Pienter 4 - 4u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 en 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 Waarheidstabellen

Hoofdstuk 2 Stelsels van vergelijkingen

Hoofdstuk 3 Functies ����(����) = ���� ����

Hoofdstuk 4 Tweedegraadsvergelijkingen

Hoofdstuk 5 Goniometrie

Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 7 Tweedegraadsfuncties

Hoofdstuk 8 Telproblemen

Hoofdstuk 9 Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 10 Grafen

Hoofdstuk 11 Transformaties van elementaire functies op voor

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 1 I WAARHEIDSTABELLEN

Proefversie©VANIN

1.1

Inleiding

Stel dat je met twee vrienden een terrasje doet. Je vrienden bestellen een cola en jijzelf een fruitsapje. Als de ober bij het serveren zichzelf moeite wil besparen, vraagt hij eerst voor wie het fruitsap is. Op die manier kan hij besluiten voor wie de cola’s zijn. Logisch, toch?

Redeneren is een vorm van denken waarbij je besluiten trekt uit allerhande uitspraken. Als je, in de wiskunde of elders, een besluit (conclusie) afleidt uit een aantal gegevens (premissen), dan vormen de opeenvolgende stappen die van de gegevens tot het besluit leiden, een redeneerproces

Logica is het onderdeel binnen de wiskunde dat zich bezighoudt met de leer van het redeneren. Het woord ‘logica’ stamt af van het Griekse woord logos, dat ‘rede’ betekent.

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) was een Griekse filosoof en wetenschapper die, samen met Socrates en Plato, wordt beschouwd als een van de invloedrijkste filosofen in de westerse traditie. Hij wist de leer van de logica te systematiseren.

In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, maakte hij een onderscheid tussen de leer van de bewering, de definitie, de gevolgtrekking en het wetenschappelijk bewijs.

Centraal in zijn theorie staan de zogenaamde syllogismen, logische redeneringen waaruit je een conclusie afleidt.

Een van zijn bekendste syllogismen is het volgende: Alle mensen zijn sterfelijk. (eerste premisse) Socrates is een mens. (tweede premisse) Socrates is sterfelijk. (conclusie)

De leer van Aristoteles domineerde tweeduizend jaar lang de wetenschappelijke manier van redeneren in de westerse wereld. Zijn teksten werden, zelfs nog tot honderden jaren na zijn dood, door andere filosofen weerlegd, aangevuld, bewerkt en bediscussieerd.

Voorbeelden

Is de redenering waar of onwaar? Als ze onwaar is, geef dan een korte verklaring.

a) De afstandsbediening of de televisie werkt niet. De televisie werkt wel, dus is het de afstandsbediening die niet werkt.

Proefversie©VANIN

b) Het schilderij hangt niet in het museum als het gestolen is. Het schilderij hangt niet in het museum. Dus het is gestolen.

c) Ik kan in mijn jas en mijn jas kan in mijn boekentas. Ik kan dus in mijn boekentas.

waar onwaar

1.2 Proposities en connectieven

1.2.1

Proposities

Propositielogica is een tak binnen de wiskunde die zich bezighoudt met het redeneren met uitspraken die ofwel waar, ofwel onwaar zijn. Zulke uitspraken noem je proposities.

Voorbeelden van proposities

• Een gelijkbenige driehoek heeft minstens twee even grote hoeken. (waar)

• De aarde is een planeet. (waar)

• 12 – 8 = 5 (onwaar)

• De maand februari telt 30 dagen. (onwaar)

Definitie

Propositie

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De volgende zinnen zijn geen proposities.

• Is er leven op Saturnus? Een vraagstelling is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of ze waar of onwaar is.

• Doe de deur dicht! Een bevel of zin in de gebiedende wijs is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of hij waar of onwaar is.

• Je hebt een mooie trui aan. Een subjectieve uitspraak of mening heeft betrekking op de persoonlijke smaak en voorkeur. Subjectieve uitspraken zijn geen proposities.

• n is een priemgetal. De uitspraak ‘n is een priemgetal’ is soms waar (n = 5) en soms onwaar (n = 8). De uitspraak is geen propositie, omdat je de waarde van n niet kent.

Voorbeelden

Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

propositie geen propositie verklaring w o

a) 1 + 1 = 2

b) Het is warm vandaag.

c) De hoofdstad van Frankrijk is Parijs.

d) 3 is kleiner dan 2.

e) Is 0 het kleinste natuurlijk getal?

f) 19 is een priemgetal.

g) Anderlecht is beter dan Club Brugge.

h) Ga naar je kamer!

Het is in de omgangstaal niet altijd eenvoudig om de juiste woorden te vinden om een welbepaalde redenering weer te geven. Bovendien heeft iedereen een eigen taalgevoel.

Zo kan de ontvanger een boodschap soms anders interpreteren dan de zender bedoelde.

Stel, je belooft aan een kind het volgende:

Als je braaf bent, dan krijg je een zuurtje of een stuk chocoladecake.

Wat kan het kind precies verwachten?

Kan het, als het braaf is, een zuurtje én een stuk chocoladecake krijgen?

Mag het, als het braaf is, zelf kiezen tussen een zuurtje of een stuk chocoladecake?

Krijgt het ook iets als het niet braaf is, of is dat uitgesloten?

Wat als het een heel klein beetje niet braaf is? Hoe braaf moet het eigenlijk zijn om iets te krijgen?

Om dergelijke onduidelijkheden te vermijden, stel je proposities voor in symbolentaal.

Een propositie stel je voor door een kleine letter: p, q, r

Als een propositie waar is, geef je dat weer met het getal 1.

Als een propositie onwaar is, geef je dat weer met het getal 0.

Je noemt de waarde 1 of 0 de waarheidswaarde van een propositie.

Samengestelde proposities verbinden enkelvoudige proposities met een connectief

benaming connectief je leest: de negatie ¬ niet de conjunctie

en de disjunctie

of de implicatie

als … dan de equivalentie

als en slechts als

Proefversie©VANIN

Voorbeelden

p: Je bent braaf.

q: Je krijgt een zuurtje.

r: Je krijgt een stuk chocoladecake.

Formuleer in woorden.

¬p

q ˄ r

q ˅ r

p ⇒ q

p ⇔ q

Voor samengestelde proposities hangt de waarheidswaarde af van de waarheidswaarde van de verschillende enkelvoudige proposities (deeluitspraken).

Die waarheidswaarde bepaal je met waarheidstabellen.

Oefeningen

REEKS A

1 Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

Proefversie©VANIN

a) 2 is het kleinste priemgetal.

b) Je ziet er goed uit vandaag.

c) Had dan gezwegen!

d) Je wiskundeleerkracht is de beste leerkracht van de school.

e) 3 2 + 4 2 = 5 2

f) Een schildpad is een amfibie.

g) Is Einstein geboren in de 20e eeuw?

h) Ik ben getrouwd met het mooiste meisje van de wereld.

i) De Duitse vlag bestaat uit de kleuren zwart, geel en blauw.

j) Een jachtluipaard is het snelste landdier ter wereld.

k) Een parallellogram heeft juist één paar evenwijdige zijden.

l) Houd je mond!

m) Een oneven macht van een negatief grondtal is altijd negatief.

n) Hoe oud is jouw broer?

o) Ik vind cola het lekkerst.

p) De zon is groter dan de maan.

q) Elke mens is sterfelijk.

r) 9 is een deler van 378.

s) n is een even getal.

t) (–7)–1 = 7

propositie geen propositie verklaring w o

1.2.2 Negatie van een propositie

p: Pieter speelt voetbal.

q: Pieter speelt geen voetbal.

Beide uitspraken kunnen niet tegelijkertijd waar of onwaar zijn. Als de eerste propositie waar is, is de tweede propositie onwaar. Als de eerste propositie onwaar is, is de tweede propositie waar.

Je zegt dat q de negatie is van p

Notatie: ¬p

Je leest: niet p Het teken ¬ noem je het negatieteken.

Het negatieteken ¬ gaat, anders dan in de gewone omgangstaal, vooraf aan de uitspraak waarop het betrekking heeft. De propositie ‘Pieter speelt geen voetbal’ noteer je dus als volgt: ¬p

De negatie is eigenlijk een speciaal connectief.

Bij een negatie zijn er geen twee deeluitspraken, maar maak je van één propositie een iets complexere propositie. In de meeste naslagwerken over logica wordt de negatie wel als een connectief beschouwd.

De formule ¬p is waar als p onwaar is, en omgekeerd.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Negatie

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Voorbeelden

Formuleer de volgende proposities in woorden.

p: 9 is een oneven getal. ¬p:

q: De deur staat open. ¬q:

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten. ¬r:

s: De hoofdstad van Spanje is Barcelona. ¬s:

1.2.3 Conjunctie van twee proposities

p: Jules eet graag frietjes.

q: Marie eet graag stoofvlees.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees. Je noemt die nieuwe uitspraak de conjunctie van p en q

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q Het teken ˄ noem je het conjunctieteken.

Voor de conjunctie heb je een grotere waarheidstabel nodig. Er zijn namelijk vier mogelijke combinaties voor de waarheidswaarden van twee proposities p en q

De propositie ‘Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees’ kan enkel waar zijn als beide deeluitspraken p en q waar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Conjunctie

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

De propositielogica brengt enkele beperkingen met zich mee en kan niet alle nuances uit de omgangstaal weergeven. De zin ‘Jules en Marie gaan op reis’ kun je opsplitsen in ‘Jules gaat op reis’ en ‘Marie gaat op reis’. Daaruit blijkt niet of ze samen op reis gaan. Zo zit er ook een beperking in de weergave van de chronologie. In de spreektaal geeft ‘en’ vaak een tijdsvolgorde aan. Uit de zin ‘Jules kwam binnen en deed het licht aan’ kun je afleiden dat Jules binnenkwam alvorens hij het licht aandeed. Als er staat ‘Jules deed het licht aan en kwam binnen’, krijgt de zin een andere betekenis.

Dat soort bijzonderheden kun je moeilijk uitdrukken in de propositielogica.

1.2.4 Disjunctie van twee proposities

p: Wassim gaat met de fiets naar school.

q: Nikolay gaat met de bus naar school.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school.

Je noemt die nieuwe uitspraak de disjunctie van p en q

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

Het teken ˅ noem je het disjunctieteken.

De propositie ‘Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school’ kan enkel onwaar zijn als beide deeluitspraken p en q onwaar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie

Disjunctie

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Een waarheidstabel van een enkelvoudige propositie p bevat twee mogelijke waarheidswaarden: 1 of 0.

Een waarheidstabel van twee proposities p en q bevat vier mogelijkheden.

Beide proposities kunnen waar of onwaar zijn, p kan waar zijn en q onwaar, of omgekeerd.

Een waarheidstabel met drie proposities p, q en r bevat acht mogelijkheden.

Een waarheidstabel met vier proposities p, q, r en s bevat zestien mogelijkheden.

Algemeen wordt het aantal mogelijkheden in een waarheidstabel met n proposities bepaald door de formule 2 n

Besluit

Inclusieve disjunctie

• Personen die behoren tot de leeftijdscategorie 65+ of die behoren tot een van de risicogroepen, krijgen voorrang bij de inenting tegen COVID-19 en tegen de griep.

Zal een persoon met diabetes uit de leeftijdscategorie 65+ ook voorrang krijgen?

• Personen uit de leeftijdscategorie 60+ of personen met een beperking krijgen korting bij de aankoop van een inkomticket voor de Efteling.

Krijgt een man van 64 jaar met een beperking ook korting?

‘Of’ betekent in deze voorbeelden ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Je noemt die ‘of’ de inclusieve of

In de logica gebruik je de inclusieve of ‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Exclusieve disjunctie

In de omgangstaal heeft het woord ‘of’ vaak een andere betekenis.

Een leerkracht laat zijn leerlingen de keuze:

De toets gaat maandag door of de toets gaat dinsdag door.

Geen enkele leerling verwacht de toets op zowel maandag als dinsdag.

‘Of’ betekent hier ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Je noemt die ‘of’ de exclusieve of

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

Een andere notatie voor de exclusieve of is: p ⊕ q.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Voorbeelden

Welke ‘of’ wordt gebruikt? Vul in met ‘inclusief’ of ‘exclusief’.

a) 2 is een rationaal getal of een irrationaal getal.

b) Mensen met een hond of een kat moeten hun huisdieren binnenhouden bij oudjaar.

c) Je kunt kiezen tussen de studierichtingen wetenschappen of economie.

d) Wil je melk of suiker bij jouw koffie?

1.2.5 Implicatie van twee proposities

p: Het regent.

q: De straten worden nat.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: als het regent, dan worden de straten nat.

• ‘Het regent’ noem je het antecedens

• ‘De straten worden nat’ noem je het consequens

Je noemt die nieuwe uitspraak een implicatie

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q Het teken ⇒ noem je het implicatieteken.

De uitspraak is waar als het regent en de straten nat worden. De uitspraak is onwaar als het regent en de straten niet nat worden.

Maar wat als het niet regent? De straten kunnen dan nog altijd nat worden, omdat het bijvoorbeeld sneeuwt of hagelt. Ook in dat geval is de uitspraak dus waar.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie Implicatie

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Opmerking

Bij een implicatie mag je de twee proposities niet zomaar van plaats wisselen.

De uitspraak ‘als je jarig bent, dan krijg je een ruiker bloemen’ heeft een andere betekenis dan ‘als je een ruiker bloemen krijgt, dan ben je jarig’.

Voorbeeld

p: Julia snijdt uien. q: Julia moet huilen.

a) Formuleer de propositie in woorden.

p ⇒ q:

b) Wanneer is die uitspraak waar? Leg uit.

1.2.6 Equivalentie van twee proposities

p: Een driehoek is gelijkzijdig.

q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft. Je noemt die nieuwe uitspraak een equivalentie

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q Het teken ⇔ noem je het equivalentieteken.

De uitspraak is waar als de driehoek gelijkzijdig is en drie even grote hoeken heeft. De uitspraak is ook waar als de driehoek niet gelijkzijdig is en geen drie even grote hoeken heeft (denk aan een willekeurige driehoek met hoeken van 50º, 60º en 70º).

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Proefversie©VANIN

Definitie

Equivalentie

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Een equivalentie wordt ook weleens een bi-implicatie genoemd, omdat de implicatie in beide richtingen geldt.

De uitspraak ‘als er vrede is, dan is er geen oorlog’ (⇒) geldt ook in de andere richting: ‘als er geen oorlog is, dan is er vrede’ (⇐).

Je kunt dus stellen dat p ⇔ q

1.2.7 Overzicht

Vul de waarheidstabel bij de verschillende connectieven aan.

1.2.8 Nodige en voldoende voorwaarde

Eigenschap

Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

p: Een vierhoek is een ruit.

q: De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

In symbolen: p ⇒ q

Proefversie©VANIN

Het is voldoende dat een vierhoek een ruit is opdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, maar niet nodig, want er bestaan ook andere vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan (bv. een vlieger).

Het loodrecht op elkaar staan van de diagonalen is nodig opdat de vierhoek een ruit zou kunnen zijn.

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je q de nodige voorwaarde voor p

Besluit Om een eigenschap te bewijzen, bewijs je de implicatie p ⇒ q Je neemt p als ‘gegeven’ en q als ‘te bewijzen’.

Kenmerk

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als de driehoek minstens twee even grote hoeken heeft. p: Een driehoek is gelijkbenig. In symbolen: p ⇔ q q: Een driehoek heeft minstens twee even grote hoeken.

Minstens twee even grote hoeken in een driehoek is een nodige (p ⇒ q) en een voldoende (p ⇐ q) voorwaarde voor gelijkbenigheid.

Een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee gelijke hoeken, en omgekeerd zul je geen driehoek vinden met minstens twee gelijke hoeken die niet gelijkbenig is. Een eigenschap waarvan ook de omgekeerde eigenschap geldt, noem je een kenmerk of een (alternatieve) definitie.

Besluit Om een kenmerk te bewijzen, bewijs je de equivalentie p ⇔ q Je bewijs bestaat uit twee stappen: je bewijst p ⇒ q en q ⇒ p.

1.2.9 Volgorde van de connectieven

Net als bij de volgorde van de bewerkingen, interpreteer je eerst de connectieven binnen de haakjes. Daarna geldt een afnemende prioriteit van de connectieven: ¬, ˄, ˅, ⇒, ⇔

Dat wil zeggen dat je ¬ altijd eerst interpreteert, daarna ˄ enzovoort.

Algemeen Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels (van links naar rechts): ( ) , ¬ , ˄ , ˅ , ⇒⁄⇐ , ⇔

Voorbeeld

Als Veerle een blauwe broek draagt, dan draagt Nathalie geen rood T-shirt, en Sigrid draagt gele sokken als en slechts als Nathalie een rood T-shirt draagt.

a) Noteer de uitspraak in symbolen.

enkelvoudige proposities samengestelde propositie

p: q: In symbolen: r: Je interpreteert de twee deeluitspraken binnen de haakjes elk afzonderlijk.

In de deeluitspraak (p ⇒ ¬q) interpreteer je eerst ¬q, omdat ¬ voorrang heeft op ⇒.

b) Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN

c) Wanneer is de uitspraak waar?

Oefeningen

REEKS A

2 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Het regent.

q: De zon schijnt.

a) p ˄ q

b) q ˅ r

c) p ⇒ r

d) ¬p ⇒ q

REEKS B

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten.

Proefversie©VANIN

3 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Dieter is ziek.

r: Dieter gaat naar school.

q: Dieter maakt zijn huiswerk. s: Mama gaat werken.

a) ¬p ⇒ r

b) r ⇔ s

c) ¬q ⇒ ¬r

d) ¬p ˄ q ⇒ r

e) ¬s ˄ ¬q ⇒ p

4 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Kevin geeft een pass aan Romelu. s: Dries trapt een hoekschop.

q: Romelu maakt een doelpunt. t: De scheidrechter fluit af.

r: Thibaut trapt de bal uit.

a) s ˄ p ⇒ q

b) r ⇒ t

c) ¬p ⇒ ¬q

d) ¬t ˄ r ⇒ q

e) s ˅ r ⇒ ¬t

5 Formuleer de enkelvoudige proposities in woorden. Noteer vervolgens de samengestelde propositie in symbolen.

a) Katleen of Mario komt naar het feest.

p:

q:

b) Jaouad speelt piano, maar Bart niet.

p:

q:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

In symbolen:

c) De zon schijnt en er is veel wind, maar het regent niet.

p:

In symbolen: q: r:

d) Amina speelt graag badminton, maar traint niet graag.

p:

q:

e) Gianni kent Engels noch Duits.

p:

In symbolen:

In symbolen: q:

f) Als An niet slaagt voor haar rijexamen, komt ze niet met de auto naar school.

p:

q:

In symbolen:

g) Als Iwan blij is, is Sofia dat niet en als Iwan niet blij is, is Sofia dat wel.

p:

q:

In symbolen:

6 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Je slaagt voor het proefwerk wiskunde.

q: Je maakt elke oefening in de cursus.

r: Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving.

Proefversie©VANIN

symbolen

a) Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving, maar je maakt niet elke oefening in de cursus.

b) Je behaalt een onvoldoende op het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de cursus maakt.

c) Elke oefening in de cursus of elke extra oefening in de elektronische leeromgeving maken, volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.

d) Het is niet waar dat je een onvoldoende behaalt voor het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de elektronische leeromgeving maakt.

7 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Jef speelt piano.

q: Myra speelt harp.

r: Hanneke speelt dwarsfluit.

s: Layla speelt klarinet.

a) Als Jef geen piano speelt en Myra geen harp speelt, dan speelt Hanneke dwarsfluit.

b) Als Layla klarinet speelt of als Hanneke dwarsfluit speelt, dan speelt Myra geen harp.

c) Hanneke speelt geen dwarsfluit als en slechts als Layla geen klarinet speelt.

d) Layla speelt klarinet als Myra geen harp speelt.

e) Jef speelt geen piano en Myra speelt geen harp als Hanneke geen dwarsfluit speelt.

in symbolen

8 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

a) Als de maan van kaas is, dan dansen er muizen op de maan.

p:

q: p q

b) 5 is een priemgetal of 5 is een even getal.

p:

q: p q

c) Het is niet waar dat (–2)2 = 4.

p:

q: p

d) Als 3² = 9, dan 6 – 2 = 3.

p:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen: q: p q

De uitspraak is

e) Als het niet waar is dat de zon groter is dan de aarde, dan is elke smurf geel.

p:

In symbolen: q: p q

De uitspraak is

f) 2 = 5 als en slechts als 1 = –13.

p:

In symbolen: q: p q

De uitspraak is

9 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

p: 7 > 18

q: 18 is een even getal.

a) p ⇒ q

De uitspraak is

b) ¬r ˄ q

De uitspraak is

c) s ⇔ p

De uitspraak is

d) (p ⇒ s) ˅ (s ⇒ p)

De uitspraak is

e) (p ⇔ q) ˄ ¬r

De uitspraak is

f) (p ˄ ¬q) ˅ r

r: 11 0 = 1

s: 3 ∈ q

Proefversie©VANIN

De uitspraak is

10 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬p ˄ q

d) p ⇒ ¬q

Proefversie©VANIN

b) p ˅ ¬q e) ¬(p ⇒ q)

c) ¬(p ˅ q) f) ¬p ⇔ q

11 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬(p ˄ ¬q)

b) (p ⇒ q) ˅ ¬q

12 Vul in met ‘voldoende’, ‘nodig(e)’ of ‘nodig(e) en voldoende’.

a) Opdat een driehoek gelijkzijdig is, is het dat hij gelijkbenig is.

b) Opdat een driehoek rechthoekig is, is het dat de stelling van Pythagoras geldt.

c) Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, is het dat het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.

d) Opdat een vierhoek een vierkant is, is het dat de vierhoek een parallellogram is.

e) Opdat twee driehoeken gelijkvormig zijn, is het dat de drie paar overeenkomstige zijden evenredig zijn.

f) Het middendoor snijden van de diagonalen is een voorwaarde opdat een vierhoek een vierkant is.

g) Opdat een lijnstuk een middenparallel is van een driehoek, is het om te stellen dat het lijnstuk evenwijdig is met en half zo lang is als de derde zijde.

h) Opdat een getal deelbaar is door 3, is het dat het getal deelbaar is door 9.

i) Dat een getal deelbaar is door 2 en ook door 3, is een voorwaarde opdat het getal deelbaar is door 6.

j) Opdat a en b snijdende rechten zijn, is het dat a en b loodrecht op elkaar staan.

Proefversie©VANIN

13 Vul de best passende pijl in. Kies uit: ⇒, ⇐, ⇔.

a) Een getal is deelbaar door 3. Een getal is deelbaar door 6.

b) Twee driehoeken zijn congruent. Twee driehoeken hebben dezelfde oppervlakte.

c) Een driehoek is gelijkzijdig. Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

d) x + 2 = 4 x = 4 – 2

e) Een getal is een natuurlijk getal. Een getal is een geheel getal.

f) x ∈ r + x 2 ∈ r +

g) |PQ| = |QR| Q is het midden van [PR].

h) Een vierhoek is een rechthoek. Een vierhoek is een trapezium.

i) a is een irrationaal getal. a is een reëel getal.

j) De rechten a en b zijn evenwijdig. a = b

14 De ouders van Yassine doen vlak voor de proefwerken de volgende ware uitspraak: ‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone.’

Yassine krijgt na de proefwerken een nieuwe smartphone. Kun je daaruit besluiten dat hij geslaagd was voor wiskunde?

p:

q:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

15 In een rechtszaak doet een rechter de volgende uitspraak:

‘De eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt de waarheid niet.’

Een advocaat is het niet eens met de rechter. Wat moet hij dan aantonen?

p:

q:

In symbolen:

16 Een leerkracht wiskunde zegt tegen zijn leerlingen:

‘Het is niet waar dat iemand in de klas een onvoldoende heeft, of het is wél waar dat er gespiekt werd tijdens de toets.’ Achteraf zegt de leerkracht dat hij een leugen vertelde. Wat kunnen de leerlingen daaruit besluiten?

p:

q:

In symbolen:

Proefversie©VANIN

REEKS C

17 Als het in Knokke minstens 27 ºC én zonnig is, dan zit het strand overvol.

Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol. Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag?

A) Als het minstens 27 ºC was, dan was het zonnig.

B) Als het minder dan 27 ºC was, dan was het zonnig.

C) Als het minder dan 27 ºC was, dan was het niet zonnig.

D) Het was minder dan 27 ºC en het was niet zonnig.

E) Het was minder dan 27 ºC of het was niet zonnig.

JWO, editie 2015, tweede ronde

18 Als het niet waar is dat KV Oostende de beker of de competitie wint, dan wint KV Oostende de Europa League.

a) Vul aan.

p: q:

r: In symbolen:

b) Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN

c) Wanneer is die uitspraak waar?

19 Als Elise en Noa de waarheid niet spreken, dan is het niet waar dat Louiz liegt.

a) Vul aan.

p: q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is die uitspraak waar?

1.3 Logische raadsels

Drie vrienden zouden graag naar Schoolrock Festival gaan, maar twijfelen een beetje. ‘Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat, en Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat.’ Wie gaat er naar Schoolrock?

Mogelijkheid 1: • Nummer de verschillende uitspraken.

• Zet alle mogelijkheden in een tabel.

• Schrap de mogelijkheden die strijdig zijn met het gegeven.

Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat. (1) Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat. (2)

Flor Anaïs Seppe

gaat gaat gaat

gaat gaat gaat niet

gaat gaat niet gaat

gaat gaat niet gaat niet

gaat niet gaat gaat

gaat niet gaat gaat niet

gaat niet gaat niet gaat

gaat niet gaat niet gaat niet

Mogelijkheid 2: • Zet de uitspraak om naar een propositie in symbolen.

• Stel een waarheidstabel op.

p: Flor gaat.

q: Anaïs gaat.

r: Seppe gaat.

Proefversie©VANIN

In symbolen: (q ⇒ p) ˄ (r ⇔ ¬p)

Oefeningen

REEKS B

20 Als Stijn vanavond televisie mag kijken, dan mag Thibe geen televisie kijken. Oscar mag enkel televisie kijken als en slechts als Thibe geen televisie mag kijken. Wie mag er vanavond televisie kijken? Los op met een waarheidstabel.

p:

q: In symbolen:

Proefversie©VANIN

21 Van drie beweringen A, B en C weet je het volgende:

• Als A waar is, dan zijn B en C waar.

• Als B waar is, dan is er van A en C ten minste één waar.

• Als C waar is, dan is A waar en B onwaar. Welke van de beweringen A, B en C zijn waar?

Lijst de verschillende mogelijkheden op in een tabel.

22 Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen.

Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor.

Welke van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

A) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

B) De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

C) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

D) De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

E) De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

Proefversie©VANIN

JWO, editie 2020, tweede ronde

23 Vijf vrienden spelen een spel. Een van hen is de mol en liegt altijd. De anderen spreken altijd de waarheid.

• Wout zegt: ‘Maarten of Jens is de mol.’

• Lisa antwoordt: ‘De mol is een man.’

• Jens zegt: ‘Lisa is de mol niet en ik ook niet.’

• Maarten stelt: ‘De mol is een vrouw.’

• Inneke beweert: ‘Ik ben de mol niet.’

Wie is de mol?

A) Wout B) Lisa C) Jens D) Maarten E) Inneke

JWO, editie 2020, tweede ronde

1.4 Tautologieën en contradicties

1.4.1

Begripsvorming

Logische equivalentie

Twee (enkelvoudige of samengestelde) proposities p en q zijn gelijkwaardig als en slechts als ze voor alle gevallen dezelfde waarheidswaarde hebben.

Je noemt de proposities logisch equivalent

Als je een equivalentieteken tussen twee gelijkwaardige proposities plaatst, verkrijg je altijd een ware uitspraak.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p is gelijkwaardig met q

Tautologie

Als een getal oneven en een priemgetal is, dan is het getal oneven.

p: Een getal is oneven.

q: Een getal is een priemgetal.

Vul de waarheidstabel aan.

Proefversie©VANIN

In symbolen:

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een tautologie

Definitie Tautologie

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Contradictie

Een reëel getal is rationaal en irrationaal.

p: Een reëel getal is rationaal. In symbolen:

Vul de waarheidstabel aan.

1 0

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een contradictie

Definitie Contradictie

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

1.4.2 De wet van de uitgesloten derde

‘Elk getal is even of oneven’ is altijd een ware uitspraak. Er is geen derde mogelijkheid. p: Elk getal is even.

te bewijzen p ˅ ¬p is een tautologie.

bewijs

Proefversie©VANIN

Besluit Wet van de uitgesloten derde p ˅ ¬p

1.4.3 De wet van de dubbele negatie

‘De zon schijnt’ is gelijkwaardig met ‘het is niet waar dat de zon niet schijnt’. p: De zon schijnt.

te bewijzen p ⇔ ¬(¬p)

bewijs

0

Besluit Wet van de dubbele negatie p ⇔ ¬(¬p)

1.4.4 Een implicatie noteren als een disjunctie

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone’ is gelijkwaardig met ‘je slaagt niet voor wiskunde of je krijgt een nieuwe smartphone’. p: Je slaagt voor wiskunde. q: Je krijgt een nieuwe smartphone. te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q bewijs

Besluit Een implicatie noteren als een disjunctie

1.4.5 Een equivalentie noteren als een conjunctie

‘Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft’ is gelijkwaardig met ‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot en als alle hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig’. p: Een driehoek is gelijkzijdig. q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

Proefversie©VANIN

bewijzen

bewijs

Besluit Een equivalentie noteren als een conjunctie

1.4.6 De wet van de contrapositie

‘Als het regent, dan worden de straten nat’ is gelijkwaardig met ‘als de straten niet nat worden, dan regent het niet’. p: Het regent. q: De straten worden nat.

bewijzen

Besluit Wet van de contrapositie

Opmerking

Een veelgemaakte fout is om te stellen dat p ⇒ q gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

Voorbeeld

p: n is een viervoud.

a) Formuleer de proposities in woorden.

p ⇒ q:

¬p ⇒ ¬q:

b) Zijn die uitspraken waar of onwaar?

q: n is een even getal.

Proefversie©VANIN

Algemeen

Toon aan dat de propositie p ⇒ q niet dezelfde waarheidswaarden oplevert als ¬p ⇒ ¬q

De twee uitspraken leveren niet dezelfde waarheidswaarden op. Je kunt dus besluiten dat p ⇒ q niet gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q.

In de omgangstaal betekent ‘als … dan …’ soms meer dan wat je strikt genomen zegt.

Als je vader zegt ‘Als je slaagt voor al je examens, dan krijg je een Nintendo Switch’, dan bedoelt hij (wellicht) impliciet ook ‘Als je niet slaagt voor al je examens, dan krijg je geen Nintendo Switch’.

Stel p: Je slaagt voor al je examens en q: Je krijgt een Nintendo Switch. Dan zegt je vader p ⇒ q, maar bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook ¬p ⇒ ¬q en zelfs q ⇒ p

In de wiskunde kun je jezelf dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven en houd je je aan de regels van de logica.

1.4.7 De wetten van De Morgan

Voorbeeld 1

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt en dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano of Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.

Proefversie©VANIN

bewijs

1 1

1 0 0 1 0 0

Je kunt besluiten dat de negatie van een conjunctie gelijk is aan de disjunctie van de negaties

Voorbeeld 2

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt of dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano en Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp. te bewijzen ¬(p ˅

bewijs

1 0 0

Je kunt besluiten dat de negatie van een disjunctie gelijk is aan de conjunctie van de negaties

Besluit De wetten van De Morgan

Oefeningen

REEKS A

24 Vul de tabel aan.

implicatie contrapositie

a) Als ik ga werken, dan neem ik altijd de fiets.

b)

c) Als ik geslaagd ben voor mijn examen, dan geef ik een feestje.

d)

e) Als Melissa mij een zoen geeft, dan krijg ik kriebels in mijn buik.

25 Gegeven: ‘Als de lift niet werkt, dan neem ik de trap.’

a) Stel dat die propositie waar is en ik de trap neem. Wil dat dan zeggen dat de lift kapot is?

p:

q: p q

Proefversie©VANIN

Als de zon niet schijnt, dan is het donker.

Als ik niet volledig ontspannen ben, dan ben ik niet op vakantie.

In symbolen:

b) Formuleer de contrapositie van die uitspraak in woorden.

26 Gebruik de wetten van De Morgan om de uitspraken om te vormen.

a) Het is niet waar dat Ariane tennis en basketbal speelt.

b) Het is niet waar dat Geert bruine of blauwe schoenen draagt.

c) Ik wil geen bruine suiker of geen siroop op mijn pannenkoek.

d) Maandag staat er geen toets gepland en dinsdag ook niet.

27 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) p ⇒ (p ˅ q)

b) (p ˄ q) ˅ p ⇔ p

c) (p ˄ ¬p) ⇒ q

e) ¬p ⇒ (p ⇒ q)

Proefversie©VANIN

p ˄ q ⇔ q ˄ p

f) (p ⇒ q) ˅ (q ⇒ p)

g) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

p ˄ (p ⇔ q) ⇒ q

d)

h)

28 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities contradicties zijn.

a) (p ⇒ q) ⇔ (p ˄ ¬q)

Proefversie©VANIN

b) (p ˄ q) ˄ (¬p ˅ ¬q)

29 Noteer de uitspraak eenvoudiger. Formuleer de wet waarop je steunt.

a) Het is niet waar dat jij geen leugenaar bent.

b) Als de elektriciteitsrekening niet betaald wordt vóór 31 maart, dan kunnen we geen televisie meer kijken.

c) Als ik niet mee kan op schoolreis, dan werden mijn kleren niet op tijd gewassen.

d) Het is niet waar dat het getal 2 niet het kleinste priemgetal is.

e) Als je naar de stad vertrekt met de auto, dan neem ik de bus, en als ik de bus neem, dan vertrek jij met de auto naar de stad.

f) Het is niet waar dat het niet waar is dat, als ik de weddenschap niet win, Club Brugge geen kampioen speelt.

30 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) (p ⇒ r) ˄ (q ⇒ r) ⇔ (p ˅ q ⇒ r)

Proefversie©VANIN

b) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

Net zoals je steunt op de eigenschappen van de bewerkingen in de getallenleer (commutatief, associatief …), gebruik je die eigenschappen ook in de propositielogica. Je kunt ze stuk voor stuk bewijzen met behulp van waarheidstabellen.

Enkele voorbeelden:

• De conjunctie is commutatief: p ˄ q ⇔ q ˄ p

• De equivalentie is associatief: [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)].

• De disjunctie is distributief ten opzichte van de conjunctie: p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r).

Het bewijs van die laatste eigenschap vind je in de voorgaande oefening.

1.5 Logische poorten

1.5.1 Logische poorten

Logische poorten zijn schakelingen of bouwstenen van elektronica. Ze zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten, zoals transistors, weerstanden en dioden.

Het belangrijkste kenmerk van logische poorten is dat ze meer dan één ingang kunnen bevatten, maar slechts één uitgang.

De verschillende poorten leveren lage of hoge spanningssignalen aan die uitgang. Die spanningssignalen stel je voor met 0 of 1.

Er zijn drie elementaire poorten

Proefversie©VANIN

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een andere naam voor een NIET-poort is ‘inverter’.

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

conjunctie

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

Er bestaan verschillende systemen om poorten weer te geven:

• het ANSI-systeem (American National Standard of Industry), dat het meest gebruikt wordt;

• het IEC-systeem (International Electrotechnical Commission);

• het DIN-systeem (Deutsche Institut für Normung).

Met de drie elementaire poorten kun je nog andere poorten bouwen.

poort

ANSI-symbool

waarheidstabel

1.6.2 Modeloefening 1

Een schakelaar en een drukknop werden verbonden met een lampje. Wanneer zal het lampje branden?

verband met propositielogica

Proefversie©VANIN

Het lampje zal branden als

Het lampje zal branden als

1.6.3 Modeloefening 2

Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

Proefversie©VANIN

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B uit staan en drukknop C niet is ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B aan staan en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, B uit staat en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C niet worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

Oefeningen

REEKS A

31 Onderzoek of het lampje zal branden.

Proefversie©VANIN

Het lampje zal wel/niet branden.

Het lampje zal wel/niet branden.

Het lampje zal wel/niet branden.

32 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

Proefversie©VANIN

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C uit staan en drukknop B wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C aan staan en drukknop B niet wordt ingedrukt?

33 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan.

Proefversie©VANIN

1.1 Inleiding

1.2 Proposities en connectieven

KENNEN

Proefversie©VANIN

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

In de logica gebruik je meestal de inclusieve of.

‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

De exclusieve of betekent ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q

Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels: ( ), ¬, ˄, ˅, ⇒/⇐, ⇔

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q; q noem je de nodige voorwaarde voor p

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in symbolen noteren.

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in woorden formuleren.

De waarheidswaarde van een (enkelvoudige of samengestelde) propositie bepalen met behulp van een waarheidstabel.

Vraagstukken oplossen met behulp van een waarheidstabel.

1.3 Logische raadsels

Logische raadsels oplossen met behulp van een waarheidstabel. Logische raadsels oplossen door een oplijsting te maken van de verschillende mogelijkheden.

1.4 Tautologieën en contradicties

KENNEN

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

Je kent de volgende logische wetten:

• de wet van de uitgesloten derde: p ˅ ¬p

• de wet van de dubbele negatie: p ⇔ ¬(¬p)

• de wet van de contrapositie: p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

Proefversie©VANIN

• de wetten van De Morgan: ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q ¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q

KUNNEN

De logische wetten gebruiken om proposities te herformuleren en/of eenvoudiger te schrijven.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een tautologie is.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een contradictie is.

Een implicatie noteren als een disjunctie en omgekeerd: p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

Een equivalentie noteren als een conjunctie en omgekeerd: (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

1.5 Logische poorten

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn. KUNNEN

De waarheidswaarde bepalen van de uitgang (lamp) door de theorie van de logische poorten toe te passen.

De waarheidstabel van een logische schakeling opstellen.

De waarheidstabel van de verschillende logische poorten opstellen: NIET, OF, EN, XOF, NOF, NEN.

1. De volgende uitspraak is onwaar: ‘Als de som van de cijfers van een natuurlijk getal n deelbaar is door 6, dan is n deelbaar door 6.’ Welk van de volgende waarden van n toont dat aan?

Proefversie©VANIN

JWO, editie 2016, eerste ronde

2. Een papierstrook wordt geplooid zodat er een hoek van 40º ontstaat, zoals op de figuur. Hoe groot is a?

JWO, editie 2020, eerste ronde

3. Voor alle positieve getallen x geldt dat 2 + 42x + 4x – 2 gelijk is aan …

JWO, editie 2018, eerste ronde

Proefversie©VANIN

3.1 Basisbegrippen over functies

3.1.1 Inleiding

Een brandende kaars is 20 cm lang.

De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur.

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

Na 1 uur is de hoogte

Na 3 uur is de hoogte

Na 7 uur is de hoogte

De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h):

y =

Vul de tabel in.

Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze. x (h) y (cm)

Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

3.1.2 Domein en bereik

Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen.

dom f =

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as,

kun je het bereik van de functie aflezen.

Proefversie©VANIN

Definitie Domein

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

In symbolen

dom f = {x ∈ r | f (x) ∈ r}

Definitie Bereik

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

In symbolen

ber f = {f (x) | x ∈ dom f }

Praktisch domein en bereik

Als je rekening houdt met de context van de brandende kaars, kun je enkel argumenten kiezen die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan .

Het praktisch domein van f is

Notatie: pdom f

Je kunt binnen diezelfde context ook enkel functiewaarden bereiken die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan

Het praktisch bereik van f is

Notatie: pber f

3.1.3 Nulwaarde van een functie

Voor welke waarde van de tijd x is de hoogte van de kaars nul?

Die waarde noem je de nulwaarde van de functie f

Hoe lees je de nulwaarde van de functie f af op de grafiek?

Proefversie©VANIN

Definitie Nulwaarde

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Voorbeeld

Bepaal de nulwaarde(n).

f (x) = 20 – 2x

f (x) = x 2 – 9

3.1.4 Tekenschema en verloop van een functie

Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Voor welke waarden van x is f (x) > 0?

Voor welke waarden van x is f (x) = 0?

Voor welke waarden van x is f (x) < 0?

Je kunt dat voorstellen in een tekenschema van f (x).

tekenschema van f (x) tekenschema binnen de context van de kaars

• Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt?

De functie is stijgend / dalend.

Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen.

verloop van f verloop binnen de context van de kaars

Algemeen Tekenschema en verloop van een functie

Proefversie©VANIN

tekenschema

verloop

3.1.5 Voorbeeld

Teken de grafiek van f (x) = 3x – 2.

Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarde, het tekenschema en het verloop van de functie.

x f (x)

• dom f = ber f =

• nulwaarde: • tekenschema

Oefeningen

REEKS A

1 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

• tekenschema

Proefversie©VANIN

(x) • verloop

• tekenschema x f (x) • verloop x f

• tekenschema x f (x)

• verloop x f

2 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

• tekenschema

Proefversie©VANIN

f (x) • verloop

verloop

3 Bepaal de nulwaarde(n).

a) f (x) = 5 – 2x 3 c) f (x) = 3x 2 – 6

b) f (x) = (x + 2) 2 d) f (x) = 3x + 1 2

3.2.1 Kenmerken

Proefversie©VANIN

x f (x) – 8 – 0,125 – 4 – 0,25 – 2 – 0,5 – 1 – 1

Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool. Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken.

• dom f = ber f =

• nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as?

• nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie?

• tekenschema: • verloop:

De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep.

• symmetrie:

De twee takken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van

De grafiek van f is een kromme.

Het symmetriemiddelpunt is de ( , ).

3.2.2 Asymptoten

Verticale asymptoot

De grafiek van f (x) = 1 x vertoont een onderbreking voor x = 0 omdat 0 niet tot het domein behoort.

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van 0.

Je kiest argumenten die naderen tot 0, zonder 0 te bereiken, en berekent de functiewaarden.

Notatie: x → 0

Je leest: x nadert tot 0.

Proefversie©VANIN

Als x tot 0 nadert, dan wordt f (x) groter in absolute waarde.

De grafiek komt dichter en dichter tot de y-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de y-as een verticale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

Horizontale asymptoot

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van – ∞ en + ∞.

Je kiest argumenten die heel groot en heel klein zijn en je berekent de functiewaarden.

Als x groter wordt in absolute waarde, dan nadert f (x) tot 0.

De grafiek nadert dichter en dichter tot de x-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de x-as een horizontale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

3.2.3 Voorbeeld

Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis.

Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x

Waarom is het verband tussen y en x een functie?

Proefversie©VANIN

Je noteert: f (x) = 1 x .

dom f = ber f = pdom f = pber f =

Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001.

Waarom mag je de punten niet verbinden?

3.3 De functie f ( x ) = c x

3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband

Voorbeeld

Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v ? t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h).

t (h) 1 2 3 4 5 6 12

v (km/h)

s = v t (km)

Het product v t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig

Er geldt: v =

Definitie Omgekeerd evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.

x y = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante

Proefversie©VANIN

Formule

Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).

Grafiek van een omgekeerd evenredig verband

v (km/h)

GEOGEBRA

Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).

De grafiek is

Besluit

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.

Oefeningen

REEKS A

4 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor?

Proefversie©VANIN

REEKS B

5 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel.

h (cm) 4 5 6 8

v (km/h) 60 48 40 30

a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband:

c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v. pdom v = pber v =

d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

6 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x.

a) Vul de tabel aan. b) Teken de grafiek.

y (euro)

Proefversie©VANIN

c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar.

d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar.

e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro.

7 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig?

8 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. 8 koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. 12 koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

a) Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband:

c) Vul de tabel aan. x 2 4 8 12 24 y 24 16

d) In hoeveel dagen grazen zes koeien het weiland af?

Proefversie©VANIN

REEKS C

Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt. Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt.

De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m).

9 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a

a) Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar.

b) Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 m hangen?

c) Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

Voorbeelden

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 4.

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is uitgerekt met factor 4.

Om de grafiek van de functie g (x) = 1 4x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 1 4

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is samengedrukt met factor 4. Verticaal samendrukken met factor 4 is hetzelfde als verticaal uitrekken met factor 1 4

x f (x) = 1 x g (x) = –1 x

4 – 0,25 0,25

2 – 0,5 0,5 0 | | 2 0,5 –0,5 4 0,25 –0,25 (– 1)

Proefversie©VANIN

Algemeen

Om de grafiek van de functie g (x) = –1 x

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1.

De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as

Om de grafiek van de functie g (x) = –5 x

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –5.

De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens:

• verticaal uitgerekt met factor 5;

• gespiegeld ten opzichte van de x-as

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c | .

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Oefeningen

REEKS A

10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x

Proefversie©VANIN

11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).

a) g (x) = 3 x c) g (x) = 1 4x verticale

factor verticale met factor

b) g (x) = 1 2x d) g (x) = 5 x verticale met factor verticale met factor

12 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f . a)

Proefversie©VANIN

REEKS B

13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c ∈ r0), als je weet dat:

a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.

c) het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.

d) het punt A 4 7 , 14 3 tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

14 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f

Proefversie©VANIN

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

• verloop x f x f

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

• verloop x f x f

3.3.3 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT

Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Hiervoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.

Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) op de druksensor.

Dat levert de volgende meetresultaten op:

Proefversie©VANIN

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

345678910111213141516171819202122

De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak. Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband.

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml).

b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml?

c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.

Oefeningen

REEKS B

15 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen. Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden. p (euro)

Proefversie©VANIN

a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro).

b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

d) Geef de economische betekenis van de verticale asymptoot van de grafiek van het verband.

16 Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R (in V), hoe lager de stroomsterkte I (in A) door een geleider bij een gelijke spanning U (in V). Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider. R (V) I (A) 50 4,60 100 2,30

200 1,15

500 0,46

1 000 0,23

a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in V).

b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?

3.1 Basisbegrippen over functies

KENNEN

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Notatie: pdom f

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

• Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

3.2 De functie f (x) = 1 x

f (x) = 1 x

• De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f

• De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f

KUNNEN

De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.

Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

3.3 De functie f (x) = c x voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x is een (deel van een) hyperbool.

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c |

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen. Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen.

De grafiek van de functie f (x) = c x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen met en zonder ICT.

Met behulp van de grafiek van f (x) = c x onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij:

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

1. Op de figuur hieronder is van zes vierkanten de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het zevende vierkant?

JWO, editie 2020, tweede ronde

2. Drie buren leggen de oogst van hun moestuin samen.

• Annelies heeft drie tomaten en x paprika’s.

• Boudewijn heeft y tomaten en drie wortels.

• Claudia heeft vier tomaten, vijf paprika’s en z wortels.

Nadat ze de oogst verdeeld hebben, heeft iedereen drie tomaten, twee paprika’s en vier wortels. Er is geen overschot.

Waaraan is x + y + z gelijk?

JWO, editie 2016, eerste ronde

3. Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

JWO, editie 2021, eerste ronde

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

Proefversie©VANIN

4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende 58

4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 61

4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen 70

4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking 82

4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

4.1.1 Inleiding

Oplossing

Proefversie©VANIN

Boer Jelle bakent een rechthoekig stuk weiland af met een lint van 134 meter.

Bereken de afmetingen van dat stuk weiland, als je weet dat de lengte 7 meter groter is dan de breedte.

• Keuze van de onbekende: Stel: de breedte is x.

De lengte is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Een aantal probleemstellingen kun je oplossen met behulp van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Die techniek leerde je al in het tweede en derde jaar.

Werkwijze Om een eerstegraadsvergelijking in één onbekende op te lossen, ga je als volgt te werk:

• Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Werk beide leden uit.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde dubbel zo lang als de andere.

Bereken de lengte van de twee rechthoekszijden, als je weet dat de oppervlakte 144 cm2 bedraagt.

Proefversie©VANIN

De bovenstaande probleemstelling kun je niet oplossen met een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Je stelt een vergelijking van de tweede graad in één onbekende op.

Oplossing

• Keuze van de onbekende: Stel: de kortste rechthoekszijde is x.

De langste rechthoekszijde is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Aangezien een lengte een positief getal is, is slechts een van de verkregen oplossingen logisch, namelijk

4.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen

Definitie Tweedegraadsvergelijking

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r0 en b, c ∈ r.

Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn.

In dat geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking

Voorbeelden

a) Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen.

b) Noteer bij elke tweedegraadsvergelijking de coëfficiënten a, b en c

c) Duid met een kruisje aan welke tweedegraadsvergelijkingen volledig of onvolledig zijn.

4.2.1 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0)

Inleiding

Proefversie©VANIN

–

van een product naar een som van een som naar een product

(–x + 3) =

+

De distributieve eigenschap laat je toe om een gemeenschappelijke factor buiten de haakjes te plaatsen. Die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

16 x = 0 x  (2x – 7) = 0 Een product is nul als een van de factoren nul is.

x = 0 of 2x – 7 = 0

x = 0 of 2x = 7

x = 0 of x = 7 2 V = 0, 7 2

Let op!

Wat is er verkeerd aan de volgende methode?

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) op te lossen, kun je de gemeenschappelijke factor x afzonderen en elk van de factoren gelijkstellen aan nul.

4.2.2 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0)

Inleiding

van een product naar een som van een som naar een product

(x + 1)  (x – 1) = x 2 – 9 =

(x – 6)  (x + 6) = 16 – x 2 =

(–4 – x) (–x + 4) = –25 + x 2 =

Het merkwaardig product (a + b)  (a – b) = a 2 – b 2 laat je toe om het verschil van twee kwadraten te schrijven als een product.

Ook die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

9x 2 – 16 = 0

methode 1

(3x + 4) (3x – 4) = 0

methode 2

3x + 4 = 0 of 3x – 4 = 0 3x = – 4 of 3x = 4 x = –4 3 of x = 4 3 V = –4 3 , 4 3 {} 9x 2 = 16 x 2 = 16 9 x = –16 9 of x = 16 9 x = –4 3 of x = 4

Voorbeeld 2

3x 2 – 12 = 0

methode 1

3 x + 12 () 3 x – 12 () = 0

3 x + 12 = 0 of 3 x – 12 = 0

3 x = –12 of 3 x = 12 x = –12 3 of x = 12 3 x = –2 of x = 2

V = {–2, 2} 3x 2 = 12 x 2 = 4

methode 2

x = –4 of x = 4

x = –2 of x = 2 V = {–2, 2}

Voorbeeld 3

–2x 2 – 8 = 0

methode 1

–2x 2 – 8 = 0

Het linkerlid is geen verschil van twee kwadraten en dus niet ontbindbaar volgens deze methode.

V = [

methode 2

–2x 2 = 8

x 2 = –4

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

Proefversie©VANIN

V = [

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de volgende methodes:

• de formule van het verschil van twee kwadraten: a 2 – b 2 = (a + b)  (a – b);

• de definitie van een vierkantswortel.

4.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0)

Voorbeeld

–2x 2 = 0

x 2 = 0

x = 0 V = {0}

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de definitie van een vierkantswortel. Er is telkens maar één oplossing: 0.

Een veelterm schrijven als het product van twee of meerdere factoren, noem je ontbinden in factoren

De veelterm 3x 2 + 5x kun je ontbinden in twee factoren en noteren als 3x 2 + 5x = x  (3x + 5). Je noemt die veelterm ontbindbaar

Oefeningen

REEKS A

1 Los de onvolledige vergelijkingen op door een gemeenschappelijke factor af te zonderen.

a)15x 2 – 3x = 0

b)5x 2 – 8x = 0

c)3x 2 + 4x = 0

e)4x – 12x 2 = 0

Proefversie©VANIN

d) –10x 2 + 6x = 0

f)–12x 2 – 15x = 0

g)81x 2 + 27x = 0

h)–25x 2 – 12x = 0

2 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. verschil van twee kwadraten

a)4x 2 – 9 = 0

b) x 2 – 16 = 0

c)36x 2 – 25 = 0

d)–1 + 49x 2 = 0

definitie vierkantswortel

Proefversie©VANIN

e)4 + 81x 2 = 0

3 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op.

a)3x 2 – 9x = 0

b)5x 2 – 20 = 0

c)2x 2 + 16 = 0

d)12x 2 + 4x = 0

e)–2x 2 + 5x = 0

g)–16x 2 = 4

Proefversie©VANIN

f)–25x 2 + 9 = 0

h)2x 2 = 9x

i)–16x 2 = –9

j)–4 – 3x 2 = 0

k)3x = –8x 2

l)–16x 2 = 4x

a) 2x 2 –1 2 = 0

f) 2 7 x 2 = 4x

Proefversie©VANIN

b) 3 4 x 2 + 1 2 x = 0

g) –9 8 + 1 2 x 2 = 0

c) –5 6 x 2 + 2 3 x = 0 h) 5 4 x 2 = –1 7 x 2

d) –1 5 x 2 – 4 = 0

i) –8 3 x 2 = 3 16

e) –5 3 x 2 = 0

j) –11 5 x 2 = 1 3 x

5 De lengte van een rechthoekig stuk land is driemaal de breedte.

De oppervlakte is 1 875 m2

Bereken de afmetingen van dat stuk land.

Proefversie©VANIN

6 Een projectiel wordt vanaf de grond verticaal omhooggeschoten.

De hoogte h (in m) die het bereikt na t seconden wordt gegeven door de formule h = 90t − 5t 2 .

Na hoeveel seconden zal het projectiel opnieuw op de grond vallen?

7 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 243 m2 groter.

Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

De Babyloniërs hebben ongeveer 4 000 jaar geleden een methode ontwikkeld om twee getallen te bepalen waarvan de som en het product gegeven zijn.

Voorbeeld: van twee getallen is de som 10 en het product 21. De getallen werden voorgesteld als 5 – x en 5 + x (twee getallen die even ver van 5 liggen), zodat geldt: (5 – x) (5 + x) = 21.

Na uitwerking verkrijg je: 25 – x 2 = 21 of x 2 = 4.

Vermits de Babyloniërs nog geen negatieve getallen kenden, vonden ze: x = 2. De twee gevraagde getallen zijn dus 3 en 7.

8 Los op met de methode van de Babyloniërs.

a) Bereken twee getallen waarvan de som 22 en het product 112 is.

Proefversie©VANIN

b) Bereken twee getallen waarvan de som 100 en het product 2 331 is.

4.3.1

De

methode

Inleiding

van de kwadraatafsplitsing

Proefversie©VANIN

Werk uit.

Schrijf als het kwadraat van een tweeterm.

(x + 4) 2 = x 2 + 6x + 9 = = =

(x – 6) 2 = 16 – 8x + x 2 = = =

(5 + x) 2 = 4x 2 + 4x + 1 = = =

Het merkwaardig product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 laat je toe om sommige drietermen te schrijven als een kwadraat van een tweeterm

Die methode kun je gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

x 2 – 4x + 4 = 0

x 2 + 2 x (–2) + (–2) 2 = 0

(x – 2) 2 = 0

x – 2 = 0

Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x = 2 V = {2}

Voorbeeld 2

x 2 + 8x + 7 = 0

x 2 + 8x = –7

x 2 + 2 x 4 + 4 2 = –7 + 4 2

(x + 4) 2 = 9

x + 4 = –3 of x + 4 = 3

Je verandert de constante term van lid.

Je vermeerdert beide leden met 4 2

Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x = –7 of x = –1 V = {–7, –1}

Oefeningen

REEKS B

9 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van kwadraatafsplitsing.

a) x 2 + 10x + 25 = 0

b) x 2 – 6x + 9 = 0

c)16x 2 + 8x + 1 = 0

e) x 2 + 6x + 8 = 0

Proefversie©VANIN

d)9x 2 – 6x + 1 = 0

f) x 2 – 2x – 35 = 0

g)3x 2 + 24x – 27 = 0

h)2x 2 – 20x + 68 = 0

4.3.2 De formules opstellen

ax 2 + bx + c = 0

x 2 + b a x + c a = 0

x 2 + b a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 = –c a + b 2a 2

x + b 2a 2 = –c a + b 2 4a 2

met a ∈ r0 en b, c ∈ r

Je deelt beide leden door a

Proefversie©VANIN

Je verandert de constante term van lid.

Je maakt het dubbel product zichtbaar.

Je vermeerdert beide leden met b 2a 2

Je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

Je werkt het rechterlid verder uit. x + b 2a 2 = b 2 – 4ac 4a 2

Stel: D = b 2 – 4ac.

x + b 2a 2 = D 4a 2

Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief.

Daarom is de teller van het rechterlid (b 2 – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen.

Je noemt D = b 2 – 4ac de discriminant van de vergelijking

eerste geval: D > 0 tweede geval: D = 0derde geval: D < 0 x + b 2a 2 = D 4

–b 2a V = –b 2a {} x + b 2a 2 = D 4a 2

De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief.

4.3.3

Overzicht

Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac

twee verschillende oplossingen: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen): geen reële oplossingen

Proefversie©VANIN

Als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat. Als D = 0, spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen (x1 = x2).

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels

De formules die je in staat stellen om die wortels te berekenen, noem je wortelformules

4.3.4 Voorbeelden a) x 2 – 3x – 10 = 0 c)–6x 2 + 13x + 5 = 0

b)16x 2 – 24x + 9 = 0 d)–3x 2 + 5x – 8 = 0

Stroomdiagram en Nassi-Shneiderman diagram

REEKS A

10 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a) x 2 + 2x – 3 = 0

b) x 2 + 3x – 10 = 0

c) x 2 – x + 2 = 0

d) x 2 – 10x + 25 = 0

f)–x 2 + x + 6 = 0

Proefversie©VANIN

e)–x 2 + 3x – 2 = 0

g) x 2 – 4x – 5 = 0

h) x 2 + 28x + 196 = 0

i) x 2 – 12x + 40 = 0

j)–x 2 + 16x – 64 = 0

11 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a)2x 2 – 5x – 3 = 0

b)25x 2 + 70x + 49 = 0

c)3x 2 – 13x + 12 = 0

d)5x 2 + 15x + 17 = 0

f)14x 2 – 3x – 5 = 0

Proefversie©VANIN

e)6x 2 + x – 1 = 0

g)–3x 2 + 6x – 4 = 0

h)–64x 2 + 48x – 9 = 0

i)–12x 2 + 43x – 21 = 0

j)–9x 2 – 6x – 1 = 0

a)2x 2 – x = 1

e)(3x + 5) 2 = 1

Proefversie©VANIN

b) x 2 – 14x + 49 = 0

f)–6x 2 + 9x + 15 = 0

c) x 2 + 5 4 x –3 2 = 0

g)–14x 2 + 8x = 0

d) x 2 + 5 6 x + 1 6 = 0

h)12x 2 = 22x + 14

13 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a) x 2 + x – 4 = 0

e) 12x (x + 4) = 24x (2 – x) – 5

Proefversie©VANIN

b)–4x 2 + 11x – 1 = 0

f) 3x 2 – 4 3 x + 4 = 0

c)28x = –49 – 4x 2

g) x 2 – 3x + 9 4 = 0

d)(4x – 1) 2 – 64 = 0 h) 3 8 x 2 –5 4 x + 15 2 = 0

a) 3x + x  (x – 2) = 0

e)(–3x + 6) 2 – 16 = 0

Proefversie©VANIN

b)–121x 2 + 4 = 0

f)36x 2 – 96x + 64 = 0

c) x  (11x – 3) = 5

g)–x 2 – 1 = 0

d) 3x (x – 1) = 4 – 3x

h)–10x 2 + 15x – 10 = 0

15 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a) x 2 –1 5 31 2 x + 7 = 0

d) 2x 2 – (x + 2) (x – 3) = 6

Proefversie©VANIN

b) –1 2 –1 3 x + 4 + x 2 = 0

e) 14  (x – 4) – (x + 2) = (x + 2)  (x – 4)

c) –x –1 3 x + 4 –1 9 x = 0

f) (2x – 3) 2 + 17x  (x – 1) = 9

16 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is.

a) x 2 + 6x – m = 0 heeft geen reële oplossingen.

e)2x 2 + 3x – m – 3 = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

Proefversie©VANIN

b) x 2 – 3x + 4m = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

f)–3mx 2 – 4x + 5 = 0 heeft geen reële oplossingen.

c) x 2 + mx + 4 = 0 heeft één oplossing.

g)8mx 2 + 2mx – 2 = 0 heeft één oplossing.

d) mx 2 – x + 3m = 0 heeft één oplossing.

h)(m – 2)x 2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 heeft geen reële oplossingen.

17 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters).

a) x 2 + 7ax + 12a 2 = 0

d) x 2 – 4bx + 4b 2 – 25 = 0

Proefversie©VANIN

x 2 + ax + a 2 = 0 e) x 2 – ax + a – 1 = 0 (a > 2)

x 2 + bx –3 4 b 2 = 0

f)3x 2 – bx – 2b – 12 = 0 (b > –12)

b)

c)

4.4.1

De formules opstellen

De tweedegraadsvergelijking ax

Proefversie©VANIN

Besluit Als de tweedegraadsvergelijking

4.4.2

Voorbeelden

Door gebruik te maken van S en P, is het mogelijk sommige eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen ‘uit het hoofd’ op te lossen.

Opmerkingen

• Als D < 0, dan kunnen de getallen S en P wel berekend worden, maar hebben ze geen reële betekenis.

• De som- en productmethode is vooral handig als de coëfficiënt van x 2 gelijk is aan 1 of –1.

• Als je niet onmiddellijk de oplossingen vindt, gebruik je beter de wortelformules.

Besluit

Het omgekeerde vraagstuk

Gegeven: de som S en het product P van de reële getallen x 1 en x 2

Gevraagd: bepaal x 1 en x 2

Oplossing:

x 1 + x 2 = S en x 1 x 2 = P

⇓

Proefversie©VANIN

⇓ je vervangt x 2 door S – x 1

x 2 = S – x 1 x 1 (S – x 1) = P

⇓ de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling

x 1  S – x 1 2 = P

⇓ eigenschap gelijkheden

x 1 2 – S  x 1 + P = 0

x 1 is dus een oplossing van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0.

Analoog kun je aantonen dat ook x 2 een oplossing is van dezelfde vergelijking.

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

Voorbeeld

De som van twee getallen is 1 9 en hun product is – 2 27 . Bepaal die getallen.

Oplossing:

De getallen zijn de oplossingen van

Wegwerken van de noemers:

D = x 1 = x 2 =

De gevraagde getallen zijn en

De discriminantformule afleiden via de eigenschap van de som en het product van de twee wortels.

REEKS A

18 Los op met de som- en productmethode.

a) x 2 – 8x + 7 = 0

b) x 2 – 12x + 20 = 0

c) x 2 + 2x – 15 = 0

d) x 2 + 3x – 28 = 0

e) x 2 – 3x – 18 = 0

g) x 2 – 4x – 96 = 0

Proefversie©VANIN

f) x 2 + 4x – 12 = 0

h) x 2 + 13x + 36 = 0

i) x 2 + 14x + 40 = 0

j)–x 2 – 17x + 18 = 0

k)–x 2 + 9x + 70 = 0

l)–x 2 – 2x + 35 = 0

19 Bepaal twee getallen waarvan de som S en het product P gegeven zijn.

a) S = –9 en P = 3 2

De gevraagde getallen zijn

b) S = 6 en P = 0

d) S = –1 12 en P = –1 12

Proefversie©VANIN

De gevraagde getallen zijn en en

e) S = 1 36 en P = –5 72

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn en en

c) S = –1 en P = –3

f) S = – 0,5 en P = – 0,84

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn en en

20 Van de tweedegraadsvergelijkingen is telkens één oplossing gegeven. Bereken de andere oplossing zonder gebruik te maken van de discriminant.

Proefversie©VANIN

21 Bepaal een tweedegraadsvergelijking met de gegeven oplossingen. Werk de noemers weg.

a)5 en – 4 c) 5 – 3 en 5 + 3 b) 1 2 en –3 4

en –4

4.5.1 Voorbeeld 1

Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is gelijk aan 342. Bepaal die getallen.

Stel: x is het kleinste getal. Het grootste getal is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

4.5.2 Voorbeeld 2

Een kader is 20 cm lang en 12 cm hoog.

De foto is 84 cm 2 groot.

Bereken de breedte van het frame, als je weet dat het overal even breed is.

Stel: x is de breedte van het frame.

20cm

12cm

De afmetingen van de foto: de lengte is en de hoogte is

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

4.5.3 Voorbeeld 3

a) Verdeel het lijnstuk [AB ] in twee deellijnstukken [AC ] en [CB ], A x 1 CB zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk.

Stel: het kortste stuk = | CB | = 1; het langste stuk = | AC | = x

• Opstellen van de vergelijking: x 1 = x + 1 x

Een gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid. Het product van de uitersten is dan gelijk aan het product van de middelsten.

Je verkrijgt de volgende vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

Proefversie©VANIN

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

b) Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1.

Stel: x is het gevraagde getal.

• Opstellen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1:

• Oplossen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1:

Vergelijking 2:

Vergelijking 2:

Beide vergelijkingen leveren dezelfde tweedegraadsvergelijking op, die je ook bij de verdeling van het lijnstuk verkreeg.

Die vergelijking heeft als oplossingen:

x 1 = x2 =

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

Het getal ϕ = 1 + 5 2 (‘phi’) noem je de gulden snede of goddelijke verhouding

Die verhouding werd voor het eerst wiskundig bepaald door Euclides, in de derde eeuw vóór Christus. Het getal duikt echter al veel vroeger op in de architectuur.

In de klassieke architectuur, en ook later, werd die verhouding gezien als de meest esthetische. Enkele beroemde voorbeelden:

• De grote piramide van Cheops: de hellingshoek van de schuine vlakken is 51º 50

De cosinus van die hoek is het omgekeerde van ϕ (of dus ook ϕ – 1).

• In het Parthenon, de oude Griekse tempel op de Akropolis in Athene, zijn bepaalde verhoudingen van afmetingen gelijk aan de gulden snede (zie figuur 1).

• Het ‘geheim’ van de goede akoestiek in de Griekse theaters is de gulden snede.

De verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes is gelijk aan ϕ

• Vele gotische kathedralen, met als beroemdste voorbeeld de kathedraal van Laon in Frankrijk, vertonen, zowel in de torens als in de voorgevel, verhoudingen gelijk aan de gulden snede.

Proefversie©VANIN

figuur 1

Ook in de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Vooral in de renaissance werd de gulden snede gezien als een universeel schoonheidsideaal. De naam ‘goddelijke verhouding’ dateert dan ook uit die periode. Voorbeelden van het gebruik van de gulden snede zijn onder andere te vinden in de volgende beroemde werken:

• de Mona Lisa (zie figuur 2);

• de renaissancetuinen in Frankrijk;

• de meeste beeldhouwwerken van Rodin;

• de vierkanten van Mondriaan.

Niet alleen in de wiskunde, de architectuur en de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Ook de natuur zelf levert haar bijdrage:

• de hoeken die waarneembaar zijn bij de spiralen die worden gevormd door de pitten van een zonnebloem of bij madeliefjes, zijn gelijk aan 360º/ϕ of 360º – 360º/ϕ;

• de verhoudingen van de volumes in de opeenvolgende kamers van schelpen (zie figuur 3);

• de verhoudingen bij het menselijk lichaam (zie figuur 4).

figuur 2

figuur 3

1,618

1,61811 1,618 1

figuur 4

Oefeningen

REEKS A

22 Los de vraagstukken op.

a)Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 1 482. Bereken die getallen.

Proefversie©VANIN

Controle:

b)De som van een getal en zijn kwadraat is het vijfvoud van dat getal. Bereken dat getal.

c)De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 421. Bereken die getallen.

Controle:

d)Van een natuurlijk getal is het kwadraat 552 meer dan het getal zelf. Bereken dat getal.

Controle:

Controle:

23 Het aantal judopartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, is gelijk aan n (n – 1) 2 .

a) Hoeveel partijen moeten er worden gespeeld in een competitie met tien spelers?

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel spelers hebben meegedaan aan een competitie waarin 496 partijen werden gespeeld?

Controle:

24 Het aantal diagonalen van een veelhoek wordt bepaald door de formule N = k (k – 3) 2 . Daarbij is k het aantal zijden van de veelhoek en N het aantal diagonalen.

a) Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek?

b) Een veelhoek heeft 77 diagonalen. Hoeveel zijden heeft die veelhoek?

Controle:

25 De ene rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is 2 cm langer dan de andere. De schuine zijde is 10 cm. Bereken de rechthoekszijden.

Proefversie©VANIN

Controle:

26 Als je de zijde van een vierkant verdrievoudigt, dan wordt de oppervlakte 5 832 m2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

27 Het verschil van twee natuurlijke getallen is 21. Hun product is 1 296. Bereken die getallen.

Controle:

28 De afgelegde weg s (in m) van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule

s = v 0  t + 1 2  a  t 2. Daarbij is v0 de beginsnelheid (in m/s) en a de versnelling (in m/s2).

Een voorwerp beweegt met een beginsnelheid van 10 m/s. De versnelling is 3 m/s2.

a) Na hoeveel tijd heeft het voorwerp 100 m afgelegd? Rond af op 0,001 s.

Proefversie©VANIN

Controle:

b) Bereken de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval. Rond af op 0,01 m/s.

29 De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2  r 2 + 2  r h.

Daarin is h de hoogte en r de straal van het grondvlak.

Bereken de straal van het grondvlak als de hoogte 12 cm en de oppervlakte 680 cm2 is. Rond af op 1 mm nauwkeurig. h r

Controle:

30 Een stuk land bestaat uit twee aaneengesloten vierkante stukken. De zijde van het grote vierkant is 2 m langer dan het dubbel van de zijde van het kleine vierkant. De totale oppervlakte van beide vierkanten is 2 377 m2. Bereken de zijden van de vierkanten.

Proefversie©VANIN

Controle:

31 Op een trouwfeest wordt een champagnetoren gestapeld. Nadat de gasten aangekomen zijn, wordt er van bovenaf champagne gegoten, totdat alle glazen gevuld zijn.

Het aantal glazen per laag in die toren kun je berekenen met deze formule: aantal glazen per laag = 1 2 n 2 + 1 2 n (daarbij is n het nummer van de laag van bovenaf geteld).

Bereken in welke laag 45 glazen staan.

laag2 laag1

laag3

Controle:

32 Oma heeft een lappendeken gemaakt met 315 gelijke vierkante lapjes. Als ze vierkante lapjes had genomen met een zijde die 6 cm groter is, dan zou ze maar 140 lapjes nodig gehad hebben voor een even groot deken. Wat is de oppervlakte van elk lapje en van het lappendeken?

Proefversie©VANIN

Controle:

33 In een getal van twee cijfers is het cijfer van de eenheden vier meer dan het cijfer van de tientallen. Een tweede getal verkrijg je door in het eerste getal de cijfers van plaats te wisselen. Het product van die twee getallen is gelijk aan 5 605. Bepaal die getallen.

Controle:

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen

4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende voor de leerling voor

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

Proefversie©VANIN

4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen

KENNEN

• ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) methode: een gemeenschappelijke factor afzonderen

• ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) methode 1: a 2 – b 2 = (a + b)

(a - b) methode 2: definitie vierkantswortel

• ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) Er is één oplossing: 0.

KUNNEN

Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen.

4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

D (discriminant) = b 2 − 4ac

• D > 0: twee verschillende oplossingen

x 1 = –b

en x 2 = –b +

KENNEN

• D = 0: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen)

x 1 = x 2 = –b 2a

• D < 0: geen reële oplossingen

KUNNEN

Een tweedegraadsvergelijking herkennen en oplossen

• door kwadraatafsplitsing;

• met de wortelformules;

• door ontbinding in factoren.

De best passende methode gebruiken.

De wortelformules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen, bewijzen.

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met ICT.

Een tweedegraadsvergelijking vereenvoudigen en in de standaardvorm brengen, indien nodig.

Een tweedegraadsvergelijking met lettercoëfficiënten oplossen.

Parameterwaarden berekenen zodat aan bepaalde voorwaarden voldaan is.

4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –

Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft,

dan is S = x 1 + x 2 = –b a en P = x 1 x 2 = c a

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

+

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Een tweedegraadsvergelijking oplossen door de som en het product van de wortels te gebruiken.

Twee getallen bepalen als de som en het product van die getallen gegeven zijn.

Een tweedegraadsvergelijking opstellen waarvan de oplossingen gegeven zijn.

4.5 Vraagstukken

KUNNEN

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een tweedegraadsvergelijking.

Problemen uit JWO

1.Twee vierkanten liggen in een groot vierkant, zoals op de figuur. Wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkant I en II?

JWO, editie 2022, eerste ronde

2.Wat is de oppervlakte van het vierkant op de figuur?

1

Proefversie©VANIN

JWO, editie 2012, tweede ronde

3.Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?

JWO, editie 2020, eerste ronde