Pienter 4 - 3u - leerwerkboek (ed. 2024)

LEERJAAR

4 Pienter 4 – 3 uren

proefversie©VANIN

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 1 Reële functies

Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 3 Eerstegraadsfuncties

Hoofdstuk 4 Stelsels van vergelijkingen

Hoofdstuk 5 Functies van de vorm ��(��)= �� �� en ��(��)=����²

Hoofdstuk 6 Telproblemen

Hoofdstuk 7 Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 8 Waarheidstabellen

Hoofdstuk 9 Transformaties van elementaire functies

Hoofdstuk 10 Goniometrie

proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 8 I WAARHEIDSTABELLEN

proefversie©VANIN

Inleiding

Stel dat je met twee vrienden een terrasje doet. Je vrienden bestellen een cola en jijzelf een fruitsapje. Als de ober bij het serveren zichzelf moeite wil besparen, vraagt hij eerst voor wie het fruitsap is. Op die manier kan hij besluiten voor wie de cola’s zijn. Logisch, toch?

Redeneren is een vorm van denken waarbij je besluiten trekt uit allerhande uitspraken. Als je, in de wiskunde of elders, een besluit (conclusie) afleidt uit een aantal gegevens (premissen), dan vormen de opeenvolgende stappen die van de gegevens tot het besluit leiden, een redeneerproces

Logica is het onderdeel binnen de wiskunde dat zich bezighoudt met de leer van het redeneren. Het woord ‘logica’ stamt af van het Griekse woord logos, dat ‘rede’ betekent.

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) was een Griekse filosoof en wetenschapper die, samen met Socrates en Plato, wordt beschouwd als een van de invloedrijkste filosofen in de westerse traditie. Hij wist de leer van de logica te systematiseren.

In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, maakte hij een onderscheid tussen de leer van de bewering, de definitie, de gevolgtrekking en het wetenschappelijk bewijs.

Centraal in zijn theorie staan de zogenaamde syllogismen, logische redeneringen waaruit je een conclusie afleidt.

Een van zijn bekendste syllogismen is het volgende: Alle mensen zijn sterfelijk. (eerste premisse) Socrates is een mens. (tweede premisse) Socrates is sterfelijk. (conclusie)

De leer van Aristoteles domineerde tweeduizend jaar lang de wetenschappelijke manier van redeneren in de westerse wereld. Zijn teksten werden, zelfs nog tot honderden jaren na zijn dood, door andere filosofen weerlegd, aangevuld, bewerkt en bediscussieerd.

Voorbeelden

Is de redenering waar of onwaar? Als ze onwaar is, geef dan een korte verklaring.

a) De afstandsbediening of de televisie werkt niet. De televisie werkt wel, dus is het de afstandsbediening die niet werkt.

b) Het schilderij hangt niet in het museum als het gestolen is. Het schilderij hangt niet in het museum. Dus het is gestolen.

c) Ik kan in mijn jas en mijn jas kan in mijn boekentas. Ik kan dus in mijn boekentas.

8.2 Proposities en connectieven

8.2.1

Proposities

Propositielogica is een tak binnen de wiskunde die zich bezighoudt met het redeneren met uitspraken die ofwel waar, ofwel onwaar zijn. Zulke uitspraken noem je proposities.

Voorbeelden van proposities

• Een gelijkbenige driehoek heeft minstens twee even grote hoeken. (waar)

• De aarde is een planeet. (waar)

• 12 – 8 = 5 (onwaar)

• De maand februari telt 30 dagen. (onwaar)

Definitie

Propositie

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De volgende zinnen zijn geen proposities.

• Is er leven op Saturnus? Een vraagstelling is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of ze waar of onwaar is.

• Doe de deur dicht! Een bevel of zin in de gebiedende wijs is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of hij waar of onwaar is.

• Je hebt een mooie trui aan. Een subjectieve uitspraak of mening heeft betrekking op de persoonlijke smaak en voorkeur. Subjectieve uitspraken zijn geen proposities.

• n is een priemgetal. De uitspraak ‘n is een priemgetal’ is soms waar (n = 5) en soms onwaar (n = 8). De uitspraak is geen propositie, omdat je de waarde van n niet kent.

Voorbeelden

Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

propositie geen propositie verklaring wo

a)1 + 1 = 2

b)Het is warm vandaag.

c)De hoofdstad van Frankrijk is Parijs.

d)3 is kleiner dan 2.

e)Is 0 het kleinste natuurlijk getal?

f)19 is een priemgetal.

g)Anderlecht is beter dan Club Brugge.

h)Ga naar je kamer!

Het is in de omgangstaal niet altijd eenvoudig om de juiste woorden te vinden om een welbepaalde redenering weer te geven. Bovendien heeft iedereen een eigen taalgevoel.

Zo kan de ontvanger een boodschap soms anders interpreteren dan de zender bedoelde.

Stel, je belooft aan een kind het volgende: Alsjebraafbent,dankrijgjeeenzuurtjeofeenstukchocoladecake.

Wat kan het kind precies verwachten?

Kan het, als het braaf is, een zuurtje én een stuk chocoladecake krijgen?

Mag het, als het braaf is, zelf kiezen tussen een zuurtje of een stuk chocoladecake?

Krijgt het ook iets als het niet braaf is, of is dat uitgesloten?

Wat als het een heel klein beetje niet braaf is? Hoe braaf moet het eigenlijk zijn om iets te krijgen?

Om dergelijke onduidelijkheden te vermijden, stel je proposities voor in symbolentaal.

Een propositie stel je voor door een kleine letter: p, q, r

Als een propositie waar is, geef je dat weer met het getal 1.

Als een propositie onwaar is, geef je dat weer met het getal 0.

Je noemt de waarde 1 of 0 de waarheidswaarde van een propositie.

Samengestelde proposities verbinden enkelvoudige proposities met een connectief benaming connectief je leest: de negatie ¬ niet de conjunctie

en de disjunctie

of de implicatie

als … dan de equivalentie

als en slechts als

proefversie©VANIN

Voorbeelden

p: Je bent braaf.

q: Je krijgt een zuurtje.

r: Je krijgt een stuk chocoladecake.

Formuleer in woorden.

¬p

q ˄ r

q ˅ r

p ⇒ q

p ⇔ q

Voor samengestelde proposities hangt de waarheidswaarde af van de waarheidswaarde van de verschillende enkelvoudige proposities (deeluitspraken).

Die waarheidswaarde bepaal je met waarheidstabellen.

Oefeningen

REEKS A

1 Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

propositie geen propositie verklaring wo

a)2 is het kleinste priemgetal.

b)Je ziet er goed uit vandaag.

c)Had dan gezwegen!

d) Je wiskundeleerkracht is de beste leerkracht van de school.

e)3 2 + 4 2 = 5 2

f)Een schildpad is een amfibie. ❒❒❒

g)Is Einstein geboren in de 20e eeuw?

h) Ik ben getrouwd met het mooiste meisje van de wereld.

i) De Duitse vlag bestaat uit de kleuren zwart, geel en blauw.

j)Een jachtluipaard is het snelste landdier ter wereld.

k)Een parallellogram heeft juist één paar evenwijdige zijden.

l)Houd je mond!

m)Een oneven macht van een negatief grondtal is altijd negatief.

n)Hoe oud is jouw broer?

o)Ik vind cola het lekkerst.

p)De zon is groter dan de maan.

q)Elke mens is sterfelijk.

r)9 is een deler van 378.

s) n is een even getal.

t)(–7)–1 = 7

8.2.2 Negatie van een propositie

p: Pieter speelt voetbal.

q: Pieter speelt geen voetbal.

Beide uitspraken kunnen niet tegelijkertijd waar of onwaar zijn. Als de eerste propositie waar is, is de tweede propositie onwaar. Als de eerste propositie onwaar is, is de tweede propositie waar.

Je zegt dat q de negatie is van p

Notatie: ¬p

Je leest: niet p Het teken ¬ noem je het negatieteken.

Het negatieteken ¬ gaat, anders dan in de gewone omgangstaal, vooraf aan de uitspraak waarop het betrekking heeft. De propositie ‘Pieter speelt geen voetbal’ noteer je dus als volgt: ¬p

De negatie is eigenlijk een speciaal connectief. Bij een negatie zijn er geen twee deeluitspraken, maar maak je van één propositie een iets complexere propositie. In de meeste naslagwerken over logica wordt de negatie wel als een connectief beschouwd.

De formule ¬p is waar als p onwaar is, en omgekeerd.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

proefversie©VANIN

Definitie Negatie

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Voorbeelden

Formuleer de volgende proposities in woorden.

p: 9 is een oneven getal. ¬p:

q: De deur staat open. ¬q:

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten. ¬r:

s: De hoofdstad van Spanje is Barcelona. ¬s:

8.2.3

Conjunctie van twee proposities

p: Jules eet graag frietjes.

q: Marie eet graag stoofvlees.

Dat soort bijzonderheden kun je moeilijk uitdrukken in de propositielogica. GEOGEBRA

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees.

Je noemt die nieuwe uitspraak de conjunctie van p en q

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

Het teken ˄ noem je het conjunctieteken.

Voor de conjunctie heb je een grotere waarheidstabel nodig. Er zijn namelijk vier mogelijke combinaties voor de waarheidswaarden van twee proposities p en q

De propositie ‘Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees’ kan enkel waar zijn als beide deeluitspraken p en q waar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

proefversie©VANIN

Definitie Conjunctie

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

De propositielogica brengt enkele beperkingen met zich mee en kan niet alle nuances uit de omgangstaal weergeven. De zin ‘Jules en Marie gaan op reis’ kun je opsplitsen in ‘Jules gaat op reis’ en ‘Marie gaat op reis’. Daaruit blijkt niet of ze samen op reis gaan. Zo zit er ook een beperking in de weergave van de chronologie. In de spreektaal geeft ‘en’ vaak een tijdsvolgorde aan. Uit de zin ‘Jules kwam binnen en deed het licht aan’ kun je afleiden dat Jules binnenkwam alvorens hij het licht aandeed. Als er staat ‘Jules deed het licht aan en kwam binnen’, krijgt de zin een andere betekenis.

Definitie

Disjunctie van twee proposities

p: Wassim gaat met de fiets naar school.

q: Nikolay gaat met de bus naar school.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school.

Je noemt die nieuwe uitspraak de disjunctie van p en q

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

Het teken ˅ noem je het disjunctieteken.

De propositie ‘Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school’ kan enkel onwaar zijn als beide deeluitspraken p en q onwaar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

proefversie©VANIN

Disjunctie

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Een waarheidstabel van een enkelvoudige propositie p bevat twee mogelijke waarheidswaarden: 1 of 0.

Een waarheidstabel van twee proposities p en q bevat vier mogelijkheden.

Beide proposities kunnen waar of onwaar zijn, p kan waar zijn en q onwaar, of omgekeerd.

Een waarheidstabel met drie proposities p, q en r bevat acht mogelijkheden.

Een waarheidstabel met vier proposities p, q, r en s bevat zestien mogelijkheden.

Algemeen wordt het aantal mogelijkheden in een waarheidstabel met n proposities bepaald door de formule 2 n

Besluit

Inclusieve disjunctie

• Personen die behoren tot de leeftijdscategorie 65+ of die behoren tot een van de risicogroepen, krijgen voorrang bij de inenting tegen COVID-19 en tegen de griep.

Zal een persoon met diabetes uit de leeftijdscategorie 65+ ook voorrang krijgen?

• Personen uit de leeftijdscategorie 60+ of personen met een beperking krijgen korting bij de aankoop van een inkomticket voor de Efteling.

Krijgt een man van 64 jaar met een beperking ook korting?

‘Of’ betekent in deze voorbeelden ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Je noemt die ‘of’ de inclusieve of

In de logica gebruik je de inclusieve of ‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Exclusieve disjunctie

In de omgangstaal heeft het woord ‘of’ vaak een andere betekenis.

Een leerkracht laat zijn leerlingen de keuze:

De toets gaat maandag door of de toets gaat dinsdag door.

Geen enkele leerling verwacht de toets op zowel maandag als dinsdag.

‘Of’ betekent hier ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Je noemt die ‘of’ de exclusieve of

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

Een andere notatie voor de exclusieve of is: p ⊕ q.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

proefversie©VANIN

Voorbeelden

Welke ‘of’ wordt gebruikt? Vul in met ‘inclusief’ of ‘exclusief’.

a) 2 is een rationaal getal of een irrationaal getal.

b)Mensen met een hond of een kat moeten hun huisdieren binnenhouden bij oudjaar.

c)Je kunt kiezen tussen de studierichtingen wetenschappen of economie.

d)Wil je melk of suiker bij jouw koffie?

8.2.5 Implicatie van twee proposities

p: Het regent.

q: De straten worden nat.

Definitie

b) Wanneer is die uitspraak waar? Leg uit. GEOGEBRA

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: als het regent, dan worden de straten nat.

• ‘Het regent’ noem je het antecedens

• ‘De straten worden nat’ noem je het consequens

Je noemt die nieuwe uitspraak een implicatie

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

Het teken ⇒ noem je het implicatieteken.

De uitspraak is waar als het regent en de straten nat worden.

De uitspraak is onwaar als het regent en de straten niet nat worden.

Maar wat als het niet regent? De straten kunnen dan nog altijd nat worden, omdat het bijvoorbeeld sneeuwt of hagelt. Ook in dat geval is de uitspraak dus waar.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Implicatie

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Opmerking

Bij een implicatie mag je de twee proposities niet zomaar van plaats wisselen. De uitspraak ‘als je jarig bent, dan krijg je een ruiker bloemen’ heeft een andere betekenis dan ‘als je een ruiker bloemen krijgt, dan ben je jarig’.

Voorbeeld

p: Julia snijdt uien. q: Julia moet huilen.

a) Formuleer de propositie in woorden.

p ⇒ q:

8.2.6 Equivalentie van twee proposities

p: Een driehoek is gelijkzijdig.

q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft. Je noemt die nieuwe uitspraak een equivalentie

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q Het teken ⇔ noem je het equivalentieteken.

De uitspraak is waar als de driehoek gelijkzijdig is en drie even grote hoeken heeft. De uitspraak is ook waar als de driehoek niet gelijkzijdig is en geen drie even grote hoeken heeft (denk aan een willekeurige driehoek met hoeken van 50º, 60º en 70º).

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie

Equivalentie

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Een equivalentie wordt ook weleens een bi-implicatie genoemd, omdat de implicatie in beide richtingen geldt.

De uitspraak ‘als er vrede is, dan is er geen oorlog’ (⇒) geldt ook in de andere richting: ‘als er geen oorlog is, dan is er vrede’ (⇐).

Je kunt dus stellen dat p ⇔ q

8.2.7 Overzicht

Vul de waarheidstabel bij de verschillende connectieven aan.

Nodige en voldoende voorwaarde

Eigenschap

Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

p: Een vierhoek is een ruit.

q: De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

In symbolen: p ⇒ q

Het is voldoende dat een vierhoek een ruit is opdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, maar niet nodig, want er bestaan ook andere vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan (bv. een vlieger).

Het loodrecht op elkaar staan van de diagonalen is nodig opdat de vierhoek een ruit zou kunnen zijn.

⇒ q

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je q de nodige voorwaarde voor p

Besluit Om een eigenschap te bewijzen, bewijs je de implicatie p ⇒ q Je neemt p als ‘gegeven’ en q als ‘te bewijzen’.

Kenmerk

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als de driehoek minstens twee even grote hoeken heeft. p: Een driehoek is gelijkbenig. In symbolen: p ⇔ q q: Een driehoek heeft minstens twee even grote hoeken.

Minstens twee even grote hoeken in een driehoek is een nodige (p ⇒ q) en een voldoende (p ⇐ q) voorwaarde voor gelijkbenigheid.

Een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee gelijke hoeken, en omgekeerd zul je geen driehoek vinden met minstens twee gelijke hoeken die niet gelijkbenig is. Een eigenschap waarvan ook de omgekeerde eigenschap geldt, noem je een kenmerk of een (alternatieve) definitie.

Besluit Om een kenmerk te bewijzen, bewijs je de equivalentie p ⇔ q Je bewijs bestaat uit twee stappen: je bewijst p ⇒ q en q ⇒ p.

8.2.9 Volgorde van de connectieven

Net als bij de volgorde van de bewerkingen, interpreteer je eerst de connectieven binnen de haakjes. Daarna geldt een afnemende prioriteit van de connectieven: ¬, ˄, ˅, ⇒, ⇔

Dat wil zeggen dat je ¬ altijd eerst interpreteert, daarna ˄ enzovoort.

Algemeen Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels (van links naar rechts): ( ) , ¬ , ˄ , ˅ , ⇒⁄⇐ , ⇔

Voorbeeld

Als Veerle een blauwe broek draagt, dan draagt Nathalie geen rood T-shirt, en Sigrid draagt gele sokken als en slechts als Nathalie een rood T-shirt draagt.

a) Noteer de uitspraak in symbolen.

enkelvoudige proposities samengestelde propositie

p: q: In symbolen: r: Je interpreteert de twee deeluitspraken binnen de haakjes elk afzonderlijk.

In de deeluitspraak (p ⇒ ¬q) interpreteer je eerst ¬q, omdat ¬ voorrang heeft op ⇒.

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is de uitspraak waar?

Oefeningen

REEKS A

2 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Het regent.

q: De zon schijnt.

a) p ˄ q

b) q ˅ r

c) p ⇒ r

d) ¬p ⇒ q

REEKS B

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten.

3 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Dieter is ziek.

r: Dieter gaat naar school.

q: Dieter maakt zijn huiswerk. s: Mama gaat werken.

a) ¬p ⇒ r

b) r ⇔ s

c) ¬q ⇒ ¬r

d) ¬p ˄ q ⇒ r

e) ¬s ˄ ¬q ⇒ p

4 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Kevin geeft een pass aan Romelu. s: Dries trapt een hoekschop.

q: Romelu maakt een doelpunt. t: De scheidsrechter fluit af.

r: Thibaut trapt de bal uit.

a) s ˄ p ⇒ q

b) r ⇒ t

c) ¬p ⇒ ¬q

d) ¬t ˄ r ⇒ q

e) s ˅ r ⇒ ¬t

5 Formuleer de enkelvoudige proposities in woorden. Noteer vervolgens de samengestelde propositie in symbolen.

a) Katleen of Mario komt naar het feest.

p:

q:

b) Jaouad speelt piano, maar Bart niet.

p:

q:

In symbolen:

In symbolen:

c) De zon schijnt en er is veel wind, maar het regent niet.

p:

In symbolen: q: r:

d) Amina speelt graag badminton, maar traint niet graag.

p:

q:

e) Gianni kent Engels noch Duits.

p:

In symbolen:

In symbolen: q:

f) Als An niet slaagt voor haar rijexamen, komt ze niet met de auto naar school.

p:

q:

In symbolen:

g) Als Iwan blij is, is Sofia dat niet en als Iwan niet blij is, is Sofia dat wel.

p:

q:

In symbolen:

6 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Je slaagt voor het proefwerk wiskunde.

q: Je maakt elke oefening in de cursus.

r: Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving. in symbolen

a)Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving, maar je maakt niet elke oefening in de cursus.

b)Je behaalt een onvoldoende op het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de cursus maakt.

c)Elke oefening in de cursus of elke extra oefening in de elektronische leeromgeving maken, volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.

d)Het is niet waar dat je een onvoldoende behaalt voor het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de elektronische leeromgeving maakt.

7 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Jef speelt piano.

q: Myra speelt harp.

r: Hanneke speelt dwarsfluit.

s: Layla speelt klarinet.

proefversie©VANIN

a)Als Jef geen piano speelt en Myra geen harp speelt, dan speelt Hanneke dwarsfluit.

b)Als Layla klarinet speelt of als Hanneke dwarsfluit speelt, dan speelt Myra geen harp.

c)Hanneke speelt geen dwarsfluit als en slechts als Layla geen klarinet speelt.

d)Layla speelt klarinet als Myra geen harp speelt.

e)Jef speelt geen piano en Myra speelt geen harp als Hanneke geen dwarsfluit speelt.

in symbolen

8 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

a) Als de maan van kaas is, dan dansen er muizen op de maan.

p:

q: pq

b) 5 is een priemgetal of 5 is een even getal.

p:

q: pq

c) Het is niet waar dat (–2)2 = 4.

p:

q: p

d) Als 3² = 9, dan 6 – 2 = 3.

p:

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen: q: pq

De uitspraak is

e) Als het niet waar is dat de zon groter is dan de aarde, dan is elke smurf geel.

p:

In symbolen: q: pq

De uitspraak is

f) 2 = 5 als en slechts als 1 = –13.

p:

q: pq

In symbolen:

De uitspraak is

9 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

p: 7 > 18

q: 18 is een even getal.

a) p ⇒ q

De uitspraak is

b) ¬r ˄ q

De uitspraak is

c) s ⇔ p

De uitspraak is

d) (p ⇒ s) ˅ (s ⇒ p)

De uitspraak is

e) (p ⇔ q) ˄ ¬r

De uitspraak is

f) (p ˄ ¬q) ˅ r

r: 11 0 = 1

s: 3 ∈ q

proefversie©VANIN

De uitspraak is

10 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬p ˄ q

d) p ⇒ ¬q

proefversie©VANIN

b) p ˅ ¬q

e) ¬(p ⇒ q)

c) ¬(p ˅ q)

f) ¬p ⇔ q

11 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬(p ˄ ¬q)

b) (p ⇒ q) ˅ ¬q

12 Vul in met ‘voldoende’, ‘nodig(e)’ of ‘nodig(e) en voldoende’.

a) Opdat een driehoek gelijkzijdig is, is het dat hij gelijkbenig is.

b) Opdat een driehoek rechthoekig is, is het dat de stelling van Pythagoras geldt.

c) Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, is het dat het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.

d) Opdat een vierhoek een vierkant is, is het dat de vierhoek een parallellogram is.

e) Opdat twee driehoeken gelijkvormig zijn, is het dat de drie paar overeenkomstige zijden evenredig zijn.

f) Het middendoor snijden van de diagonalen is een voorwaarde opdat een vierhoek een vierkant is.

g) Opdat een lijnstuk een middenparallel is van een driehoek, is het om te stellen dat het lijnstuk evenwijdig is met en half zo lang is als de derde zijde.

h) Opdat een getal deelbaar is door 3, is het dat het getal deelbaar is door 9.

i) Dat een getal deelbaar is door 2 en ook door 3, is een voorwaarde opdat het getal deelbaar is door 6.

j) Opdat a en b snijdende rechten zijn, is het dat a en b loodrecht op elkaar staan.

13 Vul de best passende pijl in. Kies uit: ⇒, ⇐, ⇔.

a)Een getal is deelbaar door 3. Een getal is deelbaar door 6.

b)Twee driehoeken zijn congruent. Twee driehoeken hebben dezelfde oppervlakte.

c)Een driehoek is gelijkzijdig. Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

d) x + 2 = 4 x = 4 – 2

e)Een getal is een natuurlijk getal. Een getal is een geheel getal.

f) x ∈ r + x 2 ∈ r +

g)|PQ| = |QR| Q is het midden van [PR].

h)Een vierhoek is een rechthoek. Een vierhoek is een trapezium.

i) a is een irrationaal getal. a is een reëel getal.

j)De rechten a en b zijn evenwijdig. a = b

14 De ouders van Yassine doen vlak voor de proefwerken de volgende ware uitspraak: ‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone.’

Yassine krijgt na de proefwerken een nieuwe smartphone. Kun je daaruit besluiten dat hij geslaagd was voor wiskunde?

p:

q:

In symbolen:

proefversie©VANIN

15 In een rechtszaak doet een rechter de volgende uitspraak:

‘De eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt de waarheid niet.’

Een advocaat is het niet eens met de rechter. Wat moet hij dan aantonen?

p:

q:

In symbolen:

16 Een leerkracht wiskunde zegt tegen zijn leerlingen:

‘Het is niet waar dat iemand in de klas een onvoldoende heeft, of het is wél waar dat er gespiekt werd tijdens de toets.’ Achteraf zegt de leerkracht dat hij een leugen vertelde. Wat kunnen de leerlingen daaruit besluiten?

p:

q:

In symbolen:

proefversie©VANIN

REEKS C

17 Als het in Knokke minstens 27 ºC én zonnig is, dan zit het strand overvol. Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol. Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag?

A)Als het minstens 27 ºC was, dan was het zonnig.

B)Als het minder dan 27 ºC was, dan was het zonnig.

C)Als het minder dan 27 ºC was, dan was het niet zonnig.

D)Het was minder dan 27 ºC en het was niet zonnig.

E)Het was minder dan 27 ºC of het was niet zonnig.

JWO,editie2015,tweederonde

18 Als het niet waar is dat KV Oostende de beker of de competitie wint, dan wint KV Oostende de Europa League.

a) Vul aan.

p: q:

r: In symbolen:

b) Vul de waarheidstabel aan.

pqr

c) Wanneer is die uitspraak waar?

19 Als Elise en Noa de waarheid niet spreken, dan is het niet waar dat Louiz liegt.

a) Vul aan.

p: q: In symbolen:

r:

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is die uitspraak waar?

Logische raadsels

Drie vrienden zouden graag naar Schoolrock Festival gaan, maar twijfelen een beetje. ‘Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat, en Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat.’ Wie gaat er naar Schoolrock?

Mogelijkheid 1: • Nummer de verschillende uitspraken.

• Zet alle mogelijkheden in een tabel.

• Schrap de mogelijkheden die strijdig zijn met het gegeven.

Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat. (1) Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat. (2)

FlorAnaïsSeppe

gaatgaatgaat

gaatgaatgaat niet

gaatgaat nietgaat

gaatgaat nietgaat niet

gaat nietgaatgaat

gaat nietgaatgaat niet

gaat nietgaat nietgaat

gaat nietgaat nietgaat niet

Mogelijkheid 2: • Zet de uitspraak om naar een propositie in symbolen.

• Stel een waarheidstabel op.

p: Flor gaat.

q: Anaïs gaat. In symbolen: (q ⇒

r: Seppe gaat.

⇔ ¬p)

Oefeningen

REEKS B

20 Als Stijn vanavond televisie mag kijken, dan mag Thibe geen televisie kijken. Oscar mag enkel televisie kijken als en slechts als Thibe geen televisie mag kijken. Wie mag er vanavond televisie kijken? Los op met een waarheidstabel.

p:

q: In symbolen:

r

proefversie©VANIN

21 Van drie beweringen A, B en C weet je het volgende:

• Als A waar is, dan zijn B en C waar.

• Als B waar is, dan is er van A en C ten minste één waar.

• Als C waar is, dan is A waar en B onwaar.

Welke van de beweringen A, B en C zijn waar?

Lijst de verschillende mogelijkheden op in een tabel.

22 Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen.

Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor.

Welke van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

A) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

B) De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

C) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

D) De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

E) De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

JWO,editie2020,tweederonde

23 Vijf vrienden spelen een spel. Een van hen is de mol en liegt altijd.

De anderen spreken altijd de waarheid.

• Wout zegt: ‘Maarten of Jens is de mol.’

• Lisa antwoordt: ‘De mol is een man.’

• Jens zegt: ‘Lisa is de mol niet en ik ook niet.’

• Maarten stelt: ‘De mol is een vrouw.’

• Inneke beweert: ‘Ik ben de mol niet.’

Wie is de mol?

A)Wout B)Lisa C)Jens D)MaartenE)Inneke

JWO,editie2020,tweederonde

Extra oefeningen (Reeks C)

8.4 Tautologieën en contradicties

1.4.1 Begripsvorming

Logische equivalentie

Twee (enkelvoudige of samengestelde) proposities p en q zijn gelijkwaardig als en slechts als ze voor alle gevallen dezelfde waarheidswaarde hebben.

proefversie©VANIN

GEOGEBRA

Je noemt de proposities logisch equivalent

Als je een equivalentieteken tussen twee gelijkwaardige proposities plaatst, verkrijg je altijd een ware uitspraak.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p is gelijkwaardig met q

Tautologie

Als een getal oneven en een priemgetal is, dan is het getal oneven.

p: Een getal is oneven.

In symbolen: q: Een getal is een priemgetal.

Vul de waarheidstabel aan.

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een tautologie

Definitie Tautologie

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Contradictie

Een reëel getal is rationaal en irrationaal.

p: Een reëel getal is rationaal. In symbolen:

Vul de waarheidstabel aan.

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een contradictie

Definitie Contradictie

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

8.4.2 De wet van de uitgesloten derde

‘Elk getal is even of oneven’ is altijd een ware uitspraak. Er is geen derde mogelijkheid. p: Elk getal is even.

te bewijzen p ˅ ¬p is een tautologie.

bewijs p¬pp ˅ ¬p 1 0

Besluit Wet van de uitgesloten derde p ˅ ¬p

8.4.3 De wet van de dubbele negatie

‘De zon schijnt’ is gelijkwaardig met ‘het is niet waar dat de zon niet schijnt’. p: De zon schijnt.

te bewijzen p ⇔ ¬(¬p) bewijs

proefversie©VANIN

Besluit Wet van de dubbele negatie p ⇔ ¬(¬p)

8.4.4 Een implicatie noteren als een disjunctie

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone’ is gelijkwaardig met ‘je slaagt niet voor wiskunde of je krijgt een nieuwe smartphone’. p: Je slaagt voor wiskunde. q: Je krijgt een nieuwe smartphone.

te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

bewijs pqp ⇒ q¬p ¬p ˅ qp ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

11 10 01 00

Besluit Een implicatie noteren als een disjunctie

8.4.5 Een equivalentie noteren als een conjunctie

‘Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft’ is gelijkwaardig met ‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot en als alle hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig’.

p: Een driehoek is gelijkzijdig. q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

proefversie©VANIN

bewijzen

bewijs

11 10 01 00

Besluit Een equivalentie noteren als een conjunctie

8.4.6 De wet van de contrapositie

‘Als het regent, dan worden de straten nat’ is gelijkwaardig met ‘als de straten niet nat worden, dan regent het niet’.

p: Het regent. q: De straten worden nat. te bewijzen

bewijs

11 10 01 00

Besluit Wet van de contrapositie

Opmerking

Een veelgemaakte fout is om te stellen dat p ⇒ q gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

Voorbeeld

p: n is een viervoud. q: n is een even getal.

a)Formuleer de proposities in woorden.

p ⇒ q: ¬p ⇒ ¬q:

b) Zijn die uitspraken waar of onwaar?

proefversie©VANIN

Algemeen

Toon aan dat de propositie p ⇒ q niet dezelfde waarheidswaarden oplevert als ¬p ⇒ ¬q

De twee uitspraken leveren niet dezelfde waarheidswaarden op. Je kunt dus besluiten dat p ⇒ q niet gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q.

In de omgangstaal betekent ‘als … dan …’ soms meer dan wat je strikt genomen zegt.

Als je vader zegt ‘Als je slaagt voor al je examens, dan krijg je een Nintendo Switch’, dan bedoelt hij (wellicht) impliciet ook ‘Als je niet slaagt voor al je examens, dan krijg je geen Nintendo Switch’.

Stel p: Je slaagt voor al je examens en q: Je krijgt een Nintendo Switch.

Dan zegt je vader p ⇒ q, maar bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook ¬p ⇒ ¬q en zelfs q ⇒ p

In de wiskunde kun je jezelf dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven en houd je je aan de regels van de logica.

8.4.7 De wetten van De Morgan

Voorbeeld 1

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt en dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano of Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.

proefversie©VANIN

11 10 01 00

Je kunt besluiten dat de negatie van een conjunctie gelijk is aan de disjunctie van de negaties

Voorbeeld 2

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt of dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano en Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano.

bewijs

q: Marie speelt harp.

11 10 01 00

Je kunt besluiten dat de negatie van een disjunctie gelijk is aan de conjunctie van de negaties

Besluit De wetten van De Morgan

Oefeningen

REEKS A

24 Vul de tabel aan.

implicatie contrapositie

a)Als ik ga werken, dan neem ik altijd de fiets.

b)

c)Als ik geslaagd ben voor mijn examen, dan geef ik een feestje.

d)

proefversie©VANIN

Als de zon niet schijnt, dan is het donker.

Als ik niet volledig ontspannen ben, dan ben ik niet op vakantie.

e)Als Melissa mij een zoen geeft, dan krijg ik kriebels in mijn buik.

25 Gegeven: ‘Als de lift niet werkt, dan neem ik de trap.’

a) Stel dat die propositie waar is en ik de trap neem. Wil dat dan zeggen dat de lift kapot is?

p:

In symbolen: q: pq

b) Formuleer de contrapositie van die uitspraak in woorden.

26 Gebruik de wetten van De Morgan om de uitspraken om te vormen.

a) Het is niet waar dat Ariane tennis en basketbal speelt.

b) Het is niet waar dat Geert bruine of blauwe schoenen draagt.

c) Ik wil geen bruine suiker of geen siroop op mijn pannenkoek.

d) Maandag staat er geen toets gepland en dinsdag ook niet.

27 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) p ⇒ (p ˅ q)

b) (p ˄ q) ˅ p ⇔ p

c) (p ˄ ¬p) ⇒ q

e) ¬p ⇒ (p ⇒ q)

proefversie©VANIN

p ˄ q ⇔ q ˄ p

f) (p ⇒ q) ˅ (q ⇒ p)

g) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

p ˄ (p ⇔ q) ⇒ q

d)

h)

28 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities contradicties zijn.

a) (p ⇒ q) ⇔ (p ˄ ¬q)

proefversie©VANIN

b) (p ˄ q) ˄ (¬p ˅ ¬q)

29 Noteer de uitspraak eenvoudiger. Formuleer de wet waarop je steunt.

a) Het is niet waar dat jij geen leugenaar bent.

b) Als de elektriciteitsrekening niet betaald wordt vóór 31 maart, dan kunnen we geen televisie meer kijken.

c) Als ik niet mee kan op schoolreis, dan werden mijn kleren niet op tijd gewassen.

d) Het is niet waar dat het getal 2 niet het kleinste priemgetal is.

e) Als je naar de stad vertrekt met de auto, dan neem ik de bus, en als ik de bus neem, dan vertrek jij met de auto naar de stad.

f) Het is niet waar dat het niet waar is dat, als ik de weddenschap niet win, Club Brugge geen kampioen speelt.

30 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) (p ⇒ r) ˄ (q ⇒ r) ⇔ (p ˅ q ⇒ r)

proefversie©VANIN

b) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

Net zoals je steunt op de eigenschappen van de bewerkingen in de getallenleer (commutatief, associatief …), gebruik je die eigenschappen ook in de propositielogica. Je kunt ze stuk voor stuk bewijzen met behulp van waarheidstabellen.

Enkele voorbeelden:

• De conjunctie is commutatief: p ˄ q ⇔ q ˄ p

• De equivalentie is associatief: [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)].

• De disjunctie is distributief ten opzichte van de conjunctie: p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r).

Het bewijs van die laatste eigenschap vind je in de voorgaande oefening.

8.5.1

Logische poorten

Logische poorten zijn schakelingen of bouwstenen van elektronica. Ze zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten, zoals transistors, weerstanden en dioden.

Het belangrijkste kenmerk van logische poorten is dat ze meer dan één ingang kunnen bevatten, maar slechts één uitgang.

De verschillende poorten leveren lage of hoge spanningssignalen aan die uitgang. Die spanningssignalen stel je voor met 0 of 1.

Er zijn drie elementaire poorten poort

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een andere naam voor een NIET-poort is ‘inverter’.

disjunctie (inclusieve OF)

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

Er bestaan verschillende systemen om poorten weer te geven:

• het ANSI-systeem (AmericanNationalStandardofIndustry), dat het meest gebruikt wordt;

• het IEC-systeem (InternationalElectrotechnicalCommission);

• het DIN-systeem (DeutscheInstitutfürNormung).

Met de drie elementaire poorten kun je nog andere poorten bouwen.

poort ANSI-symbool waarheidstabel verband met propositielogica

A B U ABU 11 10 01 00 exclusieve OF A ˅ B = U

proefversie©VANIN

A

U ABU 11 10 01 00 negatie van de disjunctie ¬(A ˅ B) = U

11 10 01 00 negatie van de conjunctie ¬(A ˄ B) = U

8.5.2 Modeloefening 1

Een schakelaar en een drukknop werden verbonden met een lampje. Wanneer zal het lampje branden? a) A B U

Het lampje zal branden als b)

Het lampje zal branden als

Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

proefversie©VANIN

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B uit staan en drukknop C niet is ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B aan staan en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, B uit staat en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C niet worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

Oefeningen

REEKS A

31 Onderzoek of het lampje zal branden.

Het lampje zal wel/niet branden.

Het lampje zal wel/niet branden.

Het lampje zal wel/niet branden.

32 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C uit staan en drukknop B wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C aan staan en drukknop B niet wordt ingedrukt?

33 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan.

8.1 Inleiding

8.2 Proposities en connectieven

proefversie©VANIN

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

In de logica gebruik je meestal de inclusieve of.

‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

De exclusieve of betekent ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q

Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels: ( ), ¬, ˄, ˅, ⇒/⇐, ⇔

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q; q noem je de nodige voorwaarde voor p

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in symbolen noteren.

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in woorden formuleren.

De waarheidswaarde van een (enkelvoudige of samengestelde) propositie bepalen met behulp van een waarheidstabel.

Vraagstukken oplossen met behulp van een waarheidstabel.

8.3 Logische raadsels

Logische raadsels oplossen met behulp van een waarheidstabel. Logische raadsels oplossen door een oplijsting te maken van de verschillende mogelijkheden.

8.4 Tautologieën en contradicties

KENNEN

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

Je kent de volgende logische wetten:

• de wet van de uitgesloten derde: p ˅ ¬p

• de wet van de dubbele negatie: p ⇔ ¬(¬p)

• de wet van de contrapositie: p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

proefversie©VANIN

• de wetten van De Morgan: ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q ¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q

KUNNEN

De logische wetten gebruiken om proposities te herformuleren en/of eenvoudiger te schrijven.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een tautologie is.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een contradictie is.

Een implicatie noteren als een disjunctie en omgekeerd: p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

Een equivalentie noteren als een conjunctie en omgekeerd: (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

8.5 Logische poorten

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn. KUNNEN

De waarheidswaarde bepalen van de uitgang (lamp) door de theorie van de logische poorten toe te passen.

De waarheidstabel van een logische schakeling opstellen.

De waarheidstabel van de verschillende logische poorten opstellen: NIET, OF, EN, XOF, NOF, NEN.

1.De volgende uitspraak is onwaar: ‘Als de som van de cijfers van een natuurlijk getal n deelbaar is door 6, dan is n deelbaar door 6.’ Welk van de volgende waarden van n toont dat aan?

2.Een papierstrook wordt geplooid zodat er een hoek van 40º ontstaat, zoals op de figuur. Hoe groot is a?

JWO,editie2020,eersteronde

3. Voor alle positieve getallen x geldt dat 2 + 42x + 4x – 2 gelijk is aan …