Pienter - 5 tso - Reële functies (3-4u) - Voorbeeldhoofdstuk

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.1

Inleidende voorbeelden

4.2

Veeltermen in 1 veranderlijke

4.3

De euclidische deling van veeltermen

4.4 De deling van een veelterm door x – a 4.5

Veeltermfuncties

4.6 Nulwaarden van veeltermfuncties 4.7

Tekenschema van veeltermfuncties

4.8 Toepassing met ICT Studiewijzer

₇₆ ₇₉ ₈₀ ₈₁ ₈₇ ₈₈ ₉₂ ₉₅ ₁₀₆

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

75

4.1

Inleidende voorbeelden

4.1.1 Aantal geboorten De bevolking in België stijgt sinds het jaar 2000 ieder jaar met ongeveer 0,5 %.

Dan zou je verwachten dat ook het aantal geboorten in dezelfde mate toeneemt.

De tabel toont het aantal geboorten in België als percentage van de totale bevolking.

Hierbij is x het aantal jaren na 2000 en g het aantal geboorten in procent. x

0

g (%) 1,12

1

2

3

4

1,11 1,08 1,08 1,11

5

6

7

8

9

10

11

1,13 1,15 1,18 1,20 1,18 1,19 1,17

12

13

1,15 1,12

14

15

1,11 1,08

aantal geboorten als percentage van de totale bevolking in België 1.22 1.20 1.18 1.16

percentage

1.14 1.12 1.10 1.08 1.06 1.04 1.02

0

2

4

6

8

10

12

aantal jaren na 2000

• Waarom heeft een regressiemodel van de tweede graad in dit geval geen zin?

1 2 3 4 5 6

76

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

14

16

• Stel een regressiemodel van de derde graad op.

De vergelijking van de regressielijn is Het verband wordt beschreven door een veeltermfunctie van de derde graad.

• Voorspel via dit model het procentueel aantal geboorten in 2025.

• Voorspel door extrapolatie van de gegevens voor 2014 en 2015 het procentueel aantal geboorten in 2025.

• Welke voorspelling acht je waarschijnlijker? Waarom?

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

77

4.1.2 De besmettelijkheid van een verkoudheid

Een verkoudheid is een infectie van de bovenste luchtwegen die veroorzaakt wordt door een virus. Er zijn niet minder dan 200 soorten virussen bekend die je verkouden kunnen maken.

De ziekte wordt verspreid door manueel contact, hoesten of niezen.

De symptomen (neusverstopping, lopende neus, hoesten, keelpijn ...) treden pas op na enkele dagen. Pas dan kun je iemand besmetten.

Als je besmet bent met een rhinovirus, dan is de kans P(x), in procent, dat je iemand besmet na x dagen gelijk aan P(x) = −0,06x 3 + 0,66x 2 − 5.

• Teken met ICT de grafiek van de functie P.

• Geef, op 0,01 nauwkeurig, de nulwaarden van de functie:

Welke nulwaarden hebben een fysische betekenis?

• Geef het praktisch domein van de functie P: • Na hoeveel dagen is het besmettingsgevaar het grootst? Bepaal die maximale kans.

1 2 3 4 5

• Geef het praktisch bereik van de functie P:

6

78

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.2

Veeltermen in 1 veranderlijke

4.2.1 Definities Definitie

Veelterm in 1 veranderlijke Een veelterm in 1 veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm f(x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , met n een natuurlijk getal en a n , ... , a 0 reële getallen.

De getallen a n , ... , a 0 zijn de coëfficiënten van de veelterm f(x).

Voorbeelden Plaats een vinkje bij de veeltermen. f(x) = −2x 3 + 6x 2 − 1

i(x) = −8

g(x) = x ⴢ (x 2 − 4x)

j(x) = 冪1 − 2x

h(x) =

Definitie

2x + 1 x

k(x) = 冪2 ⴢ x 4 − 8x + 6

Graad van een veelterm De graad van een veelterm f(x) is de hoogste exponent van x in die veelterm.

• Een reëel getal verschillend van 0 is dus een veelterm met graad 0.

Het getal 0 is een veelterm zonder graad.

• Geef de graad van de veeltermen. f(x) = 2x 4 − 8x 2 + 5

gr f(x) =

g(x) = 12x + 5x 3 − x 2

gr g(x) =

h(x) = (x − 5) ⴢ (2 − x) ⴢ (x 2 + 4)

gr h(x) =

• Een gerangschikte veelterm f(x) is geschreven naar dalende (of stijgende) machten van x.

Definitie

Getalwaarde van een veelterm De getalwaarde van een veelterm f(x) voor x = a, is gelijk aan f(a).

Bereken de getalwaarde van f(x) = −x 3 + 2x 2 − 6x + 1 voor x = −1.

4.2.2 Veeltermen optellen en vermenigvuldigen Deze paragraaf vind je op diddit.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

79

4.3

De euclidische deling van veeltermen

4.3.1 De deling van natuurlijke getallen Je deelt 4 912 door 13, zoals je dat in de lagere school hebt geleerd.

49

1

2

377

−39

Definitie

13

10

1

−9

1

1

0

2

−9

1

1

1

Het deeltal D is 4 912.

De deler d is 13.

Het quotiënt q is 377.

De rest r is 11.

Er geldt: 13 ⴢ 377 + 11 = 4 912.

Deling van natuurlijke getallen De deling van D door d ≠ 0, heeft q als quotiënt en r als rest als D = d ⴢ q + r en r ⬍ d.

4.3.2 De euclidische deling van veeltermen Definitie

Euclidische deling van veeltermen De euclidische deling van de veelterm D(x) door de veelterm d(x), met d(x) ≠ 0, heeft q(x) als quotiënt en r(x) als rest als D(x) = d(x) ⴢ q(x) + r(x) en gr[r(x)] ⬍ gr[d(x)] of r(x) = 0.

Waarom wordt r(x) = 0 apart vermeld?

Voorbeeld Bij de euclidische deling van D(x) = x 3 − 3x 2 + 5x − 8 door d(x) = x 2 − 4x, is q(x) = x + 1 het quotiënt en r(x) = 9x – 8 de rest, want

Definitie

Deelbaarheid van veeltermen De veelterm D(x) is deelbaar door de veelterm d(x) als er een veelterm q(x) bestaat zodat D(x) = d(x) ⴢ q(x).

Voorbeeld D(x) = −2x 3 −3x 2 + x – 2 is deelbaar door d(x) = x + 2, want −2x 3 − 3x 2 + x − 2 = (x + 2) ⴢ (–2x 2 + x − 1).

1

Reken dat na.

2 3 4 5 6

80

4.3.3 Algoritme voor de deling van veeltermen Deze paragraaf en oefeningen 1 tot en met 5 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.4

De deling van een veelterm door x – a

4.4.1 De regel van Horner Je bepaalt het quotiënt en de rest van de deling van D(x) = 2x 3 + 5x 2 − 3x + 4 door d(x) = x – 2.

2x 3 +

5x 2

−2x 3 +

4x 2

−3x +

9x 2

−3x

−9x 2 +

18x 15x + −15x +

4

x

−

2

2x 2

+

9x

+

15

4 30 34

De regel van Horner 2

−3

4

5 −3 2 & #4 ↓ 2 9

4

2

5

De coëfficiënt van x 2 van q(x) is gelijk aan de coëfficiënt van x 3 van D(x).

↓ 2

2

2 2 2

5 4 9

−3 18 15

Je vermenigvuldigt die coëfficiënt met a = 2 en telt het verkregen product op met de coëfficiënt van x 2 van D(x).

4 30 34

Je herhaalt die werkwijze voor alle coëfficiënten van het deeltal.

Het laatst verkregen getal is de rest van de deling.

r(x) =

q(x) = Voorbeelden

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D(x) door d(x).

D(x) = −3x 3 + x − 5

−3

D(x) = x 3 − 27

d(x) = x + 1

0

1

d(x) = x − 3

−5

−1

q(x) =

r(x) =

q(x) =

r(x) =

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

81

4.4.2 De reststelling Deel de veelterm f(x) = − 2x 3 + 4x 2 − x + 7 door x + 2.

q(x) = r(x) =

Bereken de getalwaarde f(−2): Wat stel je vast?

Definitie

Reststelling De rest van de deling van een veelterm f(x) door x – a is gelijk aan de getalwaarde f(a).

Voorbeelden Bepaal de rest van de deling van f(x) door d(x), zonder de deling uit te voeren. gegeven f(x) = x 3 + 5x − 12

berekeningen d(x) = x + 1

f(x) = −3x 3 − 8x 2 + x − 6 d(x) = x + 3

Een veelterm f(x) is deelbaar door x – a als de rest gelijk is aan 0.

Formule

Deelbaarheidscriterium Een veelterm f(x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.

Voorbeelden • Is f(x) = x 3 − 3x 2 − 3x + 15 deelbaar door x + 2?

• Bepaal de parameter p zo dat f(x) = x 3 + 6x 2 + px + 21 deelbaar is door x + 3.

Oplossing: 1

f(–3) = 2 3

Je bepaalt p uit de voorwaarde f(–3) = 0.

4 5 6

82

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

rest

4.4.3 Opzoeken van delers van de vorm x – a Neem de veelterm f(x) = (x − 2) ⴢ (x + 3) ⴢ (2x + 1) = 2x 3 + 3x 2 − 11x − 6.

1 Die veelterm heeft 3 delers van de vorm x – a, namelijk x – 2, x + 3 en x + .

2 Daarvan zijn er 2 delers waarbij a een geheel getal is.

Merk op dat de getallen 2 en –3 gehele delers zijn van de constante term –6 van f(x).

Eigenschap

Als f(x) een veelterm is met gehele coëfficiënten en a een geheel getal, dan geldt: als x – a een deler is van f(x), dan is a een gehele deler van de constante term van f(x).

Alternatieve formulering • De constante term –6 van f(x) is deelbaar door 1, maar x – 1 is geen deler van f(x).

Waarom niet?

• Waarom weet je, zonder f(4) te bereken, dat x – 4 geen deler kan zijn van f(x)?

Eigenschap

Als a geen gehele deler is van de constante term van een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten, dan is x – a geen deler van f(x).

Voorbeeld • Bepaal een deler van de vorm x – a van de veelterm f(x) = −3x 3 − 3x 2 + 10x + 8.

Oplossing: Á De gehele delers van 8 zijn: Á Bereken f(a), waarbij a een deler is van 8, tot f(a) = 0. f(1) =

f(–1) =

f(2) =

f(–2) =

Á De tweeterm

is een deler van f(x).

• Bepaal het quotiënt van de deling van f(x) door de gevonden deler.

q(x) =

0

• Schrijf f(x) als het product van een factor van de eerste graad en een factor van de tweede graad.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

83

Oefeningen REEKS A 6

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D(x) door d(x). a) D(x) = 2x 2 + 5x − 3

d(x) = x − 2

2 2 2

5

−3

4

18

q(x) =

9

15

r(x) =

b) D(x) = 2x 3 − x 2 − 7x + 6 2 −2 2

d(x) = x + 2

−1

−7

6

−4

10

−6

q(x) =

−5

3

0

r(x) =

c) D(x) = −3x 3 + x 2 − 5x + 2 −3 3 −3

d(x) = x − 3

1

−5

2

−9

− 24

−87

q(x) =

−8

−29

−85

r(x) =

d) D(x) = 5x 3 − 7x 2 + 3x − 8 5 −5 5

−7

3

−8

−25

160

−815

q(x) =

−32

163

−823

r(x) =

De Brit William George Horner (1786-1837) was een wonderkind.

Op zijn 14e studeerde hij al af als onderwijzer en 4 jaar later was hij directeur van de Kingswoord School in Bristol.

In 1809 stichtte hij zijn eigen school in Bath.

1 2 3 4 5

Foto Andrew Dunn 6

84

d(x) = x + 5

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Wiskunde was voor hem vooral een vrijetijdsbesteding.

We kennen Horner door zijn algoritme om veeltermen te delen door x – a, maar daarnaast vond hij ook de zoötroop uit, een apparaat waarmee bewegende beelden weergegeven kunnen worden.

Zelf noemde hij zijn uitvinding het ‘daedulum’, het wiel van de duivel.

7

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D(x) door d(x). a) D(x) = 5x 3 − 4x 2 + 8x 5

d(x) = x − 1

−4

8

0

5

1

9

q(x) =

1

9

9

r(x) =

1 5

b) D(x) = −x 3 + 2x − 5 −1 −4 −1

d(x) = x + 4 0

2

−5

4

−16

56

q(x) =

4

−14

51

r(x) =

c) D(x) = 2x 3 − 8x 2 + 28 2 3 2

d(x) = x − 3

−8

0

28

6

−6

−18

q(x) =

−2

−6

10

r(x) =

d) D(x) = 2x 3 + 16 2 −2 2

8

d(x) = x + 2 0

0

16

−4

8

−16

q(x) =

−4

8

0

r(x) =

Ga na of de veelterm f(x) deelbaar is door d(x). a) f(x) = 2x 3 + 3x 2 + x

d(x) = x + 1

c) f(x) = 3x 3 + 4x 2 − 5x − 4

d(x) = x + 2

b) f(x) = −x 3 − 2x 2 + 4

d(x) = x – 2

d) f(x) = −4x 3 + 12x 2 + x − 3

d(x) = x – 3

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

85

REEKS B 9

10

Bepaal de parameter p zo dat de veelterm f(x) deelbaar is door d(x). a) f(x) = 4x 3 + px 2 + 4x − 1

d(x) = x + 1

c) f(x) = 3x 3 + 6x 2 + px + 10

d(x) = x + 2

b) f(x) = −x 3 + 8x 2 − 15x + p

d(x) = x – 3

d) f(x) = px 3 − 19x 2 + 40x + 25

d(x) = x – 5

Zoek een deler van de vorm x – a en voer de deling uit.

Schrijf f(x) als een product van een factor van de eerste graad en een factor van de tweede graad. a) f(x) = x 3 − 4x 2 − 11x + 30

1 2

−4

−11

30

2

−4

−30

f(x) = 1

−2

−15

0

1

−4

−3

−2

1

3

−1

−3

0

0

−37

−42

−8

16

42

−8

−21

0

b) f(x) = 2x 3 + x 2 − 4x − 3

2 −1

f(x) = 2

c) f(x) = 4x 3 − 37x − 42 1 2

4

3 4 5

−2

f(x) = 4

6

86

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.5 Definitie

Veeltermfuncties Veeltermfunctie Een veeltermfunctie is een functie waarvan het voorschrift een veelterm is.

De graad van de veeltermfunctie is de graad van het voorschrift.

Grafische kenmerken graad

voorbeelden

kenmerken

y

f (x) = 2

2

De grafieken zijn

1

0

g (x) = 0 –3

–2

–1

1

2

–1

x

3

Aantal nulwaarden:

h (x) = –1

–2

y

g (x) = 2x + 1

3

f (x) = –x + 2

De grafieken zijn

2

1

1 x –2

–1

1

2

Aantal nulwaarden:

3

–1

8 7 6 5 4 3 2 1

h (x) = x2 + 6x + 10

2

y

Aantal nulwaarden:

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

2

–2 –3 –4

y 5

De grafieken zijn

g (x) = x2 – 6x + 9

3

4

5

6

f (x) = –x2 – 2x + 1

Aantal extrema:

De grafieken hebben uiteenlopende vormen.

g (x) = 2x3 – 26x2 + 110x – 150

4 3 2

3

Een functie bereikt een relatief extremum in een getal als de grafiek er een overgang maakt van dalen naar stijgen (minimum) of van stijgen naar dalen (maximum).

Aantal nulwaarden: f (x) = –x3 + x2 +2x

Aantal extrema:

1 x –4 –3

–2

–1

–1

1

–2 –3 h (x) = x3 + 9x2 + 27x + 25

2

3

4

5

6

Een buigpunt is een punt waarin een kromme overgaat van bol naar hol of omgekeerd.

Aantal buigpunten:

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

87

4.6

Nulwaarden van veeltermfuncties

4.6.1 Voorbeelden Voorbeeld 1

Een koffiebranderij heeft laten berekenen dat haar maandelijkse winst W(x), in euro, gelijk is aan W(x) = −

71 17 7 x3 + x 2 − x − 800.

180 000 1 800 3

Hierbij is x het aantal kilogram koffie dat ze verkoopt per maand.

• Teken met ICT de grafiek van de functie W. Oplossing: Keuze van het grafische venster:

• Bepaal alle nulwaarden die een economische betekenis hebben.

Oplossing: Behalve langs grafische weg kun je met de grafische rekenmachine ook nulwaarden zoeken met de applicatie PlySmlt2.

Na het activeren van de applicatie, kies je voor 1:POLY ROOT FINDER.

Voer de graad van de veelterm in, geef aan dat je reële oplossingen zoekt en druk GRAPH ( NEXT ) .

Na het invoeren van de coëfficiënten druk je

GRAPH

(

SOLVE

1 2 3

De gevraagde nulwaarden zijn:

4 5

• Wat is de economische betekenis van die nulwaarden?

6

88

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

).

Voorbeeld 2

y

Beschouw de functie f(x) = −x 3 − 2x 2 + 5x + 6.

9 8 7

• Lees de nulwaarden van f af op de grafiek.

6 5 4 3 2 1

• Ontbind f(x) in factoren van de eerste en de tweede graad. Á a=

is een nulwaarde, dus f(

–4

–3

–2

–1

2 −1

−2

5

6

−2

−8

−6

−4

−3

0

x 1

2

3

4

–2

) = 0.

–3 –4

Á Voer de deling van f(x) door x – a uit. −1

–1

–5

f(x) = d(x) ⴢ q(x) =

• Bereken de nulwaarden van d(x) en van q(x). d(x) =

=0

q(x) =

=0

D= x1 = x2 = • Besluit: de nulwaarden van f zijn

4.6.2 Algemeen Methode

Je kunt de nulwaarden van een veeltermfunctie f bepalen door: • f(x) te ontbinden in factoren van de eerste en de tweede graad; • de nulwaarden van elk van de factoren te berekenen.

Gevolg Het maximum aantal nulwaarden van een veeltermfunctie is gelijk aan

Opmerking In sommige gevallen is het niet nodig de veelterm in factoren te ontbinden.

Voorbeeld Bereken de nulwaarden van de functie f(x) = 2x 3 + 5.

2x 3 + 5 = 0 x 3 = −2,5 x = 3冪 −2,5 =

(op 0,001 nauwkeurig).

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

89

4.6.3 Een veelterm van de derde graad ontbinden gemeenschappelijke factoren afzonderen −7x 3 − 14x 2 = −7x 2 ⴢ (

termen samennemen

delers van de vorm x – a

12x 3 + 8x 2 + 3x + 2 = 4x 2 ⴢ (3x + 2) + 1 ⴢ (3x + 2)

)

)ⴢ(

=(

)

• Zoek een deler van de vorm x – a; • deel f(x) door x – a; • f(x) = (x − a) ⴢ q(x).

4.6.4 Grafische interpretatie van nulwaarden Voorbeelden functie

nulwaarden

grafische interpretatie (met ICT)

f(x) = (2x + 1) ⴢ (x 2 − 4)

g(x) = (x − 3) ⴢ (x + 2)

2

h(x) = x 3 − 27

De multipliciteit van een nulwaarde is het aantal keer dat die nulwaarde voorkomt. functie

nulwaarden met multipliciteit 1

nulwaarden met multipliciteit 2

f g h

Algemeen

De grafiek van een veeltermfunctie f: • snijdt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met oneven multipliciteit;

1 2

• raakt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met even multipliciteit.

3 4

De snijpunten en raakpunten met de x-as noem je de gemeenschappelijke punten met de x-as.

5 6

90

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.6.5 Voorbeelden • Bepaal de gemeenschappelijke punten van de grafiek van de functie f(x) = x 3 − 5x 2 + 3x + 9 met de x-as.

Oplossing 1 −1 1

−5

3

9

−1

6

−9

−6

9

0

• Bepaal de snijpunten van de grafieken van de functies f(x) = 9x 3 − 30x 2 + 5x + 3 en g(x) = 6x 2 + 6x − 1.

Oplossing De grafieken snijden elkaar als f(x) = g(x). ⇔

=0

Los de vergelijking op door termen samen te nemen.

De x-coördinaten van de gevraagde snijpunten zijn: Bereken de respectievelijke y-coördinaten.

Controle met ICT de nulwaarden van f – g bepalen

de snijpunten van de grafieken bepalen

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

91

4.7

Tekenschema van veeltermfuncties

4.7.1 Inleidende voorbeelden Voorbeeld 1

x

Een bedrijf maakt kartonnen dozen waarvan de lengte van het grondvlak 2 dm groter is dan de breedte.

De hoogte van de doos is de helft van de breedte van het grondvlak.

Bij welke afmetingen hebben de dozen een inhoud van minstens 8 dm 3?

Oplossing: • Stel: x is de breedte van het grondvlak. x De lengte is dan x + 2 en de hoogte .

2 • De inhoud van de doos is I(x) = x ⴢ (x + 2) ⴢ

x ⭓8 2

• Uitwerking van de ongelijkheid: x ⴢ (x + 2) ⴢ x ⭓ 16 x 3 + 2x 2 − 16 ⭓ 0 • Bepaling van de nulwaarden van de functie f(x) = x 3 + 2x 2 − 16: f(2) = 0

1

⇒ x – 2 is een deler van f(x). f(x) = (x − 2) ⴢ (x 2 + 4x + 8) ↓ ↓ x=2 D⬍0

2 1

2

0

−16

2

8

16

4

8

0

• Het teken van f(x) wordt volledig bepaald door d(x) = x – 2, want q(x) ⬎ 0. x f (x)

2 –

0

+

De dozen hebben een inhoud van minstens 8 dm 3 als de breedte van het grondvlak minstens 2 dm is.

1

De lengte is 2 3

en de hoogte is

4 5 6

92

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Voorbeeld 2 Bepaal het tekenschema van de functie f(x) = x 3 − 7x − 6 = (x − 3) ⴢ (x + 1) ⴢ (x + 2). x

–2

–1

3

f(x)

0

0

0

14 12 10

+

• Het teken van de coëfficiënt van x 3 is positief.

Je ziet dat de grafiek van f rechts van de grootste nulwaarde boven de x-as blijft.

Dus f(x) ⬎ 0 als x ⬎ 3.

y

8 6 4 2 –3

–2

–1

x 1

–2

2

3

4

5

–4 –6 –8

• Bij elke nulwaarde is er een tekenverandering.

–10 –12 –14

Voorbeeld 3 2

Bepaal het tekenschema van de functie f(x) = −x 3 + 3x + 2 = (2 − x) ⴢ (x + 1) . x

–1

2

f (x)

0

0

y 4 3

–

• Het teken van de coëfficiënt van x 3 is negatief.

Je ziet dat de grafiek van f rechts van de grootste nulwaarde onder de x-as blijft.

Dus f(x) ⬍ 0 als x ⬎ 2.

2 1 x –2

–1

1

2

3

–1 –2 –3

• Bij de nulwaarde –1, met multipliciteit 2, is er geen tekenverandering (de grafiek raakt er de x-as).

–4

4.7.2 Algemeen Methode

Om het tekenschema van een veeltermfunctie f te bepalen, voer je de volgende stappen uit.

• Bereken de nulwaarden van f.

• Het teken van f(x) rechts van de grootste nulwaarde is het teken van de hoogstegraadscoëfficiënt.

• Vul het schema verder in van rechts naar links. Á Bij een nulwaarde met een oneven multipliciteit verandert het teken. Á Bij een nulwaarde met een even multipliciteit blijft het teken behouden.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

93

4.7.3 Voorbeelden • Bepaal de ligging van de grafiek van de functie f(x) = x 3 − 6x 2 + 8x − 3 ten opzichte van de x-as.

Oplossing Á Berekening van de nulwaarden van f:

1 1 1

−6

8

−3

1

−5

3

−5

3

0

Á Tekenschema van f(x): x

0,70

f(x)

−

1

0

+

0

4,30 −

0

+

De grafiek ligt boven de x-as als De grafiek ligt onder de x-as als De gemeenschappelijke punten met de x-as zijn • Voor welke x-waarden ligt de grafiek van de functie f(x) = x 3 boven de grafiek van g(x) = x 2 + 4?

Oplossing Je lost de ongelijkheid x 3 ⬎ x 2 + 4 op. Á Herleiden op nul: x 3 − x 2 − 4 ⬎ 0 Á Berekening van de nulwaarden van de functie h(x) = f(x) – g(x) = x 3 − x 2 − 4:

1 2 1

−1

0

−4

2

2

4

1

2

0

1 2 3 4

Á Tekenschema van h(x): x h(x)

2 −

0

5 6

94

De grafiek van f ligt boven de grafiek van g als HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

+

4.8

Toepassing met ICT In een rapport van het Intergovernmental Panel on Climate Change (2007) wordt de stijging van de gemiddelde temperatuur sinds het midden van de twintigste eeuw vooral toegeschreven aan de toename van broeikasgassen.

Volgens datzelfde rapport hebben we nog slechts 30 jaar om te voorkomen dat de temperatuur op aarde in de komende eeuwen met 6 tot 10 graden oploopt.

Enkele feiten: • 11 van de 12 warmste jaren sinds 1850 zijn genoteerd na 1990.

• Uit een studie van NASA uit 2005 blijkt dat de aarde meer licht van de zon in de atmosfeer opneemt dan het in de ruimte terugstoot.

• In het noordpoolgebied is de temperatuur van de bevroren ondergrond met 3 ºC gestegen in 20 jaar.

• Het niveau van de oceanen is met 3,2 mm per jaar gestegen tussen 1993 en 2010.

• Gletsjers overal ter wereld trekken zich in een ijltempo terug.

• Het aantal overstromingen en de intensiteit ervan nemen zorgwekkend toe.

• Orkanen worden steeds krachtiger.

De tabel bevat gegevens over de gemiddelde jaartemperatuur in een stad. jaar

1904 1944 1964 1994 2004 2011

temp. (ºC)

9,1

9,7

9,8

10,5

11,2

11,5

2015

2017

11,2

12,1

• Stel de tabel voor met een puntenwolk.

Neem het aantal jaren na 1904 als onafhankelijke veranderlijke.

• Bepaal een regressiekromme van de derde graad.

(x is het aantal jaren na 1904, T is de gemiddelde jaartemperatuur in ºC) • Voorspel de gemiddelde jaartemperatuur in 2050.

• In welk jaar steeg de gemiddelde jaartemperatuur voor het eerst boven 10 ºC? • Voorspel in welke periode de gemiddelde jaartemperatuur tussen 13 ºC en 14 ºC zal liggen.

• Stel het verband op voor de gemiddelde jaartemperatuur sinds 1904 als je uitgaat van een lineaire stijging met 2 ºC per eeuw: T 2 (x) = • Geef het tekenschema van de functie T(x) − T 2 (x). x T(x) – T 2 (x)

0 −

0

14,9 +

0

103,0 −

0

+

• Geef de fysische betekenis van het tekenschema.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

95

Oefeningen REEKS A 11

Bepaal de nulwaarden en het tekenschema. a) f(x) = x 3 − 9x

x f (x)

d) f(x) = 2x 3 + 28

−3 −

0

0 +

0

−

0

+

b) f(x) = x 3 − 39x + 70 1 2 1

x f (x)

−

0

−39

70

2

4

−70

2

−35

0

2 +

−14

f (x)

+

0

−

e) f(x) = −5x 3 + x 2 + 80x − 16

0

−7

3 冪

x

3

0

−5 4 −5

x

5 −

0

c) f(x) = −4x 3 + 4x 2 − x + 1

+

f (x)

1

80

−16

−20

−76

16

−19

4

0

1 5

−4 +

0

−

4

0

+

0

−

f) f(x) = x 3 − 3x − 2 1 −1 1

0

−3

−2

−1

1

2

−1

−2

0

1 2 3 4 5

x f (x)

6

96

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

x

1 +

0

−

f (x)

−1 −

0

2 −

0

+

12

Bepaal de nulwaarden en het tekenschema. d) f(x) = 5x 3 − 8x 2 − x − 6

a) f(x) = −2x 3 + x 2 + 6x + 3 −2 −1 −2

x f (x)

1

6

3

2

−3

−3

3

3

0

−1 +

−0,68

0

−

0

5 2 5

0

−

b) f(x) = 12x 3 − 60x 2 + 75x

x −

5 2

0

+

f (x)

0

f (x)

+

+

0

3

0

+

0

1 2

0 −

0

−

f) f(x) = 2x 3 − 9x 2 + 7x + 6

3 2 −

2

0

2

+

6

0

−

2

f (x)

4

−

2

− 冪3

10

2

x

c) f(x) = −2x 3 + 3x 2 + 6x − 9

x

−6

e) f(x) = −8x 3 − 4x 2

0

f (x)

−1

x

2,19 +

−8

冪3

+

0

x −

f (x)

− −

−9

7

6

4

−10

−6

−5

−3

0

1 2

0

2 +

0

3 −

0

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

+

97

13

Geef bij elke grafiek de passende vergelijking. y

y

10

6

8 6

4

4

2

2

I

–2

–1

x 1

–2

2

3

4

5

6

IV

x –3

–2

–1

1 –2

–4 –6

–4

–8

–6

–10

8

y

y 2

6

x

4

–3

–2

–1

x –2

–1

1

2

3

4

5

6

V

6

6

4

4

5

6

2 x

–1

1 –2 –4 –6

2

VI

x –1

1

2

–2 –4 –6

y = 2x ⴢ (x − 4) ⴢ (x − 2)

y = (x + 2) ⴢ (x 2 + 1)

y = (–x − 2) ⴢ (x 2 + 1)

y = −x ⴢ (x − 4) ⴢ (x − 2)

1

y = (x + 1) ⴢ (x − 3)

4 5 6

98

4

y

2

3

3

–10

y

2

4

–8

–6

–2

3

–6

–4

–3

2

–4

–2

III

1 –2

2

II

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

2

2

2

y = (x + 1) ⴢ (x − 3)

14

De jaarlijkse omzet van een bedrijf dat kinderwagens maakt, wordt gegeven door 1 de functie O(p) = 202 500 ⴢ p − p 3. Daarbij is p de prijs, in euro, per kinderwagen.

3 a) Bereken de jaarlijkse omzet bij 200 euro per wagen.

b) Vanaf welke prijs zal het bedrijf geen enkele kinderwagen meer verkopen?

c) Teken met ICT de grafiek van de functie O. d) Bij welke prijs is de omzet maximaal? Bepaal die maximale omzet.

e) In welke prijsklasse bedraagt de omzet meer dan 40 miljoen euro?

15

Vanuit de stuurhut van een schip in nood wordt een vuurpijl afgeschoten.

De hoogte h, in m, van de pijl, boven het wateroppervlak wordt gegeven door de functie h(t) = t 3 − 4t 2 + 2t + 8, waarbij t het aantal seconden is na het afvuren. a) Hoe hoog bevindt de stuurhut zich boven het zeeniveau? b) De vuurpijl ontploft na 6 s. Op welke hoogte gebeurt dat?

c) De vuurpijl is zichtbaar vanaf de kust als hij meer dan 16 m boven de zeespiegel vliegt.

Gedurende hoeveel seconden is de pijl zichtbaar?

t h(t) – 16

4 −

0

6 +

92

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

99

REEKS B 16

Bepaal de ligging van de grafiek van f ten opzichte van de grafiek van g. a) f(x) = x 3

c) f(x) = 3x 3 − 12x 2 + 9x + 5

g(x) = x − 6

g(x) = 5 − 3x

h(x) = f (x) – g(x) = 1 −2 1

0

−1

6

−2

4

−6

−2

3

0

x

x

−2

h(x)

−

0

b) f(x) = −2x 3 + x 2 + 4x

0

h(x)

+

−

0

3 −4

h(x)

+

1 2 3 4 5 6

100

1 2

−1

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

0

−

0

x

1 +

0

+

d) f(x) = −4x 3 + 15x 2 + 3x

g(x) = 2x + 1

−4

x

2

−

h(x)

0

+

g(x) = 2x 2 + 4x + 6

13

−1

−6

−12

3

6

1

2

0

−0,59 +

0

0,84 −

0

3 +

0

−

17

Het volume V, in cm 3, van de vloeistof in deze koffiekan, wordt gegeven door de functie 1 V(h) = 36 ␲ ⴢ h + 4 ␲ ⴢ h 2 − ␲ ⴢ h 3. Daarbij is h de hoogte, in cm, van de vloeistof.

3 a) Geef het praktisch domein van de functie V.

h

10 cm

b) Bereken het volume van de vloeistof als de hoogte 5 cm is.

c) Teken met ICT de grafiek van de functie V in het praktisch domein. d) Welke hoogte moet de vloeistof minimaal bereiken om minstens 1 liter inhoud te hebben?

e) Een tweede koffiekan heeft de vorm van een cilinder met diameter 12 cm en hoogte 10 cm.

Toon aan dat, bij gelijke hoogtes van de vloeistof, de eerste koffiekan altijd meer vloeistof bevat.

18

Uit een rechthoekig stuk karton van 60 cm bij 30 cm snijd je 6 vierkantjes weg.

Met het overblijvende deel maak je een doos met deksel.

Bereken de zijde van de weggesneden vierkantjes zodat de inhoud van de doos 1 500 cm 3 is. x

30

60

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

101

REEKS C 19

Bepaal het voorschrift van de veeltermfuncties van de derde graad. a)

De nulwaarden zijn –2, 0 en 3,

y 5

dus: f(x) = a ⴢ x ⴢ (x − 3) ⴢ (x + 2).

4 3

A(1, 3) behoort tot de grafiek

2 1 x –2

–1

1

2

⇒

3

–1 –2 –3

f(x) = b)

y 4 2 x –2

–1

1

2

3

–2 –4 –6 –8

c)

y 4 3 2 1 x –1

1

2

–1 –2 –3 –4

d) y 6 4 2

1

x –3

2

–2

–1

1 –2

3

–4

4 –6

5 6

102

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

De aarde draait in 365,25 dagen één keer om de zon, in een ellipsvormige baan waarbij de zon in een van de brandpunten staat.

Het baanvlak van de aarde is hetzelfde als dat van alle andere planeten.

Dat vlak wordt het eclipticavlak genoemd.

De aarde draait ook om haar eigen as, van west naar oost, en maakt één volledige omwenteling in 24 uren.

De as van de aarde staat loodrecht op het evenaarsvlak.

Het eclipticavlak en het evenaarsvlak sluiten een hoek in van 23º 27⬘.

Beide vlakken snijden elkaar in een denkbeeldige lijn die gevormd wordt door het lentepunt en het herfstpunt. Rond 21 maart gaat de zon door het lentepunt en staat dan loodrecht op de kreeftskeerkring, 23º 27⬘ ten noorden van de evenaar.

De lente begint dan in het noordelijk halfrond.

Het herfstpunt wordt bereikt rond 21 september. Op die dag staat de zon loodrecht op de steenbokskeerkring en begint de lente in het zuidelijk halfrond.

20

De astronomische daglengte (de tijd tussen zonsopgang en zonsondergang) is afhankelijk van de breedteligging. De tabel toont de daglengte d, in uren, op 15 juni. breedte (º)

–60

–50

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

daglengte (h)

5,9

8,08 9,33 10,23 10,93 11,53 12,12 12,7 13,33 14,07

40 15

50

60

16,35 18,82

a) Bepaal een derdegraadsregressielijn om het verband te zoeken tussen de daglengte d (in h) en de breedteligging x (in º) . d(x) = b) Bepaal de daglengte in Moskou (57º NB).

c) Met hoeveel uren neemt de daglengte af als je van Antwerpen (51º NB) naar Benidorm (38º 30⬘ NB) vliegt?

d) Teken de grafiek van de functie d met ICT. e) Vanaf welke zuidelijke breedteligging komt de zon niet meer boven de horizon (poolnacht)?

f) Hoe hoog noordelijk moet je reizen om de middernachtzon te bewonderen?

g) Hou rekening met het antwoord op de vorige vragen om het voorschrift van de functie d te vinden die voor alle breedtegraden geldig is.

d(x) =

冦

, als , als , als

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

103

De Body Mass Index (BMI) is een eenvoudige formule om na te gaan of je te weinig of te veel weegt in verhouding tot je lichaamslengte.

Er geldt: BMI =

G (G is het gewicht in kg en L de lengte in m).

L2

Die index wordt soms ook de queteletindex genoemd, naar de Belgische sterrenkundige en statisticus Adolphe QuĂŠtelet (1796-1874), die de formule voor het eerst gebruikte.

21

Om het verband tussen BMI en levensverwachting na te gaan, heeft de U.S. Health and Retirement Survey een onderzoek gedaan bij 16 000 mensen ouder dan 55 jaar.

Het diagram toont de resultaten.

aantal jaren

levensverwachting op de leeftijd van 55 jaar 28,5

30

23,5

25

29

28,5 24,5

28,5 24

21

23 21

20

Mannen

15

Vrouwen 10 5

18

22

26

32

38

BMI

a) Bepaal een regressiekromme van de tweede graad die het verband geeft tussen de levensverwachting l M van mannen van 55 jaar en hun BMI x. l M (x) = b) Bij welk BMI hebben mannen volgens dit model de hoogste levensverwachting?

c) Bepaal een regressiekromme van de vierde graad die het verband geeft tussen de levensverwachting l V van vrouwen van 55 jaar en hun BMI x. l V (x) = d) Bij welk BMI hebben vrouwen volgens dit model geen jaar meer te leven?

1 2

e) Toon via de gevonden regressiemodellen aan dat een hoog BMI een grotere invloed heeft op de levensverwachting bij vrouwen dan bij mannen.

3 4 5 6

104

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

22

Drie luchtballonnen nemen deel aan een wedstrijd. De hoogte h, in m, van die ballonnen, t uren na het opstijgen, wordt beschreven door de functies: h 1 (t) = −0,6t 4 + 13,5t 3 − 99t 2 + 265t, h 2 (t) = −0,65t 4 + 14t 3 − 100t 2 + 270t, h 3 (t) = −0,7t 4 + 14,5t 3 − 101t 2 + 290t. a) Teken met ICT de grafiek van de 3 functies. b) Bepaal de hoogte van elke ballon na 10 uur vliegen.

c) Welke ballon is het langst in de lucht gebleven? Hoelang?

d) Bepaal, op 0,1 m nauwkeurig, de hoogte van elke ballon halverwege zijn vlucht.

e) Welke ballon bereikte op zijn vlucht de grootste hoogte en hoe hoog, op 0,1 m nauwkeurig, vloog hij dan?

f) Na hoeveel tijd bereikte ballon 2 zijn grootste hoogte? Wat was die hoogte?

g) Bepaal hoelang elke ballon hoger vloog dan 150 m.

h) Bepaal hoelang elke ballon lager vloog dan 200 m.

i) Hoelang vloog de eerste ballon lager dan de tweede ballon?

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

105

STUDIEWIJZER Veeltermfuncties 4.2 Veeltermen in 1 veranderlijke KENNEN Een veelterm in 1 veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm f(x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , met n een natuurlijk getal en a n , ... , a 0 reële getallen.

De getallen a n , ... , a 0 zijn de coëfficiënten van de veelterm f (x).

De graad van een veelterm f(x) is de hoogste exponent van x in die veelterm.

De getalwaarde van een veelterm f(x) voor x = a, is gelijk aan f(a).

KUNNEN Herkennen of een uitdrukking een veelterm is en er de graad en getalwaarden van bepalen.

Veeltermen optellen en vermenigvuldigen in functie van de deling van veeltermen.

4.3 De euclidische deling van veeltermen KENNEN De euclidische deling van de veelterm D(x) door de veelterm d(x), met d(x)≠0, heeft q(x) als quotiënt en r(x) als rest als D(x) = d(x) ⴢ q(x) + r(x) en gr [r(x)] < gr 关d(x)] of r(x) = 0.

De veelterm D(x) is deelbaar door de veelterm d(x) als er een veelterm q(x) bestaat zodat D(x) = d(x) ⴢ q(x).

KUNNEN De deling van een veelterm D(x) door een veelterm d(x) uitvoeren met het algoritme van de euclidische deling. De proef maken met behulp van de definitie van de euclidische deling.

4.4 De deling van een veelterm door x – a KENNEN De rest van de deling van een veelterm f(x) door x – a is gelijk aan de getalwaarde f(a).

Een veelterm f(x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.

Als a geen gehele deler is van de constante term van een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten, dan is x – a geen deler van f (x).

KUNNEN De deling van een veelterm D(x) door een veelterm d(x) uitvoeren met de regel van Horner als d(x) = x – a. De proef maken met behulp van de definitie van de euclidische deling.

Vragen oplossen over de rest van de deling van een veelterm f(x) door x – a, eventueel met parameters.

Delers van de vorm x – a zoeken voor een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten.

4.5 Veeltermfuncties KENNEN Een veeltermfunctie is een functie waarvan het voorschrift een veelterm is.

De graad van de veeltermfunctie is de graad van het voorschrift.

1 2 3 4 5 6

106

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.6 Nulwaarden van veeltermfuncties KENNEN Je kunt de nulwaarden van een veeltermfunctie f bepalen door: • f(x) te ontbinden in factoren van de eerste en de tweede graad; • de nulwaarden van elk van de factoren te berekenen.

De grafiek van een veeltermfunctie f: • snijdt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met oneven multipliciteit; • raakt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met even multipliciteit.

KUNNEN De nulwaarden van een veeltermfunctie f van de derde graad berekenen door de veelterm f(x) te ontbinden in factoren of, in uitzonderlijke gevallen, door van lid te veranderen.

De meest doeltreffende methode om een veelterm te ontbinden, gebruiken.

De grafische interpretatie geven van de nulwaarden van een veeltermfunctie.

De nulwaarden van een willekeurige veeltermfunctie bepalen met ICT.

4.7 Tekenschema van veeltermfuncties KENNEN Om het tekenschema van een veeltermfunctie f te bepalen, voer je de volgende stappen uit.

• Bereken de nulwaarden van f.

• Het teken van f(x) rechts van de grootste nulwaarde is het teken van de hoogstegraadscoëfficiënt.

• Vul het schema verder in van rechts naar links: Á Bij een nulwaarde met een oneven multipliciteit verandert het teken. Á Bij een nulwaarde met een even multipliciteit blijft het teken behouden.

KUNNEN Het tekenschema opstellen van een veeltermfunctie van de derde graad en er de grafische interpretatie van geven.

Vraagstukken uit de reële wereld oplossen waarbij van een veeltermfunctie: • het voorschrift gegeven is; • het voorschrift zelf moet gezocht worden uit de gegevens (eventueel via regressie).

De specifieke betekenis geven van de nulwaarden, het tekenschema, de extreme waarden en de snijpunten van de grafiek met andere grafieken.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

107

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

108

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES