Esercizi di Analisi matematica 2
Seconda edizione
Indicegenerale
Prefazione
1Calcolodi↵erenzialeperfunzionidipi`uvariabili
1.1Topologiain Rn .Funzionida Rn a Rm :nozionipreliminari
1.2Limitiecontinuit`a
1.3Calcolodi↵erenziale
2Funzioniimplicite
3Ottimizzazione
4Integrazionemultipla
4.1Integralidoppi
5Lineeeintegralidilinea
5.1Curvein R2 e R3 .Integralidilineadiprimaspecie
5.2Lavorodiuncampo.Formedi↵erenziali
6Superficieintegralidisuperficie
6.3FormulediGauss-Green.Teoremidelrotoreedelladivergenza
7.1Convergenza.Derivazioneeintegrazione
8.1Equazionidelprimoordineintegrabilielementarmente
8.2Equazionilinearidelsecondoordineacoefficienticostanti
Prefazione
Questaraccoltadiesercizi`erivoltaaglistudentidiuncorsodilaureainunadisciplina scientifica(e.g.Ingegneria,Fisica,Matematica,Economia,Informatica)eintende proporsicomeunutilepuntodiriferimentoperlapreparazioneaentrambeleprove, scrittaeorale,diunsecondocorsodiAnalisimatematica.Grazieallapresenzadi richiamiteorici,pu`oessereusatadasolaoaffiancarequalunquemanuale.
Nellastesuradegliesercizicisiamobasatisullaconvinzionecheperottenere unabuonapreparazionenonsianecessariosottoporrelostudenteaunameccanica risoluzionedieserciziripetitivi,bens`ıinvitarloada↵rontarequestionidivarianatura cheloagevolinonell’acquisizionediabilit`asiateorichesiatecniche.Prerequisitisono laconoscenzadelcalcolodi↵erenzialeedelcalcolointegraleunidimensionaliegli elementidibasediAlgebralineare.
Gliargomentisonodivisiinottocapitoli.
Il primocapitolo riguardail calcolodi↵erenziale perfunzionida Rn a Rm : limitiecontinuit`a,derivatedirezionaliedi↵erenziabilit`a.
Il secondocapitolo `ededicatoallefunzionidefinite implicitamente daun’equazioneodaunsistemadiequazioni.
Nel terzocapitolo sitrattanoproblemidi ottimizzazioneliberaevincolata.
L’integrazionemultipla (secondoRiemann)`el’argomentodel quartocapitolo.
Il quinto eil sestocapitolo sonodedicati,rispettivamente,a lineeeintegrali dilinea,superficieintegralidisuperficie.Particolarerisalto`edatoall’analisidei campivettorialiealleformedi↵erenzialiaessiassociate.
Il settimocapitolo riguardale seriedifunzioni;inparticolareseriedipotenze eseriediFourier.
L’obiettivodell’ottavocapitolo `eintrodurreletecnicherisolutivedellepi`u elementari equazionidi↵erenziali.
Ognicapitolo`esuddivisoinsezioni,ciascunadellequalisiapreconrichiamiteoricie proponeesercizididiversadifficolt`a,divisipertipologia.Precisamente,lastrutturadi ognisezioneprevede:
Richiamiditeoria Peragevolarelostudente,riassumiamoconcisamentelenozioni teorichenecessariepersvolgereglieserciziproposti:ci`onondevecomunque indurreatrascurarelostudiodellateoria,primadipassareallarisoluzionedegli esercizi.
Esempi Sonoesercizidimediadifficolt`a,interamentesvolti,chehannoloscopo difornireunaguidaperlasoluzionedegliesercizipresentatisuccessivamente.
Testarispostamultipla Sonoiquesitipi`uimmediaticonsistonoinunadomandacheprevedeunarispostadasceglieretraquattropossibili.Trannechein casiparticolarmentesemplici,larispostavienesempremotivata.
Esercizi Gliesercizipropostirichiedonounlivellomediodipreparazione.Molti sonodeltipoassegnatonelleprovescritteneidiversicorsidilaurea.
Veroofalso? Lostudente`echiamatoadecidereseunaa↵ermazionesiacorretta omeno;larispostarichiedeunabuonapadronanzadeiconcettiteorici.
Trovarel’errore Sonoquesitichehannoloscopodievidenziareglierroripi`u frequentementecommessi.
Perognunodegliesercizidelletipologieillustratesopra, lesoluzionisitrovanoalla finedellarelativasezioneesonosempreampiamentemotivate.
Perglistudentichedesiderinoapprofondireivariargomenti,sonoallafineproposti
Ulterioriesercizi Sonomediamentepi`uimpegnativiespessorichiedonoargomentazionidicarattereteorico. Lesoluzionidiquestiesercizisonoreperibili online all’indirizzo universita.zanichelli.it/salsasquellati2 2e.
GliAutori
2 Funzioniimplicite
2.1FUNZIONIIMPLICITEREALIDIUNAVARIABILE
RICHIAMIDITEORIA
Sia A unapertodi R2 e g : A ! R.Consideriamol’insiemedilivello E0 di g dato daipuntichesoddisfanol’equazione g (x,y )=0 (2.1)
Pu`osuccedereche E0 coincidaparzialmente(localmente)ointeramenteconil graficodiunafunzionedeltipo y = f (x) oppure x = h (y ) . Talifunzionisidicono funzioniimplicitedefinitedalla (2.1).Precisamente:
Definizione. Unafunzione y = f (x), x 2 I ✓ R (risp. x = h (y ) ,y 2 J ✓ R)si dice definitaimplicitamente dalla(2.1)se (x,f (x)) 2 A (risp.(y,h (y ) 2 A)e valel’identit`a1
g (x,f (x)) ⌘ 0in I (risp. g (h (y ) ,y ) ⌘ 0in J )
Condizionisufficientiperl’esistenzaeunicit`adiunafunzioneimplicita y = f (x) sonoindicatenelprossimoteorema.
Teorema1(diDini) Se:
(i) g 2 C 1 (A),
(ii) g (x0 ,y0 )=0,
(iii) gy (x0 ,y0 ) =0, alloraesisteunintorno I di x0 incui`edefinitaun’unicafunzioneimplicita y = f (x)conleseguentipropriet`a:
(a) f 2 C 1 (I )e f (x0 )= y0 ;
1 Ilsimbolo ⌘ indica identit`a ;peresempio:
F (x) ⌘ 0in I equivalea F (x)=0perogni x 2 I
(b)Valelaformula
f 0 (x)= gx (x,f (x)) gy (x,f (x)) 8x 2 I (2.2)
Alcuneconseguenzedelteoremasonoleseguenti.
(c) L’equazione g (x,y ) =0definisceinunintornodelpunto (x0 ,y0 ) unacurva piana;larettatangenteatalecurvain(x0 ,y0 )haequazione
gx (x0 ,y0 )(x x0 )+ gy (x0 ,y0 )(y y0 )=0(2.3)
La(2.3)indicache rg (x0 ,y0 )`eortogonaleallacurvanelpunto(x0 ,y0 ).
(d) Se g 2 C k (A) (cio`e g haderivatecontinuesinoall’ordine k ≥ 1),allora f 2 C k (I ) elederivatedi f sinoall’ordine k sipossonoricavareper successivederivazionidell’identit`a
g (x,f (x)) ⌘ 0in I
Osservazione. Senell’ipotesi (iii) delteorema,abbiamo gx (x0 ,y0 ) =0anzich´e gy (x0 ,y0 ),inunintorno J di y0 `edefinitaun’unicafunzione x = h (y ) conle stessepropriet`aelencateper f e,inoltre,in J valelaformula
h0 (y )= gy (h (y ) ,y )
gx (h (y ) ,y )
Puntisingolari. Se rg (x0 ,y0 ) = (0, 0), (x0 ,y0 ) sidice puntosingolare. Un cennoall’analisidell’insieme E0 inunintornodiquestipunti`edatonegliulteriori esercizi.
Esempi
1 Datal’equazione g (x,y )= x +ln x y ln y 1 ln2=0 (2.4)
(a) Verifichiamocheesisteun’unicafunzioneimplicita y = f (x) , definitainun intorno I delpunto x0 =2,diclasse C 1 etaleche f (2)=1
(b) Calcoliamo f 0 (2) e f 00 (2) e,inparticolare,esaminiamomonot`oniaeconvessit`a/concavit`adi f inunintornodi x0 =2(ingeneralenontutto I ).
(a) Lafunzione g `edefinitaediclasse C 1 in A = (0, +1) ⇥ (0+ 1) Inoltresi ha g (2, 1)=0e
gy (x,y )= 1 1 y , gy (2, 1)= 2 =0
La(a)seguedalteoremadiDini.
(b) Percalcolare f 0 (2) sipossonousareduemodi.Ilprimosiavvaledella(2.2). Siha gx (x,y )=1+ 1 x ,gy (x,y )= 1 1 y
equindi
Ilsecondomodoutilizzadirettamentel’identit`a
validain I. Essendo un’identit`a, lasipu`oderivarerispettoa x,ottenendouna secondaidentit`a
Inserendo x =2eusando f (2)=1siritrova
Perilcalcolodi f 00 (2)`eoracomododerivarel’identit`a(2.6),ottenendo 1 x2 f 00 (x) f 00 (x) f (x) (f 0 (x))2 (f (x))2 ⌘ 0
Sostituendo x =2eusando f (2)=1,f 0 (2)=3/4, sitrova
Essendocontinuein I, con f 0 (2) > 0,f 00 (2) > 0, f 0 e f 00 simantengono positive vicinoa x0 =2(permanenzadelsegno).Lafunzioneimplicita y = f (x) `eperci`o crescenteeconvessa,inunopportunointornodi x0 =2.
2 Verifichiamochel’equazione
g (x,y )= x 2 +ln(1+ xy )+ ye 2y =0 (2.7)
definisceun’unicafunzioneimplicita y = y (x) , inunintornodell’origine.Controlliamoche x =0 `eunpuntostazionario (cio`e y 0 (0) =0) edeterminiamonela natura.
Lafunzione g `edefinitaediclasse C 1 in A = {(x,y ): xy> 1}.Siha (0, 0) 2 A e g (0, 0)=0;inoltre
gy (x,y )= x 1+ xy + e 2y (1+2y ), gy (0, 0)=1 =0
LeipotesidelteoremadiDinisonosoddisfatte,perci`oesisteun’unicafunzione implicita y = y (x) definitaediclasse C 1 inunintorno I di x =0etaleche y (0)=0. Essendopoi gx (x,y )=2x + y 1+ xy , gx (0, 0)=0
siha y 0 (0)= gx (0, 0) gy (0, 0) =0
quindi x =0`epuntostazionario.Perdeterminarnelanaturaderiviamoduevolte l’identit`a x 2 +ln(1+ xy (x))+ y (x) e 2y (x) ⌘ 0
validain I .Sitrova,semprepensando y = y (x), 2x + y + xy 0 1+ xy + e 2y (y 0 +2yy 0 ) ⌘ 0
epoi, 2+ (2y 0 + xy 00 )(1+ xy ) (y + xy 0 )2 (1+ xy )2 + e 2y �y 00 +4(
Sostituendo x =0e y (0)= y 0 (0)=0, siricava 2+ y 00 (0) ⌘ 0
ossia y 00 (0)= 2;concludiamoche x =0`epuntodimassimo(locale).
Testarispostamultipla
1 Inunintornodelpunto(1, 1), l’equazione h(x,y )= x ln y + y ln x =0definisce implicitamente
O a y = f (x) O b x = g (y )
Ocsia y = f (x)sia x = g (y ) O d n´e y = f (x)n´e x = g (y ).
2 Larettatangentealgraficodellacurvadiequazione g (x,y ) = x2 y + xy 2 2=0 nelpunto(1, 1)hacoefficienteangolare m = Oa1
Esercizi
1 Verificarechel’equazione
F (x,y )= ex y + x 2 y 2 e(x +1)+1=0
definisceimplicitamenteun’unicafunzione y = y (x)diclasse C 1 inunintorno di x =0con y (0)= 1.
Dimostrareche x =0`epuntodiminimolocaleper y (x).
2 Sia g (x)unafunzionediclasse C 2 (R),taleche
g (0)=0,g 0 (0)= g 00 (0)=2
Verificarechel’equazione
F (x,y )= y 3 + y + λg (x)=0 λ =0 (2.8)
definisceimplicitamenteun’unicafunzione y = f (x)diclasse C 2 inunintornodi (0, 0).
ScrivereilpolinomiodiMaclaurindisecondogradocheapprossima f (x).
3 Stabilirequantefunzioni y = y (x) , anche noncontinue, sonodefiniteimplicitamentedall’equazione x 2 + y 2 =1
etaliche y (1)=0.
4 Verificarechel’equazione
g (x,y )= y + y 6 + x 2 px2 +1=0
definisceun’unicafunzioneimplicita y = y (x),taleche y (0) =0,diclasse C 1 inunintornodell’origine.
Controllareche x =0`eunpuntostazionarioedeterminarnelanatura.
5 Verificarechel’equazione
g (x,y )=(x + y )ey + xy 1=0
inunintornodelpunto (1, 0) definisceun’unicafunzioneimplicita y = y (x),di classe C 1 inunintorno I delpunto x =1.Ditalefunzione,calcolaredi↵erenziale primoesecondo.
6 (a)Dimostrarechel’equazione
g (x,y )= y + xy 4/3 +sin(xy )+ ex 1=0
definisceimplicitamenteunafunzione y = y (x) diclasse C 1 inunintorno I di x =0,taleche y (0)=0 Calcolare y 0 (0).
(b)Dimostrareche y `eduevoltederivabilein x =0ecalcolare y 00 (0) . (c)Calcolare
lim x!0 y (x)+ x x2
Veroofalso?
1 V F Sia g 2 C 1 (A), A apertoin R2 Sianoinoltre (x0 ,y0 ) 2 A,g (x0 ,y0 ) =
0, gy (x0 ,y0 ) =0e y = y (x) implicitamentedefinitada g (x,y ) =0, diclasse C 1 inunintorno I di x0 Seunadellederivate gxx oppure gyy nonesistein (x0 ,y0 ) , allora f nonpu`oesserederivabile duevoltein x0
2 V F Supponiamochel’equazione g (x,y ) =0definiscaun’unicafunzione
implicita y = f (x) ,x 2 (0, +1) . Se f (x) ! ±1 per x ! +1 e g (x,mx + q ) ! 0per x ! +1, m =0,alloralaretta y = mx + q `e asintotoobliquoper f.
Trovarel’errore
1 Perlafunzione g (x,y )= y 3 x 5 =0
siha
gx (x,y )= 5x 4 gy (x,y )=3y 2 e gx (0, 0)=0 gy (0, 0)=0
NonessendoverificateleipotesidelteoremadiDini,nessunafunzioneimplicita diclasse C 1 inunitnornodell’origne`edefinitadall’equazione g (x,y )=0,n´edel tipo y = f (x)n´edeltipo x = h(y ).
Ulterioriesercizi
Soluzionionline
TeoremadiDiniglobale.Sia Q = (a,b) ⇥ (c,d) con −1 a<b +1, −1 c<d +1 e g : Q ! R
Se:
(i) g 2 C (Q);
(ii) 8x 2 (a,b)esiste gy (x,y )ed`estrettamentepositiva(risp.negativa);
(iii) 8x 2 (a,b),lim y !c+ g (x,y ) < 0(risp. > 0)elim y !d g (x,y ) > 0(risp. < 0),
alloral’equazione g (x,y ) =0definisceimplicitamenteun’unicafunzione y = f (x), continuain(a,b) . Se g 2 C k (Q),alloraanche f 2 C k (a,b), k ≥ 1;inparticolare,valelaformula f 0 (x)= gx (x,f (x)) gy (x,f (x)) ,x 2 (a,b)
1 Dimostrarechel’equazione g (x,y )= x 2 y + ex+y =0
definisceimplicitamenteun’unicafunzione y = f (x) , per x 2 R\{0}.Verificare che
(a) f (x) < 0perogni x 2 R\{0};
(b) f (x) ! 0 per x !−1;
(c) f (x) !−1 per x ! 0;
(d) f (x) !−1 per x ! +1;
(e) f (x)haunpuntodimassimolocalein x =2.
Tracciareungraficoqualitativodi y = f (x).
2 Verificarechel’equazione
definisce 8 (x,y ) 2 R2 un’unicafunzione z = z (x,y ) , aventeunminimoin (0, 0).
Puntisingolari.Sia A unapertodi R2 e g : A ! R diclasse C 2 in A (derivabileduevolteconderivatesecondecontinue).Unpunto(x0 ,y0 )tale che g (x0 ,y0 )=0e
gx (x0 ,y0 )=0
sidice singolare o critico
gy (x0 ,y0 )=0
Sia H lamatricehessianadi g in(x0 ,y0 ).
Se det H > 0ilpuntosingolaresidice isolato (opunto ellittico)e l’equazione g (x,y )=0inunintornodi(x0 ,y0 )nonhaaltresoluzioni.
Se det H < 0ilpuntosingolaresichiama nodo (opuntodoppioordinario opunto iperbolico).Lacurva g (x,y )=0inunintornodi(x0 ,y0 )`e unionedeigraficididuefunzioni y = f1 (x)e y = f2 (x)intersecantesi in(x0 ,y0 ).Leduerettetangentiin (x0 ,y0 ) aigraficidi f1 e f2 hanno equazione
a(y y0 ) b (x x0 )=0
dove a e b sitrovanorisolvendol’equazione
a 2 gxx (x0 ,y0 )+2abgxy (x0 ,y0 )+ b2 gyy (x0 ,y0 )=0
Se det H =0ilpuntosingolaresidice parabolico einunintornodi (x0 ,y0 )l’analisidellacurvapu`oesseremoltocomplicata.
3 Studiarelanaturadell’origine,perlacurvadiequazione(lemniscatadiBernoulli) g (x,y )=(x 2 + y 2 )2 4(x 2 y 2 )=0
4 Datalacurvaalgebricadiequazione
(a)descriverelanaturadelpuntosingolare(0, 0);
(b) verificarechelacurva`esimmetricarispettoallabisettrice y = x eche`e contenutain �(x,y ) 2 R2 : x ≥ 2, y 2 [ �(x,y ) 2 R2 : x 2, y ≥ 2
(c) verificarechela(2.9)definiscein (−1, 2] un’unicafunzione y = y (x) diclasse C 1 aventeperasintotolarettadiequazione y = x + 4 3 eaventeunpuntodi minimolocalein x =0eunpuntodimassimolocalein x = 4 3 .
Tracciareungraficoqualitativodellacurvadiequazione(2.9).
5 Studiarelanaturadelpuntosingolare(0, 0)perlacurvaalgebrica(cardioide) (x 2 + y 2 ax)2 l 2 (x 2 + y 2 )=0 a,l 2 R,l> 0
lacuiequazioneincoordinatepolari`e
⇢ = ±l + a cos ✓
Inviluppodiunafamigliadicurve.Sia = (x,y,c)con(x,y ) 2 A, apertodi R2 , c 2 I ✓ R e derivabileconderivatecontinuein A ⇥ I Supponiamochel’equazione (x,y,c)=0 (2.10)
definiscaunafamigliadicurvepianedipendentidalparametro c.Sidice inviluppo dellafamigliaunacurvatangente,inognisuopuntononsingolare, aunacurvadellafamiglia.Seesiste,l’inviluppoditalefamigliasidetermina cercandodieliminareilparametro c nelsistema ( (x,y,c)=0 c (x,y,c)=0
Ingenerale,siottieneuninsiemedipuntidelpianodefinitodaun’equazione deltipo '(x,y )=0odaunacoppiadiequazioniparametrichedeltipo x = x(c), y = y (c).Taleinsiemepu`orisultarel’inviluppocercatomaanche unluogodi puntisingolari dellafamiglia;perdecidere,neicasipi`usemplici, sipu`ofareunaverificadiretta.
6 Determinare,seesiste,l’inviluppodellafamigliadicurve y = c (x c)3 ,c 2 R
7 Determinare,seesiste,l’inviluppodellafamigliadicirconferenze
8 Determinare,seesiste,l’inviluppodellafamigliadirette
9 Dellafamigliadicurve ⇣x 2 +(y c)2 ⌘ (x 4)+4x =0
determinare:
(a)l’eventualeinviluppo; (b)l’eventualeluogodipuntisingolari.
2.1Soluzioni
Testarispostamultipla
s1 O c
Infatti, h `ediclasse C 1 nelquadrante A = {(x,y ): x> 0,y> 0} ;inoltre (1, 1) 2 A e h (1, 1)=0. Poich´e hx (1, 1)= hy (1, 1)=1 =0
ilteoremadiDiniimplicachelacurvadiequazione h (x,y ) =0coincideconil graficodiunafunzione y = y (x)oanche x = x (y ).
s2 O d
Infattisiha gx (x,y )=2xy + y 2 ,gy (x,y )= x 2 +2xy
quindi m = gx (1, 1) gy (1, 1) = 3 3 = 1.
Esercizi
s1 Lafunzione F `ediclasse C 1 �R2 � e F (0, 1)=0 Inoltre:
Fy (x,y )= e x y 2y,Fy (0, 1)=2 e =0
PerilteoremadiDini,esisteun’unicafunzioneimplicita y = y (x),definitain unintorno I di x =0, taleche y (0)= 1ediclasse C 1 (I )
Perverificareche x =0`epuntostazionarioper y = y (x) epoideterminarne lanatura,occorrecalcolare y 0 (0) e y 00 (0) Convienealloraderivareduevolte l’identit`a ex y (x) + x 2 (y (x))2 e (x +1)+1 ⌘ 0
validain I. Sitrova,pensando y = y (x),
Sostituendo x =0, e y = y (0)= 1, siha
e (1 y 0 (0))+2y 0 (0) e =0
dacui y 0 (0)=0, confermandoche x =0`epuntostazionario.
Derivandola(2.12),siottiene ex y (1 y 0 )2 e
)2 2yy 00 ⌘ 0
Sostituendo x =0, e y = 1e y 0 = y 0 (0)=0, sitrovaper y 00 (0)l’equazione e ey 00 (0)+2+2y 00 (0)=0
dacui y 00 (0)= e +2 e 2 > 0
Essendo y 0 (0) =0e y 00 (0) > 0, concludiamoche x =0`epuntodiminimolocale.
s2 Poich´e g 2 C 2 (R) , siha F 2 C 2 �R2 � Inoltre F (0, 0)=0e
Fy (x,y )=3y 2 +1,Fy (0, 0)=1 =0
InbasealteoremadiDini,perogni λ =0, l’equazione
F (x,y )= y 3 + y + λg (x)=0
definisceun’unicafunzioneimplicita y = f (x) , diclasse C 2 inunintorno I di x =0etaleche f (0)=0 Intaleintornovalel’identit`a (f (x))3 + f (x)+ λg (x) ⌘ 0
Derivando,siottiene
Sostituendo x =0,f (0)=0,sitrova,essendo g 0 (0)=2,
Derivandoorala(2.13),siha
dacui,sostituendo x =0,f 0 (0)=0, f 0 (0)= 2λ e g 00 (0)=2, f 00 (0)= 2λ
IlpolinomiodiMaclaurindisecondogradodi f `e,pertanto,
s3 Senonvienerichiestalacontinuit`a,lefunzioniimplicitesonoinfinite:alcune sonomostrateinfigura2.1.
Figura2.1
s4 Lafunzione g `edefinitaediclasse C 1 �R2 � . Siha g (0, 0)=0einoltre gy (x,y )=1+6y 5 , gy (0, 0)=1 =0
LeipotesidelteoremadiDinisonosoddisfatte,perci`oesisteun’unicafunzione implicita y = y (x) diclasse C 1 inunintorno I di x =0etaleche y (0) =0. Essendopoi
gx (x,y )=2xpx2 +1+ 2x3 px2 +1 , gx (0, 0)=0
siha
y 0 (0)= gx (0, 0)
gy (0, 0) =0
confermandoche x =0`epuntostazionario.Perdeterminarnelanaturaderiviamo duevoltel’identit`a,validain I , y (x)+(y (x))6 + x 2 px2 +1 ⌘ 0
Sitrova,semprepensando y = y (x):
epoi,
5x2 px2 +1 x4 (x2 +1) px2 +1 ⌘ 0
Sostituendo x =0e y (0)= y 0 (0)=0, siricava y 00 (0)+2 ⌘ 0
dacui y 00 (0)= 2;concludiamoche x =0`epuntodimassimo(locale).
s5 Lafunzione g =(x + y )ey + xy 1`ediclasse C 1 �R2 � . Siha g (1, 0) =0e inoltre
gy (x,y )=(1+ x + y ) ey + x, gy (1, 0)=3 =0
InbasealteoremadiDiniesisteun’unicafunzioneimplicita y = y (x) , diclasse C 1 inunintorno I di x =1etaleche y (1)=0. Essendopoi
gx (x,y )= ey + y , gx (1, 0)=1 siha y 0 (1)= gx (1, 0) gy (1, 0) = 1 3
Ildi↵erenzialeprimodi y in x =1`equindi
dy (1)= 1 3 dx
Percalcolareildi↵erenzialesecondooccorrecalcolare y 00 (0) Atalescopo, deriviamoduevoltel’identit`a (x + y (x))ey (x) + xy (x) 1 ⌘ 0
Copyright © 2025 Zanichelli editore S.p.A., via Irnerio 34, 40126 Bologna [29956] www.zanichelli.it
Diritti riservati
I diritti di pubblicazione, riproduzione, comunicazione, distribuzione, trascrizione, traduzione, noleggio, prestito, esecuzione, elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale e di adattamento totale o parziale su supporti di qualsiasi tipo e con qualsiasi mezzo (comprese le copie digitali e fotostatiche), sono riservati per tutti i paesi. L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.
Fotocopie e permessi di riproduzione
Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di strumenti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E. del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E.
Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume.
L e richieste vanno inoltrate a:
Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi), C orso di Porta Romana 108, 20122 Milano e-mail: autorizzazioni@clearedi.org e sito web: www.clearedi.org
L’autorizzazione non è concessa per un limitato numero di opere di carattere didattico riprodotte nell’elenco che si trova all’indirizzo www.zanichelli.it/chi-siamo/fotocopie-e-permessi
L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La loro fotocopia per i soli esemplari esistenti nelle biblioteche è consentita, anche oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, né le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei e archivi, la facoltà di cui all’art. 71-ter legge diritto d’autore. Per permessi di riproduzione, diversi dalle fotocopie, rivolgersi a ufficiocontratti@ zanichelli.it
Licenze per riassunto, citazione e riproduzione parziale a uso didattico con mezzi digitali La citazione, la riproduzione e il riassunto, se fatti con mezzi digitali, sono consentiti (art. 70 bis legge sul diritto d’autore), limitatamente a brani o parti di
Redazione: Natalia Thea Nanni
Impaginazione: CompoMat, Configni (RI)
Copertina: – Progetto grafico: Falcinelli & Co., Roma – Immagine di copertina: mediaphotos/iStockphoto
Prima edizione: luglio 2011 Seconda edizione: aprile 2025
opera, a) esclusivamente per finalità illustrative a uso didattico, nei limiti di quanto giustificato dallo scopo non commerciale perseguito. (La finalità illustrativa si consegue con esempi, chiarimenti, commenti, spiegazioni, domande, nel corso di una lezione); b) sotto la responsabilità di un istituto di istruzione, nei suoi locali o in altro luogo o in un ambiente elettronico sicuro, accessibili solo al personale docente di tale istituto e agli alunni o studenti iscritti al corso di studi in cui le parti di opere sono utilizzate; c) a condizione che, per i materiali educativi, non siano disponibili sul mercato licenze volontarie che autorizzano tali usi.
Zanichelli offre al mercato due tipi di licenze di durata limitata all’anno accademico in cui le licenze sono concesse:
A) licenze gratuite per la riproduzione, citazione o riassunto di una parte di opera non superiore al 5%. Non è consentito superare tale limite del 5% attraverso una pluralità di licenze gratuite,
B) licenze a pagamento per la riproduzione, citazione, riassunto parziale ma superiore al 5% e comunque inferiore al 40% dell’opera. Per usufruire di tali licenze occorre seguire le istruzioni su www.zanichelli.it/licenzeeducative
L’autorizzazione è strettamente riservata all’istituto educativo licenziatario e non è trasferibile in alcun modo e a qualsiasi titolo.
Garanzie relative alle risorse digitali
Le risorse digitali di questo volume sono riservate a chi acquista un volume nuovo: vedi anche al sito www.zanichelli.it/contatti/acquisti-e-recesso le voci Informazioni generali su risorse collegate a libri cartacei e Risorse digitali e libri non nuovi Zanichelli garantisce direttamente all’acquirente la piena funzionalità di tali risorse. In caso di malfunzionamento rivolgersi a assistenza@zanichelli.it
La garanzia di aggiornamento è limitata alla correzione degli errori e all’eliminazione di malfunzionamenti presenti al momento della creazione dell’opera. Zanichelli garantisce inoltre che le risorse digitali di questo volume sotto il suo controllo saranno accessibili, a partire dall’acquisto, per tutta la durata della normale utilizzazione didattica dell’opera. Passato questo periodo, alcune o tutte le risorse potrebbero non essere più accessibili o disponibili: per maggiori informazioni, leggi my.zanichelli.it/fuoricatalogo
Soluzioni degli esercizi e altri svolgimenti di compiti assegnati
Le soluzioni degli esercizi, compresi i passaggi che portano ai risultati e gli altri svolgimenti di compiti assegnati, sono tutelate dalla legge sul diritto d’autore in quanto elaborazioni di esercizi a loro volta considerati opere creative tutelate, e pertanto non possono essere diffuse, comunicate a terzi e/o utilizzate economicamente, se non a fini esclusivi di attività didattica.
Diritto di TDM
L’estrazione di dati da questa opera o da parti di essa e le attività connesse non sono consentite, salvi i casi di utilizzazioni libere ammessi dalla legge. L’editore può concedere una licenza. La richiesta va indirizzata a tdm@zanichelli.it
Ristampa: prima tiratura 5 4 3 2 1 2025 2026 2027 2028 2029
Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo: Zanichelli editore S.p.A. Via Irnerio 34 40126 Bologna fax 051293322
e-mail: linea_universitaria@zanichelli.it sito web: www.zanichelli.it
Prima di effettuare una segnalazione è possibile verificare se questa sia già stata inviata in precedenza, identificando il libro interessato all’interno del nostro catalogo online per l’Università.
Per comunicazioni di tipo commerciale: universita@zanichelli.it
Stampa:
per conto di Zanichelli editore S.p.A. Via Irnerio 34, 40126 Bologna
Sandro Salsa, Annamaria Squellati
Esercizi di Analisi matematica 2
Seconda edizione
Inquadra e scopri i contenuti
Questa raccolta di esercizi prepara a sostenere
l’esame di Analisi matematica 2 e, grazie ai richiami di teoria, può essere usata da sola o affiancare qualunque manuale. È divisa in otto capitoli:
1.Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
2.Funzioni implicite
3.Ottimizzazione
4.Integrazione multipla
5.Linee e integrali di linea
6.Superfici e integrali di superficie
7.Successioni e serie di funzioni
8.Equazioni differenziali.
Sandro Salsa è professore emerito di Analisi matematica presso il Politecnico di Milano.
Annamaria Squellati è stata docente di Matematica presso l’Università Bocconi e il Politecnico di Milano.
Ogni capitolo è suddiviso in sezioni, ciascuna delle quali si apre con Richiami di teoria e prevede lo svolgimento preliminare di Esempi, che servono da guida alle principali tecniche risolutive.
Ogni sezione propone esercizi divisi per tipologia, con soluzione alla fine del capitolo: Test a risposta multipla, Esercizi più tradizionali, domande di tipo Vero o falso e quesiti che richiedono di Trovare l’errore; concludono il capitolo Ulteriori esercizi, in genere più impegnativi e spesso di carattere teorico, le cui soluzioni sono disponibili sul sito del libro.
Le risorse digitali universita.zanichelli.it/salsasquellati2_2e
A questo indirizzo sono disponibili le risorse digitali di complemento al libro.
Per accedere alle risorse protette è necessario registrarsi su my.zanichelli.it inserendo il codice di attivazione personale contenuto nel libro.
Libro con Ebook
Chi acquista il libro nuovo può accedere gratuitamente all’Ebook, seguendo le istruzioni presenti nel sito.
L’accesso all’Ebook e alle risorse digitali protette è personale, non condivisibile e non cedibile, né autonomamente né con la cessione del libro cartaceo.