Pienter 5/6 tso - Tweedegraadsfuncties - inkijkexemplaar

Pi enter TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Derde graad TSO

TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Pi enter

Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Derde graad TSO

Leer zoals je bent

Etienne Goemaere

Ontdek het onlineleerplatform: diddit.

Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie?

Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.

Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.

Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in?

1 2

Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

3 4 5 6

ISBN 978-90-306-9202-7

590190

vanin.be

1

2

3

4

5

6

Tweedegraadsfuncties

©

VA N

IN

Derde graad TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

Hoofdstuk 1 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties Hoofdstuk 2 Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ 2

Hoofdstuk 3 Tweedegraadsvergelijkingen in 1 onbekende Hoofdstuk 4 Grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c Hoofdstuk 5 Verloop van tweedegraadsfuncties

©

VA N

IN

Hoofdstuk 6 Tekenschema van tweedegraadsfuncties

₄ ₅ ₁₇ ₄₉ ₆₉ ₈₁ ₉₃

Hoe werk je met Pienter?

Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.

Je leert ook eigenschappen bewijzen.

eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

VA N

REEKS A

IN

Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen.

Er zijn drie reeksen oefeningen:

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

©

Interessante weetjes of achtergrond herken je aan een kader met vraagteken.

Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer.

Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Ook het contractwerk helpt je bij het studeren.

Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform

.

Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt.

Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: • extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, • instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.1

Oppervlakte van een cirkel

1.2

Mathematische slinger

1.3

Olieproductie en olieprijs

1.4

Definitie

1.5

Parabolen in het dagelijks leven

©

VA N

IN

Studiewijzer

₆ ₇ ₉ ₁₅ ₁₅ ₁₆

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

5

1.1

Oppervlakte van een cirkel

De oppervlakte van een cirkel met straal r is evenredig met het kwadraat van de straal.

Er geldt A = ␲ ⴢ r 2 Er bestaat een kwadratisch verband tussen de oppervlakte en de straal van de cirkel.

1

2

A (cm 2)

3, 1 4

1 2,57

4

6

8

10

12

IN

r (cm)

VA N

Maak je een grafische voorstelling van de bovenstaande knoppen, dan verkrijg je een puntenwolk die deel uitmaakt van een parabool. y = π · x2

y A

A = π · r2

550 500 450

©

400 350 300 250 200 150 100 50 r –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –50

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 x

1 2 3

De vergelijking van deze parabool is y = ␲ ⴢ x 2.

De functie met voorschrift f (x) = ␲ ⴢ x 2 is een tweedegraadsfunctie of kwadratische functie.

4 5 6

6

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Mathematische slinger

Breng je een massa vanuit de evenwichtsstand naar een punt P en laat je die los, dan wordt de massa door een component van de zwaartekracht G naar de evenwichtsstand teruggedreven.

De tijd nodig om 1 slingerbeweging uit te voeren, is de slingertijd T.

P

Je onderzoekt het verband tussen de lengte l van de slinger en de slingertijd T. 1 slingerbeweging

Proefondervindelijk werden de onderstaande gegevens verzameld.

0

0,63

0,90

l(m)

0

0, 10

0,20

1,24

0,30

0,40

1,43

1,56

1,65

0,50

0,60

0,70

VA N

l2 − l1 T2 − T1

1, 1 1

IN

T(s)

Als je het quotiënt bekijkt van het verschil tussen 2 opeenvolgende waarden van l en 2 opeenvolgende waarden van T, wat stel je dan vast?

Er bestaat dus zeker geen

©

1.2

verband tussen de lengte van de slinger en de slingertijd.

l 0,9 0,8 0,7

Als je de gegevens uitzet in een puntenwolk, aan welk verband denk je dan?

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,5

1

1,5

2

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

T

7

Met ICT kun je de vergelijking zoeken van de parabool die het best past bij deze punten.

Je voert een kwadratische regressie uit.

Heb je de gegevens voor T ondergebracht in L 1 en die voor l in L 2 , dan kun je met de TI84 deze regressie uitvoeren met het commando KwadReg L 1 , L 2 , Y 1 .

Hiervoor druk je L5

list

U

L1

5

stat L1

Y L1

1

2nd

Y

1

EE

L2

J

,

2nd

Z

2

EE

J distr

,

vars

Y

1

.

[

Om hetzelfde scherm te krijgen als hierboven (met vermelding R 2) moet de functie DiagnoseAan geactiveerd zijn. catalog 2nd ).

Deze functie vind je terug in de catalogus (je drukt 0 entry solve

enter

.

VA N

IN

Om te activeren druk je tweemaal

Š

De vergelijking van de regressiekromme is y = 0,258x 2.

De lengte van een slinger is een veelvoud van het kwadraat van de slingertijd.

1 2 3 4 5 6

8

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Olieproductie en olieprijs In Peakoil Nederland verscheen het onderstaande artikel van Rembrandt Koppelaar.

Het verband tussen de olieproductie en de olieprijs wordt door sommigen stevig ontkend.

Zo beweert Saudi-Aramco nog steeds dat de prijsstijging van de afgelopen jaren vrijwel geheel te wijten is aan speculatie en raffinageproblematiek. Je kunt daar lang over redeneren, maar het ook statistisch proberen te benaderen. Collega-blogger van the Oildrum, Euan Mearns, stuurde me vandaag de volgende grafiek toe: Oil production / demand versus price 88 000

86 000

April 2008

84 000 y = –2.2195x2 + 397.27x + 68894 R2 = 0.8675 82 000

IN

bpd (1000s)

80 000

78 000

74 000 0

VA N

Jan. 2002

76 000

20

40

60

80

100

120

WTI $ per barrel

Op de y-as lees je de dagelijkse productie, in duizenden barrels per dag, af en op de x-as de prijs van de olie in dollar per barrel.

Het blijkt dat er een sterk verband bestaat tussen de productie en het prijsverloop.

Dit zie je aan het regressiemodel.

©

1.3

De grafiek is een parabool met vergelijking y = −2,219 5x 2 + 397,27x + 68 894.

Het verband tussen de olieproductie en de vraagprijs per barrel wordt gegeven door een tweedegraadsfunctie.

Een vat (Engels: barrel, afgekort tot bbl) is een standaardinhoudsmaat voor ruwe aardolie en is gelijk aan 42 US gallons (9 702 kubieke inch), ongeveer 158,99 liter.

In de olie-industrie worden geen vaten meer gebruikt maar kubieke meters.

Toch wordt de hoeveelheid olie nog vaak uitgedrukt in vaten of barrels.

Ook de prijs van olie gaat per vat of barrel.

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

9

• Bij welke prijs is de olieproductie maximaal?

Oplossing Voer het functievoorschrift in onder Y 1 .

Neem de vensterinstellingen zoals in de figuur op de vorige bladzijde.

Een maximum van een functie kun je bepalen in het grafisch scherm.

Hiervoor druk je calc

2nd

f4

L4

Met

Τ

.

4

trace

en/of

selecteer je een punt links entry solve

(rechts) van het maximum en druk je

enter

.

entry solve

Druk je nogmaals

enter

, dan wordt

IN

het maximum berekend.

VA N

• Bij welke prijs is de olieproductie nul?

Oplossing

©

Kies de vensterinstellingen zo, dat eventuele snijpunten met de x-as zichtbaar worden.

Een nulwaarde van een functie kun je bepalen in het grafisch scherm.

Hiervoor druk je calc

2nd

f4

L2

trace

Z

2

.

Met en/of selecteer je een punt links (rechts) van het snijpunt met de x-as en entry solve

.

1

druk je

2

Druk je nogmaals

3

de nulwaarde berekend.

enter

entry solve

enter

, dan wordt

4 5 6

10

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

• Bij welke prijs bedraagt de olieproductie 80 000 000 barrels per dag?

Oplossing Dit probleem kun je grafisch oplossen door de snijpunten te zoeken van de grafiek van de functie met de rechte evenwijdig met de x-as bepaald door die y-waarde.

calc

Druk

2nd

f4

trace

L5

U

5

.

entry solve

Met een druk op

enter

bevestig je de keuze

Met

en/of

ga je dicht genoeg

bij een snijpunt staan. entry solve

enter

, dan wordt het snijpunt berekend.

©

VA N

Druk je

IN

van de eerste en de tweede kromme.

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

11

Oefeningen REEKS A 1

Je laat een compact voorwerp van op een hoogte vallen.

Met een CBL-system (Calculator-Based Laborator System) werd gedurende een halve seconde de afstand s, in m, gemeten tot het punt vanwaar het voorwerp gedropt werd.

De resultaten kun je aflezen in de figuur.

LOSLATEN 0,1 s

0,390 m

0,2 s

0,883 m

0,3 s

1,527 m

0,4 s

0,5 s

VA N

2,452 m

IN

0,097 m

a) Stel deze gegevens voor met ICT.

Š

b) Bepaal door kwadratische regressie de valafstand in functie van de valtijd.

c) Bepaal, op 0,001 m nauwkeurig, hoeveel meter een voorwerp afgelegd heeft als het 3 seconden valt.

d) In films zie je personen soms gedurende een halve minuut van een gebouw vallen.

Hoe hoog, op 0,001 m nauwkeurig, zou dat gebouw moeten zijn?

1 2 3

e) De Shanghai Tower in Dubai is 632 m hoog.

Hoelang zal het duren als een persoon van deze toren naar beneden valt?

4 5 6

12

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

De BMI (Body Mass Index) wordt gedefinieerd als het quotiënt van het lichaamsgewicht G, in kg, G en het kwadraat van de lengte L, in m. In symbolen: BMI = 2 L a) Vorm de formule om zodat het lichaamsgewicht G de afhankelijke veranderlijke wordt.

b) Vul de tabel in met de passende lichaamsgewichten op 0,1 kg nauwkeurig.

BMI L

20

22

25

30

35

1 1,4 1,7

IN

1,8

VA N

2

c) Teken de grafieken voor een BMI gelijk aan 25, 30 en 35 door de punten uit de tabel zo vloeiend mogelijk te verbinden.

G 140 130 120 110

©

2

100

90 80 70 60 50 40 30 20 10

L 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5 0,6 0,7

0,8 0,9

1

1,1

1,2

1,3 1,4 1,5

1,6 1,7 1,8 1,9

2

d) Arceer het gebied tussen de grafieken met een BMI = 25 en BMI = 30.

Wie binnen dit gebied valt, kampt met overgewicht.

Wie een BMI heeft tussen 30 en 35, lijdt aan extreem overgewicht (obesitas).

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

13

3

In de tabel vind je het aantal verkeersdoden in een periode van 5 jaar per 100 000 inwoners in Vlaanderen, gerelateerd aan de leeftijd.

De vermelde leeftijd staat voor een leeftijdsklasse van 4 jaar: bv. 17 staat voor de leeftijdsklasse van 15 tot 19 jaar, enz.

17

22

27

32

37

42

47

52

57

62

67

72

77

82

2 1,92 34,48 24,55 1 4,99 1 1,93 1 1,39 10,28 8,98 10,57 1 1,69 1 2,02 1 7,59 22,23 25, 1 3

a) Teken met ICT de puntenwolk die deze gegevens voorstelt.

IN

b) Bepaal de vergelijking van de kwadratische regressielijn.

c) Schat het aantal verkeersdoden in de gegeven periode voor:

VA N

• mensen in de leeftijdsklasse 85-89 jaar,

• kinderen in de leeftijdsklasse van 5-9 jaar.

d) Zal de laatste schatting overeenkomen met de werkelijkheid, als je let op de uitschieter

©

in het begin van de puntenwolk?

Waarom (niet)?

e) Maak een nieuwe schatting door gebruik te maken van lineaire extrapolatie van de gegevens in de eerste twee gegeven klassen [(17; 21,92) en (22; 34,48)].

1 2 3 4

f) Op welke leeftijd (ongeveer) is de kans op een dodelijk verkeersongeval minimaal?

5 6

14

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

1.4 Definitie

Definitie Tweedegraadsfunctie Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f(x) = ax 2 + bx + c, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0.

Voorbeelden Zet een vinkje bij de voorschriften/vergelijkingen die horen bij een tweedegraadsfunctie. y = −x 2 + x 3 − 4

f(x) = (6x − 3) ⴢ (2x − 1)

y = x ⴢ (x − 4) − x 2

❒

❒

❒

❒

Parabolen in het dagelijks leven

VA N

IN

Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven.

De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool.

Dat is zo omdat evenwijdige elektromagnetische stralen in 1 punt weerkaatst worden.

Elke waterstraal volgt een parabolische baan.

©

1.5

y = 4x 2 − 3

De beroemde Spaanse architect Gaudi gebruikte paraboolvormige gewelven.

Paleis in Ctesiphon (Irak)

Wist je dat, om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, het toestel in een paraboolbaan vliegt?

Berliner bogen HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

15

STUDIEWIJZER Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties KUNNEN Een kwadratisch verband herkennen • in een voorschrift, • in een tabel, • in een grafiek.

In vraagstukken • omgaan met kwadratische verbanden, • kwadratische verbanden opstellen, • kwadratische regressie uitvoeren.

©

VA N

IN

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

16

HOOFDSTUK 1 I SITUATIES VOORSTELLEN MET TWEEDEGRAADSFUNCTIES

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤

Grafiek van de functie met vergelijking y = x 2

₁₈

2.2

Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ x 2

₁₉

2.3

Grafiek van de functie met vergelijking y = (x − ␣) 2

₂₃

2.4

Grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 + ␤

₂₅

2.5

Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤

₂₇

IN

2.1

2.6 Nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤ Tekenen van de grafiek

VA N

2.7

2.8 Vergelijking van een parabool waarvan de top en een punt gegeven zijn

₃₇ ₄₇

©

Studiewijzer

₃₃ ₃₅

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

17

2.1

Grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 y

x

y

−3

9

−2

4

−1

1

6

−0,50

0,25

5

0

0

3

0,50

0,25

2

1

1

10 9 8 7

4

1

2

4

3

9

x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

• ber f =

IN

• dom f =

1

Algemeen

VA N

• Waarom is de grafiek symmetrisch ten opzichte van de y-as?

De grafiek is een parabool met

• holle zijde naar boven (dalparabool) • symmetrieas: de y-as (x = 0)

• top: (0, 0) (de top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas)

©

• gemeenschappelijk punt met de x-as: (0, 0) • gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, 0)

De rechtse grafiek hoort niet bij y = x 2.

Wat is er verkeerd?

y 10 9 8 7 6 5 4 3

1

2 2

1

3

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

4 5 6

18

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

x

2.2

Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ x 2

2.2.1 Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = 2 ⴢ x 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

2 ⴢ x2

y

y = 2 · x2

36

(4,32)

32

IN

28 24

y = x2

VA N

20

(4,16)

16 12 8

©

4

–4

–3

x –2

1

–1

2

3

4

Door te vermenigvuldigen met 2 rek je de grafiek met vergelijking y = x 2 verticaal uit met een factor 2. opening.

Hierdoor verkrijg je een grafiek met een De grafiek met vergelijking y = 2 ⴢ x 2 is een parabool met • holle zijde naar

(

parabool)

• de opening van de grafiek met vergelijking y = 2 ⴢ x 2 is

die met vergelijking y = x 2

• symmetrieas: • top: • gemeenschappelijk punt met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

19

2.2.2 Voorbeeld 2 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y =

1 2 ⴢ x uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ?

2

x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

1 2 ⴢx 2

y = 1 · x2 2

y

y = x2 (4,16)

–6

VA N

IN

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

(4,8)

x 1

2

3

4

5

6

1 2 druk je de grafiek met vergelijking y = x 2 verticaal samen met een factor 2.

©

Door te vermenigvuldigen met

Hierdoor verkrijg je een grafiek met een

De grafiek met vergelijking y =

opening.

1 2 ⴢ x is een parabool met 2

• holle zijde naar

(

• de opening van de grafiek met vergelijking y = • symmetrieas: • top: 1 2 3

• gemeenschappelijk punt met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

4 5 6

20

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

parabool) 1 2 ⴢ x is 2

die met vergelijking y = x 2

2.2.3 Voorbeeld 3 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = −

−

1 2 ⴢ x uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ?

4

x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

1 2 ⴢx 4

y 16

(4,16) y = x2

12 8

y = 1 · x2 4 (4,4)

–4

–3

IN

4

–2

1

–1

2

VA N

–4 –8

x 3

4

(4,–4) 1 y = – · x2 4

©

1 Vermenigvuldigen met − , doen we in twee stappen.

4 1 Door x 2 te vermenigvuldigen met 4 druk je de grafiek met vergelijking y = x 2 samen met een factor 4. opening.

Hierdoor verkrijgen we een grafiek met een Door te vermenigvuldigen met −1

De grafiek met vergelijking y = −

1 2 ⴢ x is een parabool met 4

• holle zijde naar

(

• de opening van de grafiek met vergelijking y = −

parabool) 1 2 ⴢ x is 4

die met vergelijking y = x 2

• symmetrieas: • top: • gemeenschappelijk punt met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

21

2.2.4 Besluit Besluit

Eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ x 2 • a ⬎ 0: dalparabool (holle zijde naar boven) a ⬍ 0: bergparabool (holle zijde naar beneden) • hoe groter 兩a兩, hoe smaller de opening • symmetrieas: x = 0 • top: (0, 0) • gemeenschappelijk punt met de x-as: (0, 0) • gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, 0)

Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine De invloed van a op de grafiek van y = a ⴢ x 2 kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing. apps

B

, selecteer je de Transfrm-toepassing

entry solve

enter

stat plot f1

Je drukt

y=

.

VA N

en druk je

IN

angle

Hiervoor druk je

2

en vult naast Y 1 het functievoorschrift A ⴢ X in.

(Merk op dat naast Y 1 en Y 2 een soort pijltje staat.

Hier kun je functies met parameters invullen.

In deze instelling kun je:

• twee functies met parameters

©

• één functie met parameters en één andere laten tekenen.) tbl set f2

Ook als je window drukt, heb je een aangepast display.

Je drukt

tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt

en vult daar een startwaarde in voor A (bijvoorbeeld 1) en entry solve

een stapgrootte (bijvoorbeeld 0,5). Je bevestigt met

In een gepast grafisch venster kun je, door 1

.

en/of

te drukken, de waarde van A laten toenemen of afnemen.

2 3 4 5 6

22

enter

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

2.3

Grafiek van de functie met vergelijking y = (x − ␣) 2

2.3.1 Voorbeelden 2

2

Hoe ontstaan de grafieken met vergelijking y = (x − 2) en y = (x + 1) uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

2

36

25

16

9

4

1

0

1

4

2

9

4

1

0

1

4

9

16

25

(x − 2) (x + 1)

y

y = x2

19 18 17

IN

16 15 14 13 12

VA N

11 10 9 8 7 6 5 4

y = (x + 1)2

2

© –5

–4

y = (x – 2)2

3 1

–3

–2

–1

x 1

2

3

4

5

6

Door x te vervangen door x − 2 verschuif je de grafiek horizontaal over een afstand 2 naar rechts.

Door x te vervangen door x + 1 (= x − (–1)) verschuif je de grafiek horizontaal over een afstand 1 naar links.

De grafiek van de functie met vergelijking 2 y = (x − 2) is een parabool met

De grafiek van de functie met vergelijking 2 y = (x + 1) is een parabool met

• holle zijde naar

• holle zijde naar

(

parabool)

(

parabool)

• symmetrieas:

• symmetrieas:

• top:

• top:

• gemeenschappelijk punt met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

23

2.3.2 Besluit Besluit

Eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = (x − ␣) 2 • dalparabool met dezelfde opening als y = x 2 • symmetrieas: x = ␣ • top: (␣, 0) • gemeenschappelijk punt met de x-as: (␣, 0) • gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, ␣ 2)

Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine De invloed van ␣ op de grafiek van y = (x − ␣)

2

kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing. angle

Hiervoor druk je

apps

B

, selecteer je de Transfrm-toepassing

entry solve

enter

.

IN

en druk je

stat plot f1

y=

2

en vult naast Y 1 het functievoorschrift (X − A) in.

VA N

Je drukt

©

tbl set f2

Ook als je window drukt, heb je een aangepast display.

Je drukt

tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt

en vult daar een startwaarde in voor A (bijvoorbeeld 0) en entry solve

een stapgrootte (bijvoorbeeld 1). Je bevestigt met

In een gepast grafisch venster kun je, door

enter

.

en/of

te drukken, de waarde van A laten toenemen of afnemen.

1 2 3 4 5 6

24

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

2.4

Grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 + ␤

2.4.1 Voorbeelden Hoe ontstaan de grafieken met vergelijking y = x 2 + 1 en y = x 2 − 4 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

x2 + 1 x2 − 4

y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

y = x2 – 4

y = x2 1

2

x 3

4

5

6

©

–6

VA N

IN

y = x2 + 1

Door x 2 te vervangen door x 2 + 1 verschuif je de grafiek verticaal over een afstand 1 naar boven.

Door x 2 te vervangen door x 2 − 4, verschuif je de grafiek verticaal over een afstand 4 naar beneden.

De grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 + 1 is een parabool met

De grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 − 4 is een parabool met

• holle zijde naar

• holle zijde naar

(

parabool)

(

parabool)

• symmetrieas:

• symmetrieas:

• top:

• top:

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

25

2.4.2 Besluit Besluit

Eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = x 2 + ␤ • dalparabool met dezelfde opening als y = x 2 • symmetrieas: x = 0 • top: (0, ␤)

再

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• als ␤ ⬎ 0: geen • als ␤ ⬍ 0: (冪− ␤, 0) en (– 冪− ␤, 0)

• gemeenschappelijk punt met de y-as: (0, ␤)

Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine De invloed van ␤ op de grafiek van y = x 2 + ␤ kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing. apps

B

, selecteer je de Transfrm-toepassing

entry solve

enter

stat plot f1

y=

2

en vult naast Y 1 het functievoorschrift X + B in.

©

Je drukt

.

VA N

en druk je

IN

angle

Hiervoor druk je

tbl set f2

Ook als je window drukt, heb je een aangepast display.

Je drukt

tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt

en vult daar een startwaarde in voor B (bijvoorbeeld 0) en entry solve

een stapgrootte (bijvoorbeeld 1). Je bevestigt met

In een gepast grafisch venster kun je, door

enter

.

en/of

te drukken, de waarde van B laten toenemen of afnemen.

1 2 3 4 5 6

26

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

2.5

Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤

2.5.1 Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y =

1 2 ⴢ (x + 2) − 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ?

2

y = x2 ↓ y = (x + 2)

2

↓ y=

1 2 ⴢ (x + 2) 2

y=

IN

↓ 1 2 ⴢ (x + 2) − 2 2

y

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

VA N

y = (x + 2)2

©

y = 1 · (x + 2)2 2

–7

–6

–5

–4

–2

–3

y = 1 · (x + 2)2 – 2 2

De grafiek van de functie met vergelijking y = • holle zijde naar

–1

–1 –2 –3 –4

y = x2 x 1

2

3

1 2 ⴢ (x + 2) − 2 is een parabool met 2 (

parabool)

• een opening smaller dan/breder dan/gelijk aan die met vergelijking y = x 2 • symmetrieas: • top: • gemeenschappelijke punten met de x-as: • gemeenschappelijk punt met de y-as:

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

27

2.5.2 Voorbeeld 2 2

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = −(x − 2) − 3 uit de grafiek met vergelijking y = x 2 ? y = x2 ↓ y = (x − 2)

2

↓ y = −(x − 2)

2

↓ 2

IN

y = −(x − 2) − 3 y

9 8 7

y = (x – 2)2

y = x2

VA N

6 5 4 3 2 1

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

x 3

4

5

6

7

©

–2 –3 –4 –5 –6

y = – (x – 2)2 – 3

–7 –8

y = – (x – 2)2

–9

2

De grafiek van de functie met vergelijking y = −(x − 2) − 3 is een parabool met • holle zijde naar

(

parabool)

• een opening smaller dan/breder dan/gelijk aan die met vergelijking y = x 2 1

• symmetrieas:

2 3

• top:

4

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

5

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

6

28

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

2.5.3 Algemeen y = x2

horizontale verschuiving over 兩 ␣ 兩 • naar rechts als ␣ ⬎ 0 • naar links als ␣ ⬍ 0

• symmetrieas: de rechte met vergelijking x = ␣.

• co (top) = (␣, 0) y = (x − ␣)

2

• verticale uitrekking (兩a兩 ⬎ 1) of samendrukking (兩a兩 ⬍ 1) • spiegeling om de x-as als a ⬍ 0

• 兩a兩 is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte.

• a ⬎ 0: dalparabool (holle zijde naar boven); • a ⬍ 0: bergparabool (holle zijde naar beneden).

2

IN

y = a ⴢ (x − ␣)

• co (top) = (␣, ␤)

VA N

verticale verschuiving over 兩 ␤ 兩 • naar boven als ␤ ⬎ 0 • naar beneden als ␤ ⬍ 0.

y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ 2

Eigenschappen van de grafiek van de functie y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ 2

©

Besluit

De grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ (a ≠ 0) is een parabool met de volgende kenmerken: 2

• a ⬎ 0: dalparabool (de holle zijde ligt naar boven); a ⬍ 0: bergparabool (de holle zijde ligt naar beneden).

• Hoe groter 兩a兩, hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩a兩, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = ␣.

• De top heeft als coördinaat (␣, ␤).

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald door het oplossen van de vergelijking a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0.

2

De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

29

Oefeningen REEKS A 1

Waarom stellen de grafieken geen tweedegraadsfunctie voor? a)

c)

y

y 6

5

5 4 4 3

3

2

2

1

1 x

X –2

–1

1

2

3

–3

–2

–1

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

–1

–1

VA N

IN

–2

b)

d)

y

y 6

©

6 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 x

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

–1 –1

–2

–2

2 3

5 6

30

–2

–1

1

4

x –3

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere/bredere/zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. e) y = (x + 2) + 1 2

a) y = 8x 2 vorm:

vorm:

opening:

opening:

symmetrieas:

symmetrieas:

co(top) =

co(top) =

b) y = (x − 1)

f) y = 4 ⴢ (x + 5) − 6

2

2

vorm:

IN

vorm: opening:

opening:

co(top) =

symmetrieas:

VA N

symmetrieas:

1 c) y = − x 2 + 5 2 vorm:

vorm:

opening:

opening:

symmetrieas:

symmetrieas:

co(top) =

co(top) =

冉 冊

7 d) y = −3 ⴢ x + 5

co(top) =

2 1 2 g) y = ⴢ (x − 7) − 3 2

©

2

2

冉 冊

5 2 h) y = − x − + 6 2

vorm:

vorm:

opening:

opening:

symmetrieas:

symmetrieas :

co(top) =

co(top) =

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

31

3

Hieronder vind je zes parabolen en zes vergelijkingen.

Plaats de juiste parabool bij elke vergelijking. y 7 6 5 4 VI

III

3

IV

II

2 1 x –5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

–1 –2

IN

–3

–4 –5

V

I

VA N

–6 –7

a) y = (x + 1) − 4

©

2

b) y = x 2 − 4

c) y = (x + 1) + 1 2

1 2 3 4 5 6

32

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

1 2 d) y = − ⴢ (x + 1) + 1 2 1 2 e) y = − ⴢ (x + 1) 2 f) y = 2 ⴢ (x + 1) − 4 2

4

5

2.6

Nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤ De nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ 2 vind je door de vergelijking a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0 op te lossen.

2

2.6.1 Voorbeeld 1 2

Bepaal de nulwaarden van de functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x + 3) .

2

−2 ⴢ (x + 3) = 0

↓

deel beide leden door −2

↓

de vierkantswortel van 0 is gelijk aan 0

↓

tel bij beide leden −3 op

2

(x + 3) = 0 x+3=0 x = −3

heeft één nulwaarde: −3.

y

2

1

IN

De functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x + 3)

–7

Dit houdt in dat de grafiek van de functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x + 3)

2

–6

–5

–4

–3

–2

–1

VA N

één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–3, 0).

De parabool raakt de x-as in (–3, 0).

y = –2 · (x + 3)2

x 1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

2.6.2 Voorbeeld 2

2

©

Bepaal de nulwaarden van de functie met vergelijking y = 3 ⴢ (x + 3) + 12.

2

3 ⴢ (x + 3) + 12 = 0

↓

tel bij beide leden −12 op

↓

deel beide leden door 3

↓

de vierkantswortel van −4 bestaat niet

2

3 ⴢ (x + 3) = −12 2

(x + 3) = −4

De vergelijking heeft geen oplossingen. y

De functie met vergelijking y = 3 ⴢ (x + 3) + 12

27

heeft geen nulwaarden.

21

2

24 18

Dit houdt in dat de grafiek van de functie

15

2

met vergelijking y = 3 ⴢ (x + 3) + 12

12

y = 3 · ( x + 5)2 + 12

9

geen punten gemeenschappelijk heeft

6

met de x-as.

3 –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

x 1

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

33

2.6.3 Voorbeeld 3 2

Bepaal de nulwaarden van de functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x − 1) + 6.

2

−2 ⴢ (x − 1) + 6 = 0

↓

tel bij beide leden −6 op

↓

deel beide leden door −2

↓

3 heeft twee vierkantswortels: − 冪3 en 冪3

↓

tel bij beide leden 1 op

2

−2 ⴢ (x − 1) = −6 2

(x − 1) = 3 x − 1 = − 冪3 of x − 1 = 冪3 x = 1 − 冪3

of x = 1 + 冪3 y

2

De functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x − 1) + 6

8

heeft twee nulwaarden: 1 − 冪3 en 1 + 冪3.

6

2

gemeenschappelijk heeft met de x-as.

2.6.4 Algemeen

VA N

in (1 − 冪3, 0) en (1 + 冪3, 0).

–2

IN

–3

De parabool snijdt de x-as

y = –2 · (x – 1)2 + 6

4

Dit houdt in dat de grafiek twee punten

x 1

–1

2

3

4

5

–2 –4 –6 –8

Bepalen van de nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0

©

2

a ⴢ (x − ␣) = − ␤

↓

tel bij beide leden −␤ op

↓

deel beide leden door a

2

2

(x − ␣) = − 2

␤ a

−

−

␤ heeft geen, één of twee vierkantswortels naargelang het teken a

␤ ⬍0 a

−

␤ =0 a

−

␤ ⬎0 a

2 verschillende oplossingen 1 2 3 4

geen oplossingen

1 oplossing (2 gelijke oplossingen) x=␣

5 6

34

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

x1 = ␣ − x2 = ␣ +

冑 冑

−

␤ a

−

␤ a

2.7

Tekenen van de grafiek

2.7.1 Voorbeeld 1 Teken de grafiek van de functie met vergelijking y =

1 2 ⴢ (x − 4) 3

a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top):

IN

d) nulwaarden:

e) snijpunt y-as:

top

VA N

f) bijkomende punten: x

y

g) grafiek:

©

y

5

4

3

2

1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

35

2.7.2 Voorbeeld 2 Teken de grafiek van de functie y = −

1 9 2 ⴢ (x + 3) + 2 2

a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top): d) nulwaarden:

f) bijkomende punten:

IN

e) snijpunt y-as: top

x

VA N

y

y 5

©

g) grafiek:

4 3 2 1 x

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

1

–1 –1 –2 –3

1

–4

2

–5

3 4 5 6

36

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

2

3

4

2.8

Vergelijking van een parabool waarvan de top en een punt gegeven zijn

2.8.1 Voorbeeld 1 Van een parabool p zijn de top T(−2, 3) en een punt A(4, 21) gekend.

Bepaal de vergelijking van p.

Oplossing p heeft als vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤.

2

• co (T ) = (␣, ␤) = (−2, 3) ⇒ ␣ = −2 en ␤ = 3.

2

De vergelijking is dus y = a ⴢ (x + 2) + 3.

• A(4, 21) behoort tot p : 21 = a ⴢ (4 + 2) + 3 2

36a + 3 = 21 De vergelijking van p is dus y =

36a = 18

⇔ a=

1 2 ⴢ (x + 2) + 3.

2

1 2

IN

2.8.2 Voorbeeld 2

⇔

©

VA N

In 1963 startte in St-Louis (USA), onder leiding van de architect Eero Saarinen, de bouw van de Gateway Arch, een paraboolvormige boog over de Mississippi.

Deze boog verbindt de staten Missouri en Illinois met elkaar. De boog was klaar in 1965.

De afstand tussen de voetpunten van de boog, is 192 m (gerekend aan de buitenkant).

De hoogte is eveneens 192 m.

• Bepaal de vergelijking van de paraboolvormige boog.

Oplossing Je kiest de oorsprong van het assenstelsel in de linkervoet van de boog. Á co(top) = Á het punt A(

,

) behoort eveneens tot de parabool.

De vergelijking van de parabool is dus: • Hoe hoog is de boog op 50 m afstand van de linkervoet?

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

37

Oefeningen REEKS A Bereken de nulwaarden van de tweedegraadsfuncties. a) f (x) = −2x 2

e) f(x) = 3 ⴢ (x + 4) + 2

b) f (x) = (x − 1) 2

f) f(x) = −3 ⴢ (x + 4) + 12

2

2

VA N

IN

4

3 1 2 g) f(x) = ⴢ (x − 5) + 4 2

©

1 c) f (x) = − x 2 + 5 5

2

d) f(x) = −(x − 5) − 5

1 2 3 4 5 6

38

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

h) f(x) = −

3 5 2 ⴢ (x + 2) + 3 4

Bepaal de vergelijking van de parabolen met top T, die het punt A bevatten. co (A) = (1, 2)

e) co (T ) = (−3, −8)

co (A) = (3, 10)

b) co (T) = (0, 3)

co (A) = (1, 2)

f) co (T ) = (2, −5)

co (A) = (0, 7)

VA N

IN

a) co (T ) = (0, 0)

c) co (T ) = (−4, 0)

co (A) = (−1, 9)

g) co (T) = (−3, 3)

co (A) = (−6, 0)

h) co (T ) = (5, 18)

co (A) = (7, 34)

©

5

d) co (T) = (2, 5)

co (A) = (4, 1)

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

39

6

Bepaal de vergelijking van de parabolen. a)

c) y

y 3 2 1

4 3 2

–5 –4 –3 –2 –1

1 –2

1

–1

2

3

4

–1

2

3

4

5

1

2

3

4

–2

x –3

x 1

–3

5

–4

–1

–5 –2

–6

–3

–7 –8

–4

VA N

IN

–9

b)

d)

y

y 6

1

x

–5

–4

–3

–2

©

–6

5

1

–1

4

–1

3

–2

2 1

–4 –5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

–6

1 2 3 4 5 6

40

x

–3

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

–4

2

Teken de grafiek van de functie met vergelijking y = (x – 2) − 4. a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top): d) nulwaarden:

IN

e) snijpunt y-as: f) bijkomende punten: x

top

g) grafiek:

VA N

y

y

6

©

7

5 4 3 2 1 x 1

–1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

41

8

2

Teken de grafiek van de functie met vergelijking y = −2 ⴢ (x – 3) + 8. a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top): d) nulwaarden:

f) bijkomende punten: x

IN

e) snijpunt y-as: top

g) grafiek:

VA N

y

y

8 7

©

6 5 4 3 2 x

1 1

–1

2

–1 –2 –3 –4 –5 –6 1

–7

2

–8

3

–9 –10

4 5 6

42

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

3

4

5

6

9

Teken de grafiek van de functies.

2

a) f (x) = −(x + 3) − 1 b) f (x) =

1 2 9 ⴢx − 2 2

c) f (x) =

1 2 ⴢ (x − 1) − 3 4

冉 冊 + 43 3 3 e) f(x) = −2 ⴢ 冉x + 冊 + 2 2 d) f (x) =

2 1 ⴢ x+ 3 3

2

2

De invulpagina’s van deze oefeningen vind je op diddit.

REEKS B

IN

Eén van de hoogste gebouwen ter wereld is de Burj Dubai.

Voor filmopnames wordt een pop van op de top naar beneden gegooid.

De hoogte h, in m, van de pop wordt gegeven door de functie h(t) = 828 – 5t 2.

Hierbij is t de tijd in s.

VA N

a) Hoe hoog is het gebouw?

b) Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 seconden?

©

10

c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond?

d) Welke afstand, op 0,001 m nauwkeurig, heeft de pop afgelegd in de laatste 5 seconden?

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

43

11

De remweg van een voertuig is de afstand die het bewegende voertuig nodig heeft om tot stilstand te komen. De remweg is afhankelijk van de snelheid en de remvertraging. v2 Proefondervindelijk heeft men de volgende formule opgesteld: r = . a Hierbij is r de remweg, in m, v de snelheid, in m/s, en a de remvertraging, in m/s 2.

Met de reactietijd is in deze formule geen rekening gehouden.

Een goed onderhouden auto heeft op een droog wegdek een remvertraging van 10 m/s 2.

Stel dat de remvertraging op een nat wegdek 8 m/s 2 bedraagt.

Bereken hoeveel langer de remweg is op een nat wegdek dan op een droog wegdek, voor een auto die aan 108 km/h rijdt.

• Omzetting snelheid naar m/s: • Remweg op een droog wegdek:

De Golden Gate bridge is een hangbrug die San Francisco met het Noorden verbindt.

De kabels die tussen 2 van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen met vergelijking 2 y = 0,000 39 ⴢ (x – 640) + 2.

Hierbij is x de afstand tot de linkerpijler en y is de hoogte boven het wegdek, beide in m.

©

12

VA N

IN

• Remweg op een nat wegdek:

a) Op welke hoogte, op 0,001 m nauwkeurig, zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?

b) Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?

1 2

c) Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek?

Hoe hoog hangen ze op dat punt?

3 4 5 6

44

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

13

Ashton trapt een bal van op de grond.

De bal valt na 28 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 4 m.

Schets

a) Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Ashton en y de hoogte, beide in meter.

VA N

In Ctesiphon, 30 km ten zuiden van Bagdad, vind je een site uit de derde eeuw na Christus.

Bij het enige gebouw dat nog gedeeltelijk overeind staat, springt een ‘parabolisch gevormd’ tongewelf in het oog. De binnenafstand tussen beide muren bedraagt ongeveer 26 m.

De totale hoogte aan de binnenkant van het gebouw is 30 m, waarvan 19 m bestaat uit verticale muren. y

©

14

IN

b) Op welke hoogte, op 0,001 m nauwkeurig, bevindt de bal zich op 10 m van Ashton?

x

a) Bepaal de vergelijking van de dwarse doorsnede van het parabolisch deel.

b) Teken, met ICT, de rechten met vergelijking x = 0 en x = 26 (voor y in [−19, 0]).

Teken in hetzelfde assenstelsel de parabool met de gevonden vergelijking (voor x in [0, 26]).

Zo verkrijg je een wiskundige benadering voor de dwarse doorsnede van het gebouw.

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

45

15

De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg.

De glazen voorgevel heeft een parabolische vorm en is 72 m breed en 36 m hoog. a) Bepaal de vergelijking van de voorgevel.

(0, 36)

(–36, 0)

(36, 0)

IN

b) Bereken, op 0,01 m, de hoogte van de gevel op 10 meter van de linkerkant van het gebouw.

©

VA N

c) Hoe breed, op 0,01 m, is de gevel 5 meter boven de grond?

Als je een ketting aan twee punten ophangt, dan gaat ze, onder invloed van haar eigen gewicht, in een natuurlijke vorm hangen die je een kettinglijn noemt.

Als je deze vorm ondersteboven draait, krijg je een boog die zeer stabiel is.

parabool

1 2

kettinglijn

De paraboolvorm van de kabels van een hangbrug is dus eigenlijk een kettinglijn, net zoals de paraboolgewelven ook omgekeerde kettinglijnen zijn.

Vermits een kettinglijn veel moeilijker wiskundig te beschrijven is dan een parabool, wordt meestal de parabool als model gebruikt.

3 4 5 6

46

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

STUDIEWIJZER Grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) 2 + ␤ KENNEN De invloed van de verschillende transformaties op de eigenschappen van parabool: y = x2 •

horizontale verschuiving over 兩 ␣ 兩 • naar rechts als ␣ ⬎ 0 • naar links als ␣ ⬍ 0

• y = (x − ␣)

• •

verticale uitrekking (兩a兩 ⬎ 1) of samendrukking (兩a兩 ⬍ 1) spiegeling om de x-as als a ⬍ 0

2

•

兩a兩 is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte. a ⬎ 0: dalparabool (holle zijde naar boven); a ⬍ 0: bergparabool (holle zijde naar beneden).

•

y = a ⴢ (x − ␣) •

2

co (top) = (␣, ␤)

IN

verticale verschuiving over 兩 ␤ 兩 • naar boven als ␤ ⬎ 0 • naar beneden als ␤ ⬍ 0.

symmetrieas: de rechte met vergelijking x = ␣. co (top) = (␣, 0)

2

VA N

y = a ⴢ (x − ␣) + ␤

2

©

De grafiek van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ (a ≠ 0) is een parabool met de volgende kenmerken: • a ⬎ 0: dalparabool (de holle zijde ligt naar boven); a ⬍ 0: bergparabool (de holle zijde ligt naar beneden).

• Hoe groter 兩a兩, hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩a兩, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = ␣.

• De top heeft als coördinaat (␣, ␤).

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald 2 door het oplossen van de vergelijking a ⴢ (x − ␣) + ␤ = 0.

De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepalen we door x = 0 te stellen.

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

47

KENNEN 2

Het aantal nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ (a ≠ 0): −

␤ a

⬍0

−

␤ a

=0

−

␤ a

⬎0

2 verschillende oplossingen

geen oplossingen

1 oplossing (2 gelijke oplossingen)

x1 = ␣ −

x=␣

冑 冑

x2 = ␣ +

−

␤ a

−

␤ a

KUNNEN 2

De eigenschappen van de functies met vergelijking y = x 2, y = a ⴢ x 2, y = (x − ␣) en y = x 2 + ␤ afleiden uit een functietabel en de grafiek van de functies.

2

IN

De nulwaarden van de functie met vergelijking y = a ⴢ (x − ␣) + ␤ bepalen.

De vergelijking van een parabool met gegeven top en een punt vinden.

©

VA N

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

48

HOOFDSTUK 2 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = a ⴢ (x − ␣)2 + ␤

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

3.1

Voorbeelden

3.2

Tweedegraadsvergelijkingen

3.3

Oplossen van onvolledige tweedegraadsvergelijkingen

3.4

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen

3.5

Vraagstukken

₅₄ ₅₇ ₆₂ ₆₈

©

VA N

IN

Studiewijzer

₅₀ ₅₃

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

49

3.1

Voorbeelden

3.1.1 Voorbeeld 1 Voor welke zijde is het maatgetal van de oppervlakte van een vierkant gelijk aan het maatgetal van de omtrek van dat vierkant?

Stel: de zijde van het vierkant is gelijk aan x.

Omtrek

x

x

x

x

x

Oppervlakte

=

Omtrek vierkant

=

Oppervlakte = omtrek

:

VA N

Oppervlakte vierkant

IN

x

Herleid de vergelijking op 0

:

Je verkrijgt een vergelijking waarin een tweede macht staat van de onbekende x en dat is de hoogst voorkomende macht van die onbekende.

©

Zo’n vergelijking is een tweedegraadsvergelijking in de onbekende x.

Los de vergelijking op.

Van de 2 oplossingen die de algebraïsche oplossing van het probleem biedt, 1

kun je alleen de oplossing

als fysische oplossing van het vraagstuk aanvaarden.

2 3 4 5 6

50

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

3.1.2 Voorbeeld 2 In het boek De Da Vinci code van schrijver Dan Brown speelt het getal ␸ (de Griekse letter phi), de zogenaamde gulden snede, een belangrijke rol.

Voor dit positieve getal geldt: het omgekeerde van het getal is 1 minder dan het getal zelf 1 =␸−1 ␸

Om dit getal te berekenen, herschrijf je de vergelijking.

1.

1 =␸−1 ␸

6 1

↓

8

beide leden vermenigvuldigen met ␸

1 = (␸ − 1) ⴢ ␸

0 3

↓

uitwerken

9

1 = ␸2 − ␸

9

↓

7 ...

op nul herleiden

0 = ␸2 − ␸ − 1

VA N

8

IN

3

↓

leden van plaats verwisselen

␸2 − ␸ − 1 = 0

test

Je kunt de vergelijking oplossen met de Oplosser •

•

invoer van de vergelijking

a-lock

De oplossingen verkrijg je door

alpha

A

math

catalog

[

©

De verkregen vergelijking is een tweedegraadsvergelijking in de onbekende ␸ die je met je huidige kennis nog niet kunt oplossen.

0

keuze van de startwaarden (meerdere oplossingen)

entry solve

enter

te drukken.

Slechts 1 van de verkregen oplossingen heeft betekenis voor ons vraagstuk, namelijk

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

51

De gulden snede kun je ook invoeren aan de hand van de verdeling van een lijnstuk.

Op het lijnstuk [AB] kies je een punt M zodat de verhouding van het langste stuk tot het kortste stuk, gelijk is aan die van de volledige lengte tot het langste stuk. 兩AM兩 兩AB兩 = 兩MB兩 兩AM兩 x A

1 A

A

Stel de lengte van het lijnstuk [MB] gelijk aan 1 en die van het lijnstuk [AM] aan x.

Dan verkrijg je

x x+1 = 1 x

Dat kun je omvormen tot een tweedegraadsvergelijking waarvan 1 oplossing de gulden snede is. x 2 = 1 ⴢ (x + 1) x2 = x + 1 x2 − x − 1 = 0 x = 1,618 ...

IN

of

VA N

x = − 0,618 ...

In De Da Vinci code wordt de rij van Fibonacci als code gebruikt.

Het basiskenmerk van deze bijzondere rij getallen werd door Leonardo Fibonacci gepubliceerd in 1202. Elk getal van de rij (behalve de eerste twee) is gelijk aan de som van de 2 voorgaande getallen.

Dat levert de volgende rij getallen op: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

De Fibonacci-rij zit vol eigenaardigheden:

©

• Elke optelsom van 10 opeenvolgende getallen uit de rij is deelbaar door 11 (probeer maar eens).

• Ze vormt de rekenkundige basis voor de gulden snede: als je een getal uit de Fibonnaci-rij deelt door zijn voorganger uit de rij, dan benadert de breuk de waarde van ␸ !

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 , , , , , , , , , , , , , , , , ...

1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 Dit werd in 1611 ontdekt door de beroemde astronoom Johannes Kepler.

1 2 3 4 5

Le Corbusier, één van de belangrijkste architecten van de 20e eeuw, zocht naar een harmonieus verhoudingensysteem.

Architectuur voor de mens moest ook vertrekken vanuit de mens. De afmetingen van de mens en zijn onderlinge verhoudingen leverden hem de verhoudingen voor zijn architectuur. Le Corbusier noemt zijn systeem ‘Le Modulor’.

Le Modulor bestaat uit 2 schalen, een rode en een blauwe.

De maten van deze schaalverdelingen zijn gebaseerd op ␲ ratio’s en de basis van de gulden snede. De maten in de tekening van Le Modulor komen overigens overeen met de rij van Fibonacci.

Deze module is succesvol gebruikt bij het ontwerpen van verschillende designmeubelen en gebouwen.

6

52

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

Tweedegraadsvergelijking Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0.

Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn.

In dit geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking.

Voorbeelden

IN

Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen. a) 2x 2 − 3x + 1 = 0 b) 4x − 6 = x + x 2

VA N

Definitie

Tweedegraadsvergelijkingen

❒ ❒

c) 8 + 6x − x 3 = x 2

❒

d) 3 ⴢ (1 − x) ⴢ (2 + x) = 7

❒

e) 2x ⴢ (x − 2) = x + 2x 2

❒

©

3.2

Geef van de tweedegraadsvergelijkingen telkens de coëfficiënten a, b en c.

In het begin van de 20e eeuw schreef Albert Einstein deze vergelijking, die het verband weergeeft tussen energie (E), massa (m) en de lichtsnelheid (c). Het is wellicht de beroemdste vergelijking ooit.

Los de vergelijking op naar c.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

53

3.3

Oplossen van onvolledige tweedegraadsvergelijkingen De tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 noem je onvolledig als b = 0 of c = 0 of b = c = 0. b = 0 en c ≠ 0 Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

3x 2 − 12 = 0

−2x 2 − 8 = 0

3x 2 = 12

−2x 2 = 8

x 2 = 4

x 2 = −4

x = 2

of

x = −2

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

c De vergelijking ax 2 + c = 0 los je op door deze te herleiden tot de vergelijking x 2 = − . a

冑

冑

c − en − a

c − ; a

IN

c • als − ⬎ 0 zijn er twee tegengestelde oplossingen, namelijk a c • als − ⬍ 0 zijn er geen reële oplossingen. a b ≠ 0 en c = 0

2x 2 − 7x = 0 x ⴢ (2x − 7) = 0

VA N

Let op!

Voorbeeld

Wat is er verkeerd aan de volgende methode?

2x 2 − 7x = 0

Een product is nul als

2x 2 = 7x

één van de factoren nul is.

of

2x − 7 = 0

x = 0

of

x = 7 2

2x = 7

©

x = 0

7 x = 2

De vergelijking ax 2 + bx = 0 los je op door de gemeenschappelijke factor x voorop te zetten.

Je verkrijgt dan de vergelijking x ⴢ (ax + b) = 0. b Er zijn twee oplossingen, namelijk 0 en − . a b = 0 en c = 0 Voorbeeld 1

−2x 2 = 0

2

x 2 = 0

3

x = 0

4

Er is één oplossing, namelijk 0.

5 6

54

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

Oefeningen REEKS A Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. g) −3x 2 = −9

b) 6x 2 – 24 = 0

h) 2x 2 = 5x

i) −4 – 7x 2 = 0

VA N

c) −3x 2 + 7x = 0

IN

a) 4x 2 – 16x = 0

d) −25x 2 + 16 = 0

j) 4x = −10x 2

©

1

e) 3x 2 + 18 = 0

k) −36x 2 = 6

f) 12x 2 – 3x = 0

l) −25x 2 = 5x

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

55

REEKS B 2

De lengte van een rechthoekig reclamebord is driemaal de breedte.

De oppervlakte is 192 dm 2.

Bereken de afmetingen van dit reclamebord.

Schets:

Een projectiel wordt, van op de grond, verticaal omhoog geschoten.

De hoogte h, in m, die het bereikt, wordt gegeven door de formule h = 90t – 5t 2.

Hierbij is t de tijd, in s.

Na hoeveel seconden zal het projectiel terug op de grond vallen?

4

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 147 m 2 groter.

Bepaal de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Š

VA N

IN

3

1 2 3 4 5

REEKS C

6

De oefeningen 5 en 6 vind je op diddit.

56

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

3.4

Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen: algemeen

3.4.1 Opstellen van de formules ax 2 + bx + c = 0 Je deelt beide leden door a (a ≠ 0).

c b x 2 + x + = 0 a a Je telt bij beide leden −

c op. a

c b x 2 + x = − a a x 2 + 2 ⴢ

c b x = − 2a a 2 Je vermeerdert beide leden met b 2 .

4a

IN

b2 b c b2 x 2 + x + 2 = − + 2 a a 4a 4a

Je ontbindt het linkerlid als een volkomen kwadraat en werkt het rechterlid uit .

冉x + 2ab 冊 = x + ab x + 4ab 2

2

2

2

VA N

冉x + 2ab 冊 = b − 4ac 4a

2

2

2

冉x + 2ab 冊 = 4aD 2

2

Stel b 2 − 4ac = D (de discriminant van de vergelijking).

(1)

©

eerste geval: D ⬎ 0

tweede geval: D = 0 Vergelijking (1) wordt:

Je neemt de vierkantswortel van beide leden van vergelijking (1):

冑

b x + = 2a

b 冪D x + = 2a 2a −b +冪D

x =

2a

冑

b D of x + = − 2 2a 4a

D 4a 2

冪D b of x + = − 2a 2a

−b −冪D of x = 2a

冉x + 2ab 冊 = 0 2

derde geval: D < 0 Vergelijking (1) heeft geen reële oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid strikt negatief.

b x + = 0 2a b x = − 2a

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels.

De formules die je in staat stellen deze wortels te berekenen, noem je wortelformules.

Een andere naam is abc-formules.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

57

3.4.2 Overzicht Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk: Bereken de discriminant D = b 2 − 4ac.

D>0

D = 0

D<0

twee verschillende oplossingen:

één oplossing (of twee gelijke oplossingen):

geen reële oplossingen

−b − 冪D −b + 冪D en x 2 = x 1 = 2a 2a

x 1 = x 2 = −

b 2a

Als je in de eerste formules voor het bepalen van de oplossingen, D door 0 vervangt, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat.

Daarom spreek je van twee samenvallende oplossingen als D = 0.

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 − 3x − 10 = 0

D=

c) −6x 2 + 13x + 5 = 0

b=

c=

Controle:

© b=

b=

D=

d) −3x 2 + 5x − 8 = 0 c=

a=

D=

D=

Controle:

Controle:

b=

1 2 3 4 5 6

58

c=

Controle:

b) 16x 2 − 24x + 9 = 0 a=

a=

VA N

a=

IN

3.4.3 Voorbeelden

Op diddit vind je de documenten ‘Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen met de wortelformules’ en ‘Geschiedenis van de tweedegraadsvergelijking’.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

c=

Oefeningen REEKS A Los de tweedegraadsvergelijkingen op. Rond, indien nodig, x af op 0,01 nauwkeurig. f) x 2 + 7x – 8 = 0

b) x 2 – 4x – 21 = 0

g) x 2 + 11x – 34 = 0

VA N

IN

a) x 2 – 8x + 16 = 0

c) x 2 + 9x + 14 = 0

©

7

h) x 2 – 17x + 18 = 0

d) x 2 + 2x – 35 = 0

i) x 2 – 9x + 22 = 0

e) x 2 + 3x – 10 = 0

j) x 2 + 26x + 169 = 0

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

59

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. Rond, indien nodig, x af op 0,01 nauwkeurig. a) 9x 2 – 12x + 4 = 0

f) 5x 2 – 6x + 2 = 0

b) −x 2 + 5x – 7 = 0

g) 8x 2 – 30x + 25 = 0

h) −3x 2 – 24x + 27 = 0

©

VA N

c) 2x 2 + 5x – 3 = 0

IN

8

d) 3x 2 – 6x + 4 = 0

i) −7x 2 + 11x – 5 = 0

e) −4x 2 + 13x – 10 = 0

j) −81x 2 + 90x + 25 = 0

1 2 3 4 5 6

60

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

Los de tweedegraadsvergelijkingen op. Rond, indien nodig, x af op 0,01 nauwkeurig. e) −5x 2 + 12x – 2 = 0

b) x 2 – 12x + 7 = 0

f) 196x 2 – 1 036x + 1 369 = 0

VA N

IN

a) x 2 + x – 5 = 0

c) 4x 2 + 17x – 9 = 0

g) 78x 2 + 61x – 91 = 0

©

9

d) 3x 2 – 5x + 17 = 0

h) −39x 2 + 114x + 46 = 0

REEKS B en REEKS C De oefeningen 10, 11 en 12 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

61

3.5

Vraagstukken

3.5.1 Voorbeeld 1

Het aantal tennispartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, waarbij elke speler tegen elke tegenstander speelt, is gelijk aan

n2 − n .

2

VA N

IN

a) Leg uit hoe je aan de formule komt.

b) Hoeveel partijen moeten er gespeeld worden in een competitie met 12 spelers?

©

c) Hoeveel spelers hebben aan een competitie meegedaan waarin 528 matchen gespeeld werden?

d) Is een competitie met 320 wedstrijden mogelijk? Verklaar je antwoord.

1 2 3 4 5 6

62

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

3.5.2 Voorbeeld 2 x x 30 m

40 m

Een rechthoekig stuk grond is 30 m breed en 40 m lang.

Een gedeelte ervan wordt opgeofferd om een pad te maken.

Het pad moet de grond volledig omkaderen en moet overal even breed zijn.

De oppervlakte van het gedeelte dat nog overblijft om te beplanten is de helft van de oorspronkelijke oppervlakte.

Bereken de breedte van het pad.

Stel: x is de breedte van het pad.

De afmetingen van het te beplanten gedeelte: lengte =

;

breedte =

Opstellen van de vergelijking:

VA N

Uitwerking van de vergelijking:

IN

Oorspronkelijke oppervlakte:

Š

Vereenvoudigen van de vergelijking:

D=

x1 = x2 =

De enige aanvaardbare oplossing is:

Controle

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

63

Oefeningen REEKS A 13

Als een voorwerp vanaf een hoogte naar beneden gegooid wordt, 1 ⴢ g ⴢ t 2.

2 Hierbij is t de tijd, in s, en de g de valversnelling, gelijk aan 9,8 m/s 2.

Na hoeveel tijd, op 0,01 s nauwkeurig, zal een voorwerp, dat van een hoogte van 200 m valt, de grond bereiken? dan wordt de afgelegde weg s, in m, gegeven door de formule s =

De lengte van een rechthoekig stuk bouwgrond is 16 m langer dan de breedte.

De oppervlakte is 897 m 2. Bereken de afmetingen van de bouwgrond.

©

VA N

14

IN

Controle:

Controle:

15

Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 2 523 m 2 groter.

Bepaal de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

1 2 3 4 5

Controle:

6

64

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

16

Het aantal diagonalen n van een veelhoek wordt bepaald door de formule n = Hierbij is k het aantal zijden van de veelhoek.

k 2 − 3k .

2

a) Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek?

Controle:

Van een rechthoekige weide is de omtrek 246 m. De oppervlakte is 3 440 m 2.

Bereken de lengte en de breedte van de weide.

©

17

VA N

IN

b) Een veelhoek heeft 54 diagonalen. Hoeveel zijden heeft deze veelhoek?

Controle:

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

65

REEKS B 18

Bereken de omtrek, op 0,01 cm nauwkeurig, en de oppervlakte, op 0,000 1 cm 3 nauwkeurig, van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 6 cm korter is dan de andere en de schuine zijde 72 cm is.

Controle:

Een stuk land bestaat uit 2 aaneengesloten vierkante stukken.

De zijde van het kleinere vierkant is 3 m korter dan de helft van de zijde van het grotere vierkant.

De totale oppervlakte is 2 088 m 2. Bereken de zijden van de vierkanten.

Š

19

VA N

IN

Schets:

1 2 3 4 5

Controle:

6

66

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

Een kader is 22 cm lang en 13 cm breed. Het zichtbare deel van de foto is 162 cm 2 groot.

Bereken de breedte van de kaderrand.

IN

20

De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2␲ ⴢ r 2 + 2␲ ⴢ r ⴢ h.

Hierbij is h de hoogte en r de straal van het grondvlak.

Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de straal van het grondvlak als de hoogte 15 cm is en de oppervlakte 986 cm 2.

©

21

VA N

Controle:

h

r

Controle:

REEKS C De oefeningen 22, 23 en 24 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

67

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen in 1 onbekende KENNEN De definitie van een tweedegraadsvergelijking.

Het begrip onvolledige tweedegraadsvergelijking.

De formules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen: discriminant D = b 2 – 4ac.

D⬎0

x1 =

–b + 冪D 2a

x2 =

–b − 冪D 2a

D=0

D⬍0

x1 = x2 = − b 2a

geen reële oplossingen

KUNNEN

VA N

IN

Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen.

De formules opstellen om een tweedegraadsvergelijking algemeen op te lossen.

Een tweedegraadsvergelijking oplossen volgens de abc-formules.

Vraagstukken oplossen waar tweedegraadsvergelijkingen in voorkomen.

©

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

68

HOOFDSTUK 3 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN IN 1 ONBEKENDE

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax 2 + bx + c

4.1

Omzetting van y = ax 2 + bx + c

4.2

Overzicht van de verschillende gevallen

4.3

Voorbeelden

©

VA N

IN

Studiewijzer

₇₀ ₇₁ ₇₂ ₈₀

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

69

4.1

Omzetting van y = ax 2 + bx + c Je zet het functievoorschrift f (x) = ax 2 + bx + c in de vorm f(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤.

2

f (x) = ax 2 + bx + c

冉

c b f (x) = a ⴢ x + x + a a 2

冉 冊 冉 冊 册 冋 冋冉 冊 冉 冊 册 册 冋冉 冊

f (x) = a ⴢ

f (x) = a ⴢ f (x) = a ⴢ

b b ⴢx+ 2a 2a

b 2a

2

b x+ 2a

2

b2 c − 2+ a 4a

b x+ 2a

2

b 2 − 4ac − 4a 2

b 2a

2

x+

冋冉 冊 冋冉 冊 冉 冊 冉 冊 x+

2

b 2a

2

−

D 4a 2

+

−

b 2a

2

c a

+

k 2 + 2kl + l 2 = (k + l) 2

c a

kwadraat van een quotiënt

breuken gelijknamig maken

册

b 2 − 4ac = D

册

distributiviteit

D −aⴢ 2 4a

VA N

b f (x) = a ⴢ x + 2a f (x) = a ⴢ x +

b 2a

−

2

2

IN

f (x) = a ⴢ x 2 + 2 ⴢ

f (x) = a ⴢ

冊

factor a afzonderen

−

vereenvoudigen

D 4a

Deze vergelijking is van de vorm f(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤ met ␣ =

en ␤ =

2

Besluit

Kenmerken van de grafiek van de functie f(x) = ax 2 + bx + c • a ⬎ 0: dalparabool

(a ≠ 0)

©

a ⬍ 0: bergparabool

• Hoe groter 兩a 兩 , hoe smaller de parabool; hoe kleiner 兩a 兩 , hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = −

冉

• De top heeft als coördinaat −

冊

b .

2a

D b ,− .

2a 4a

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen.

De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

1

Opmerkingen

2

• De y-coördinaat van de top kun je ook bepalen door f −

3 4 5

• Als er twee nulwaarden zijn, dan is de x-coördinaat van de top het gemiddelde van deze nulwaarden.

Dit betekent ook dat de top samenvalt met het raakpunt met de x-as als D = 0.

6

70

冉 2ab 冊 te berekenen.

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

Overzicht van de verschillende gevallen −b − 冪D

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x 1 =

2a

−b + 冪D

en x 2 =

a>0

2a

y

A x1 x1

. Stel: x 1 ⬍ x 2.

a<0

y

A

B

B x2

x

x

x2

IN

De grafiek snijdt de x-as in de punten A(x 1, 0) en B(x 2, 0). b • D = 0: f heeft twee gelijke nulwaarden: x 1 = x 2 = − .

2a

y

VA N

a>0

a<0

y x

A x1

x

A x1

©

4.2

De grafiek raakt de x-as in het punt A(x 1 , 0).

• D < 0: f heeft geen reële nulwaarden. a>0

a<0 y

y

x

x

De grafiek heeft geen gemeenschappelijke punten met de x-as.

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

71

4.3

Voorbeelden

4.3.1 Voorbeeld 1 Vul de kenmerken van de 4 parabolen aan. a) y = x 2 − 2x − 8

c) y = 2x 2 + x − 1 • dalparabool / bergparabool

• opening t.o.v. y = x 2 :

• opening t.o.v. y = x 2 :

• symmetrieas:

• symmetrieas:

• co (top) =

• co (top) =

IN

• dalparabool / bergparabool

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

VA N

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• snijpunt met de y-as:

©

b) y = −x 2 + 4x − 4

1

• snijpunt met de y-as:

d) y = −

1 2 x + 3x − 5 2

• dalparabool / bergparabool

• dalparabool / bergparabool

• opening t.o.v. y = x 2 :

• opening t.o.v. y = x 2 :

• symmetrieas:

• symmetrieas:

• co (top) =

• co (top) =

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• gemeenschappelijke punten met de x-as:

• snijpunt met de y-as:

• snijpunt met de y-as:

2 3 4 5 6

72

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

4.3.2 Voorbeeld 2 Teken de grafiek van de functie y = −x 2 + 2x + 3.

• vorm van de parabool: • symmetrieas: • co (top):

eerste manier: D = −

D = 4a

co (top) = )=

tweede manier: f(

co (top) =

IN

• gemeenschappelijke punten met x-as:

• snijpunt y-as: • bijkomende punten:

VA N

top

x

y

y

©

4

3

2

1 x –4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

–5

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

73

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere/bredere/zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. a) y = −x 2 + 6x − 3

e) y = x 2 − x + 3

vorm:

vorm:

opening:

opening:

symmetrieas:

symmetrieas:

co (top) =

co (top) =

f) y = x 2 − 7x − 6

IN

b) y = x 2 − 2x + 5

vorm:

vorm:

opening:

VA N

opening: symmetrieas:

symmetrieas:

co (top) =

co (top) =

c) y = −2x 2 + 8x − 7

2 2 x + 5x 3

vorm:

opening:

opening:

symmetrieas:

symmetrieas:

co (top) =

co (top) =

©

vorm:

d) y =

1

g) y = −

1 2 x − 3x 2

h) y =

7 2 1 x − x+3 4 2

vorm:

vorm:

opening:

opening:

symmetrieas:

symmetrieas:

co (top) =

co (top) =

2 3 4 5 6

74

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

Bereken de nulwaarden. Rond, indien nodig, af op 0,01 nauwkeurig. e) f(x) = 12x 2 + 20x − 25

b) f(x) = x 2 − 5x + 10

f) f(x) = −3x 2 − 6x − 2

1 2 x − 2x 3

g) f(x) = 20x 2 + 27x − 14

VA N

c) f(x) =

IN

a) f(x) = −x 2 + 5x

©

2

d) f(x) = −3x 2 − x + 4

h) f(x) = −

1 2 6 x + x−9 25 5

• Het getal nul is nog maar 1 300 jaar oud. Het waren Indische wiskundigen die voor het eerst 0 gebruikten en daarvoor een symbool bedachten.

Dankzij het gebruik van 0 is ons decimaal talstelsel kunnen ontstaan.

• In België is 0 een getal dat zowel positief als negatief is. In Nederland is 0 positief noch negatief, zodat 0 daar niet als een natuurlijk getal wordt beschouwd.

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

75

3

Plaats de juiste parabool bij elke vergelijking. y

III 4

3

2

1

IV –6

–5

–4

V –3

–2

II 1

–1

2

–1

VI –2

IN

–3

–4

VA N

I

b) y = −x 2 − 3x − 2

e) y = x 2 − 4x

©

d) y = −

1 2 x − 3x − 4 2

1 2 3 4 5 6

76

1 2 x − 3x 2

a) y = −x 2 − 3x − 4

c) y = −

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

x 3

f) y = x 2 − 4x + 4

4

5

6

Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 − 6x − 7. a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top): d) gemeenschappelijke punten met x-as:

e) snijpunt y-as: f) bijkomende punten:

top

IN

x f(x)

VA N

g) grafiek: y

4

2

–5

–4

–3

–2

©

4

1

–1

2

x 3

4

5

6

7

8

9

–2

–4

–6

–8

–10

–12

–14

–16

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

77

5

Teken de grafiek van de functie y = −

1 2 x − 4x + 1.

2

a) vorm van de parabool: b) symmetrieas: c) co (top): d) gemeenschappelijke punten met x-as:

e) snijpunt y-as: top

IN

f) bijkomende punten: x

VA N

y

y 9 8 7

©

g) grafiek:

6 5 4 3 2 1 x

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2

1

–3

2

–4

3 4 5 6

78

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

2

3

4

5

Teken de grafiek van de tweedegraadsfuncties. a)

f (x) = −x 2 − 2x − 1

d)

f(x) = −2x 2 + 5x − 4

b)

f(x) = x 2 − x − 2

e)

f(x) =

c)

f(x) =

1 2 5 x −x− 3 6

9 2 x − 6x + 4 4

VA N

IN

De invulpagina’s van deze oefeningen vind je op diddit.

©

6

Als een vlak een (dubbele) kegel snijdt, dan zijn er 3 mogelijkheden voor de doorsnede: • een parabool, • een ellips, met als bijzonder geval een cirkel, • een hyperbool.

De figuren noem je daarom kegelsneden.

Een kegel ontstaat door een rechte a te wentelen om een andere rechte b.

De ligging van het snijvlak ten opzichte van de kegel bepaalt het soort kegelsnede.

• Een parabool is de snijlijn met een vlak dat evenwijdig is met de rechte a.

• Een hyperbool is de snijlijn met een vlak dat evenwijdig is met de rechte b.

• Een ellips is de snijlijn met een vlak dat de rechten a en b snijdt.

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

79

STUDIEWIJZER Grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c KENNEN De grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c is een parabool met de volgende kenmerken: •

a > 0: dalparabool (holle zijde naar boven) a < 0: bergparabool (holle zijde naar beneden).

•

Hoe groter 兩a兩, hoe smaller de parabool hoe kleiner 兩a兩, hoe breder de parabool.

•

De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = − b .

2a De top heeft als coördinaat − b , − D .

2a 4a De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as worden bepaald door het oplossen van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0.

De oplossingen van deze vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• •

•

冉

冊

Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

KUNNEN

©

VA N

CONTRACTWERK

IN

De vergelijking y = ax 2 + bx + c omzetten naar y = a ⴢ 共x − ␣兲 2 + ␤ en zo de eigenschappen van de grafiek van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c bepalen.

1 2 3 4 5 6

80

HOOFDSTUK 4 I GRAFIEK VAN DE FUNCTIE MET VERGELIJKING y = ax2 + bx + c

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

5.1

Inleiding

5.2

Stijgen, dalen en extrema

5.3

Voorbeelden

5.4

Toepassing: extremumvraagstukken

©

VA N

IN

Studiewijzer

₈₂ ₈₃ ₈₄ ₈₄ ₉₂

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

81

5.1

Inleiding a>0

a<0

f (x) = x 2 − 2

1 2 g(x) = − ⴢ (x + 1) + 3 2 y

y 5

3

4

2

3

1 x

2

–5

–3

–2

–3

–2

1

–1

2

3

–1

1 –4

–4

x 1

–1

2

3

–2

4

–1

–3

–2

–4

–3

–5

De top heeft als coördinaat (

IN

De top heeft als coördinaat (0, −2).

,

).

De grafiek van g

De grafiek van f daalt als x ⬍ 0 en

VA N

stijgt als x ⬎ 0.

als x ⬍ als x ⬎

De functie f bereikt een minimale waarde

De functie g bereikt een

als x = 0. Deze minimale waarde is −2.

als x =

waarde

. waarde is

Deze

.

Schematisch kun je dit verloop als volgt weergeven:

Schematisch kun je dit verloop als volgt weergeven: x

0

x

f

−2 MIN

g

©

en

Een rechte stijgt of daalt altijd gelijkmatig. De richtingscoëfficiënt is een maat voor de helling.

Bij een parabool is de graad van stijgen of dalen in elk punt anders.

Je bekijkt de volgende tabellen: x

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

f(x)

7

2

−1

−2

−1

2

7

g(x)

䉭 f (x)

−5

−3

−1

+1

+3

+5

−4

−3

−2

−1

0

1

䉭g(x)

1

Hoe verder je van de top verwijderd bent,

Hoe verder je van de top verwijderd bent,

2

hoe groter de helling van de grafiek.

hoe groter de helling van de grafiek.

Het verschil in de waarden van 䉭f(x),

Het verschil in de waarden van 䉭g(x),

is wel constant; dit verschil is 2 = 2 ⴢ 1 = 2 ⴢ a.

is wel constant; dit verschil is

3 4 5

De coëfficiënt a van x 2 bepaalt de mate van kromming van de parabool y = ax 2 + bx + c.

6

82

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

2

Stijgen, dalen en extrema Je beschouwt de functie f met vergelijking y = ax 2 + bx + c. a>0

a<0 De grafiek is een bergparabool.

De grafiek is een dalparabool.

y

y

b f – ––

( 2a) x

x b – –– 2a

b – –– 2a

b f – ––

IN

( 2a)

b • Als x ⬍ − , stijgt de functie.

2a

b • Als x ⬎ − , stijgt de functie 2a (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).

b • Als x ⬎ − , daalt de functie.

2a

• De functie f bereikt een minimale waarde

• De functie f bereikt een maximale waarde

VA N

b • Als x ⬍ − , daalt de functie 2a (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).

©

5.2

b als x = − .

2a

b als x = − .

2a

冉 冊

Schematisch:

Schematisch:

x

f

冉 冊

b Deze waarde is f − .

2a

b Deze waarde is f − .

2a

b − 2a

x

冉 冊

f

b f − 2a MIN

b − 2a

冉 冊

b f − 2a MAX

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

83

5.3

Voorbeelden Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties.

1 c) f(x) = x 2 − 4x + 2 2

a) f (x) = −x 2 + 2

x

0

x

4

f

2 MAX

f

−6 MIN

5 2 d) f(x) = ⴢ (x + 3) + 5 4

1 6

x

5.4

f

1 12 MAX

x

−3

f

5 MIN

VA N

IN

b) f (x) = −3x 2 + x

Toepassing: extremumvraagstukken

5.4.1 Modeloefening 1

©

Een firma vervaardigt machinaal schalen waarvan de dwarse doorsnede een parabool is.

2 4 Hiervoor gebruikt de firma de formule y = x 2 − x , 45 3 waarbij x de afstand, in cm, is tot de linkerboord en y de diepte, in cm, op x cm van de linkerboord.

Je verwaarloost de dikte van de schaal.

a) Bepaal de maximale diepte van de schaal.

1 2 3 4

x

15

f

−10 MIN

5 6

84

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

b) Hoe breed is de schaal?

5.4.2 Modeloefening 2 Jason en zijn buurjongen Michael gooien beiden een bal vanuit het raam van hun slaapkamer.

De bal van Jason volgt een parabolische baan met vergelijking h = −5t 2 + 9t + 5.

De vergelijking van de baan van de bal van Michael is h = −5t 2 + 7t + 6.

Hierbij is h de hoogte, in m, en t de tijd, in s, vanaf het moment dat de bal wordt losgelaten. a) Van op welke hoogte worden beiden ballen gegooid?

t

IN

b) Welke bal bereikt de grootste hoogte? Na hoeveel seconden is dat?

0,9 9,05

h

0,7

h

8,45 MAX

VA N

MAX

t

5.4.3 Modeloefening 3

In een vierkant met zijde 10 cm wordt op iedere zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.

Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is.

Bepaal deze oppervlakte.

©

x cm

10 cm

z

Stelling van Pythagoras:

z 2 =

Uitwerking van het rechterlid: De top van de grafiek:

Het verloop: x

5

f

50 MIN

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

85

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. a) f(x) = 2x 2 − 6

e) f(x) = −

x

x

f

f

2

f) f(x) = 4x 2 + 8x + 6

x f

1 2 x +x−3 2

x f

g) f(x) = x 2 − 7x + 2

©

c) f(x) = −

VA N

IN

b) f(x) = −x 2 − 6x

冉 冊

3 2 ⴢ x− 4 5

x

x

f

f

2

d) f(x) = −3 ⴢ (x + 5) + 13

h) f(x) =

1 2 3

x

x

f

f

4 5 6

86

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

3 4 2 1 x + x+ 5 5 10

REEKS B 2

De dwarse doorsnede van een rivierbedding is paraboolvormig.

De diepte van de rivier kan worden benaderd met de formule y = x 2 − 6x.

Hierbij is y de diepte in meter en x de afstand tot de linkeroever. a) Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Hoe diep is dat?

−9 MIN

IN

f

De dwarse doorsnede van een heuvel kan benaderd worden door de parabool met 1 1 vergelijking y = − x 2 + x. Hierbij is x de horizontale afstand in hm en y de hoogte in hm.

32 2 a) Hoe hoog is de heuvel?

©

3

3

VA N

b) Hoe breed is de rivier?

x

x

8

f

2 MAX

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage van de voet tot de top.

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

87

4

Een bedrijf produceert computerspelletjes. De maandelijkse winst (in euro) die ze maken als ze x spelletjes verkopen, wordt gegeven door de functie w (x) = −0,15x 2 + 102x − 2 500. a) Wat is de betekenis van w(0)?

IN

b) Hoeveel computerspelletjes moeten ze verkopen om een maximale opbrengst te verkrijgen?

Hoeveel bedraagt die opbrengst dan?

340

w

14 840 MAX

VA N

x

c) Hoe komt het dat de winst begint te dalen vanaf een bepaalde productie?

5

©

Het aantal verkeersongevallen in België in een periode van vijf jaar kan benaderd worden door de functie n(x) = 1,7x 2 − 175x + 5 535.

Hierbij is n(x) het aantal ongevallen in die periode en x de leeftijd van de betrokkene (x > 18).

Op welke leeftijd is het aantal ongevallen het laagst?

Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?

1 2 3 4 5 6

88

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

x

51,47

n

1 031,32 MIN

6

Bij een hangbrug staat er aan weerszijden van de brug een hoge stalen paal waartussen kabels hangen. Aan die kabels is de brug opgehangen. De kabels hangen in een vorm die benaderd wordt 1 2 7 door de parabool met voorschrift h(x) = x â&#x2C6;&#x2019; x + 72.

40 4 Hierbij is h de hoogte, in m, boven het wegdek en x de afstand, in m, tot de linkerpaal. a) Bereken op welke hoogte de kabels aan de palen vastgemaakt zijn.

IN

b) Bereken op hoeveel meter van de palen de kabels het laagst hangen.

VA N

c) Bereken de afstand tussen de beide palen.

7

Š

d) Bereken de kleinste afstand tussen het wegdek en de kabels.

Een rechthoek heeft een omtrek van 80 m.

Bepaal de lengte en de breedte zo dat de oppervlakte maximaal is. Bereken deze oppervlakte.

x

20

A

400 MAX

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

89

8

Het aantal T-shirts q, van een bepaald merk, dat een kledingzaak per week verkoopt, wordt gegeven door de formule q = 100 − 2p. Hierbij is p de prijs per stuk in euro. a) Vanaf welke prijs verkopen ze geen T-shirts meer?

b) Stel de functie op die de wekelijkse opbrengst van de T-shirts geeft in functie van de prijs.

O(p) = p ⴢ q = c) Welke prijs moeten ze vragen om een maximale opbrengst te verkrijgen?

Hoeveel T-shirts verkopen ze dan per week?

O

1 250 MAX

IN

25

VA N

9

p

Een projectiel wordt van op de grond, onder een hoek van 45º, afgevuurd met een beginsnelheid v O van 100 m/s.

1 De hoogte h, in m, die het projectiel bereikt, bereken je met h(t) = h 0 + v 0 ⴢ sin ␣ ⴢ t − ⴢ g ⴢ t 2.

2 Hierbij is t de tijd, in s, en g = 9,8 m/s 2.

©

a) Na hoeveel seconden bereikt het projectiel zijn hoogste punt? Hoe hoog is dat? h(t) =

t

7,22

h

255,097 MAX

1 2

b) Hoelang duurt het voor het projectiel de grond bereikt?

3 4 5 6

90

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

10

Een voetbalspeler staat op 10 m van het doel en wordt aangespeeld.

Hij neemt de bal ‘in de vlucht’ (dat wil zeggen dat de bal de grond niet raakt) en schiet op doel.

1 De bal volgt een parabolische baan met vergelijking y = − x 2 + x + 1.

12 Hierbij is y de hoogte van de bal op x meter van het vertrekpunt. a) Op welke hoogte neemt de speler de bal aan?

b) Een doel is 2,44 m hoog. Zal de bal in doel verdwijnen, als de keeper er niet bij kan?

c) Wat is de maximale hoogte van de bal?

6

f

4 MAX

Julien heeft nog 60 m gaas liggen en wil daarmee achteraan in zijn tuin een kippenren en een konijnenhok maken. Hij heeft wel het geluk dat zijn tuin grenst aan een kanaal.

Bepaal de totale lengte en de breedte van het stuk dat hij kan afbakenen als hij de oppervlakte A zo groot mogelijk wil.

©

11

VA N

IN

x

x

10

A

300 MAX

REEKS C De oefeningen 12 en 13 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

91

STUDIEWIJZER Verloop van tweedegraadsfuncties KENNEN Het verloop van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c: a⬎0 − b 2a

x f

a⬍0

&

冉 冊

f − b 2a MIN

− b 2a

x f

#

#

冉 冊

f − b 2a MAX

KUNNEN

©

VA N

CONTRACTWERK

IN

Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen.

Vraagstukken oplossen gebaseerd op het verloop van een tweedegraadsfunctie.

1 2 3 4 5 6

92

HOOFDSTUK 5 I VERLOOP VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

&

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

6.1

Inleiding

6.2 Tekenschema van een tweedegraadsfunctie 6.3 Oplossen van ongelijkheden van de tweede graad

₉₆ ₉₇ ₁₀₄

©

VA N

IN

Studiewijzer

₉₄

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

93

6.1

Inleiding Een familiebedrijfje produceert en verkoopt geitenkaasjes.

De wekelijkse winst w, in euro, die ze maken als ze x kaasjes verkopen, wordt gegeven door de functie w(x) = 0,12x 2 + 4x − 100.

Bereken w(0) en geef de betekenis.

• Als de grafiek onder de x-as ligt, dan maakt het bedrijf verlies.

In dit geval is w(x) ⬍ 0.

w

• Als de grafiek boven de x-as ligt, dan maakt het bedrijf winst.

In dit geval is w(x) ⬎ 0.

600 500

• De overgang van verlies naar winst gebeurt in het snijpunt van de grafiek met de x-as.

In dit geval is w(x) = 0.

Bepaal deze nulwaarde.

400

IN

300 200

10 –100

VA N

100

20

30

40

50

60

x 70

Hoeveel kaasjes moet het bedrijf per week verkopen om meer dan 300 euro winst te hebben?

©

• Teken de grafiek van w en de rechte r met vergelijking y = 300.

• Bepaal het snijpunt van de grafiek van w en r, waarvan de x-coördinaat positief is.

Dit snijpunt is (

,

).

1 2

• De grafiek van w ligt boven r als x ⬎

3 4

Het bedrijf maakt meer dan 300 euro winst als

5 6

94

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

Alternatieve manier Het familiebedrijf maakt meer dan 300 euro winst per week als de grafiek van de functie w boven de rechte met vergelijking y = 300 ligt.

y 600 500

Je noemt deze rechte een niveaulijn voor de grafiek van w.

400 300 200 100 x

O

10

20

30

40

50

60

70

–100

Algemeen is elke horizontale rechte met vergelijking y = a een niveaulijn voor een willekeurige grafiek.

De x-as is de niveaulijn met vergelijking y = 0.

Om de snijpunten van de grafiek van een functie f met de niveaulijn y = a te bepalen, los je het stelsel y = f (x) y = a

op.

Hieruit volgt: f (x) = a ⇔ f(x) − a = 0. y

w

600

300 200 100

–300

VA N

400

–200

Stel: z(x) = w(x) − 300.

z

De grafiek van z verkrijg je door de grafiek van w verticaal naar beneden te verschuiven over een afstand 300.

500

O –100

IN

再

x

10

20

30

40

50

60

70

Het bedrijf maakt meer dan 300 euro winst als z(x) ⬎ 0, met andere woorden als de grafiek van z boven de x-as ligt.

Los op met ICT:

©

–400

z(x) ⬎ 0 ⇔ 0,12x 2 + 4x − 400 ⬎ 0

Niveaulijnen worden ook buiten de wiskunde gebruikt.

675

A 0

B A

64

B

0

59

Je treft ze dikwijls aan op detailkaarten om reliëfvormen weer te geven.

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

95

6.2

Tekenschema van een tweedegraadsfunctie

6.2.1 Algemeen Stel: f is een tweedegraadsfunctie.

Dan: f (x) ⬎ 0 als de grafiek van f boven de x-as ligt. f (x) ⬍ 0 als de grafiek van f onder de x-as ligt. f (x) ⫽ 0 als de grafiek van f een gemeenschappelijk punt heeft met de x-as. −b − 冪D

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x 1 =

2a

−b + 冪D

en x 2 =

a>0

x O

x1

x

f (x)

+

0

x

−

x1

f (x)

teken van a

0

+

0

y

x x1 O

x2

x1

x2

x

f(x)

−

0

+

0

x2

tegengesteld teken van a

VA N

x2

IN

x2

. Stel: x 1 ⬍ x 2 .

a<0

y x1

2a

0

teken van a

b • D = 0: f heeft twee gelijke nulwaarden: x 1 = x 2 = − .

2a a>0

y

x

x

x1

O

x1

f (x)

©

a<0

+

0

y x

x1

O

+

x

x f(x)

x1 −

0

x1

f (x)

teken van a

0

teken van a

• D < 0: f heeft geen reële nulwaarden. a>0

1

y

x

O

y O

+

f (x)

2

a<0

x

3

x

4 5 6

96

f (x)

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

teken van a

x

x f(x)

−

−

−

6.2.2 Voorbeelden • Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties. a) f (x) = −3x 2 + x + 2

x

−∞

−

f (x)

−

c) f(x) = −25x 2 + 30x − 9

2 3

1

0

+

0

3 5

x

+∞

f(x)

−

b) f (x) = 2x 2 + 3x + 2

−

−

2

IN

d) f(x) = 4 ⴢ (x + 4) − 9

x

−∞

x

f(x)

+

VA N

f (x)

0

11 2

−

+

−

0

−

5 2

+∞

0

+

• Bepaal de ligging van de grafiek van f ten opzichte van de niveaulijn. f (x) = x 2 − 3x + 2 ten opzichte van de x-as.

f(x) = x 2 − 3x + 2 ten opzichte van de rechte n met vergelijking y = 6.

©

Stel: g(x) = f(x) − 6 =

Bepaal het tekenschema van f:

x f (x)

1 +

0

2 −

0

+∞

x g(x)

+

−∞

−1 +

0

4 −

Á De grafiek ligt boven x als

Á De grafiek ligt boven n als

Á De grafiek ligt onder x als

Á De grafiek ligt onder n als

Á De grafiek heeft de punten

Á De grafiek heeft de punten

en

6.3

−∞

Bepaal het tekenschema van g:

gemeenschappelijk met de x-as.

en

0

+∞ +

gemeenschappelijk met de rechte n.

Oplossen van ongelijkheden van de tweede graad Deze paragraaf vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

97

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

Benader, indien nodig, de nulwaarden op 0,01 nauwkeurig. a) f(x) = 16x 2 − 24x + 9

e) f(x) = 8x 2 − 8x + 1

3 4

x f (x)

+

x

0

f(x)

+

+

0

0,85 −

0

+

f) f(x) = −4x 2 − 16x − 16

x f (x)

VA N

IN

b) f(x) = 2x 2 − 7x − 30

0,15

−

+

5 2

0

6

−

0

+

c) f 共x兲 = −3x 2 + 2x − 1

x

−2

f(x)

−

0

−

©

g) f(x) = 3x 2 + 9x + 7

x f (x)

− −

1 3

0

x

1 +

0

−

d) f(x) = −6x 2 + 11x + 7

f(x)

+

h) f(x) = −15x 2 − 10x + 30

1 2 3

x

−

4 5

f (x)

−

1 2

0

7 3 +

6

98

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

0

x −

f(x)

−1,79 −

0

1,12 +

0

−

Bepaal de ligging van de grafiek van f ten opzichte van de niveaulijn. n ↔ y=4

a) f(x) = x 2 − 5x + 8

x +

0

−

0

3 2

x

4

g(x)

+

+

0

+

VA N

IN

g(x)

1

n ↔ y=1

c) f(x) = 4x 2 − 12x + 10

n ↔ y = −2

b) f(x) = −x 2 + 3x + 2

n ↔ y=3

d) f(x) = 3x 2 + x + 4

©

2

x g(x)

1 −

0

x

4 +

0

−

g (x)

+

De oefeningen 3 en 4 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

99

REEKS B 5

Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

Benader, indien nodig, de nulwaarden op 0,01 nauwkeurig.

2

a) f(x) = (x − 1) − 16

x

e) f(x) = −

−3

f (x)

+

0

x

5 −

3 2 5 x + x−1 5 2

0

f(x)

+

2

f) f(x) =

−

0

3,72 +

0

−

11 1 2 3 x − x− 6 7 12

x f(x)

−

1 2 x 5

x f(x)

g) f(x) = −

−1,39 +

0

3,96 −

0

+

3 9 2 13 x + x− 4 8 2

©

c) f(x) =

VA N

IN

b) f(x) = −(x + 3) − 9

0,45

x f (x) d) f(x) = −

x

0 +

0

+

1 2 2 x + x−1 9 3

f(x)

−

2 2 h) f(x) = ⴢ 共x − 4兲 − 6 3

1 2 3

x

x

3

1

7

4 5

f (x)

−

0

6

100

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

−

f(x)

+

0

−

0

+

Bepaal de ligging van de grafiek van f ten opzichte van de niveaulijn. n ↔ y = −3

2

a) f(x) = −(x − 3) − 2

x −

0

c) f(x) = −

n ↔ y=1

x

4 +

3 ⴢ (x + 2) 2 − 2 2

0

g (x)

−

−

b) f(x) =

VA N

IN

g(x)

2

1 2 x + 3x + 13 4

©

6

x

g(x)

+

n ↔ y=4

5 2 5 x + x−1 4 2

n ↔ y=1

x

−6 0

d) f(x) = −

+

g (x)

−

De oefeningen 7 en 8 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

101

9

Een bal wordt schuin omhoog gegooid.

De hoogte h, in m, van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h(t) = −5t 2 + 9t + 1.

Hoelang zal de bal zich op een hoogte van meer dan 3 m bevinden? Rond je antwoord af op 0,01 s.

t g(t)

−

0

1,54 +

0

−

De jaarlijkse winst w, in euro, die een groot schrijnwerkersbedrijf maakt als het x deuren verkoopt, wordt gegeven door de functie w(x) = −x 2 + 812x − 9 600.

IN

10

0,26

x

12

−

0

800

+

0

−

©

w(x)

VA N

a) Hoeveel deuren moet het bedrijf verkopen om winst te maken?

b) Hoeveel deuren moeten ze verkopen om minstens 100 000 euro winst te maken?

1

x

2

g(x)

170,98 −

0

641,02 +

3 4 5 6

102

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

0

−

11

De dwarse doorsnede van een rivierbedding wordt benaderd door de functie d (x) = Hierbij is d de diepte, in m, op x meter van de linkeroever.

5 2 10 x − x.

18 3

a) Bepaal de maximale diepte van de rivier. x

6

d

−10 MIN

b) Een schip heeft een diepgang van 2,5 m.

Hoe ver moet het schip minstens van de oever verwijderd blijven?

Rond je antwoord af op 0,001 m.

x +

0

11,196 −

0

+

Het aantal promille geboortes n bij vrouwen die x jaar oud zijn, wordt gegeven door de functie n(x) = −0,478x 2 + 25,387x − 229,48. a) Op welke leeftijd wordt relatief het grootste aantal kinderen geboren? Hoeveel promille?

©

12

VA N

IN

g(x)

0,804

x

26,6

n

107,6 MAX

b) Tussen welke leeftijden worden er meer dan 85 kinderen geboren per 1 000 vrouwen?

x g(x)

19,7 −

0

33,4 +

0

−

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES

103

STUDIEWIJZER Tekenschema van tweedegraadsfuncties KENNEN Het tekenschema van een tweedegraadsfunctie: D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 =

−b − 冪D −b + 冪D en x 2 = . Stel: x 1 ⬍ x 2 .

2a 2a

x

x1

f (x)

teken van a

0

x2 tegengesteld teken van a

0

teken van a

D = 0: f heeft twee gelijke nulwaarden: x 1 = x 2 = − b 2a x1

f (x)

teken van a 0 teken van a

IN

x

D = 0: f heeft geen reële nulwaarden

VA N

x f(x)

teken van a

KUNNEN

©

Uit de grafische voorstelling van een tweedegraadsfunctie aflezen waar de functie positief, nul en negatief is.

Een kwadratische ongelijkheid oplossen met behulp van niveaulijnen.

Een tekenschema opstellen voor een tweedegraadsfunctie.

Vraagstukken oplossen gebaseerd op het teken van een tweedegraadsfunctie.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

104

HOOFDSTUK 6 I TEKENSCHEMA VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES