke kondenzovawa.
AVOGADROV ZAKON I JEDNAÆINA STAWA IDEALNOG GASA
ни ко
OpĹĄta jednaĂŚina stawa idealnog gasa: pV = NkT,
Са
ŃƒŃ&#x; йо
pokazala je da stawe u kom se nalazi odreðena koliÌina gasa karakteriťu: pritisak, zapremina i temperatura. Ove veliÌine nisu nezavisne, a wihova povezanost matematiÌki je izraÞena prethodnom jednaÌinom. Postavqa se pitawe kolika je ta odreðena koliÌina gasa. KoliÌina supstancije je osnovna fiziÌka veliÌina i woj odgovara osnovna jedinica Meðunarodnog sistema mera – mol. A ťta predstavqa jedan mol (1 mol)? U definiciji stoji da je to koliÌina supstancije koja ima isti broj Ìestica (nekih jedinki) – onoliko koliko ima atoma u masi od 0,012 kg ugqenika 12C. Ova definicija se moÞe i drugaÌije protumaÌiti. Jedan mol svake supstancije sadrÞi isti broj Ìestica:
Đ´
N A = 6,022 ¸ 10 23 mol 1
Đ—Đ°
вО
i predstavqa univerzalan – Avogadrov broj. On kaÞe da mol bilo koje supstancije, nezavisno od uslova u kojima se ona nalazi (npr. agregatno stawe), ima isti broj elementarnih jedinki. Ovo je jedan od iskaza Avogadrovog zakona. Prevedeno na stawe gasa, Avogadrov zakon ima oblik: na istim temperaturama i pritisku, jednake zapremine razliÌitih gasova sadrÞe isti broj molekula. Ako neki uzorak (gas u sudu i sl.) sadrÞi N molekula, onda se moÞe definisati koliÌina supstancije (broj molova) u tom uzorku: n= N . NA
Pomoœu ovoga broja, opťta jednaÌina stawa idealnog gasa glasi: pV = nRT,
gde je R = k ¸ N A = 8,31
J univerzalna gasna konstanta. mol ¸ K
Ova jednaĂŚina je specifiĂŚna relacija koja povezuje sve veliĂŚine (n, p, V, T) koje karakteriĹĄu jedno stawe idealnog gasa.
24
GASNI ZAKONI SA STANOVIŠTA KINETIÆKE TEORIJE GASOVA
Iz jednaæine stawa idealnog gasa mogu neposredno da se izvedu i teorijski obrazloþe sva tri gasna zakona koji su ranije empirijski utvrðeni. Bojl–Mariotov zakon, kao što znamo, povezuje pritisak i zapreminu odreðene koliæine gasa na stalnoj temperaturi (T = const). Ovaj zakon odnosi se, dakle, na izotermske procese. Iz jednaæine stawa idealnog gasa neposredno proizlazi da je pV = nRT = const, N = const
д
за
уџ бе
ни ке
jer je n – nepromewen broj (odreðena koliæina gasa), R – konstanta, a temperatura ima stalnu vrednost. Dakle, proizvod pritiska i zapremine odreðene koliæine gasa na stalnoj temperaturi ima stalnu vrednost. Pritisak gasa zavisi od broja sudara molekula gasa o zid suda. Broj sudara srazmeran je broju molekula u jedinici zapremine. Pri sabijawu gasa, koncentracija molekula se poveœava, a time i pritisak. Obrnuto, pri poveœawu zapremine koncentracija molekula opada i pritisak se smawuje. Te promene se odvijaju tako da se proizvod pritiska i zapremine ne mewa: koliko puta se smawi zapremina, toliko puta se poveœa pritisak, što je u saglasnosti sa Bojl–Mariotovim zakonom. Iz jednaæine stawa idealnog gasa moþe se, pri stalnoj zapremini (V = const), naœi veza izmeðu pritiska i apsolutne temperature, odnosno izvesti Gej-Lisakov zakon kojem se pokoravaju izohorski procesi. Uzeœemo dva gasna stawa:
во
p0V = nRT0 i pV = nRT,
За
deobom druge jednaæine sa prvom, za V = const, dobija se: p=
p0 ¸ T = p0 (1+ gt ), T0
gde je g – temperaturski koeficijent pritiska g =
1 . 273,15 °C
Ova jednaæina, kao što znamo, predstavqa Šarlov zakon: pritisak odreðene koliæine gasa u stalnoj zapremini raste linearno s povišewem temperature. Za sluæaj stalnog pritiska (p = const), iz jednaæine stawa idealnog gasa, moþe se dobiti i veza izmeðu zapremine i apsolutne temperature, koja definiše izobarske procese; opet œemo poœi od dva gasna stawa: pV0 = nRT0 i pV = nRT .
25
Wihovom meðusobnom deobom, za p = const, dobija se: V=
V0 T =V0 (1+ gt ), T0
1 . Kao što smo veœ opi273,15 °C sali, za ove procese vaþi Gej-Lisakov zakon: zapremina stalne koliæine gasa, na stalnom pritisku, poveœava se linearno sa povišewem temperature.
Primer 7. Pritisak gasa u zatvorenom sudu je 1,8×105 Pa. Hlaðewem gasa za 40 K pritisak se smawi na 1,4×105 Pa. Izraæunati poæetnu i krajwu temperaturu gasa. Podaci: p1 = 1,8×105 Pa, DT = 40 K, p2 = 1,4×105 Pa; T1 = ? T2 = ? Rešewe. Na osnovu Šarlovog zakona za bilo koja dva stawa gasa je:
за
7.
уџ бе
ни ке
gde je g termiæki koeficijent širewa gasa g =
За
во
д
p1 T1 T2 +ΔT = = ⇒ p2 T2 T2 p2 40K.1, 4⋅105 Pa ⇒ T2 = DT = ; p1 − p2 1,8⋅105 Pa −1, 4 ⋅105 Pa
8.
T2 =140K. T1 =140K + 40K = 180K.
Primer 8. Zapremina gasa na temperaturi 300 K iznosi 0,25 m3. Kolika œe biti zapremina toga gasa pri nepromewenom pritisku na temperaturi 600 K? Podaci: V1 = 0,25 m3, T1 = 300 K, p = const, T2 = 600 K; V2 = ? Rešewe. Na osnovu Gej-Lisakovog zakona V1 T1 T = º V2 =V1 ¸ 2 . V2 T2 T1
Odavde je V2 = 0,25m 3 ¸ 600 K = 0,5m 3. 300K
26
Primer 9. U sudu zapremine 4 m3 nalazi se 2,8 kg azota i 4 kg kiseonika. Koliki je pritisak smeše tih gasova na temperaturi 300 K? Podaci: V = 4 m3, mN = 2,8 kg, mO = 4 kg, T = 300 K; p = ? Rešewe. Prema jednaæini gasnog stawa:
9.
pV = n × RT, za azot je: pNV = nN RT, a za kiseonik: pOV = nO RT.
pN + pO = p, odnosno:
ни ке
Na osnovu Daltonovog zakona: Pritisak smeše idealnih gasova jednak je zbiru parcijalnih pritisaka gasova smeše, dobija se: m m ¬ pV = pNV + pOV = nN RT + nO RT = RT N + O ; M N MO ®
уџ бе
m m ¬ p = RT N + O . V M N MO ®
Unošewem podataka nalazi se:
д
p=
J ¸ 300K ¬ mol K 4kg 2,8kg + ; 3 kg kg 4m 0,028 mol 0,032 mol ®
за
8,314
во
p = 1,4 ¸10 5 Pa.
Primer 10. Na slici 1 predstavqen je p, V-dijagram za odreðenu koliæinu idealnog gasa, zatvoren u cilindru sa pokretnim klipom. Taæke 1, 2 i 3 su razliæita termodinamiæka stawa tog gasa. Poreðajte temperature T1, T2 i T3 po vrednosti. Rešewe. Iz jednaæine stawa idealnog gasa dobijamo p
За
10.
T = 1 pV . nR
Za stalnu vrednost n (koliæine gasa) temperatura je proporcionalna proizvodu pritiska i zapremine. Buduœi da iz dijagrama proizlazi
3
p3 p2 p1
2 1
p1V1 < p2V2 < p3V3, V1
dobija se: T1 < T2 < T3.
V2 V3
V Slika 1.
27
4
1
pV = nRT,
3
iz datog p, V-dijagrama vidimo da su proizvodi pV za svaku od 4 taæke jednaki. To znaæi da sve te taæke leþe na istoj izotermi koja povezuje sve taæke (termodinamiæka stawa) jednake temperature (pV = const).
2
2
3
1
4 1
2
3
4
V
Primer 12. Odreðena koliæina idealnog gasa zauzima u poæetnom stawu zapreminu 12 ". Koliku zapreminu œe zauzimati ako se nekim termodinamiækim procesom pritisak udvostruæi, a temperatura smawi na treœinu poæetne? Rešewe. Oznaæimo poæetno stawe indeksom 1, a konaæno indeksom 2. Za oba stawa vaþi jednaæina stawa
за
12.
уџ бе
Slika 2.
ни ке
11.
Primer 11. Na slici 2 prikazan je p, V-dijagram za odreðenu koliæinu gasa zatvorenog u sudu sa pokretnim klipom. Taæke 1, 2, 3 i 4 su razliæita termodinamiæka stawa. Da li su temperature gasa u tim termodinamiækim stawima jednake ili razliæite? Rešewe. Koristeœi se jednaæinom stawa idealnog gasa p
p1V1 = nRT1; p2V2 = nRT2.
во
д
T Zadana veza izmeðu stawa 1 i 2 je: p2 = 2p1; T2 = 1 . Uvrstimo te odnose u 3 drugu jednaæinu stawa i dobijamo:
За
nRT1 . 3 Podelimo tu jednaæinu sa prvom pa dobijamo: 2 p1V2 =
2V2 1 = , 3 V1
odnosno V2 =
V1 12 " = = 2" . 6 6
Zapremina se smawuje na šestinu poæetne zapremine.
28
д
за
уџ бе
ни ке
• Saglasno osnovnim stavovima molekulsko-kinetiæke teorije: 1) Sva tela se sastoje iz æestica: atoma, molekula. 2) Atomi i molekuli supstancije izvode neprekidno haotiæno (neureðeno) kretawe, koje se naziva toplotno kretawe. 3) Meðu molekulima postoji uzajamno delovawe koje zavisi od rastojawa meðu wima i moþe da bude privlaænog i odbojnog karaktera. Molekulske sile imaju elektromagnetnu prirodu. U ævrstim i teænim telima rastojawa izmeðu molekula su veoma mala (reda preænika molekula), tako da su molekulske sile relativno velikog intenziteta. U gasovima rastojawa meðu molekulima su znatno veœa, a molekulske sile toliko male da se pri odreðenim uslovima (malim pritiscima) mogu zanemariti. Posebno vaþnu ulogu u postavkama molekulsko-kinetiæke teorije ima Braunovo haotiæno kretawe æestica. Braunovo kretawe je uzrokovano toplotnim kretawem molekula u teænostima ili gasu i posledica je meðusobnih sudara molekula. Makroskopska tela sastoje se iz ogromnog broja molekula, æija je masa relativno mala, pa se zato masa molekula i wihov broj æesto izraþavaju u relativnim jedinicama (relativna molekulska ili atomska masa). Koliæina supstancije odreðuje se odnosom broja molekula (atoma) N u datom makroskopskom telu i broja atoma u 0,012 kg ugqenika NA (6,02 × 1023 mol–1): n= N = m , NA M
За
во
gde je n – broj mola u telu, m – masa tela, M – masa mola ili molska masa supstancije. Za jedinicu koliæine supstancije uzima se mol – koliæina supstancije, u kojoj se sadrþi NA molekula (broj molekula u molu je Avogadrov broj, odnosno Avogadrova konstanta). • Idealan gas je model realnog gasa, koji se sastoji iz molekula (atoma), æije se dimenzije i uzajamno delovawe (molekulske sile) mogu zanemariti. Sredwa kinetiæka energija molekula gasa je znatno veœa od sredwe potencijalne energije wihovog uzajamnog delovawa (molekulske sile). Na osnovu toga moþe se zakquæiti da se unutrašwa energija idealnog gasa svodi na sredwu kinetiæku energiju molekula (atoma). • Prema kinetiækoj teoriji pritisak gasa tumaæi se kao posledica udara molekula o zidove suda u kojem je zatvoren gas.
29
Pritisak gasa odreðuje sredwa kinetiæka energija translatornog kretawa svih molekula koji se sadrþe u jediniænoj zapremini gasa: p = 2 n0 Ek , 3 N gde je n0 = broj molekula u jedinici zapremine, a Ek = 1 mvs2 – V 2 sredwa kinetiæka energija haotiænog kretawa molekula. • Sredwa kinetiæka energija molekula srazmerna je apsolutnoj temperaturi gasa (T): 3 Ek = kT , 2
уџ бе
ни ке
gde je k = 1,38×10–23 J/K – Bolcmanova konstanta. Temperatura je mera sredwe kinetiæke energije haotiænog (toplotnog) kretawa molekula idealnog gasa. Omoguœava da se odrede nepoznate vrednosti veliæina koje karakterišu procese. Jednaæina stawa idealnog gasa ima oblik: pV = NkT , ili pV = nRT ,
gde je R – univerzalna gasna konstanta (R = NAk = 8,31
J ). mol K
во
д
за
Proizvod pritiska i zapremine odreðene koliæine gasa (n – konstanta) srazmeran je apsolutnoj temperaturi. Jednaæina stawa gasa u bilo kojem od navedenih oblika omoguœuje da se reše zadaci koji se odnose na procese, koji se odvijaju u gasovima. Kao konkretne (posebne) sluæajeve ona sadrþi gasne zakone: – pri T = const, pV = const – Bojl–Mariotov zakon;
V = const – Gej-Lisakov zakon; T p – pri V = const, = const – Šarlov zakon. T
За
– pri p = const,
30
За
во
д
за
уџ бе
ни ке
1. Objasnite pojam pritiska gasa. 2. Koje karakteristike ima idealan gas? 3. Šta je temperatura gasa? 4. Po æemu se razlikuju Celzijusova i apsolutna (termodinamiæka) temperaturna skala? 5. Šta povezuje osnovna jednaæina kinetiæke teorije idealnih gasova? 6. Moþe li se model idealnog gasa primeniti za temperature bliske apsolutnoj nuli? Dajte odgovarajuœe objašwewe. 7. Kako se meri temperatura gasnim termometrom? 8. Da li apsolutna temperatura zavisi od vrste supstancije (gasa)? 9. Od æega zavisi sredwa kinetiæka energija molekula? 10. Kada gasovi u idealnom gasnom stawu imaju istu sredwu kinetiæku energiju? 11. Zavisi li Bolcmanova konstanta od vrste molekula gasa? 12. Kakva veza postoji izmeðu Bolcmanove i univerzalne gasne konstante? 13. Koje veliæine povezuje jednaæina idealnog gasnog stawa? 1 14. Šta definiše izraz: 1+ gt ; g = ? 273,15 °C 15. Koliko ima molekula u 1 cm3 gasa pri normalnim uslovima (Lošmitov broj)?
31