Math & Sens - Développer l'articulation - extrait by Van In Fondamental

10/14 ans

Développer

l’articulation arithmétique-algèbre Guide méthodologique

entre le primaire et le secondaire

et documents reproductibles en ligne Isabelle DEMONTY Joëlle VLASSIS

Développer l’articulation arithmétiquealgèbre entre le primaire et le secondaire

Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental et du début du secondaire qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d'un même « nœud-matière » et d’un même réseau de compétences.

Résoudre des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 5/8 ans Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 8/10 ans Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 10/12 ans Construire la multiplication et les tables Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/14 ans Oser les fractions dans tous les sens Guide méthodologique et documents reproductibles 5/12 ans Mobiliser les opérations avec bon sens ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans Explorer les grandeurs – se donner des repères Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/14 ans élucider la numération pour mieux calculer Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans Apprivoiser l’espace et le monde des formes Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans D évelopper l’articulation arithmétique-algèbre entre le primaire et le secondaire Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 10/14 ans

10/14 ans

Développer l’articulation arithmétiquealgèbre entre le primaire Guide méthodologique

et le secondaire

et documents reproductibles en ligne Isabelle DEMONTY Joëlle VLASSIS

Le présent ouvrage suit la règle typographique qui impose l’accentuation des majuscules. Il tient compte des simplifications orthographiques proposées par le Conseil supérieur de la langue française et approuvées par l’Académie française en 1991.

Une collection dirigée par Françoise Lucas, professeure de mathématiques en Haute École et formatrice en formation continue et complémentaire pour les enseignants du fondamental et du début du secondaire. Cet ouvrage a été réalisé par l’équipe d’auteurs suivante : • Isabelle Demonty est régente en mathématiques et docteure en Sciences de l’Éducation. Elle a réalisé sa thèse de doctorat dans le domaine des mathématiques à la transition entre l’école primaire et l’école secondaire. Elle est maitre de conférences à l’Université de Liège et chercheuse au service d’analyse des systèmes et des pratiques d’enseignement de l’Université de Liège, service dirigé par Dominique Lafontaine. • Joëlle Vlassis est institutrice primaire et docteure en Sciences de l’Éducation. Ses travaux de recherche portent sur les relations entre le sens et les symboles dans le domaine de l’algèbre élémentaire ainsi que sur les processus d’enseignement et d’apprentissage en arithmétique et en algèbre. Elle est actuellement professeure associée à l’Université du Luxembourg. Voici le code qui vous donnera accès aux documents reproductibles en ligne liés au présent ouvrage.

Pour activer ce matériel complémentaire, rendez-vous sur www.vanin.be/myvanin et suivez-y la procédure d’inscription. • Une fois votre accès activé, vous pourrez consulter le matériel complémentaire aussi souvent que vous le désirez et aussi longtemps que la version imprimée du présent ouvrage ne sera pas remplacée par une nouvelle édition. • L’accès au matériel complémentaire ne peut être utilisé que par une seule personne. • L’accès au matériel complémentaire vous est fourni gratuitement à l’achat du guide « Développer l’articulation arithmétique-algèbre entre le primaire et le secondaire », issu de la collection Math&Sens. Aucune indemnité ne sera exigible en cas de non-fonctionnement ou d’indisponibilité du site hébergeant le matériel complémentaire ou du matériel complémentaire en lui-même, pour quelque raison que ce soit. • En cas de non-fonctionnement et/ou de question, nous sommes à votre disposition par courriel à l’adresse support@vanin.be.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition 2018 ISBN 978-2-8041-9749-0 D/2018/0078/69 Art. 581048/01

Remerciements Ce document a été réalisé dans le cadre de plusieurs recherches menées en Belgique francophone, grâce à la collaboration d’enseignants volontaires et d’étudiants en sciences de l’éducation. Il est également le fruit d’une recherche menée au Grand-Duché du Luxembourg (Recherche « PROBAL – PROBlem based teaching in ALgebra in secondary school ») entre 2014 et 2017 et subventionnée par l’Université du Luxembourg. La recherche PROBAL a bénéficié de la collaboration de Laurent Theis et d’Hassane Squalli, tous deux professeurs à l’Université de Sherbrooke au Québec. Nous les remercions vivement pour leurs apports et les nombreuses discussions. Le travail a également été mené avec la participation d’enseignants belges et luxembourgeois, travaillant en cinquième et sixième années primaire, ainsi qu’au début de l’enseignement secondaire. Les activités proposées dans ce document ont toutes été mises en place dans plusieurs classes (au moins 4 classes par activité). Nous remercions vivement, pour leur étroite collaboration tout au long du processus, les enseignantes des écoles secondaires luxembourgeoises : ■■

Madame Tania Palma Coelho, Madame Céline Coursimault, Madame Isabelle Heischbourg et Madame Patrizia Ruzziconi.

Nous remercions également, pour avoir accepté de mettre en place les activités dans leurs classes et d’en discuter en réunions de travail : Les enseignants des écoles secondaires luxembourgeoises : ■■

Madame Andrea Giusto, ainsi que Messieurs Romain Glodt, Melvyn Mainini et Monsieur Marco Piccini.

Les enseignants des écoles secondaires de Belgique francophone : ■■

Mesdames Florence Baronville, Émilie Bodart, France Meganck, et Sandra Scheerlinck, ainsi que Messieurs Fabrice Bozzonan, Éric Cornil, Chirac Mbogning Messingo, Joseph Van Der Haegen, Nesrin Arikan et Bruno Lepenne.

Les enseignants des écoles primaires de Belgique francophone : ■■

Mesdames Sophie Charlier, Bérangère Faux, Élodie Ghislain, Julie Lipani, Martine Mathurin, Stéphanie Vitskens et Rita Wallemacq, ainsi que Messieurs Lionel Pochet et Gilles Jenmart.

Nos plus vifs remerciements s’adressent également aux étudiants en sciences de l’éducation de l’Université de Liège qui, dans le cadre de travaux pratiques sur la transition entre l’école primaire et secondaire en mathématiques, ont testé les activités dans plusieurs contextes de classe et analysé leur mise en place. Merci également à tous les élèves qui, par leur implication dans les activités, ont largement contribué à la réflexion présentée dans ce document.

Remerciements

Table des matières 5

Introduction.....................................................................................................................................................

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations.................................... Intérêt du contexte.............................................................................................................................. Les activités............................................................................................................................................. La calculatrice défectueuse............................................................................................................... Les tours de magie mathématiques..................................................................................................

21 23 37 38 48

Chapitre 2. Les activités de généralisation basées sur des suites numériques............. Intérêt du contexte.............................................................................................................................. Les activités............................................................................................................................................. Les suites de carrés............................................................................................................................ Antoine fait des mosaïques...............................................................................................................

63 65 83 85 104

Chapitre 3. Résolution de problèmes et équations....................................................................... Intérêt du contexte.............................................................................................................................. Les activités............................................................................................................................................. Les problèmes de partages inégaux.................................................................................................. La résolution d’équations.................................................................................................................

121 123 135 137 147

Références............................................................................................................................................................

163

Éd

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Remerciements...................................................................................................................................................

Tables des matières

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Éd VA N

Introduction

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Éd VA N

Ce livre s’adresse aux enseignants, aux futurs enseignants, à leurs formateurs et à toute personne intéressée par la question de l’articulation entre les apprentissages arithmétiques et algébriques entre 10 et 14 ans.

Vous y trouverez des exemples de situations s’appuyant sur des recherches récentes menées dans le domaine de l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre. Mais bien évidemment, il ne suffit pas de proposer aux élèves des activités bien pensées pour que les apprentissages se réalisent naturellement : les manières d’exploiter ces situations, de décoder les démarches d’élèves, de répondre à leurs questions ou de leur en poser sont autant d’éléments tout aussi indispensables à l’apprentissage. C’est pourquoi ce livre développe également des conseils méthodologiques basés sur des essais en classe.

L’ensemble des situations présentées dans ce manuel a en effet été discuté, adapté et testé dans le cadre de recherches menées en collaboration avec une trentaine d’enseignants belges et luxembourgeois. L’analyse des essais que vous trouverez dans ce livre vous permettra de porter un regard sur les productions des élèves et sur les démarches mises en place par les enseignants en vue d’exploiter au mieux les situations.

Ce livre propose non seulement des activités accompagnées de documents directement reproductibles mais également une justification des contextes choisis, des suggestions méthodologiques ainsi que des exemples de productions d’élèves analysées. Vous pourrez ainsi mieux saisir ce qui fait en réalité l’efficacité de ces environnements porteurs d’apprentissage, et peut-être vous lancer vous-mêmes dans l’adaptation éclairée des activités proposées en vue de gérer au mieux l’articulation des apprentissages arithmétiques et algébriques des élèves de 10 à 14 ans…

Pourquoi l’articulation arithmétique-algèbre et non la transition arithmétique-algèbre ?

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Dans l’intitulé de ce livre, nous avons privilégié le terme « articulation » à celui de « transition » pourtant souvent utilisé pour évoquer les relations entre l’arithmétique et l’algèbre. Le terme « transition » témoigne d’une hiérarchie entre les deux domaines, le premier, l’arithmétique, préparant le second, l’algèbre. Le terme « articulation » envisage ces deux domaines de manière plus égalitaire. C’est cette perspective que nous avons choisie dans le cadre de ce manuel.

Éd

En effet, comme nous le verrons par la suite, nous n’envisageons pas un travail spécifique en arithmétique avec pour seul but de préparer l’algèbre du secondaire. Développer une arithmétique plus réfléchie présente des bénéfices non seulement pour l’algèbre, mais également pour l’arithmétique elle-même, et ce, dès l’enseignement primaire. C’est avec ce principe que toutes les activités présentées dans ce manuel ont été conçues : elles permettent à la fois d’approfondir l’arithmétique tout en préparant les apprentissages algébriques. Le schéma ci-dessous illustre les deux perspectives : PERSPECTIVE TRANSITION :

ARITHMÉTIQUE

ALGÈBRE

PERSPECTIVE ARTICULATION :

ARITHMÉTIQUE

ALGÈBRE

Introduction

1. À propos de l’articulation arithmétiquealgèbre

L’algèbre est un domaine mathématique auquel on consacre un temps important d’enseignement et, malgré les avancées scientifiques réalisées ces dernières décennies (Cai & Knuth, 2011 ; Kieran, 2007 ; Warren, Trigueros & Ursini, 2016), force est de constater que les élèves éprouvent toujours d’importantes difficultés dans ce domaine : ils continuent à commettre de nombreuses erreurs qui témoignent d’un manque de compréhension des concepts et procédures algébriques (Kieran, 2007).

Les recherches actuelles s’accordent sur le fait que ces problèmes, qui deviennent parfois insurmontables au terme des premières années de l’enseignement secondaire, prennent en réalité racine dès l’école primaire (Radford, 2014 ; Carraher & Schliemman, 2007). C’est donc toute l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre qui doit être repensée pour aider les élèves à combler ces déficits de sens. ■■ Quelle vision de l’arithmétique peut permettre d’asseoir les bases de l’algèbre ?

De nombreuses études ont été consacrées aux caractéristiques de l’arithmétique et de l’algèbre. Certaines ont pointé les divergences entre ces deux modes de pensée et d’autres, au contraire, ont cherché les points communs possibles (Kieran, 2007). Carpenter, Levi, Franke et Zeringue (2005) proposent une analyse qui rend compte à la fois des ruptures mais aussi des complémentarités possibles entre l’arithmétique et l’algèbre. Selon eux, on peut envisager l’arithmétique de deux manières différentes.

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Une première perspective, dite calculatoire, considère l’égalité ainsi que les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication ou de division comme des commandes d’actions à réaliser, un peu comme c’est le cas lorsqu’on utilise une calculatrice. Chaque opération va engendrer un traitement particulier des nombres encodés et, lorsque l’on appuie sur la touche « = », le résultat de l’opération réalisée apparait.

Éd

Une seconde perspective, dite relationnelle, met l’accent sur l’analyse approfondie des opérations et de l’égalité, ce qui permet de développer une panoplie beaucoup plus large de démarches de calcul. Pour illustrer ces deux perspectives, considérons le calcul lacunaire suivant : 47 + 5 = ? + 9 Les élèves peuvent trouver la valeur du nombre inconnu en additionnant 47 et 5 pour obtenir 52 et en recherchant le nombre à ajouter à 9 pour obtenir 52. 47 + 5

Introduction

+ 9

Bien que cette solution soit tout à fait correcte, elle s’appuie sur des calculs directs des opérations figurant dans les deux membres de l’égalité.

5 =

À l’inverse, un élève qui développe une perspective relationnelle ne va pas chercher d’emblée à effectuer ces deux calculs mais va plutôt prendre le temps de comparer les deux opérations afin de voir s’il n’y aurait pas une stratégie plus économique pour effectuer cet exercice. Dans ce cas, il peut observer que le nombre inconnu doit nécessairement être plus petit que 47, et que comme 9 vaut 4 de plus que 5, le nombre caché doit valoir 4 de moins que 47. Il sera donc égal à 43.

Cette seconde démarche s’appuie donc sur une analyse des relations unissant les nombres impliqués dans les calculs, et pas sur un calcul direct des opérations figurant dans le calcul. Dans ce calcul, le signe « = » doit être considéré comme un signe placé entre deux opérations représentant la même quantité.

L’algèbre s’appuie également sur cette analyse des opérations et de l’égalité en termes de relations. En effet, la présence de quantités indéterminées dans les calculs (symbolisées par des lettres) n’autorisera plus les élèves à développer des raisonnements s’appuyant d’emblée sur la recherche des résultats des opérations impliquées dans les calculs. En effet, lorsque l’élève doit résoudre l’équation suivante : 3x + 5 = 5x – 2

Éd

iti

il n’est pas possible de calculer d’emblée le résultat de ces deux opérations, étant donné qu’elles dépendent d’une quantité indéterminée (x) dont la valeur ne sera trouvée qu’une fois l’équation résolue. Par ailleurs, l’expression « 5 x – 2 » n’est pas la réponse au calcul « 3 x + 5 ». Le signe d’égalité doit donc être considéré comme un signe placé entre deux expressions différentes du même nombre. Une vaste étude longitudinale menée en Nouvelle-Zélande a permis de suivre l’évolution des apprentissages de plus de 800 élèves de 10 à 14 ans (Britt & Irwin, 2011). Ces chercheurs ont pu établir que les élèves qui ont développé, dès l’école primaire, des stratégies raisonnées en matière de calcul parviennent beaucoup mieux que les autres à comprendre les transformations algébriques lorsque l’algèbre formelle est introduite au début de l’enseignement secondaire. De plus, ces élèves continuent à progresser au fur et à mesure des deux premières années de l’enseignement secondaire, y compris dans la résolution de problèmes impliquant ces techniques. Premier élément clé d’une articulation arithmétique-algèbre : Le développement d’une vision relationnelle de l’arithmétique permet d’asseoir les bases sur lesquelles les premiers apprentissages algébriques du secondaire pourront s’ancrer. Cette vision permet également d’approfondir l’arithmétique en faisant réfléchir les élèves à propos des relations entre les nombres. Autrement dit, l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre sera favorisée lorsque, dès l’école primaire, une pensée relationnelle est développée auprès des élèves.

Introduction

■■ Quelle vision de l’algèbre peut s’appuyer sur les apprentissages réalisés en

arithmétique ?

L’algèbre ne se limite pas à appréhender les signes opératoires et l’égalité de manière relationnelle. Selon Radford (2014 ; 2018), la spécificité de l’algèbre réside dans le fait qu’elle permet de réaliser des opérations impliquant des quantités indéterminées, c’est-à-dire de développer un raisonnement analytique, qui consiste à effectuer des opérations impliquant de telles quantités. Ce raisonnement constitue le cœur même de l’algèbre. En effet, quelle que soit la valeur des nombres représentés par les lettres a et b, l’opération…

… sera, dans tous les cas, égale à l’opération …

C’est pour cette raison que l’on peut écrire

a + 4b

3a + 4b – 2a

3a + 4b – 2a = a + 4b

Ce raisonnement peut s’expliquer comme suit :

Pour construire l’expression 3 a + 4 b – 2 a, on peut considérer deux nombres a et b qui peuvent prendre n’importe quelle valeur.

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On pourrait exprimer l’égalité « 3 a + 4 b – 2 a = a + 4 b » de la manière suivante :

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Prendre 3 fois le premier nombre puis ajouter 4 fois le second nombre et enfin retrancher 2 fois le premier nombre, cela revient au même que prendre 1 fois le premier nombre et ajouter 4 fois le second nombre. Ces transformations s’appuient sur les propriétés des opérations (l’addition est commutative et symétrisable), qui sont également utilisées en calcul mental. En effet, en arithmétique, il arrive souvent que des nombres doivent être déplacés dans les additions ou que certains nombres s’annulent. Exemple :

78 – 35 + 49 – 78

= 78 – 78 – 35 + 49 = 0 + 49 – 35 = 49 – 35 = 14

Introduction

On considère parfois que l’algèbre se limite à l’utilisation de lettres dans les calculs. Les recherches actuelles préfèrent parler de pensée algébrique (Cai & Knuth, 2011 ; Kieran, Pang, Schifter & Ng, 2016 ; Radford, 2014 & 2018) pour mettre en évidence le fait que, derrière ces calculs comportant des lettres, doit se déployer une véritable pensée algébrique qui consiste : •• non seulement à considérer, comme c’est en partie le cas en arithmétique, les opérations et l’égalité de manière relationnelle ; •• mais aussi à effectuer des opérations impliquant des quantités indéterminées.

Aider les élèves à comprendre en profondeur les rudiments de l’algèbre nécessite donc de les amener à considérer que, derrière ces transformations d’écritures algébriques, peut se déployer toute une pensée qui consiste à effectuer notamment des raisonnements s’appuyant sur des quantités indéterminées. Qualifié d’analytique (Radford, 2014 & 2018), ce raisonnement peut prendre appui sur des réflexions ancrées dans le numérique et, en ce sens, il est à la portée des élèves qui n’ont pas encore appris le langage algébrique formel.

••

Différents types d’activités peuvent développer ce raisonnement basé sur des quantités indéterminées. Les problèmes de partages inégaux constituent un premier environnement porteur pour développer un tel raisonnement. La figure 2 présente un tel problème accompagné d’une démarche mise en place par un élève de 6e primaire, avant toute introduction de l’algèbre (Oliveira & Réhaume, 2014, p. 417).

Éd

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Martha, Raphaël et Anne ont ensemble 270 porteclés. Raphaël a le double du nombre de porteclés de Martha et Anne a le triple du nombre de porteclés de Raphaël. Combien de porteclés chacun a-t-il ?

Lorsque l’élève cherche un calcul permettant de résoudre un tel problème, il doit établir des liens entre des quantités de l’énoncé : ■■ certaines sont connues : le nombre total de porteclés (270) et les rapports entre le nombre de porteclés de chaque enfant (Raphaël a deux fois plus de porteclés que Martha et Anne en a trois fois plus que Raphaël) ; ■■ et d’autres sont inconnues : ici, il s’agit du nombre de porteclés qu’a chaque enfant (représentés par des croix dans la production de l’élève).

Pour résoudre ce problème, l’élève aurait pu procéder par essais-erreurs, en fixant d’emblée une valeur au nombre de porteclés de Martha puis en cherchant ce qu’auraient les deux autres enfants et en vérifiant que le total de 270 était respecté. Ce n’est pas cette démarche que cet élève a choisie. En divisant 270 par 9, il a compris que prendre une fois un nombre, puis encore 2 fois ce nombre et enfin 6 fois ce nombre, cela revient au même que prendre 9 fois le nombre. Il a donc élaboré un raisonnement impliquant une quantité indéterminée pour trouver le calcul 270 : 9. Ce raisonnement est de nature algébrique.

Introduction

Les activités de généralisation basées sur des suites numériques constituent un autre contexte favorable. Dans celles-ci, les élèves sont amenés à dégager une règle permettant de retrouver n’importe quel terme d’une suite de nombres en fonction de son rang :

Motif n° 2

Motif n° 3

Motif n° 4

Motif n° 5

Motif n° 2

Motif n° 3

Motif n° 4

Motif n° 1

••

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Lorsque l’élève établit une règle dans ces activités de généralisation, il est amené à réaliser des opérations impliquant une quantité indéterminée (Radford, 2014), car cette règle doit convenir quel que soit le motif choisi.

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Dans l’exemple présenté ci-dessus, l’élève parvient à généraliser une règle : au travers des deux exemples, il montre qu’il a bien compris le lien entre le numéro du motif (7 ou 12) et les opérations à effectuer au dessin n° 7 : 9 × 3 – 4 au dessin n° 12 : 14 × 3 – 4

Deuxième élément clé d’une articulation arithmétique-algèbre : Confronter, dès l’école primaire, les élèves à des situations les amenant à raisonner en impliquant des quantités indéterminées peut les aider à élaborer le raisonnement indispensable à la pensée algébrique. Dans la foulée, il élargit ses stratégies de résolution de problèmes. Autrement dit, l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre sera favorisée lorsque, dès l’école primaire, on développe ce type de raisonnement sur des quantités indéterminées.

Introduction

2. Un modèle permettant d’assurer une articulation fructueuse entre l’arithmétique et l’algèbre

L’ensemble des réflexions présentées ci-avant nous amène à proposer un modèle pour une articulation entre l’arithmétique et l’algèbre permettant de mettre en avant les possibles continuités entre les apprentissages arithmétiques et algébriques réalisés entre 10 et 14 ans. Apprentissages arithmétiques

Articulation arithmétique-algèbre

Travailler le sens des opérations et de l'égalité (vision relationnelle)

Apprentissages algébriques

Réaliser des raisonnements impliquant des quantités indéterminées (raisonnement analytique)

Qu’ils travaillent à l’école primaire ou secondaire, les enseignants peuvent aménager, dans les apprentissages qui leur incombent, des moments destinés à développer l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre.

Éd

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Favoriser l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre n’impose pas de surcharger encore les matières à enseigner à l’école primaire et secondaire. Cette articulation n’implique pas que les instituteurs fassent du calcul algébrique avant l’heure. De la même façon, en secondaire, il n’est pas nécessaire de postposer trop longtemps l’introduction du symbolisme algébrique. C’est plutôt le regard porté sur certaines activités arithmétiques ou algébriques qui doit changer. En primaire, en résolution de problèmes et dans certaines activités centrées sur le calcul mental, les enseignants peuvent susciter des démarches de résolution qui s’appuient sur une analyse fine des calculs ou des problèmes à résoudre. De cette façon, ils approfondissent le sens de l’égalité et des opérations et, dans la foulée, ils enseignent une arithmétique relationnelle sur laquelle l’algèbre pourra s’ancrer. En secondaire, cette même approche relationnelle peut être développée dans les premiers apprentissages numériques, avant que l’algèbre formelle soit introduite. Par la suite, les élèves pourront s’appuyer sur le « déjà là », développé tant à l’école primaire que dans les premiers mois du secondaire, en vue d’approfondir le sens des apprentissages purement algébriques.

Introduction

Cette articulation s’appuie sur le développement de concepts et de processus intégrés plus explicitement dans les apprentissages du primaire et du secondaire. Plus précisément, les situations proposées aux élèves viseront à développer l’aisance calculatoire des élèves entre 10 et 14 ans, en mettant en avant les deux dimensions suivantes : comprendre les concepts fondamentaux tels que le signe d’égalité, les propriétés des opérations ainsi que la notion de quantité indéterminé ;

■■

développer des processus de pensée visant à généraliser, à représenter des situations, et à justifier et valider les démarches de calcul ou de raisonnement.

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■■

Introduction

3. \ La méthodologie d’enseignement proposée dans ce livre Les activités figurant dans ce livre proposent aux enseignants de développer avec leurs élèves certains apprentissages clés pour favoriser une articulation plus fructueuse entre l’arithmétique et l’algèbre.

1. Des activités pensées en progression

Deux principes méthodologiques permettent d’assurer la progression dans les apprentissages des élèves.

Ce livre peut être utilisé de manière flexible. Les chapitres ne doivent en effet pas s’envisager de manière séquentielle. En revanche, au sein d’un même chapitre, les activités sont organisées autour de questions pensées dans une logique de progression dans la difficulté.

De cette façon, les élèves seront amenés à développer des démarches de plus en plus élaborées pour résoudre les situations proposées. Si, au départ, ils pourront utiliser leurs propres ressources, les questions qui sont proposées par la suite les amèneront progressivement à développer des réflexions de plus en plus abstraites pour réellement entrer au cœur des concepts et processus visés au travers des situations.

2. L’importance accordée aux discussions en classe autour des activités

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Le travail en petits groupes ainsi que l’échange d’idées entre élèves et avec l’enseignant sont cruciaux pour favoriser les apprentissages (Radford & Demers, 2004). La communication dans la classe favorise la confrontation de démarches et l’argumentation, permettant alors de pleinement donner sens aux concepts et processus visés. Nous vous suggérons donc :

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1. de démarrer les activités par des périodes de travail en petits groupes (de 2 à 4 élèves), au cours desquelles les élèves discutent des méthodes les plus efficaces pour résoudre les situations proposées ; 2. d’organiser, par la suite, une discussion générale avec l’ensemble des élèves, dirigée par l’enseignant. Étant donné que les procédures et concepts générés par les activités touchent à des notions assez abstraites et complexes, il est tout à fait intéressant que l’enseignant intervienne dans les discussions en petits groupes, pour amener les élèves à confronter leurs idées, à expliciter leurs démarches mais également à faire un pas de plus dans la compréhension des concepts étudiés. C’est également à ce moment que l’enseignant peut fournir une aide plus individualisée, en fonction des réels besoins des groupes. Par ailleurs, ces moments d’intervention dans les groupes peuvent également lui permettre d’anticiper les discussions à partager par la suite, lors de la discussion générale.

Introduction

4. Structure du livre Trois chapitres, pour une progression soutenue dans l’apprentissage des concepts et processus étudiés…

Ce livre s’organise en trois chapitres, envisageant chaque fois deux séquences d’activités, exploitables tant à la fin de l’école primaire qu’au début de l’enseignement secondaire. Si, à l’école primaire, les réflexions impliqueront plus directement le calcul sur les nombres ou les résolutions arithmétiques d’équations, les exploitations réalisées en secondaire permettront de réaliser une transition vers le calcul algébrique et la mise en place de procédures algébriques pour résoudre les équations.

Le chapitre 1, Calculs sur les nombres, égalité et sens des opérations, s’ancre dans l’arithmétique et vise principalement à développer une vision relationnelle de celle-ci.

Le chapitre 2, Les activités de généralisation, fait un pas de plus vers l’algèbre, puisqu’en plus de développer le sens des opérations et de l’égalité, il familiarise les élèves avec le raisonnement impliquant des quantités indéterminées.

Le chapitre 3, Résolution de problèmes et équations, se situe quant à lui plus directement au cœur de l’algèbre puisqu’il développe principalement la capacité à raisonner sur des quantités indéterminées (raisonnement analytique) et la compréhension des concepts et procédures impliqués dans la résolution d’équations. Le schéma ci-dessous résume l’articulation et l’apport de chacun des 3 chapitres : Chapitre 1 :

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Procédures de calcul sur les nombres

Sens des opérations et de l’égalité

Raisonnement analytique

Procédures algébriques

Introduction

Calculs sur les nombres, égalité et sens des opérations Chapitre 2 : Les activités de généralisation Chapitre 3 : Résolution de problèmes et équations

Au début de chaque chapitre… Les tableaux présentés ci-après synthétisent la structure des trois chapitres. Ils sont proposés en début de chaque partie importante du chapitre. Chaque fois qu’un de ces tableaux est reproduit, la partie grisée indique où on se situe dans le chapitre. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

La calculatrice défectueuse

Les tours de magie mathématiques

Intérêt du contexte

Les activités

Les activités de généralisation basées sur des suites numériques Les activités

Intérêt du contexte

Antoine fait des mosaïques

Les suites de carrés

Résolution de problèmes et équations

Les problèmes de partages inégaux

La résolution d’équations

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Intérêt du contexte

Les activités

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Structure de chaque chapitre

Les pages suivantes proposent une présentation des deux parties constitutives de chaque chapitre et des sigles utilisés tout au long du document. ¾¾

Intérêt du contexte

La partie intitulée « intérêt du contexte » fait le point sur ce qu’il faut savoir en tant qu’enseignant pour appréhender les activités. Elle vous permettra ainsi de cibler les aspects essentiels de chaque thème, ce qui pourra vous guider pour réaliser des adaptations éventuelles ou pour porter un regard éclairé sur d’autres activités du même type que vous réalisez peut-être déjà dans votre classe. Chaque partie débute par une explication de la manière dont l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre est favorisée dans la thématique abordée. Ensuite sont développées les spécificités du thème pour les élèves de l’école primaire et pour ceux de l’école secondaire, ainsi que des considérations sur les démarches développées dans chaque type d’activités envisagé.

Introduction

¾¾

Les activités

Dans cette partie, vous pourrez avoir une vue d’ensemble sur les séquences proposées dans le thème : les supports sur lesquels elles s’appuient et la manière dont la progression dans la démarche d’apprentissage est envisagée. Ensuite, chaque séquence est présentée plus en profondeur. Vous découvrirez d’abord ce qui est visé au sein de la séquence.

■■

Ensuite, vous pourrez prendre connaissance de la continuité des apprentissages entre 10 et 14 ans, ce qui vous permettra de cibler les spécificités des activités selon que vous souhaitez les exploiter à l’école primaire ou secondaire. Sont ensuite présentés les outils méthodologiques pour l’enseignant : ils débutent chaque fois par une présentation succincte des différentes étapes des activités présentées dans la séquence. Et ensuite, vous pourrez découvrir la méthodologie expliquée de manière plus détaillée.

■■

Viennent enfin les documents pour les élèves, qui sont reproductibles tels quels.

■■

Les sigles utilisés dans l’ouvrage :

Les suggestions méthodologiques sont identifiées par ce sigle. Elles sont basées sur les essais de ces activités dans les classes.

Des productions d’élèves, identifiées par ce sigle, sont également proposées pour vous permettre d’anticiper ce que vous pourrez sans doute observer lorsque vous exploiterez vousmême l’activité en classe.

iti

Des renvois à des activités intéressantes issues d’autres ouvrages de la collection Math&Sens sont signalés à l’aide de ce sigle.

Éd

Les documents à reproduire pour les élèves (disponibles en couleurs sur le site myvanin.be) sont repérables par un sigle particulier en haut de la page.

Introduction

Chapitre 1

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Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

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Éd VA N

Intérêt du contexte Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations Les activités Intérêt du contexte

Les tours de magie mathématiques

La calculatrice défectueuse

L’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre dans ce contexte.

Quelle pensée susciter lors de l’apprentissage des stratégies de calcul en primaire ?

Quelle place donner à l’automatisation des démarches de calcul ?

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3. Comment cette pensée peut-elle se prolonger en secondaire lors de l’apprentissage des transformations algébriques ?

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

A. La calculatrice défectueuse Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations Les activités La calculatrice défectueuse

Les tours de magie mathématiques

Intérêt du contexte

1. Ce qui est visé…

Du point de vue des concepts et des techniques opératoires Comprendre le concept d’égalité entre deux opérations.

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Utiliser les propriétés des opérations couramment utilisées en calcul, et en particulier la distributivité, la commutativité et l’associativité.

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Donner sens aux techniques de compensation dans les quatre opérations, à la décomposition d’un terme d’une somme ou d’une différence ou d’un facteur dans un produit.

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Produire des calculs pour montrer l’équivalence entre deux opérations.

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Communiquer oralement et par écrit une démarche pour chercher un calcul aboutissant à un même résultat qu’un autre calcul.

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Du point de vue des processus

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Argumenter sa démarche en utilisant un raisonnement basé non pas sur la réponse au calcul mais sur les opérations effectuées pour trouver le calcul.

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

2. La continuité des apprentissages entre 10 et 14 ans Concepts et symboles

Après avoir introduit le symbolisme algébrique

Avant d’avoir introduit le symbolisme algébrique

Celles-ci sont appréhendées au départ de l’analyse de calculs aboutissant au même résultat.

L’égalité

L’égalité se justifie en référence aux opérations effectuées sur les nombres (et plus seulement en référence aux réponses des calculs).

Les procédures de calcul

Décomposition d’un nombre dans un calcul. Réduction de termes semblables, distributivité et produit de facteurs. Stratégie de compensation.

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Les propriétés des opérations

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant Déroulement

Organisation

Étape 1 • Distribuer l’activité 1 aux • Les élèves peuvent disposer de Recherche de calculs à élèves : répartir les quatre calculatrices où les touches effectuer à l’aide de la calculs dans la classe et deman- défectueuses sont clairement calculatrice défectueuse der aux élèves de chercher identifiées (par exemple par • Activité 1 d’autres calculs à effectuer. des gommettes).

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p. 44 et 45

• L’activité peut être reproduite • Encourager les élèves à faire plusieurs fois avec des calculs des petits dessins (ou travailvariés (et en ajoutant des ler sur de plus petits nombres) pp. 46 et 47 contraintes), dans le but d’af- pour vérifier que leur finer progressivement les démarche fonctionne. analyses des calculs.

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Étape 3 Réinvestissement • Activité 2 • Activité 3

Étape 2 • Analyse des calculs proposés • Reproduire les calculs choisis Exploitation des opéra- par les élèves en regard de en grand, au tableau, en tions proposées par les chaque calcul et confronta- dessous des calculs initialeélèves tion des démarches utilisées ment écrits. dans chaque opération.

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

Étape 1 : Recherche de calculs à effectuer (Activité 1) ••

L’activité 1 consiste à amener les élèves à trouver d’autres manières d’encoder quatre calculs sur la calculatrice (étant donné qu’une touche est défectueuse). On doit effectuer une série de calculs, mais la calculatrice ne fonctionne plus. Il y a chaque fois une touche défectueuse. Trouvez un autre calcul à encoder !!!

137 + 66 =

 5 × 68 =

846 : 18 =

5 × 68 =

843 – 79 =

 846 : 18 =

 843 – 79 =

 137 + 66 =

Différentes démarches sont possibles pour cette première étape de l’activité :

soit proposer d’emblée aux élèves de réaliser les quatre exercices ; soit distribuer à chaque élève deux exercices (soit les deux premiers, soit les deux derniers), afin qu’ils aient déjà la possibilité de réfléchir à la généralisation de leur démarche pour deux opérations différentes.

•• ••

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Si la mise à disposition de calculatrices n’est pas inintéressante ici (notamment pour permettre aux élèves de s’engager dans la tâche), certains risquent de réaliser le calcul initial puis de chercher d’emblée, sur la base de la réponse, un calcul aboutissant à cette réponse. Dans ce cas, les élèves s’engagent plutôt dans une arithmétique calculatoire, ce qui n’est pas le but ici.

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Exemple d’échange entre deux élèves sur la base des deux premiers exercices

137 + 66 =

843 – 79 =

Élève 1 : On n’a qu’à remplacer 137 par 120 + 17. Élève 2 : Oui, mais le calcul n’est pas complet… Moi, j’aurais fait 127 + 56… ou alors 147 + … Élève 1 : Eh bien oui, 147 + 56 vu qu’on a rajouté une dizaine à 137, on doit l’enlever à 66… Élève 2 : OK, et le deuxième alors, on peut faire pareil : 853 - 69. Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

Élève 1 : Ah mais non, la touche 9 est cassée… Donc il faut faire pareil mais sur les unités… Élève 2 : Euh… Oui, il faudrait retirer 80, donc on enlève 1 à 843 ça fait 842 - 80…

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Dans cet échange, les élèves entrent bien dans l’activité en élaborant des raisonnements qui ne s’appuient pas sur la réponse effective du calcul. En revanche, ils transfèrent très rapidement une règle qu’ils pensent correcte sur l’addition dans le second calcul impliquant une soustraction, sans du tout réfléchir au sens de cette technique dans le cadre de l’opération de soustraction. Au terme de cette activité, les élèves sont invités à rendre à l’enseignant un calcul pour chaque exercice et à expliquer comment ils ont trouvé ce calcul. L’enseignant peut alors analyser les démarches des élèves pour pouvoir éventuellement faire des choix de calculs à exploiter.

Document remis à l’enseignant par les deux élèves dont l’échange est retranscrit ci-dessus  843 – 79 =

 137 + 66 = Notre calcul :

Notre calcul : Explication :

Explication :

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Les explications écrites par les élèves peuvent aider l’enseignant à choisir quelques exemples de calculs à exploiter lors de la mise en commun.

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Étape 2 : Exploitation des opérations proposées par les élèves Cette exploitation est réalisée en deux étapes : Première étape On peut d’abord analyser le premier calcul en vue de valider les démarches mises en place par les élèves. Pour cela, on peut procéder directement au départ des calculs produits par les élèves, afin de dégager les démarches qui ont permis de les trouver. 1. Certaines démarches ne proposent la modification que d’un seul nombre, et donc pour 137 + 66, les élèves écrivent : 100 + 20 + 17 + 66 120 + 17 + 66 141 – 4 + 66

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

Pour approfondir la réflexion, l’enseignant peut lui-même proposer d’autres calculs en demandant à la classe de réfléchir à la possibilité de décomposer plutôt le nombre 66. Est-ce que ça pourrait marcher aussi ? Si oui, pourquoi ? 2.

D’autres proposent de changer les deux nombres et écrivent : 147 + 56

150 + 53 Dans ce cas, il pourrait être intéressant d’amener les élèves à aller encore un peu plus loin dans les explications en cherchant à justifier pourquoi ça marche comme ça et pourquoi, par exemple, on ne pourrait par retirer la même chose aux deux nombres à additionner. On pourrait également amener les élèves à chercher d’autres stratégies.

Par exemple, on pourrait expliquer aux élèves qu’un enfant a eu l’idée de se débarrasser du 3 en multipliant 137 par 2, ce qui donne 274. Que doit-il faire alors pour trouver la réponse correcte ? Diviser 66 par 2 ? Diviser 274 par 2 ? Dans les explications, il est intéressant d’amener les élèves à justifier pourquoi ça marcherait ou pas : « Si on divise 66 par 2, on va avoir un autre calcul, car on a ajouté beaucoup plus à 137 que ce qu’on retire à 66. »

137

= 137 + 33 + 33

137

137 + 66

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Les schémas suivants peuvent illustrer ces réflexions :

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137

137 + 137 – 33

Deuxième étape : Ensuite, on passe au calcul suivant. Et à nouveau, il s’agit de valider les démarches qui fonctionnent et celles qui ne fonctionnent pas et de chercher à comprendre pourquoi celles qui fonctionnent sont correctes et comment on pourrait adapter les autres pour les rendre correctes.

Étape 3 : Réinvestissement ••

Les activités 2 et 3 permettent d’aborder d’autres stratégies, et en particulier celles qui nécessitent de transformer les deux nombres sur lesquels une opération doit être effectuée. Elles permettent d’approfondir encore la réflexion sur diverses stratégies de transformation de calculs.

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

4. Les documents pour les élèves Activité 1

 137 + 66 = Notre calcul :

137 + 66 =

On doit effectuer une série de calculs, mais la calculatrice ne fonctionne plus. Il y a chaque fois une touche défectueuse. Trouvez un autre calcul à encoder !!!

Explication :

 843 – 79 =

Notre calcul :

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843 – 79 =

Explication :

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

 5 x 68 = Notre calcul :

5 × 68 =

 846 : 18 =

Explication :

Notre calcul :

846 : 18 =

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Explication :

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

Activité 2 Cette fois-ci, ce sont deux touches qui ne fonctionnent pas !!!  271 – 54 = Notre calcul :

Explication :

271 – 54 =

 720 : 36 =

Notre calcul :

Explication :

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720 : 36 =

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations

Activité 3 Défi 1 : Comment effectuer le calcul suivant si la touche « 6 » est défectueuse ? Trouvez deux façons différentes et expliquez-les.

16 x 8 =

Défi 2 : Comment effectuer le calcul suivant si la touche « 5 » est défectueuse ? Trouvez le plus de façons différentes et expliquez-les.

24 x 15 =

Défi extrême : À ton tour maintenant

 Invente un problème et bloque une ou deux touches sur ta calculatrice.

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 Nous soumettrons ton problème aux autres élèves qui essaieront de le résoudre. Trouve des moyens pour pouvoir corriger si le calcul qu’ils proposent est incorrect.

Chapitre 1. Calcul sur les nombres, égalité et sens des opérations