UMG FACULTAD DE HUMANIDADES ESTUDIANTE: YENSI MIGDALIA LÓPEZ LÓPEZ DOCENTE: INGRID TAMARA ORTIZ
Revista digital
YENSI MIGDALIA Lógica matemática LÓPEZ LÓPEZ Lic. Ingrid Tamara Ortiz
Página | 1 P.E.M. EN FÍSICA-MATEMÁTICA
ÍNDICE ¿Qué es la lógica?......................................................................3-6 Principios de la lógica……………………………………………………………..7-9 Conjuntos……………………………………………………………………………...10-13 Solución de problemas con conjuntos………………………………14-16 Cálculo proposicional…………………………………………………………..17-22 Formalización de las proposiciones………………………………...23-26 Equivalencias lógicas……………………………………………………..……27-31 Razonamiento deductivo e inductivo………………………………32-35 Proposiciones categóricas…………………………………………………36-39 Estructura del silogismo……………………………………………………40-45 "Calidad, cantidad y distribución de las proposiciones categóricas"…………………………………………………………………….….46-50 "Cuadro de oposición"…………………………………………………………51-54 Leyes de inferencia……………………………………………….…………..55-62 Validez de un argumento mediante la tabla de verdad……………………………………………………………………………..63-66 Leyes de inferencia y leyes de equivalencia………………….67-71 Cuantificadores………………………………………………..…………………72-76 E-grafía……………………………………………………………………………………….7 Página | 2
¿QÚE ES LA LOGICA?
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¿QÚE ES LA LOGICA? Lógica es una ciencia formal que estudia la estructura o formas del pensamiento humano (como proposiciones, conceptos y razonamientos) para establecer leyes y principios válidos para obtener criterios de verdad. El fundador de la lógica fue Aristóteles PENSAMIENTO El pensamiento es un fenómeno psicológico racional, objetivo y externo derivado del pensar para la solución de problemas. El pensamiento es la actividad y creación de la mente; se dice de todo aquello que es traído a la existencia mediante la actividad del intelecto.
CARACTERISTICAS DE LA LÓGICA
ESTRUCTURA DEL PENSAMIENTO
Rama de la ciencia mayor
CONCEPTO: representación de gráficos en la mente JUICIO: afirmación negación de la idea.
o
RAZONAMIENTO: compara juicios verdad.
para
encontrar
la
El objeto de estudio es el argumento Busca la veracidad y el rigor Es analítico Es preciso y exacto.
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¿Cómo desarrollar la lógica? Para el desarrollo efectivo de la lógica, es necesario realizar ejercicios regularmente, resolver problemas lógicos y juegos, que es mucho más divertido, aquí te doy un ejemplo de un juego para desarrollar la lógica.
Sumar dieciocho Es un juego de posición para dos jugadores. Para jugar solo se necesitan seis fichas, tres de cada color y un tablero con 22 casillas como el siguiente:
Reglas del juego: Cada jugador, por turno, irá poniendo una ficha en alguna de las casillas inferiores, con el propósito de que los números enfrentados con sus tres fichas sumen dieciocho. Si colocadas las tres fichas ningún jugador consigue la suma 18, irán cambiándolas por turno de casillas según les interese. Gana el jugador que consigue primero sumar 18. Te comparto un link donde puedes encontrar más juego de lógica, espero te sirvan ✨ Juegos de lógica y razonamiento para niños y adultos (soymatematicas.com)
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Sopa de letras Encuentra 8 palabras relacionadas con el tema anterior ¿Qué es la lógica? y ¡Coloréalas a tu gusto! P V F N T Q F K B O M E A A S
S E J J U K H J N R T E R L O
M G N F E C D H M C N O G K L
U B D S H L K G L O C B U I O
D D J V A D X F J S O I M N O
A S W H G M L D F G N N E S T
R X J D S X I S B V C M N J N
I C J J F C V E J J E I T D E
S V V X V B M A N K P H O M I
T N R J S E F Z H T T Y G S M
O N J U A H R X D C O G E N A
T K W I M J D D J S C O R D N
E Y V C A V ,M C A H H T A N O
L K K I C V W V H D F A C F Z
E E L O G I C A L Ñ P O I U A
S Y P M U N G Q W E R T T Y R
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PRINCIPIOS DE LA LÓGICA
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PRINCIPIOS DE LA LÓGICA En lógica existe una rama muy importante, de la cual hacen uso las ciencias en general. Estos principios lógicos, son los que al final de cuentas explican la validez del pensar. PRINCIPIO DE IDENTIDAD Por más parecidos que sean dos objetos, siempre habrá algo que los diferencie. “Todo objeto es idéntico a sí mismo” Ejemplo: En el mundo hay muchas personas, pero no porque todas sean personas quiere decir que sean iguales, hay algo que diferencia a una de la otra.
PRINCIPIO DE TERCERO EXCLUIDO Cuando dos juicios se oponen, uno debe ser verdadero y el otro falso, excluyendo una tercera posibilidad, en otras palabras entre verdad o falsedad no existe un término medio. Ejemplo: “El día esta nublado” “El día no está nublado”
PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN “una cosa no puede ser y no ser al mismo tiempo”. Es evidentemente la forma contraria al principio de identidad. Ejemplo: una línea no puede ser recta y curva al mismo tiempo
PRINCIPIO RAZÓN SUFICIENTE “Todo objeto debe tener una razón suficiente”. Toda cosa debe tener una causa que explique en forma suficiente su existencia. Ejemplo: Las matemáticas pertenecen a las ciencias exactas porque siempre dan resultados precisos.
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Los principios de la lógica se han perdido Ayuda a encontrar a cada principio con la frase que lo identifica, uniéndolos con una línea.
Principio de identidad
“una cosa no puede ser y no
Principio de
“Todo objeto es idéntico a
ser al mismo tiempo”
tercero excluido
sí mismo”
Principio razón suficiente
“Entre verdad o falsedad no existe un término medio”
Principio de no contradicción
“Todo objeto debe tener una razón suficiente”
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CONJUNTOS
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Conjuntos Conjunto: agrupación de elementos con características en común, los elementos pueden ser; números, letras, personas, entre otros. Representación de un conjunto
Conjunto vacío
Para representar un conjunto se utilizan letras mayúsculas. Las más usuales son las primeras letras del abecedario.
Conjunto que no tiene elementos y se representa:
{ }𝑜∅
Significado de los símbolos que se encuentran en los conjuntos ∪= Reunión, agrupar los elementos (A U B) ∩= Intersección, elementos que pertenecen al conjunto A y B “repiten” − = (A-B) solo los elementos de A (B-A) solo los elementos de B 𝑨´ = Complemento de A, que elementos le faltan al conjunto A, para ser igual al universal (A U B) 𝑩´ = Complemento de B, que elementos le faltan al conjunto B para ser igual al universal (A U B) (𝑨 ∩ 𝑩)´= A intersección B complemento, que elementos le faltan a la intersección para ser igual al universal (A U B)
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Ejemplo: Dados los conjuntos 𝐴 = {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔} 𝐵 = {𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖 } Calcular: 𝑨 ∪ 𝑩= {c,d,e,f,g,h,i} 𝑨 ∩ 𝑩= {f,g}
A-B= {c,d,e} B-A= {h,i}
c d
f
h
g e
i
A
B
𝑨´ = {h,i} 𝑩´ = {c,d,e} (𝑨 ∩ 𝑩)´= {c,d,e,h,i}
PRÁCTICA DE SOMBREADO
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Sabías
?
------Que
Georg Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo xix y principios del xx. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.
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SOLUCION DE PROBLEMAS CON CONJUNTOS
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Pasos para solucionar problemas con conjuntos
Lee la letra con mucha atención y determina a cuántos conjuntos de personas, letras o números corresponden los datos que se te ofrecen.
Realiza un diagrama de Venn que te permita dibujar los datos que estás leyendo.
Recuerda que tienes que definir cuánto es el “universo” es decir, la totalidad de elementos que se mencionan en la situación problemática.
Coloca en los diferentes sectores datos que te aporta el problema.
los números con los
Comienza a razonar la letra y a escribirla en forma de ecuación. Después de todo, lo que estás buscando es una incógnita.
Suma todos los datos, el resultado debe ser igual al universo (para verificar si lo que se realizo está correcto).
Analiza la respuesta numérica y redacta la respuesta final al problema
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Ejemplo Estamos en una asamblea de futuros copropietarios de un edificio a la que asisten 100 personas. Sabemos que 35 son hombres que viven solos, 24 son mujeres que viven solas y 20 son hombre y mujeres que viven en parejas. El resto de los asistentes, son inversores que no planifican vivir en el edificio sino que comprarán como inversión. ¿Cuántos inversores hay presentes en la asamblea?
Datos 35 hombres que viven solos 24 mujeres que viven solas 20 son hombres y mujeres que viven en parejas
x+35+20+24=100 x + 79 = 100 x = 100 – 79 x = 21
Respuesta: el número de asistentes que son inversores es 21
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Cálculo proposicional
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¿Qué es cálculo proposicional?
Cálculo proposicional. Denominado también lógica proposicional: se define como la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.
PROPOSICIÓN Una proposición es una frase declarativa o juicio al que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso. Existen proposiciones simples y compuestas.
PROPOSICIÓN SIMPLE
PROPOSICIÓN SIMPLE
Una proposición simple es toda aquella en la que no hay operadores lógicos. O sea, aquellas cuya formulación es, justamente, simple, lineal, sin nexos ni negaciones, sino que expresa un contenido de manera sencilla.
Por el contrario, las proposiciones compuestas son aquellas que contienen algún tipo de operadores lógicos. Generalmente poseen más de un término, o sea, están formadas por dos proposiciones simples entre las cuales hay algún tipo de vínculo lógico condicionante.
Por ejemplo: “El mundo es redondo”, “Las mujeres son seres humanos”, “Un triángulo tiene tres lados”
Por ejemplo: “Ella es abogada y viene de Irlanda” (pˆq), “Llegué tarde porque había mucho tráfico” (p→q)
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Alfabeto del cálculo proposicional El valor veritativo o valor de verdad de una proposición es un valor que indica en qué medida es verdadera (V) o falsa (F), a veces representado como 1 y 0. Las variables proposicionales identifican proposiciones de valor desconocido, para representarlas se utilizan letras finales del alfabeto latino (p, q, r, s...), con subíndices en los casos que sea necesario.
Los símbolos de operaciones del cálculo proposicional son: Negación (¬). Representa el “no” del lenguaje natural, también expresiones como “es falso que”, “no se cumple que”, etc. Conjunción (ᴧ). Representa expresiones como: “y”, “pero”, “aunque”, “sin embargo”, etc. Disyunción (V). Representa expresiones como: “o”, “al menos uno”, etc.
Implicación (⇒). Representa expresiones como: “entonces”, “solo si”, etc.
Doble implicación (⇔). Representa expresiones más complejas, donde se expresa que dos proposiciones tienen la misma veracidad. “si y solo si”
Los símbolos de operaciones del cálculo proposicional también llamados conectores lógicos son palabras o expresiones que sirven para relacionar las ideas dentro de un texto. En ese sentido, su presencia es fundamental para que un texto sea mucho más que un conjunto de oraciones independientes y autónomas.
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Tablas de verdad Conjunción
Disyunción
Es verdadero si el antecedente y el consecuente son verdaderos
Es verdadero si una o las dos proposiciones son verdaderas
Doble implicación
Implicación
Es verdadero si el antecedente u consecuente son verdaderos o ambos falsos
Es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente falso
Negación Su valor de verdad es contrario del original
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El resultado de la tabla de verdad puede ser: Tautología: Proposición compuesta en la que todas las combinaciones de valores son verdaderos Contradicción: en la cual todas las combinaciones de valores son falsos Contingencia: la combinación de valores son verdaderos y falsos.
Construcción de tablas de verdad Para la construcción de mi tabla de verdad se utiliza una formula la cual nos ayuda a saber los reglones que tendrá nuestra tabla, la fórmula es
2𝑛
Donde n es el número de
proposiciones de que se tendrá, si se tienen dos proposiciones será 22 = 4 si se tienen 3 sería 23 = 8 y así sucesivamente Ejemplos:
22 = 4
1. 𝑝 ∨ ~𝑞 p v v f f
~𝑞 f v f v
q v f v f
𝑝 ∨ ~𝑞 v v f v
23 = 8
1. (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) p
q
r
(𝑝 ∨ 𝑞)
𝑝 ∨ 𝑟)
(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
v v v v f f f f
v v f f v v f f
v f v f v f v f
v v v v v v f f
v v v v v f v f
v v v v v f f f
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Crucigrama 6 1 5
7
2
3 4
Horizontales 1. en la cual todas las combinaciones de valores son falsos 2. Representa expresiones más complejas, donde se expresa que dos proposiciones tienen la misma veracidad. “si y solo si” 3. Nombre del signo (⇒) 4. la combinación de valores son verdaderos y falsos. Verticales 5. Representa expresiones como: “o”, “al menos uno”, etc 6. (¬). Representa el “no” del lenguaje natural, también expresiones como “es falso que”, “no se cumple que”, etc 7. Nombre del signo (ᴧ).
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Formalización De las proposiciones
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Formalización de las proposiciones Formalizar una proposición significa abstraer su forma lógica, es decir, revelar su estructura sintáctica a través del lenguaje formalizado de la lógica. En términos más sencillos, formalizar una proposición equivale a representarla simbólicamente. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, s. Hay proposiciones simples y proposiciones compuestas. Una proposición simple es una afirmación que consta de una sola oración gramatical, una oración gramatical es una unidad de la lengua integrada por dos elementos básicos: el sujeto y el predicado. Y una proposición compuesta contiene dentro de sí más de una proposición simple y los elementos que sirven para conectar las proposiciones se conocen como conectivo lógicos, organizándolos con signos de agrupación. Algunas formas de cómo se lee en el lenguaje natural: Negación (¬). “es falso que p”, “no se cumple que p”, etc. Conjunción (ᴧ). “p y q”, “p pero q”, “p aunque q”, “p sin embargo q”, etc. Disyunción (V) “p o q”, “p al menos q”, etc. Implicación (⇒). “si p entonces q”, “p solo si q”, etc. Doble implicación (⇔).“p si y solo si q” Página | 24
Pasos: Definir las proposiciones simples con las letras “p” “q” “r” Identificar el conectivo lógico Formalizar
Ejemplos: 1. Lenguaje natural: Ningún gato puede ladrar p= algún gato puede ladrar Es una negación, aunque en el ejemplo no aparece el conectivo “no” el “ningún” expresa negación, por lo tanto se representa: Formalización: ~p 2. Lenguaje natural: 24 es un número par o es múltiplo de 10 Observamos que hay dos proposiciones simples, las identificaremos con letras minúsculas p= 24 es un número par q= es múltiplo de 10 A estas dos proposiciones las une un conectivo lógico que es “o” entonces es una disyunción y se representa de la siguiente manera: Formalización: p v q 3. Si copias en el examen, no aprobaras y, o bien serás expedientado o bien te quedarás castigado todos los días por la tarde. En el ejemplo se observan más de dos proposiciones simples las identificaremos con letras minúsculas p= copias en el examen q= aprobaras r= serás expedientado s= te quedarás castigado todos los días por la tarde Nos damos cuenta que el ejemplo tiene signos de puntuación y estos nos indican el uso de corchetes, identificamos los conectivos lógicos y los formalizamos: Formalización: 𝒑 → [¬𝒒^(𝐫 𝐯 𝐬)]
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Una ficha muy útil PARA TI Y tus alumnos
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Equivalencias LÓGICAS
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EQUIVALENCIAS LÓGICAS Si dos argumentos diferentes hablan de lo mismo y comparten el mismo concepto o significado, decimos entonces que dichos argumentos son lógicamente equivalentes. Si dos argumentos son lógicamente equivalentes, entonces también poseen los mismos valores de verdad. Las equivalencias lógicas nos permiten simplificar una expresión y expresarla de forma más sencilla Como saber si dos proposiciones son equivalentes: Se verifica mediante la tabla de verdad Ejemplo: 𝒑 ∧ 𝒒
𝒑∧𝒒
Se construye la tabla de verdad a estas proposiciones p v v f f
q v f v f
𝑝∧𝑞 v f f f
p v v f f
q v f v f
𝑝∧𝑞 v f f f
Nos podemos dar cuenta que la última columna de la tabla de verdad de las dos proposiciones son idénticas, por lo tanto estas proposiciones son equivalentes y el signo de equivalencia es: ≡
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LEYES LÓGICAS Utilizadas para determinar el valor de verdad de una proposición, también para simplificar proposiciones compuestas.
¿Cuáles son las LEYES equivalentes? Ley de transposición Permite que se cambie el antecedente con el consecuente en una implicación y ambos son negados 𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝 se lee: p entonces q, equivale a no p entonces no q. Ley de doble negación Si tenemos una expresión dos veces negada será equivalente a la expresión sin la negación: ~~𝑝 ≡ 𝑝 se lee: no no p, equivale a p Ley de idempotencia Se habla de igualdad, si se tienen dos expresiones iguales unidas mediante el conectivo lógico conjunción y disyunción, equivale a la misma expresión: 𝑝∨𝑝 ≡ 𝑝 𝑝∧𝑝≡𝑝 Leyes conmutativas Se conserva el conectivo y se cambia el orden de las expresiones, se puede aplicar en la conjunción, disyunción y en la bicondicional o doble implicación: 𝑝∨𝑞 ≡ 𝑞∨𝑝 𝑝∧𝑞 ≡𝑞∧𝑝 𝑝↔𝑞≡𝑞↔𝑝 Leyes asociativas Forma en la que se van asociar las proposiciones. Se conserva el conectivo y los enunciados simples de la proposición, sólo varía el lugar de los signos de agrupación. Se cumple únicamente con conectivos de conjunción, disyunción y con una proposición de tres enunciados: (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) Leyes distributivas El primer enunciado acompañado del conectivo que lo prosigue, se opera con cada enunciado dentro de paréntesis con un respectivo paréntesis, separado por el segundo conectivo de la proposición. Se cumple con varios conectivos, excepto con la doble implicación: 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)
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Leyes de Morgan Se debe negar al primero, negar al segundo y cambia de conectivo, este se cumple con la conjunción y disyunción, entonces la conjunción pasa a ser disyunción y lo contrario. ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 Leyes condicionales Se debe negar al primero, la condicional se convierte de disyunción y la segunda proposición se copia: 𝑝 → 𝑞 ≡∼ 𝑝 ∨ 𝑞 Leyes bicondicionales Se convierte en dos implicaciones utilizando la condicional y estas dos implicaciones se unen con la conjunción: 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) Leyes de absorción p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q
Simplificación de todo lo anterior
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Ejemplo de simplificación de proposiciones utilizando las leyes equivalentes La simplificación de una proposición, consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de leyes equivalentes Cuando se simplifica una proposición se tiene que ir escribiendo al lado que ley se utilizó: ∼ [(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝] ∨ 𝑞
Ley condicional 𝑝 → 𝑞 ≡∼ 𝑝 ∨ 𝑞
∼ [∼ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑝] ∨ 𝑞
Ley de Morgan ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞
∼ [∼ (∼ 𝑝) ∨ 𝑞) ∨ 𝑝] ∨ 𝑞
Ley de doble negación ~(~𝑝) ≡ 𝑝
∼ [(𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ 𝑝] ∨ 𝑞
Ley asociativa (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
∼ [𝑝 ∨∼ 𝑞 ∨ 𝑝] ∨ 𝑞
Ley de idempotencia 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
∼ [𝑝 ∨∼ 𝑞] ∨ 𝑞
Ley de Morgan y ley de doble negación
[∼ 𝑝 ∧ 𝑞] ∨ 𝑞
Ley de absorción total p ∨ (p ∧ q) ≡ p
𝑞
Dato curioso Equivalencia
lógica
En
lógica,
las
declaraciones p y q son lógicamente equivalentes
si
tienen
el
mismo
contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de
verdad
en
todos
los
modelos (Mendelson 1979:56).
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Razonamientos deductivos e inductivos
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RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS E INDUCTIVOS El razonamiento lógico se refiere al uso de entendimiento para pasar de unas proposiciones a otras partiendo de lo ya conocido o de lo que creemos conocer a lo desconocido o menos conocido. Hay dos tipos de razonamiento importantes: inductivo y deductivo. Razonamiento deductivo
El razonamiento deductivo El razonamiento o deducción argumento deductivoeso un deducción donde premisasdonde apoyan es unlas argumento de premisas forma absoluta la las apoyana de conclusión. forma absoluta a la conclusión. Parten de lo general para hacer afirmaciones Parten de lo general particulares. para hacer afirmaciones particulares.
Razonamiento inductivo
En el razonamiento inductivo las premisas apoyan de forma parcial a la conclusión
Parten de lo particular para conclusiones generales
Ejemplo
Ejemplo
Premisa 1: el perro es mamífero y cuadrúpedo
Premisa 1: En mi departamento hace calor. Premisa 2: En el departamento de mi vecino hace calor. Conclusión: Hace calor en todo el edificio en el que vivo.
Premisa 2: el gato es mamífero y cuadrúpedo Conclusión: los mamíferos son cuadrúpedos
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CARACTERISTICAS DEL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Un razonamiento es deductivo si la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Cuando se deriva necesariamente de las premisas es válido y, si es válido, significa que, siendo las premisas verdaderas, las conclusiones, también lo serán. El razonamiento deductivo es proposicional, de tipo silogístico, de relaciones... De este tipo de razonamiento, se pueden obtener razonamientos válidos e inválidos.
CARACTERISTICAS DEL RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Son válidos si, cuando son las premisas Verdaderas, las conclusiones también lo son. De lo contrario, los razonamientos serían inválidos. Un argumento es válido cuando es imposible que su conclusión sea falsa, siendo sus premisas verdaderas.
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BUSCA LAS PALABRAS EN LA SOPA DE LETRAS E
B
J
R
H
J
N
S
G
N
C
K
E
N
D
O
W
D
T
A
G
S
B
C
I
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I
Premisa Conclusión
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A
V
B
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B
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D
F
G
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B
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Entendimiento
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I
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A
S
A
A
S
Razonamiento Deductivo Inductivo
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PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
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¿QUÉ ES PROPOSICION CATEGÓRICA? En lógica, una proposición categórica, o declaración categórica, es una proposición que afirma o niega que todos o algunos de los miembros de una categoría (el término sujeto) están incluidos en otra (el término predicado). En las proposiciones categóricas influye el razonamiento deductivo: cuyas premisas nos dan pruebas contundentes para llegar a una conclusión de verdad, puede ser válido o invalido Válido: cuando las premisas y conclusión son verdaderos
En las proposiciones se tendrá un sujeto y un predicado
Sujeto: indica la clase o conjunto de cosas de la que se niega o afirma
Predicado: aquello que el enunciado afirma del sujeto Ejemplo: Los animales son seres vivos Sujeto: animales Predicado: seres vivos Sujeto se representa con la letra (s) el predicado se representa con la letra (p)
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4 formas típicas de las proposiciones categóricas Universal afirmativa a Nos dice que todos los miembros de una clase están incluidos en la otra, es decir todos los miembros del sujeto están incluidos en el predicado. Ejemplo: Todos los hombres son mentirosos Se identifica el sujeto y el predicado Todos los hombres(s) son mentirosos (p) Cuando se encuentra la palabra todos nos dice que es universal afirmativa Forma: Todo s es p Figura:
S
P
El rayado nos indica que el conjunto está vacío por lo tanto el conjunto s que es el sujeto se quedó vació porque todo s paso a p
Universal negativa
e
Nos dice que la primera clase está totalmente excluida de la segunda Ejemplo: Ningún perro vuela (s) perro (p) vuela Cuando se encuentra la palabra ningún nos dice que es universal negativa Forma: Ningún s es p Figura:
S
P
El rayado nos indica que el conjunto está vacío, y aquí vemos la intersección vacía porque estos conjuntos no se unen Ningun s es p
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Particular afirmativa
i
Algunos miembros de la primera clase están incluidos en la segunda (algunos sujetos están incluidos en el predicado) Ejemplo: Algunos carros son blancos (s) carros (p) blancos Cuando se encuentra la palabra algún o algunos nos dice que es particular afirmativa. Forma: Algún s es p Figura:
La X nos indica que por lo menos hay un elemento, en la intersección encontramos la x porque algún s es p
Particular negativa
o
Algunos miembros de la primera clase no están incluidos en la segunda (algunos sujetos no están incluidos en el predicado) Ejemplo: Algunos animales no son felinos (s) animales (p) felinos Cuando se encuentra la palabra algún…no o algunos…no nos dice que es particular negativa Forma: Algún s no es p Figura:
La X nos indica que por lo menos hay un elemento, la x la encontramos solo en el conjunto s porque algún s no es p
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Estructura del silogismo categórico
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Silogismo Categórico ¿Qué es Silogismo categórico? Son silogismos compuestos por tres proposiciones categóricas. Son un tipo de argumento deductivo, es decir, un argumento en el cual la conclusión se sigue necesariamente de las premisas (suponiendo que el argumento es válido).
El silogismo categórico se forma a partir de dos premisas y una conclusión, que siempre son proposiciones categóricas, y tres términos: el medio el menor y el mayor. La conclusión siempre va a estar constituida por el término menor y el término mayor.
El término menor es el sujeto (S) de la conclusión El término mayor es el predicado (P) de la conclusión El término medio (M) lo tienen las dos premisas más no la conclusión. La conclusión también puede situarse al principio en el medio o final del razonamiento del razonamiento; simplemente la conclusión estará separada de las premisas, por un punto o un punto y coma de las premisas y éstas se encontrarán unidas por una cópula.
Figuras del silogismo Figuras son las formas que reviste el silogismo según la posición que el término medio ocupe en las premisas. Hay cuatro figuras posibles, puesto que el término medio puede ser: 1º sujeto de la mayor y predicado de la menor; 2º predicado de la mayor y de la menor; 3º sujeto de la mayor y de la menor; 4º predicado de la mayor y sujeto de la menor
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Modo Modo del silogismo es la forma que toma éste de acuerdo con la cantidad y la cualidad de las premisas y la conclusión. Primero se debe identificar qué tipo de proposición categórica son las premisas y la conclusión ya ordenadas Universal afirmativa
A
Universal negativa
E
Particular afirmativa
I
Particular negativa
O
Validez Las formas validas de un argumento resultan de la combinación de modos y figuras Es posible hallar 64 modos diferentes que puede presentar un silogismo categórico. Considerando las figuras se encuentra que es posibles 256 formas posibles del silogismo. Ciertamente no todas las formas son válidas. Tradicionalmente se han considerado las formas válidas las siguientes:
Para determinar la validez de un argumento primero se debe determinar el modo y la figura, teniendo eso se busca en la tabla donde aparecen las formas validas, si el modo aparece en la tabla con la figura correspondiente se dice que el silogismo es válido, si no aparece es porque no es válido.
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Ejemplo: Determinar la figura, modo y validez del siguiente razonamiento: Algunos suecos son militares; entonces algunos suecos son psicópatas; puesto que todos los militares son psicópatas.
Paso a paso 1. Localizar primero la conclusión Todos los militares son psicópatas 2. La conclusión tiene dos clases, se identifica el sujeto y el predicado. Todos los militares son psicópatas S P 3. Buscar la premisa que tiene el predicado de la conclusión, esa será la primera Algunos suecos son psicópatas 4. Lo queda es la segunda premisa que contiene el sujeto de la conclusión Algunos suecos son militares 5. Identificar el término mayor, menor y medio en las premisas y conclusión ya ordenadas. Algunos suecos son psicópatas P
M
Algunos suecos son militares M
S
Todos los militares son psicópatas S P Término mayor: Psicópatas Término menor: Militares Término medio: suecos
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6. Se verifica en la tabla de figuras a que numero de figura corresponde Tenemos
M es P M es S S es P Corresponde a la 3ra figura 7. Verificamos el modo a que corresponde las premisas y la conclusión Algunos suecos son psicópatas I Algunos suecos son militares I Todos los militares son psicópatas A MODO: IIA 8. Para determinar la validez buscamos en la siguiente tabla la tercera figura y el modo IIA
En la tabla no aparece, por lo tanto el argumento es inválido o también se puede decir no válido. VALIDEZ: No válido
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En
lógica,
un
silogismo
es
un
método
de
razonamiento, tanto inductivo como deductivo. Su nombre proviene del griego syllogismós y fue estudiado por la filosofía de la antigüedad griega, especialmente por Aristóteles (384-322 a. C.), quien fuera el primero en formularlo.
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"Calidad, cantidad y distribución de las proposiciones categóricas" y El "Cuadro de oposición"
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Cualidad, cantidad y distribución De toda proposición categórica de forma típica se dice que tiene una 'calidad' y una 'cantidad'. CUALIDAD La calidad, de una proposición es afirmativa o negativa según que la inclusión de clases sea afirmada o negada por la proposición. Así, la. Universal afirmativa y la particular afirmativa A –I son ambas afirmativas en cualidad, mientras que la universal negativa y la particular negativa son ambas negativas E-O. Se acostumbra usar las letras 'A', 'E', 'I', 'O' como nombres de las cuatro formas típicas de proposiciones categóricas, la universal afirmativa, la universal negativa, la particular afirmativa y la particular negativa, respectivamente.
CUALIDAD AFIRMATIVA: La proposición afirma A-I latín AffIrmo CUALIDAD NEGATIVA: La proposición niega E-O latín NEgO
CANTIDAD La cantidad de una proposición es universal o particular según que la proposición se refiera a todos o solamente a algunos de los miembros de la clase designada por el término sujeto. Así, las proposiciones A y E son universales en cantidad, mientras que las proposiciones 1 y O son particulares. Observemos que los nombres 'universal afirmativa', 'universal negativa', 'particular afirmativa' y 'particular negativa' describen inequívocamente las cuatro formas típicas mencionando primero su cantidad y luego su calidad.
CANTIDAD UNIVERSAL: La proposición se refiere a todos A-E CANTIDAD PARTICULAR: La proposición se refiere a algunos I-O
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El esqueleto o esquema general de una proposición categórica de forma típica consta de cuatro partes: primero, el cuantificador; luego, el término sujeto; luego, la cópula, y, finalmente, el término predicado. Podemos escribir así este esquema:
Cuantificador (término sujeto) cópula (término predicado)
CUANTIFICADOR
COPULA
Elemento gramatical que expresa cantidad, número o grado en diversas formas.
Es el verbo ser o estar que va a unir al sujeto y el predicado SUJETO
PREDICADO
Elemento que realiza una acción dentro de una proposición, este puede ser una persona, animal o cosa.
Aquello que se afirma o niega del sujeto en una proposición.
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La distribución Una proposición distribuye un término si se refiere a todos los miembros de la clase designada por ese término.
TODO S ES P
Forma: A
Se refiere a la totalidad de su
Análisis: Sujeto distribuido y
sujeto, pero no a la totalidad de su predicado, necesariamente.
predicado indistribuido. Representación final: A: SDPI
NINGUN S ES P
Forma: E
La proposición se refiere tanto a la totalidad del sujeto como a la del predicado aunque
Análisis: Sujeto distribuido y
negativamente.
predicado distribuido. Representación final: E: SDPD
ALGUN S ES P
Forma: I
Tanto la clase S como la P, están indistribuidos, porque se refiere únicamente a algunos elementos
Análisis: Sujeto indistribuido y predicado indistribuido.
de la clase S
Representación final: I: SIPI
ALGUNOS S NO SON P
Forma: O
En tanto que se refiere solamente a algunos de la clase
Análisis: Sujeto indistribuido y predicadodistribuido.
S, éste está indistribuido. El predicado está distribuido,
Representación final: I: SIPD
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DIAGRAMA DE RESUMEN
CONCLUSIÓN
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CUADRO DE OPOSICIÓN CONTRADICTORIAS: opuestas en cantidad y cualidad AyO EeI CONTRARIAS: Opuestas en cualidad ambas universales AyE SUBCONTRARIAS: particulares
Opuestas
en
cualidad
ambas
IuO SUBALTERNAS: opuestas en cantidad, ambas afirmativas y ambas negativas AeI EyO
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Reglas del cuadro de oposicion Nos sireven para saber si nuestras proposiciones son verdaderas o falsas PRIMERA REGLA Las proposiciones contradictorias no pueden ser, ni simultáneamente verdaderas, ni simultáneamente falsas Son contradictorias A y O A: todo hombre es mortal
V
O: algún hombre no es mortal
F
SEGUNDA REGLA Las proposiciones contrarias no pueden ser, simultáneamente verdaderas, pero si pueden ser simultáneamente falsas Son contrarias A y E A: todo cuerpo es pesado
V
E: Ningún cuerpo es pesado
F
TERCERA REGLA Las proposiciones Sub contrarias no pueden ser simultáneamente falsas, pero si pueden ser simultáneamente verdaderas Son subcontrarias I y O I: Alguna mujer es guatemalteca
V
O: alguna mujer no es guatemalteca
V
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CUARTA REGLA De la verdad de la universal se infiere la verdad del subalterno, de la falsedad de este se infiere la falsedad del universo. Son subalternos A y I A: Todo jubilado es maestro
F
I: Algún jubilado es maestro
V
Conclusión A Verdadero A Falso E Verdadero E falso I verdadero I falso O verdadero O falso
A
E
I
O
V F F IND IND F F V
F IND V F F V IND F
V IND F V V F IND V
F V V IND IND V V F
Ejemplo A: Todos los bebés lloran
V
E: Ningún bebé llora
F
I: Algunos bebés lloran
V
O: Algunos bebés no lloran
F
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Crucigrama 4 3 1 6 5
2
HORIZONTALES 1. opuestas en cantidad y cualidad 2. Opuestas en cualidad ambas particulares VERTICALES 3. Es el verbo ser o estar que va a unir al sujeto y el predicado 4. Elemento gramatical que expresa cantidad, número o grado en diversas formas. 5. Opuestas en cualidad ambas universales 6. opuestas en cantidad, ambas afirmativas y ambas negativas
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LEYES DE INFERENCIA
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LEYES DE INFERENCIA Las leyes de inferencia se utilizan para determinar la validez de un argumento al deducir su conclusión a partir de las premisas. Trabajaremos con 5 leyes de inferencia: Modus Ponendo Ponens Modus Tollendo Tollens Modus Tollendo Ponens Ley de silogismo disyuntivo Ley de silogismo hipotético Modus Ponendo Ponens Afirmando el antecedente, afirmo el consecuente
Premisa 1: toma una implicación como primera premisa Premisa 2: toma la primera componente de la implicación La conclusión es la segunda componente de la implicación Ejemplo: P1: si llueve me mojo
P1: 𝑝 → 𝑞
p: llueve
P2: llueve
P2: p
q: me mojo
∴ me mojo
∴ q
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Modus Tollendo Tollens Negando el antecedente, niego el consecuente Premisa 1: toma una implicación como primera premisa Premisa 2: toma la negación de la segunda componente de la implicación La conclusión es la negación de la primera componente. Ejemplo: P1: si llueve me mojo
P1: 𝑝 → 𝑞
p: llueve
P2: no me mojo
P2: ~𝑞
q: me mojo
∴ no llueve
∴ ~𝑝 Modus Tollendo Tollens
Negando el antecedente, afirmo el consecuente Premisa 1: toma una disyunción como primera premisa Premisa 2: toma la negación de alguna componente de la disyunción Conclusión: se toma la otra componente de la disyunción Ejemplo: P1: voy al cine o a la piscina P2: no voy al cine ∴ voy a la piscina P1: voy al cine o a la piscina P2: no voy a la piscina ∴ voy al cine
P1: 𝑝 ∨ 𝑞 P2: ~𝑝 ∴ q P1: 𝑝 ∨ 𝑞 P2: ~𝑞 ∴ p
p: voy al cine q: voy a la piscina Página | 57
Ley de silogismo disyuntivo Premisa 1: toma una disyunción como primera premisa Premisa 2: toma una implicación, en donde la primera componente aparece en la disyunción. Premisa 3: es una implicación, en dónde la primera premisa es la componente restante de la disyunción, Conclusión: aparece una disyunción componentes de las implicaciones.
de
las
Ejemplo: P1: es piedra caliza o granito P2: si es piedra caliza es sedimentaria
P1: 𝑝 ∨ 𝑞 P2: 𝑝 → 𝑟
P3: si es granito es ígnea
P3: 𝑞 → 𝑟
∴ es sedimentaria o es ígnea
∴ 𝑟∨𝑠
segundas
Modus Tollendo Tollens
Premisa 1: toma una implicación como primera premisa Premisa 2: toma otra implicación donde la primera componente es igual a la segunda componente de la primera implicación Conclusión: es una implicación en donde la primera componente es la primera componente de la primera premisa y de segunda componente toma a la segunda componente de la segunda premisa. Ejemplo: P1: si estudias aseguras tu futuro
P1: 𝑝 → 𝑞
P2: si aseguras tu futuro será fácil el camino ∴ si estudias será fácil el camino
P2: 𝑞 → 𝑟 ∴ 𝑝→𝑟
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EJEMPLO: La energía interna de un átomo puede cambar con continuidad o cambia solo a saltos. La energía interna de un átomo no puede cambiar con continuidad.
Lenguaje simbólico: p: La energía interna de un átomo puede cambar con continuidad q: cambia solo a saltos
P1.
𝒑∨𝒒
P2. ∼ 𝒑 ∴
𝒒
Ley de inferencia: Modus Tollendo Tollens Conclusión: Cambia solo a saltos
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DIFERENTES CASOS EN LOS QUE SE PUEDEN ENCONTRAR LAS DIFERENTES LEYES DE INFERENCIAS Modus Ponendo Ponens
Modus Tollendo Tollens
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Modus Tollendo Ponens
Ley de silogismo Disyuntivo
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Ley de silogismo hipotético
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“Determinar la validez De un argumento utilizando tablas de verdad"
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Validez de un argumento Un argumento es válido cuando todas las premisas son verdaderas y la conclusión también lo es. En el argumento nos dan proposiciones y una conclusión, las proposiciones están separadas por medio de un signo de puntuación que es la “,” y las premisas por medio del punto “.”
Veamos el siguiente ejemplo Los fantasmas existen o los fantasmas son producto de la imaginación. No es cierto que los fantasmas existen. ¨Por lo tanto, los fantasmas son producto de la imaginación. 1. Identificamos las proposiciones simples (recordando que se representan con las letras p, q, r…) p: Los fantasmas existen q: los fantasmas son producto de la imaginación 2. Teniendo las proposiciones simples, hallamos las premisas, teniendo en cuenta que se separan por medio del punto. P1: 𝑝 ∨ 𝑞 P2: ∼ 𝑝 3. Escribimos la conclusión, esta se puede encontrar al final, en medio o al inicio del argumento, pero este lo identificaremos acompañado con la palabra por lo tanto, por lo que. ∴𝑞
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4. Formalizar: se utilizan (paréntesis, llaves, corchetes) para identificar las premisas, es decir la primer premisa irá en paréntesis, al unirlo con la segunda se utilizaran corchetes y la conclusión queda fuera. Formalizamos: uniremos a las premisas mediante la conjunción. [(𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧∼ 𝑝] → 𝑞 5. Teniendo la formalización, procedemos a realizar la tabla de verdad. Para saber cuántos reglones debe tener nuestra tabla, nos debemos guiar de cuantas proposiciones simples encontramos en nuestro argumento se tienen dos por lo tanto 22 = 4 nuestra tabla tendrá 4 escribimos los valores de verdad y operamos según el conectivo lógico. p
q v v f f
v f v f
(𝑝 ∨ 𝑞 )
∼𝑝
[(𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧∼ 𝑝]
[(𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧∼ 𝑝] → 𝑞
v v v f
f f v v
f f v f
v v v v
Tablas de verdad
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6. Ya tenemos el resultado de la tabla de verdad, lo encontramos en la última columna y nos damos cuenta que todas son verdaderas. Es una tautología. 7. Hemos llegado a lo que estábamos buscando, sabiendo que es una tautología entonces el argumento ES VÁLIDO
Importante La Tabla de la verdad es una herramienta imprescindible en la recuperación de datos en las bases de datos como Internet con los motores de búsqueda o en una biblioteca con sus ficheros informatizados. Asimismo se utilizan para programar simulaciones lógicas de inteligencia artificial con lenguajes propios. También en modelos matemáticos predictores: meteorología, marketing y otros muchos
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Leyes de inferencia Y las leyes de equivalencia lógica
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Cómo se aplican las leyes de la inferencia y las leyes de equivalencia lógica, para probar la validez de los argumentos.
Un argumento en el cual las premisas involucradas proporcionan bases concluyentes para la verdad de la conclusión, se llama argumento deductivo. Las leyes de inferencia se utilizan para determinar la validez de un argumento al deducir su conclusión a partir de sus premisas. Ejemplo: Si no me dan el trabajo, entonces, sigo viviendo con mis padres. Si sigo viviendo con mis padres, entonces no aprendo a ser independiente. Aprendo a ser independiente o seré un mantenido. No seré un mantenido. Por lo tanto, me dan el trabajo.
1.
Encontrar las premisas que conformen el argumento (Las premisas se separan por el punto) Premisa 1: (~𝑝 → 𝑞) Premisa 2: (𝑞 → ~𝑟) Premisa 3: (𝑟 ∨ 𝑠) Premisa 4: (~𝑠) Conclusión: p
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2. Aplicar las leyes de inferencia a las premisas 1, 2, 3 y 4 para generar nuevas premisas y deducir la conclusión p En este ejercicio se utilizaran solamente 3 leyes de inferencia como ejemplo, es preferible que se tengan a la mano las leyes
Premisa 1: (~𝑝 → 𝑞) Premisa 2: (𝑞 → ~𝑟) Premisa 3: (𝑟 ∨ 𝑠) Premisa 4: (~𝑠) 3. Entre la premisa 3 y 4 se puede utilizar el modo Tollendo Tollens Premisa 5: r MTP entre 3 y 4 4. Como no es p, que es la conclusión se siguen creando premisas Premisa 6: ~𝑞 Premisa 7: p
MTT entre 2 y 5 MTT entre 1 y 6
Conclusión: p 5. La premisa 7 es igual a la conclusión p, si se llega a esto se puede decir que:
EL ARGUMENTO ES VÁLIDO.
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RESUMEN DE LAS LEYES DE INFERENCIA
Ejemplo 2 P1: (𝑞 ∨ 𝑝) → 𝑟 P2: 𝑡 → (𝑝 ∨ 𝑞 ) P3: t ∴ r P4: 𝑝 ∨ 𝑞 P5: 𝑞 ∨ 𝑝 P6: r
MPP entre 2 y 3 ley conmutativa 4 MPP entre 1 y 5
ARGUMENTO VÁLIDO
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Ayuda a encontrar la definición de leyes de inferencia Las leyes de inferencia
Se utilizan para determinar la validez de un argumento al deducir su conclusión a partir de sus premisas.
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Cuantificadores
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CUANTIFICADORES Un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden).
Los cuantificadores más importantes son:
CUANTIFICADOR UNIVERSAL SIMBOLO
∀
Indica que algo es cierto para todos los individuos. Sintaxis: (∀xa) A a se le llama el Alcance del cuantificador ∀x. Se puede leer: ∀
Para todo Para cualquier Para cada
Forma escrita: (∀ ×∈ ℝ)(× +𝟑 > 𝟕) Se puede leer de tres formas:
Para todo número real x, x más 3 es mayor que 7 Para cualquier número real x, x más 3 es mayor que 7 Para cada número real x, x más 3 es mayor que 7
Nos damos cuenta que lo que cambia es como leemos el cuantificador universal ∀
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CUANTIFICADOR existencial SIMBOLO
∃
Indica que algo es cierto para loalgunos s individuos. Sintaxis: (∃x a) A a se le llama el Alcance del cuantificador ∃x Se puede leer: ∃
Existe algún Algunos Existe por lo menos
Forma escrita: (∃𝒚 ∈ ℕ)(𝒚 − 𝟑 < 𝟕) Se puede leer de tres formas:
Existe algún número entero y, y menos 3 es menor que 7 Para algún número entero y, y menos 3 es menor que 7 Existe por lo menos un número entero y, y menos 3 es menor que 7
Lo que cambia es la forma que leemos el cuantificador existencial ∃
Cuantificadores forma matemática UNIVERSAL
EXISTENCIAL ∃ ×∈ ℝ; 𝒙𝟐 + 𝟓 > 𝟔
∀ ×∈ ℕ;× +𝟓 = 𝟕
×= 𝟐
×= 𝟑
𝟐𝟐 + 𝟓 > 𝟔
𝟑+𝟓≠𝟕
𝟒+𝟓> 𝟔
FALSO
𝟗>𝟔 Verdadero
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NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES
UNIVERSAL La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de un cuantificador existencial, negando la condición, ∀x∈A/p(x) la negación sería ∃x∈A/~p(x) EXISTENCIAL La negación de un cuantificador existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal, negando la condición. ∃x∈A/p(x) negación ∀x∈A/~p(x)
UNIVERSAL
EXISTENCIAL
(∀x∈A)(x-6=4)
(∃x∈A)(x+6=7)
(∃x∈A)~(X-6=4)
(∀x∈A)~(x+6=7)
~(X-6≠4)
~(X+6≠7)
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Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar, 8 de noviembre de 1848 - Bad Kleinen, 26 de julio de 1925) fue un matemático, lógico y filósofo alemán. Se le considera el padre de la lógica matemática y de la filosofía analítica, concentrándose en la filosofía del lenguaje y de las matemáticas. El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores (∀y ∃) que permite cuantificar nuevos argumentos.
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E-GRAFÍA https://concepto.de/proposiciones-simples-y-compuestas/#ixzz7UvrZv0sH Cálculo Proposicional - EcuRed Lógica - Qué es, concepto y diferentes tipos de lógica Historia: introducción a la teoría de conjuntos (unam.mx) Formalización 3 (separata).pdf - Google Drive Tipos de razonamiento ppt.pdf - Google Drive (261) Lección 3 Modo, figura y validez del silogismo categórico - YouTube (261) SILOGISMOSCATEGORICOS (Forma estándar, figura y modo) - YouTube Silogismo - Qué es, concepto, tipos, reglas y ejemplos (266) VALIDEZ DE UN ARGUMENTO. Profesor: Edgar León Castro - YouTube LÓGICA MATEMATICA: TABLA DE LA VERDAD (logicamates.blogspot.com)
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