Teorinės mechanikos dėsnių ir metodų taikymas inžinerijoje Statika. Kinematika. Dinamika, 2022

VYTAUTODIDŽIOJOUNIVERSITETAS

Eglė Jotautienė, Jonas Bozys

Mečys Palšauskas, Kristina Lekavičienė

TEORINĖS MECHANIKOS DĖSNIŲ IR

METODŲ TAIKYMAS INŽINERIJOJE

Statika. Kinematika. Dinamika

Mokomoji knyga

EglėJotautienė,JonasBozys

MečysPalšauskas,KristinaLekavičienė

TEORINĖS MECHANIKOS DĖSNIŲ IR METODŲ TAIKYMAS INŽINERIJOJE

Statika.Kinematika.Dinamika

MOKOMOJIKNYGA

KAUNAS,2022

Recenzentai:

doc. dr. Sigitas Petkevičius, Vytauto Didžiojo universitetas, Vilniaus Gedimino technikos universitetas

dr.VaidasBivainis,VytautoDidžiojouniversitetas

Mokomoji knyga apsvarstyta ir rekomenduota leidybai Vytauto Didžiojo Žemės ūkio akademijos Žemės ūkio inžinerijos ir saugos instituto posėdyje 2021 m. rugpjūčio 27 d. (protokolo Nr. 12) ir Žemės ūkio akademijos tarybos posėdyje 2021 m. spalio 5 d. (protokoloNr.21).

Antrasisleidimas

Bibliografinė informacija pateikiama Lietuvos integralios bibliotekų informacinės sistemos (LIBIS)portaleibiblioteka.lt.

ISBN978-609-467-509-6(internetinis)

https://doi.org/10.7220/9786094675096

©EglėJotautienė,2022

©JonasBozys,2022

©MečysPalšauskas,2022

©KristinaLekavičienė,2022

©VytautoDidžiojouniversitetas,2022

5.1.

8.

7.2.Greičioirpagreičioskaičiavimas,

8.1.Besisukančiokūnokampinisgreitis,kampinispagreitisirsūkių

8.2.

ĮVADAS

Mechanikos mokslo raida labai glaudžiai susijusi su visuomenės gamybinių jėgų vystymosi istorija. Tobulėjant technikai ir technologijoms, inžinieriams keliami reikalavimai nuolat didėja. Daug techninių klausimų tenka spręsti savarankiškai, todėl jau pirmuose kursuose studentai privalo gerai išmokti pagrindines disciplinas, tokias kaip: matematika, fizika,teorinėmechanika,medžiagųatsparumasirpan.

Techninių mokslų studentams teorinė mechanika yra ne tiek studijų tikslas, kiek priemonėpraktikojepasitaikantiemsuždaviniamsspręsti.

Antrajame knygos leidime pateikta visų dalyko dalių – statikos, kinematikos ir dinamikos–sunkiausuvokiamiteoriniaiirpraktiniaiklausimai:

▪ Statikos: plokščiosios jėgų sistemos ir kūnų sistemos veikiančių jėgų pusiausvyra, plokščiųjų santvarų skaičiavimas, kūnų pusiausvyra vertinant trintiesjėgas,erdvinėsjėgųsistemospusiausvyrosnagrinėjimas;

▪ Kinematikos: taško judėjimo parametrinių lygčių analizė ir jo kinematinių parametrų nustatymas, slenkančio ir besisukančio kūno kinematika, sudėtinio taško judesio kinematika, plokščiąjį judesį atliekančio kūno taškų greičiai ir pagreičiai;

▪ Dinamikos: taško judėjimo diferencialinių lygčių sudarymas ir judesio tyrimas, taško judėjimo kiekio bei mechaninės sistemos kinematinės energijos teoremų taikymas,virtualiųjųposlinkiųprincipasirjotaikymas.

Sprendžiantteorinės irtaikomosiosmechanikosuždaviniussusiduriamasuproblema, kad nors ir turint labai daug teorinių žinių, sprendžiant inžinerinius uždavinius pakankamai sunku jas taikyti. Knygoje pateikiama įvairiausių teorinių žinių pritaikymo pavyzdžių, savikontrolėsklausimųiružduočiųspręstisavarankiškai.

Taijauantrasisšiosmokomosiosknygos leidimas,kuristobulinantstudijųprocesąyra papildytasirskirtasmechanikosinžinerijosprofiliostudentams,tačiaujagalėsnaudotisirkitų inžinerijosstudijųstudentai,studijuojantysteorinęartaikomąjąmechaniką.

Autoriai dėkingi recenzentams doc. dr. Sigitui Petkevičiui, dr. Vaidui Bivainiui, redaktorei Vitai Siaurodinienei, maketuotojai Aldonai Bagdonienei, Daivai Vasiliauskienei, kurių dėka knyga tapo kokybiškesnė.

1.PLOKŠČIOSIOS JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS LYGTYS IR

JŲ TAIKYMAS

1.1. Jėga

Jėga (�� ⃗ ) – tai mechaninės kūnų sąveikos matas. Ji apibūdinama didumu (moduliu), pridėtiestaškuirjėgosveikimokryptimi(vektoriu).

Jėgospridėtiestaškas–taikūnotaškas,kuriamesutelktasvisasjėgosveiksmas.Tiesė, išvestaperjėgospridėtiestaškąjėgosveikimokryptimi,vadinamajėgosveikimotiese.Pakeitus jėgospridėtiestašką,jėgospoveikiskonstrukcijaipasikeičiaišesmės.

Jėgos vektorius (�� ⃗ ) reiškia jėgos veikimo kryptį konstrukcijoje. Tai kryptis, kuria pradėtųjudėtijėgosveikiamaskūnas,ikišiopoveikiobuvęspusiausviras.Jėgosvektoriusgali būtižymimas�� ⃗ ar F.Jėgosdidumasgalibūtižymimas|��⃗|.

Tarptautinėjevienetųsistemoje(SI)jėgosmatavimovienetasyraniutonas(N).Vienas niutonas yra jėga, kuri vieno kilogramo masei suteikia vieno metro per sekundę kvadratu pagreitį:

1N=1kg⋅1m/s2 . (1.1)

Jėgosterminų,kaipirjosžymėjimobūdų,mechanikojeestiganadaug.Pagrindiniaijėgos terminaiyrašie(Žiliukas,2019):

- Aktyviojijėga– F (P);

- Ašinėjėga – F;

- Atramos(reakcijos)jėga – R;

- Atstojamoji(sutelktoji)jėga– Q(R);

- Gniuždymojėga(darkitaipvadinamaįraža)– S;

- Gravitacijosjėga– G;

- Įcentrinėjėga–����,��į��;

- Išcentrinėjėga–����š;

- Inercijosjėga – ����;

- Išskirstytokrūviointensyvumojėga – q;

- Kirpimojėga – ��(����);

- Kritinėjėga – ������;

- Lenkimojėga – F;

- Masėsjėga– F;

- Normalinėjėga– N;

- Skaičiuojamojijėga– F;

- Skersinėjėga– F;

- Stabdymojėga– F;

- Statinėkeliamojijėga–����;

- Sukimojėga– F;

- Tamprumojėga–������������(����);

- Tempimojėga(darkitaipvadinamaįraža) – S;

- Vidinėjėga– P;

- Trintiesjėga–������(��max).

1.2. Jėgos projekcija ašyje

Statikosuždaviniųsprendimometodaipagrįstijėgosprojekcijosašyjesąvoka(Paliūnas, 1997).Jėgos�� ⃗ projekcijosašyse����ir���� yraskaliariniaidydžiai,lygūskryptiniųatkarpų Fx ir Fy dydžiams. Iš jėgos pradinio ir galinio taškų brėžiami statmenys į ašį x (1.1 pav.) ir gaunama atkarpaOA.Šiatkarpaxašyjevadinamajėgosprojekcijaįašįxiržymima Fx.JiyralygiOA. ���� =����. (1.2) B

y x 0

A C

1.1pav.Jėgosprojekcijaįašis

Jėgosprojekcijos Fx didumasrandamasišstataustrikampio��������: cos�� = ���� ���� = ���� ��, ���� =��cos��,

čia F – jėgosdidumas(modulis).

Jėgos F projekcijayra:

1)teigiama,kai�� <90°;

2)neigiama,kai�� >90°;

3)lyginuliui,kai�� =90°(jėgastatmenataiašiai);

4)lygijėgos F didumui,kai F yralygiagretisuxašimi.

Visaisatvejais,kaijėgosprojekcijoskryptisnesutampasuteigiamaašieskryptimi,jėgos projekcijaturineigiamąženklą.

Kadangiskirtingosjėgosgaliturėtivienododidumoirženklo(teigiamąarbaneigiamą) projekcijas, todėl jėgai nustatyti nepakanka žinoti jos projekciją į vieną ašį. Būtina turėti jos projekcijasįdvistatmenasvienakitaiašisirtosjėgospridėtiesvietą(tašką).

Jėgosprojekcijos���� didumasapskaičiuojamaspagalšiąformulę:(?)

ApskaiciuojamassuminisjegosFdidumas:

1.3. Jėgos momentas

(1.5)

Veikianti kūną jėga dažnu atveju stengiasi jį pasukti. Šiam jėgos sukimo veiksmui nusakyti vartojama jėgos momento apie tašką sąvoka. Taškas, kurio atžvilgiu skaičiuojamas momentas,vadinamasmomentocentru.Momentasžymimassimboliu M,kuriodimensijayra Nm

Jėgos�� ⃗ sukimoefektaspriklausonuotosjėgosdidumo,peties l ilgioirsukimokrypties. Norint apskaičiuoti jėgos momentą taško atžvilgiu (1.2 pav.), būtina iš šio taško (momento centro)nubrėžtistatmenį��1 jėgos F veikimotiesei.Atkarpa 1l vadinamajėgos F petimitaškoA atžvilgiu.

1.2pav.JėgosmomentastaškoA(a)irtaškoB(b)atžvilgiu

JėgosmomentastaškoAatžvilgiu(1.2apav.)žymimas����(�� ⃗ ),oindeksasArodotašką, apie kurį skaičiuojamas momentas. Šis taškas vadinamas momento centru. Jėgos momentas taškoatžvilgiulaikomasteigiamu,jeigujėgasukakūnąpriešlaikrodžiorodyklę(1.2apav.).Jei jėgasukapagallaikrodžiorodyklę–laikomasneigiamu(1.2bpav.).

Jėgos momentas taško atžvilgiu yra algebrinis dydis ir lygus jėgos didumo ir peties sandaugai:

(1.6)

1.4. Ryšiai ir jų reakcijos

Kūno padėties arjudėjimo apribojimai vadinami ryšiais. Jėga, kuria ryšys veikia kūną, neleisdamas jam pasislinkti, vadinama ryšių reakcijos jėga (R) (Hibbeler, 2004). Vienas iš pagrindinių statikos uždavinių – nustatyti reakcijos jėgas (Federavičius ir kt., 2009)

Dažniausiaipasitaikančiųryšiųreakcijosnurodytos1.1lentelėje.

Rysiotipas

Glotnuspavirsius (trintisneįvertinama)

Siurkstuspavirsius

Neslankuscilindrinislankstas (sarnyras)

Paslankuscilindrinislankstas (sarnyras)

Rysioreakcija Nezinomųjų rysių skaicius

Pastabos: N –normalinėjėga; Ft –trintiesjėga,visadanukreiptapriešingakryptimi,neikūnas juda; R –ryšiųreakcijosjėga; M –jėgųmomentas.

1.5. Susikertančių jėgų sistemos pusiausvyra

Susikertančiųjėgų,kuriųveikimotiesėskertasivienametaške,sistemayrapusiausvyra, kai jėgų atstojamoji lygi 0 (Federavičius ir kt., 2003) Nagrinėjamu atveju jėgų �� ⃗ 1, �� ⃗ 2, ir �� ⃗ veikimotiesėskertasivienametaške C, kaipparodyta1.3paveiksle

x

1.3pav.Jėgųveikimotiesiųkirtimasisvienametaške

Sistemospusiausvyrainagrinėtisudaromosdvijėgųpusiausvyroslygtys:

(1.7)

Išsprendusjėgųpusiausvyroslygtis,apskaičiuojaminežinomidydžiai.

Uždavinių sprendimo eiga (Federavičiusirkt.,2003):

1. Inžinerinėskonstrukcijosskaičiavimoschemojepažymimekoordinačiųašis;

2. Pašalinamekūnąvaržančiusryšius,pakeičiantjuosryšiųreakcijomis;

3. Sudaromedviinžinerinėskonstrukcijospusiausvyroslygtis;

4. Šiaslygtisišsprendžiameapskaičiavęieškomusdydžius.

1.1 pavyzdys. Dviejųstrypųvienigalaiįtvirtintišarnyriškai,kitisujungtitaške,kuriame pridėtajėga F =10kN.Apskaičiuokiteryšiųreakcijosjėgas.

SPRENDIMAS. Inžinerinės konstrukcijos schemoje pažymime koordinačių ašis x ir y (1.4pav).

1.4pav.Strypųtvirtinimasirsujungimas

Pašaliname kūną varžančius ryšius, pakeisdami juos ryšių reakcijomis �� ⃗ 1 ir �� ⃗ 2.

Sudaromedvijėgųpusiausvyroslygtis:

���� =0; ��2 cos45°+��cos30°=0;

���� =0; ��2 cos45°+��1 ��cos60°=0.

(a) (b)

Apskaičiuojame reakcijos jėgas. Iš lygties (a) randame R2 =12,25 kN. Pagal lygtį (b) apskaičiuojame R1=13,66kN.

1.2 pavyzdys. Dviejųstrypųvienigalaiįtvirtintišarnyriškai,kitisujungtitaške,kuriame pridėtajėga F =20kN.Apskaičiuokiteryšiųreakcijosjėgas.

SPRENDIMAS. Inžinerinės konstrukcijos schemoje pažymime koordinačių ašis x ir y (1.5pav.).

1.5pav.Strypųtvirtinimasirsujungimas

Pašaliname kūną varžančius ryšius, pakeisdami juos ryšių reakcijomis �� ⃗ 1

Sudaromedvijėgųpusiausvyroslygtis:

Kadangiabiejoselygtyseyrapodunežinomuosius,taiišlygties(a)išreiškiame R1:

(c) (a) (b)

Gautąreikšmęįrašomeįlygtį(b):

Pagallygtį(a)apskaičiuojame R1: R1=–20,01kN.

Gauta ryšių reakcijos jėgos R1 vertė su minuso ženklu rodo, kad jėgos kryptis yra priešinganurodytai1.5paveiksle.

1.6. Plokščiosios jėgų sistemos pusiausvyra

Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema yrapusiausvyroje, jeigu visų jėgų projekcijų koordinačiųašysesumoslygiosnuliuiirvisųjėgųmomentųlaisvaipasirinktotaškoatžvilgiu sumalyginuliui(Federavičiusirkt.,2003):

∑���� =0; ∑���� =0; ∑��0 =0

Uždavinio sprendimo teisingumui įvertinti sudarome ir išsprendžiame momentų lygtį apie bet kurį kitą pasirinktą tašką, per kurį neitų reakcijų jėgų veikimo tiesės. Kai tikrinimo lygtyjeteigiamųΣ1irneigiamųΣ2dydžiųsumosbuslygios,galimatvirtinti,kadryšiųreakcijos apskaičiuotosteisingai,t.y.Σ1+Σ2=0.Priešinguatvejugausimenesąryšį,t.y.Σ1+Σ2=Δ.

Tokiuatvejupagalnurodytątikslumolygmenį0,2%reikiaįvertintipaklaidą δ:

Vertinant išskirstyto krūvio poveikį konstrukcijai, jis pakeičiamas sutelktąja jėga Q. Išskirstytaskrūvisapibūdinamasjointensyvumu q (N/m).

Kai išskirstyti krūviai tolygiai pasiskirsto tiesės atkarpoje (1.6 pav.), apskaičiuojamas sutelktosiosjėgos Q modulis:

1.6pav.Išskirstytųkrūviųtolyguspasiskirstymastiesėsatkarpoje

Jėgos�� ⃗ kryptissutampasukrūviointensyvumo q kryptimi.

Kai išskirstyti krūviai tiesės atkarpoje pasiskirsto pagal tiesinį dėsnį (1.7 pav.), sutelktosiosjėgos Q modulisapskaičiuojamastaip:

1.7pav.Išskirstytųkrūviųtiesėsatkarpojepasiskirstymaspagaltiesinįdėsnį

Šioišskirstytokrūviointensyvumas q yrakintamasisdydis,didėjantisnuonulioiki��������

Vienąarabiprojekcijųlygtisgalimapakeistimomentųlygtimisapietaškus,esančiusne vienojetiesėje. Išsudarytųtrijųpusiausvyroslygčių galimaapskaičiuoti ne daugiaukaip tris nežinomuosius.

Uždavinių sprendimo eiga:

1. Inžinerinėskonstrukcijosskaičiavimoschemojepažymimekoordinačiųašis.Vieną iš koordinačių ašių būtina nubrėžti statmenai kuriai nors nežinomai reakcijos jėgai.Parodomeveikiančiasjėgasirmomentus;

2. Pašaliname kūną varžančius ryšius, pakeisdami juos ryšių reakcijomis. Pastaba: ryšiųreakcijosjėgųveikimokryptysyranesvarbios;

3. Išskirstytąkrūvįpakeičiameatstojamąja(sutelktąja)jėgairjąapskaičiuojame;

4. Sudarome inžinerinės konstrukcijos pusiausvyros lygtis. Rašant momentų lygtį, momentųcentrupasirinkti tašką,kuriamesusikertadvinežinomosreakcijųjėgos.

5. Išsprendžiame šias lygtis apskaičiuodami ieškomus dydžius. Skaičiavimuose gautusrezultatusapvalinameikiketuriųskaičiųpokablelio;

6. Patikriname ir įvertiname, ar teisingai išspręstas pusiausvyros uždavinys. Tam sudarome papildomą momentų lygtį apie bet kurį kitą momentų tašką (pvz., C), kurio nekerta reakcijos jėgų veikimo tiesės. Tikrinimo esmė ta, kad teisingai apskaičiavus išskirstyto krūvio atstojamosios jėgos dydį ir ryšių reakcijas, tikrinimolygtisvirstatapatybe0=0.Taipbustada,kaitikrinimolygtyjeteigiamų dydžiųsuma  1 irneigiamųdydžiųsuma  2 buslygios.Tadagalimetvirtinti,kad  1 + 2 =0.Jeiguskaičiavimorezultatuosešiostapatybėsnegauname,fiksuojame nesąryšį,t.y. Δ = +  2 1

Tokiuatvejupagalnurodytąskaičiavimotikslumolygmenį,kurisyra0,2%,įvertiname paklaidą:

Jeigupaklaidosdydisyramažesnisnei 0,2%,taikonstrukcijospusiausvyraapskaičiuota teisingai. Jeigu paklaidos dydis lygus arba didesnis už nurodytą tikslumo lygmenį 0,2 %, uždaviniosprendinysatliktasneteisingaiirjįbūtinaperspręstibeigautiteisingąrezultatą.

1.3 pavyzdys. Vienalytę inžinerinę konstrukciją (1.8 pav.) veikia jėga F = 14 kN, jėgų porosmomentas M =8kNmirišskirstytosjėgos,kuriųintensyvumas qmax=3kN/m. l =3m. Konstrukcijosmatmenysduotimetrais.Apskaičiuokitekonstrukcijosatramųreakcijas RA ir RB Skaičiavimotikslumolygmuo0,2%.

1.8pav.Inžinerinėkonstrukcija

SPRENDIMAS Inžinerinės konstrukcijos schemoje parodome jėgų porų momentus M, veikiančias (��;��) ir ryšių reakcijų jėgas (������;������;����), parenkame koordinačių sistemą ir pažymime jos ašis. Išskirstytą krūvį pakeičiame viena jėga ��, kuri yra lygiagrečių jėgų �� atstojamoji:

Inžinerineikonstrukcijaisudarometrispusiausvyroslygtis:

Pagal(c)lygtįapskaičiuojame:

��⋅1 ��⋅cos60°⋅3+��⋅cos30°⋅2+�� cos60° 3+cos30° 5 = 4,5 14⋅0,5⋅3+14⋅0,866⋅2+8 0,5 3+0,866 5 =2,7012 kN

Pagal(b)lygtįapskaičiuojame:

Pagal(a)lygtįapskaičiuojame:

PATIKRINIMAS. Sudarome jėgų momentų pusiausvyros lygtį apie laisvai pasirinktą tašką C,kurionekertareakcijosjėgųveikimotiesės:

Įrašome į patikrinimo lygtį sprendinių skaitines vertes ir atlikę veiksmus gauname teigiamųirneigiamųdydžiųsumas:

Apskaičiuojamenesąryšio  absoliutinęreikšmę: ��=  1 +  1 =27,5695 27,5696= 0,0001

Apskaičiuojamepaklaidą δ:

Gautaskaičiavimopaklaidosvertė0,00000363%neviršijaleistinosiosiryra<0,2%.

Apskaičiuojamereakcijosjėgą����:

Klausimai

1. Kasyrajėgairkokiaisvienetaisišreiškiamasjosmodulis?

2. Kokiageometrinėsjėgųsudėtiestaisyklėsesmė?

3. Kasyraatraminėreakcijairkokiedažniausiaipasitaikančiųryšiųtipai?

4. Kamlygijėgosprojekcijaašyje?

5. Kasyrajėgosmomentastaškoatžvilgiuirkaipnustatomasmomentoženklas?

6. Kadajėgosmomentastaškoatžvilgiulygusnuliuiirkodėl?

7. Kamlygusatstojamosiosjėgosmomentastaškoatžvilgiu?

8. Arpriklausojėgųporosmomentasnuoatstumoikiatramos?

9. Kadavienojeplokštumojeveikiančiostrysjėgosyrapusiausvyros?

10. Kągausimesudėjędviskirtingodidumo,veikiančiasskirtingoselygiagrečiosetiesėse irtųpačiųkrypčiųjėgas?

11. Kągausimesudėjędviskirtingodidumo,veikiančiasskirtingoselygiagrečiosetiesėse irskirtingųkrypčiųjėgas?

12. Ar galima sudėti dvi vienodo didumo, veikiančias skirtingose lygiagrečiose tiesėse ir priešingųkrypčiųjėgas?

13. Kuopakeičiamasišskirstytaskrūvis?

14. Kaippakeičiamasišskirstytaskrūvisvienaatstojamąjajėga?

15. Kasyrasuminėjėgairsuminismomentas?

16. Kaipkeičiasiredukcijosrezultataskeičiantredukcijoscentrą?

17. Kuosuminėjėgaskiriasinuoatstojamosios?

18. Kiekpusiausvyroslygčiųgalimaparašytivienamkūnuiplokštumoje?

19. Kaipįvertinamaskūnųpusiausvyrosskaičiavimorezultatas?

2.

KŪNŲ SISTEMOS PUSIAUSVYRA

Kūnų sistema (2.1 pav.) vadinama visuma tokių kūnų, kurių pusiausvyra yra tarpusavyjepriklausoma.Ryšiai,jungiantyskūnusįsistemą,vadinamividiniais,oryšiai,kuriais kūnųsistemapritvirtinamaprieatramų, –išoriniais.

Remiantis akcijos-reakcijos dėsniu (Federavičius ir kt., 2009) galima teigti, kad kūnų sistemąveikiančiosvidinėsjėgosyravienododidumoirveikiatapačiatiese,tikpriešingomis kryptimis.Sudarydamipusiausvyroslygtisvisai kūnųsistemai,vidiniųjėgųnevertiname,nes jos atsisveria. Prireikus kūnų sistemą skaidome į atskirus kūnus, vidinius ryšius paverčiame išoriniais(2.1pav.)irjuosnagrinėjamekaiplaisvuskūnus.Todėlplokščiajaibetkaipišdėstytai jėgųsistemai,sudarytaiišnkūnų,galimesudaryti3npusiausvyroslygčių(1.5pav.irrasti3n nežinomųjų)(Meriam&Kraige,2002).

2.1 pavyzdys.Suvaržytądviejųkūnųsistemą(2.1apav.)veikia��1 =4kN;��2 =10kN, jėgų poros momentas �� =6 kNm ir išskirstytas krūvis, kurio intensyvumas q = 2 kN/m. Konstrukcijosmatmenysnurodytimetrais.Apskaičiuotikūnųsistemosvidiniųirišoriniųryšių reakcijas.Skaičiavimotikslumolygmuo0,2%.

SPRENDIMAS.Skaičiavimoschemojeparodomeveikiančias(uždaviniosąlygojeduotas) jėgasirvidiniųbeiišoriniųryšiųreakcijas(2.1a,b,cpav.).Išskirstytąkrūvįpakeičiameviena jėga Q:

AC konstrukcijosdaliaisudarome3pusiausvyroslygtis:

EglėJotautienė,JonasBozys,MečysPalšauskas,KristinaLekavičienė

TEORINĖS MECHANIKOS DĖSNIŲ IR METODŲ TAIKYMAS INŽINERIJOJE

Statika. Kinematika.Dinamika

Mokomojiknyga

RedaktorėVitaSiaurodinienė

Maketuotoja AldonaBagdonienė

20220401.UžsakymoNr.K22-012.

Išleido

VytautoDidžiojouniversitetas K.Donelaičiog.58,LT-44248,Kaunas www.vdu.lt|leidyba@vdu.lt