GENIE Fysica 6 leerboek - Inkijkexemplaar

Proefversie©VANIN

GENIE 6 Fysica

BEWEGING, KRACHT EN ENERGIE

©VANIN

Deel 1

Juni 2024 in druk

Via www.ididdit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij GENIE Fysica leerboek 6 Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden. Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

GENIE 6 Fysica

BEWEGING, KRACHT EN ENERGIE

LET OP: DEZE LICENTIE IS UNIEK, EENMALIG TE ACTIVEREN EN GELDIG VOOR EEN PERIODE VAN 12 MAANDEN NA ACTIVATIE.

!

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.

In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.

Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.

©VANIN

© Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2024

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Credits

p. 10 foto Fietsers: Michele Ursi © Shutterstock, p. 16 screenshot Afstand Leuven-Antwerpen © CC BY OpenStreetMap Foundation (OSMF), p. 18 foto TGV: olrat © Shutterstock, p. 21 foto Tourrit: Radu Razvan © Shutterstock, p. 46 foto Replica binnenkant ISS: trabantos © Shutterstock, p. 77 foto Jongen bij sjoelbak: Snova © Shutterstock, p. 83 foto Airbag: © Hövding, p. 99 foto Verspringen: Gustoimages © Science Photo Library, p. 112 foto Kogelslingeren: Hafiz Johari © Shutterstock

p. 33 krantenkop Ferrari: hln.be – 10/11/2018

Eerste druk 2024

ISBN 978-94-647-0466-2

Vormgeving en ontwerp cover: Shtick

Tekeningen: Geert Verlinde, Tim Boers (Studio B) D/2024/0078/142

Art. 605768/01

NUR 126

Zetwerk: Zyncke Vanderplancke

Het leerboek GENIE Fysica 6 bestaat uit twee thema’s. In deze startbundel vind je thema 01, ‘Beweging, kracht en energie’. Hier zie je hoe elk thema is opgebouwd:

Je maakt kennis met het onderwerp van het thema In het kader onderaan vind je een aantal vragen die je op het einde van het thema kunt beantwoorden.

In de verkenfase zul je merken dat je al wat voorkennis hebt over het onderwerp dat in het thema aan bod komt. Dat schematisch overzicht geeft je een houvast om de nieuwe leerstof te koppelen aan zaken die je al onder de knie hebt.

STARTEN MET GENIE ©VANIN

Na de opfrissing van de voorkennis volgen een aantal hoofdstukken. Doorheen de hoofdstukken verwerf je de nodige kennis en vaardigheden om uiteindelijk een antwoord te geven op de vragen onderaan de themapagina.

In het onderdeel Aan de slag vind je verschillende oefeningen. Je kunt die oefeningen op papier of op iDiddit uitwerken.

SI-EENHEID

begin [Δ GROOTHEID SYMBOOL SI-EENHEID gemiddelde snelheids­ component >] ogenblikke lijke snelheid­ (svector) dt m GROOTHEID SYMBOOL

Wat moet je nu kennen? We vatten de kern van het thema voor jou samen in de syntheses

Ga zelf op onderzoek! Doorheen de thema’s vind je de verwijzing naar de labo’s bij het onlinelesmateriaal.

Dit icoon geeft aan dat er aanvullend lesmateriaal of een extra opdracht op iDiddit staat.

Soms is het handig dat je extra lesinformatie of een videofragment zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina.

Mijn lesmateriaal

Het onlineleerplatform bij GENIE Fysica 6

Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals filmpjes, labo’s, extra oefeningen ...

Extra materiaal

Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend videofragment zijn, een woorden- of begrippenlijst, een extra bron of een leestekst. Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof onder de knie te krijgen.

Adaptieve oefeningen

Met adaptieve oefeningen kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau.

Hier kun je vrij oefenen.

Opdrachten

Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Evalueren

Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen? Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.

Notities

Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud? Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.

Meer weten?

Ga naar www.ididdit.be

INHOUD DEEL 1

THEMA 01: BEWEGING, KRACHT

ENERGIE

` HOOFDSTUK 1

Beweging wiskundig beschrijven 9

1 Wat is beweging? 9

1.1 Beweging en rust 9

1.2 Beweging voorstellen 10

2 Hoe bepaal je de positie van een systeem? 12

2.1 Positie 12

2.2 Verplaatsing en afgelegde weg 16

3 Hoe bepaal je de snelheid van een systeem? 18

3.1 Gemiddelde snelheid 18

3.2 Ogenblikkelijke snelheid 21

4 Hoe bepaal je de versnelling van een systeem? 25

4.1 Versnelling 25

4.2 Gemiddelde versnelling 26

4.3 Ogenblikkelijke versnelling 28

` HOOFDSTUK 2

Kracht als oorzaak van snelheidsverandering 37

1 Hoe wordt een snelheidsverandering veroorzaakt? 37

2 Welke wetten bepalen de snelheidsverandering? 41

2.1 Eerste wet van Newton 41

2.2 Tweede wet van Newton 42

2.3 Derde wet van Newton 44

3 Welke krachten bepalen de snelheidsverandering van een systeem? 47

3.1 Zwaartekracht 47

3.2 Gewicht 47

3.3 Normaalkracht 50

3.4 Spankracht 53

` HOOFDSTUK

3

Bijzondere eendimensionale bewegingen 70

1 Welke eigenschappen heeft een beweging zonder versnelling? 70

2 Welke snelheidsverandering kan door een kracht worden veroorzaakt? 73

3 Welke eigenschappen heeft een beweging met een constante versnelling? 76

©VANIN

3.5 Wrijvingskracht 55

4 Welke versnelling heeft een systeem bij de inwerking van (meerdere) krachten? 59

4.1 De tweede wet van Newton toepassen bij een rechtlijnige beweging 59

4.2 Versnelling bij rechtlijnige bewegingen zonder wrijving 60

4.3 Versnelling bij rechtlijnige bewegingen met wrijving 62

4 Welke beweging voert een vallend voorwerp uit? 80

4.1 Vrije val 80

4.2 Val met weerstand 84

5 Welke beweging voert een voorwerp uit dat verticaal omhoog wordt geworpen? 85

` HOOFDSTUK 4

Bijzondere tweedimensionale bewegingen 96

1 Hoe kun je een tweedimensionale beweging beschrijven? 96

1.1 Bewegingen in verschillende dimensies 96

1.2 Kogelbanen 99

1.3 Onafhankelijkheidsprincipe van de beweging 100

2 Welke eigenschappen heeft een horizontale worp? 102

3 Welke eigenschappen heeft een cirkelvormige beweging? 105

3.1 Eenparig cirkelvormige beweging 105

3.2 Bewegingsgrootheden bij een ECB 107

3.3 Cirkelbeweging als er meerdere krachten inwerken 114

4 Hoe bewegen satellieten? 118

` HOOFDSTUK 5

Arbeid en energie 128

1 Wat betekent ‘arbeid verrichten’ in de fysica? 128

2 Hoe kun je de verrichte arbeid berekenen? 130

2.1 Arbeid berekenen bij een constante kracht 130

2.2 Arbeid bepalen bij een willekeurige kracht 133

3 Hoe groot is de verrichte arbeid bij de (variabele) veerkracht en de gravitatiekracht? 135

3.1 Arbeid bij een veer 135

3.2 Arbeid verricht door de gravitatiekracht 139

4 Welk verband bestaat er tussen arbeid en kinetische energie? 141

4.1 Snelheidsverandering door verrichte arbeid 141

4.2 Kinetische energie 142

5 Welk verband bestaat er tussen arbeid en potentiële energie? 145

5.1 Conservatieve en niet-conservatieve krachten 145

5.2 Potentiële zwaarte-energie 147

5.3 Algemeen verband tussen arbeid en potentiële energie 148

5.4 Potentiële elastische energie 150

5.5 Potentiële gravitatie-energie 151

6 Welk verband bestaat er tussen kinetische en potentiële energieverandering? 153

©VANIN

Deel 2, ‘Trillen en golven’, verschijnt later dit schooljaar.

BEWEGING, KRACHT EN ENERGIE 01 THEMA

De gravitatiekracht beïnvloedt onze dagelijkse bewegingen op aarde. Maar de gravitatiekracht heeft ook een grote impact op onze ambitie om als mens de ruimte te verkennen: ruimtesondes met een voldoende hoge snelheid kunnen aan het gravitatieveld van de aarde ontsnappen, satellieten bewegen rond de aarde zonder motor, de gravitatiekracht van andere hemellichamen beïnvloedt de baan van ruimteobjecten … Inzicht in de gravitatiekracht, de bijbehorende bewegingen en energie is daarom van cruciaal belang.

` Hoe bewegen voorwerpen onder invloed van een kracht?

` Welke krachten werken in op voorwerpen?

` Hoe worden energievormen in elkaar omgezet bij (variabele) krachten?

We zoeken het uit!

VERKEN

JE KUNT AL ...

•de positie en de verplaatsing bepalen;

• de gemiddelde snelheid berekenen;

•eenvoudige bewegingsgrafieken interpreteren.

H1

•de begrippen ‘rust’, ‘beweging’ en ‘referentiestelsel’ omschrijven;

•de begrippen ‘positie’, ‘verplaatsing’ en ‘afgelegde weg’ omschrijven, bepalen en voorstellen;

©VANIN

•de begrippen ‘gemiddelde snelheid’ en ‘ogenblikkelijke snelheid’ omschrijven, bepalen en voorstellen;

•de begrippen ‘gemiddelde versnelling’ en ‘ogenblikkelijke versnelling’ omschrijven, bepalen en voorstellen;

•bewegingsgrafieken interpreteren.

•de effecten van een kracht omschrijven;

• een kracht als een vector voorstellen en gebruiken.

H2

•een krachtvector voorstellen en ontbinden in componenten;

•de wetten van Newton omschrijven;

•de krachten bij ondersteunde voorwerpen bepalen en voorstellen;

•de wrijvingskracht omschrijven, voorstellen en berekenen;

•de versnelling bepalen voor bewegingen waarbij de wrijvingskracht al dan niet een rol speelt.

JE LEERT NU ...

JE KUNT AL ...

• bewegingsgrootheden berekenen en aflezen op grafieken;

• de wetten van Newton toepassen.

• bewegingsgrootheden berekenen en aflezen op grafieken;

• de wetten van Newton toepassen;

• (bijzondere) eendimensionale bewegingen beschrijven.

JE LEERT NU ...

©VANIN

• de kracht en de verplaatsing bepalen;

• energie(overdracht) omschrijven.

• het verband tussen de oriëntatie van een kracht en een snelheidsverandering omschrijven en voorstellen;

• de x(t)-, vx(t)- en ax(t)grafieken voor bijzondere rechtlijnige bewegingen lezen en gebruiken;

• de x(t)-, vx(t)- en ax(t)functies opstellen en toepassen voor bijzondere rechtlijnige bewegingen;

• eigenschappen van de valbeweging en de verticale worp omschrijven en toepassen.

• een tweedimensionale beweging beschrijven;

• de baan van weggeworpen voorwerpen beschrijven en verklaren;

• de horizontale worp kwantitatief uitwerken;

• cirkelbewegingen beschrijven en verklaren;

• cirkelbewegingen met een constante omlooptijd kwantitatief uitwerken;

• de beweging van satellieten omschrijven en kwantitatief uitwerken.

• de verrichte arbeid berekenen voor een constante en voor een variabele kracht;

• conservatieve en nietconservatieve krachten omschrijven en bepalen;

• kinetische en potentiële energie omschrijven;

• het verband tussen energieomzettingen en de verrichte arbeid berekenen.

H3

H4

H5

©VANIN

HOOFDSTUK 1

Beweging wiskundig beschrijven

Mensen, dieren, planeten, voorwerpen … bewegen. Maar wat is ‘bewegen’ precies en welk pad volgen ze? Welke eigenschappen hebben hun bewegingen? Om bewegingen te kunnen analyseren en vervolgens te optimaliseren voor sporters, vervoersmiddelen, technologische toepassingen …, moet je eerst een wetenschappelijke taal geven aan beweging. De tak van de fysica die zich bezighoudt met de beschrijving van bewegingen, is de kinematica (afgeleid van het Griekse κινειν (kinein), dat ‘bewegen’ betekent).

In dit hoofdstuk geef je wetenschappelijke betekenis aan bewegingsbegrippen die je kent uit het dagelijks leven. Je leert om op een gepaste manier bewegingen voor te stellen en om bewegingsgrafieken te interpreteren.

LEERDOELEN

M de begrippen ‘rust’, ‘beweging’ en ‘referentiestelsel’ omschrijven

M de begrippen ‘positie’, ‘verplaatsing’ en ‘afgelegde weg’ omschrijven, bepalen en voorstellen

M de begrippen ‘gemiddelde snelheid’ en ‘ogenblikkelijke snelheid’ omschrijven, bepalen en voorstellen

M de begrippen ‘gemiddelde versnelling’ en ‘ogenblikkelijke versnelling’ omschrijven, bepalen en voorstellen

M bewegingsgrafieken interpreteren

1 Wat is beweging?

©VANIN

1.1 Beweging en rust ▲ Afb. 1

Een basketbal beweegt door de lucht nadat je hem weggooit.

Afb. 2

Afb. 3

Een man in een kajak beweegt op het water. De aarde beweegt in een jaar rond de zon.

Een systeem is in beweging ten opzichte van een referentiepunt als de positie of oriëntatie verandert ten opzichte van dat referentiepunt.

• Een beweging waarbij de positie verandert, noem je een translatie

• Een beweging waarbij de oriëntatie verandert, noem je een rotatie.

Het systeem is in rust als de positie en de oriëntatie niet veranderen ten opzichte van het referentiepunt. Als het referentiepunt de aarde is, wordt dat referentiepunt (meestal) niet vernoemd.

Een systeem is een voorwerp of een samenhangend geheel dat je hebt uitgekozen om te bestuderen. Alles wat buiten dat systeem ligt, noem je de omgeving.

VOORBEELD FIETSERS

Een vriendengroep fietst door de stad. Je kunt verschillende systemen bestuderen.

• De vriendengroep is in beweging ten opzichte van de gebouwen en de baan (die vasthangen aan de aarde). Het systeem is de vriendengroep. Het referentiepunt is de aarde. Je zegt kortweg dat de vriendengroep beweegt.

• Elke fietser is in rust ten opzichte van de eigen fiets. Het systeem is in dit geval de fietser. Het referentiepunt is de eigen fiets. Eventuele kleine bewegingen (bv. de pedalen ronddraaien, vooroverbuigen …) worden verwaarloosd.

• De fietsers zijn in rust ten opzichte van elkaar als ze allemaal dezelfde snelheid hebben.

Ze zijn in beweging ten opzichte van elkaar als ze elk een andere snelheid hebben. Je beschouwt elke fietser als een apart systeem. De andere fietsers zijn het referentiepunt.

CONCEPTVRAGEN

©VANIN

1 Benoem voor de drie afbeeldingen op p. 9 het systeem dat in beweging is ten opzichte van het referentiepunt.

2 Kies voor de drie afbeeldingen een ander systeem en referentiepunt, zodat het systeem in rust is ten opzichte van het gekozen referentiepunt.

Een systeem is in rust of in beweging:

• In rust: de plaats en oriëntatie veranderen niet ten opzichte van een referentiepunt.

• In beweging: de plaats of oriëntatie verandert ten opzichte van een referentiepunt.

1.2 Beweging voorstellen

Om een beweging te beschrijven, beschrijf je plaatsveranderingen. Die veranderingen kun je vaak rechtstreeks waarnemen.

Geen beweging, rustTrage horizontale beweging naar rechts

Afb. 5 Verschillende bewegingen van een wandelaar

Snelle horizontale beweging naar links Verticale beweging omhoog

▲

▲ Afb. 4 Fietsers in beweging

Om een beweging wetenschappelijk voor te stellen, gebruik je een model:

• Je neemt aan dat het systeem star en onsamendrukbaar is: alle punten van het systeem zijn in rust ten opzichte van elkaar. Je kunt het systeem dan voorstellen door een massapunt

• Het pad dat het massapunt volgt, noem je de baan. Je beperkt je in dit eerste hoofdstuk tot beschrijvingen van rechtlijnige of eendimensionale bewegingen. Dat zijn bewegingen waarbij de baan een rechte is. (In hoofdstuk 4 breid je dat uit tot tweedimensionale bewegingen.)

• Je stelt de baan voor ten opzichte van een assenstelsel. Het assenstelsel is het referentiestelsel (met als oorsprong het referentiepunt). Voor een rechtlijnige beweging heb je maar één as nodig. Die noem je meestal de x-as. Je kunt de richting en de zin van de x-as kiezen. Meestal kies je:

een richting en zin volgens de beweging; – een oorsprong (vaak gekozen in het referentiepunt); – een gepaste schaalverdeling.

VOORBEELD BEWEGING VAN ROCKY

In de video zie je Rocky de hond bewegen op een skateboard. Je kunt die beweging wetenschappelijk voorstellen:

• Het systeem Rocky wordt voorgesteld door een massapunt.

• De baan is de verzameling van alle punten waar het massapunt langs komt. Je kunt de punten met een vast tijdsinterval ertussen aanduiden. Rocky volgt een rechte baan. Hij voert een rechtlijnige beweging uit.

• Het referentiepunt is een punt op het asfalt. Dat wordt voorgesteld door de oorsprong van een x-as.

CONCEPTVRAAG

Stel de vier bewegingen van de wandelaar van het inleidende voorbeeld op p. 10 voor aan de hand van een geschikte x-as en de positie van het massapunt op drie tijdstippen.

©VANIN

Een beweging stel je voor door met massapunten een baan te tekenen die je weergeeft ten opzichte van een assenstelsel. Voor een rechtlijnige beweging is het assenstelsel beperkt tot een x-as

Een systeem wordt vaak voorgesteld door een punt: het massapunt. Alle massa van het systeem ligt geconcentreerd in dat punt.

0 1,00 m x (m)

Afb. 6 Wetenschappelijke voorstelling van de beweging van Rocky

video: Rocky

• Een scalaire grootheid heeft enkel een grootte.

• Een vectoriële grootheid heeft een grootte, een richting, een zin en een aangrijpingspunt.

Voor eendimensionale bewegingen gebruikt men soms ook het symbool x. Wij kiezen ervoor (vanwege de toepasbaarheid in tweeen driedimensionale bewegingen) om voor de positievector altijd het symbool r te gebruiken.

2

2.1 Positie

A Positievector

Als een systeem beweegt, verandert de positie van dat systeem ten opzichte van een referentiepunt. Op elk tijdstip bevindt het systeem zich op een bepaalde positie ten opzichte van dat referentiepunt.

Tijdstip is een scalaire grootheid met als SI-eenheid seconde. Het tijdstip wordt uitgedrukt ten opzichte van een gekozen nulpunt.

Positie is een vectoriële grootheid. De positievector r is gedefinieerd als een vector met deze kenmerken:

• aangrijpingspunt: het referentiepunt;

• eindpunt: het massapunt;

• richting: volgens de as door het referentiepunt en het massapunt;

• zin: van het referentiepunt naar het massapunt, aangegeven door een pijlpunt;

• grootte r: aangegeven door de lengte van de pijl.

GROOTHEID MET SYMBOOL

SI-EENHEID MET SYMBOOL tijdstip t [t] = s positie r [r] = m

VOORBEELD POSITIEVECTOR VAN EEN BUS

©VANIN

Een bus rijdt op een horizontale rechte weg tussen twee haltes. Zijn beweging is weergegeven op de afbeelding aan de hand van het massapunt voor twaalf tijdstippen.

Afb. 7 Positievectoren van een bus tussen twee haltes

De positievector is getekend voor het vijfde (r5) en zesde (r6) tijdstip. Beide vectoren zijn horizontaal naar links gericht. Uit de lengte van de pijlen en de schaalverdeling volgt: r5 = 52 m en r6 = 92 m.

Je kunt elke vector noteren met behulp van een eenheidsvector. Dat is een vector die aangrijpt in het referentiepunt en als grootte één heeft.

In één dimensie definieer je een x-as met dezelfde richting en zin als de beweging. De oorsprong van de as kies je in het referentiepunt. De richting en zin van de eenheidsvector e x kies je volgens de x-as. Het aangrijpingspunt kies je in de oorsprong van de as. Elke positievector kun je als volgt noteren: r = r x · e x = x · e x

De grootte r van de positievector r is altijd positief. Dat geeft informatie over de lengte, maar niet over de zin van de vector. Het getal r x is de algebraïsche component of getalcomponent van de positievector r volgens de x-as. Dat noemt men vaak kortweg de x-component. De getalcomponent geeft informatie over de grootte en de zin van een vector. Voor rechtlijnige bewegingen komt de getalcomponent overeen met de positie x. Het is een positief getal (x = |x| = r) als de positie voorbij de oorsprong ligt (eenheidsvector en positievector hebben dezelfde zin), en een negatief getal (x = –|x| = –r) als de positie vóór de oorsprong ligt (eenheidsvector en positievector hebben een tegengestelde zin).

VOORBEELD GETALCOMPONENTEN VAN POSITIEVECTOREN VAN EEN LIFT

Een lift kan van de ondergrondse garage naar de vijfde verdieping bewegen. Je kunt de beweging weergeven ten opzichte van de gelijkvloerse verdieping. De x-as en de bijbehorende eenheidsvector kies je verticaal naar boven. Je kiest het referentiepunt (de gelijkvloerse verdieping) als oorsprong.

LIFT BEVINDT ZICH TER HOOGTE VAN DE DERDE VERDIEPING

LIFT BEVINDT ZICH TER HOOGTE VAN DE ONDERGRONDSE GARAGE

Ligging ten opzichte van referentiepunt positie x1 voorbij de oorsprongpositie x2 vóór de oorsprong

Vectorvoorstelling

©VANIN

Bevat het symbool een x of een y (bv. rx, ry, Fx, F y of vx), dan bedoelt men de algebraïsche component van de vector. Dat is het (positieve of negatieve) getal dat de projectie van de vector op een as weergeeft. In één dimensie komt dat overeen met de coördinaat van het massapunt.

Bevat het symbool geen x of y (bv. r, F of v), dan bedoelt men de grootte van de vector.

In een video worden posities van verschillende voorwerpen geregistreerd met foto’s die heel snel na elkaar gemaakt worden. Zo registreer je in één keer x(t) voor heel veel punten.

Op leer je daar meer over.

animatie: x(t)grafiek Rocky

CONCEPTVRAGEN

1 Beschrijf de beweging van de bus op p. 12 aan de hand van de informatie die je afleidt uit de verschillende posities van het massapunt.

2 Bepaal de positievectoren van de bus op tijdstip 6, 7 en 8, met als referentiepunt het midden tussen beide haltes. a Teken de positievectoren. b Bepaal de getalcomponenten en de grootte van de positievectoren.

3 Heeft de keuze van het referentiestelsel (= gekozen x-as met een bepaalde oorsprong) een invloed op de beweging? Welk referentiestelsel verkies je? Verklaar.

B x(t)-grafiek

Bij een beweging verandert de positie van een systeem (ten opzichte van een referentiepunt) in functie van de tijd. De tijdsinformatie kun je niet rechtstreeks aflezen op een voorstelling met enkel de verschillende posities van het massapunt op een x-as. Op een x(t)-grafiek kun je de tijdsafhankelijkheid van de positie wel aflezen. Op de horizontale as staat het tijdstip t, op de verticale as de positie x. De x(t)-grafiek maak je door de positie x op te meten voor verschillende tijdstippen t of door die te bepalen uit videobeelden.

VOORBEELD x(t)-GRAFIEK VAN ROCKY DE HOND

Rocky de hond vertraagt en staat vervolgens stil. Dat verloop kun je moeilijk aflezen uit een voorstelling van de verschillende posities van het massapunt op een x-as. Als je een x(t)grafiek maakt, heb je informatie over de beweging op elk tijdstip. In de animatie zie je hoe de verschillende posities van Rocky overeenstemmen met de punten op de x(t)-grafiek.

Je kunt de beweging van Rocky opsplitsen in twee deelbewegingen:

• een beweging naar rechts (volgens de x-as): de positie neemt toe in functie van de tijd en de x(t)-grafiek stijgt;

• stilstand: de positie verandert niet in functie van de tijd. De x(t)-grafiek is horizontaal.

beweging naar rechts stilstand

CONCEPTVRAAG

Hoe zal de x(t)-grafiek eruitzien als …

• de x-as in de andere zin gekozen wordt, met het nulpunt op dezelfde plaats?

• de x-as in dezelfde zin gekozen wordt, met de oorsprong op het eindpunt?

DEMO

Welke bewegingen komen overeen met de x(t)-grafieken?

1 Bestudeer de onderstaande x(t)-grafieken.

▲ Afb. 9 Vijf x(t)-grafieken

2 Bespreek met je buur de mogelijke beweging die bij elke grafiek hoort. Test uit door voor een bewegingssensor te wandelen.

3 Beantwoord de onderzoeksvraag.

De positie van een massapunt ten opzichte van een referentiepunt beschrijf je met de positievector r. Dat is een vector met als aangrijpingspunt het referentiepunt en als eindpunt het massapunt.

©VANIN

In één dimensie geldt: r = x · e x

Daarbij is:

• e x de eenheidsvector, met het aangrijpingspunt in het referentiepunt en met de richting en zin volgens de x-as (dat wil zeggen: volgens de richting en zin van de beweging);

• x de getalcomponent of x-component. De getalcomponent kan positief (posities voorbij de oorsprong) of negatief (posities vóór de oorsprong) zijn. De grootte |x| = r is altijd positief.

Op een x(t)-grafiek is de positie op elk tijdstip weergegeven.

Een andere eenheid die vaak gebruikt wordt voor verplaatsing, is kilometer.

2.2 Verplaatsing en afgelegde weg

Voorwerpen die bewegen, veranderen van positie. Om die verandering uit te drukken, moet je een onderscheid maken tussen de lengte van de baan en de afstand (in vogelvlucht) die effectief tussen het eind- en beginpunt ligt.

Een appel valt recht naar beneden. De lengte van de baan is even groot als het hoogteverschil.

De effectieve afstand tussen Leuven en Antwerpen (43 km) is een stuk korter dan de weg die je moet afleggen (50 km).

instructiefilmpje: kopstaartmethode

©VANIN

Een zwemmer zwemt 100 m in een olympisch zwembad van 50 m. Hij komt op hetzelfde punt aan en heeft zich dus strikt genomen niet verplaatst.

Voor een systeem dat een rechtlijnige beweging uitvoert, verandert de positie x volgens een rechte as. Die positieverandering wordt beschreven met twee grootheden: de verplaatsing en de afgelegde weg.

1 Verplaatsing

De vectoriële grootheid verplaatsing is gedefinieerd als ∆r = reind – rbegin Voor een rechtlijnige beweging kun je dat als volgt schrijven:

∆r = reind – rbegin

= reind, x · e x – rbegin, x · e x = (reind, x – rbegin, x) · e x

= (xeind – xbegin) · e x

= ∆x · e x

De verplaatsingscomponent ∆x = xeind – xbegin geeft de verplaatsing in de x-richting weer. Dat is een positief getal als het systeem volgens de x-as beweegt (xeind > xbegin), en een negatief getal als het systeem tegengesteld aan de x-as beweegt (xeind < xbegin). Als het eindpunt samenvalt met het beginpunt (xeind = xbegin), is de verplaatsing nul. De SI-eenheid is meter.

De verplaatsingsvector ∆r is gedefinieerd als een vector met deze kenmerken:

• aangrijpingspunt: de beginpositie rbegin;

• richting: volgens de as door de aangrijpingspunten van rbegin en reind;

• zin: volgens de bewegingszin (van de beginpositie rbegin naar de eindpositie reind), aangegeven door de pijlpunt;

• grootte Δr: aangegeven door de lengte van de pijl. Voor bewegingen in één dimensie met de as gekozen volgens de bewegingsrichting vereenvoudigt dat zich tot de absolute waarde van de verplaatsingscomponent (|Δx|).

TIP

Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector en het tegengestelde van de tweede vector. Voor de verplaatsing wordt dat:

Δr = reind – rbegin = reind + (–rbegin)

In het instructiefilmpje zie je hoe je de vector construeert met de kop-staartmethode.

2 Afgelegde weg

De scalaire grootheid afgelegde weg, gedefinieerd als Δs, geeft de lengte van de baan weer. Het is altijd een positief getal, dat toeneemt zodra het systeem beweegt. Het is de afstand die je opmeet met een kilometerteller. De SI-eenheid is meter.

VOORBEELD VERPLAATSING EN AFGELEGDE WEG VAN EEN PIZZABEZORGER

Een pizzabezorger levert 3,5 km verderop een pizza en keert daarna terug. Je kunt de verplaatsing en afgelegde weg bepalen voor verschillende delen van zijn rit.

PIZZERIA

©VANIN

Je beschrijft de positieverandering van een rechtlijnige beweging aan de hand van twee grootheden (met als SI-eenheid meter):

• verplaatsing∆r: vector van positie rbegin tot positie reind, met als verplaatsingscomponent ∆x:

∆r = ∆x · e x = (xeind – xbegin) · e x

• afgelegde weg Δs: scalar die de lengte van de baan weergeeft

xvolledig = xeind

volgens de x-as bewegen

s > 0

aan de x-as bewegen

xbegin xeind

x < 0

s > 0

Een andere eenheid die vaak gebruikt wordt voor afgelegde weg, is kilometer.

CONCEPTVRAAG

Bepaal de verplaatsing en de afgelegde weg voor de drie afbeeldingen op p. 16.

Een tijdsinterval is een tijdsperiode tussen twee momenten in de tijd.

3

3.1 Gemiddelde snelheid

A Gemiddelde snelheid berekenen

Bij een beweging speelt niet enkel de positieverandering een rol, maar ook de tijd waarin die gebeurt.

De sprinter die honderd meter in de kortste tijd aflegt, wint.

Met de TGV ben je vanuit Brussel sneller in Parijs dan met de auto.

©VANIN

Het licht van de zon heeft ruim acht minuten nodig om de aarde te bereiken.

Bij een beweging verandert de positie van een systeem (ten opzichte van een referentiepunt) in functie van de tijd. In het tijdsinterval tussen de tijdstippen tbegin en teind is er een tijdsduur verstreken. De grootheid tijdsduur Δt = teind – tbegin is een scalaire grootheid. De SI-eenheid is seconde.

Bij een rechtlijnige beweging beweegt het systeem langs een rechte baan tussen de posities xbegin en xeind in een tijdsduur Δt.

De gemiddelde snelheid wordt gedefinieerd als de verhouding van de verplaatsing tot de tijdsduur ∆r ∆t . Voor een rechtlijnige beweging is de gemiddelde snelheidscomponent <v x > gedefinieerd als de verhouding van de verplaatsingscomponent Δx tot de tijdsduur Δt:

<v x > = ∆x ∆t

De tijdsduur Δt is altijd positief. Het teken van de snelheidscomponent <v x > = ∆x ∆t wordt dus bepaald door het teken van de verplaatsingscomponent Δx. De gemiddelde snelheid is positief als het systeem volgens de x-as beweegt (Δx > 0), en negatief als het systeem tegengesteld aan de x-as beweegt (Δx < 0). Als het eindpunt samenvalt met het beginpunt (Δx = 0), is de gemiddelde snelheid nul.

GROOTHEID MET SYMBOOL

gemiddelde snelheidscomponent <v x > = ∆x ∆t

EENHEID MET SYMBOOL

[<vx>] = m s vaak gebruikt: km h

De pizzabezorger doet er 6,0 min over om een pizza af te leveren bij een huis op 3,5 km van de pizzeria. Tijdens de terugrit moet hij 1,0 min wachten bij het verkeerslicht. Bepaal de gemiddelde snelheidscomponent (in km h en m s ) tijdens de heenrit, de terugrit en de volledige rit.

Gegeven:

• xhuis = 3,5 km

• xpizzeria = 0 km

• Δtheen = 6,0 min

• Δtlicht = 1,0 min

Gevraagd:

• <vx, heen> = ?

• <v x, terug> = ?

• <vx, volledig> = ?

Oplossing: Je kunt voor elk deel van de rit de gemiddelde snelheidscomponent als volgt berekenen:

<v x > = ∆x ∆t

Aangezien het om een alledaagse beweging gaat, druk je de snelheid uit in km h . Je kunt die omzetten naar m s door te delen door 3,6.

• Heenrit (pizzeria huis):

<vx, heen> = ∆xheen ∆theen = xhuis –

• Terugrit (huis pizzeria):

<v x, terug > = ∆xterug ∆tterug = xpizzeria – xhuis (∆theen + ∆tlicht) = 0 km – 3,5 km 7,0 min = –3,5 km 0,12 h = –30 km h = –8,3 m s

• Volledige rit (pizzeria pizzeria):

<vx, volledig> = ∆xterug ∆tvolledig = xpizzeria – xpizzeria (∆theen + ∆tterug) = 0 km h = 0 m s

©VANIN

De omzettingsfactor tussen km h en m s vind je door kilometer en uur om te zetten in meter en seconde (of omgekeerd).

• Omzetting m s naar km h : 1 m s = 1 m 1 s = 3 600 m 3 600 s = 3,6 km 1 h = 3,6 km h

• Omzetting km h naar m s : 1 km h = 1 km 1 h = 1 000 m 3 600 s = 1 m 3,6 s = 1 3,6 m s

TIP 1,0 m s 3,6 km h ∙ 1 3,6 ∙ 3,6

Reflectie: Klopt de grootte van de getalwaarde? Ja, 30 tot 40 km h is een normale waarde voor een bromfiets.

CONCEPTVRAAG

Hoe groot is v gem  = ∆s ∆t voor elk deel van de rit van de pizzabezorger?

In het dagelijks leven geeft men meestal een andere invulling aan (gemiddelde) snelheid, namelijk als de verhouding van de afgelegde weg gedeeld door de tijdsduur: v gem  = ∆s ∆t Dat is altijd een positief getal.

Voor rechtlijnige bewegingen volgens de zin van de x-as is de gemiddelde snelheid uit de fysica hetzelfde als de gemiddelde snelheid in het dagelijks leven. Voor andere bewegingen verschilt dat.

In het Engels is er een taalkundig onderscheid: v gem  = ∆s ∆t wordt speed genoemd.

<v x > = ∆x ∆t  is velocity

©VANIN

B Gemiddelde snelheid aflezen op een x(t)-grafiek

Je kunt de gemiddelde snelheidscomponent <vx> voor een gekozen tijdsinterval aflezen op een x(t)-grafiek door de verplaatsingscomponent Δx en de tijdsduur Δt aan te duiden. De gemiddelde snelheidscomponent is de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn tussen de punten (tbegin, xbegin) en (teind, xeind). Dat is de schuine zijde van de driehoek die ontstaat.

VOORBEELD GEMIDDELDE SNELHEID VAN ROCKY DE HOND

Op de x(t)-grafiek lees je de verplaatsing en de tijdsduur van de vertraging af:

• Δx = 0,86 m – 0 m = 0,86 m

• Δt = 2,15 s – 0 s = 2,15 s

De gemiddelde snelheidscomponent is dan: <v x > =

x

t  = 0,86 m 2,15 s = 0,40 m s Dat komt overeen met de richtingscoëfficiënt van de rode lijn.

x(t)-grafiek Rocky beweging naar rechts

( teind , xeind )

( tbegin , xbegin) Δt Δx stilstand

▲ Grafiek 1

CONCEPTVRAAG

Bepaal de gemiddelde snelheidscomponent van het deel waar Rocky stilstaat, en van de totale beweging.

De gemiddelde snelheidscomponent van een rechtlijnige beweging is gedefinieerd als <v x > = ∆x ∆t . De SI-eenheid is meter per seconde

De gemiddelde snelheidscomponent is positief voor een beweging volgens de x-as en negatief voor een beweging tegengesteld aan de x-as. Op een x(t)-grafiek is de gemiddelde snelheidscomponent de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn tussen de punten (tbegin, xbegin) en (teind, xeind).

3.2 Ogenblikkelijke snelheid

De gemiddelde snelheid geeft je informatie over de snelheid in een (lang) tijdsinterval.

Je hebt daarbij geen informatie over de snelheid op elk moment van dat interval.

Een bestuurder wordt niet geflitst bij de trajectcontrole op de autosnelweg (max. 120 km h ): zijn gemiddelde snelheid is 115 km h . Tijdens het inhalen had hij een ogenblikkelijke snelheid van 140 km h .

De gemiddelde snelheid tijdens een Tourrit is 48 km h . Wanneer de renners een col beklimmen, zakt de ogenblikkelijke snelheid tot 20 km h

Na een rondje joggen is je gemiddelde snelheid 0 km h . Je smartwatch toont een topsnelheid van 11 km h .

Om een beweging in detail te bespreken, moet je de snelheid op elk moment kennen. Je kunt de ogenblikkelijke snelheid op een tijdstip t berekenen door de gemiddelde snelheid te bepalen voor een heel kleine tijdsduur (Δt 0).

Wiskundig betekent dat dat je de afgeleide van de plaatsfunctie naar de tijd neemt. Voor een rechtlijnige beweging kun je de getalcomponent vx(t) van de ogenblikkelijke snelheid op een tijdstip t als volgt berekenen:

vx(t) = lim

Δt 0

∆x(t)

∆t = dx(t) dt

©VANIN

De ogenblikkelijke snelheid v(t) op een tijdstip t is een vectoriële grootheid, die je voor een rechtlijnige beweging kunt noteren door de ogenblikkelijke snelheidscomponent te vermenigvuldigen met de eenheidsvector e x :

v(t) = dr (t)

dt = dx(t) dt · e x = vx(t) · e x

Het voorschrift van de trendlijn wordt door een computer gegenereerd en geeft geen eenheden weer. In de plaatsfunctie worden de eenheden (meestal) wel toegevoegd.

Op de x(t)-grafiek bepaal je de ogenblikkelijke snelheidscomponent als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme voor het punt (t, x). Als je het voorschrift van de plaatsfunctie (= functievoorschrift van de x(t)-grafiek) kent, kun je de afgeleide berekenen. Je bekomt dan de snelheidsfunctie (= functievoorschrift van een vx(t)-grafiek). Door het gekozen tijdstip in te vullen, ken je de ogenblikkelijke snelheidscomponent op dat tijdstip.

VOORBEELD OGENBLIKKELIJKE SNELHEID VAN ROCKY DE HOND

Je kunt de ogenblikkelijke snelheidscomponent van Rocky bepalen op verschillende tijdstippen tijdens het afremmen, bijvoorbeeld bij het vertrek (t = 0 s), bij 1,0 s en bij 2,0 s.

Voor dezelfde kleine tijdsduur Δt neemt de verplaatsing af (Δx2 < Δx1 < Δx0).

De richtingscoëfficiënten van de raaklijnen (rode lijnen) aan de x(t)-grafiek nemen af.

Daaruit kun je besluiten dat de ogenblikkelijke snelheidscomponent afneemt. Je kunt dat ook met berekeningen bepalen uit het voorschrift van de trendlijn door de grafiek. De plaatsfunctie heeft als functievoorschrift x(t) = 0,70 m s · t – 0,14 m s2 · t2

Daarmee bereken je de snelheidsfunctie: vx(t) = dx(t) dt = 0,70 m s – 0,28 m s2 · t

Op de drie tijdstippen bekom je als ogenblikkelijke snelheid:

• vx(0) = 0,70 m s – 0,28 m s2 · 0 s = 0,70 m s

• vx(1,00 s) = 0,70 m s – 0,28 m s2 · 1,00 s = 0,42 m s

• vx(2,00 s) = 0,70 m s – 0,28 m s2 · 2,00 s = 0,14 m s

x (m)

©VANIN

x(t)-grafiek Rocky

beweging naar rechts

In de praktijk wordt de ogenblikkelijke snelheid dikwijls kortweg de snelheid genoemd en, als er geen twijfel is over het tijdstip, genoteerd als v (eventueel met een index).

De ogenblikkelijke snelheidsvector v heeft deze kenmerken:

• aangrijpingspunt: het massapunt;

• richting: volgens de bewegingsrichting;

• zin: volgens de bewegingszin, aangegeven door de pijlpunt;

• grootte v: is in één dimensie de absolute waarde van de snelheidscomponent (|vx|), aangegeven door de lengte van de pijl. In het dagelijks leven lees je de grootte van de snelheid af op een snelheidsmeter of bereken je de snelheid voor een kleine tijdsduur Δt.

ogenblikkelijke snelheid

vaak gebruikt: km h

VOORBEELD SNELHEIDSVECTOREN VAN DE PIZZABEZORGER

De pizzabezorger rijdt met verschillende (ogenblikkelijke) snelheden tijdens zijn rit. Je kunt de snelheid voor elk tijdstip voorstellen met een snelheidsvector.

Topsnelheid tijdens heenrit v1

40 km h

AANGRIJPINGSPUNT

Lagere snelheid door hinder van fietsers tijdens heenrit v2

Topsnelheid tijdens terugrit v3

massapuntmassapuntmassapunt

RICHTING horizontaalhorizontaalhorizontaal

ZIN naar rechtsnaar rechtsnaar links

GROOTTE 40 km h 25 km h 40 km h

NOTATIE v1 v2 v3

SNELHEIDSCOMPONENT (x-AS NAAR RECHTS GEKOZEN) v1x = 40 km h v2x = 25 km h v3x = –40 km h

SNELHEIDSVECTOR (x-AS NAAR RECHTS GEKOZEN)

CONCEPTVRAGEN

1 Stel de beweging van Rocky voor met massapunten en snelheidsvectoren op de drie tijdstippen: bij het vertrek (t = 0 s), bij 1,0 s en bij 2,0 s. 0 1,00 m x (m)

©VANIN

2 Bepaal de plaatsfunctie, de snelheidsfunctie en de ogenblikkelijke snelheid na 3,00 s voor het deel waar Rocky stilstaat.

3 Kijk opnieuw naar de demo op p. 15. Voorspel voor elke x(t)-grafiek de bijbehorende vx(t)-grafiek. Controleer met het computerprogramma (van de sensor).

De ogenblikkelijke snelheid van een rechtlijnige beweging wordt als volgt gedefinieerd:

v(t) = dx(t) dt · e x = vx(t) · e x

Op een x(t)-grafiek is de ogenblikkelijke snelheidscomponent de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme in het punt (t, x).

traag bewegen volgens de x-as

v(t) = vx(t) · e x met vx(t) > 0

snel (|v’x(t)| > |vx(t)|) bewegen, tegengesteld aan de x-as

v’ e x 0

v’(t) = v’x(t) · e x met v’x(t) < 0

4 Hoe bepaal je de versnelling van een systeem?

4.1 Versnelling

Bij de meeste bewegingen is de snelheid niet constant. De grootte, de richting of de zin van de snelheidsvector v verandert tijdens de beweging. Er is een verandering van bewegingstoestand Zulke bewegingen zijn versnelde bewegingen.

▲ Afb. 20 ▲ Afb. 21 ▲ Afb. 22

De snelheidsgrootte neemt toe na het startschot.

De snelheid verandert van richting in de bocht. De snelheidsgrootte neemt af na de finish.

Je kunt informatie over de snelheidsverandering bij een rechtlijnige beweging rechtstreeks afleiden uit de opeenvolgende posities van de massapunten.

1 Versnelling: de opeenvolgende posities van de massapunten liggen steeds verder uit elkaar.

2 Constante snelheid: de opeenvolgende posities van de puntmassa’s liggen op gelijke afstand van elkaar.

3 Vertraging: de opeenvolgende posities van de massapunten liggen steeds dichter bij elkaar.

VOORBEELD DEELBEWEGINGEN VAN DE BUS

Uit de afstand van de massapunten leid je drie deelbewegingen van de bus af. x (m) 1 versnelling 3 vertraging 2 constante snelheid 0

▲ Afb. 23 Voorstelling van de drie deelbewegingen van de bus

• De bus versnelt bij het vertrek aan het zebrapad.

• De bus rijdt een stukje met een constante snelheid.

• De bus vertraagt voor de bushalte.

©VANIN

Bij een versnelde beweging verandert de snelheid v. Voor een rechtlijnige versnelde beweging verandert de snelheidsgrootte v

Een versnelde beweging is een beweging waarbij de snelheidsvector v verandert.

Bekijk het voorbeeldvraagstuk op .

4.2 Gemiddelde versnelling

A Gemiddelde versnelling berekenen

Bij een veranderlijke beweging verandert de (ogenblikkelijke) snelheid van een systeem in functie van de tijd. In een tijdsduur Δt verandert de snelheid van het systeem van de snelheid vbegin tot veind

De gemiddelde versnelling wordt gedefinieerd als de verhouding van de snelheidsverandering tot de tijdsduur Δv Δt

Voor een rechtlijnige beweging wordt de gemiddelde versnellingscomponent <a x > gedefinieerd als de verhouding van de getalcomponent van de snelheidsverandering Δv x  = vx, begin – vx, eind tot de tijdsduur Δt: <a x > = Δv x Δt .

GROOTHEID MET SYMBOOL

©VANIN

SI-EENHEID MET SYMBOOL gemiddelde versnellingscomponent <a x > = Δv x Δt [<ax>] = m s2

In het dagelijks leven gebruik je de begrippen ‘versnellen’ en ‘vertragen’. Om een beweging wetenschappelijk te beschrijven, gebruik je echter alleen de grootheid versnelling. De grootheid vertraging bestaat niet.

Voor een rechtlijnige beweging zijn er drie mogelijke bewegingen:

• ‘Versnellen’ betekent: de snelheidsgrootte neemt toe.

• ‘Vertragen’ betekent: de snelheidsgrootte neemt af.

• ‘Bewegen met een constante snelheid’ betekent: de snelheidsgrootte blijft gelijk.

Om de versnelling te berekenen, moet je de snelheidsverandering altijd in de SI-eenheid m s uitdrukken. De eenheid van versnelling is dan m s2 .

VOORBEELD POSITIEVE EN NEGATIEVE VERSNELLING

Een bus rijdt naar links. De x-as is naar links gekozen (positieve snelheidscomponenten vx).

• Een positieve gemiddelde versnellingscomponent <a x > = 2 m s2  betekent dat de snelheid van de bus toeneemt met 2 m s in een tijdsduur van 1 s. Als hij vertrekt, bereikt hij na 5 s een snelheid van 10 m s .

• Een negatieve gemiddelde versnellingscomponent <a x > = –2 m s2  betekent dat de snelheid van de bus afneemt met 2 m s in 1 s. Als hij met een snelheid van 10 m s rijdt, staat hij na 5 s stil.

B Gemiddelde versnelling aflezen op een vx(t)-grafiek

Om de gemiddelde versnellingscomponent af te lezen, stel je de beweging voor op een vx(t)-grafiek. Je bepaalt daarvoor de ogenblikkelijke snelheidscomponent v x van het systeem voor elk tijdstip t

Je kunt <a x > =  Δv x Δt voor een gekozen tijdsinterval aflezen op een vx(t)-grafiek door de snelheidsverandering Δv x en de tijdsduur Δt aan te duiden. De gemiddelde versnellingscomponent is de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn tussen de punten (tbegin, vx, begin) en (teind, vx, eind).

Dat is de schuine zijde van de driehoek die ontstaat.

VOORBEELD GEMIDDELDE VERSNELLING VAN ROCKY DE HOND

In de animatie zie je hoe de verschillende ogenblikkelijke snelheden van Rocky overeenstemmen met de punten op de vx(t)-grafiek. Op de vx(t)-grafiek lees je de snelheidsverandering en de tijdsduur van de vertraging af:

• ∆v x = 0 m s – 0,70 m s = –0,70 m s

• Δt = 2,15 s – 0 s = 2,15 s

De gemiddelde versnellingscomponent is dan: <a x > =

m s 2,15 s = –0,33 m s2 .

Dat komt overeen met de richtingscoëfficiënt van de rode lijn. Het minteken wijst erop dat Rocky vertraagt (en de x-as volgens de bewegingszin gekozen is).

Grafiek 3

CONCEPTVRAAG

Bepaal de gemiddelde versnellingscomponent van het deel waar Rocky stilstaat, en van de totale beweging.

De gemiddelde versnellingscomponent van een rechtlijnige beweging wordt gedefinieerd als <a x > =  Δv x Δt . De SI-eenheid is meter per seconde in het kwadraat ( m s2 ).

Voor een beweging in de richting en zin van de x-as is de gemiddelde versnellingscomponent positief bij een versnelling en negatief bij een vertraging. Op een vx(t)-grafiek is de gemiddelde versnellingscomponent de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn tussen de punten (tbegin, vx, begin) en (teind, vx, eind)

©VANIN

4.3 Ogenblikkelijke versnelling

De gemiddelde versnelling geeft je informatie over de versnelling in een (lang) tijdsinterval.

Je hebt daarbij geen informatie over de versnelling op elk moment van dat interval.

Het moment dat het licht op groen springt, verandert de versnelling van de voetganger.

Een lift vertraagt bij aankomst en versnelt wanneer hij vertrekt aan elke verdieping.

©VANIN

Een vliegtuig remt sterker af net na de landing dan net voor de landing.

Om een beweging in detail te bespreken, moet je de versnelling op elk moment kennen. Je kunt de ogenblikkelijke versnelling op een tijdstip t berekenen door de gemiddelde versnelling te bepalen voor een heel kleine tijdsduur (Δt  0).

Wiskundig betekent dat dat je de afgeleide van de snelheidsfunctie naar de tijd neemt. Voor een rechtlijnige beweging kun je de ogenblikkelijke versnellingscomponent ax(t) op een tijdstip t als volgt berekenen:

Δt 0

ax(t) = lim Δvx(t) Δt = dvx(t) dt

De ogenblikkelijke versnelling a(t) op een tijdstip t is een vectoriële grootheid, die je voor een rechtlijnige beweging bekomt door de ogenblikkelijke versnellingscomponent te vermenigvuldigen met de eenheidsvector e x :

a(t) = dv(t) dt = dvx(t) dt · e x = ax(t) · e x

Op de vx(t)-grafiek bepaal je de ogenblikkelijke versnellingscomponent als de raaklijn aan de kromme voor het punt (t, vx). Als je het voorschrift van de snelheidsfunctie (= functievoorschrift van de vx(t)-grafiek) kent, kun je de afgeleide berekenen. Je bekomt dan de versnellingsfunctie (= functievoorschrift van een ax(t)-grafiek). Door het gekozen tijdstip in te vullen, ken je dan de ogenblikkelijke versnelling op dat tijdstip.

VOORBEELD

Je kunt voor de vertraging de ogenblikkelijke versnellingscomponent van Rocky bepalen op verschillende tijdstippen door de vx(t)-grafiek te bestuderen, bijvoorbeeld bij het vertrek (t = 0 s), bij 1,0 s en bij 2,0 s.

Voor dezelfde kleine tijdsduur Δt is de snelheidsverandering constant (∆vx2 = ∆vx1 = ∆vx0).

De richtingscoëfficiënten van de raaklijnen (rode lijnen) aan de vx(t)-grafiek zijn gelijk.

Daaruit kun je besluiten dat de ogenblikkelijke versnelling constant is.

Je kunt dat ook met berekeningen bepalen. De snelheidsfunctie is het voorschrift van de trendlijn door de grafiek met als voorschrift vx(t) = 0,70 m s – 0,28 m s2 · t. Daarmee bepaal je de versnellingsfunctie ax(t) = dvx(t) dt = –0,28 m s2 . Voor Rocky is de versnelling onafhankelijk van de tijd.

Op de drie tijdstippen bekom je een gelijke ogenblikkelijke versnellingscomponent: ax(0) = ax(1,00 s) = ax(2,00 s) = –0,28 m s2

Het minteken wijst op een vertraging volgens de zin van de x-as.

Grafiek 4

CONCEPTVRAAG

Bepaal de ogenblikkelijke versnellingscomponent na 3,00 s voor het deel waar Rocky stilstaat.

In de praktijk wordt de ogenblikkelijke versnelling dikwijls kortweg de versnelling genoemd en, als er geen twijfel is over het tijdstip, genoteerd als a (eventueel met een index).

©VANIN

De versnellingsvector a heeft deze kenmerken:

• aangrijpingspunt: het massapunt;

• richting: volgens de x-as;

• zin: aangegeven door de pijlpunt:

– versnelling: zelfde zin als de snelheid op dat moment; v x en a x hebben hetzelfde teken;

– vertraging: tegengestelde zin als de snelheid op dat moment; v x en a x hebben een tegengesteld teken;

• grootte a: de absolute waarde van de versnellingscomponent (|ax|), aangegeven door de lengte van de pijl.

GROOTHEID MET SYMBOOL SI-EENHEID MET SYMBOOL ogenblikkelijke versnelling(svector) a(t) = ax(t) · e x = dvx(t) dt · e x [ax(t)] = m s2

VOORBEELD VERSNELLINGSVECTOR VAN DE PIZZABEZORGER

De pizzabezorger versnelt en vertraagt zowel tijdens de heen- als tijdens de terugrit.

Zijn ogenblikkelijke versnelling verschilt in grootte, maar ook in teken.

1 Hij vertrekt aan de pizzeria tijdens de heenrit.

De snelheid is gericht volgens de x-as en neemt toe:

• De versnellingsvector a heeft dezelfde zin als de snelheidsvector v.

• De snelheidscomponent v x en de versnellingscomponent a x zijn positief.

x > 0 en v x > 0, dus versnelling

©VANIN

2 Hij stopt aan het huis tijdens de heenrit.

De snelheid is gericht volgens de x-as en neemt af:

• De versnellingsvector a heeft een tegengestelde zin als de snelheidsvector v

• De snelheidscomponent v x is positief en de versnellingscomponent a x is negatief.

3 Hij vertrekt op zijn gemak aan het huis tijdens de terugrit.

De snelheid is gericht tegen de x-as in en neemt langzaam toe:

• De versnellingsvector a heeft dezelfde zin als de snelheidsvector v

• De snelheidscomponent v x en de versnellingscomponent a x zijn negatief. a = a x

4 Hij remt heel bruusk voor het rode licht tijdens de terugrit.

De snelheid is gericht tegen de x-as in en neemt sterk af.

• De versnellingsvector a heeft een tegengestelde zin als de snelheidsvector v

• De snelheidscomponent v x is negatief en de versnellingscomponent a x is positief. a = a

x < 0 en v x > 0, dus vertraging a x < 0 en v x < 0, dus versnelling a x > 0 en v x < 0, dus vertraging

CONCEPTVRAAG

Voeg voor de beweging van Rocky versnellingsvectoren toe op de drie tijdstippen. Werk verder op de conceptvraag van p. 29.

De ogenblikkelijke versnelling van een rechtlijnige beweging is een vector gedefinieerd als:

a(t) = ax(t) · e x = dvx(t) dt · e x

Op een vx(t)-grafiek is de ogenblikkelijke versnellingscomponent de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme in het punt (t, vx).

versnellen (a en v hebben dezelfde zin) volgens de x-as

vbegin veind a x

a(t) = ax(t) · e x met ax(t) > 0 (en vx(t) > 0)

vertragen (a en v hebben een tegengestelde zin) volgens de x-as

vbegin veind a x

a(t) = ax(t) · e x met ax(t) < 0 (en vx(t) > 0)

©VANIN

REEKS

Wie heeft gelijk?

Verklaar je keuze.

Arlo: De tram rijdt, dus we bewegen. Thijs: Stop de discussie. Jullie hebben alle drie gelijk.

Luana: De tram naast ons rijdt. Wij bewegen niet.

We zitten neer, dus we bewegen niet.

Er zit een brief verkeerd gesorteerd in de postzak.

De postbode moet dus terugfietsen.

Hij steekt achtereenvolgens een brief in brievenbus A, B, C en D.

0 10 20 A CB D 30 40 50 60 70 80 90 100 x (m)

a Teken de baan van de postbode en bepaal de afgelegde weg vanaf zijn vertrekpunt (oorsprong x-as).

b Teken de verplaatsingsvector van de postbode en bepaal de verplaatsing Δx vanaf zijn vertrekpunt tot zijn eindpunt.

c Noteer de verplaatsingsvector met de eenheidsvector.

d Herhaal vraag a-c vanaf brievenbus A.

Maak de uitspraken correct door ze te vervolledigen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’.

Bestudeer deze bewegingen.

1 Ellie stapt een tijdje met een constante snelheid vooruit. Daarna versnelt ze.

2 Asmaa staat een tijdje stil, versnelt tot ze halfweg is, en loopt dan met een constante snelheid verder tot het eindpunt.

3 Light loopt een tijdje met een constante snelheid en vertraagt dan tot stilstand. Hij rust eventjes uit en versnelt dan weer.

©VANIN

a Een beweging is rechtlijnig.

b Een rechtlijnige beweging verloopt in één richting.

c Een rechtlijnige beweging verloopt in één zin.

d Een rechtlijnige beweging verloopt langs een schuine helling.

e De afgelegde weg is korter dan de grootte van de verplaatsing.

f De afgelegde weg is langer dan de grootte van de verplaatsing.

g Voor een rechtlijnige beweging in één zin is de grootte van de verplaatsing even lang als de afgelegde weg.

Stel de bewegingen voor op:

a een x(t)-grafiek;

b een x-as.

Je gooit een steentje vanuit het raam van je kamer verticaal omhoog.

De positie is weergegeven op de x(t)-grafiek.

x (m)

x(t)-grafiek

a Beschrijf de baan die het steentje volgt.

b Bepaal het tijdstip en de positie van vier punten.

1 het vertrek

2 het hoogste punt

3 Het steentje passeert voorbij het raam.

4 de landing op de grond

c Bepaal de afgelegde weg.

d Noteer de verplaatsingsvector (met behulp van de eenheidsvector) vanaf het moment dat je het steentje omhoog gooit, tot elk van de vier punten.

Nafi Thiam loopt 800 m in 2 min 15 s.

Bereken haar gemiddelde snelheid in m s en km h

Een loper loopt met een gemiddelde snelheid van 16 km h . Hoelang doet hij over 200 m?

Fay:

Bestudeer de grafiek van de wandeling van Noa en Suze.

Bestudeer deze bewegingen en rangschik de versnellingen van klein naar groot.

a Een fietser vertrekt vanuit rust en versnelt naar 5,6 m s in 10,3 s.

b Een wandelaar versnelt van 2,4 m s naar 3,0 m s in 3,0 s.

c Een auto remt van 30 km h tot stilstand in 4,1 s.

d Een vrachtwagen remt van 60 km h  tot 20 km h in 5,2 s.

e Een raket wordt gelanceerd met een versnelling van 30 m s2

f Een vliegtuig remt af op de landingsbaan van 280 km h tot stilstand in 38 s.

Bestudeer de krantenkop.

Zijn deze uitspraken juist of fout? Verklaar.

a Noa en Suze hebben dezelfde gemiddelde snelheid.

b Noa heeft op elk tijdstip een lagere snelheid dan Suze.

c De gemiddelde snelheid van Suze is even groot als haar ogenblikkelijke snelheid op elk tijdstip.

d Noa bereikt op het einde zijn grootste ogenblikkelijke snelheid.

Bestudeer de x(t)-grafiek van een wandelaar.

Welke fouten zijn er ingeslopen?

Dit is de snelste Ferrari aller tijden: in 2,9 seconden naar 100 km/u

Naar: hln.be, 10/11/18

Na het startschot heeft een sprinter een gemiddelde versnelling van 4,4 m s2 gedurende 2,7 s. Welke snelheid bereikt de sprinter?

Noteer in m s en km h .

Een racewagen met een snelheid van 350 km h crasht en ondervindt daarbij een gemiddelde versnelling van –420 m s2 . In welke tijd komt de wagen tot stilstand?

Welke ax(t)-grafiek stemt overeen met de gegeven vx(t)-grafiek?

a Beschrijf de beweging in woorden.

b Bepaal voor het volledige traject: 1 de afgelegde weg; 2 de verplaatsingscomponent; 3 de gemiddelde snelheidscomponent.

c Maak de bijbehorende vx(t)-grafiek.

REEKS

Een vrachtwagen rijdt een halfuur met een snelheid van 100 km h op de autosnelweg. Door wegenwerken moet hij vertragen en rijdt hij een kwartier met 50 km h . Bereken zijn gemiddelde snelheid.

Bestudeer de x(t)-grafiek van een kind.

Bestudeer de x(t)-grafiek van een wielrenner die een korte sprint maakt vanuit stilstand.

a Bepaal indien mogelijk:

1 een tijdstip waarop het kind stilstaat;

2 een tijdstip waarop het kind achteruitloopt;

3 een tijdstip waarop het kind een negatieve verplaatsing heeft ten opzichte van het beginpunt;

4 een tijdsinterval waarvoor de gemiddelde snelheid nul is.

b Rangschik de ogenblikkelijke snelheid v x op de aangegeven tijdstippen van klein naar groot.

Herbekijk de x(t)-grafiek van het steentje en de vier punten uit oefening 5.

a Bepaal zonder berekeningen:

1 het tijdsinterval met begintijd 0 s waarvoor de gemiddelde snelheid nul is;

2 het punt waarvoor de ogenblikkelijke snelheid nul is;

3 de punten waarvoor de grootte van de ogenblikkelijke snelheid gelijk is;

b Bepaal de ogenblikkelijke snelheidscomponent v x voor de vier punten:

1 aan de hand van de grafiek;

2 aan de hand van de plaatsfunctie:

x(t) = 8,0 m + 18 m s · t – 5,0 m s2 · t2 .

c Vergelijk de resultaten uit vraag b.

Wat is het meest nauwkeurig?

Verklaar het verschil.

d Teken de snelheidsvectoren voor de punten (op schaal).

a Beschrijf de weergegeven beweging.

b Bepaal voor de sprint:

1 de totale duur;

2 de gemiddelde snelheid;

3 de grootte van de topsnelheid.

c Stel de beweging voor op een x-as.

©VANIN

1 Teken massapunten om de seconde.

2 Teken snelheidsvectoren om de drie seconden.

Bestudeer de vx(t)-grafiek van een auto.

a Geef indien mogelijk een tijdstip waarop:

1 de auto stilstaat;

2 de auto achteruitrijdt;

3 de auto vertraagt;

4 de auto een constante snelheid heeft.

b Rangschik de ogenblikkelijke versnelling a x op de aangegeven tijdstippen van klein naar groot.

Een rij auto’s staat achter elkaar te wachten voor het rode licht.

Welke stelling(en) is/zijn correct twee seconden nadat het groen wordt?

a Alle auto’s hebben dezelfde gemiddelde snelheid.

b Alle auto’s hebben dezelfde gemiddelde versnelling.

c De eerste auto in de rij heeft de grootste gemiddelde snelheid.

d De eerste auto in de rij heeft de grootste gemiddelde versnelling.

e Je kunt geen uitspraak doen, want je kent het type auto niet.

f Geen van de bovenstaande antwoorden is correct.

Kijk opnieuw naar het vallende steentje uit oefening 5 met als plaatsfunctie

x(t) = 8,0 m + 18 m s · t – 5,0 m s2 · t2 .

a Maak een vx(t)-grafiek.

b Bereken de ogenblikkelijke versnellingscomponenten voor de vier punten:

1 aan de hand van de grafiek;

2 aan de hand van de snelheidsfunctie.

c Hoe zal die versnellingscomponent veranderen als …

1 de x-as verschoven wordt, zodat x(0) = 0 m?

2 de x-as naar beneden gekozen wordt?

Een voorwerp beweegt op een horizontale baan.

De beweging wordt (op een x-as naar rechts) beschreven met deze plaatsfunctie:

x(t) = 4,0 m s · t – 4,0 m s2 · t2

a Bepaal de versnelling en de snelheid op t = 3,0 s.

Noteer de bijbehorende vectoren met eenheidsvectoren.

b Op welk tijdstip is de snelheid 4,0 m s naar links?

c Bestudeer de berekende waarden.

Bij welk voorwerp kan de plaatsfunctie horen?

Een wandelaar, een loper, een fietser, een auto, een vliegtuig …? Verklaar.

REEKS

Bestudeer de x(t)-grafiek van een parachutist die uit een vliegtuig op 4 km hoogte springt.

a Bepaal de hoogte waarop hij de parachute opent. Leg uit.

b Bepaal voor het deel zonder parachute:

1 de afgelegde weg; 2 de verplaatsingsvector; 3 de gemiddelde snelheid.

c Herhaal vraag b voor het deel met parachute en voor de volledige sprong.

d Bepaal de beginsnelheid en de topsnelheid van de parachutist.

Sofie rijdt met haar moto volgens deze plaatsfunctie:

xS(t) = 10 m – 12 m s · t + 6,0 m s2 · t2

Jayshri rijdt met haar scooter volgens deze plaatsfunctie:

xJ(t) = 4,0 m s · t + 2,0 · t2 (x-as naar rechts)

a Bepaal de beginsnelheid van Sofie en Jayshri.

b Waar ontmoeten ze elkaar?

c Wanneer kruisen ze elkaar?

Wanneer halen ze elkaar in?

Wie haalt wie in?

d Maak een x(t)-grafiek van de bewegingen. Controleer daarmee je antwoorden.

De positie van een voorwerp is gegeven door deze functie: r(t) = (A + B · t + C · t2) · e x met A, B en C constanten.

a Bepaal een uitdrukking voor de snelheid v(t) en de versnelling a(t).

b Bereken het tijdstip waarop de snelheid nul wordt.

c Onder welke voorwaarde kan de snelheid nul worden?

d Onder welke voorwaarde kan de versnelling nul worden?

` Meer oefenen? Ga naar .

VERSNELLING

GROOTHEIDSYMBOOLSI-EENHEID

SNELHEID

gemiddelde versnellingsc omponent

ogenblikke lijke versnelling(s vector)

GROOTHEIDSYMBOOLSI-EENHEID

m s

POSITIE

gemiddelde snelheidsc omponent < v x > =

GROOTHEIDSYMBOOLSI-EENHEID

Ogenblikkelijke versnellingscomponent op elk tijdstip: helling van de raaklijn aan kromme op de v x ( t )-grafiek

a x ( t )-grafiek: weergave van de ogenblikkelijke versnellingscomponent op elk tijdstip

• Horiz ontale as: tijdstip t is weergegeven vanaf gekozen startpunt

• V erticale as: ogenblikkelijke versnellingscomponent a x ( t ) is weergegeven

Versnellingsfunctie a x ( t ):

• V oorschrift van de trendlijn van de a x ( t )-grafiek

• Afgel eide van de snelheidsfunctie

©VANIN

positie r = x · e x [ r ] = m

ogenblikke lijke snelheid(s vector)

verplaatsingΔ r = r eind –r begin ( x eind –x begin ) · e x [Δ r ] = m

afgelegde weg Δ s [Δ s ] = m tijdstip t [ t ] = s tijdsduurΔ t = t eind –t begin [Δ t ] = s

Ogenblikkelijke snelheidscomponent op elk tijdstip: helling van de raaklijn aan kromme op de x ( t )-grafiek

v x ( t )-grafiek: weergave van de ogenblikkelijke snelheidscomponent op elk tijdstip

• Horiz ontale as: tijdstip t is weergegeven

vanaf gekozen startpunt

• V erticale as: ogenblikkelijke snelheidscomponent

v x ( t ) is weergegeven

x ( t )-grafiek: weergave van de positie op elk tijdstip

• Horiz ontale as: tijdstip  t is weergegeven vanaf gekozen startpunt

• V erticale as: positie x is weergegeven vanaf gekozen referentiepunt

v x ( t ):

Snelheidsfunctie

• V oorschrift van de trendlijn van de v x ( t )-grafiek

• Afgel eide van de plaatsfunctie

x ( t ): voorschrift van de trendlijn van de  x ( t )-grafiek

Plaatsfunctie

HOOFDSTUK 2

Kracht als oorzaak van snelheidsverandering

Als er krachten werken, kan de snelheid veranderen. Krachten kunnen je snelheid doen toenemen (de afstoot van een sprinter is bijvoorbeeld cruciaal om in beweging te komen) of afnemen (bijvoorbeeld als je op volle kracht met je fiets remt om te stoppen voor het verkeerslicht). Ook al kun je de krachten zelf niet zien, het effect van de krachten is wel merkbaar. Om de effecten te kunnen beschrijven, moet je nauwkeurig alle krachten in kaart brengen. Dat is de dynamica van systemen: de tak van de fysica die de inwerking van krachten op systemen bestudeert.

In dit hoofdstuk leer je de inwerkende krachten (voor dagelijkse bewegingen) kennen en voorstellen. Je bestudeert het verband tussen kracht en snelheidsverandering door de wetten van Newton toe te passen. Je bestudeert ook een aantal veelvoorkomende krachten: de zwaartekracht, het gewicht, de normaalkracht, de spankracht en de wrijvingskracht.

LEERDOELEN

M een krachtvector voorstellen en ontbinden in componenten

M de wetten van Newton omschrijven

M de krachten bij ondersteunde voorwerpen bepalen en voorstellen

M de wrijvingskracht omschrijven, voorstellen en berekenen

M de versnelling bepalen voor bewegingen waarin wrijvingskracht al dan niet een rol speelt

1 Hoe wordt een snelheidsverandering veroorzaakt?

A Krachtvector

Om een systeem van snelheid of vorm te laten veranderen, is er een kracht nodig. De kracht wordt uitgeoefend door een systeem op een ander systeem. De kracht die uitgeoefend wordt, kun je niet rechtstreeks zien. Alleen het effect van de kracht is zichtbaar.

Een persoon oefent een kracht uit op de band. Je ziet de inspanning, maar de duwkracht zie je niet.

Een kind beweegt op en neer door de zwaartekracht (uitgeoefend door de aarde) en de veerkracht (uitgeoefend door het elastiek).

Je kunt de uitgeoefende kracht voorstellen door de krachtvector F. Kracht is een vectoriële grootheid, die je kunt voorstellen met vier kenmerken:

• aangrijpingspunt: het punt van het voorwerp waar de kracht op inwerkt;

• richting: de oriëntatie van de rechte die je door de vector kunt tekenen;

• zin: de kant waarnaar de pijlpunt wijst;

• grootte: de getalwaarde van de kracht, aangegeven door de lengte van de pijl.

De krachtgrootte stel je voor met de letter F.

GROOTHEID MET SYMBOOL

SI-EENHEID MET SYMBOOL

kracht F newton [F] = N

De uitwerking van een kracht wordt bepaald door alle kenmerken van de krachtvector. Daarbij is ook de oriëntatie van de kracht ten opzichte van de baan belangrijk. Zo zal bijvoorbeeld op een helling de zwaartekracht een schuine beweging naar beneden veroorzaken, terwijl de zwaartekracht zelf verticaal gericht is.

©VANIN

Om de snelheidsverandering langs de helling te bestuderen, heb je de krachtcomponent langs de helling nodig. Je moet de kracht ontbinden in componenten. Meer algemeen moet je, om bewegingen te beschrijven, alle krachten die inwerken op het systeem, ontbinden in loodrechte componenten. Hoe je de richting en de zin van het assenstelsel en de corresponderende eenheidsvectoren kiest, hangt af van het systeem dat je bestudeert:

• Een x-y-assenstelsel: je kiest een assenstelsel waarvan de oriëntatie niet verandert tijdens de beweging. De x-as wordt (vaak) horizontaal gekozen, de y-as verticaal. Je ontbindt de (kracht)vector in een component F x en een component F y

• Een tangentieel-normaalassenstelsel (t-n-assenstelsel): je kiest een assenstelsel dat bepaald wordt door de baan en waarvan de oriëntatie kan veranderen tijdens de beweging. De t-as wordt rakend aan de baan gekozen, de n-as loodrecht op de baan. Je ontbindt de (kracht)vector in een tangentiële component F t en een normale component F n .

Voor eendimensionale (rechtlijnige) bewegingen kies je een x-y-assenstelsel met de x-as in de bewegingsrichting en -zin (zie hoofdstuk 1). De y-as kies je loodrecht op de bewegingsrichting. Dat betekent dat de x-as samenvalt met de tangentiële as en de y-as met de normaalas.

Je bekomt twee vectoren die loodrecht op elkaar staan (F x · e x ⊥ F y · ey), en je kunt de kracht schrijven als F = F x · e x + F y · e y . De krachtcomponenten F x en F y kunnen zowel nul, positief als negatief zijn.

OPLOSSINGSSTRATEGIE

Om de loodrechte krachtcomponenten te kennen, gebruik je de projectiemethode:

• Je kiest een assenstelsel: de x-as volgens de baan, de y-as loodrecht op de baan.

• Je projecteert de kracht op beide assen.

Je bekomt twee loodrechte vectoren en kunt de kracht noteren als F = F x · e x + F y · ey, waarbij de onderschriften verwijzen naar de as.

y F y

x · e x e x

x = F · cos

y = F · sin

• De grootte van de krachtcomponenten bereken je met de definities van cosinus en sinus. Het teken van de component wordt bepaald door de oriëntatie van de projectie ten opzichte van de eenheidsvector (positief bij een gelijke oriëntatie, negatief bij een tegengestelde oriëntatie).

Voor tweedimensionale bewegingen vallen het x-y-assenstelsel en het t-n-assenstelsel niet samen. Afhankelijk van de situatie moet je een geschikte keuze maken (zie hoofdstuk 4).

VOORBEELD LOODRECHTE KRACHTCOMPONENTEN BIJ EEN SLEE

Een slee komt in beweging doordat ze vooruit getrokken wordt op een horizontaal oppervlak of doordat ze naar beneden glijdt op een helling door de zwaartekracht. Beide krachten maken een hoek met de baan.

Je kunt de krachtcomponenten vinden met de projectiemethode.

TREKKRACHT Ftrek

ZWAARTEKRACHT F z

KEUZE VAN DE ASSEN x-as horizontaal naar rechts y-as verticaal naar boven

x-COMPONENT (TANGENTIEEL): VEROORZAAKT DE VERSNELLING

y-COMPONENT (NORMAAL)

NOTATIE MET EENHEIDSVECTOREN

CONCEPTVRAGEN

Bekijk de slee op de helling in het voorbeeld hierboven.

1 Wat betekent het minteken in F z, y = –F z · cos β?

x-as volgens de helling naar rechts y-as loodrecht op de helling naar boven

2 Is het met een andere keuze van x-y-as mogelijk dat F z, y = F z · cos β?

3 Is het met een andere keuze van x-y-as mogelijk dat F z, y = 0?

©VANIN

B Resulterende kracht

Op de meeste systemen werken meerdere krachten. Je kunt al die krachten optellen. De vectorsom noem je ook de resulterende kracht(vector) of resultante. De kenmerken van de resultante worden bepaald door de onderlinge ligging van de vectoren.

De samenstelling van verschillende krachten die op een systeem inwerken, noem je de resulterende kracht Fres. Het is de som van alle krachten (F1, F2 … Fn) die inwerken op een systeem.

In symbolen: F res = F 1 + F2 + ... + F n

De snelheidsverandering wordt bepaald door de inwerkende krachten. Je bestudeert dat in de volgende paragrafen.

VOORBEELD KRACHTEN DIE INWERKEN OP EEN SLEE

©VANIN

De beweging van de slee (zie afbeelding 31) wordt bepaald door alle krachten die erop inwerken:

F res = F 1 + F2 + F3 + F4 + F 5

Daarbij is F 1 de zwaartekracht, F2 de normaalkracht, F3 een trekkracht, F4 een duwkracht en F5 de wrijvingskracht.

▲ Afb. 31 Op de slee werken verschillende krachten. De resulterende kracht is een samenstelling van alle krachten.

Herbekijk op hoe je vectoren optelt.

Een kracht veroorzaakt een vorm- of snelheidsverandering. Je kunt de kracht enkel door haar effect zien en dus niet rechtstreeks. Kracht is een vectoriële grootheid.

GROOTHEID MET SYMBOOL SI-EENHEID MET SYMBOOL kracht F newton [F] = N

Elke kracht kun je ontbinden in componenten in een x-y-assenstelsel of een t-n-assenstelsel. Voor een eendimensionale beweging geldt: F = F x · e x + F y · e y (waarbij x voor de tangentiële component en y voor de normale component wordt gebruikt). Als er meerdere krachten inwerken op een systeem, is de resulterende kracht als volgt gedefinieerd: F res = F 1 + F2 + F3 + …

x · e x e x e y F y

x = F · cos

F y = F · sin

2.1 Eerste wet van Newton

DEMO

Hoe groot is de resulterende kracht bij rust en bij een beweging met een constante snelheid?

1 Je leerkracht hangt een blokje op aan een dynamometer. De kracht wordt opgemeten bij rust en bij een beweging met een constante snelheid (omhoog en omlaag).

2 Hoe groot zal de afgelezen kracht zijn in de drie situaties?

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Teken de inwerkende en de resulterende kracht.

Als de resulterende kracht op een voorwerp nul (F res = 0) is, dan verandert de snelheid van het voorwerp niet:

1 Een voorwerp in rust blijft in rust

2 Een voorwerp dat met een snelheid v beweegt, blijft met dezelfde snelheid v (grootte, richting en zin) bewegen.

Dat is de eerste wet van Newton. De wet geldt ook omgekeerd: als een voorwerp in rust is of met een constante snelheid beweegt, dan is de resulterende kracht op dat voorwerp gelijk aan nul.

VOORBEELD FIETSEN MET EEN CONSTANTE SNELHEID

Als je tijdens een fietstocht op een vlakke weg stopt met trappen, vertraag je (door de krachten die worden uitgeoefend door de ondergrond en de wind). Om met een constante snelheid te fietsen, moet je een spierkracht uitoefenen, zodat de resulterende kracht nul is (F res = 0).

In de horizontale richting blijft je snelheid v constant. In de verticale richting ben en blijf je in rust.

©VANIN

▲ Afb. 32 Om een constante snelheid te hebben, moet je blijven trappen.

Om de snelheid van een voorwerp te veranderen, is er een kracht nodig. De neiging om de bewegingstoestand te bewaren, noem je de traagheid of inertie van een voorwerp. Daarom heet die wet, die voor het eerst zo geformuleerd werd door Isaac Newton, ook de traagheidswet of inertiewet.

Hoe groter de massa van een voorwerp, hoe moeilijker de snelheid (grootte, richting of zin) te veranderen is. Voorwerpen met een grotere massa hebben een grotere traagheid of inertie.

01 LABO

demovideo: eerste wet van Newton

VOORBEELD VEILIGHEIDSGORDEL

Tijdens een autorit bereik je hoge snelheden. Als je met een constante snelheid rijdt, ervaar je de snelheid niet: je bent in rust ten opzichte van de auto. Bij een bruuske beweging (hard remmen of een botsing) ondervindt de auto een kracht, maar jij ondervindt die kracht niet. Je blijft door traagheid met een constante snelheid (en dus op een rechte baan en met dezelfde snelheidsgrootte) verder bewegen. Zonder veiligheidsgordel kun je tegen het raam van de auto gekatapulteerd worden. Door de veiligheidsgordel blijf je aan de stoel bevestigd en beweeg je mee met de auto.

De veiligheidsgordel zorgt ervoor dat de kracht die op de auto werkt, op jou wordt overgedragen.

CONCEPTVRAAG

©VANIN

Als een auto achteraan wordt aangereden, heeft de hoofdsteun meer nut dan de veiligheidsgordel. Verklaar.

Eerste wet van Newton (traagheidswet): als de (resulterende) kracht op een voorwerp nul is, dan verandert de snelheid v van het voorwerp niet. Omgekeerd geldt: als een voorwerp in rust is of met een constante snelheid beweegt, dan is de resulterende kracht op dat voorwerp nul.

Door de zwaartekracht ondervindt de bungeespringer net na de sprong een versnelling naar beneden.

Om de volle kar (grote massa) in beweging te brengen, is een grote kracht nodig.

Vrachtwagens vertragen moeilijk door hun grote massa. Om ongevallen te voorkomen, zijn de snelheidsbeperkingen strikter voor vrachtwagens.

2.2 Tweede wet van Newton

▲ Afb. 33 Een veiligheidsgordel zorgt ervoor dat je mee afremt met de auto.

02 LABO

FMarwan a

Als er een resulterende kracht F res op een voorwerp werkt, is er een dynamisch effect van de kracht: de bewegingstoestand verandert. De snelheid v verandert: er is een versnelling a. Hoe kleiner de massa m, hoe gemakkelijker het voorwerp versnelt. Omgekeerd, hoe groter de massa m, hoe moeilijker het voorwerp versnelt. Uit experimenten blijkt:

De versnelling neemt recht evenredig toe met een toenemende resulterende kracht.

a ~ F res

De versnelling als gevolg van een resulterende kracht is omgekeerd evenredig met de massa.

a ~ 1 m

a = constante · F res m

definiëring: constante gedefinieerd als 1

a = F res m

Het verband tussen de resulterende kracht en de versnelling kun je als volgt noteren:

F res = m · a

Zowel de versnelling als de kracht is een vectoriële grootheid. Het verband F res = m · a geldt ook vectorieel:

F res = m · a

Dat is de tweede wet van Newton. De eenheid newton is een afgeleide eenheid. Via de tweede wet van Newton vind je de basiseenheden terug:

[Fres] = [m] · [a], dus 1 N = 1 kg · 1 m s2 = 1 kg · m s2

VOORBEELD WINKELKAR DUWEN

Je moet harder duwen tegen een volle winkelkar om de kar in beweging te krijgen dan tegen een lege winkelkar. Als de kar in beweging is, moet je meer kracht uitoefenen op een volle kar om ze tot stilstand te brengen.

= 70 kg

©VANIN

Marwan oefent een kracht van 140 N uit om de volle winkelkar van 70 kg in beweging te brengen.

De versnelling is a = FMarwan m = 140 N 70 kg = 2,0 m s2

CONCEPTVRAAG

= 10 kg

Noa moet slechts een kracht van 20 N uitoefenen om een kar van 10 kg dezelfde versnelling te geven: a = FNoa m = 20 N 10 kg = 2,0 m s2

Noteer de tweede wet van Newton voor de bungeespringer tijdens zijn vrije val. Welke versnelling zal hij ondervinden, als je de wrijving verwaarloost?

Tweede wet van Newton: het verband tussen de resulterende kracht en de versnelling wordt gegeven door: F res = m · a

Dat de constante 1 is, volgt uit de definitie van de eenheid van kracht: een kracht die een voorwerp van 1 kg versnelt met een versnelling van 1 m s2 , heeft een grootte van 1 newton. De definitie stamt pas uit 1946 en werd dus niet door Newton bepaald.

2.3 Derde wet van Newton DEMO

Welke kracht oefenen twee systemen op elkaar uit?

1 Houd met twee leerlingen twee dynamometers vast, zoals op de afbeelding. Trek elk aan de dynamometers. Varieer de uitgeoefende kracht.

▲ Afb. 37 Krachten van systemen op elkaar worden gemeten met twee dynamometers.

©VANIN

2 Welke uitspraak is correct volgens jou?

a De afgelezen krachten zijn op beide dynamometers altijd nul.

b De afgelezen krachten zijn op beide dynamometers altijd gelijk.

c De afgelezen kracht is het grootst bij degene die het hardst trekt.

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Als een systeem A een kracht FAB uitoefent op een systeem B, dan oefent systeem B een even grote, maar tegengestelde kracht FBA uit op systeem A. In symbolen: FAB = –FBA

Dat is de derde wet van Newton. De kracht FAB is de actiekracht, de kracht FBA de reactiekracht. Die wet wordt ook de wet van actie en reactie genoemd.

De twee krachten (die elk op een ander systeem inwerken en dus een ander aangrijpingspunt hebben) noem je een actie-reactiepaar. De kracht FAB grijpt aan op systeem B. De kracht FBA grijpt aan op systeem A.

VOORBEELD DERDE WET VAN NEWTON BIJ RUST EN BEWEGING

▲ Afb. 38

Een studente op een stoel oefent een kracht uit op de stoel. De stoel oefent een even grote, tegengestelde kracht uit op de studente.

▲ Afb. 39

Een kind op een springbal oefent bij de botsing een kracht uit op de grond. De grond oefent een even grote, tegengestelde kracht uit, die een versnelling (omkering van de snelheidszin) veroorzaakt.

▲ Afb. 40

Bij het peddelen oefent de peddel een kracht naar achteren uit op het water. Het water oefent een even grote, tegengestelde kracht uit, waardoor de plank vooruitgaat.

CONCEPTVRAGEN

Bekijk de voorbeelden op de vorige pagina.

1 Schets die voorbeelden. Teken en benoem voor elk voorbeeld de actie-reactiekoppels.

2 Benoem het systeem dat je zou willen onderzoeken. Markeer in je oplossing van vraag 1 de kracht die een versnelling van dat systeem kan veroorzaken.

VOORBEELD RAKETSTUWING

Om de snelheid van een raket te veranderen, gebruikt men stuwmotoren. Tijdens de lancering neemt de snelheidsgrootte van de raket toe. De raket oefent (door de verbrandingsmotoren) een kracht uit op de verbrandingsgassen, die daardoor naar buiten worden geduwd. Dat is de actiekracht. De uitgestoten gassen oefenen op hun beurt een kracht uit op de raket en zorgen voor de voortstuwing van de raket. Dat is de reactiekracht.

De raket wordt voortgestuwd.

• Actiekracht uitgeoefend door de raket op de gassen: Fraket-gas (met als aangrijpingspunt het gas).

• Reactiekracht uitgeoefend door de gassen op de raket: Fgas-raket (met als aangrijpingspunt de raket).

Volgens de derde wet van Newton geldt:

Fgas-raket = –Fraket-gas

Ook in het luchtledige werken die krachten, waardoor de raket kan worden bijgestuurd: de snelheid verandert van grootte of van richting.

©VANIN

De actie- en reactiekracht hebben een verschillend aangrijpingspunt en werken dus elk op een ander systeem in. De versnelling van die twee systemen als gevolg van de inwerkende actie- en reactiekracht verschilt, omdat de versnelling wordt bepaald door de massa van die systemen:

• Uit de derde wet volgt: FAB = FBA.

• Gecombineerd met de tweede wet van Newton wordt dat:

mB · aB = mA · aA of mB mA = aA aB

Dat betekent dat het systeem met de grootste massa de kleinste versnelling ondervindt en omgekeerd.

Fraket-gas

Fgas-raket

▲ Afb. 41 De werking van een stuwmotor

Je kunt een lancering bekijken in deze video.

Je kunt het experiment van Galilei bekijken in de video.

VOORBEELD VERSNELLING VAN DE AARDE

• Een vallende appel (massa mappel) ondervindt de zwaartekracht uitgeoefend door de aarde Faarde-appel = mappel · g en heeft daardoor een versnelling g

• De aarde (massa maarde) ondervindt een (even grote, maar tegengestelde) kracht uitgeoefend door de appel Fappel-aarde = maarde · a en heeft daardoor een versnelling a.

Uit de derde wet van Newton volgt:

• Faarde-appel (op appel) = –Fappel-aarde (op aarde)

• De grootte mappel · g = maarde · a → a = mappel maarde · g ≈ 0

Die versnelling van de aarde is nauwelijks merkbaar, omdat de massa van de aarde veel groter is dan de massa van de appel.

Faarde-appel

©VANIN

Fappel-aarde

Je kunt de STEMonstrationsvideo’s van NASA bekijken.

CONCEPTVRAAG

Bereken de versnellingsgrootte van de aarde als gevolg van de appel.

Derde wet van Newton (actie-reactiewet): als een systeem A een kracht FAB uitoefent op een systeem B, dan oefent systeem B een even grote, maar tegengestelde kracht FBA uit op systeem A.

In symbolen: FAB = –FBA

WEETJE

De drie natuurwetten werden in 1687 door Isaac Newton geformuleerd in zijn boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie). De traagheidswet werd voor het eerst geformuleerd door Galileo Galilei (1564-1642). Hij voerde daarvoor een gedachte-experiment uit om wrijving te kunnen uitsluiten.

Dankzij technologische innovaties kunnen we vandaag wrijving uitsluiten: in het ISS zijn voorwerpen niet ondersteund, waardoor ze geen wrijving van een oppervlak ondervinden.

De NASA heeft in het ISS de wetten van Newton onderzocht.

▲ Afb. 43 Een replica van de binnenkant van het ISS

▲ Afb. 42 Een actie-reactiekoppel van de gravitatiekracht tussen de aarde en een appel

3 Welke krachten bepalen de snelheidsverandering van een systeem?

3.1

Zwaartekracht

In de buurt van de aarde wordt elk voorwerp aangetrokken tot de aarde. Elk systeem met een massa ondervindt in het zwaarteveld van de aarde een zwaartekracht. De grootte van de zwaartekracht wordt bepaald door de grootte van de massa m van het voorwerp en de zwaarteveldsterkte g van de aarde. De zwaarteveldsterkte heeft, naast een grootte, ook een aangrijpingspunt, een richting en een zin. Voor elke massa kun je de zwaartekracht bepalen als het product van de massa en de zwaarteveldsterkte op die plaats:

F z = m · g

De zwaartekracht F z is een vector met deze kenmerken:

• richting: verticaal (dat wil zeggen loodrecht op een wateroppervlak);

• zin: naar beneden (dat wil zeggen naar het middelpunt van het hemellichaam);

• aangrijpingspunt: het zwaartepunt van het systeem (het massapunt);

• grootte op de aarde: F z  = m · g, waarbij g = 9,81 N kg  = 9,81 m s2 (de gemiddelde waarde op aarde op zeeniveau) in standaardomstandigheden.

zwaartekracht F z newton [Fz] = N

CONCEPTVRAGEN

1 Waarom mag je de zwaarteveldsterkte g = 9,81 N kg  = 9,81 m s2 met beide eenheden schrijven?

2 Teken en noteer de zwaartekracht met een verticale eenheidsvector e x :

• eenheidsvector verticaal naar beneden gekozen;

• eenheidsvector verticaal naar boven gekozen.

Op elk voorwerp (met een massa) in de buurt van de aarde werkt er een zwaartekracht

F z = m · g, met g = 9,81 N kg (op zeeniveau), uitgeoefend door de aarde.

3.2 Gewicht

DEMO

©VANIN

Wat meet een balans?

1 Leg een voorwerp op een balans. Lees de massa af.

2 Ga op zoek naar mogelijkheden om de afgelezen massa van het voorwerp te beïnvloeden, zonder er massa aan toe te voegen of massa weg te nemen. Test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Een systeem dat ondersteund wordt, oefent een kracht uit op de ondersteuning. Die kracht noem je de gewichtskracht of kortweg het gewicht. Een systeem dat niet ondersteund wordt, is gewichtloos

Gravitatiekracht is de krachtwerking tussen twee massa’s in elkaars buurt. Voor voorwerpen in de nabijheid van hemellichamen noem je dat de zwaartekracht (zie ook GENIE Fysica 5).

demovideo: gewicht op balans

Op de afbeeldingen stellen we de krachten die aangrijpen op het systeem, voor in het blauw. De krachten op de ondersteuning zijn paars.

Op aarde werkt de zwaartekracht in op elke massa. Elk ondersteund voorwerp oefent als gevolg van de zwaartekracht een gewicht uit op de ondersteuning. Er kunnen (samen met de zwaartekracht) nog andere krachten inwerken op het systeem. Het gewicht kan daardoor vergroten of verkleinen.

Het gewicht F g is een vector met deze kenmerken:

• richting: loodrecht op de ondersteuning;

• zin: van het ondersteunde voorwerp weg (naar beneden);

• aangrijpingspunt: het contactpunt op de ondersteuning;

• grootte: situatieafhankelijk.

GEWICHT OP EEN HORIZONTAAL OPPERVLAK

GEWICHT OP EEN SCHUIN OPPERVLAK GEWICHT ALS ER EEN EXTRA

©VANIN

GROOTHEID MET SYMBOOL SI-EENHEID MET SYMBOOL

gewichtskracht of gewicht F g newton [Fg] = N

VOORBEELD GEWICHT IN VERSCHILLENDE SITUATIES

GEWICHT VAN EEN VOORWERP DAT ZWAARTEKRACHT ONDERVINDT OP EEN HORIZONTAAL OPPERVLAK

▲ Afb. 44 Een sinaasappel rust op een balans.

Een sinaasappel ligt op een horizontale balans. De zwaartekracht werkt in op de sinaasappel. Daardoor oefent de sinaasappel een gewicht uit op de balans. Het gewicht heeft deze kenmerken:

• De kracht is verticaal naar onderen gericht.

• Het aangrijpingspunt is (een punt op) de balans.

• De grootte is gelijk aan de grootte van de zwaartekracht:

F g = F z = m · g = 0,326 kg · 9,81 m s2 = 3,19 N

GEWICHT VAN EEN VOORWERP DAT ZWAARTEKRACHT ONDERVINDT OP EEN HELLING

▲ Afb. 45 Een skiër glijdt van een helling.

Een skiër (m = 60,0 kg) glijdt van een helling. De zwaartekracht werkt in op de skiër.

Daardoor oefent de skiër een gewicht uit op de sneeuw.

Het gewicht heeft deze kenmerken:

• De kracht is loodrecht op de helling naar onderen gericht.

• Het aangrijpingspunt is (een punt op) de sneeuw.

• De grootte is gelijk aan de grootte van de y-component (normale component) van de zwaartekracht:

g = F z, y = F z · cos α = m · g · cos α = 60,0 kg · 9,81 m s2 · cos 30° = 510 N

De tangentiële component van de zwaartekracht veroorzaakt de versnelling van de skiër.

GEWICHT VAN EEN VOORWERP DAT ONDERSTEUND IS WAAROP (NAAST ZWAARTEKRACHT) EEN ANDERE KRACHT WORDT UITGEOEFEND

©VANIN

Een ballerina duwt op een stoeltje (m = 3,0 kg). Zowel de zwaartekracht als de duwkracht van de ballerina oefent een kracht verticaal naar beneden uit op het stoeltje. Daardoor oefent het stoeltje een gewicht uit op de grond.

Het gewicht heeft deze kenmerken:

• De kracht is verticaal naar onderen gericht.

• Het aangrijpingspunt (of de aangrijpingspunten) bevindt zich op de grond ter hoogte van de vier pootjes.

• De grootte is gelijk aan die van de krachten die verticaal naar beneden werken:

F g = F z + Fduw = m · g + Fduw = 3,0 kg · 9,81 m s2 + 250 N = 280 N

Elk pootje oefent een gewicht van F ’ g = 70 N uit op de grond.

▲ Afb. 46 Een ballerina duwt op een stoel.

z 1 cm 2 N

▲ Afb. 47 Een basketbal is net weggegooid.

CONCEPTVRAGEN

Een basketbal (m = 550 g) is net weggegooid. De zwaartekracht werkt in op de basketbal, maar de basketbal is niet ondersteund. Daardoor oefent de basketbal geen gewicht uit. De basketbal is gewichtloos.

De basketbal heeft wel een massa, m = 550 g, en ondervindt wel een zwaartekracht, met als grootte:

F z = m · g = 0,550 kg · 9,81 N kg = 5,40 N

©VANIN

1 Hoe wordt de term ‘gewicht’ gebruikt in het dagelijks leven? Illustreer met een voorbeeld.

2 Hoe moet je een balans gebruiken om de massa correct af te lezen? Verklaar.

3 Kan het gewicht op een horizontale ondersteuning kleiner zijn dan m · g?

Geef een voorbeeld.

Een ondersteund systeem oefent een gewicht F g uit op de ondersteuning:

• aangrijpingspunt: in de ondersteuning;

• richting: loodrecht op de ondersteuning;

• zin: van het ondersteunde voorwerp weg (naar beneden);

• grootte: situatieafhankelijk.

Niet-ondersteunde systemen zijn gewichtloos

3.3 Normaalkracht ▲ Afb. 48

Een stoel staat (in rust) op de grond. Een laptop wordt ondersteund door de tafel.

De ondersteuning oefent een kracht uit op de stoel en op de laptop.

Afb. 49

Bruggetjes in een moerasgebied kunnen het gewicht van wandelaars dragen, het moeras zelf niet.

Tijdens het stretchen duw je tegen de muur. De muur oefent een even grote, tegengestelde kracht uit op jou.

Een voorwerp dat ondersteund wordt, ondervindt zwaartekracht en is in rust dankzij de ondersteuning. De resulterende kracht is nul (bij rust), dus de ondersteuning moet een kracht uitoefenen om de zwaartekracht te compenseren.

Het systeem oefent een gewicht uit op de ondersteuning. De ondersteuning oefent, volgens de derde wet van Newton, een even grote, maar tegengestelde kracht uit op het systeem. Die reactiekracht van het gewicht noem je de normaalkracht. Als de ondersteuning niet stevig genoeg is, is er geen normaalkracht.

De normaalkracht kan ook door verticale oppervlakken worden uitgeoefend. Het is in dat geval de reactiekracht van de horizontale component van de duwkracht

De normaalkracht F n is een vector met deze kenmerken:

• richting: loodrecht op het contactoppervlak;

• zin: van de ondersteuning weg;

• aangrijpingspunt: het contactpunt op het systeem dat ondersteund wordt;

• grootte: situatieafhankelijk. Voor horizontale of schuine oppervlakken is de grootte hetzelfde als die van het gewicht.

NORMAALKRACHT BIJ EEN HORIZONTAAL OPPERVLAK

NORMAALKRACHT BIJ EEN SCHUIN OPPERVLAK

NORMAALKRACHT BIJ EEN VERTICAAL OPPERVLAK

‘Normaal’ is een ander woord voor ‘loodrecht’. ‘Normaalkracht’ betekent dus een kracht die loodrecht op een oppervlak staat.

GROOTHEID MET SYMBOOL

SI-EENHEID MET SYMBOOL

normaalkracht F n newton [Fn] = N

OPLOSSINGSSTRATEGIE

©VANIN

Om duidelijk te maken welke krachten ingrijpen op een systeem, gebruik je een krachtenschema:

• Ga na welke krachten inwerken op het systeem

• Teken niet het systeem. Teken enkel het massapunt.

• Teken alle krachten in het massapunt op schaal en met de juiste onderlinge oriëntatie.

Krachten die inwerken op de ondersteuning (bijvoorbeeld het gewicht), teken je niet.

VOORBEELD NORMAALKRACHT IN VERSCHILLENDE SITUATIES

Op elk ondersteund systeem werken de zwaartekracht (in het zwaartepunt) en de normaalkracht (in het contactpunt).

We tekenen het krachtenschema en berekenen de normaalkracht voor enkele voorbeelden.

©VANIN

Deze voorwerpen zijn in rust in de richting loodrecht op het oppervlak. Je kiest de y-as naar beneden.

De normaalkracht is even groot als de loodrechte component van de duwkracht: F n = Fduw, n

Als je horizontaal duwt, is dat de volledige duwkracht (bv. Fduw = 200 N).

CONCEPTVRAAG

Hoe groot is de normaalkracht bij de weggegooide basketbal?

Op elk ondersteund systeem werkt een normaalkracht F n, die wordt uitgeoefend door de ondersteuning. De normaalkracht grijpt aan op het systeem, staat loodrecht op de ondersteuning en is van de ondersteuning weg gericht. De grootte is situatieafhankelijk. Voor een horizontaal of schuin oppervlak vormen de normaalkracht en het gewicht een actie-reactiepaar: F n = –F g.

▲ Afb. 51 Een sinaasappel op een horizontaal oppervlak

▲ Afb. 52 Een skiër op een helling

▲ Afb. 53 Een stoeltje waarop geduwd wordt

▲ Afb. 54 Stretchen tegen een verticale muur

3.4 Spankracht

De leiband van de honden is opgespannen. De kracht die de honden uitoefenen, wordt via de leiband doorgegeven aan de handen.

De ketting ondersteunt de plaat. Er is een spankracht in de kettingen, die de zwaartekracht compenseert.

Met de metalen kabels (die over een katrol gebogen zijn) beweegt een blok omhoog bij een neerwaartse beweging door de sporter. Door de kabels ontstaat er een spankracht.

Bij een opgespannen touw of kabel tussen een systeem A en een systeem B ontstaat er aan beide uiteinden een spankracht. Je noteert de spankrachten aan beide uiteinden als F s en F ’s. Systeem A oefent via het touw een kracht FAB uit op systeem B, en volgens de wet van actie en reactie oefent systeem B via het touw een even grote, maar tegengestelde kracht uit op systeem A:

FBA = –FAB

Voor de spankrachten geldt dat F s = FAB en F ’ s = FBA.

De richting en de zin van de spankrachten worden bepaald door de oriëntatie van het touw.

De spankrachten grijpen aan in de systemen A en B op het contactpunt met het touw.

SPANKRACHT BIJ EEN SYSTEEM DAT VOORUIT GETROKKEN WORDT

SPANKRACHT BIJ EEN SYSTEEM DAT OPGEHANGEN IS SPANKRACHT BIJ EEN KATROL

De spankracht F s is een vector met deze kenmerken:

• richting: richting van het gespannen touw tussen systeem A en systeem B;

• zin: van systeem A weg;

• aangrijpingspunt: contactpunt van het touw op het systeem;

• grootte: situatieafhankelijk.

Voor een systeem dat ophangt aan één touw, is de spankracht even groot als het gewicht.

De spankracht en het gewicht vormen dan een actie-reactiepaar: F s = –F g.

▲ Afb. 55

Afb. 56

▲ Afb. 57

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een betonnen draagbalk (2,2 ton) wordt ondersteund door kabels aan een kraan.

De twee kabels maken een hoek van 70° met de balk.

1 Teken een krachtenschema.

2 Bereken de spankracht in beide touwen als het blok in rust is.

Gegeven: • m = 2,20 ton

• α = 70°

Gevraagd: F s1 en Fs2 = ?

Oplossing: 1 Op de draagbalk werken de zwaartekracht en twee spankrachten in.

©VANIN

Op de kabels werkt het gewicht veroorzaakt door de draagbalk in op de plaats van de twee contactpunten.

SCHEMATISCHE VOORSTELLING KRACHTENSCHEMA

e y y

2 De draagbalk is in rust, dus F res = 0.

Op de draagbalk werken de zwaartekracht F z en de spankrachten F s1 en Fs2, dus:

F z + F s1 + Fs2 = 0

Je kiest een verticale x-as omhoog.

De krachtcomponenten zijn dan:

F z, x + F s1, x + F s2, x = –m · g + F s1 · sin 70° + Fs2 · sin 70° = 0 F s1 · sin 70° + Fs2 · sin 70° = m · g = 2,20 · 103 kg · 9,81 N kg = 21,6 kN

De zwaartekracht veroorzaakt een gewicht met een grootte van 21,6 kN, waarbij beide kabels evenveel gewicht dragen in de verticale richting.

Voor elke kabel geldt: F s1, x = F s2, x = 10,8 kN.

De kabels maken een hoek van 70° met de draagbalk, dus:

F s1, x = F s1 · sin 70° en F s1 = Fs1, x sin 70° = 10,8 kN sin 70° = 11,5 kN en Fs2 = F s1 = 11,5 kN

Reflectie: Waarom maakt men de hoek α met de draagbalk zo groot mogelijk?

De grootte van de spankracht kun je als volgt berekenen: F s1 = Fs1, x sin α

Die neemt af met de hoek α.

Bij een grote hoek is de spankracht kleiner, waardoor de kabels minder snel breken.

In elk opgespannen touw werkt een spankracht F s aan het ene uiteinde en een spankracht F ’ s aan het andere uiteinde, waarbij F s = F ’s. De spankracht grijpt aan op het systeem, heeft de richting van het touw en is naar de kant van het touw toe gericht. Voor een systeem dat ophangt aan één touw, vormen de spankracht en het gewicht een actie-reactiepaar: F s = F g.

3.5 Wrijvingskracht

DEMO

Welk verloop toont de wrijvingskracht als een blokje vanuit rust in beweging wordt gebracht?

1 Je leerkracht hangt een krachtsensor aan een blokje dat wrijving met de ondergrond ondervindt.

Er wordt een steeds grotere kracht uitgeoefend, zodat het blokje uit rust in beweging komt.

Je leerkracht meet de wrijvingskracht op.

2 Welk verloop van de wrijvingskracht in functie van de tijd verwacht je?

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Het is makkelijker om een kast te verschuiven op een vloer dan op een tapijt.

©VANIN

Dankzij rubberzolen kun je wandelen zonder uit te glijden op een gladde ondergrond.

Tussen twee oppervlakken die over elkaar kunnen bewegen, ontstaat er wrijving door de oneffenheden van de oppervlakken. Om een systeem te verschuiven, wordt er een kracht F uitgeoefend. De kracht die een schuifbeweging van een systeem (ver)hindert, noem je de wrijvingskracht

IJspistes worden heel glad gemaakt, zodat de schaatsers en de puck er weinig hinder van ondervinden en er vlot over glijden.

03 LABO demovideo: wrijvingskracht

De wrijvingskracht F w is een vector met deze kenmerken:

• richting: de bewegingsrichting;

• zin: tegen de mogelijke beweging in;

• aangrijpingspunt: op het systeem in het contactpunt met de ondergrond.

De grootte van de wrijvingskracht is experimenteel bepaald. Het is geen fundamentele wetmatigheid. Het is een empirisch verband. De grootte van de wrijvingskracht:

• is onafhankelijk van de grootte van het contactoppervlak;

• neemt recht evenredig toe met de grootte van de normaalkracht;

• wordt bepaald door de ruwheid van de materialen.

Er zijn twee mogelijke situaties:

1 Statische wrijving

©VANIN

Er werkt een statische wrijvingskracht F w, s op een systeem dat niet beweegt (ten opzichte van de ondergrond). Een systeem blijft in rust als de uitgeoefende kracht te klein is om de statische wrijvingskracht te overwinnen. De statische wrijvingskracht is even groot als de tangentiële component van de uitgeoefende kracht en neemt toe tot een maximumwaarde waarbij het systeem net niet beweegt. Uit experimenten blijkt:

F w, s, max = μs · F n

Daarbij is μs de statische wrijvingscoëfficiënt en F n de grootte van de normaalkracht.

2 Kinetische wrijving

Er werkt een kinetische wrijvingskracht Fw, k op een systeem dat beweegt ten opzichte van de ondergrond. De kinetische wrijvingskracht veroorzaakt een versnelling tegengesteld aan de bewegingszin, waardoor het systeem vertraagt. Die kracht is onafhankelijk van de snelheid van het systeem. Uit experimenten blijkt: Fw, k = μk · F n

Daarbij is μk de kinetische wrijvingscoëfficiënt en F n de grootte van de normaalkracht.

F z F n F F w

▲ Afb. 62 Een systeem ondervindt een wrijvingskracht Fw, die tegengesteld is aan de uitgeoefende kracht F In de voorgestelde situatie is het blokje in rust of beweegt het met een constante snelheid.

De wrijvingscoëfficiënt wordt bepaald door de ruwheid van de oppervlakken. Het is een getal (zonder eenheid) dat toeneemt met de ruwheid, en μs > μk.

WAARDEN VOOR μs EN μk μs μk

F w, max = µs · F n

F w

wrijvingskracht

kinetische wrijving Fw, k = µk · F n

statische wrijving

uitgeoefende kracht

geen beweging schuiven

aluminium op staal 0,61 0,47 gewrichten 0,010,003

glas op glas 0,94 0,40 koper op staal 0,530,36

rubber op droog beton 1,00,8 rubber op nat beton 0,80,5 rubber op sneeuw en ijs 0,150,1

rubber op droog asfalt0,85 0,67

rubber op nat asfalt0,5-0,7 0,15 gewaxte ski op sneeuw 0,10 0,05 staal op staal 0,74 0,57

▲ Grafiek 5 Het verloop van de wrijvingskracht in functie van de uitgeoefende kracht ▲ Tabel 1 Statische en kinetische wrijvingscoëfficiënt

Je kunt het verschil tussen statische en kinetische wrijving bestuderen in de applet ‘Wrijving’.

Het effect van een helling kun je bestuderen in de applet ‘Helling’.

VOORBEELD RUBBEREN ZOLEN

De zolen van schoenen zijn vaak van rubber gemaakt. Rubber heeft een grote (statische en kinetische) wrijvingscoëfficiënt op de meeste types ondergrond. Daardoor is de wrijvingskracht groot.

• Je kunt probleemloos op een helling van beton of asfalt blijven staan.

Op een helling (hellingshoek α) geldt:

F n = F z · cos α

De maximale statische wrijvingskracht is dan:

F w, s, max = μs · F z · cos α

Bijvoorbeeld op een helling van 20°:

F w, s, max = μs · F z · cos 20°= 0,94 · μs · m · g

©VANIN

F z · cos α · e y F z F n α α

F w, s ▲ Afb. 63 Krachtenschema voor de wrijvingskracht op een helling F z · sin α · e x

De statische wrijvingscoëfficiënt van rubber varieert tussen 1,0 (op droog beton) en 0,5 (op nat asfalt). Dat betekent dat voor rubberen zolen de statische wrijvingskracht in het beste geval ongeveer even groot is als de zwaartekracht, en in het slechtste geval nog altijd de helft van de zwaartekracht is. Dat zijn heel grote krachten.

• Je kunt heel makkelijk wandelen, omdat je een grote kracht uitoefent tijdens het contact met de grond.

De kinetische wrijvingskracht is Fw, k = μk · Fn. Op een vlakke weg is de normaalkracht minstens even groot als de zwaartekracht. Op beton en asfalt ondervind je dus een grote wrijvingskracht. Op ijs is die een stuk kleiner (μk = 0,1). Bij een wandeling op ijs kun je de wrijvingskracht vergroten door heel bewust verticaal te duwen op de grond bij elke stap. Je vergroot daardoor de normaalkracht.

TIP applet: wrijving applet: helling

▲ Afb. 64 Dankzij rubberen zolen sta je stabiel op een helling.

Als er volgens de bewegingsrichting een kracht F wordt uitgeoefend op een systeem, dan werkt er een wrijvingskracht F w die de beweging tegenwerkt door de ruwheid van de materialen. De wrijvingskracht grijpt aan op het systeem en is tegengesteld gericht aan de beweging. De grootte is afhankelijk van de normaalkracht, de ruwheid van het oppervlak en of het systeem al dan niet in beweging is:

• statische wrijvingskracht F w, s (systeem is in rust): neemt toe met de uitgeoefende kracht en F w, s, max = μs · Fn;

• kinetische wrijvingskracht Fw, k (systeem beweegt): Fw, k = μk · F n .

μs is de statische en μk de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen de oppervlakken.

WEETJE animatie:

In de fysica bestaan er maar vier fundamentele krachten: de gravitatiekracht, de elektromagnetische kracht, de zwakke kernkracht en de sterke kernkracht.

©VANIN

Alle andere krachten kun je verklaren als de uitwerking van een van die vier krachten.

In vaste stoffen zitten de atomen op een vaste positie door de aantrekkende elektrische kracht tussen atomen dicht bij elkaar in de buurt. Zowel de normaalkracht als de wrijvingskracht ontstaat door de elektrische krachtwerking tussen atomen.

• Normaalkracht: de atomen in de ondergrond worden bij elkaar geduwd door het gewicht van een voorwerp dat ondersteund wordt. Daardoor ontstaat er een afstotende elektrische kracht, omdat de atomen te dicht bij elkaar zitten. Die afstotende kracht is de normaalkracht.

• Wrijvingskracht: ook tussen de atomen van het systeem en de ondergrond is er een aantrekkende elektrische kracht. Die aantrekkende elektrische kracht is de wrijvingskracht. Hoe groter de ruwheid van de materialen, hoe groter de onderlinge aantrekking.

▲ Afb. 65 De microscopische oorsprong van de normaalkracht

F n

▲ Afb. 66 De microscopische oorsprong van de wrijvingskracht

Voorwerpen ondervinden naast de hinder van de grond ook hinder van de middenstof waarin ze bewegen. De hinder die door een gas of een vloeistof wordt veroorzaakt, heet de weerstandskracht.

De grootte van de weerstandskracht hangt af van:

• het soort gas of vloeistof: bv. lopen in een zwembad (water) is veel moeilijker dan op een looppiste (lucht);

• het oppervlak van het bewegende voorwerp: bv. bij schoolslag maak je een vlakke hand om je zo veel mogelijk tegen het water af te duwen;

• de snelheid: bv. traag stappen in het zwembad lukt makkelijk, lopen niet.

4 Welke versnelling heeft een systeem bij de inwerking van (meerdere) krachten?

4.1 De tweede wet van Newton toepassen bij een rechtlijnige beweging

De tweede wet van Newton geeft het vectoriële verband tussen de resulterende kracht en de versnelling: F res = m · a

Als er meerdere krachten inwerken, hebben ze vaak een verschillende richting. Om de versnelling in elke richting te kennen, kun je de wet van Newton toepassen in componenten door de krachten op te splitsen in componenten.

Dat doe je door ze te projecteren op een x-as volgens de beweging (tangentiële component) en op een y-as loodrecht op de beweging (normale component): in x-richting: F

in y-richting: F

Voor rechtlijnige bewegingen is de versnelling a y = 0 m s2 , omdat het systeem in rust is in de y-richting.

OPLOSSINGSSTRATEGIE

1 Bepaal het systeem dat je wilt bestuderen. Hulpvraag: welk voorwerp versnelt?

2 Ga op zoek naar alle (uitwendige) krachten die inwerken op het systeem. Hulpvraag: wie/wat oefent de kracht uit OP het systeem?

3 Teken een krachtenschema met alle krachten in een punt dat het systeem voorstelt.

4 Schrijf de tweede wet van Newton in vectoriële vorm en pas die toe op het systeem.

5 Kies een assenstelsel: voor rechtlijnige bewegingen x-as volgens de bewegingsrichting, y-as er loodrecht op.

6 Projecteer de vectorvergelijking: noteer de tweede wet van Newton met componenten voor elke as.

©VANIN

7 Los het stelsel van vergelijkingen op. Dat houdt in dat je evenveel vergelijkingen als onbekenden moet hebben!

Afb. 67 Een systeem kiezen en een krachtenschema opstellen

In de volgende voorbeeldvraagstukken leer je de tweede wet van Newton toe te passen voor rechtlijnige bewegingen. In hoofdstukken 3 en 4 leer je hoe je met de tweede wet van Newton bijzondere bewegingen kunt analyseren.

4.2 Versnelling bij rechtlijnige bewegingen zonder wrijving

Bij trage bewegingen in lucht en bewegingen op gladde oppervlakken kun je de wrijving verwaarlozen. De versnelling wordt dan niet beïnvloed door de wrijvingskracht. We bekijken enkele voorbeeldvraagstukken.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een skiër (m = 60 kg) die van een helling glijdt, heeft een versnellingsgrootte van 5,20 m s2

Bepaal de helling. Je mag de wrijving verwaarlozen.

Gegeven: • a = 5,20 m s2

• m = 60 kg

Gevraagd: helling (hoek α met horizontale as) = ?

Oplossing: Op de skiër werken de zwaartekracht F z en de normaalkracht F n in.

De tweede wet van Newton is geldig:

F z + F n = m · a

De zwaartekracht is verticaal. De normaalkracht staat loodrecht op de helling. Je tekent een krachtenschema (waarbij je een hellingshoek schat).

Enkel de zwaartekracht heeft een component volgens de helling die de versnelling veroorzaakt.

Met een x-as schuin naar beneden geldt: F z, x = F z · sin α = m · a x

Daarmee vind je de hoek: sin α = m ·

Reflectie:

= 0,53 en α = sin–1 (0,53) = 32°

• Waarom moet je de projectie enkel uitvoeren in de x-richting?

Er wordt niets gevraagd over de krachten in de y-richting en je hebt ze niet nodig voor de analyse in de x-richting. Je hoeft dus niet te projecteren op de y-as.

• Welke versnelling heeft een kind met een massa van 30 kg? Dat kind heeft dezelfde versnelling, want de versnelling is onafhankelijk van de massa. (Dat blijkt uit de uitdrukking in componenten.)

VOORBEELDVRAAGSTUK

Brick (m = 70,0 kg) neemt de lift van de gelijkvloerse tot de zesde verdieping. De lift versnelt bij het vertrek (avertrek = 2,00 m s2 ) en remt af net voor de aankomst (aaankomst = 1,00 m s2 ).

Tussen de verdiepingen beweegt de lift met een constante snelheid.

Bepaal de grootte van de normaalkracht op Brick en van het gewicht dat Brick uitoefent tijdens elk deel van de beweging.

Gegeven:

• m = 70,0 kg

• bij vertrek: avertrek = 2,00 m s2

• bij aankomst: aaankomst = 1,00 m s2

• tussen verdiepingen: constante snelheid (a = 0 m s2 )

Gevraagd: F n en F g bij vertrek, bij aankomst en tussen de verdiepingen = ?

Oplossing: Op Brick werken twee krachten: de zwaartekracht F z (uitgeoefend door de aarde) en de normaalkracht F n (uitgeoefend door de bodem van de lift).

De lift heeft een versnelling a, die verandert gedurende de beweging.

Op elk moment is de tweede wet van Newton geldig, dus:

F z + F n = m · a

De beweging is rechtlijnig. Je kiest de x-as omhoog.

De projectie op de x-as geeft de tweede wet van Newton in x-componenten:

F z, x + F n, x = –F z + F n = m · a x

Daarmee kun je de normaalkracht bepalen:

F n = F z + m · a x = m · g + m · a x = m · (g + ax)

Het gewicht is de reactiekracht en is dus even groot als de normaalkracht.

TUSSEN VERDIEPINGEN CONSTANTE SNELHEID

VERTREK VERSNELLING NAAR BOVEN

AANKOMST VERTRAGING NAAR BOVEN

EEN KRACHTENSCHEMA TEKENEN OM DE COMPONENTEN TE KENNEN

NORMAALKRACHT BEPALEN MET DE TWEEDE WET VAN NEWTON

Een constante snelheid betekent dat de versnellingscomponent a x = 0, dus:

F n = m · (g + ax)

= m · (g + 0)

= 70,0 kg · 9,81 m s2 = 687 N

©VANIN

Bij vertrek is de versnellingscomponent

avertrek, x = 2,00 m s2

Fn, vertrek = m · (g + avertrek, x)

= 70,0 kg · (9,81 m s2 + 2,00 m s2 ) = 827 N

Bij aankomst is de versnellingscomponent

aaankomst, x = –1,00 m s2

Fn, aankomst = m · (g + aaankomst, x) = 70,0 kg · (9,81 m s2 – 1,00 m s2 ) = 617 N

HET GEWICHT BEPALEN ALS REACTIEKRACHT VAN DE NORMAALKRACHT

F g = F n = 687 N Fg, vertrek = Fn, vertrek = 827 N Fg, aankomst = Fn, aankomst = 617 N

Reflectie: • Hoe kun je dat verschil in gewicht merken?

Als je bruusk naar boven vertrekt met een lift, word je een beetje tegen de bodem gedrukt. Als de lift afremt, kom je een beetje los van de bodem.

• Hoe zou je het verschil in gewicht zichtbaar kunnen maken?

Door op een balans te staan. In de balans wordt het gewicht omgerekend naar massa (met de zwaarteveldsterkte), dus bij vertrek zou je

mvertrek = 827 N 9,81 N kg = 84,3 kg en bij aankomst maankomst = 617 N 9,81 N kg = 62,9 kg aflezen.

4.3 Versnelling bij rechtlijnige bewegingen met wrijving

Bij de meeste horizontale bewegingen wordt de versnelling beperkt door de ondergrond. De wrijvingskracht bepaalt mee de resulterende kracht. Je kunt de versnelling bepalen door de wrijvingskracht op te nemen in de tweede wet van Newton. We bekijken een voorbeeldvraagstuk.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Harald duwt met een kracht onder een hoek van 45° (met de horizontale as) tegen een doos (m = 8,0 kg). Bij 50,0 N komt de doos in beweging en versnelt ze. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,20. Bepaal de versnelling van de doos.

Gegeven: • Fduw = 50,0 N en Fduw maakt een hoek α = 45° met de horizontale richting

• μk = 0,20

• m = 8,0 kg

Gevraagd: a = ?

CONCEPTVRAAG

Wat verandert er als je de doos met een kracht van 50,0 N onder een hoek van 45° voorttrekt in plaats van duwt?

©VANIN

Oplossing: Op de doos werken de zwaartekracht Fz, de duwkracht Fduw, de normaalkracht F n en de wrijvingskracht F w in. De tweede wet van Newton wordt: F z + Fduw + F n + Fw, k = m · a

Je kiest een x-as volgens de beweging en een y-as verticaal omhoog.

De doos versnelt in de x-richting door de duwkracht (die tegengewerkt wordt door de wrijvingskracht).

Je vindt die versnelling door de tweede wet van Newton te noteren voor de

x-richting: Fduw, x + Fw, k, x = Fduw · cos α – Fw, k = m · a x a x = Fduw · cos α – Fw, k m (1)

y e x x y

w, k

n –Fduw · sin α · e y

duw · cos α · e x α

z Fduw

▲ Afb. 68 Krachtenschema

De kinetische wrijvingskracht is als volgt gedefinieerd: Fw, k = μk · F n .

Om de normaalkracht te vinden, gebruik je de tweede wet van Newton in de y-richting.

De doos is in de y-richting in rust, dus: F z, y + Fduw, y + F n, x = –F z – Fduw · sin α + F n = 0.

Dat betekent: F n = F z + Fduw · sin α = 114 N. (2)

Door (1) en (2) te combineren, kun je de versnellingscomponent berekenen:

a x = Fduw · cos α – Fw, k m = Fduw · cos α – μk · F n m = 50,0 N · cos 45° – 0,20 · 114 N 8,0 kg = 12,5 N 8,0 kg = 1,6 m s2

Dat betekent: a = 1,6 m s2 · e x (horizontaal, naar rechts).

Reflectie: • Vergelijk de grootte van de zwaartekracht en de normaalkracht.

F n > F z , omdat de duwkracht een verticale component naar beneden heeft.

• Heeft de massa een invloed op de versnelling?

Ja: hoe groter de massa, hoe kleiner de versnelling (zie uitdrukking (1)).

REEKS

Een kracht van 20 N heeft verschillende oriëntaties.

a Ontbind de kracht in vectorcomponenten. Benoem de vectorcomponenten.

b Bereken de componenten F x en F y

c Noteer de kracht met componenten.

Maak de uitspraken correct door ze te vervolledigen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’.

a Op een balletje in rust werken krachten.

b Op een balletje in beweging werkt een resulterende kracht.

c Als de resulterende kracht op een balletje nul is, is het in rust.

d Als de resulterende kracht op een balletje niet nul is, is het in rust.

Verklaar de volgende fenomenen.

a De passagier op een bromfiets moet zich stevig vasthouden bij het vertrek.

b Als je een hogedrukreiniger gebruikt, moet je de spuit stevig vasthouden.

c Sprinters stoten zich af met hun voeten tegen een startblok.

d Als een ezel een kar trekt, oefent hij een even grote kracht uit op de kar als de kar op hem. Toch komt de kar in beweging.

Wie heeft gelijk?

Verklaar je keuze.

©VANIN

e Als er een resulterende kracht inwerkt op een autootje, is de versnelling nul.

f Als er een resulterende kracht inwerkt, is de versnelling constant.

g Als de resulterende kracht constant is, is de versnelling constant.

A B

Ik oefen een even grote kracht op jou uit als jij op mij, dus niemand kan winnen.

Ik duw de hele tijd harder op jouw hand dan jij op mijn hand, dus uiteindelijk zal ik winnen.

C D

is

De verliezer is diegene die met zijn bovenarm de duwkracht niet kan tegenhouden.

Bestudeer de onderstaande versnelde bewegingen.

1 De versnelling van een auto met een massa van 1,3 ton is 0,90 m s2

2 Een loper met een massa van 75 kg versnelt van 10,0 km h naar 15,0 km h in 3,0 s.

3 Een fietser (m = 48 kg) remt met een versnelling van 1,2 m s2 .

a Rangschik de situaties volgens toenemende kracht.

b Noteer de kracht- en versnellingscomponent volgens een x-as in de bewegingszin.

Er

alleen maar een winnaar als iemand stopt met duwen.

Op een massa van 4,0 kg werken de krachten zoals weergegeven in het onderstaande krachtenschema.

a Noteer alle krachten met krachtcomponenten en eenheidsvectoren.

b Bepaal de resulterende kracht en de versnelling. Noteer met de eenheidsvector.

c Wat verandert er als de massa verdubbelt?

Als twee voorwerpen met een verschillende massa dezelfde versnelling ondergaan, dan zal …

a op het voorwerp met de grootste massa de kleinste kracht werken;

b op het voorwerp met de kleinste massa de kleinste kracht werken;

c op beide voorwerpen dezelfde kracht werken;

d de grootte van de kracht afhangen van de beginsnelheid.

Een boek ligt op een tafel.

a Geef de reactiekracht van de zwaartekracht en de gewichtskracht.

b Teken het krachtenschema dat bij het boek hoort.

Een ondersteund systeem versnelt met een versnelling a Welke uitdrukking van de tweede wet van Newton is correct? Verklaar.

a F z + F n = m · a

b F g + F n = m · a

c Beide zijn correct.

Een kar met een massa van 36 kg staat op een hellend vlak onder een hoek van 30°. De kar is geladen met een blok met een massa van 12 kg.

Bereken:

a de grootte van de normaalkracht die de kar uitoefent op het blok;

b de grootte van de normaalkracht die het hellend vlak uitoefent op de kar.

Een mobiel met twee figuren hangt aan het plafond. De delen zijn verbonden met een touw waarvan de massa verwaarloosbaar is. De bovenste figuur heeft een massa van 250 g, de onderste een massa van 320 g.

Bereken de grootte van de spankracht die door elk touw wordt uitgeoefend.

Je duwt horizontaal tegen een houten kast op een houten horizontale parketvloer (µs = 0,300 en µk = 0,200). De kracht waarmee je duwt, heeft een grootte van 50,0 N. De kast, met een massa van 45,0 kg, beweegt niet. Wat is dan de grootte van de wrijvingskracht?

a 13,5 N

b 50,0 N

c 88,3 N

d 132 N

e 0 N

Een palet bakstenen met een massa van 100 kg hangt aan een stalen kabel.

Bereken:

a de spankracht door de kabel als het geheel in rust is;

b de spankracht door de kabel als het geheel naar omhoog versnelt met een constante versnellingsgrootte van 1,0 m s2 ;

c de spankracht door de kabel als het geheel naar omlaag versnelt met een constante versnellingsgrootte van 1,0 m s2 .

Zijn deze uitdrukkingen juist of fout?

Verklaar.

a F w, s, max = –μs · F n

b F w, s, max = –μs · F n · e x

c Fw, k = μs · F g

d Fw,

Sterspeler Molina heeft een ijshockeypuck (170 g) weggeslagen, waardoor die volgens een rechtlijnige baan over het ijs glijdt.

a Welk krachtenschema is correct voor de puck tijdens het glijden?

b Bereken de voorgestelde krachten als µk = 0,05.

Bepaal de grootte van de horizontale trekkracht die je minimaal moet uitoefenen om een koperen bak met een massa van 80 kg in beweging te krijgen op een horizontaal stalen (µs = 0,53) oppervlak.

REEKS

Tijdens een treinreis ligt er een boek op een glad tafeltje.

a Wat gebeurt er als de trein vertrekt?

b Bespreek de beweging vanuit het standpunt van:

1 Mauro, die op de trein zit in de rijrichting; 2 Cajsa, die je uitzwaait op het perron.

c Herhaal a en b voor een boek dat naast je ligt op de (ruwe) zetel.

Op vier karretjes liggen identieke betonblokken. Op de karretjes worden horizontale krachten uitgeoefend, zoals weergegeven op de afbeelding. Rangschik de situaties volgens toenemende versnelling. De massa van het karretje en de wrijving mag je verwaarlozen.

©VANIN

Op een voorwerp werken drie krachten in. Welke pijl stelt de versnelling correct voor?

Bestudeer de vx(t)-grafiek van een blokje (m = 2,0 kg) dat vooruit getrokken wordt met een kracht F onder een hoek α met de horizontale.

a Bepaal de resulterende kracht F x na 1,0 s, 4,0 s en 7,0 s.

b Teken op één grafiek de F(t)-grafiek voor α = 0°, α = 30° en α = 60°.

Op een voorwerp werken drie krachten.

Daarvan zijn er twee getekend.

Welke derde kracht ontbreekt, opdat het voorwerp …

a volgens de x-richting naar rechts zou versnellen?

b volgens de y-richting naar boven zou versnellen?

c niet zou versnellen?

Een student duwt twee blokken horizontaal vooruit met een kracht F. Er is geen wrijving tussen de blokken of met het horizontale vlak. Is de kracht die blok 1 uitoefent op blok 2, groter dan, kleiner dan of gelijk aan F? Verklaar.

Een locomotief kan op een horizontale, rechte spoorweg maximaal versnellen met 0,30 m s2 . Als die locomotief ook een treinstel moet voorttrekken dat een massa heeft gelijk aan de helft van de massa van de locomotief, wat is dan de maximale versnelling? Verwaarloos de wrijvingskracht.

Fara wordt in een pretparkattractie verticaal naar boven gekatapulteerd. Op het moment dat de opwaartse versnelling van de stoel waarin ze veilig vastzit, 3 · g bedraagt, is de grootte van haar gewicht 2,0 kN. Bepaal de massa van Fara.

Twee kinderen met een verschillende massa schuiven in een speeltuin van een glijbaan. Beoordeel de volgende uitspraken over de normaalkracht die de glijbaan uitoefent op de kinderen.

a De grootte van de normaalkracht verdubbelt als de hellingshoek verdubbelt.

b De verhouding tussen de grootte van de normaalkrachten is gelijk aan de verhouding tussen de grootte van de zwaartekrachten op de kinderen.

Om tijdens een kampeerreis op een trektocht voedsel te beschermen tegen dieren, hangt men een rugzak met een touw op zoals op de afbeelding. De kampeerder kan de rugzak omhoog en omlaag halen door aan het touw te trekken met een kracht F. Welke uitspraak is correct?

Een touw verbindt twee statieven.

In het midden hangt een blokje.

Rangschik de vier situaties volgens toenemende spankracht in het touw.

a De kracht neemt toe als de rugzak omhooggaat.

b De kracht is constant.

c De kracht neemt toe tot het touw horizontaal opgespannen is.

d De kracht neemt toe, maar het touw kan nooit horizontaal hangen.

Een kist staat op de laadbak van een vrachtwagen.

a Vanaf een bepaalde hoek schuift de kist naar beneden. Hoe komt dat? Welke stellingen zijn juist?

1 De zwaartekracht wordt kleiner.

2 De zwaartekracht wordt groter.

3 De tangentiële component van de zwaartekracht wordt groter.

4 De wrijvingskracht wordt kleiner.

5 De wrijvingskracht wordt groter.

6 De normaalkracht wordt kleiner.

7 De normaalkracht wordt groter. α

©VANIN

b Bij een heel ruw oppervlak schuift de kist niet. Welke curve hoort bij de onderstaande verbanden, als α toeneemt van 0° tot 90°?

1 Fz(α)

2 Fg(α)

3 Fn(α)

4 F w, s(α)

Aan de trekkabel van een torenkraan hangt een zware last. De spankracht die door de trekkabel wordt uitgeoefend op de last, is het grootst als … a de last naar boven versnelt; b de last met een constante snelheid naar boven wordt getrokken; c de last naar boven vertraagt; d de last in rust hangt.

Verklaar.

Een krat met een massa van 20 kg staat op een helling. Het wordt in rust gehouden door een touw met een verwaarloosbare massa. De hoek van de helling met een horizontale is 30°.

Bereken:

a de grootte van de spankracht; b de grootte van de normaalkracht.

Een arbeider duwt horizontaal tegen een kist, die over de vloer schuift. De grootte van de duwkracht is 125 N en de kist heeft een massa van 35,3 kg.

De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,300.

Bereken:

a de grootte van de kinetische wrijvingskracht;

b de grootte van de versnelling van de kist.

Op het perron trekt een studente haar trolley achter zich aan met een constante snelheid. De schuine kracht die ze uitoefent op de trolley, heeft een grootte van 42 N en de wrijvingskracht bedraagt 22 N.

De massa van de trolley is 12 kg.

Bereken:

a de hoek tussen de kracht die de studente uitoefent op de trolley, en de horizontale as;

b de grootte van de normaalkracht die het perron uitoefent op de trolley.

REEKS

Een kracht veroorzaakt op een voorwerp met massa m1 een versnelling van 3,0 m s2 en op een voorwerp met massa m2 een versnelling van 15 m s2 .

a Bereken de verhouding m1 m2

b Als die kracht op beide voorwerpen samen werkte, hoe groot zou de versnelling dan zijn?

In een gesloten karretje hangt een bal met massa m.

Als dat karretje eenparig versnelt, maakt het touw een hoek α met de verticale. Hoe groot is de versnelling, als de hoek α = 30°? a

α

Een blokje met massa m ondervindt wrijvingskracht als het in beweging is op een ondergrond met wrijvingscoëfficiënt µ.

In welke situatie is de versnelling a afhankelijk van de massa m? Toon aan met berekeningen.

a Het blokje glijdt van een helling met hoek α

b Het blokje wordt voortgetrokken op een horizontaal oppervlak met een horizontale kracht F

Kim trekt met een horizontale kracht F aan drie blokken op een glad tafeloppervlak, zoals weergegeven op de afbeelding. Bepaal de grootte van de spankrachten van het touw in punt 1, 2 en 3. (Noteer in functie van F en de massa’s.)

Twee blokken zijn met elkaar verbonden door een touw. Blok A (mA = 4,5 kg) kan verticaal bewegen, blok B (mB = 8,5 kg) horizontaal (op een wrijvingsloos oppervlak).

Bepaal de versnelling en de spankracht.

Krachtvector

De vectoriële grootheid kracht kun je enkel zien door de uitwerking ervan (snelheids- of vormverandering).

GROOTHEID MET SYMBOOLSI-EENHEID MET SYMBOOL

kracht F newton[F] = N

Elke kracht kan worden ontbonden in loodrechte componenten volgens een gekozen assenstelsel:

F = F x · e x + F y · e y

• Een tangentiële component raakt aan de baan

• Een normaalcomponent staat loodrecht op de baan

(Voor een rechtlijnige beweging is de x-component de tangentiële component en de y-component de normaalcomponent.)

Inwerkende krachten

KRACHTEN MET AANGRIJPINGSPUNT OP HET SYSTEEM DAT KAN VERSNELLEN

zwaartekracht F z verticaal

normaalkracht F n loodrecht op het contactoppervlak

©VANIN

wrijvingskracht F w evenwijdig met het contactoppervlak

• hangend systeem: verticaal naar beneden situatieafhankelijk HOOFDSTUKSYNTHESE

naar het middelpunt van de aarde F z = m · g

naar het ondersteunde systeem toe situatieafhankelijk (systeem liggend op oppervlak: F n = Fg)

tegengesteld aan de beweging F w = μ

spankracht F s gespannen touw van het ondersteunde systeem weg situatieafhankelijk (opgehangen systeem aan één kabel: F s = Fg)

KRACHT MET AANGRIJPINGSPUNT IN CONTACTPUNT VAN HET SYSTEEM DAT ONDERSTEUNT

gewicht F g • systeem liggend op oppervlak: loodrecht op het contactoppervlak

Wetten van Newton

In de mechanica zijn drie basiswetten van Newton altijd geldig:

• Eerste wet (traagheidswet): als de (resulterende) kracht op een voorwerp nul is, dan verandert de snelheid van het voorwerp niet. Omgekeerd geldt: als een voorwerp in rust is of met een constante snelheid beweegt, dan is de resulterende kracht op dat voorwerp nul.

• Tweede wet: het verband tussen de resulterende kracht en de versnelling wordt gegeven door: F res = m · a

• Derde wet (actie-reactiewet): als een systeem A een kracht FAB uitoefent op een systeem B, dan oefent systeem B een even grote, maar tegengestelde kracht FBA uit op systeem A. In symbolen: FAB = –FBA

Een blokje vooruit trekken op een helling

Actie-reactieparen voor het blokje

F n (op blokje) = –F g (op contactoppervlak)

F s (op blokje) = –F ’ s (op hand)

Resulterende versnelling van het blokje

Tweede wet van Newton toepassen op blokje:

• Versnelling a x volgens de helling:

• Normaalkracht bepalen uit rusttoestand loodrecht op de helling:

Bijzondere eendimensionale bewegingen

Parkeersensoren, een automatische versnellingsbak, cruisecontrol, snelheidsbegrenzers … Allemaal behoren ze tot het basispakket van recente auto’s. In een volgende stap detecteren zelfrijdende auto’s andere weggebruikers en vertragen en versnellen ze automatisch, om zo tot een veilige verkeerssituatie te komen. Bij de ontwikkeling van zulke voertuigen moet men antwoorden kennen op verschillende vragen: welk verband is er tussen tijd, positie, snelheid en versnelling? Welke kracht zorgt voor de gewenste beweging?

In dit hoofdstuk bestudeer je bijzondere rechtlijnige bewegingen door de krachtwerking en de bewegingsgrafieken te analyseren. Je beschrijft daarmee de positie, de snelheid en de versnelling voor bewegingen met een constante snelheid en een constante versnelling. Met die kennis ga je op zoek naar de eigenschappen van rechtlijnige bewegingen die beïnvloed worden door de zwaartekracht.

LEERDOELEN

M  het verband tussen de oriëntatie van een kracht en een snelheidsverandering omschrijven en voorstellen

M  de x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafieken voor bijzondere rechtlijnige bewegingen lezen en gebruiken

M  de x(t)-, vx(t)- en ax(t)-functies voor bijzondere rechtlijnige bewegingen opstellen en toepassen

M  eigenschappen van de valbeweging en de verticale worp omschrijven en toepassen

• Eenparig: de snelheid is constant en verschillend van nul.

• Rechtlijnige beweging: het is een beweging volgens één richting.

Een ERB is een model. In werkelijkheid zijn bewegingen vaak enkel bij benadering een ERB. Je leert er meer over op

©VANIN

1 Welke eigenschappen heeft een beweging zonder versnelling?

Als er geen resulterende kracht op een systeem in beweging werkt, dan is de snelheid constant (volgens de eerste wet van Newton).

Snelheid is een vectoriële grootheid. Een constante snelheid betekent dat de snelheidsvector v constant is. Daarvoor moeten de vier kenmerken constant zijn: de grootte v, de richting, de zin en het aangrijpingspunt. Een beweging met een constante snelheid noem je een eenparig rechtlijnige beweging (ERB)

Voor elke ERB geldt dat de ogenblikkelijke snelheid op elk tijdstip gelijk is aan de gemiddelde snelheid. Voor een beweging volgens de x-as betekent dat: vx(t) = <v x > = ∆x ∆t = x – x0 t – t0

Dus: v x · (t – t0) = x – x0, met x0 de beginpositie en t0 de begintijd. Je kiest t0 = 0 s.

Daaruit volgt:

• de plaatsfunctie:

x(t) = x0 + v x · (t – t0) = x0 + v x · t = x0 + v0x · t

Op elk tijdstip t geldt dat de snelheidscomponent v x  = v0x, met v0x de beginsnelheid.

Dat is een lineaire functie. De x(t)-grafiek is een rechte met de snelheidscomponent v0x als richtingscoëfficiënt en de beginpositie x0 als snijpunt met de verticale as.

De positievector is gegeven door:

r(t) = x(t) · e x = (v0x · t + x0) · e x

• de snelheidsfunctie (als afgeleide van de plaatsfunctie):

vx(t) = dx(t) dt = d(v0x · t + x0) dt = v0x

Dat is een constante functie met de beginsnelheid als afsnijpunt op de vx(t)-grafiek. De snelheidsvector is gegeven door:

v(t) = vx(t) · e x = v0x · e x

Op een vx(t)-grafiek is de grootte van de verplaatsing gelijk aan de ingesloten oppervlakte tussen de trendlijn en de t-as. Voor een ERB is de grootte van Δx die van de oppervlakte van een rechthoek met lengte Δt en breedte v0x

• de versnellingsfunctie (als afgeleide van de snelheidsfunctie):

ax(t) = dvx(t) dt = dv0x dt = 0

De versnelling is altijd nul

VOORBEELD BEWEGINGSGRAFIEKEN VAN VOERTUIGEN DIE EEN ERB UITVOEREN

Drie voertuigen (① blauwe auto, ② oranje auto en ③ blauwe bus) rijden op een rechte baan met een constante snelheid. Je kunt dat bekijken in de animatie. Hun posities worden opgemeten in functie van de tijd. Het resultaat is weergegeven met trendlijnen op de x(t)- en vx(t)-grafiek.

(m) x(t)-grafiek voertuigen

©VANIN

Alle drie de x(t)-grafieken zijn schuine rechten: de voertuigen voeren een ERB uit in de x-richting. Uit het voorschrift van de trendlijn kun je de snelheid aflezen als de richtingscoëfficiënt (vx(t) = dx(t) dt = v0) en de beginpositie (x0) als het afsnijpunt.

animatie: x(t)grafiek straat

animatie: vx(t)grafiek straat

CONCEPTVRAGEN

1 Bij het voorschrift van trendlijn 3 op de x(t)-grafiek zijn de constante waarden negatief. Leg uit wat dat betekent.

2 Ga na of de snelheid v x die voorgesteld is op de vx(t)-grafieken, overeenkomt met de richtingscoëfficiënt van de voorschriften van de x(t)-grafieken.

v x ( ) m s

vx(t)-grafiek voertuigen

Alle drie de vx(t)-grafieken zijn horizontale rechten: de voertuigen voeren een ERB uit.

Uit het voorschrift van de trendlijn kun je de snelheid aflezen als het afsnijpunt v0x

Bij een ERB geldt: v

Daaruit volgt: ∆

De grootte van de verplaatsing ∆x is hetzelfde als de oppervlakte van de aangeduide rechthoeken met lengte Δt en breedte v0x.

©VANIN

▲ Grafiek 7

VOORBEELD SNELHEIDS- EN PLAATSFUNCTIE EN KRACHTENANALYSE BIJ CRUISECONTROL

Krachtenschema

Tijdens een rit op een autosnelweg kun je de cruisecontrol instellen, zodat de snelheidsgrootte constant is. Op een recht stuk autosnelweg behoudt de snelheid ook haar richting en zin. De auto voert een ERB uit. Voor een x-as die volgens de beweging gekozen is, en met de gegevens op de kaart betekent dat:

CONCEPTVRAAG

Noteer de bijbehorende uitdrukkingen voor de positie-, snelheids- en versnellingsvectoren (in functie van de tijd) van de auto tijdens de ERB.

De resulterende kracht op de auto is nul. Als je de cruisecontrol gebruikt, betekent dat een aanpassing van de motorkracht, zodat die op elk moment net even groot is als de wrijvingsen weerstandskrachten. Bij een sterke tegenwind zal de motor een grotere kracht moeten uitoefenen om dezelfde snelheid aan te houden.

2

Als de resulterende kracht op en versnelling van een bewegend systeem nul zijn, dan heeft dat systeem een constante snelheid v. Je noemt dat een eenparig rechtlijnige beweging (ERB) met als plaats-, snelheids- en versnellingsfuncties:

x(t) = x0 + v0x · t

vx(t) = v0x = constant

a x = 0

Welke snelheidsverandering kan door een kracht worden veroorzaakt?

DEMO

Welk kenmerk van de snelheid verandert door een inwerkende kracht?

1 Je leerkracht maakt verschillende opstellingen waardoor er een kracht wordt uitgeoefend op een balletje. Je bestudeert de beweging die start na de beschreven werkwijze.

a Een balletje ligt in een gootje. Je geeft een duwtje aan het balletje.

b Een balletje hangt aan een touwtje. Je laat het balletje in een cirkel draaien.

c Je laat een balletje los. Het botst op de grond.

2 Hoe zal de snelheid volgens jou veranderen? Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Een kracht veroorzaakt een dynamisch effect op een systeem als het systeem een versnelling a ondervindt. Dat betekent dat er een snelheidsverandering (∆v = veind – vbegin ≠ 0) is. Op een systeem werken meestal meerdere krachten. Het effect dat zichtbaar is, is het effect van de resulterende kracht F res = F 1 + F2 + F3 + …

Een snelheidsverandering betekent dat een van de kenmerken van de snelheidsvector verandert. Het aangrijpingspunt kan niet veranderen, dus er zijn drie mogelijkheden:

1 Verandering van snelheidsgrootte

Voor een snelheidsverandering waarbij enkel de grootte verandert, hebben de snelheidsvectoren vbegin en veind en de snelheidsverandering ∆v dezelfde richting:

©VANIN

v = veind – vbegin

veind,

Uit de definitie van versnelling en de tweede wet van Newton volgt dat ook de versnelling a en de resulterende kracht F res dezelfde richting hebben:

a = lim

= lim

veroorzaakt door F

Een rechtlijnige beweging blijft rechtlijnig.

Hoe de snelheidsgrootte verandert, hangt af van de zin van de resulterende kracht en de snelheid:

• Voor een kracht volgens de bewegingszin is er een snelheidstoename

• Voor een kracht tegengesteld aan de bewegingszin is er een snelheidsafname

demovideo: snelheidsverandering

2 Verandering van snelheidsrichting

Voor een snelheidsverandering waarbij de richting verandert, hebben de snelheidsvectoren vbegin en veind een andere richting (vbegin = vbegin, x · e x en veind ≠ veind, x · ex).

Daardoor hebben ook de snelheidsverandering (∆v ≠ ∆v x · ex), de versnelling en de resulterende kracht die de snelheidsverandering veroorzaakt, een andere richting dan de beginsnelheid

Om een verandering van richting te veroorzaken, heeft de resulterende kracht een loodrechte component ten opzichte van de beginsnelheid. De versnelling maakt een hoek met de beginsnelheid. De baan van het systeem is tweedimensionaal.

3 Verandering van snelheidszin

Soms blijft de richting van de snelheid hetzelfde, maar verandert de zin van de snelheid onder invloed van een resulterende kracht. De resulterende kracht heeft dan:

• dezelfde richting als de beginsnelheid;

• een zin tegengesteld aan de zin van de beginsnelheid;

©VANIN

• een grootte die groot genoeg is om de snelheidsafname ∆v x zo groot te maken dat de snelheidscomponenten vbegin, x en veind, x een verschillend teken hebben en de zin van de snelheid verandert.

Die situatie doet zich bijvoorbeeld voor bij frontale botsingen. De normaalkracht zorgt dan voor een heel snelle omkering van de snelheidszin, waardoor de verandering van de grootte van de snelheid niet zichtbaar is, enkel de verandering van de zin van de snelheid. De versnelling en de inwerkende resulterende kracht hebben een richting volgens de bewegingsrichting. Een rechtlijnige beweging blijft rechtlijnig.

VOORBEELD SNELHEIDSVERANDERINGEN

SNELHEIDSTOENAME

Je versnelt met de fiets op een recht stuk weg: de snelheid neemt toe. De resulterende kracht is de som van de spierkracht en de wrijvingskracht, en is volgens de beweging gericht.

Je stopt met de fiets: de snelheid neemt af. De resulterende kracht als gevolg van het remmen heeft dezelfde richting als de snelheid, maar een tegengestelde zin.

VERANDERING VAN SNELHEIDSRICHTING

Je draait een balletje aan een touwtje in het rond: de snelheid verandert van richting.

De resulterende kracht is de spankracht en staat loodrecht op de beginsnelheid. De grootte van de snelheid verandert niet.

VERANDERING VAN SNELHEIDSZIN

Een biljartbal botst loodrecht op de wand: de snelheid verandert van zin.

De resulterende kracht is de normaalkracht en is tegengesteld aan de beginsnelheid.

De grootte van de snelheid verandert (bijna) niet.

CONCEPTVRAAG

De zwaartekracht kan de snelheid van grootte (toenemen en afnemen), van richting of van zin laten veranderen. Geef voor elke verandering een voorbeeld.

De oriëntatie van de kracht ten opzichte van de beginsnelheid bepaalt welke baan er gevolgd wordt en hoe de snelheid verandert. In dit hoofdstuk en in hoofdstuk 4 bekijk je speciale bewegingen waarbij de grootte van de versnelling constant is doordat de grootte van de kracht constant is:

• In hoofdstuk 3 bestudeer je rechtlijnige bewegingen waarbij er snelheidsveranderingen zijn door een kracht evenwijdig met de snelheid.

• In hoofdstuk 4 bestudeer je tweedimensionale bewegingen waarbij er snelheidsveranderingen zijn doordat een kracht niet evenwijdig is met de snelheid.

Bij een resulterende kracht is er een snelheidsverandering (∆v = veind – vbegin ≠ 0).

De oriëntatie van de resulterende kracht bepaalt of de grootte, de richting of de zin van de snelheid (of een combinatie) verandert. De baan die daardoor gevolgd wordt, is eendimensionaal of tweedimensionaal.

©VANIN

• Eenparig: de versnelling is constant.

• Versnelde: de versnelling is verschillend van nul.

• Rechtlijnige beweging: het is een beweging volgens één richting.

3 Welke eigenschappen heeft een beweging met een constante versnelling?

▲ Afb. 74

Een skiër op een helling kan gelijkmatig versnellen door de constante zwaartekracht.

▲ Afb. 75

Een trein versnelt gelijkmatig door de constante motorkracht.

▲ Afb. 76

©VANIN

Een speelgoedauto die in gang geduwd werd, vertraagt gelijkmatig door de constante wrijvingskracht.

Als er een resulterende kracht inwerkt op een systeem volgens de bewegingsrichting (x-richting), dan verandert de snelheidsgrootte: er is een versnelling. Als de resulterende kracht constant is, dan is de versnelling constant (tweede wet van Newton: a = F m ).

Afb. 77 De bus versnelt gelijkmatig door een constante motorkracht.

▲ Afb. 78 De bus vertraagt gelijkmatig door een constante remkracht.

CONCEPTVRAAG

Hoe kun je informatie over de versnelling afleiden uit afbeeldingen 77 en 78?

Versnelling is een vectoriële grootheid. Een constante versnelling betekent dat de versnellingsvector a constant is. Daarvoor moeten de vier kenmerken constant zijn: de grootte a, de richting, de zin en het aangrijpingspunt. Een beweging met een constante versnelling noem je een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB).

Voor elke EVRB geldt dat de ogenblikkelijke versnelling op elk tijdstip t gelijk is aan de gemiddelde versnelling. Voor een beweging volgens de x-as betekent dat:

ax(t) = <a x > = ∆v x ∆t = v x – v0x t – t0

Dus:

a x · (t – t0) = v x – v0x, met v0x de x-component van de beginsnelheid en t0 de begintijd. Je kiest t0 = 0.

Daaruit volgt:

• de snelheidsfunctie:

vx(t) = v0x + a x · (t – t0) = v0x + a x · t

Dat is een lineaire functie. De vx(t)-grafiek is een rechte met de versnellingscomponent a x als richtingscoëfficiënt en de beginsnelheidscomponent v0x als afsnijpunt. De snelheidsvector is gegeven door:

v(t) = vx(t) · e x = (v0x + a x · t) · e x

• de versnellingsfunctie (als afgeleide van de snelheidsfunctie):

ax(t) = dvx(t) dt = d(a x · t + v0x) dt = a x

Dat is een constante functie met de versnelling als afsnijpunt op de ax(t)-grafiek. De versnellingsvector is gegeven door:

a(t) = ax(t) · e x

• De plaatsfunctie kun je afleiden uit experimenten of berekenen aan de hand van de kenmerken van de EVRB of integraalrekenen (zie oefening 33):

x(t) = x0 + v0x · t + a x 2 · t2

Dat is een kwadratische functie. De grafiek is een parabool. De positievector is gegeven door:

r(t) = x(t) · e x = (x0 + v0x · t + a x 2 · t2) · e x

VOORBEELDVRAAGSTUK

Christo geeft een duwtje aan een schijfje in een sjoelbak op een horizontaal oppervlak.

Het schijfje vertrekt met een snelheid van 2,1 m s en komt na 1,3 s tot stilstand.

Bereken:

1 de verplaatsing; 2 de wrijvingscoëfficiënt.

Gegeven:

• v0x = 2,1 m s

• vx(1,3 s) = 0 m s

Gevraagd: 1 ∆x = ?

2 µ = ?

Oplossing: 1

▲ Afb. 80

Het schijfje komt tot stilstand door de wrijvingskracht.

Die kracht is constant tijdens een beweging, dus de versnelling is constant. Het schijfje voert een EVRB uit.

De plaatsfunctie is gegeven door: x(

Voor een tijdstip t is de verplaatsing:

©VANIN

De versnellingscomponent a x kun je bepalen uit de snelheidsfunctie:

vx(t) = a x · t + v0x

De beginsnelheidscomponent v0x is gegeven.

Op tijdstip t = 1,3 s geldt:

Daaruit volgt: a

Als je dat invult in de uitdrukking voor de verplaatsing, bekom je:

∆x = v0x · t + a x 2 · t2 = 2,1 m s · 1,3 s – 1,6 m s2 2 · (1,3 s)2 = 1,4 m

2 De ruwheid van het oppervlak (beschreven door de wrijvingscoëfficiënt) bepaalt de grootte van de tegenwerkende kracht (= wrijvingskracht) en dus van de negatieve versnelling in de x-richting.

Op het schijfje werken de zwaartekracht Fz, de normaalkracht F n en de kinetische wrijvingskracht Fw, k, dus volgens de tweede wet van Newton geldt: F res = F z + F n + Fw, k = m · a

Je kunt de versnelling in de x-richting bepalen door de krachten te projecteren op de x-as: F res, x = –Fw, k = –µ · F n = m · a x

De grootte van de normaalkracht F n kun je bepalen uit de projectie op de y-as (rust): F res, x = F z,

Daaruit volgt:

Reflectie: 1 Controleer de eenheden van de verplaatsing en de wrijvingscoëfficiënt.

2 Hoe komt het dat je de massa van de doos niet nodig hebt?

Zowel de wrijvingskracht als de resulterende kracht is recht evenredig met de massa (in deze situatie omdat F z = F n), dus µ (= de verhouding) is onafhankelijk van de massa.

VOORBEELD

Een bus vertrekt vanaf een halte met een constante versnelling. Je kunt dat bekijken in de animatie. De posities van de bus worden opgemeten in functie van de tijd. Als beginpunt is x0 = 0,0 m en t0 = 0,0 s gekozen, met een x-as naar rechts (= volgens de bewegingsrichting en -zin). Het resultaat is weergegeven met trendlijnen op de x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek.

Uit de vorm van de x(t)-grafiek kun je de volgende kenmerken afleiden:

• De curve is stijgend: de bus rijdt volgens de x-as.

• De curve wordt steeds steiler: de snelheid van de bus neemt toe. De bus versnelt.

• De x(t)-grafiek is een deel van een dalparabool door de oorsprong: de versnelling is constant en positief.

De plaatsfunctie is gegeven door: x(t) = x0 + v0x · t +

Uit het voorschrift van de trendlijn kun je de versnelling afleiden uit de constante C bij t2:

x(t)-grafiek versnelde

©VANIN

a x = 1,1 ▲ Grafiek 10

Uit de vorm van de vx(t)-grafiek kun je de volgende kenmerken afleiden:

• De snelheid is positief: de bus rijdt volgens de x-as.

• De curve is stijgend: de snelheid neemt toe. De bus versnelt.

• De curve is een rechte: de snelheid van de bus neemt gelijkmatig toe. De versnelling is constant.

Uit het voorschrift van de trendlijn kun je de versnelling aflezen als de richtingscoëfficiënt:

ax(t) = dvx(t) dt = 1,1 m s2

Dat komt overeen met de gemiddelde versnelling: <a x > = ∆v x ∆t = 5,5 m s 5,0 s = 1,1 m s2

Uit de vorm van de ax(t)-grafiek kun je de volgende kenmerken afleiden:

• De versnelling is positief: de bus versnelt.

• De curve is een horizontale rechte: de versnelling is constant.

Uit het voorschrift van de trendlijn kun je de versnelling aflezen als het afsnijpunt a x :

a x = 1,1 m s2

Voor een vertraagde EVRB zijn er vergelijkbare bewegingsgrafieken. Je vindt een voorbeeld terug op Hoe kun je de beginpositie en de beginsnelheid afleiden uit de grafieken? CONCEPTVRAAG

De valversnelling is bij benadering 10 m s2 Gebruik die informatie om afstanden en snelheden te schatten voordat je ze berekent: v x  ≈ 10 m s2  ∙ t en x ≈ 5 m s2  ∙ t2

Als de resulterende kracht constant is, dan ondervindt een systeem een constante versnelling a.

Je noemt dat een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) met als plaats-, snelheidsen versnellingsfuncties:

4

4.1

Welke beweging voert een vallend voorwerp uit?

Vrije val

©VANIN

Een systeem waar de zwaartekracht op inwerkt, valt verticaal naar beneden. Een valbeweging die veroorzaakt wordt door de zwaartekracht, noem je een vrije val. Een vrije val is een valbeweging waarbij je alle weerstands- en wrijvingskrachten verwaarloost: je vereenvoudigt het systeem tot een punt dat alle massa bevat, en je verwaarloost alle effecten die het voorwerp ondervindt als gevolg van zijn afmetingen. In dat model beschouw je het systeem als een puntmassa.

Voor kleine voorwerpen met een lage snelheid in een middenstof met een beperkte weerstand (zoals lucht) is de vrije val een goede benadering van de werkelijkheid.

Bij een vrije val is de zwaartekracht de enige kracht die inwerkt op het systeem. Het is de resulterende kracht. De zwaartekracht werkt volgens de bewegingsrichting (x-richting) en -zin en veroorzaakt bijgevolg een snelheidstoename als een voorwerp wordt losgelaten:

F res = F z = m · a en F res, x = F z = m · a x

In de buurt van de aarde is de zwaartekracht constant, waardoor de versnelling constant is. De vrije val is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) met als versnelling de valversnelling a = g. Uit experimenten blijkt dat de valversnelling g = 9,81 m s2 = 9,81 N kg op zeeniveau.

De x-as wordt naar beneden gekozen, omdat de snelheid, de versnelling en de kracht naar beneden wijzen. Voor een x-as naar beneden gekozen geldt voor de vrije val (v0x = 0 en x = 0):

a x = g

vx(t) = g · t

x(t) = g 2 · t2

▲ Afb. 82 Waterdruppels leggen steeds meer afstand af in dezelfde tijdsduur. Ze versnellen door de zwaartekracht.

05 LABO

▲ Afb. 83 De snelheid en de positie van een puntmassa tijdens de vrije val e x

De bewegingsgrafieken tonen een versnelde EVRB. Op grafieken 11, 12 en 13 is de vrije val van een voorwerp gedurende één seconde weergegeven.

Grafiek 11 x(t)-grafiek: dalparabool door de oorsprong

Grafiek 12 vx(t)-grafiek: stijgende rechte door de oorsprong

Grafiek 13 ax(t)-grafiek: horizontale rechte boven de t-as

VOORBEELD VRIJ VALLENDE STENEN

In de animatie zie je stenen in slowmotion vallen en de bijbehorende x(t)- en vx(t)-grafieken.

©VANIN

• Elke steen valt op dezelfde manier. De massa en de vorm van de stenen hebben geen invloed op de valtijd. Je kunt de stenen voorstellen als puntmassa’s die een vrije val uitvoeren.

• Voor elke steen is het verloop van de bewegingsgrafieken hetzelfde. De vrije valbeweging is een EVRB (zonder beginsnelheid).

vallende stenen

animatie:

VOORBEELD ZWAARTEKRACHT EN VERSNELLING VAN EEN VALLEND BALLETJE

Twee balletjes met een verschillende massa (m en 2 · m) worden losgelaten op dezelfde hoogte. De dubbel zo grote massa ondervindt een dubbel zo grote zwaartekracht. Voor zwaardere voorwerpen is een grotere kracht nodig opdat ze even sterk versnellen. De versnelling en de valtijd van beide balletjes zijn gelijk. Beide balletjes ondervinden dezelfde versnelling, namelijk g. Ze ondervinden wel een verschillende kracht, namelijk respectievelijk m · g en 2

m

g.

BALLETJE MET MASSA m

BALLETJE MET MASSA 2 ∙ m

Zwaartekracht Beweging Zwaartekracht Beweging

©VANIN

▲ Afb. 84 De zwaartekracht op en de beweging van balletjes met een verschillende massa

Voorwerpen die losgelaten worden, versnellen onder invloed van de zwaartekracht. Ze voeren een valbeweging uit. De vrije val van een puntmassa is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) met als versnelling de valversnelling a = g, waarbij g = 9,81 m s2 = 9,81 N kg op zeeniveau.

Voor een x-as naar beneden gekozen geldt voor de vrije val (v0x = 0 en x0 = 0): a x = g

vx(t) = g · t

x(t) = g 2 · t2

De kenmerken van de valversnelling worden gebruikt in technologische toepassingen.

1 Wie een tablet of smartphone een kwartslag draait, ziet het scherm meebewegen. Reuzehandig in de meeste gevallen. In je toestel wordt de richting van de valversnelling opgemeten. Het beeld op het scherm draait automatisch naar de richting van de valversnelling. Daarvoor gebruikt men een tiltsensor.

2 Bij valdetectiesystemen wordt de grootte van de versnelling elektronisch opgemeten. Menselijke bewegingen benaderen de valversnelling niet, omdat de spierkracht niet groot genoeg is. Als de versnelling (ongeveer) de valversnelling is, betekent dat dat je gevallen bent. Dan treedt er een veiligheidsmechanisme in actie.

Smartwatches verzenden een SOSnoodmelding als je na een val niet reageert op de boodschap.

©VANIN

In een airbag zit een gascapsule die (door de aansturing van een elektrisch signaal) breekt wanneer je valt. De airbag blaast zichzelf op. Dat zie je in de video.

video: airbag

demovideo: valtijd

4.2 Val met weerstand

DEMO

Hoe beïnvloedt de omgeving de valtijd?

1 Je leerkracht laat vier voorwerpen (① blad papier, ② prop papier, ③ tennisbal en ④ tennisbal opgevuld met water) gelijktijdig los vanaf 1,5 m hoogte.

2 In welke volgorde zullen de voorwerpen volgens jou de grond raken?

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Afb. 85 Voorwerpen

©VANIN

In werkelijkheid ondervindt een vallend voorwerp naast de zwaartekracht ook een weerstandskracht door de vorm en de snelheid van het voorwerp en de middenstof. Voor voorwerpen met een groot oppervlak en/of een hoge snelheid of die zich in een middenstof met een grote weerstand (zoals water) bevinden, is de vrije val geen goede benadering van de werkelijkheid.

Als de weerstandskracht F w niet te verwaarlozen is, geldt: F res = F z + F w = m · a of F res, x = F z – F w = m · a x

De resulterende versnelling wordt bepaald door de resulterende kracht, en dus door de weerstandskracht:

• De weerstandskracht neemt toe met de snelheid, dus de resulterende kracht is niet constant tijdens de beweging. De val met weerstand is geen EVRB en de versnelling is kleiner dan de valversnelling.

• Als de weerstandskracht even groot wordt als de zwaartekracht, is de resulterende kracht gelijk aan nul. De versnelling is dan ook gelijk aan nul. De snelheid neemt niet verder toe en de beweging wordt een ERB.

VOORBEELD VEER

Op aarde valt een veer trager dan een balletje, omdat de weerstandskracht groter is bij de veer.

In het luchtledige (in een vacuümbuis of op de maan) vallen de veer en het balletje even snel en voeren ze allebei een vrije valbeweging uit.

Dat kun je ook zien in de video.

lucht luchtledig

▲ Afb. 86 De valbeweging van een veer en een balletje in lucht en in het luchtledige

Voorwerpen met een afmeting ondervinden weerstandskracht van de omgeving.

Ze voeren een val met weerstand uit.

De beweging wordt bepaald door de zwaartekracht en de weerstandskracht:

F res = F z + F w = m a

▲

met een verschillende vorm en massa worden gelijktijdig losgelaten.

video: vacuüm

5 Welke beweging voert een voorwerp uit dat verticaal omhoog wordt geworpen?

Als je een balletje verticaal omhooggooit, kun je het na een tijdje op dezelfde plek weer opvangen. Het balletje vertrekt verticaal naar boven met een bepaalde beginsnelheid v0 en keert terug naar beneden onder invloed van de zwaartekracht. Die beweging noem je een verticale worp

Bij een verticale worp is de zwaartekracht de enige, en dus de resulterende, kracht die inwerkt op een systeem. De zwaartekracht werkt volgens de bewegingsrichting (x-richting):

F res = F z = m · g of F res, x = F z = m · gx

In de buurt van de aarde is de zwaartekracht constant, waardoor de versnelling constant is. De verticale worp is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) met als versnelling de valversnelling a = g

Tijdens de verticale worp verandert de snelheid van grootte en van zin:

• Het voorwerp heeft een verticale beginsnelheid omhoog v0 (= v0x · ex) en vertraagt tot het hoogste punt, waar de snelheid v top = 0 (= 0 · ex) nul wordt.

• Het voorwerp verandert in het hoogste punt van bewegingszin en versnelt vanuit rust omlaag.

Voor een x-as naar boven gekozen met de oorsprong in het referentiepunt (x0 = 0 en v0x > 0) geldt voor de verticale worp:

a x = – g

vx(t) = v0x – g · t

x(t) = v0x· t –g 2 · t2

©VANIN

▲ Afb. 87 Een cricketspeler gooit een balletje omhoog en vangt het daarna op dezelfde plek weer op.

▲ Afb. 88 De positie, de snelheid en de versnelling tijdens de verticale worp omhoog

animatie: verticale worp

In de animatie zie je een verticale worp van een balletje (met een beginsnelheid van 4,3 m s ) en de bijbehorende x(t)-grafiek. Grafieken 14, 15 en 16 zijn de bewegingsgrafieken voor de verticale worp.

x(t)-grafiek verticale worp

Grafiek 14 x(t)-grafiek: bergparabool

©VANIN

Grafiek 15 vx(t)-grafiek: dalende rechte

x(t)-grafiek verticale worp vertraging volgens de x-as versnelling tegengesteld aan x-as

a x = –9,81

▲ Grafiek 16 ax(t)-grafiek: horizontale rechte onder de t-as

• Uit de x(t)-grafiek volgt dat het balletje eerst omhoog beweegt en daarna naar beneden.

– Het balletje is 0,88 s in beweging.

– Het balletje bereikt een maximale hoogte van x = 0,94 m bij t = 0,44 s.

• Tijdens de beweging omhoog is de snelheidscomponent positief en is er een vertraging.

• Tijdens de beweging omlaag is de snelheidscomponent negatief en is er een versnelling.

• De versnelling volgt uit de trendlijnen: a x = –g = –9,81 m s2

• De beginsnelheid lees je af op de vx(t)-grafiek bij t = 0 s (v0x = 4,3 m s ).

– Op het hoogste punt (bij t = 0,44 s) is de snelheid nul.

– Bij aankomst heeft het balletje een eindsnelheid die even groot, maar tegengesteld is (veind, x = –4,3 m s ).

CONCEPTVRAAG

Je werpt een balletje verticaal omhoog. Welke beweging voert het balletje (bij benadering) uit na het hoogste punt? Leg uit.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een scheidsrechter gooit een muntje op. Dat bereikt na 0,40 s zijn hoogste punt.

1 Welke snelheid heeft het muntje op het hoogste punt, in het begin en wanneer de scheidsrechter het weer opvangt?

2 Welke hoogte bereikt het muntje?

3 Na hoeveel tijd landt het muntje op de hand van de scheidsrechter?

Gegeven: • tboven = 0,40 s

• g = 9,81 m s2

Gevraagd: 1 v0x = ?; vboven, x = ?; veind, x = ?

2 xboven = ?

3 teind = ?

Oplossing: Het muntje voert een verticale worp uit.

1 De snelheidscomponent vboven, x op het hoogste punt is nul: vboven, x = 0 m s vboven, x = v0x + a x ∙ tboven = v0x – g ∙ tboven

Als je die formule omvormt en de gegevens invult, bekom je: v0x = vboven, x + g ∙ tboven = 0 m s + 9,81 m s2 ∙ 0,40 s = 3,9 m s = 14

De snelheid veind, x waarmee de scheidsrechter het muntje opvangt, is even groot als de beginsnelheid, maar tegengesteld: veind, x = –v0x = –3,9 m s = –14 km h

2 Je kunt de maximale hoogte h vinden met de plaatsfunctie van een EVRB:

boven(t) = v0x

Dat betekent:

0,78 m

3 Bij deze verticale worp beweegt het voorwerp even lang omhoog als omlaag.

©VANIN

De totale tijd is: teind = 2

Reflectie: Zijn de hoogte en de beginsnelheid realistisch voor een opgegooid muntje? Ja.

Bij een verticale worp vertrekt een voorwerp verticaal naar boven met een beginsnelheid v0 en keert het terug naar beneden onder invloed van de zwaartekracht. Het voert een EVRB uit met een versnelling a x = –g = –9,81 m s2 . Voor een x-as naar boven gekozen met de oorsprong in het referentiepunt (x0 = 0 en v0x > 0) geldt:

a x = – g

vx(t) = v0x – g · t

x(t) = v0x· t –g 2 · t2

▲ Afb. 89 Een scheidsrechter gooit een muntje op.

REEKS

Je maakt een fietstocht.

Geef een voorbeeld waarbij de rit …

a een ERB is;

b rechtlijnig, maar niet eenparig is;

c eenparig, maar niet rechtlijnig is.

Je verschuift een kast (van 15,0 kg) in een tijdsduur van 5,0 s over een afstand van 80 cm met een constante snelheid.

a Kies een x-as volgens de bewegingsrichting en -zin met de oorsprong in het startpunt. Bepaal:

1 de plaats- en snelheidsfunctie;

2 de uitdrukkingen voor r (t) en v(t);

3 x(2,0 s), vx(2,0 s), r (2,0 s) en v(2,0 s).

b Bereken de krachtgrootte waarmee je duwt (µk = 0,25).

Bestudeer de snelheidsgrafiek van een auto.

a Bepaal de totale verplaatsing eerst grafisch.

b Bepaal vervolgens de verplaatsing met formules.

c Bereken de gemiddelde snelheidscomponent voor het volledige traject.

d Teken de bijbehorende x(t)-grafiek.

Maak de uitspraken correct door ze te vervolledigen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’.

Bij een EVRB (volgens de x-as) zonder beginsnelheid is ...

a de versnellingscomponent negatief;

b de ogenblikkelijke versnelling op een tijdstip gelijk aan de gemiddelde versnelling van het volledige traject;

c de grootte van de eindsnelheid groter dan de grootte van de beginsnelheid; d de eindsnelheid gelijk aan de gemiddelde snelheid van het volledige traject.

©VANIN

Een tennisser slaat tegen een tennisbal (m = 55 g) die met een snelheidsgrootte van 80 km h naar links vliegt. Door de slag van het racket vliegt de tennisbal 50 ms terug naar rechts met een snelheid die 20 km h groter is.

a Teken de snelheidsvectoren op een x-as naar rechts.

b Bepaal de grootte van de snelheidsverandering.

c Noteer de snelheidsvectoren en de snelheidsverandering met behulp van een eenheidsvector.

d Bereken en teken de krachtvector.

Een puntmassa beweegt op een horizontale baan. De beweging wordt beschreven op een naar rechts georiënteerde x-as met deze plaatsfunctie:

x(t) = 4,0 m s · t – 4,0 m s2 · t2

a Bepaal de versnelling op t = 3,0 s.

b Wanneer is de snelheid 4,0 m s naar links?

Een voorwerp dat beweegt op een rechte weg, vertraagt met een constante versnellingsgrootte van 2,5 m s2 tot stilstand.

a Hoelang duurt het voordat de snelheid is afgenomen met 30 m s ?

b Wat is de verplaatsing, als de beginsnelheid gelijk is aan 50 m s ?

Bestudeer de onderstaande bewegingen.

1 Een Tesla Model S trekt in 4,6 s gelijkmatig op tot 100 km h

2 Een Airbus 380 versnelt gelijkmatig in 35,0 s van 54 km h tot 270 km h en komt los van de startbaan.

a Bepaal voor een x-as volgens de bewegingsrichting met de oorsprong in het startpunt:

1 de plaats-, snelheids-, en versnellingsfunctie; 2 de uitdrukkingen voor r (t), v(t) en a(t);

3 de verplaatsing tijdens de snelheidstoename.

b Bereken de resulterende kracht (mTesla = 2,2 ton; mAirbus = 575 ton).

Een skiër daalt vanuit rust op t = 0 s een berghelling af met een constante versnelling met een grootte van 4,0 m s2 . De helling is 25 m lang. Verwaarloos eventuele wrijving.

a Maak een situatieschets.

Teken de krachten en de resulterende kracht op de skiër. Welke beweging voert hij uit?

b Bereken x(3,0 s), v(3,0 s), teind en vx, eind

c Maak de x(t)- en vx(t)-grafiek.

Bestudeer de vx(t)-grafiek van een landend vliegtuig (575 ton).

50 100 v x ( ) m s

0 0 10 20 30 t (s)

a Bepaal de remafstand grafisch.

b Bepaal de remafstand met berekeningen.

c Bepaal F res

Wanneer een robot op Mars landt, gebruikt men parachutes, maar bij een landing op de maan niet. Verklaar het verschil.

Bestudeer de grafiek.

Geef een omschrijving van een beweging die bij de grafiek hoort als …

a de positie x op de verticale as is weergegeven;

b de snelheidscomponent v x op de verticale as is weergegeven.

©VANIN

t

Een voetbalster raakt de bal met haar knie verticaal omhoog. Ze vangt de bal niet op, waardoor die op de grond terechtkomt.

Welke uitspraak is correct?

a De bal landt met een even grote snelheid als de beginsnelheid op de grond.

b De bal landt met een grotere snelheid dan de beginsnelheid op de grond.

c De bal landt met een kleinere snelheid dan de beginsnelheid op de grond.

d Je kunt geen uitspraak doen over de snelheidsgrootte bij het landen.

REEKS

Een auto vertrekt in punt A en rijdt over een rechte weg met een constante snelheidsgrootte van 50 km h tot in punt B, dat zich op 500 km bevindt van punt A.

Op hetzelfde ogenblik vertrekt een tweede auto ook in punt A. Die rijdt over dezelfde weg in dezelfde zin met een constante snelheidsgrootte van 25 km h . Na 2,0 h stopt die tweede auto, om 1,0 h later met 75 km h verder te rijden.

a Construeer voor beide auto’s de vx(t)-grafiek (op dezelfde grafiek).

b Construeer voor beide auto’s de x(t)-grafiek (op dezelfde grafiek).

c Wanneer en waar haalt de tweede auto de eerste in? Uit welke grafiek kun je dat afleiden?

d Met welk tijdsverschil komen de auto’s aan in punt B?

Een biljartbal weerkaatst zonder snelheidsverlies tegen de tafelrand. Hoe is de snelheidsverandering ∆v georiënteerd?

Op een systeem in beweging grijpen twee krachten in, zoals voorgesteld op de afbeelding. Bepaal het type beweging. Kies uit:

① ERB – ② versnelde rechtlijnige beweging –③ versnelde tweedimensionale beweging.

a ↑

e Er is geen snelheidsverandering.

©VANIN

Een wagen rijdt op een steenweg met 70 km h in noordelijke richting, om vervolgens in noordoostelijke richting een straat in te slaan, waar hij met 50 km h rijdt.

a Teken beide snelheidsvectoren en de snelheidsverandering ∆v. Werk op schaal.

b Bereken de grootte van de snelheidsverandering ∆v.

Door een constante kracht bereikt een voorwerp in rust na een bepaalde tijdsduur een snelheid v Welke snelheid wordt bereikt als de kracht en de massa gehalveerd worden?

a v 4

b v 2

c v

d 2 · v

Ernest heeft een snelheid van 9,5 m s en versnelt gelijkmatig met 3,0 m s2 om Korneel, die met 12,4 m s rijdt, in te halen.

a Stel de beweging voor met de verplaatsings-, snelheids- en versnellingsvectoren.

b Na hoeveel tijd heeft Ernest dezelfde snelheid als Korneel? Hoe ver heeft Ernest dan gefietst?

c Maak de uitspraak correct en verklaar.

Ernest heeft Korneel dan zeker niet / misschien / zeker wel ingehaald.

Een bowlingbal heeft een beginsnelheid met een grootte van 22 km h en vertraagt gelijkmatig met een versnellingsgrootte van 0,34 m s2 . Na 4,5 s raakt hij de kegels.

a Welke snelheid heeft de bal als hij de kegels raakt? Hoe ver staan de kegels?

b Op welk tijdstip hoor je de kegels vallen (vgeluid = 340 m s )?

Twee fietsers vertrekken vanuit rust en versnellen op een rechte baan. De eerste fietser versnelt gedurende 10 s met een versnellingsgrootte gelijk aan 0,50 m s2

De tweede fietser versnelt 5,0 s met een versnelling die dubbel zo groot is, en rijdt dan verder met een constante snelheid.

a Hoe groot is de snelheid van beide fietsers na 10 s?

b Welke fietser heeft na 10 s de grootste afstand afgelegd? Of reden ze even ver? Toon aan.

c Maak een vx(t)-grafiek en een x(t)-grafiek van die bewegingen.

Een auto versnelt vanuit rust gelijkmatig met een versnellingscomponent ax. Na een tijdsduur Δt bedraagt de snelheidscomponent v x en is de verplaatsing Δx.

Welke uitspraak is correct na een tijdsverloop 2 ∙ Δt?

a De versnellingscomponent is 2 ∙ a x

b De snelheidscomponent is 2 ∙ v x .

c De verplaatsing is 2 ∙ Δx

d Meerdere uitspraken zijn correct.

e Geen enkele uitspraak is correct.

Bestudeer de vx(t)-grafiek van een fietser.

a Op welk tijdstip keert de fietser om?

b Benoem de vier verschillende deelbewegingen. (Kies uit: ‘versnelde EVRB’, ‘vertraagde EVRB’ of ‘ERB’. Benoem de bewegingszin.)

c Rangschik de versnellingen van klein naar groot.

d Bepaal de verplaatsing en de afgelegde weg voor het volledige traject.

Een blokje schuift wrijvingsloos van een helling.

a Welke curve toont de beweging van het blokje?

b Bepaal (zonder rekentoestel):

1 de positie bij t = 2,0 s en bij aankomst; 2 de gemiddelde snelheid bij t = 2,0 s en bij aankomst;

3 de versnelling; 4 de snelheid bij t = 2,0 s en bij aankomst.

c Teken de bijbehorende vx(t)- en ax(t)-grafieken.

d Bepaal de hellingshoek.

Een auto (1,2 ton) rijdt 4,0 s met een constante snelheid en remt dan gelijkmatig af. De grafiek toont zijn positie.

a Waar zou de auto zich bevinden na 12,0 s, als hij niet afremt?

b Bepaal de remkrachtvector.

AAN DE SLAG

Op de grafiek staan vier verschillende bewegingen met een constante versnelling weergegeven. Rangschik de bewegingen volgens ... a de beginpositie; b de verplaatsing gedurende het volledige traject; c de gemiddelde snelheidscomponent; d de versnellingscomponent.

Een steen wordt losgelaten op 40,0 m hoogte boven

Mars, de maan en de aarde.

De grafiek stelt de valbeweging voor.

Galileo Galilei toonde in de zeventiende eeuw aan dat de valtijd van voorwerpen onafhankelijk is van hun massa. Hij liet daarvoor verschillende voorwerpen van de toren van Pisa vallen (h = 56,0 m).

a Bereken de valtijd en de snelheid van de voorwerpen wanneer ze op de grond landen. Verwaarloos de luchtweerstand.

b Na hoeveel tijd zou je de situatie op de afbeelding zien?

©VANIN

1 na minder dan de helft van de totale valtijd

2 na ongeveer de helft van de totale valtijd

3 na meer dan de helft van de totale valtijd

4 Je kunt dat niet afleiden uit de afbeelding.

a Maak een legende.

b Stel de beweging van de steen op de drie hemellichamen voor. Teken een x-as met de positie na 0 s; 1,0 s; 2,0 s en 3,0 s.

Werk op schaal.

c Gebruik de gegevens op de grafiek om de eindsnelheid van de steen op de drie hemellichamen te bepalen.

Je gooit een steentje omhoog met een snelheid v, waardoor het een hoogte h bereikt na een tijdsduur Δt.

Hoe veranderen de onderstaande grootheden als je de snelheid verdubbelt tot v ’ = 2 · v?

Vul aan met:

1; 2; 2; 4; 1 4 ; 1 2 ; 1 2

a de versnelling: a’ x = ∙ a x

b de tijdsduur tot het hoogste punt: Δt’ =  ∙ Δt

c de tijdsduur van de totale beweging: Δt

tot =

d de eindsnelheid: v’ eind =  ∙ v’ = ∙ v

e de maximale hoogte: h’ = ∙ h

Je gooit een steentje omhoog met een snelheid v, waardoor het een hoogte h bereikt na een tijdsduur Δt

Hoe veranderen de onderstaande grootheden als een astronaut het steentje met dezelfde snelheid omhooggooit op de maan (g = 1,6 N kg)?

Vul aan met:

1; 6; 6; 36; 1 36 ; 1 6 ; 1 6

a de versnelling: a’ x = ∙ a x

b de tijdsduur tot het hoogste punt: Δt’ =  ∙ Δt

c de tijdsduur van de totale beweging: Δt’ tot =  ∙ Δt

d de eindsnelheid: v’ eind =  ∙ v’ = ∙ v

e de maximale hoogte: h’ =  ∙ h

REEKS

Een voorwerp van 2,4 kg wordt op een lange tafel door een horizontale kracht van 6,9 N voortgetrokken. In 7,2 s legt het voorwerp vanuit rusttoestand een afstand van 1,8 m af. Bereken de grootte van de wrijvingskracht en de kinetische wrijvingscoëfficiënt.

Free rijdt met haar wagen met een constante snelheidsgrootte van 75 km h op een rechte baan door een zone 50. Een politiewagen die aan de kant staat, zet de achtervolging in 2,0 s nadat Free passeert. De politiewagen versnelt met een constante versnellingsgrootte van 3,0 m s2

a Wanneer haalt de politiewagen de snelheidsduivel in?

b Welke snelheidscomponent heeft de politiewagen dan?

c Welke afstand heeft de politiewagen nodig om Free in te halen?

d Maak de x(t)-grafiek.

Leid de plaatsfunctie voor een EVRB af …

a met integraalrekening;

b met de definitie van gemiddelde snelheid.

Een steentje valt van een hoogte h in een diepe put.

a Na hoeveel tijd hoor je de val?

Noteer je resultaten in symbolen.

b Hoe verandert de tijd als de hoogte verdubbelt?

1 De tijd verdubbelt.

2 De tijd neemt toe, maar verdubbelt niet.

3 De tijd neemt meer toe dan een verdubbeling.

4 Dat hangt af van de precieze hoogte.

Een rotsblok breekt af en valt 4,00 m naar beneden.

a Bereken de eindsnelheid aan de hand van …

1 het behoud van energie;

2 de formules voor de vrije val.

Verwaarloos de luchtweerstand.

b Welke methode is het efficiëntst?

Vanuit een luchtballon die in rust 500 m boven de grond hangt, wordt een zandzakje gedropt. Hoelang en over welke afstand moet de zandzak vallen, opdat hij in de volgende 3,0 s een afstand van 150 m aflegt? Verwaarloos de luchtweerstand.

Een appel valt in water.

a Voorspel de x(t)-grafiek onder water.

b Controleer je antwoord met de video.

c Verklaar de waarneming met een krachtenschema ...

1 in lucht; 2 in water.

In een homogeen elektrisch veld worden achtereenvolgens een elektron, een proton en een neutron vanuit rust losgelaten. De grootte van de veldsterkte is 360 N C .

Extra gegevens:

m e = 9,11 · 10–31 kg Qe = –e = –1,60 · 10–19 C

m p = 1,67 · 10–27 kg Qp = +e = 1,60 · 10–19 C

m n = 1,67 · 10–27 kg Qn = 0 C

a Hoe groot is de versnellingscomponent van elk deeltje?

b Welke snelheidscomponent heeft elk deeltje na 5,0 ns?

HOOFDSTUKSYNTHESE

Op een voorwerp in beweging werken verschillende krachten. Ze bepalen of er een versnelling (verandering van de snelheid ) is.

Beweging zonder versnelling:

∆v = 0

Een voorwerp in rust blijft in rust.

a x = ∆vx ∆t = 0

v x = 0

Een beweging met een constante snelheid in één richting: ERB

x(t) = x0 + v0x · t

vx(t) = v0x = constant dus

a x = 0

Bewegingen met verandering van snelheid (als F res ≠ 0): ∆v ≠ 0

©VANIN

versnelde bewegingen

F res heeft dezelfde richting als de snelheid v: verandering van de snelheidsgrootte in één richting

Rechtlijnige beweging met een constante versnelling a: EVRB

EVRB met snelheidstoename: constante kracht in de bewegingszin

horizontale krachten

Voorbeeld: vrije val met de valversnelling a x = g = 9,81 m s2

F res staat altijd loodrecht op de snelheid v: verandering van de snelheidsrichting met een constante snelheidsgrootte

F res heeft een andere richting dan de beginsnelheid v: verandering van snelheidsrichting. De beweging is tweedimensionaal (zie hoofdstuk 4).

EVRB met snelheidsafname: constante kracht tegengesteld aan de bewegingszin

©VANIN

beweging horizontale krachten

Voorbeeld: verticale worp met beginsnelheid v0x en versnelling a x = –g = –9,81 m s2

Bijzondere tweedimensionale bewegingen

Atletiek en ruimtevaart zijn op zich twee totaal verschillende werelden. Toch is er een belangrijk raakvlak: tweedimensionale bewegingen optimaliseren om tot topprestaties te komen. In beide disciplines zoekt men binnen de fysica antwoorden op deze vragen: welke baan volgen voorwerpen (een atleet of een raket) na de lancering of de afstoot? Welke kracht is er nodig om voorwerpen een cirkelvormige baan te laten volgen (bij het hamerslingeren of een satelliet)? Hoe beïnvloedt de zwaartekracht de beweging van het voorwerp nadat het is losgekomen?

In dit hoofdstuk bestudeer je de baan van weggeworpen voorwerpen en cirkelbewegingen. Je beschrijft de bewegingsgrootheden voor enkele situaties en past je inzichten toe op satellietbewegingen.

LEERDOELEN

M een tweedimensionale beweging beschrijven

M de baan van weggeworpen voorwerpen beschrijven en verklaren

M de horizontale worp kwantitatief uitwerken

M cirkelbewegingen beschrijven en verklaren

M cirkelbewegingen met een constante omlooptijd kwantitatief uitwerken

M de beweging van satellieten omschrijven en kwantitatief uitwerken

©VANIN

1 Hoe kun je een tweedimensionale beweging beschrijven?

1.1 Bewegingen in verschillende dimensies

A Een-, twee- en driedimensionale bewegingen

Het kanaal is recht. Een boottocht is een eendimensionale beweging.

Het strand is vlak. Een strandwandeling waarbij je de aankomende golven ontwijkt, is een tweedimensionale beweging. Een bergpad is kronkelend, met hoogteverschillen.

Een bergwandeling is een driedimensionale beweging.

Je kunt bewegingen opdelen op basis van de richting(en) waarin de beweging mogelijk is:

• Eendimensionale beweging: de beweging volgt een rechte baan. De snelheidsvector heeft een vaste richting.

• Tweedimensionale beweging: de beweging volgt een baan die in één vlak ligt.

De snelheidsvector verandert van richting, maar ligt altijd in hetzelfde vlak.

• Driedimensionale beweging: de beweging volgt een baan die niet in één vlak ligt.

De snelheidsvector kan alle richtingen aannemen.

De meeste alledaagse bewegingen zijn driedimensionaal en zonder regelmaat.

De snelheidsrichting verandert voortdurend: je beweegt willekeurig naar alle richtingen (naar links/rechts, naar boven/onderen en vooruit/achteruit). Ook in de verandering van de snelheidsgrootte zit geen patroon (je versnelt en vertraagt op willekeurige momenten).

In de vorige hoofdstukken bestudeerde je al bijzondere eendimensionale bewegingen waarbij de snelheid constant is (ERB) of gelijkmatig verandert (EVRB). In dit hoofdstuk bestudeer je bijzondere tweedimensionale bewegingen: kogelbanen en cirkelvormige bewegingen.

B Bewegingen voorstellen

Om een beweging te beschrijven, heb je een referentiepunt en een assenstelstel nodig.

Bij eendimensionale bewegingen kies je (meestal) een x-as volgens de rechte baan (horizontaal, verticaal of schuin) en een y-as loodrecht op de baan. Dat betekent dat de x-as de tangentiële as is en de y-as de normaalas.

Bij tweedimensionale (en driedimensionale) bewegingen kun je twee assenstelsels definiëren:

1 x-y-assenstelsel

Je kiest de x-as altijd horizontaal en de y-as verticaal. Dat is vergelijkbaar met het assenstelsel dat je in de wiskunde gebruikt.

De eenheidsvectoren zijn e x en ey. De componenten worden aangeduid met indexen x en y. Ze kunnen positief of negatief zijn.

2 Tangentieel-normaal assenstelstel

De tangentiële t-as kies je rakend aan de baan, de normale n-as loodrecht op de baan Aangezien de baan van richting verandert, is de oriëntatie van de assen tijdsafhankelijk bij een twee- of driedimensionale beweging.

©VANIN

De eenheidsvectoren zijn et en en. De componenten worden aangeduid met indexen t en n. Ze kunnen positief of negatief zijn.

VOORBEELD SNELHEID IN EEN (t, n)-ASSENSTELSEL

De ogenblikkelijkelijke snelheid is altijd rakend aan de baan. Dat betekent voor elke beweging:

v(t) = vt(t) · et

Op de afbeelding heeft de snelheid dezelfde zin als de tangentiële as. Dat betekent: vt(t) > 0.

©VANIN

Een beweging kan eendimensionaal (volgens een rechte), tweedimensionaal (in één vlak) of driedimensionaal (niet in één vlak) zijn.

Je kunt de beweging beschrijven in een assenstelsel:

• vast x-y-assenstelsel: horizontale en verticale assen;

• (mogelijk) variabel t-n-assenstelstel: rakend aan en loodrecht op de baan.

1.2 Kogelbanen

DEMO

Welke baan volgt een weggeworpen voorwerp?

1 Je leerkracht gooit een balletje weg met een horizontale of schuine beginsnelheid. De beweging wordt gefilmd met een smartphone en achteraf geanalyseerd.

2 Wat zal gemeenschappelijk zijn aan de verschillende banen? Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Een weggeworpen voorwerp met een horizontale of schuine beginsnelheid volgt altijd hetzelfde type tweedimensionale baan. Er is een beweging in de horizontale richting en een in de verticale richting. Samen resulteren ze in een tweedimensionale baan die een deel van een (berg)parabool is. Die tweedimensionale baan noem je een kogelbaan

Na een horizontale aanloop volgt het zwaartepunt van een bungeespringer een kogelbaan (die begint op de top van de parabool).

Na een schuine afstoot volgt het zwaartepunt van een verspringer een kogelbaan die op dezelfde hoogte eindigt als het beginpunt.

Een kogelbaan wordt voorgesteld op een y(x)-grafiek, waarbij de x-richting de horizontale richting is en de y-richting de verticale richting. Een kogelbaan wordt beschreven in een x-y-assenstelsel.

De oriëntatie van de beginsnelheid maakt twee situaties mogelijk.

Horizontale worp: de beginsnelheid is horizontaal.

©VANIN

Schuine worp omhoog: de beginsnelheid is schuin ten opzichte van de horizontale richting.

Een weggeworpen voorwerp met een horizontale of schuine beginsnelheid beweegt in een vlak.

De tweedimensionale baan is (een deel van) een parabool. Dat noem je een kogelbaan

demovideo: kogelbaan

Als er geen horizontale snelheidscomponent is, volgt het voorwerp een eendimensionale (rechte) baan. Dat is een verticale worp.

▲ Afb. 94

▲ Afb. 95

▲ Afb. 96 Een horizontale worp

▲ Afb. 97 Een schuine worp omhoog

demovideo: onafhankelijkheidsprincipe

1.3 Onafhankelijkheidsprincipe van de beweging DEMO

Hoe beïnvloeden de horizontale en de verticale beweging elkaar bij een kogelbaan?

1 Twee balletjes worden tegelijk gelanceerd op dezelfde hoogte.

Het ene balletje wordt losgelaten zonder beginsnelheid. Het andere balletje wordt horizontaal weggeschoten.

2 Voorspel de baan van de balletjes en de tijd waarna ze zullen aankomen. Bedenk een manier om dat op te meten. Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Uit experimenten blijkt dat de valtijd voor een vallend en een weggeworpen voorwerp (vanaf dezelfde hoogte) identiek is. Dat betekent dat de horizontale beweging en de verticale beweging tegelijk en onafhankelijk van elkaar plaatsvinden.

De kogelbaan werd voor het eerst nauwkeurig beschreven door Galilei. Hij toonde aan dat de kogelbaan ontstaat als een samenstelling van een horizontale en een verticale beweging die elkaar niet beïnvloeden. Dat is het onafhankelijkheidsprincipe van de bewegingen.

Een tweedimensionale beweging gebeurt in een x-y-vlak. Elk punt kun je beschrijven met een x-component en een y-component. Dankzij het onafhankelijkheidsprincipe verlopen de x(t)- en y(t)-bewegingen onafhankelijk van elkaar.

De positievector r(t) kun je ontbinden in een x- en een y-component, en als volgt noteren:

r(t) = x(t) · e x + y(t) · e y

©VANIN

Afb. 98 Een positievector bij een tweedimensionale beweging

De ogenblikkelijke snelheidsvector v(t) vind je als de afgeleide van de positievector: v(t) = dr (t) dt = dx(t) dt · e x + dy(t) dt

e y = vx(t) · e x + v

Grafisch betekent dat dat je ∆r bepaalt in de limiet voor ∆t 0. De snelheidsvector v(t) raakt aan de baan, met loodrechte componenten volgens de x- en de y-as.

VERPLAATSINGSVECTOR

SNELHEIDSVECTOR

De ogenblikkelijke versnellingsvector a(t) vind je als de afgeleide van de ogenblikkelijke snelheidsvector:

a(t) = dv(t) dt = dvx(t) dt · e x + dvy(t) dt · e y = ax(t) · e x + ay(t) · e y

Uit de uitdrukkingen voor de bewegingsvectoren (r(t), v(t) en a(t)) blijkt dat je een tweedimensionale beweging kunt beschrijven door elke component apart te beschrijven

VOORBEELD BALLETJE OMHOOGGOOIEN IN DE TREIN

Je zit in de trein (die met een constante snelheid rijdt) en gooit een balletje omhoog.

Als je in de trein het balletje bekijkt, volgt het balletje een verticale baan omhoog en daarna terug naar beneden. Je vangt het balletje op.

Als je vriend op het perron de beweging bekijkt, volgt het balletje een kogelbaan. Hij ziet jou het balletje opvangen. Tijdens de beweging door de lucht heeft het balletje dezelfde horizontale snelheid als de trein, omdat er geen krachten op inwerken in de horizontale richting.

• Een waarnemer in de trein beweegt met dezelfde snelheid als het balletje. Het balletje is horizontaal in rust ten opzichte van de waarnemer. Er is enkel een verticale beweging.

• Een waarnemer op het perron ziet een samengestelde beweging: de ERB in horizontale richting en de verticale worp in verticale richting. De bewegingen beïnvloeden elkaar niet en leveren samen een kogelbaan op.

Bij een twee- of driedimensionale beweging beïnvloeden de bewegingen in de verschillende richtingen elkaar niet. Dat is het onafhankelijkheidsprincipe.

Elke tweedimensionale beweging kun je beschrijven door de beweging in de x- en y-richting apart te beschrijven. De bewegingsvectoren kun je ontbinden in componenten:

r (t) = x(t) · e x + y(t) · e y

v(t) = vx(t) · e x + vy(t) · e y

a(t) = ax(t) · e x + ay(t) · e y

De snelheidsvector v(t) raakt altijd aan de baan.

2 Welke eigenschappen heeft een horizontale worp?

Een horizontaal weggeworpen voorwerp volgt een kogelbaan.

De snelheid v raakt aan de baan en verandert tijdens de beweging voortdurend van richting.

Ook de grootte verandert.

Er is dus een versnelling. Dat is de valversnelling g, die wordt veroorzaakt door de zwaartekracht.

De valversnelling maakt een hoek met de beginsnelheid, waardoor de snelheid v verandert van grootte en van richting

©VANIN

v v v ERB in de x-richting

Je kunt de kogelbanen met de snelheids- en versnellingsvectoren nabootsen in de applets.

De beschrijving van de horizontale worp vind je door de horizontale en de verticale bewegingscomponenten te beschrijven voor een puntmassa. (Dat wil zeggen: je verwaarloost wrijvings- en weerstandskrachten.)

In de horizontale richting werken er geen krachten. De puntmassa voert horizontaal een ERB uit. De beginsnelheid is horizontaal:

v0 = v0x · e x

Voor een horizontale x-as met de oorsprong in het beginpunt geldt:

a x = 0

vx(t) = v0x = v0 x(t) = v0x · t =

In de verticale richting werkt de zwaartekracht. De puntmassa voert verticaal een vrije val uit.

Voor een verticale y-as naar beneden met de oorsprong in het beginpunt geldt:

a y = g

vy(t) = g · t

y(t) = g 2 · t2

Je kunt de horizontale worp op elk tijdstip t als volgt beschrijven:

▲ Afb. 101 De baan, de snelheid en de versnelling bij een horizontale worp

TIP

Aan de hand van de x(t)- en y(t)-uitdrukkingen kun je de waargenomen kogelbaan wiskundig beschrijven:

• Uit de uitdrukkingen van de beweging in de x- en in de y-richting kun je het voorschrift van de baan afleiden. Die y(x)-functie, die de verticale positie uitdrukt in functie van de horizontale positie, noem je de baanvergelijking.

Voor een horizontale worp geldt op een tijdstip t:

x = v0x · t, dus t = x v0x

De y-positie is op dat tijdstip:

y = g 2 · t2 = g 2 · ( x v0x )2 = g 2 · v2 0x · x2

De baanvergelijking voor de horizontale worp is een tweedegraadsfunctie met als bijbehorende y(x)-grafiek een parabool

• Op tijdstip t = 0 geldt:

v0 = v0x · e x

De snelheid is horizontaal en rakend aan de baan. De puntmassa bevindt zich in de top van de parabool.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Je neemt een aanloop op een (horizontale) duikplank.

Je hebt een horizontale beginsnelheid van 11,0 km h en komt 2,30 m verder neer in het water.

Bepaal:

1 de hoogte van de duikplank; 2 de eindsnelheid (vectornotatie en grootte).

Gegeven:

• v0 = 11,0 km h

• Δx = 2,30 m

Gevraagd: 1 h = ?

2 veind en veind = ?

Oplossing: Je voert een horizontale worp uit: je verplaatst je in de horizontale richting volgens een ERB, gedurende de tijd (teind) dat je een vrije val uitvoert in de verticale richting.

©VANIN

Je kiest de x-as horizontaal volgens de beweging en de y-as verticaal naar beneden. De oorsprong en de begintijd kies je in het beginpunt.

1 Voor de ERB geldt:

x(t) = x0 + v0x · t = v0 · t, met x0 = 0

Je komt 2,30 m verder neer, dus xeind = 2,30 m.

Daarmee bepaal je teind:

xeind = v0 · teind, dus teind = v0 xeind = 11,0 3,6 m s 2,30 m = 1,33 s

Voor de vrije val geldt:

y = g 2 · t2

Reflectie:

Dat betekent voor een duikplank op hoogte h = yeind:

h = g 2 · t2 eind = 9,81 2 m s2 · (1,33 s)2 = 8,68 m

2 De beweging stopt na de landing in het zwembad op het tijdstip teind

• x-richting: ERB met een constante snelheid, v0 = 11 km h = 3,06 m s

vx(teind) = v0x = v0 = 3,06 m s

• y-richting: vrije val

vy(teind) = g · teind = 9,81 m s2 · 1,33 s = 12,8 m s

De snelheid is rakend aan de baan en gegeven door: veind = v(teind) = vx(teind) · e x + vy(teind) · e y = 3,06 m s · e x + 12,8 m s · e y

met als grootte veind = v2 x(teind) + v2 y(teind) = 3,062 + 12,82 m s = 13,4 m s

• Vergelijk de horizontale en de verticale snelheid.

De verticale snelheid is veel groter dan de horizontale snelheid.

• Hoe merk je dat verschil in het zwembad?

Hoe hoger de duikplank, hoe groter de verticale snelheid is je, waardoor je (bij een verkeerde duikhouding) pijnlijk op het water kunt terechtkomen.

Bij een horizontale worp voert het voorwerp een ERB uit in de x-richting en een vrije val in de y-richting. De snelheid verandert van richting en van zin door de zwaartekracht

De baan is een parabool die start in de top.

VERDIEPING

De zwaartekracht is verticaal. Dat betekent dat F z = m · g · e y op elk tijdstip. De beginsnelheid is horizontaal (v0 = v0x · ex). De kracht die loodrecht staat op de beginsnelheid, veroorzaakt een richtingsverandering.

Dat betekent dat de snelheid op elk later tijdstip schuin is (x- en y-component). De zwaartekracht is evenwijdig met en vergroot dus de y-component van de snelheid.

Je kunt dat ook bekijken in een t-n-assenstelsel dat van oriëntatie verandert in de tijd.

• De tangentiële component F z, t(t) · et volgens de snelheidsrichting zorgt voor de verandering van de snelheidsgrootte.

• De normaalcomponent F z, n(t) · e n loodrecht op de snelheid zorgt voor de verandering van de snelheidsrichting.

▲ Afb. 102 De snelheid en de versnelling bij een horizontale worp, voorgesteld in een normaaltangentieel assenstelstel et e n v x v y v t n F z, t(t)

Bij de schuine worp heeft de beginsnelheid een x- en een y-component. De snelheid verandert in dat geval van richting, van grootte en van zin door de oriëntatie van de zwaartekracht. Analoog aan de uitwerking van de horizontale worp kun je de schuine worp beschrijven als de samenstelling van een ERB en een verticale worp omhoog.

Je leert er meer over op

3.1 Eenparig cirkelvormige beweging

De ophangpunten van de zitjes op het reuzenrad beschrijven een cirkel met als middelpunt het ophangpunt. De snelheid van de zitjes is op elk moment even groot, maar verandert voortdurend van richting.

De kogel bij het hamerslingeren voert een cirkelvormige beweging uit waarbij de snelheid van de kogel toeneemt. De snelheid verandert van grootte en van richting.

De maan beweegt in een vast tempo op een cirkelvormige baan rond de aarde. De snelheid verandert enkel van richting.

Bij een rotatie of cirkelbeweging draait een systeem rond een vast rotatiepunt. Het is een tweedimensionale beweging. De positie van het vaste punt (het rotatiepunt) verandert niet. Alle andere delen van het systeem beschrijven een cirkel rond het rotatiepunt. Bij een cirkelbeweging verandert de snelheid voortdurend van richting: er is een versnelling a. De snelheidsgrootte kan daarbij constant zijn of veranderen. Een cirkelbeweging waarbij de snelheidsgrootte constant is, noem je een eenparig cirkelvormige beweging (ECB)

CONCEPTVRAAG

Welke van de drie bovenstaande bewegingen zijn ECB’s?

Je kunt de oriëntatie van de versnelling afleiden uit de definitie van versnelling:

= lim

= lim

eind

begin

©VANIN

Bij een ECB is de snelheid op elk tijdstip even groot en rakend aan de cirkel. Je kunt twee willekeurige punten tekenen en ∆v construeren. Als je het tijdsinterval verkleint, bekom je de versnelling a, die naar het midden van de cirkel gericht is. De versnelling die naar het midden van een cirkel gericht is, noem je de middelpuntzoekende of centripetale versnelling, met als symbool a c p

begin vbegin vbegin vbegin vbegin tbegin

Afb. 106 De versnelling bij een ECB

• Eenparig: de snelheidsgrootte is constant.

• Cirkelvormige beweging: de beweging verloopt volgens een cirkelbaan.

De naam ‘middelpuntzoekende kracht’ is niet gebaseerd op de oorzaak van die kracht, zoals bij de zwaartekracht, maar op het gevolg van die kracht.

Uit de tweede wet van Newton volgt dat de kracht om een systeem een cirkelbeweging te laten uitvoeren, gelijk is aan m · a c p en naar het middelpunt van de cirkel gericht is. De kracht die naar het middelpunt van een cirkel gericht is, noem je de middelpuntzoekende of centripetale kracht, met als symbool F c p : F c p = F res = m · a c p

Zonder de centripetale kracht zou het systeem niet op de cirkelbaan kunnen blijven. Het zou zich zonder krachten (volgens de eerste wet van Newton) rechtlijnig verplaatsen met een constante snelheid.

VOORBEELD BALLETJE HORIZONTAAL RONDSLINGEREN

Je kunt een balletje aan een touw laten ronddraaien met een constante snelheidsgrootte door aan het touw te trekken. (Test dat uit.)

JE OEFENT DE KRACHT UIT: ECB

©VANIN

Het balletje ondervindt een kracht naar het midden van de cirkel. De spankracht in het touw (doordat jij eraan trekt) levert de centripetale kracht: F s = F c p . De snelheid v is rakend aan de baan. Volgens de derde wet van Newton oefent het balletje een even grote, maar tegengestelde kracht uit op jou: –Fs. Jij voelt een kracht die naar buiten gericht is.

Bij het loslaten ondervindt het balletje geen horizontale kracht. De snelheid v is rakend aan de baan en horizontaal. Het balletje voert een ERB uit in de horizontale richting. In de verticale richting voert het een vrije val uit. Het balletje volgt een kogelbaan (horizontale worp).

Een eenparig cirkelvormige beweging (ECB) is een cirkelvormige beweging waarbij de snelheidsgrootte constant is. De kracht om de snelheidsverandering te veroorzaken, is naar het midden van de cirkel gericht: de centripetale kracht F c p .

JE LAAT LOS: HORIZONTALE WORP

▲ Afb. 107

Afb. 108

A Positie

Een systeem dat een cirkelbeweging uitvoert, beweegt op een cirkelbaan met straal R. Op elk tijdstip t kun je de positievector r (t) tekenen vanuit het middelpunt van de cirkel tot het punt op de baan. Die vector maakt een hoek α met het gekozen beginpunt. De hoek α wordt uitgedrukt in radialen.

Met een x-y-assenstelsel gekozen in het midden van de cirkel kun je de positievector ontbinden in componenten:

Als een punt een cirkelbaan beschrijft, heeft het tijd nodig om één omwenteling te maken:

• De tijd die nodig is voor één omwenteling, noem je de periode T.

• Het aantal omwentelingen dat een punt maakt per tijdseenheid, noem je de frequentie f

Uit de definities volgt: f = 1 T en de eenheid [f] = 1 [T] = s–1.

Als eenheid voor frequentie gebruik je de hertz: 1 Hz = 1 s = 1 s–1

Tijdens de cirkelbeweging verandert de hoek α in het tijdsinterval Δt. Dat noem je de hoekverplaatsing Δα (uitgedrukt in radialen). De verhouding van de hoekverandering Δα ten opzichte van het tijdsinterval noem je de hoeksnelheid:

Die druk je uit in radialen per seconde.

GROOTHEDEN MET SYMBOOL

EENHEDEN MET SYMBOOL periode T seconde s frequentie f hertz ( 1 seconde ) Hz = 1 s = 1 s–1 hoekverplaatsingΔα radialen rad hoeksnelheid Ꞷ = ∆α ∆t radialen per seconde rad s

©VANIN

Bij een ECB verandert de hoek α gelijkmatig. De hoeksnelheid Ꞷ is constant Voor een volledige omwenteling is de hoekverplaatsing Δα = 2 · π rad in een tijdsduur van een periode (Δt = T). Daarmee bereken je de hoeksnelheid:

De hoeksnelheid is onafhankelijk van de straal

De eenheid hertz is genoemd naar de Duitse natuurkundige Heinrich Hertz, die belangrijke bijdragen leverde op het gebied van elektromagnetisme.

ω is de Griekse kleine letter omega.

VOORBEELD HOEKSNELHEID VAN EEN WINDMOLENTJE

In de animatie en op afbeeldingen 110 en 111 zie je de baan van twee verschillende punten:

• een punt A op de rand;

• een punt B meer naar het midden.

Beide punten bewegen op een cirkel rond hetzelfde middelpunt (O) en met een verschillende straal (RA en RB).

De punten A en B hebben dezelfde tijd nodig om een omwenteling te maken.

Voor het windmolentje is de periode T = 1,30 s. De hoeksnelheid is:

ω = 2 · π T =4,83 rad s

De hoekverplaatsing en de hoeksnelheid zijn voor alle punten van het windmolentje gelijk. De straal van de cirkelbaan heeft geen invloed.

▲ Afb. 110 De baan van een punt A op de rand (blauw) en meer naar het midden B (rood) tijdens een ECB

▲ Afb. 111 De hoekverplaatsing ∆α in het tijdsinterval [ begin, eind] door een constante hoeksnelheid Ꞷ

Uit de definitie van hoeksnelheid kun je een uitdrukking voor de hoek in functie van de tijd afleiden:

=

t (voor

0 = 0 op t0), dus

Dat is de hoekfunctie bij een ECB. Met de hoekfunctie kun je de positie uitdrukken in functie van de tijd. Je bekomt als plaatsfuncties voor de componenten:

=

t) = R · sin α(t)

Dus wordt de positievector:

met als grootte

De lengte van de positievector is op elk ogenblik de straal van de cirkel. Je kunt de positie van een punt bij een ECB beschrijven als je de straal van de cirkel, de beginpositie en de periode (of de frequentie) kent.

Je kunt de verandering van de positie-, snelheids-, en versnellingscomponenten in functie van de tijd bekijken in de applet.

De hoekfunctie voor elk punt is:

α(t) = ω · t = 2 · π T · t = 4,83 rad s · t

Daarmee bekom je als positievector r (t):

• punten op de buitenste cirkel RA = 0,25 m:

rA(t) = RA · cos( 2 · π T · t) · e x + RA · sin( 2 · π T · t) · e y = 0,25 m · cos(4,83 rad s · t) · e x + 0,25 m · sin(4,83 rad s · t) · e y

• punten op de binnenste cirkel RB = 0,15 m:

rB(t) = RB · cos( 2 · π T · t) · e x + RB · sin( 2 · π T · t) · e y = 0,15 m · cos(4,83 rad s · t) · e x + 0,15 m · sin(4,83 rad s · t) · e y

CONCEPTVRAGEN

1 Bereken de frequentie van het windmolentje op p. 108. Leg in woorden uit wat dat betekent.

2 Bepaal de hoek en de positievector voor een punt op de buitenste en de binnenste cirkel na 1,00 s en 5,00 s. Kies α0 = 0 op t0

B Snelheid

De ogenblikkelijke snelheidsvector v is rakend aan de baan en verandert bij een cirkelvormige beweging voortdurend van richting. Bij een cirkelvormige beweging noem je de ogenblikkelijke snelheid de baansnelheid, om het onderscheid te maken met de hoeksnelheid.

Bij een ECB is de grootte van de baansnelheid per definitie constant. Dat betekent dat de ogenblikkelijke baansnelheid en de gemiddelde baansnelheid gelijk zijn. Je kunt de grootte van de baansnelheid op twee manieren bepalen:

1 Bij een ECB legt elk punt een volledige cirkel af in een periode. Het punt legt dus per periode een afstand af gelijk aan de omtrek van de cirkel (2 · π · R). De baansnelheid bij een ECB is dus:

v = 2 · π · R T = ω · R

2 Voor elke tweedimensionale beweging geldt:

v(t) = dr (t) dt = dx(t) dt · e x + dy(t) dt · e y = vx(t) · e x + vy(t) · e y

Voor de ECB zijn de snelheidscomponenten:

vx(t) = dx(t) dt = d(R · cos(α(t)) dt = d

vy(t) = dy(t) dt = d(R · sin(α(t)) dt = d(R

Dus wordt de snelheidsfunctie: v(t) =

met als grootte v(t) = v

De grootte van de snelheid bij een ECB is op elk ogenblik v = R · ω. Je kunt de baansnelheid bij een ECB berekenen als je de straal van de cirkel en de periode kent.

VOORBEELD BAANSNELHEID VAN HET WINDMOLENTJE

Op afbeeldingen 112 en 113 zie je dat de afgelegde weg tussen de punten op een cirkel met dezelfde tijdsduur ertussen constant is voor de hele beweging.

▲ Afb. 112 De snelheidsvectoren van een punt op de rand (blauw) en meer naar het midden (rood) tijdens een ECB

▲ Afb. 113 De afgelegde weg in het tijdsinterval [ begin, eind] bij een constante baansnelheid

Voor het windmolentje is de periode T = 1,30 s. Punt A en punt B bewegen op een cirkelbaan met een verschillende straal. De periode voor beide punten is 1,30 s. Dit is hun baansnelheid:

• punt A op de rand:

• punt B meer naar het midden: v

CONCEPTVRAAG

0,25 m 1,30 s = 1,2 m s

0,15 m 1,30 s = 0,72 m s

Schets de v(t)-, vx(t)- en vy(t)-grafieken voor een punt op het windmolentje.

C Versnelling en kracht

Uit de constructie van de snelheidsvectoren (zie paragraaf 3.1) blijkt dat een punt een ECB uitvoert als er een resulterende kracht (de centripetale kracht) op inwerkt die naar het middelpunt van de cirkel wijst en een constante grootte heeft. Uit de tweede wet van Newton volgt dat de versnelling dan ook naar het middelpunt van de cirkel wijst en een constante grootte heeft. Je kunt dat nagaan met berekeningen.

De centripetale versnelling kun je berekenen aan de hand van de componenten. Voor elke tweedimensionale beweging geldt: a(t) = dv(t)

Voor de ECB zijn de versnellingscomponenten:

Dus wordt de versnellingsfunctie:

a(t) = –R

Dat betekent:

cos(

• De grootte is constant:

a(t) = a x 2(t) + a x 2(t)

• De richting is volgens de cirkelstraal en de zin naar het middelpunt (centripetaal). Dat is tegengesteld aan de positievector:

a(t) = –ω2

Daarbij is r (t) gericht van het middelpunt naar de cirkelbaan.

De grootte van de versnelling is dus op elk ogenblik gelijk aan:

a c p = R · ω2 = v2 R

De richting en de zin zijn centripetaal. De versnelling heeft enkel een normaalcomponent. Je kunt de centripetale versnelling bij een ECB berekenen als je de straal van de cirkel en de periode (of de frequentie) kent.

Uit de tweede wet van Newton volgt dat de kracht om de versnelling te veroorzaken, gegeven is door:

F c p = F res = m · a c p

Dat betekent:

F c p = m · a c p = m · R · ω2 = m · v2 R

Hoe groter de snelheid van een systeem is, hoe groter de kracht moet zijn opdat het systeem een cirkelvormige beweging zou kunnen uitvoeren. De kracht heeft enkel een normaalcomponent die zorgt voor een richtingsverandering van de snelheid. De tangentiële component van de kracht is nul. De grootte van de snelheid verandert dus niet.

D Beschrijving in een t-n-assenstelsel

Bij een ECB zijn de positie- en versnellingsvector gericht volgens de straal van de cirkel en is de snelheid rakend aan de baan. Dat betekent dat de bewegingsgrootheden makkelijk uit te drukken zijn in een n-t-assenstelsel dat van oriëntatie verandert in de tijd:

• positievector volgens de normaalas:

r (t) = R · e n

• baansnelheid volgens de tangentiële as:

v(t) = v · et = R · ω · et

• versnelling tegengesteld aan de normaalas:

a(t) = –a c p · e n = –R · ω2 · e n

▲ Afb. 115 De versnelling en de snelheid bij een ECB, voorgesteld in een tangentieel-normaal assenstelsel

Aangezien de centripetale versnelling volgens de normaalas ligt, noemt men dat vaak de normaalversnelling.

De kracht heeft enkel een normaalcomponent die zorgt voor een richtingsverandering van de snelheid:

F c p (t) = m · a c p (t) = –m · R · ω2 · e n

De tangentiële component van de kracht is nul. De grootte van de snelheid verandert dus niet.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een kogelslingeraar slingert een kogel (m = 7,3 kg) rond aan een staalkabel met een lengte van 140 cm.

De kogel beweegt in een (bijna) horizontaal vlak en voert net voor de lancering een ECB uit met een baansnelheid van 83 km h .

Bepaal de grootte van: 1 de periode; 2 de centripetale versnelling; 3 de spankracht in de staalkabel.

Gegeven:

©VANIN

• v = 83 km h

• m = 7,3 kg

• R = 140 cm

Gevraagd: 1 T = ?

2 a c p = ?

3 F s = ?

Oplossing: 1 De baansnelheid (v = 83 km h = 23 m s ) is als volgt gedefinieerd:

De periode T kun je als volgt berekenen: T = 2 · π v · R = 2 · π 23 m s · 1,40 m = 0,38 s

2 De grootte van de centripetale versnelling is: a c p = v2 R = (23 m s )2 1,40 m = 3,8 ·

3 De kogel voert een ECB uit door de spankracht in de staalkabel.

De spankracht is de centripetale kracht: F c p = F s = m · a c p

Dat betekent: F s = m · a c p = 7,3 kg · 3,8 · 102 m s2 = 2,8 kN

Reflectie:

• Vergelijk de centripetale versnelling a c p tijdens het ronddraaien met de valversnelling g.

De centripetale versnelling is veel groter dan de valversnelling (a c p = 3,8 · 102 m s2 ≈ 38 · g) en is normaal gericht (a c p = 3,8 · 102 m s2 · e n ≈ 38 · g · en). De valversnelling is verticaal gericht (g = g · e y).

• Verklaar waarom kogelslingeraars heel gespierd zijn.

Ze oefenen een heel grote kracht (2,8 kN) uit: de spankracht is een aantal keer hun eigen gewicht (grootteorde van 1 kN).

▲ Afb. 116 Een ECB bij het kogelslingeren

Bij een ECB voert elk punt een cirkelbeweging uit met een vaste periode. De hoeksnelheid is constant.

GROOTHEDEN MET SYMBOOL EENHEDEN MET SYMBOOL periode T seconde s frequentie f hertz ( 1 seconde ) Hz = 1 s = 1 s–1 hoekverplaatsingΔα radialen rad hoeksnelheid ω = ∆α ∆t radialen per seconde rad s baansnelheid v = R · ω meter per seconde m s centripetale versnelling a c p = R · ω2 = v2 R meter per seconde in het kwadraat m s2

• De bewegingsgrootheden worden bepaald door de hoek α(t) = ω

• De baansnelheid v is rakend aan de baan. De snelheid heeft enkel een tangentiële component

• De centripetale versnelling a c p is naar het midden van de cirkel gericht. De versnelling heeft enkel een normaalcomponent.

Een systeem voert een ECB uit als er een centripetale kracht F c p op inwerkt naar het middelpunt van de cirkel, met als grootte F c p = m · v 2 R .

De kracht heeft enkel een normaalcomponent die zorgt voor een richtingsverandering van de snelheid. De tangentiële component van de kracht is nul. De grootte van de snelheid verandert dus niet.

3.3 Cirkelbeweging als er meerdere krachten inwerken

De cirkelbeweging ontstaat door de resulterende kracht die een centripetale versnelling veroorzaakt: F c p = m · a c p

Voor alledaagse bewegingen is dat meestal een combinatie van de zwaartekracht, de ondersteunende kracht (spankracht of normaalkracht) en de wrijvingskracht.

VOORBEELDVRAAGSTUK

In een rollercoaster maakt een wagentje (m = 1 500 kg) een looping met een straal van 8,50 m.

In het laagste punt heeft het wagentje een snelheid van 30,4 m s , in het hoogste punt een snelheid van 10,1 m s .

Bereken in het hoogste en in het laagste punt:

1 de centripetale versnelling; 2 de normaalkracht.

Gegeven:

©VANIN

• m = 1 500 kg

• vonder = 30,4 m s

• vboven = 10,1 m s

• r = 8,50 m

Gevraagd: 1 a c p = ?

2 F n = ?

Oplossing: Zowel de normaalkracht als de centripetale kracht is onderaan en bovenaan verticaal gericht. Je kiest een y-as verticaal omhoog.

1 De centripetale versnelling a c p is naar het middelpunt van de looping gericht. De versnellingsgrootte verschilt, omdat de snelheidsgrootte verschilt:

• Onderaan:

a c p onder = v2 onder r = (30,4 m s )2 8,50 m = 109 m s2

Afb. 118 Het krachtenschema bij een looping

De centripetale versnelling is verticaal naar boven gericht:

a c p onder = 109 m s2 · e y

• Bovenaan:

a c p boven = v2 boven r = (10,1 m s )2 8,50 m = 12,0 m s2

De centripetale versnelling is verticaal naar beneden gericht:

a c p boven = –12,0 m s2 · e y

▲ Afb. 117 De cirkelbeweging bij een looping

Reflectie:

2 Op het wagentje werken twee krachten in het laagste en het hoogste punt: de zwaartekracht en de normaalkracht. Dat zijn twee verticaal gerichte krachten, die een verticaal gerichte centripetale versnelling veroorzaken:

F c p = F z + F n = m · a c p

Of in componenten volgens een verticale y-as:

F z, y + F n, y = m · a c p y

• Onderaan:

–m · g + Fn, onder = m · a c p onder

Fn, onder = m · (a c p onder + g) = 1 500 kg · (109 + 9,81) N kg = 178 kN

De normaalkracht is verticaal naar boven gericht:

Fn, onder = 178 kN · e y

• Bovenaan:

–m · g – Fn, boven = –m · a c p boven

Fn, boven = m · (a c p boven – g) = 1 500 kg · (12,0 – 9,81) N kg = 3,29 kN

De normaalkracht is verticaal naar onderen gericht:

Fn, boven = –3,29 kN · e y

• Is dat een ECB?

Nee, want de snelheidsgrootte neemt af naar boven en neemt toe naar onderen door de zwaartekracht, die in de verticale richting werkt.

• Vergelijk de normaalkracht in beide punten. Bespreek.

De normaalkracht onderaan is veel groter, omdat de zwaartekracht moet worden gecompenseerd opdat er een versnelling naar het midden van de cirkel zou kunnen zijn.

TIP applet: looping

Je kunt in de applet de krachtenvoorstelling bekijken en op zoek gaan naar de minimale hoogte om het wagentje los te laten zodat het genoeg snelheid heeft om de looping te voltooien.

CONCEPTVRAAG

©VANIN

Wat gebeurt er als het wagentje niet genoeg snelheid heeft?

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een stoeltje op een carrousel maakt cirkelbewegingen aan een slinger. De slinger heeft een lengte van l = 4,80 m en maakt een hoek θ met de verticale richting. Bereken de snelheid voor θ = 20° en θ = 40°.

©VANIN

Gegeven: • l = 4,80 m

• θ = 20° en θ = 40°

Gevraagd: v = ?

Oplossing: De centripetale versnelling is gegeven als a c p = v2 R . Om de snelheid te kennen, moet je de centripetale versnelling en dus de centripetale kracht kennen. Het stoeltje ondervindt twee krachten: de zwaartekracht F z en de spankracht Fs, dus:

F c p = F z + F

Reflectie:

▲ Afb. 121 Het krachtenschema bij een carrousel

De centripetale versnelling is volgens de horizontale x-as gericht en wordt dus bepaald door de x-componenten van de inwerkende krachten:

Daarbij is de spankracht onbekend. Die kun je bepalen uit de projectie op de verticale y-as:

Daaruit volgt:

Bij

20°:

• Bij θ = 40°: v = 9,81 N kg · 4,80 m · sin 40° · tan 40° = 5,03 m s

• Heeft de massa een invloed op de snelheid?

Nee, de centripetale kracht wordt daardoor beïnvloed, maar de snelheid niet (m komt niet voor in de uitdrukking voor de snelheid).

• Is er een recht evenredig verband tussen de snelheid en de hoek?

Nee, om de hoek te verdubbelen van 20° naar 40°, moet je de snelheid 2,7 keer groter maken.

▲ Afb. 119 Een carrousel

▲ Afb. 120 Een schematische voorstelling van een carrousel

Je kunt in de applet de krachtenvoorstelling bekijken en onderzoeken hoe de kracht op de stoeltjes verandert als je de periode aanpast.

CONCEPTVRAAG

De snelheid van de carrousel bepaalt hoe hard je jezelf moet tegenhouden (en hoeveel plezier je hebt!). Verklaar.

VOORBEELD BOCHT NEMEN

Om een bocht te nemen met de auto, moet er een centripetale versnelling zijn en dus een centripetale kracht.

VLAKKE BOCHT

Op wegen met lage snelheden is de weg in de bocht vlak. De centripetale kracht wordt geleverd door de wrijvingskracht:

Fw, k = m · v2 R

Je kunt de wrijvingskracht vinden als

F w = μk · Fn, waarbij de normaalkracht even groot is als de zwaartekracht. Dus:

Fw, k = μk · F n = μk · m · g = m · v2 R of μk · g = v2 R

De wrijvingscoëfficiënt bepaalt of de auto de bocht (een cirkel met straal R) kan nemen bij een bepaalde snelheid.

©VANIN

Bij hoge snelheden is de centripetale kracht te groot om door de wrijvingskracht te worden geleverd. Doordat men de bocht een helling geeft, kan de auto toch aan hogere snelheden de bocht nemen.

Doordat men de bocht een helling geeft, draagt de horizontale component van de normaalkracht bij aan de centripetale kracht. Zelfs zonder wrijving is er een centripetale kracht als gevolg van de helling:

F n · sin θ = m · v2 R

De hellingshoek bepaalt of de auto de bocht (een cirkel met straal R) kan nemen bij een bepaalde snelheid.

CONCEPTVRAAG

Verklaar deze fenomenen:

1 Een bocht nemen bij gladheid (water of ijs) is gevaarlijk.

2 In een bocht gelden strengere snelheidsbeperkingen dan op rechte stukken van de weg.

Je moet remmen voor de bocht.

SCHUINE BOCHT

Kunstmanen zijn

onbemande toestellen die door de mens in een baan zijn gebracht. De eerste kunstmaan (Spoetnik, m = 84 kg) werd op 4 oktober 1957 gelanceerd vanuit het Russische Bajkonoer.

4 Hoe bewegen satellieten?

A Satellietbaan

Een satelliet is een systeem dat in een baan om een hemellichaam beweegt onder invloed van de gravitatiekracht. Een satelliet die in een baan om een planeet beweegt, wordt ook een maan genoemd. Rond de aarde bewegen er één natuurlijke maan en enkele duizenden kunstmanen

Kunstmanen worden gebruikt bij communicatie, navigatie, meteorologie, ruimtetelescopen …

Elke satelliet kan rondom de aarde bewegen op een cirkelbaan door de gravitatiekracht, die een centripetale kracht veroorzaakt:

F c p = FG met gravitatiekracht zonder gravitatiekracht

©VANIN

CONCEPTVRAGEN

1 Heeft een satelliet een motor nodig om op zijn baan te blijven?

2 Hoe kan men een satelliet uit zijn baan halen?

B Een satelliet lanceren

Kunstmanen worden op aarde gemaakt en naar de ruimte gelanceerd. Daarvoor gebruikt men draagrakketen. In veel gevallen brengt men meerdere satellieten tijdens één lancering in de ruimte, om kosten te besparen.

De lancering van een draagraket kun je vergelijken met een schuine worp. De satelliet wordt onder een hoek door de draagraket gelanceerd en zo in de juiste baan gebracht. Na de lancering is de satelliet in vrije val door de gravitatiekracht. Als de baansnelheid groot genoeg is, zal de satelliet rond de aarde kunnen bewegen vooraleer hij terug op het aardoppervlak komt. De parabool reikt zodanig ver dat ze de omtrek van de aarde bereikt. De baan is een cirkelbaan.

27 000 cirkelbaan

40 000 ontsnapping te lage lanceersnelheid km h km h km h

30 000 elliptische baan

▲ Afb. 124 De lanceersnelheid bepaalt de baan van een satelliet.

Als de snelheid te hoog is, is de baan een ellips of beweegt ze uit het gravitatieveld van de aarde.

▲ Afb. 122 Rond de aarde bewegen er één natuurlijke maan en vele kunstmanen (zoals het bewoonbare ISS).

▲ Afb. 123 Dankzij de gravitatiekracht beweegt een satelliet op een cirkelbaan.

C De snelheid van de satelliet

Een satelliet met een massa m beweegt rond de aarde (massa maarde) op een baan met een straal R s (= Raarde + h) als ze een bepaalde snelheidsgrootte v heeft. Je kunt die snelheid bepalen met de tweede wet van Newton:

F c p = FG = m · a c p , dus FG = m · a c p

Met de definitie van de gravitatiekracht en de centripetale versnelling wordt dat:

G · m maarde R2 s = m · v2 R s

Daaruit volgt de snelheid die een satelliet moet hebben om op een baan met straal R s te bewegen:

v = G · maarde R s

Die snelheid is onafhankelijk van de massa van de satelliet.

s sateliet

Je kunt de invloed van de massa op de baan van satellieten bekijken in de applet.

VOORBEELD ASTRONAUTEN IN HET ISS

Het internationale ruimtestation (ISS) draait rond de aarde op een hoogte van h = 400 km of deze afstand tot het middelpunt van de aarde: R s = Raarde + h = 6,38 · 103 km + 0,400 · 103 km = 6,78 · 103 km

Dat betekent dat het ISS deze snelheid heeft:

v = G maarde R s = 6,67 · 10–11 N m2 kg2 5,97 1024 kg 6,78 · 106 m = 7,66 km s = 27,6 · 103 km h

Ook de astronauten die het ISS bemannen of die werken uitvoeren aan de buitenkant, bewegen op een baan van 400 km met een snelheid van 7,66 km s

Dat heeft belangrijke gevolgen:

• De astronauten bewegen met dezelfde snelheid als het ISS, waardoor ze in rust zijn ten opzichte van het ISS. Ze ervaren de hoge snelheid niet en kunnen zonder motor of bevestiging aan de buitenkant van het ISS meebewegen.

©VANIN

• Het ISS valt voortdurend (samen met de astronauten) rond de aarde. De astronauten oefenen daardoor geen kracht uit op het ISS: ze zijn gewichtloos.

▲ Afb. 125 Een schematische voorstelling van een satelliet in een baan rond de aarde h v FG Raarde R

TIP

▲ Afb. 126 Astronauten

De satelliet voert een ECB uit, dus bepalen de snelheid en de straal de omlooptijd:

Dat is de derde wet van Kepler voor een satelliet op een cirkelvormige baan:

• De omlooptijd van een satelliet wordt volledig bepaald door de hoogte waarop hij beweegt.

• Hoe groter de hoogte, hoe groter de omlooptijd: T 2 ~ R3 s .

CONCEPTVRAAG

Bereken de omlooptijd van het ISS en het aantal omwentelingen per dag.

D Geostationaire satellieten

Een bijzondere categorie zijn geostationaire satellieten. Die satellieten bevinden zich altijd boven hetzelfde punt op aarde. Daardoor hebben de schotelantennes op aarde, die gegevens met de satelliet uitwisselen, een vaste oriëntatie. Dat zorgt ervoor dat die satellieten heel geschikt zijn als weer- en telecommunicatiesatelliet.

Geostationaire satellieten bevinden zich altijd op dezelfde hoogte (die je verderop berekent) boven de evenaar. Je kunt dat verklaren met twee argumenten:

• De gravitatiekracht (die naar het middelpunt van de aarde gericht is) moet loodrecht op de baan staan en de baan moet loodrecht op de rotatieas staan. Dat is enkel zo in het evenaarsvlak.

• De omlooptijd moet hetzelfde zijn als die van de aarde (24 h). De omlooptijd wordt bepaald door de afstand tot het middelpunt van de aarde. Die bepaalt de hoogte boven de evenaar.

VOORBEELDVRAAGSTUK

evenaar h FG

satelliet

▲ Afb. 127 In het evenaarsvlak op een specifieke hoogte bewegen satellieten met een omlooptijd van 24 h.

Bereken de hoogte boven de aarde en de snelheid die elke geostationaire satelliet heeft.

Gegeven:

• T = 24 h

• Raarde = 6,38 · 106 m

• maarde = 5,98 · 1024 kg

Gevraagd:

• h = ?

• v = ?

Oplossing: De afstand R s wordt bepaald door de omlooptijd T en de massa van de aarde volgens dit verband:

T 2 R3 s = 4 · π2 G maarde

Daaruit volgt:

Daarbij is R s = Raarde + h.

Een geostationaire satelliet beweegt altijd op deze hoogte:

De snelheid kun je als volgt berekenen:

Reflectie: • Vergelijk de hoogte van een geostationaire satelliet met die van het ISS.

Wat stel je vast?

De geostationaire satelliet bevindt zich op circa 36 000 km hoogte, het ISS maar op 400 km hoogte. Dat betekent dat er veel meer energie nodig is om de geostationaire satelliet in de hogere baan te brengen, en dat het moeilijker is om te communiceren met de satelliet.

• Vergelijk de snelheid van een geostationaire satelliet met die van het ISS.

Wat stel je vast?

De geostationaire satelliet heeft een snelheid van circa 11 000 km h .

Het ISS beweegt met een veel hogere snelheid van 27 000 km h

De satelliet maakt 1 omwenteling per dag.

Het ISS maakt 5,65 omwentelingen per dag.

Satellieten bewegen op een cirkelbaan rond de aarde door de inwerkende gravitatiekracht

De hoogte bepaalt de snelheid van de satelliet.

VERDIEPING

Op ladingen werkt een coulombkracht in een elektrisch veld en een lorentzkracht in een magnetisch veld. De krachten veroorzaken een versnelling, waardoor de bewegende ladingen een bepaalde baan volgen. Afhankelijk van de kracht (de aard en de oriëntatie ten opzichte van de beginsnelheid) ontstaan er verschillende een- en tweedimensionale bewegingen.

Door een juiste combinatie van elektrische en magnetische velden kunnen de ladingen de gewenste snelheid (richting, zin en grootte) bekomen. Dat maakt technologische toepassingen mogelijk.

©VANIN

Je leert er meer over op .

REEKS

Een krokodil zwemt van de ene oever naar de andere met een constante snelheid loodrecht op de stroming van een rivier. De rivier is 50 m breed. De grootte van de stroomsnelheid van het water is 1,5 m s .

a Hoe snel zwemt de krokodil ten opzichte van het water, als hij 60 m is afgedreven wanneer hij de overkant van de rivier bereikt?

b Hoe groot is de snelheid van de krokodil ten opzichte van de oever?

c Bepaal de uitdrukkingen voor r (t) en v(t).

Een kat springt vanaf een balkon van 3,5 m hoog met een horizontale snelheidsgrootte van 2,5 m s .

a Bepaal de uitdrukkingen voor r (t) en v(t).

b Bepaal x, y, r, vx, v y en v bij het vertrek.

c Bepaal x, y, r, vx, v y en v bij de landing.

Je werpt een bal weg met een horizontale beginsnelheid vanuit het raam op 7,0 m hoogte.

De bal landt 6,8 m verder.

Bepaal de beginsnelheid v0.

Zijn deze uitspraken juist of fout?

Geef een tegenvoorbeeld bij de foute antwoorden.

a Elke tweedimensionale beweging is een kogelbaan.

b Elke kogelbaan is een tweedimensionale beweging.

c Elk weggeworpen voorwerp volgt een kogelbaan.

d Bij een kogelbaan is de ogenblikkelijke snelheid constant.

e Bij een kogelbaan is de horizontale snelheidscomponent constant.

Wie heeft gelijk? Verklaar.

De roos kun je nooit raken met een horizontale worp.

Geef de gelijkenis en het verschil in snelheid(sverandering) tussen …

a een ERB en een ECB;

b een EVRB en een ECB.

Een horloge heeft een secondewijzer, een minutenwijzer en een uurwijzer.

©VANIN

f Bij een kogelbaan is de ogenblikkelijke versnelling constant.

g Bij een kogelbaan is de horizontale versnellingscomponent constant.

h Bij een kogelbaan is de ogenblikkelijke versnelling gericht volgens de verticale snelheidscomponent.

Bereken de periode en de hoeksnelheid van elke wijzer.

Om een schrijf- en leessnelheid van 100 MB per seconde te halen, draait een harde schijf met 7 200 omwentelingen per minuut.

a Bereken de periode, de hoeksnelheid en de hoekverplaatsing na één minuut.

b Waarom gebruikt men het aantal omwentelingen per minuut om de draaisnelheid uit te drukken?

Een windmolen met wieken van 40,0 m lang maakt tien omwentelingen in 30,0 s.

Bepaal:

a de hoekfunctie (α(0,0 s) = 0);

b de baansnelheid in km h aan het uiteinde van de wieken;

c de centripetale versnelling aan het uiteinde van de wieken;

d de uitdrukkingen voor r (t), v(t) en a(t) in een x-y-assenstelsel met als oorsprong het middelpunt van de cirkel.

Een draaimolen maakt een volledig rondje in 11,2 s. De paarden staan op de buitenste baan met een straal van 3,20 m, de auto’s op de binnenste baan met een straal van 2,00 m. Na hoeveel tijd hebben de paarden en de auto’s 500 m afgelegd?

Hoe je moet mikken, hangt af van de afstand tot de roos en de gooisnelheid.

Om de roos te raken, moet je hoger dan de roos mikken.

Om de roos te raken, moet je precies op de roos mikken.

A

B

C D

Verklaar deze fenomenen.

a Een hond schudt na een zwempartij het water uit zijn pels.

b Een piste voor baanwielrennen is steil in de bocht.

Je draait een balletje rond aan een touwtje in een horizontaal vlak. Het balletje voert een ECB uit. Rangschik de groottes van de centripetale krachten van groot naar klein.

Tijdens een bobsleewedstrijd nemen de Belgian Bullets een horizontale bocht met een straal van 65,0 m en een snelheid van 90,0 km h . De totale massa bedraagt 310 kg. Hoe groot is de centripetale kracht op de bobslee dan?

Een blok (m = 0,70 kg) voert een ECB uit op een heel glad horizontaal vlak. Aan het blok is een touw met een lengte van 1,2 m vastgemaakt. Het touw breekt als de spankracht groter dan 50 N wordt. Wat is de maximale snelheid waarmee het blok kan ronddraaien?

REEKS

Een robot wandelt rond op een vlakke ondergrond. De positie van het zwaartepunt wordt gegeven door: r (t) = (3,0 m s · t – 0,50 m s2 · t2) · e x + (6,0 m + 2,0 m s · t) · e y

a Benoem de bewegingen in de x- en y-richting.

b Bepaal de uitdrukkingen voor v(t) en a(t).

c Bepaal r, r, v, v, a en a bij 4,0 s.

Op een van de skipistes in het Tiroolse Aschau ligt een natuurlijke schans waar je horizontaal af springt. Enkele meters lager kom je dan met wat geluk heelhuids neer op een horizontaal vlak stuk. Irina waagt een sprong met een bescheiden snelheid van 27,0 km h . Ze komt 1,2 s later neer.

a Kies een assenstelsel.

b Bepaal de plaatsfuncties (x(t) en y(t)) en r (t) van de sprong.

Op de kermis staat een attractie waarbij je tijdens het ronddraaien tegen de wand van een ton wordt gedrukt als de grootte van de snelheid hoog genoeg is.

a Welke afbeelding stelt de krachten correct voor, als de ton een ECB uitvoert?

c Bepaal de snelheidsgrootte en de snelheidsvector waarmee Irina neerploft op de piste.

d Bepaal ∆x, ∆y en ∆r tussen vertrekpunt A en landingsplaats B.

B C D E

b Benoem de krachten.

Twee balletjes worden van de toren van Pisa gegooid zoals weergegeven op de afbeelding. Voor welke hoogte y landen beide balletjes op dezelfde plaats? Verklaar.

a h 4

b h 2 c h 3 d h 2

Een helikopter met voedselhulp vliegt met een constante horizontale snelheid van 60,0 km h op een hoogte van 80,0 m. Het luik onderaan wordt geopend en een pakket valt uit de helikopter.

a Teken de waargenomen baan voor de helikopterpiloot.

b Teken de waargenomen baan voor een waarnemer op de grond.

c Bereken de horizontale positie en de verticale snelheidscomponent (voor een x-as naar rechts een y-as naar onderen met de oorsprong op de positie waar het pakket wordt gelost).

1 2

AAN DE SLAG ©VANIN

Bestudeer de grafieken.

a Benoem het type beweging bij elke grafiek.

b Geef een voorbeeld van een beweging bij elke grafiek. x (m)

De bommen uit de B-29bommenwerpers worden kort na elkaar gedropt, waardoor ze niet op dezelfde positie aan de valbeweging beginnen. Kan de foto (met alle bommen recht onder het vliegtuig dat ze gedropt heeft) kloppen? Verklaar.

(m)

Paintballkogels worden afgeschoten van verschillende hoogtes en met verschillende snelheden. Ze komen terecht op de grond.

Rangschik de zes situaties volgens toenemende tijd die de kogels hebben gevlogen. (Verwaarloos de luchtweerstand.)

Bestudeer de onderstaande grafieken.

Welke vorm hebben de grafieken van de onderstaande verbanden bij een ECB?

a ꞷ(t)

b v(t)

c a(t)

d ꞷ(T)

e v(T) f

)

Een auto met een massa van 2,0 ton rijdt door een bocht met een snelheid van 80 km h . Een vrachtwagen van 8,0 ton rijdt even later door dezelfde bocht met 40 km h . Bepaal de verhouding van de grootte van: a de centripetale krachten die inwerken op de voertuigen; b de centripetale versnellingen die de voertuigen ondervinden.

Een centrifuge bevat een motor die een as met containers snel laat ronddraaien en zo versnellingen opwekt die veel groter zijn dan de valversnelling.

a De werking van een centrifuge wordt soms verklaard met de centrifugale kracht (de kracht die naar de buitenkant van een cirkel is gericht) die op de deeltjes werkt. Is dat correct? Verklaar.

b Centrifuges worden gebruikt om mengsels te scheiden. Bekijk dat ook in de video. Welke deeltjes komen onderaan terecht? Verklaar.

©VANIN

c In technische specificaties kom je vaak alleen het aantal omwentelingen per minuut tegen. Is dat voldoende om de versnelling te bepalen?

d Straaljagerpiloten en astronauten oefenen in centrifuges om gewend te worden aan grote versnellingen. Die versnellingen worden uitgedrukt als veelvoud van de valversnelling. De kracht die de piloten en astronauten daarbij ondervinden, worden G-krachten genoemd. Bepaal zonder rekentoestel bij welke hoeksnelheden in een centrifuge met een straal van 5,00 m ze versnellingen van g en 6 · g bereiken. (Ter info: bij 6 · g worden de meeste mensen misselijk. Bij 9 · g verlies je het bewustzijn en 14 · g is dodelijk.)

▲Een centrifuge om G-krachten in te oefenen

REEKS

Een balletje met een massa m wordt met een horizontale snelheid v weggegooid van een hoogte h

Het komt terecht op positie x.

Schets de grafiek voor de volgende verbanden.

a x(m) bij een constante hoogte en snelheid

b x(v) bij een constante hoogte en massa

c x(h) bij een constante massa en snelheid

Een auto rijdt in een heuvelachtig landschap.

In punt A en C bevindt hij zich op een deel van een cirkelbaan, in punt B op een recht stuk.

a Rangschik de situaties volgens toenemende normaalkracht.

b Rangschik de situaties volgens toenemend gewicht.

c Voor welke situatie is er een maximale snelheid om de weg te blijven volgen? Bepaal die snelheid.

Kijk opnieuw naar oefening 13.

a Bepaal de uitdrukking voor de centripetale kracht.

b Bepaal de grootte van de snelheid v die nodig is opdat je tegen de ton wordt gedrukt.

Naast geostationaire satellieten bestaan er nog andere satellieten met een andere specifieke baan. Op de afbeelding zie je hun (Engelstalige) benaming, de hoogte waarop ze cirkelen, en enkele toepassingen. Bepaal (met een rekenblad) voor LEOen MEO-satellieten: a de minimale en maximale periode; b de minimale en maximale baansnelheid.

©VANIN

Aan de hand van de gravitatiewet kun je berekenen dat in een punt op de evenaar g = 9,80  m s2 Daarbij veronderstel je dat de aarde niet roteert.

Bereken de waarde van g1 op de evenaar, rekening houdend met de rotatie van de aarde.

hoogte: 2 000-35 786 km baansnelheid: ??? periode: ???

hoogte: 160-2 000 km baansnelheid: ??? periode: ??? hoogte apogeum: 40 000 km hoogte perigeum: 1 000 km baansnelheid: ~ 1,5-10,0 periode: ~ 12 h

hoogte: 35 786 km in het evenaarsvlak baansnelheid: ~ 3 periode: ~ 24 h

Voorbeeld: Voorbeeld: Voorbeeld:

hoogte: 35 786 km baansnelheid: ~ 3 periode: ~ 24 h

Voorbeeld: Voorbeeld:

B

R R

HOOFDSTUKSYNTHESE

Een tweedimensionale beweging is een beweging in een vlak. Dat wordt (meestal) het x(y)-vlak genoemd. De bewegingen in de verschillende richtingen beïnvloeden elkaar niet. Dat is het onafhankelijkheidsprincipe.

Je kunt de bewegingsvectoren ontbinden in componenten:

KOGELBAAN

De tweedimensionale parabolische baan van een weggeworpen voorwerp met een horizontale of schuine beginsnelheid is een kogelbaan

De snelheid verandert van richting en van zin door de zwaartekracht

v y · e y v y · e y v v v v ERB in de x-richting vrije val in de y -richting g

Bij een horizontale worp (v0 = v0x · ex) voert het voorwerp een ERB uit in de x-richting en een vrije val in de y-richting.

r (t) = v0 · t · e x + g 2 · t2 · e y

v(t) = v

hoeksnelheid ω =

CIRKELBEWEGING

radialen per seconde rad s

baansnelheid v = R · ω meter per seconde m s

centripetale versnelling a c p = R

• a(t) = –a c p · e n = –R · ω2 · e n v1 v2 a a et e n r (t) t n v0 = v0x · e x v0x · e x

ω2 = v2 R meter per seconde in het kwadraat m s2

Bij een ECB (eenparige cirkelbeweging) voert elk punt een cirkelbeweging uit met een vaste hoeksnelheid

ω = 2 · π T .De snelheid verandert van richting en van zin door de resulterende kracht (centripetale kracht F c p ) naar het middelpunt van de cirkel met als grootte

F c p = m · v2 R . De kracht heeft enkel een normaalcomponent die zorgt voor een richtingsverandering van de snelheid.

De tangentiële component van de kracht is nul. De grootte van de snelheid verandert dus niet.

In een t-n-assenstelsel kun je de bewegingsgrootheden eenvoudig voorstellen:

• r (t) = R · e n

• v(t) = v · et = R · ω · et

Arbeid en energie

Om raketten te lanceren, zijn er stuwmotoren nodig die de raket voldoende snelheid geven, waardoor ze hoog genoeg in de atmosfeer geraakt. Tijdens de lancering wordt er veel brandstof gebruikt om de nodige energie te leveren, zodat de gravitatiekracht kan worden overwonnen. Hoe kun je de nodige energie bepalen? Welke invloed heeft de plaatsafhankelijkheid van de gravitatiekracht daarop? Hoe kun je in het algemeen het verband tussen energieomzettingen en de inwerkende krachten beschrijven? In dit hoofdstuk ga je dieper in op het begrip ‘arbeid’ voor variabele krachten.

Je bestudeert het algemene verband tussen de verrichte arbeid van variabele krachten en de energieomzettingen.

LEERDOELEN

M de verrichte arbeid berekenen voor een constante en voor een variabele kracht

M conservatieve en niet-conservatieve krachten omschrijven en bepalen

M kinetische en potentiële energie omschrijven

M het verband tussen energieomzettingen en de verrichte arbeid berekenen

1 Wat betekent ‘arbeid verrichten’ in de fysica?

A Kracht en verplaatsing

In het dagelijks leven is ‘arbeid’ een synoniem voor ‘werk’ of ‘inspanning’. Bij fysieke arbeid gebruik je je spieren om iets op te heffen, om te lopen … Bij mentale arbeid gebruik je je hersenen om na te denken. Als je hard werkt, word je moe. De arbeid (het werk) wordt verricht door een persoon

In de fysica wordt arbeid verricht door een kracht. De verrichte arbeid geeft aan hoe de uitgeoefende kracht (grootte en oriëntatie) de verplaatsing beïnvloedt.

VOORBEELD ARBEID BIJ KRACHT OP EEN TROLLEY

©VANIN

Op een trolley kun je op verschillende manieren een kracht uitoefenen. De eventuele verplaatsing en de oriëntatie van de kracht bepalen of er al dan niet arbeid wordt verricht.

Je steunt op een trolley. Hoe hard je ook duwt, de kracht heeft geen invloed op de verplaatsing. De duwkracht verricht geen arbeid. Je trekt een trolley vooruit. Door de horizontale krachtcomponent van de trekkracht is er een horizontale verplaatsing. De trekkracht verricht arbeid.

Je wandelt met de trolley in je hand. De hefkracht is verticaal. De verplaatsing is horizontaal. De hefkracht heeft geen invloed op de horizontale verplaatsing. De hefkracht verricht geen arbeid.

B Arbeid als energieoverdracht

Met behulp van chemische energie kan het kind de doos verplaatsen door er een duwkracht op uit te oefenen.

Met behulp van kinetische energie kan de lucht de wieken verplaatsen door de windkracht die ze erop uitoefent.

Met behulp van elektrische energie kan een lift door een trekkracht omhoog worden gebracht.

Als het systeem in staat is om arbeid te verrichten, bezit het energie: het systeem kan door de energie een kracht uitoefenen die een verplaatsing veroorzaakt in de richting van de kracht. Terwijl de arbeid wordt verricht, is er een energieoverdracht van een systeem naar een ander systeem. De energie kan daarbij niet gemaakt of vernietigd worden. De totale energie blijft behouden.

CONCEPTVRAGEN

1 Geef een voorbeeld waarbij de zwaartekracht:

a arbeid verricht op een bewegend voorwerp; b geen arbeid verricht op een bewegend voorwerp.

2 Benoem voor de drie voorbeelden beide systemen en de energievormen.

Een kracht verricht arbeid als de kracht door haar grootte en oriëntatie de verplaatsing beïnvloedt.

Als er arbeid wordt verricht, wordt er energie overgedragen van een systeem naar een ander systeem.

©VANIN

Een systeem dat energie bezit, kan arbeid verrichten, straling uitzenden of warmte afgeven. In dit hoofdstuk bestudeer je enkel de verrichte arbeid.

Het symbool W voor arbeid is afgeleid van het Engelse work

2 Hoe kun je de verrichte arbeid berekenen?

2.1 Arbeid berekenen bij een constante kracht

Een voorwerp dat energie bezit, kan arbeid verrichten als het een kracht uitoefent. In sommige situaties is die kracht onafhankelijk van het tijdstip en van de positie. De kracht is dan constant en kan worden geschreven als F = F x · e x + F y · ey, waarbij F x en F y constante getallen zijn en de x-as is gekozen volgens de bewegingsrichting.

De arbeid W verricht door een constante kracht F die een hoek α maakt met de verplaatsing∆r wordt gedefinieerd als: W = F x

∆x = F · cos α

∆x

Algemeen geformuleerd betekent dat dat de verrichte arbeid door een constante kracht recht evenredig toeneemt met de tangentiële krachtcomponent F t en de verplaatsing ∆r.

©VANIN

▲ Afb. 134 De arbeid bij een constante kracht F tijdens een verplaatsing ∆r

Arbeid is een scalaire grootheid met als eenheid joule (1 N · m = 1 J).

GROOTHEID MET SYMBOOL SI-EENHEID MET SYMBOOL

arbeid W = F ∙ cos α ∙ ∆x joule J (= N ∙ m)

CONCEPTVRAGEN

1 Op afbeelding 134 is de x-as volgens de bewegingszin gekozen.

Wat verandert er voor de arbeid als de zin omkeert?

2 Noteer de uitdrukking voor arbeid zo eenvoudig mogelijk voor de onderstaande situaties.

a Een constante kracht wordt volgens de bewegingsrichting en in de zin van de verplaatsing uitgeoefend.

b Een constante kracht wordt volgens de bewegingsrichting, maar in tegengestelde zin van de verplaatsing uitgeoefend.

De oriëntatie van de kracht ten opzichte van de verplaatsing (hoek α) bepaalt het teken van de arbeid:

• α < 90°: F x · e x en ∆r hebben dezelfde zin. De grootte van de verplaatsing (in hetzelfde tijdsinterval) neemt toe onder invloed van de inwerkende kracht. De verrichte arbeid is positief.

• α > 90°: F x · e x en ∆r hebben een tegengestelde zin. De grootte van de verplaatsing (in hetzelfde tijdsinterval) neemt af onder invloed van de inwerkende kracht. De verrichte arbeid is negatief.

• α = 90°: F staat loodrecht op ∆r. De grootte van de verplaatsing (in hetzelfde tijdsinterval) wordt niet beïnvloed door de inwerkende kracht. De verrichte arbeid is nul.

van de arbeid.

Als er meerdere constante krachten inwerken op een systeem, dan kun je de resulterende arbeid berekenen als de arbeid verricht door de resulterende kracht of als de som van de arbeid verricht door alle krachten:

VOORBEELD ARBEID BIJ HET VOORTTREKKEN VAN EEN KIST

Je trekt een kist vooruit op een ruwe ondergrond. Op de kist werken vier constante krachten: de spankracht, de kinetische wrijvingskracht, de zwaartekracht en de normaalkracht. Je kiest de x-as in de bewegingszin. Je kunt de arbeid die door elke kracht wordt verricht, en de totale arbeid berekenen.

Als F s = 180 N, dan:

= F

∆x = 180 N · 2,00 m = 360 J

Als F w = 100 N, dan:

x = –100 N · 2,00 m = –200 J

Voor elke waarde van F z geldt:

J

Voor elke waarde van F

De totale arbeid is:

W res = W s + W w + W z + W n = 360 J – 200 J + 0 J + 0 J = 160 J

Je kunt dat ook berekenen met de resulterende kracht:

F res = F s + F w + F z + F n

Dus:

F res, x = F s, x + F w, x = 180 N – 100 N = 80 N (de kist versnelt) en W res = F res, x · ∆x = 80 N · 2,00 m = 160 J

Wat verandert er als de kracht wordt uitgeoefend onder een hoek van 33°?

VOORBEELD ARBEID DOOR DE ZWAARTEKRACHT OP EEN HELLING

©VANIN

Je wandelt naar boven op een helling die een hoogte h heeft en die een hoek θ maakt met de horizontale richting. De zwaartekracht F z is constant tijdens de klim.

CONCEPTVRAAG ▲ Afb. 136 De zwaartekracht verricht negatieve arbeid bij een beweging omhoog.

Je kiest de x-as volgens de bewegingsrichting en -zin. De arbeid verricht door de zwaartekracht kun je als volgt berekenen: W z = F z, x · ∆x = –F z · sin θ · ∆x

De hoogte h neemt toe met de hoek en de verplaatsing. Het onderlinge verband vind je door het goniometrisch verband toe te passen: sin θ = h ∆x

Daarmee kun je de verrichte arbeid uitdrukken in functie van de hoogte: W z = –F z · sin θ

∆x = –F z

m

g · h

Het minteken wijst erop dat de beweging (schuin) omhoog is gericht en de zwaartekracht naar beneden.

CONCEPTVRAGEN

1 Ga na of de gevonden uitdrukking ook geldig is voor een verticale beweging omhoog.

2 Bepaal de uitdrukking voor de arbeid die wordt verricht door de zwaartekracht tijdens een schuine en een verticale beweging naar beneden.

De arbeid W verricht door een constante kracht F die een hoek α maakt met de verplaatsing∆r is als volgt gedefinieerd:

W = F x · ∆x = F

Arbeid is een scalaire grootheid met als eenheid joule (1 N · m = 1 J).

Als er meerdere constante krachten inwerken op een systeem, is de resulterende arbeid als volgt gedefinieerd: W res = F res

cos

2.2 Arbeid bepalen bij een willekeurige kracht

A Arbeid grafisch bepalen bij een constante kracht

Bij een rechtlijnige beweging kun je de x-as volgens de tangentiële richting kiezen. Dan is F x = F t constant voor een constante kracht F. Dat betekent dat de Fx(x)-grafiek een horizontale rechte is.

Voor een verplaatsing ∆x wordt er een rechthoek gevormd waarvan de oppervlakte een maat is voor de verrichte arbeid.

begin xeind

W = F x · ∆x > 0: dat is de oppervlakte van de rechthoek.

VOORBEELD ARBEID AFLEZEN UIT

EEN GRAFIEK

Je trekt een kist voort op een ruw oppervlak (zie voorbeeld in paragraaf 2.1, p. 131). De spankracht en de wrijvingskracht zijn constant. Je kunt de arbeid berekenen met de oppervlakte ingesloten door de horizontale rechte:

©VANIN

W = F x · ∆x < 0: dat is het tegengestelde van de oppervlakte van de rechthoek.

• W s = 180 N · 2,00 m = 360 J

• W w = –100 N · 2,00 m = –200 J

CONCEPTVRAGEN

w < 0 ▲ Afb. 137 De arbeid door de spankracht (blauw) en de wrijvingskracht (oranje)

1 Kun je de oppervlaktemethode ook gebruiken als de kracht loodrecht op de verplaatsing staat? Verklaar.

2 Hoe veranderen de Fx(x)-grafiek en de arbeid verricht door de spankracht in het voorbeeld als …

a je onder een hoek van 33° trekt?

b je de oorsprong van de x-as op een andere plaats kiest?

B Arbeid grafisch bepalen bij een variabele kracht

Voor een variabele kracht F(x) verandert de kracht in functie van de plaats. De kracht kun je als volgt schrijven: F(x) = Fx(x) · e x + Fy(x) · ey, waarbij je de x-as kiest volgens de bewegingszin en Fx(x) en Fy(x) veranderen in functie van de positie. De Fx(x)-grafiek is een kromme met een willekeurige vorm

©VANIN

▲ Afb. 138 Arbeid bij een willekeurige kracht: de oppervlakte onder de Fx(x)-grafiek

Voor een verplaatsing ∆x kun je de oppervlakte ingesloten door de functiekromme benaderen door smalle rechthoeken met als basis een verplaatsing ∆xi. Voor elke ∆xi is de krachtcomponent  Fx, i (bij benadering) constant en is de oppervlakte van de rechthoek een maat voor de verrichte arbeid.

De totale arbeid vind je als de som:

W = ∑ Wi = ∑ Fx, i · ∆xi

Dat betekent dat de oppervlakte ingesloten door de curve een maat is voor de verrichte arbeid.

C Arbeid berekenen bij een variabele

kracht

Hoe kleiner de verplaatsingen ∆xi op afbeelding 138, hoe beter de berekening met de oppervlaktemethode de arbeid exact benadert. In de limiet van een infinitesimaal kleine ∆xi vind je voor elke kracht F(x) de exacte waarde van de verrichte arbeid:

W = lim ∑ Fx, i · ∆xi = ∫xbegin Fx(x) · dx

Je kunt voor elke (variabele) kracht F(x) de arbeid W berekenen als de integraal van de krachtcomponent Fx(x) voor een verplaatsing ∆x (tussen de posities xbegin en xeind). Voor een rechtlijnige beweging is de Fx(x)-component de tangentiële krachtcomponent.

Voor een kracht volgens de verplaatsing (F x > 0) is de arbeid positief. Voor een kracht tegengesteld aan de verplaatsing (Fx < 0) is de arbeid negatief.

CONCEPTVRAAG

Bereken de arbeid als integraal bij een constante kracht. n i =1 n i =1 Δx →0 n i =1 xeind

F x (N) x (m) xbegin xeind

W > 0 W < 0

▲ Afb. 139 De grafische betekenis van arbeid bij een willekeurige kracht

Op een Fx(x)-grafiek is de oppervlakte ingesloten door de curve een maat voor de verrichte arbeid W door een kracht F(x) bij een verplaatsing ∆x.

• F x · e x en ∆r hebben dezelfde zin: de arbeid is positief.

• F x · e x en ∆r hebben een tegengestelde zin: de arbeid is negatief.

Voor elke (variabele) kracht F(x) geldt: W = ∫xbegin Fx(x) · dx, waarbij de Fx(x)-component de krachtcomponent volgens de verplaatsing is.

xeind

(Voor een rechtlijnige beweging geldt: Fx(x) = Ft(x).)

WEETJE

Het scalair product van de vectoren a en b is gedefinieerd als a · b = a · b · cos α, waarbij de hoek α de kleinste hoek is tussen a en b. Het scalair product heeft als uitkomst een scalar (getal).

Het scalair product wordt gebruikt bij de algemene definitie van arbeid. Arbeid is het scalair product van de kracht F(r) en de verplaatsing ∆r.

• Voor een constante kracht betekent dat: W = F · ∆r = F · |∆r| · cos α

reind

• Voor een variabele kracht betekent dat: W = ∫rbegin Fx(r) · dr

3 Hoe groot is de verrichte arbeid bij de (variabele) veerkracht en de gravitatiekracht?

3.1 Arbeid bij een veer

A Wet van Hooke

Om een veer uit te rekken of in te duwen, moet je een kracht F op uitoefenen op de veer. Volgens de derde wet van Newton is de veerkracht F v uitgeoefend door de veer even groot en tegengesteld: F op = –F v

©VANIN

Je kiest een x-as volgens de richting van de veer, met als oorsprong de positie van de veer als die in evenwicht is. Je kiest de x-as in de zin van de uitrekking.

De kracht op de veer kan een duwkracht of een trekkracht zijn. We gebruiken als algemeen symbool F op

1 Kracht op de veer

Als je de veer uitgerekt of ingedrukt houdt over een afstand ∆x, moet je een kracht F op op de veer uitoefenen die recht evenredig toeneemt met de vervorming ∆r. Die kracht heeft dezelfde richting en zin als de vervorming:

F op, x = k

en

Daarbij geldt:

• k is de veerconstante. Dat is een maat voor de stijfheid van een veer. Hoe groter de veerconstante, hoe meer kracht je moet uitoefenen om een veer een bepaalde vervorming te geven.

GROOTHEID MET SYMBOOL

SI-EENHEID MET SYMBOOL

veerconstante k newton per meter N m

©VANIN

• Voor een uitgerekte veer is ∆x > 0 en F op, x > 0. Voor een ingedrukte veer is ∆x < 0 en F op, x < 0. De kracht heeft altijd dezelfde zin als de vervorming. De arbeid geleverd door F op is altijd positief.

2 Veerkracht

De veerkracht F v uitgeoefend door de veer heeft dezelfde grootte en richting als de kracht op de veer Fop, maar de zin is tegengesteld aan de vervorming ∆r. Het is de reactiekracht van de kracht op de veer:

De veerkracht F v heeft altijd een zin tegengesteld aan de vervorming ∆r. De arbeid geleverd door F v is altijd negatief.

Die uitdrukking wordt de wet van Hooke genoemd: bij een vervorming oefent de veer een kracht uit die tegengesteld is aan de vervorming en recht evenredig met de grootte van de vervorming.

De wet van Hooke is genoemd naar de Engelse sterrenkundige, natuurkundige en architect Robert Hooke. Naast dat wiskundige verband ontwikkelde hij ook de spiraalveer. F op, x k · xeind

B Arbeid bij een veer berekenen

De kracht op de veer F op veroorzaakt een verplaatsing ∆r. Dat betekent dat de kracht arbeid verricht. Voor een x-as met als oorsprong (xbegin = 0, dus ∆x = x – xbegin = x) het uiteinde van de onbelaste veer geldt: F op, x = k · ∆x = k · x

De krachtgrootte is niet constant. Je kunt de arbeid op twee manieren bepalen: grafisch of met een integraal.

1 Arbeid grafisch bepalen

Voor een veer die uitgerekt is, is de F op, x(x)-grafiek een stijgende rechte. Voor een uitrekking van de veer van xbegin = 0 tot een positie xeind is de ingesloten oppervlakte een driehoek met basis b = xeind en hoogte h = k · xeind

Je vindt de arbeid als de oppervlakte van de driehoek: W op = b

F op, x = k · x ▲ Afb. 140 De oppervlakte ingesloten door de F op, x(x)-grafiek geeft de arbeid weer die wordt verricht door de kracht op de veer.

xeind

Je kunt de invloed van de veerconstante en de uitrekking bestuderen met de krachtgrafiek in de applet.

2 Arbeid berekenen als integraal

Voor elke variabele kracht F(x) geldt:

W = ∫xbegin Fx(x) · dx

De arbeid om de veer uit te rekken van xbegin = 0 tot een positie xeind, kun je als volgt berekenen:

W op = ∫0 k · x · dx = [ 1 2 · k · x2]0 xeind = 1 2 · k · x2 eind

Uit de berekeningen blijkt dat de arbeid verricht door de kracht op de veer om een veer te vervormen, Fop, van een positie x = 0 tot een positie x of –x recht evenredig toeneemt met het kwadraat van de vervorming van de veer W op ~ x2:

W op = 1 2 · k · x2

De arbeid W op bij een indrukking of uitrekking van een willekeurige positie xbegin tot een positie xeind is gegeven door:

W op = 1 2 · k · (x2 eind – x2 begin)

Je kunt op een analoge manier de arbeid verricht door de veerkracht F v bepalen. Je kunt dat ook korter afleiden uit de arbeid die verricht is door de kracht op de veer. De veerkracht F v is op elke positie even groot als en tegengesteld aan de kracht op de veer (F v = –Fop). Dat betekent dat de veerkracht tegengesteld is aan de verplaatsing en dat de verrichte arbeid negatief is. De arbeid verricht door de veerkracht F v om een veer te vervormen van x = 0 tot een positie x of –x, is even groot als, maar tegengesteld aan de arbeid verricht door de kracht op de veer F op :

W v = –W op = –1 2 · k · x2

De arbeid W v bij een indrukking of uitrekking van een willekeurige positie xbegin tot een positie xeind is gegeven door:

W v = –1 2 · k · (x2 eind – x2 begin)

CONCEPTVRAGEN

1 De uitdrukking voor de arbeid verricht door F op is ook geldig bij een ingedrukte veer. Ga dat na.

©VANIN

2 Reken de uitdrukking voor W op na bij een indrukking of uitrekking van een willekeurige positie xbegin tot een positie xeind.

Een balpenveer wordt 1,0 cm ingedrukt doordat je er een kracht met een grootte van 3,20 N op uitoefent.

Bepaal:

1 de arbeid verricht door de veerkracht; 2 de vervorming waarbij de verrichte arbeid half zo groot is.

Gegeven:

• ∆x = 1,0 cm

• F op = 3,20 N

Gevraagd: 1 W v = ?

2 ∆x’ bij W’ v = 1 2 · W v = ?

Oplossing: Je kiest een x-as volgens de richting en de zin van de vervorming. De oorsprong kies je ter hoogte van de evenwichtslengte.

©VANIN

1 Om de arbeid te berekenen, moet je de veerconstante kennen. Die kun je bepalen op basis van de veerkracht:

3,2

De arbeid verricht door de veerkracht wordt dus:

2 De arbeid is gehalveerd als:

De vervorming is dan ∆x’ = xeind = 0,71 cm.

Reflectie: Hoe veranderen de kracht en de arbeid als de stijfheid van de veer dubbel zo groot is?

Als de veerconstante k verdubbelt, verdubbelen de veerkracht, de kracht op de veer en de arbeid verricht door beide krachten.

Als een veer ingedrukt of uitgerekt is (verplaatsing ∆r = ∆x · ex), werken er twee plaatsafhankelijke krachten. Ze vormen een actie-reactiepaar.

• kracht op de veer: F op = k · ∆x · e x = k · ∆r

• veerkracht uitgeoefend door de veer: F v = –k · ∆x · e x = –k · ∆r (wet van Hooke)

De veerconstante k is een maat voor de stijfheid van de veer. De arbeid verricht bij de uitrekking van een veer is gegeven door:

W v = –W op = –1 2 · k · (x2 eind – x2 begin) ▲ Afb. 141 xeind xbegin ∆r 0 x (m) F v F op ▲ Afb. 142 De krachten en de verplaatsing bij een ingedrukte veer

3.2 Arbeid verricht door de gravitatiekracht

Tussen twee puntmassa’s (m1 en m2) werkt er een aantrekkende kracht met als grootte

FG = G · m1 m2 r2 , waarbij de gravitatieconstante G = 6,67 · 10–11 N m2 kg2 is en r de afstand tussen beide massa’s.

Voor een r-as volgens de verbindingslijn tussen beide puntmassa’s en met als oorsprong massa m1 is de gravitatiekracht op massa m2 gegeven door:

FG = –G · m1 · m2

r FG

▲ Afb. 143 De arbeid verricht door FG

begin

De kracht is plaatsafhankelijk en dus niet constant. De FG, r(r)-grafiek is een stijgende 1 r2 -grafiek die onder de r-as ligt.

FG, r r rbegin reind

▲ Afb. 144 Een FG, r(r)-grafiek met de arbeid gemarkeerd voor de verplaatsing van massa m2, die zich verplaatst naar massa m1 van positie rbegin naar reind

Als massa m2 zich verplaatst naar massa m1 van positie rbegin naar reind, dan is de verplaatsing evenwijdig met de gravitatiekracht:

∆r = ∆r · e r = (reind – rbegin) · e r heeft dezelfde richting als FG = –G · m1 · m2 r2 · e r

©VANIN

Er wordt arbeid verricht door de gravitatiekracht

De verrichte arbeid is even groot als de oppervlakte ingesloten door de kromme van de gravitatiekrachtfunctie. Die oppervlakte is grafisch echter niet eenvoudig te bepalen. Je berekent de arbeid daarom met de integraalmethode:

WG = ∫

reind reind reind reind

CONCEPTVRAGEN

1 Welk teken heeft de arbeid voor de weergegeven situatie? Verklaar.

2 Geef een voorbeeld waarbij de gravitatiekracht een negatieve arbeid uitoefent.

We kiezen voor de benaming ‘r-as’ in plaats van ‘x-as’ omdat de plaatsafhankelijkheid in de gravitatiekracht wordt uitgedrukt met de afstand r tussen de twee puntmassa’s.

VOORBEELD ARBEID VERRICHT BIJ EEN METEORIETINSLAG

Op 15 februari 2013 werd de stad Tsjeljabinsk in de Russische Oeral getroffen door een meteoriet. Door de schokgolf die tijdens de ontploffing vrijkwam, raakten 1 200 mensen gewond.

De materiële schade bedroeg 25 miljoen euro. Het is de grootste meteoriet die de laatste honderd jaar de atmosfeer binnendrong.

©VANIN

De meteoriet ontplofte op een hoogte tussen de 30 en 70 km boven Tsjeljabinsk in verschillende stukken. De vrijgekomen energie werd geschat op 500 kiloton TNT (een explosieve stof).

Ter vergelijking: de atoombom die boven Hiroshima ontplofte, had een explosiekracht van ‘maar’ 15 kiloton TNT.

NASA schatte dat de meteoriet een diameter van 17 m en een massa van 9,0 · 106 kg had.

Je kunt daarmee de arbeid verricht door de gravitatiekracht bepalen.

Om de arbeid te berekenen, bepaal je de afstanden tot het middelpunt van de aarde (met raarde = 6 370 km). Als hoogte boven de aarde bij de ontploffing neem je 50 km. De diameter van de meteoriet was 17 m, wat je mag verwaarlozen ten opzichte van de hoogte boven de aarde.

W = G · m1 · m2 · ( 1 reind –1 rbegin ) = G · m1 · m2 · (

6,67

50 · 103 m ) = 4,4 · 1012 J

Tussen twee massa’s m1 en m2 werkt de plaatsafhankelijke gravitatiekracht

Voor m2 geldt: FG = –G ·

Daarbij is de gravitatieconstante G = 6,67 · 10–11 N m2 kg2 , r de afstand tussen beide massa’s en de r-as volgens de verbindingslijn tussen beide puntmassa’s, met de zin naar massa m1

De arbeid verricht op m2 bij de verplaatsing ∆r = ∆r · e r = (reind – rbegin) · e r bepaal je met de integraalmethode en is gegeven door:

WG = G · m1 · m2 · ( 1 reind –1 rbegin )

▲ Afb. 145 Een meteorietspoor in de lucht na de ontploffing boven Tsjeljabinsk in 2013

4.1 Snelheidsverandering door verrichte arbeid

Een auto vertrekt: de snelheid neemt toe en er is een verplaatsing door de motor, die een kracht uitoefent. De motorkracht verricht arbeid, waardoor de auto versnelt.

Met een opgespannen katapult kun je een steentje wegschieten. De arbeid verricht door het elastiek verandert de snelheid van het steentje.

Door de wrijvingskracht verliest het skateboard snelheid. De arbeid verricht door de wrijvingskracht zorgt ervoor dat de snelheid van het skateboard afneemt.

Als er arbeid wordt verricht op een systeem, kan de snelheidsgrootte veranderen:

• Bij een positieve verrichte arbeid is er een snelheidstoename.

• Bij een negatieve verrichte arbeid is er een snelheidsafname.

VOORBEELD

ARBEID VERRICHT DOOR DE ZWAARTEKRACHT

Je gooit een balletje omhoog.

• Tijdens de beweging omhoog is de zwaartekracht F z tegengesteld aan de verplaatsing ∆romhoog. De verrichte arbeid door de zwaartekracht is negatief. Het balletje vertraagt.

• Tijdens de beweging omlaag is de zwaartekracht F z gericht volgens de verplaatsing ∆romlaag. De verrichte arbeid door de zwaartekracht is positief. Het balletje versnelt.

©VANIN

romhoog F z

romlaag

CONCEPTVRAAG F z

▲ Afb. 149 De zin van de verplaatsing verandert tijdens een verticale worp. De arbeid verricht door de zwaartekracht tijdens de beweging omhoog is tegengesteld aan de arbeid tijdens de valbeweging.

De verrichte arbeid kan een snelheidsverandering veroorzaken:

• Bij een positieve arbeid neemt de snelheid toe.

• Bij een negatieve arbeid neemt de snelheid af.

Bepaal voor de drie voorbeelden bovenaan deze pagina het teken van de arbeid en de snelheidsverandering.

4.2 Kinetische energie

Een bowlingbal kan door zijn snelheid de kegels omvergooien. De uitgeoefende kracht verricht arbeid.

‘Kinetisch’ is afgeleid van het Griekse κινειν (kinein), dat ‘bewegen’ betekent. xeind xeind

Een hamer kan door zijn snelheid een spijker in een blok hout kloppen. De uitgeoefende kracht verricht arbeid.

©VANIN

Rotsblokken kunnen door hun snelheid een grote ravage aanrichten. De uitgeoefende kracht verricht arbeid.

Een systeem dat snelheid heeft, kan arbeid verrichten: het kan door zijn snelheid een kracht uitoefenen die de verplaatsing beïnvloedt. Een systeem dat snelheid heeft, bezit dus energie. De energie als gevolg van de snelheid noem je de kinetische energie

Je kunt het kwantitatieve verband tussen arbeid en kinetische energie afleiden met behulp van de definitie van arbeid en de tweede wet van Newton. We berekenen de arbeid om een systeem met een massa m te versnellen van een snelheid vbegin tot een snelheid veind.

▲ Afb. 153 Het arbeid-energietheorema: kinetische energie verandert door de verrichte arbeid.

Om het systeem te versnellen, is er een resulterende kracht nodig: F(x) = m · a(x). Voor die (variabele) kracht met een component Fx(x) = m · ax(x) is de arbeid tussen de posities xbegin en xeind als volgt gedefinieerd:

W = ∫xbegin Fx(x) · dx = ∫xbegin m · ax(x) · dx = m

xbegin dvx(

De snelheidscomponenten zijn plaatsafhankelijk. De snelheid verandert van vbegin, x op positie xbegin naar veind, x op positie xeind. Daarmee kun je de integraal uitdrukken in functie van de snelheid. De arbeid wordt:

W = m · ∫xbegin dvx(x) dt · dx = m

vbegin dx dt · dv x

De kinetische energie wordt als volgt gedefinieerd: Ekin = 1 2 · m · v2

Dat betekent dat de arbeid verricht door een kracht een verandering van kinetische energie veroorzaakt:

Dat is het arbeid-energietheorema

▲ Afb. 150

▲ Afb. 151

▲ Afb. 152

Er zijn twee geldigheidsvoorwaarden:

• Het arbeid-energietheorema geldt voor de resulterende kracht. Enkel dan kun je (met de tweede wet van Newton) de kracht uitdrukken in functie van de versnelling.

• De resulterende kracht wordt volledig gebruikt om het systeem te versnellen. Enkel dan wordt de arbeid volledig omgezet in een verandering van kinetische energie.

VOORBEELDVRAAGSTUK

In de omgeving van scholen geldt er een snelheidsbeperking van 30 km h . Een auto met een massa van 1,2 ton heeft bij die snelheid een remafstand van 5,0 m. Bereken de remafstand als de auto een beginsnelheid van 50 km h heeft en met dezelfde kracht remt.

Gegeven:

• m = 1,2 ton

• vbegin = 30 km h

• ∆x = 5,0 m

• v’ begin = 50 km h

Gevraagd: ∆x’ bij 50 km h = ?

Oplossing:

begin vbegin

eind = 0

w F w 1 cm 10 km h

▲ Afb. 154 De remafstand bij verschillende beginsnelheden en een constante remkracht

eind = 0

De kracht tijdens het remmen is de wrijvingskracht, die tegengesteld is aan de beweging (α = 180°). De arbeid verricht door de wrijvingskracht is:

W w = F w · ∆x · cos 180° = –F w · ∆x

Volgens het arbeid-energietheorema geldt tijdens het afremmen van vbegin tot veind = 0: W w = –F w · ∆x = 1 2 ·

Bij een constante wrijvingskracht F w betekent dat dat de remafstand van de auto toeneemt met het kwadraat van de afstand: ∆x ~ v2 begin

Dat betekent: ∆x’ = ( v’ begin vbegin )2 · ∆x = ( 50 km h 30 km h )2 · 5,0 m = 25 9 · 5,0 m = 14 m

Reflectie: • Hoe verandert de remafstand voor een vrachtwagen die met dezelfde kracht remt?

De remafstand neemt recht evenredig toe met de massa bij dezelfde beginsnelheid: W

• Waarom hoef je de snelheden niet om te zetten naar een SI-eenheid?

Van km h naar m s is er een omzettingsfactor (van 1 3,6 ). In de verhouding van de snelheden valt die weg en is de eenheid dus niet van belang.

CONCEPTVRAGEN

1 Kan de kinetische energie negatief zijn? Verklaar. 2 Kan de verandering van kinetische energie negatief zijn? Verklaar.

Door de snelheid bezit een systeem kinetische energie, met als grootte Ekin = 1 2

De arbeid verricht door de resulterende kracht veroorzaakt een verandering van kinetische energie:

Dat is het arbeid-energietheorema.

WEETJE

©VANIN

Eenheden worden gedefinieerd aan de hand van de stand van de wetenschap op dat moment. De eenheid van energie is daar een mooi voorbeeld van.

Tot de achttiende eeuw beschouwde men warmte als iets dat stroomt. Die stromende warmte noemde men de ‘caloric’. De eenheid calorie (van het Latijnse calor, ‘warmte’) werd ernaar vernoemd.

1 kilocalorie (kcal) is de hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur van 1 kilogram water met 1 graad Celsius te doen stijgen. We gebruiken de kcal nu nog bij de energie uit voeding.

Vanaf de negentiende eeuw bekeek men warmte als energie. James Prescott Joule koppelde dat aan de vorige definitie. De potentiële energie van een vallend blokje wordt de kinetische energie van wieken (zie afbeelding 155). Die kinetische energie wordt warmte.

1 joule (J) is de energie die nodig is om een lichaam te verplaatsen met een kracht van 1 newton over een afstand van 1 meter. De massa van dat lichaam is niet van belang. De joule (symbool J) is de SI-eenheid van energie. 1 kcal komt overeen met 4,186 8 kJ.

vallend blokje

draaiende wieken warmen water op

In de twintigste eeuw werd elektrische energie belangrijk. De opgewekte energie was veel groter en er werd een nieuwe, grotere eenheid gedefinieerd.

1 kilowattuur (kWh) is de energie van een voorwerp dat gedurende 1 uur 1 000 joule per seconde produceert of verbruikt. 1 kilowattuur (kWh) komt overeen met 3 600 000 J of 3,6 MJ (megajoule).

In de eenentwintigste eeuw drukt men alle eenheden uit in functie van fundamentele constanten (uit de kwantumfysica).

Men definieert de joule op basis van de constante van Planck en de seconde, dus zonder de meter en de kilogram erin te betrekken. De joule wordt gedefinieerd als de constante van Planck gedeeld door 6,626 070 15 ∙ 10−34 seconde.

▲ Afb. 155 Warmtemachine van Joule

5.1 Conservatieve en niet-conservatieve krachten

Als een lift naar boven beweegt, verricht de zwaartekracht negatieve arbeid. Als een lift naar beneden beweegt, verricht de zwaartekracht positieve arbeid. Als de lift na het op en neer bewegen weer aankomt op de gelijkvloerse verdieping, is de netto arbeid voor de totale beweging door de zwaartekracht nul.

Als je een auto voortduwt naar de garage, verricht de duwkracht positieve arbeid en de wrijvingskracht negatieve arbeid. Als je de kortste weg naar de garage neemt, is de grootte van de arbeid geleverd door beide krachten kleiner dan als je een langere weg neemt.

Als de kracht de verplaatsing beïnvloedt, levert ze arbeid. De verrichte arbeid hangt al dan niet af van het gevolgde pad. Je kunt krachten indelen op basis van de invloed van het gevolgde pad op de verrichte arbeid.

1 Conservatieve kracht

De arbeid verricht door een kracht op een voorwerp dat tussen een beginpositie en een eindpositie beweegt, is onafhankelijk van de gevolgde weg

Voor een gesloten pad is de verrichte arbeid nul.

Voorbeelden: de zwaartekracht, de gravitatiekracht, de coulombkracht, de veerkracht.

2 Niet-conservatieve kracht

De arbeid verricht door een kracht op een voorwerp dat tussen een beginpositie en een eindpositie beweegt, is afhankelijk van de gevolgde weg

©VANIN

Voor een gesloten pad is de verrichte arbeid verschillend van nul.

Voorbeelden: de wrijvingskracht, de spierkracht, de kracht van een motor.

Je kunt met de definitie van arbeid nagaan of een kracht al dan niet conservatief is.

VOORBEELD ARBEID DOOR DUW- EN WRIJVINGSKRACHT

Je verschuift een doos met een duwkracht Fduw. Daarbij ondervindt de doos een wrijvingskracht Fw, k. Beide krachten zijn rakend aan de baan en hebben op elk moment dezelfde richting als de verplaatsing ∆l.

©VANIN

▲ Afb. 160 De arbeid door de duwkracht Fduw en de wrijvingskracht Fw, k hangt af van de gevolgde weg.

Voor elk (infinitesimaal klein) stukje verplaatsing dl langs de baan wordt er een arbeid verricht door beide krachten met als grootte:

• dWduw = Fduw, l · dl = Fduw · dl

• dWw, k = Fw, k, l · dl = –Fw, k · dl

De totale arbeid tussen punten 1 en 2 vind je als deze integralen:

• Wduw = ∫2 1 dWduw = ∫2 1 Fduw · dl = Fduw · ∫

• Ww, k =

baan

De verrichte arbeid neemt toe met de lengte van de baan l tussen de punten 1 en 2. Zowel de duwkracht als de wrijvingskracht is niet-conservatief.

We bekijken een getalvoorbeeld. Je verschuift een kist volgens de twee paden op afbeelding 160 met een constante snelheidsgrootte. De kortste weg is 3,00 m, de langste 5,00 m. Je duwt met een kracht Fduw = 60,0 N.

Aangezien de snelheid constant is, geldt op elk moment:

Fw, k = –Fduw en Fw, k = 60,0 N

KORTSTE WEG

• Wduw = Fduw · lbaan = 60,0 N · 3,00 m = 180 J

• Ww, k = –Fw, k · lbaan = –60,0 N · 3,00 m= –180 J

• Wtot = Fduw · lbaan – Fw, k · lbaan = 0 J

LANGSTE WEG

• Wduw = Fduw · lbaan = 60,0 N · 5,00 m = 300 J

• Ww, k = –Fw, k · lbaan = –60,0 N · 5,00 m = –300 J

• Wtot = Fduw · lbaan – Fw, k · lbaan = 0 J

De arbeid van de duwkracht en die van de wrijvingskracht zijn afhankelijk van de gevolgde weg. De duw- en de wrijvingskracht zijn niet-conservatieve krachten. De totale arbeid is nul, omdat de kist met een constante snelheid wordt voortgeduwd en de resulterde kracht dus nul is.

De verrichte arbeid door een kracht is (on)afhankelijk van de gevolgde weg:

• Conservatieve kracht: de verrichte arbeid is onafhankelijk van de gevolgde weg.

• Niet-conservatieve kracht: de verrichte arbeid is afhankelijk van de gevolgde weg.

5.2 Potentiële zwaarte-energie

Als je bij het schommelen wordt losgelaten op een hoogte, kom je in beweging. De zwaartekracht verricht arbeid op jou.

Het water in een stuwmeer kan door zijn hoogte de turbines doen draaien. De zwaartekracht verricht arbeid op het water.

Een hagelbol valt van een grote hoogte en kan daardoor schade aanrichten. De zwaartekracht verricht arbeid op de hagelbol.

Als een voorwerp zich op een hoogte bevindt in het zwaarteveld rondom de aarde, dan kan de zwaartekracht arbeid verrichten op dat voorwerp. Daaruit volgt dat het systeem voorwerpaarde energie bezit.

De zwaartekracht in de buurt van de aarde is verticaal en constant. Uit de definitie van arbeid volgt dat bij elke beweging waarbij de verplaatsing een verticale component heeft, de zwaartekracht arbeid verricht. We bekijken situaties waarbij een voorwerp verticaal of via een willekeurig pad van een hoogte naar beneden beweegt. We kiezen een horizontale x-as naar rechts en een verticale y-as naar boven.

VERTICALE BEWEGING NAAR BENEDEN

©VANIN

De zwaartekracht is constant in grootte en evenwijdig met de verplaatsing, met h = ybegin – yeind = –∆y

De arbeid is positief, met als grootte: W z = F z, y

∆y = –F z · (–h) = m · g · h

BEWEGING LANGS EEN WILLEKEURIG PAD NAAR BENEDEN

De zwaartekracht is constant in grootte, maar maakt een hoek met de verplaatsing, die verandert gedurende de verplaatsing:

▲ Afb. 161

▲ Afb. 162

▲ Afb. 163

De arbeid verricht door de zwaartekracht is onafhankelijk van de gevolgde weg. De zwaartekracht is een conservatieve kracht.

Je kunt de arbeid als volgt berekenen:

W z = –m · g · (yeind – ybegin) = m · g · (ybegin – yeind) = m · g · ybegin – m · g · yeind

‘Potentieel’ is afgeleid van het Latijnse potens, dat ‘in staat zijn om’ betekent. xeind

De potentiële zwaarte-energie is gedefinieerd als:

E pot, z = m · g · y

Daarbij is y de hoogte ten opzichte van een referentiepunt y = 0 m waar E pot, z(0 m) = 0 J. Dat wordt meestal als laagste punt gekozen (voor een assenstelsel omhoog).

Daaruit volgt:

W z = Epot, z, begin – Epot, z, eind = –(Epot, z, eind – Epot, z, begin) = –∆E pot, z

De verandering van potentiële energie is onafhankelijk van het referentiepunt.

Een massa in het zwaarteveld van de aarde kan arbeid verrichten. Het systeem aarde-voorwerp bezit potentiële zwaarte-energie.

Voor een massa in het zwaarteveld, waar de (conservatieve en constante) zwaartekracht werkt, is de potentiële zwaarte-energie als volgt gedefinieerd:

E pot, z = m · g · y

Daarbij is y de hoogte ten opzichte van een referentiepunt y = 0 m waar E pot, z = 0 J.

5.3 Algemeen verband tussen arbeid en potentiële energie

Een systeem bezit potentiële energie als het in staat is om arbeid te verrichten als gevolg van de toestand waarin het voorwerp zich bevindt ten opzichte van een referentiepunt. Het is de energie die een systeem bezit als gevolg van een positie en een conservatieve kracht. Voor elke conservatieve kracht kun je de potentiële energie definiëren. Voor niet-conservatieve krachten bestaat er geen potentiële energie.

De verandering van potentiële energie voor een conservatieve kracht is gedefinieerd als:

dx

CONCEPTVRAGEN

1 Kan de potentiële energie negatief zijn? Verklaar.

2 Kan de verandering van potentiële energie negatief zijn? Verklaar.

Door de toestand (positie en inwerkende conservatieve kracht) van een voorwerp bezit het voorwerp potentiële energie. Voor een conservatieve kracht is de verandering van potentiële energie als volgt verbonden met de verrichte arbeid:

xeind

dx

Daarbij kies je een referentiepunt xref waarvoor Epot(xref ) = 0 J.

Elk systeem streeft naar een zo laag mogelijke potentiële energie. We bekijken het voorbeeld van de zwaartekracht. Een systeem is in evenwicht als er geen resulterende kracht op inwerkt. Zodra het systeem uit evenwicht wordt gebracht, beweegt het naar de positie met de laagste potentiële energie. Je kunt drie types onderscheiden:

• Stabiel evenwicht: het systeem bevindt zich in een duidelijk (lokaal) minimum van potentiële energie. Als het uit evenwicht wordt gebracht, keert het terug naar het evenwichtspunt

• Labiel evenwicht: het systeem bevindt zich in een (lokaal) maximum van potentiële energie. Als het uit evenwicht wordt gebracht, beweegt het naar het minimum van potentiële energie.

• Neutraal evenwicht: het systeem bevindt zich in een gebied van constante potentiële energie. Als het uit evenwicht wordt gebracht, blijft het in rust in de nieuwe positie.

= minimaal neutraal evenwicht

evenwicht labiel evenwicht

▲ Afb. 164 De drie types van evenwicht

Je kunt een vergelijkbare redenering maken voor elke conservatieve kracht door de kracht te schrijven in functie van de potentiële energie.

Elke infinitesimale potentiële energieverandering dE pot is tegengesteld aan de arbeid –dW die verricht is door de conservatieve kracht:

dEpot(x) = –dW(x) = –d∫xbegin Fx(x) · dx

Daaruit volgt:

Fx(x) = – dEpot(x) dx

Een systeem is in rust als de (resulterende) kracht nul is. Dat betekent dat de afgeleide van de potentiële-energiefunctie nul is. Er wordt een extremum bereikt.

We bekijken de inwendige potentiële energie van een vaste stof. De deeltjes zitten op een vaste positie door de inwerkende cohesiekrachten (resultaat van de elektrische krachtwerking, aantrekking en afstoting). Onderzoek heeft aangetoond dat de potentiëleenergiecurve een duidelijk minimum vertoont (zie grafiek 17). De deeltjes streven naar een positie met minimale potentiële energie, en daar is er dus een stabiel evenwicht. De resulterende inwerkende kracht is daar nul.

E pot

©VANIN

r 0 r

dEpot(r) dr 0

Fr(r) = – = 0

▲ Grafiek 17 De inwendige potentiële energie tussen deeltjes in functie van de afstand tussen de deeltjes

5.4 Potentiële elastische energie

Geef twee voorbeelden uit het dagelijks leven die illustreren dat een vervormd elastisch systeem energie bezit.

Bij een ingedrukte veer werkt er volgens de wet van Hooke een veerkracht in:

F v = –k · x · e x

Daarbij is k de veerconstante.

In paragraaf 3.1 hebben we aangetoond dat je de arbeid door de veerkracht als volgt kunt berekenen:

W v = –1 2 · k · x2

©VANIN

De veerkracht is een conservatieve kracht. Als een elastisch systeem vervormd is, bezit het potentiële elastische energie

We bepalen een uitdrukking voor de potentiële energie van een massa-veersysteem. Stel dat een veer wordt ingedrukt van een positie xbegin naar een positie xeind. De arbeid verricht door de veer op de massa is dan gegeven door: W v = ∫xbegin – k

Aangezien voor elke conservatieve kracht ∆E pot, v = –Wv, is de potentiële elastische energie E pot, v van een massa-veersysteem als volgt gedefinieerd: E pot, v = 1 2 · k · x2

Daarbij is het referentiepunt de positie van het massapunt bij de veer in evenwicht x = 0 m waarvoor E pot, v(0 m) = 0 J. De verandering van potentiële elastische energie is onafhankelijk van het referentiepunt. x r x = 0 0 xeind xbegin E pot, v

▲ Afb. 165 De Epot, v(x)-grafiek voor een vervormde veer met als referentiepunt de veer in evenwicht (Epot, e(0 m) = 0 J)

Je kunt de invloed van de veerconstante en de uitrekking op de potentiële energie bestuderen met de energiegrafiek in de applet. CONCEPTVRAAG xeind

Een uitgerekte of ingeduwde veer kan arbeid verrichten. Het massa-veersysteem bezit potentiële elastische energie.

Voor een vervormde veer waar de conservatieve veerkracht op inwerkt, is de potentiële elastische energie gedefinieerd als: E pot, v = 1 2 · k · x2

Daarbij is het referentiepunt de positie van het massapunt bij de veer in evenwicht x = 0 m waarvoor E pot, v = 0 J.

5.5 Potentiële gravitatie-energie

2

2 FG m1 ▲ Afb. 166 De arbeid verricht door FG

r FG

eind r = 0 rbegin r

Tussen twee puntmassa’s (m1 en m2) werkt er een aantrekkende kracht met als grootte:

FG = G · m1 · m2 r2

Daarbij is de gravitatieconstante G = 6,67 · 10–11 N · m2 kg2 en r de afstand tussen beide massa’s.

Voor een r-as volgens de verbindingslijn tussen beide puntmassa’s en met als oorsprong de massa m1 is de gravitatiekracht op de massa m2 gegeven door:

FG = –G · m1 m2 r2 · e r

De gravitatiekracht is een conservatieve kracht. Als een massa m2 zich in het gravitatieveld van massa m1 bevindt, bezit het systeem van beide massa’s potentiële gravitatie-energie.

We bepalen een uitdrukking voor de potentiële energie in het gravitatieveld bij een verplaatsing

∆r = ∆r · e r = (reind – rbegin) · e r van massa m2

De arbeid verricht door de gravitatiekracht is dan gegeven door: WG = ∫rbegin FG, r(r) · dr = ∫rbegin

©VANIN

Aangezien voor elke conservatieve kracht ∆Epot= –W, is de potentiële gravitatie-energie Epot, G als volgt gedefinieerd:

Epot, G = –G · m1 m2 r

reind reind Epot, G r 0

Daarbij is het referentiepunt r = ∞ waar

Epot, G(∞) = 0 J. De potentiële gravitatieenergie is altijd negatief. Hoe kleiner de afstand tussen de twee puntmassa’s, hoe negatiever de potentiële gravitatieenergie van het systeem is. Bij een andere keuze van referentiepunt verschuift de curve. De verandering van potentiële gravitatie-energie blijft gelijk en is dus onafhankelijk van het referentiepunt.

Het gravitatieveld is het gebied waarin de gravitatiekracht van de bronmassa (hier m1) werkzaam is op een proefmassa (hier m2).

CONCEPTVRAAG

Is er een toename of afname van de potentiële gravitatie-energie in de voorgestelde situatie?

Een massa in de buurt van een andere massa kan arbeid verrichten. Het systeem van twee massa’s bezit potentiële gravitatie-energie

Voor een massa m2 waarop de conservatieve gravitatiekracht (veroorzaakt door m1 op een afstand r) inwerkt, is de potentiële gravitatie-energie als volgt gedefinieerd:

Epot, G = –G · m1 · m2 r

Daarbij is het referentiepunt r = ∞ waarvoor Epot, G(∞) = 0 J.

©VANIN

6 Welk verband bestaat er tussen kinetische en potentiële energieverandering?

Skiërs glijden naar beneden door de zwaartekracht. De zwaartekracht verricht arbeid: de kinetische energie neemt toe en de potentiële energie neemt af.

Een pijl wordt weggeschoten door de veerkracht. De veerkracht verricht arbeid: de kinetische energie van de pijl neemt toe en de potentiële energie van het pijl-boogsysteem neemt af.

Als er arbeid wordt verricht door een conservatieve kracht, dan verandert zowel de kinetische als de potentiële energie:

• Volgens het arbeid-energietheorema is de arbeid die wordt verricht door de resulterende kracht op een voorwerp, gelijk aan de kinetische-energieverandering van het voorwerp: W = ∆Ekin

• Volgens de definitie van potentiële energie is de arbeid die wordt verricht op een voorwerp door de resulterende conservatieve kracht, tegengesteld aan de verandering van (alle vormen van) potentiële energie van het systeem waarvan het voorwerp deel uitmaakt: W = –∆E pot

Gecombineerd betekent dat voor de resulterende conservatieve kracht:

∆Ekin = –∆E pot of Ekin, eind – Ekin, begin = Epot, begin – Epot, eind

Herschikking naar de begin- en eindtoestand:

Ekin, eind + Epot, eind = Ekin, begin + Epot, begin

Emech, eind = Emech, begin

∆Emech = 0

Dat betekent dat voor een geïsoleerd systeem waarop enkel conservatieve krachten inwerken, de totale mechanische energie behouden blijft. De kinetische energie wordt omgezet in potentiële energie of omgekeerd. Dat is de wet van behoud van mechanische energie.

©VANIN

Als er ook niet-conservatieve krachten Fniet-cons inwerken (bijvoorbeeld de duwkracht of de wrijvingskracht), dan is de resulterende kracht:

F res = F cons + Fniet-cons

Voor de arbeid betekent dat:

W res = W cons + Wniet-cons of ∆Ekin = –∆E pot + Wniet-cons

Als je dat herschikt, krijg je:

Wniet-cons = ∆Ekin + ∆E pot of ∆Ekin + ∆E pot – Wniet-cons = 0

Een geïsoleerd systeem is een systeem waar geen energie wordt toegevoegd of afgevoerd.

▲ Afb. 168

▲ Afb. 169

Daarin omvat Wniet-cons alle energieveranderingen als gevolg van niet-conservatieve krachten. Een voorbeeld daarvan is energieopname of -afgifte door warmte. Dat betekent dat voor een gesloten systeem waarop krachten inwerken, de totale energie (als gevolg van conservatieve en niet-conservatieve krachten) behouden blijft. Dat is de wet van behoud van energie. Energie kan worden omgezet van de ene vorm in de andere, maar de totale hoeveelheid energie blijft hetzelfde. Energie wordt niet bijgemaakt en gaat niet verloren.

VOORBEELD ENERGIEOMZETTINGEN BIJ HET SKIËN

Een skiër glijdt een helling af via pistes met verschillende moeilijkheidsgraden.

• Als je de wrijving verwaarloost, werkt alleen de zwaartekracht (conservatieve kracht) in op de skiër. Er is behoud van mechanische energie:

Ekin = –∆E pot 1 2 · m · v2 eind = m · g · h of veind = 2 ∙ g ∙ h

De skiër komt via elke piste met dezelfde snelheid aan. De snelheid is onafhankelijk van de massa en van de gevolgde weg.

gemakkelijk gemiddeld moeilijk erg moeilijk 1 2 3 4

▲ Afb. 170 Skipistes met hetzelfde hoogteverschil en een andere weg

• Als je de wrijving niet verwaarloost, werkt naast de zwaartekracht (conservatieve kracht) ook de wrijvingskracht (niet-conservatieve kracht) in op de skiër. Er is behoud van energie:

Ekin = –∆E pot + W

©VANIN

De skiër komt via elke piste met een andere snelheid aan. De snelheid is afhankelijk van de massa en van de gevolgde weg.

CONCEPTVRAAG

Je schiet een pijl met een massa m weg door een boog met een veerconstante k uit te rekken.

Is de snelheid afhankelijk van de massa? Verwaarloos de luchtweerstand.

Energie kan niet worden gemaakt of vernietigd. Energievormen kunnen wel in elkaar worden omgezet. Voor een geïsoleerd systeem geldt:

• als er enkel conservatieve krachten inwerken:

∆Ekin = –∆E pot

Dat is de wet van behoud van mechanische energie

• als er conservatieve en niet-conservatieve krachten inwerken:

∆Ekin = –∆E pot + Wniet-cons

Dat is de wet van behoud van energie.

REEKS

Een gewichtheffer houdt een halter van 50 kg gedurende 2 min stil boven zijn hoofd. Hoe groot is de verrichte arbeid?

a 500 J

b 1 000 J

c 0 J

d niet te bepalen met die gegevens

Ward duwt een kinderwagen 35,0 m horizontaal vooruit. Hij oefent daarvoor een horizontale kracht uit van 21,4 N. De totale massa van de kinderwagen is 15,3 kg.

Bepaal de arbeid die tijdens de verplaatsing wordt verricht door:

a de zwaartekracht;

b de kracht die Ward uitoefent.

Rangschik de arbeid die wordt verricht, van groot naar klein.

Een satelliet draait onder invloed van de gravitatiekracht in een baan om de aarde. De arbeid die wordt geleverd door de gravitatiekracht, is:

a nul;

b afhankelijk van de hoogte van de baan;

c afhankelijk van de massa van de satelliet;

d afhankelijk van de afgelegde afstand door de satelliet.

Verklaar je antwoord.

Een trekpaard trekt via het jaagpad een boot voort over een afstand van 230 m evenwijdig met de oever. Het oefent daarvoor een kracht uit van 1 250 N onder een hoek van 30°. Bereken de arbeid die wordt verricht door de trekkracht van het paard.

©VANIN

Rangschik de arbeid die wordt verricht door de veerkracht, van hoog naar laag.

•veer 1: k = 100 N m , xbegin = 2 cm, xeind = 5 cm

•veer 2: k = 100 N m , xbegin = 0 cm, xeind = 3 cm

•veer 3: k = 150 N m , xbegin = 1 cm, xeind = 4 cm

•veer 4: k = 200 N m , xbegin = 0 cm, xeind = 2 cm

Maak de uitspraken correct door ze te vervolledigen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’.

a De zwaartekracht verricht arbeid.

b De normaalkracht verricht arbeid.

c De centripetaalkracht verricht arbeid.

d De gravitatiekracht verricht arbeid.

e Als een kracht een verplaatsing veroorzaakt, dan verricht die kracht arbeid.

f Als een kracht arbeid verricht, dan wordt de verplaatsing beïnvloed.

Een trein met een massa van 250 ton vertrekt vanuit rust en versnelt 40 s lang met een versnelling van 1,1 m s2 . Bereken de arbeid die wordt verricht op de trein tijdens dat tijdsinterval.

Controleer het arbeid-energietheorema met een analyse van de eenheden.

Bepaal de arbeid die moet worden verricht op een auto met een massa van 1 600 kg om de snelheid van 10 m s naar 30 m s te brengen.

Een vrachtwagen met een massa van 18,0 ton heeft een snelheid van 42,0 km h . Hoe snel moet een auto van 2,00 ton rijden om dezelfde kinetische energie te bezitten?

De grafiek toont de potentiële elastische energie van een veer in functie van de indrukking en de uitrekking. Bepaal de veerconstante van die veer.

Bepaal voor beide situaties de arbeid tijdens de volledige verplaatsing.

Een ruimtetuig verplaatst zich volgens een rechte baan weg van de zon van een afstand tot de zon van 1,0 · 1012 m tot een afstand van 2,5 · 1012 m. De aantrekkende kracht van de zon op het ruimtetuig is gegeven door:

F = –2,5 · 1020 N · m2 · 1 x2 · e x

REEKS

Een tractor sleept een bak waarop een ton is gemonteerd, horizontaal voort over 10,0 m. De tractor oefent op de bak een constante kracht uit met een grootte van 500 N. De hoek van die kracht met een horizontale is 36,9°. De wrijvingskracht op de bak is 300 N. Bereken: a de arbeid die wordt verricht door elke kracht die op de bak werkt; b de totale arbeid die wordt verricht op de bak.

Op een voorwerp werkt een resulterende kracht F in. De grafieken tonen de krachtcomponent volgens de bewegingsrichting tijdens twee verschillende horizontale bewegingen.

©VANIN

Daarbij is x de afstand van de zon tot het ruimtetuig.

Bereken de arbeid die de zon daarbij verricht op het ruimtetuig.

Een fietser rijdt met een snelheid van 10 m s als hij begint te remmen. De positie van de fietser wordt gegeven door x, met x = 0 op de plaats waar hij begint te remmen. De remkracht is gegeven door de verplaatsing volgens deze relatie:

F = (–150 N + 10 N m · x) · e x (voor x < 15 m)

Bereken de arbeid die wordt verricht door de remkracht bij de verplaatsing van x = 2 m tot x = 10 m.

Een slee wordt op een ijsvlakte vanuit rust voortgetrokken met een constante horizontale kracht. Als je de wrijving mag verwaarlozen, wat geldt er dan voor de arbeid die wordt verricht door die kracht?

a W ~ t

b W ~ t2

c W ~ t

d W = constant

Verklaar.

Je hebt twee veren. De tweede veer is stijver dan de eerste: k2 > k1. Vergelijk de arbeid die op de veer wordt verricht als:

a beide veren evenveel worden ingedrukt;

b de uitgeoefende kracht op de veren even groot is.

Een horizontale kracht met een grootte van 12 N versnelt een voorwerp van 4,0 kg vanuit rust over een wrijvingsloos, horizontaal oppervlak. Het voorwerp legt 5,0 m af. Bepaal nadat die 5,0 m is afgelegd: a de kinetische energie; b de snelheid.

Zijn deze uitspraken juist of fout? Verklaar.

a De arbeid om een bal van 2 kg te versnellen van 0 km h naar 10 km h , is dubbel zo groot als de arbeid om een bal van 1 kg te versnellen tot dezelfde snelheid.

b De arbeid om een auto te versnellen van 0 km h naar 10 km h , is hetzelfde als de arbeid om te versnellen van 10 km h naar 20 km h

Rayan rekt het elastiek van een katapult (met k = 5,0 · 102 N m ) 3,0 cm uit. Als hij loslaat, wordt er een steentje (m = 20 g) weggeschoten.

Bepaal:

a de trekkracht om het elastiek op te spannen; b de snelheid bij het loslaten.

Op een voorwerp met een massa van 1,5 kg werkt een resulterende kracht F, waarvan de krachtcomponent F x in de richting van de verplaatsing in functie van de positie is weergegeven op de grafiek. Het voorwerp is in rust in x = 0.

In x = 10 m bedraagt de snelheid:

a 7,0 m

REEKS

Een skiër (75 kg) glijdt in een rechte lijn van een helling met een hellingsgraad van 45 %.

De dynamische wrijvingscoëfficiënt is 0,050. Bereken de arbeid die wordt verricht door de zwaartekracht, de normaalkracht en de wrijvingskracht op de skiër, als ze 65 m heeft gegleden.

Een positieve puntlading q1 wordt vastgehouden in de buurt van een andere positieve puntlading q2 (op een vaste positie).

a Wat gebeurt er als de lading q1 wordt losgelaten?

b Bepaal de verrichte arbeid.

c Bespreek aan de hand van een figuur het teken van de arbeid die wordt verricht door de coulombkracht als q1 > 0 en q2 < 0.

Een blokje met een massa m wordt tegen een veer met een veerconstante k gehouden, die daarbij over een afstand d is samengedrukt. Als het blokje wordt losgelaten, glijdt het over een wrijvingsloze tafel naar rechts. De snelheid die het blokje verkrijgt, is dan gegeven door:

a v = k m · d

b v = k · d2 m

c v = 2 · g · d

d v = k 4 · m · d Verklaar.

Een raket (m = 1 000 kg) wordt weggeschoten vanaf de aarde. Als de snelheid waarmee de raket wordt afgeschoten, groot genoeg is, dan kan de raket ontsnappen aan de zwaartekracht van de aarde en niet meer worden teruggeroepen door de aarde. Haar snelheid oneindig ver weg van de aarde is dan juist gelijk aan nul. Wat is de minimale snelheid die ze daarvoor moet hebben?

KERNBEGRIPPEN

arbeid

arbeid door een constante kracht

NOTITIES

Een kracht verricht arbeid als de kracht door haar grootte en oriëntatie de verplaatsing beïnvloedt. Een kracht loodrecht op de verplaatsing verricht geen arbeid. Als er arbeid wordt verricht, wordt er energie overgedragen van een systeem naar een ander systeem.

De arbeid W verricht door een constante kracht F die een hoek α maakt met de verplaatsing ∆r, is gedefinieerd als:

Arbeid is een scalaire grootheid met als eenheid joule (1 N · m = 1 J).

Als er meerdere constante krachten inwerken op een systeem, is de resulterende arbeid gedefinieerd als: W

arbeid door een variabele kracht

Als een kracht niet constant is, verandert F in functie van de positie x.

Op een Fx(x)-grafiek is de oppervlakte ingesloten door de curve een maat voor de verrichte arbeid W door een kracht F(x) bij een verplaatsing ∆x

Voor elke (variabele) kracht F(x) geldt:

W = –∫xbegin Fx(r)

dx

(N)

KERNBEGRIPPEN

kinetische energie

arbeidenergietheorema

NOTITIES

Door de snelheid bezit een systeem kinetische energie, met als grootte: Ekin = 1 2 · m · v2

De arbeid verricht door de resulterende kracht veroorzaakt een verandering van kinetische energie: W = ∆Ekin

Dat is het arbeid-energietheorema. conservatieve kracht

potentiële energie

behoud van energie

©VANIN

Als de arbeid onafhankelijk is van de gevolgde weg, dan is de kracht conservatief

Door de toestand (positie en inwerkende conservatieve kracht) van een voorwerp bezit het voorwerp potentiële energie. Voor een conservatieve kracht is de verandering van potentiële energie als volgt verbonden met de verrichte arbeid: ∆E pot = –W = –∫xbegin Fx(x) · dx

Daarbij kies je een referentiepunt xref waarvoor Epot(xref ) = 0 J Voor een niet-conservatieve kracht is de potentiële energie niet gedefinieerd.

Energie kan niet worden gemaakt of vernietigd. Energievormen kunnen wel in elkaar worden omgezet. Voor een geïsoleerd systeem geldt:

• als er enkel conservatieve krachten inwerken:

∆Ekin = –∆E pot

Dat is de wet van behoud van mechanische energie

• als er conservatieve en niet-conservatieve krachten inwerken:

∆Ekin = –∆E pot + Wniet-cons

Dat is de wet van behoud van energie. xeind

Proefversie©VANIN

THEMA 02 TRILLINGEN EN GOLVEN

Proefversie©VANIN

Deel 2

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 Kenmerken van trillingen

1 Wat zijn de eigenschappen van een trilling?

1.1 Periodieke bewegingen

1.2 Trillingen

1.3 Demping

2 Hoe kun je kenmerken van trillingen waarnemen in de muziek?

2.1 Geluid en toon

2.2 Eigenschappen van tonen

3 Hoe kan de amplitude van een trilling erg groot worden?

3.1 Vrije en gedwongen trillingen

3.2 Resonantie

Hoofdstuk 2 Wiskundige beschrijving van trillingen

1 Hoe kun je eenvoudige trillingen wiskundig beschrijven? De uitwijking bij een massa-veersysteem

1.1

1.2

Harmonische trillingen

1.3 Verband tussen een harmonische trilling en een eenparig cirkelvormige beweging

2 Welke trillingen kunnen ontstaan als je harmonische trillingen samenstelt?

2.1

2.2

2.3

Proefversie©VANIN

Het onafhankelijkheidsprincipe

Samenstelling van twee trillingen met dezelfde trilrichting Niet-harmonische trillingen

Hoofdstuk 3 Dynamica van harmonische trillingen

1 Wat zijn de snelheid en de versnelling van een harmonische oscillator? Veranderende snelheid en versnelling

1.1

1.2 Snelheids- en versnellingsfunctie

2 Welke kracht veroorzaakt de versnelling van een harmonische oscillator? Het verband tussen de terugroepkracht en de uitwijking

2.1

2.2

2.3

2.4

Het verband tussen de eigenfrequentie en de terugroepkracht

Kracht en eigenfrequentie bij een massa-veersysteem

Kracht en eigenfrequentie bij een slinger

3 Hoeveel mechanische energie bezit een harmonische oscillator?

Hoofdstuk 4 Lopende golven

Hoofdstuk 5 Elektromagnetische golven

Hoofdstuk 6 Weerkaatsing en breking van golven

Hoofdstuk 7 Samenstelling van golven

1 2 3 Welke mijlpalen zijn belangrijk voor de geschiedenis van de moderne fysica?

Hoe kan het gedrag van heel kleine systemen worden beschreven?

Hoe kan het gedrag van heel snelle systemen worden beschreven?

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 1

Kenmerken van trillingen

Proefversie©VANIN

Trillingen zijn overal rondom ons aanwezig in de meest diverse contexten: een gitaarsnaar trilt, bij een aardbeving trilt de aarde, een boormachine trilt, een luidspreker trilt, een kind op een schommel ‘trilt’ … Een brug kan zelfs instorten als ze te hard begint te trillen. Maar wat zijn trillingen precies en wat zijn hun kenmerken?

In dit hoofdstuk leer je over verschillende soorten trillingen, met speciale aandacht voor geluidstrillingen en resonantie.

LEERDOELEN

M verschillende soorten trillingen beschrijven

M de periode, frequentie en amplitude van trillingen interpreteren

M de eigenschappen van geluidstrillingen beschrijven

M het ontstaan van resonantie beschrijven

1 Wat zijn de eigenschappen van een trilling?

1.1 Periodieke bewegingen

Sommige bewegingen rondom ons herhalen zich met een vast ritme. Je noemt dat periodieke bewegingen. Een periodieke beweging is een voortdurende herhaling in de tijd van dezelfde beweging. Eén beweging die telkens op een identieke manier wordt herhaald, noem je een cyclus.

De aarde voert een periodieke beweging rond de zon uit. De cyclus is één omwenteling van de aarde rond de zon.

Een kind op een schommel voert een periodieke beweging uit. De cyclus is één heen-enweerbeweging.

Je kunt de herhaling in de tijd beschrijven met twee grootheden:

Een elektrocardiogram (ECG) visualiseert de periodieke beweging van het hart. De cyclus is één hartslag.

• De periode, met als symbool T, is de tijdsduur van één cyclus en heeft seconde als eenheid.

• De frequentie, met als symbool f, is het aantal cycli per seconde. De eenheid is hertz, met als symbool Hz.

De eenheid hertz is vernoemd naar Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), de ontdekker van radiogolven.

Uit de definities van periode en frequentie volgt de grootheid: f = 1 T , zodat het eindresultaat is: de grootheid f = 1 T met eenheid [f] = 1 Hz = 1 s–1

GROOTHEDEN MET SYMBOOL

EENHEDEN MET SYMBOOL periode T seconde [T]= s frequentie f hertz [f]= Hz (1 Hz = 1 s–1)

Proefversie©VANIN

VOORBEELDVRAAGSTUK

Eddy Merckx had in zijn topdagen (1969) een hartslag in rust van maar 33 slagen per minuut.

Wat zijn de frequentie en de periode van die hartslag?

Gegeven: 33 slagen per minuut

Gevraagd: • f = ?

• T = ?

Oplossing: Het hart klopt 33 keer in 60 s.

Dan klopt het hart 33 60 keer in 1 s.

Je kunt de frequentie als volgt berekenen:

f = 33 60 Hz = 0,55 Hz

Voor de periode geldt: T = 1 f = 1 0,55 Hz = 1,8 s

Reflectie: Vergelijk je eigen hartslag met die van Eddy Merckx.

Is de frequentie van je eigen hartslag groter of kleiner dan die van hem?

Is de periode van je eigen hartslag groter of kleiner dan die van hem?

De gemiddelde hartslag bij mensen is 70 slagen per minuut.

Normaal gezien is de frequentie van je hartslag dus groter en de periode van je hartslag kleiner dan die van Eddy Merckx.

Een periodieke beweging is een voortdurende herhaling in de tijd van dezelfde beweging. Een cyclus is een beweging die telkens op een identieke manier wordt herhaald.

• De periode T is de tijd die nodig is voor één cyclus, met als eenheid seconde.

• De frequentie f is het aantal cycli per seconde, met als eenheid hertz (Hz = s–1).

▲ Afb. 4 Eddy Merckx tijdens de Tour de France in 1969

1.2 Trillingen

Een trilling is een heen-en-weerbeweging van een punt op een lijn door een evenwichtspunt.

Bij mechanische trillingen gaat het om trillende punten of deeltjes van materie, zoals voorwerpen, lucht of water. Om de trilling van een onsamendrukbaar voorwerp te bestuderen, volstaat het meestal om de trilling van één punt van dat voorwerp te bestuderen, bijvoorbeeld het massapunt. In hoofdstuk XX zul je ook kennismaken met elektromagnetische trillingen.

Een kind op een schommel voert een trilling uit.

CONCEPTVRAAG

Proefversie©VANIN

Waterdeeltjes trillen als een voorwerp in het water valt.

Bij het boren voel je de trillingen van de boormachine in je hand.

Wat is het evenwichtspunt bij de mechanische trillingen in de drie voorbeelden?

De positie van het trillende punt ten opzichte van het evenwichtspunt noem je de uitwijking. Die wordt genoteerd als x, y of s. In dit leerboek kiezen we y als symbool voor de uitwijking.

De uitwijking is afhankelijk van de tijd, genoteerd als y(t). De maximale uitwijking wordt de amplitude genoemd, met als symbool A. Voor mechanische trillingen worden de uitwijking en de amplitude uitgedrukt in meter.

GROOTHEDEN MET SYMBOOL

EENHEDEN MET SYMBOOL uitwijking x, y of s meter [y]= m

amplitude A meter [A]= m

Een trilling kan grafisch worden voorgesteld op een y(t)-grafiek met op de horizontale as de tijd t en op de verticale as de uitwijking y

VOORBEELD SEISMOGRAM

Bij een aardbeving wordt de trilling van een punt van de aardbodem geregistreerd door een naald. Vroeger visualiseerde men de beweging van de naald met behulp van een bewegend blad papier (zie afbeelding XXX). Tegenwoordig doet men dat met een computer. Het resultaat noem je een seismogram. Het seismogram toont de uitwijking van een trillend punt van de aardbodem in functie van de tijd. Je kunt dat zichtbaar maken door het assenstelsel expliciet op het seismogram te tekenen (zie afbeelding XXX). Het evenwichtspunt van de trilling is de positie van het punt van de aardbodem als de aarde in rust is. t 0 y

Een trilling is een heen-en-weerbeweging van een punt op een lijn door een evenwichtspunt. Bij mechanische trillingen gaat het om een trillend punt van materie.

• Een trilling wordt gekenmerkt door: – een periode T en een frequentie f; – een amplitude A, die de maximale uitwijking is.

• De uitwijking y is de positie van het trillende punt ten opzichte van het evenwichtspunt.

• Een trilling wordt vaak voorgesteld op een y(t)-grafiek met op de horizontale as de tijd t en op de verticale as de uitwijking y.

Proefversie©VANIN

1.3 Demping

DEMO

Hoe veranderen de amplitude en de frequentie van een trillend systeem in functie van de tijd?

1 Je leerkracht laat twee systemen trillen. Mogelijke systemen zijn een stemvork, een massa aan een verticaal opgehangen veer, een autootje tussen twee horizontale veren …

Met behulp van sensoren en computersoftware wordt voor beide systemen de uitwijking y in functie van de tijd t gevisualiseerd.

2 Hoe zullen de y(t)-grafieken eruitzien? Wat zijn eventuele gelijkenissen en verschillen? Bespreek met je buur.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

VOORBEELD HISTORISCH EXPERIMENT

Het verhaal doet de ronde dat Galileo Galilei in de kathedraal van Pisa een hangende olielamp heen en weer zag slingeren. Soms slingerde de lamp heftig, soms maar zwakjes. Galilei was zo gefascineerd dat hij de slingertijden met zijn polsslag begon te meten. Zo kwam hij tot een wonderlijke ontdekking: de slingertijd van een pendulum wordt niet beïnvloed door de uitwijking van de slinger (bij kleine uitwijkingen).

Energieverliezen als gevolg van wrijvings- en weerstandskrachten zorgen ervoor dat de amplitude van een trilling geleidelijk afneemt. De afname van de amplitude als gevolg van energieverliezen noem je demping

• Een ongedempte trilling is een trilling waarbij de amplitude constant blijft. Het is een periodieke beweging. Een ongedempte trilling is enkel mogelijk als er via uitwendige krachten opnieuw energie wordt toegevoegd aan het trillende systeem.

• Een gedempte trilling is een trilling waarbij de amplitude afneemt in functie van de tijd. De frequentie van een trilling hangt niet af van de amplitude, en dus ook bij een gedempte trilling blijft de frequentie constant.

XX LABO

Kom in deze video

meer te weten over het onderzoek van Galilei naar het pendulum.

Pendulum is Latijn voor ‘slinger’.

▲ Afb. 11 De slingerende olielamp in de kathedraal van Pisa

CONCEPTVRAAG

Is een gedempte trilling een periodieke beweging?

Proefversie©VANIN

▲Grafieken 1 en 2 Een ongedempte en een gedempte trilling met dezelfde frequentie en beginamplitude

De meeste trillingen zijn gedempte trillingen. De demping wordt echter vaak verwaarloosd in de (wiskundige) beschrijving van trillingen. De frequentie van de trilling hangt immers niet af van de demping. Zeker als de energieverliezen beperkt blijven en de amplitude slechts langzaam afneemt in functie van de tijd, is het een goede benadering om het model van de ongedempte trilling te gebruiken.

VOORBEELD TRILLENDE SNAREN

De amplitude van een aangeslagen la-snaar op een gitaar zal geleidelijk kleiner worden, tot de gitaarsnaar helemaal stopt met trillen. Dat is een gedempte trilling. De frequentie van de trilling blijft ongewijzigd. Je hoort een la die geleidelijk uitdooft.

Als een violist de la-snaar blijft aanstrijken, dan zal de snaar blijven trillen. De frequentie van de trillende snaar blijft ongewijzigd, ongeacht de amplitude. Je blijft een la horen. Strijkt de violist de snaar zo aan dat de amplitude van de trillende snaar constant blijft, dan voert de snaar een ongedempte trilling uit.

• Een ongedempte trilling is een trilling waarbij de amplitude A constant is in functie van de tijd. Een gedempte trilling is een trilling waarbij de amplitude A afneemt in functie van de tijd door bijvoorbeeld wrijvingseffecten.

• De frequentie f van een trilling (gedempt of ongedempt) hangt niet af van de amplitude.

Galileo Galilei (1564-1642) was de grondlegger van de moderne sterrenkunde. Hij legde ook mee de basis voor de dynamica van Isaac Newton. Zijn allereerste belangrijke ontdekking ging echter over de eigenschappen van een pendulum (slinger).

Ook Christiaan Huygens (1629-1695) deed baanbrekend onderzoek in zowel de sterrenkunde als de mechanica. Hij ontwierp de slingerklok, het eerste instrument dat nauwkeurige tijdsmetingen toeliet. De werking van de slingerklok was gebaseerd op de waarneming van Galilei dat de slingertijd niet wordt beïnvloed door de amplitude van de slinger.

▲ Afb. 14 Galileo Galilei

▲ Afb. 15 Christiaan Huygens

▲ Afb. 12 Een gedempte trilling van een gitaarsnaar

▲ Afb. 13 Een ongedempte trilling van een vioolsnaar

WEETJE

2 Hoe kun je kenmerken van trillingen waarnemen in de muziek?

2.1 Geluid en toon

A Ontstaan van geluid

Afb. 16

Proefversie©VANIN

Afb. 17

Afb. 18

Als je spreekt, trillen je stembanden. Je ziet een aangeslagen gitaarsnaar trillen. Als je je hand op een luidspreker legt, voel je die trillen.

Geluid ontstaat als een mechanische trilling. Het voorwerp dat trilt, noem je de geluidsbron. Je kunt enkel geluid horen als er zich tussen je oor en de geluidsbron een middenstof bevindt. Vaak is de middenstof lucht, maar het kan ook een ander gas, een vloeistof of een vaste stof zijn. Als de trilling je oor bereikt en in staat is om je trommelvlies mee te laten trillen, dan gaat er een signaal van je oor naar je hersenen. Dat signaal interpreteer je als geluid.

Deze paragraaf behandelt de eigenschappen van trillingen die geproduceerd worden door een geluidsbron. Hoe trillingen zich door de ruimte verplaatsen, leer je in hoofdstuk XX.

CONCEPTVRAAG

Waarom stopt de gitaarklank als de gitaarspeler zijn hand op de snaren legt?

B Tonen

DEMO

Wanneer is geluid een toon?

1 Je leerkracht geeft met een lat een klap op een tafel. De trillingen worden opgemeten met een microfoon en gevisualiseerd met behulp van computersoftware.

Daarna herhaalt je leerkracht dat met een noot gespeeld op een muziekinstrument.

2 Hoe zullen de trillingen eruitzien?

Wat zijn mogelijke gelijkenissen en verschillen?

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Een toon is een geluid met een constante frequentie. Tonen ontstaan als gecontroleerde trillingen die geproduceerd worden door geluidsbronnen, zoals een muziekinstrument, een geoefende zanger of een elektrisch toestel. Bij de meeste geluiden blijft de frequentie van de geluidsbron niet constant, bijvoorbeeld bij een klap op de tafel of tijdens een gesprek. Dan is er wel geluid, maar geen toon.

Afb. 19

Violisten kunnen heel veel mooie tonen op een viool spelen.

Muggen produceren tonen door hun vleugels snel op en neer te bewegen. Zo vinden ze elkaar om te paren. Elke soort produceert een eigen toon.

Proefversie©VANIN

Een dichtslaande deur maakt veel geluid, maar produceert geen toon.

Het verschil tussen tonen en andere soorten geluid is zichtbaar op een y(t)-grafiek. Een toon is een periodieke trilling. De y(t)-grafiek vertoont een patroon dat zich herhaalt in de tijd. Bij geluiden die geen toon zijn, herhaalt het patroon zich niet.

VOORBEELD y(t)-GRAFIEK VAN TOON EN GELUID

• Speel je een la op een muziekinstrument, dan hoor je een toon. De y(t)-grafiek vertoont een patroon dat zich herhaalt in de tijd. Het gaat om een periodieke trilling met een constante periode en frequentie.

• De y(t)-grafiek van het geluid van een klap met een lat vertoont een grillig verloop. Er is geen patroon dat zichzelf herhaalt. Het is geen toon.

▲ Grafiek 3 y(t)-grafiek van een la op een viool

CONCEPTVRAAG

▲ Grafiek 4 y(t)-grafiek van een klap met een lat op een tafel

Maak een schatting van de periode en de frequentie van een la-toon op basis van de y(t)grafiek van een la gespeeld op een viool.

Geluid ontstaat als een mechanische trilling

Een toon is een geluid met een constante frequentie.

2.2 Eigenschappen van tonen

A Toonhoogte

DEMO

Welke eigenschap van trillingen verschilt bij lage en hoge tonen?

1 Iemand speelt op een blokfluit een lage en een hoge toon.

Je leerkracht visualiseert de trillingen van de hoge en de lage toon met gepaste computersoftware

2 Welk verschil verwacht je tussen het signaal van de lage en de hoge toon?

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

De toonhoogte is een belangrijke eigenschap van een toon. Ze is een maat voor hoe hoog een toon klinkt en wordt bepaald door de frequentie van de trilling die door de geluidsbron wordt geproduceerd. De frequentie van een hoge toon is hoger dan de frequentie van een lage toon.

Het verschil in toonhoogte is zichtbaar op een y(t)-grafiek. Er zijn meer cycli per tijdseenheid bij een hoge frequentie (en dus hoge toon) dan bij een lage frequentie (en dus lage toon) (zie grafiek XXX).

VOORBEELD TONEN OP EEN BLOKFLUIT

Iemand speelt op een blokfluit een hoge do en een hoge sol. De sol klinkt hoger dan de do. Registreer je de y(t)-grafiek van beide tonen, dan zie je dat de hoge sol een hogere frequentie (1 568 Hz) heeft dan de hoge do (1 046,6 Hz).

y y

Proefversie©VANIN

▲ Grafiek 5 y(t)-grafieken van een hoge do met een frequentie van 1 046,6 Hz (links) en een hoge sol met een frequentie van 1 568 Hz (rechts) op een blokfluit

CONCEPTVRAAG

Hoe zie je in één oogopslag welke van de twee y(t)-grafieken overeenkomt met de hoogste toon?

Een gezond menselijk oor neemt frequenties waar in het frequentiegebied tussen 20 Hz en 20 000 Hz. Dat frequentiegebied is echter persoons- en leeftijdsgebonden en is bij velen beperkter. De bovenste gehoorgrens van kinderen ligt meestal rond 20 000 Hz. Naarmate je ouder wordt, neemt die grens geleidelijk af naar 15 000 Hz of lager. Ook als je te lang blootgesteld wordt aan te hard geluid, verkleint het frequentiegebied dat je kunt horen.

Trillingen met een frequentie lager dan 16 Hz noem je infrasone geluiden. Trillingen met frequenties hoger dan 20 000 Hz noem je ultrasone geluiden. Zowel infrasone als ultrasone geluiden zijn niet waarneembaar met het menselijk oor.

DEMO

Wat zijn jouw gehoorgrenzen?

1 Je leerkracht laat een toon horen waarvan de frequentie steeds meer toeneemt.

2 Welke frequenties zul je kunnen horen en welke niet? Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

VOORBEELD FREQUENTIES BIJ MENS EN DIER

▲ Afb. 22 Infrasonen, hoorbare frequenties en ultrasonen

Een gezond menselijk oor neemt frequenties waar tussen 20 Hz en 20 000 Hz. Om dat volledige frequentiebereik te versterken, bevatten geluidsinstallaties vaak meer dan één luidspreker. Een woofer, ook wel basspeaker genoemd, versterkt tonen met frequenties tussen 30 Hz en 600 Hz. Een midspeaker of squawker versterkt tonen met frequenties tussen 300 Hz en 5 000 Hz. Een tweeter, de kleinste luidspreker, versterkt tonen met frequenties tussen 2 000 Hz en 20 000 Hz. Sommige installaties hebben ook nog een subwoofer, die heel lage bassen met frequenties tussen 20 Hz en 200 Hz versterkt.

B Toonsterkte

DEMO

Hoe neem je een verschil in toonsterkte waar op een y(t)-grafiek?

1 Iemand slaat een stemvork hard en zacht aan.

Je leerkracht visualiseert met geschikte computersoftware de y(t)-grafieken van beide signalen.

2 Welk verschil verwacht je?

Bespreek met je buur en test uit.

Infra is Latijn voor ‘beneden’, ultra voor ‘boven’.

Proefversie©VANIN

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

De toonsterkte is een maat voor hoe luid een toon klinkt. Ze wordt bepaald door de amplitude van de trilling die door de geluidsbron wordt geproduceerd. Bijgevolg is een verschil in toonsterkte zichtbaar op een y(t)-grafiek als een verschil in amplitude.

video: hoortest frequentie

VOORBEELD VERSCHILLENDE TOONSTERKTES VOOR EEN HOGE DO OP EEN BLOKFLUIT

Iemand speelt op een blokfluit een luidere en een stillere do. Op de opgemeten y(t)-grafiek van beide tonen zie je dat de amplitude van de luide do groter is dan de amplitude van de stille do.

Proefversie©VANIN

▲ Grafiek 6 y(t)-grafieken van hoge do’s (met een frequentie van 1 046,6 Hz) op een blokfluit met verschillende toonsterktes

CONCEPTVRAAG

Is de frequentie van een luide do groter dan, gelijk aan of kleiner dan de frequentie van een stille do?

C Klankkleur of timbre

DEMO

Hoe zie je het verschil tussen een viool, piano, stemvork … op een y(t)-grafiek?

1 Iemand speelt een la op een piano, op een viool en door een stemvork aan te slaan. Je leerkracht registreert de overeenkomstige y(t)-grafieken met geschikte computersoftware.

2 Welke gelijkenissen en verschillen zullen de overeenkomstige y(t)-grafieken vertonen? Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Een muziekstuk bestaat uit verschillende tonen. Elke toon heeft een eigen frequentie. Als de toon gespeeld wordt op een piano, een viool of door een stemvork aan te slaan, dan hoor je toch een verschil. Het verschil in klank bij dezelfde frequentie tussen verschillende geluidsbronnen noem je de klankkleur of het timbre

Het verschil in timbre is zichtbaar op een y(t)-grafiek:

• De toon die wordt voortgebracht door een stemvork, is een zuivere sinusfunctie. Je noemt dat een enkelvoudige toon.

• De tonen die worden voortgebracht door andere muziekinstrumenten of door de menselijke stem, laten ook een periodiek verloop zien, maar het zijn geen (zuivere) sinusfuncties. Het patroon dat zich herhaalt, is complexer dan bij enkelvoudige tonen. Je noemt dat samengestelde tonen.

De vorm van het patroon dat zich herhaalt in de y(t)-grafiek, bepaalt de klankkleur.

VOORBEELD TIMBRE BIJ DE NOOT LA

Drie muzikale wetenschappers produceren een la:

• De eerste produceert een la door een stemvork aan te slaan.

• De tweede zingt een la.

• De derde speelt een la op een viool.

De toon wordt telkens gevisualiseerd in een y(t)-grafiek.

Je ziet dat de vorm van de drie signalen verschilt:

• De la die geproduceerd werd door de stemvork, vertoont een sinusoïdaal patroon. Het is een enkelvoudige toon.

• De la’s die werden geproduceerd door de menselijke stem en door de viool, resulteren in een periodiek signaal, maar de vorm van het signaal is geen eenvoudige sinusfunctie. Het patroon dat zich herhaalt, is complexer. Het zijn samengestelde tonen.

Proefversie©VANIN

la

CONCEPTVRAAG

▲ Grafiek 9 y(t)-grafiek van een la gespeeld op een viool

Zijn de frequenties van de drie signalen gelijk of verschillend van elkaar? Verklaar.

• De toonhoogte is een maat voor hoe hoog een toon klinkt.

Ze wordt bepaald door de frequentie van de toon.

Een gezond menselijk oor neemt frequenties waar tussen 20 Hz en 20 000 Hz.

– Infrasone geluiden zijn tonen met een frequentie lager dan 16 Hz.

– Ultrasone geluiden zijn tonen met een frequentie hoger dan 20 000 Hz.

Het menselijk oor kan geen infrasone en ultrasone tonen waarnemen.

• De toonsterkte is een maat voor hoe luid een toon klinkt.

Ze wordt bepaald door de amplitude van de toon.

• Het timbre of de klankkleur van een toon zorgt ervoor dat je een piano kunt onderscheiden van een viool, ook al spelen ze dezelfde noot.

De signaalvorm van de toon bepaalt het timbre of de klankkleur van de toon.

Een sinusoïdaal patroon is een patroon met de vorm van een sinusfunctie.

▲ Grafiek 7 y(t)-grafiek van een stemvork

▲ Grafiek 8 y(t)-grafiek van een gezongen

3 Hoe kan de amplitude van een trilling erg groot worden?

3.1 Vrije en gedwongen trillingen

A Vrije trillingen

▲ Afb. 23

Een balkje van een xylofoon trilt bij het aanslaan telkens met dezelfde (natuurlijke) frequentie.

Proefversie©VANIN

Afb. 24

Een dichtslaande deur trilt altijd met dezelfde (natuurlijke) frequentie.

25

Galilei stelde vast dat de lamp in de kathedraal van Pisa altijd met dezelfde frequentie heen en weer slingerde.

Veel fysische systemen trillen spontaan als je ze uit evenwicht brengt en loslaat. Een trilling van een systeem dat, eenmaal uit evenwicht gebracht, ongemoeid wordt gelaten, noem je een vrije trilling of een eigentrilling.

Bij een vrije trilling trilt een systeem altijd met dezelfde natuurlijke frequentie, die eigen is aan het systeem. Die frequentie hangt niet af van de amplitude van de trilling. De eigen, natuurlijke frequentie van een systeem noem je de eigenfrequentie

B Gedwongen trillingen

Een ruit kan trillen door het verkeer in de straat. De frequentie van de gedwongen trilling is daarbij willekeurig.

Een laplacekracht zorgt ervoor dat de conus van een luidspreker een gedwongen trilling uitvoert. De frequentie van de trillende conus is gelijk aan de frequentie van de laplacekracht.

Het handvat van een boormachine voert een gedwongen trilling uit omdat de motor een periodieke kracht op het handvat uitoefent.

Een systeem kan ook trillen omdat er op dat systeem een uitwendige kracht wordt uitgeoefend die zelf een frequentie heeft. Dat noem je een gedwongen trilling.

Bij een gedwongen trilling trilt het systeem met de frequentie van de uitwendige kracht, ook als die verschilt van zijn eigenfrequentie.

▲

▲ Afb.

• Een vrije trilling of eigentrilling is een trilling van een systeem dat, eenmaal uit evenwicht gebracht, ongemoeid wordt gelaten. Het systeem trilt met zijn eigenfrequentie.

• Een gedwongen trilling is een trilling als gevolg van een uitwendige kracht die zelf een frequentie heeft. Het systeem trilt met de frequentie van de uitwendige kracht, ook als die verschilt van zijn eigenfrequentie.

Proefversie©VANIN

3.2 Resonantie

Bij gedwongen trillingen kan de amplitude van de trilling erg groot worden. Dat fenomeen noem je resonantie. De frequentie van de gedwongen trilling waarbij de amplitude van de trilling maximaal wordt, noem je de resonantiefrequentie

Bij resonantie versterken de trilling van de uitwendige kracht en de eigentrilling van het systeem elkaar. In lucht, en meer algemeen als de energieverliezen van de trilling als gevolg van wrijving klein zijn, is de resonantiefrequentie (bij benadering) gelijk aan de eigenfrequentie van het trillende systeem.

VOORBEELD RESONANTIE BIJ EEN SCHOMMEL

Duw je een schommel met een constante frequentie, dan ondergaat de schommel een gedwongen trilling. Je kunt de schommel met om het even welke duwfrequentie duwen, maar er is maar één duwfrequentie waarbij de schommel hoger en hoger gaat en de trilling een grote amplitude krijgt. Die duwfrequentie is de resonantiefrequentie van de trillende schommel en is gelijk aan de eigenfrequentie van de schommel. Een kind dat zelf kan schommelen, beweegt zijn benen op en neer met dezelfde frequentie als de eigenfrequentie van de schommel.

In 1940 kwam de Tacoma Narrows Bridge (Washington) in resonantie en stortte ze in. De frequentie van de windstoten was ongeveer gelijk aan de eigenfrequentie van de brug.

Trillingen van de motor kunnen de oogbollen van helikopterpiloten in resonantie brengen. Om dat te vermijden, is de stoel van de piloot gemonteerd op schokdempers.

Als een sopraan zingt met dezelfde frequentie als de eigenfrequentie van een glas, dan kan het glas meetrillen en in stukjes breken.

▲ Afb. 30

▲ Afb. 31

▲ Afb. 32

XX LABO

▲ Afb. 29 Een kind wordt geduwd op de schommel.

Bekijk de video van de Tacoma Narrows Bridge en de video waarin iemand glas breekt door te zingen.

CONCEPTVRAAG

Aan welke voorwaarde moet voldaan zijn opdat de oogbollen van een helikopterpiloot in resonantie komen?

Resonantie is een gedwongen trilling met een heel grote amplitude die ontstaat als de frequentie van de gedwongen trilling gelijk is aan de eigenfrequentie van het trillende systeem.

Proefversie©VANIN

WEETJE

Er zijn gevallen bekend van jongeren die een klaplong opliepen als gevolg van luide bastonen. Wetenschappers denken dat dat komt doordat de longen gingen meetrillen met de beat van de muziek. Daardoor liepen ze scheurtjes op, waardoor ze uiteindelijk in elkaar klapten. De eigenfrequentie van longen bedraag typisch 150 Hz. Dat is een frequentie die door een subwoofer versterkt wordt. Daardoor kan een subwoofer de longen in resonantie brengen.

Mag je nu niet meer dansen op een fuif? Zeker wel. Wetenschappers hebben aangetoond dat er meer gedanst wordt als er lage bastonen gespeeld worden. Een klaplong blijft zeldzaam en treft vooral grote, magere mannen die roken. Door hun grootte hebben ze een groot lichaamsoppervlak, dat kan meetrillen als een trommelvel. Ze hebben weinig vet dat trillingsenergie kan absorberen, en door het roken zijn hun longen verzwakt. Sta je verder van de geluidsboxen, dan loop je sowieso geen gevaar en vermijd je ook mogelijke gehoorschade.

▲ Afb. 33 Dansende jongeren in de discotheek

REEKS

Een elektrische tandenborstel maakt

40 000 identieke bewegingen per minuut. Als je manueel poetst, maak je zo’n 450 bewegingen per minuut. Bereken de frequentie en de periode bij:

a elektrisch poetsen; b manueel poetsen.

Maak de uitspraken correct door ze aan te vullen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’.

Verklaar je keuze.

a Een periodieke beweging is een trilling.

b Een trilling is een periodieke beweging.

c Een periodieke beweging heeft een constante frequentie.

d Een trilling heeft een constante frequentie.

e De frequentie van een trilling hangt af van de amplitude.

f Een ongedempte trilling is een periodieke beweging.

g Een voorwerpt trilt met zijn eigenfrequentie.

Een veer waaraan een blokje hangt, trilt met een periode T en een amplitude A.

Wat is de afgelegde weg na één periode?

a 0

b A 2

c A

d 2 · A

e 4 · A

Een veer waaraan een blokje hangt, trilt met een periode T en een amplitude A

Hoelang duurt het vooraleer de afgelegde weg 6 · A is?

Proefversie©VANIN

a T

b 3 4 · T

c 5 4 · T

d 3 2 · T

e 2 · T

Een blokje hangt aan een veer, naast een meetlat waarmee je de positie van het blokje meet. Bij evenwicht bevindt het massapunt van het blokje zich op een hoogte van 10 cm. Je trekt het blokje naar beneden, zodat het massapunt zich op 15 cm bevindt, en laat dan los. De chronometer begint te lopen op het ogenblik dat je het blokje loslaat. Het blokje trilt met een frequentie van 2,00 Hz.

a Op welke tijdstippen bevindt het massapunt van het blokje zich op een hoogte van 15 cm?

b Op welke tijdstippen bevindt het massapunt van het blokje zich op een hoogte van 10 cm?

c Op welke tijdstippen bevindt het massapunt van het blokje zich op een hoogte van 5 cm?

d Waar bevindt het massapunt van het blokje zich op t = 3,125 s?

AAN DE SLAG

Bestudeer deze y(t)-grafieken.

Ze zijn telkens op dezelfde schaal afgebeeld.

a Welke grafieken stellen een toon voor?

b Welke grafieken stellen een samengestelde toon voor? Welke een enkelvoudige toon?

c Rangschik de tonen volgens stijgende toonhoogte.

d Rangschik de tonen volgens stijgende toonsterkte.

y 5,7 0

t (ms) A

▲Aangeslagen stemvork

y 5,7 0

t (ms) B

▲Stamp met de voet

y 5,7 0

t (ms) C

7

Op Albert Bridge in Londen prijkt een plakkaat met dit opschrift:

‘All troops must break step when marching over this bridge.’ Drie vrienden zijn op bezoek in Londen en vragen zich af waarom die waarschuwing er staat. Wie heeft gelijk? Verklaar je keuze.

Als de soldaten in cadans marcheren, produceren ze een toon met een hoge toonsterkte. Dat is storend voor de omwonenden.

▲Waarschuwing op de Albert Bridge in Londen

Als ze in cadans marcheren, marcheren ze mogelijk met een frequentie die gelijk is aan de eigenfrequentie van de brug. De brug kan dan in resonantie gaan en instorten.

C

Dit heeft niets met fysica te maken. Het is een aloude traditie die ingesteld werd door koningin Victoria bij de opening van de brug.

In de film praten Barbie en Ken tegen elkaar. Hieronder zie je de y(t)-grafieken van hun stemmen getekend op dezelfde schaal. Welke grafiek hoort waarschijnlijk bij de stem van Barbie en welke bij de stem van Ken? Verklaar.

Proefversie©VANIN

▲Vioolklank

y 5,7 0

t (ms) D

y t A y t B

▲Gezongen klank

REEKS

Tijdens een schokdempertest wordt een auto lichtjes opgetild en losgelaten. Bij goed werkende schokdempers maakt de auto typisch twee open-neerbewegingen voordat de trilling volledig uitgedoofd is. Maak een schets van de y(t)-grafiek van een auto met goed werkende schokdempers bij een schokdempertest.

Geluiden van vleermuizen worden gevisualiseerd in zogenoemde sonogrammen (= grafieken met de frequentie van het uitgestuurde geluid in functie van de tijd). De geluiden worden gedetecteerd met speciale detectors. Hiernaast zie je drie sonogrammen:

• een sonogram van een rosse vleermuis in de hoogte boven een plas;

• een sonogram van een rosse vleermuis in zijn kolonie;

• een sonogram van een watervleermuis.

De kleurcode van blauw over rood en oranje naar geel geeft de intensiteit van het waargenomen geluid weer. Een blauwe kleur komt overeen met het meest intense geluid, een gele kleur met het minst intense geluid.

Bestudeer de sonogrammen. Welke uitspraken zijn correct? Verbeter de foute uitspraken.

a Mensen kunnen vleermuizen niet horen.

b Kinderen kunnen soms sommige vleermuizen horen.

c Ook volwassenen kunnen soms sommige vleermuizen horen.

d Vleermuizen produceren ultrasone geluiden.

e Vleermuizen van dezelfde soort produceren altijd dezelfde geluiden.

Proefversie©VANIN

f De meeste bronnen stellen dat vleermuizen geluiden produceren met frequenties tussen 18 000 Hz en 120 000 Hz. Toch neemt men soms geluiden met een frequentie lager dan 18 000 Hz waar.

` Meer oefenen? Ga naar .

▲Sonogram van een rosse vleermuis hoog in de lucht boven een waterplas

▲Sonogram van een rosse vleermuis in een kolonie

▲Sonogram van een watervleermuis boven een kanaal

TRILLINGEN

HOOFDSTUKSYNTHESE

periodieke beweging cyclus periode frequentie trilling mechanische trilling uitwijking

amplitude

y(t)-grafiek ongedempte trilling gedempte trilling demping

Voortdurende herhaling in de tijd met een vast ritme van dezelfde beweging

Beweging die telkens op een identieke manier wordt herhaald

Tijdsduur van één cyclus, met symbool T en eenheid seconde

Aantal cycli per seconde, met symbool f en eenheid hertz

Heen-en-weerbeweging van een punt op een lijn door een evenwichtspunt

Trilling van een materiepunt

Positie van een trillend punt ten opzichte van het evenwichtspunt

Maximale uitwijking

Grafiek van de uitwijking y in functie van de tijd t

Trilling waarvan de amplitude constant blijft

Trilling waarvan de amplitude afneemt door energieverliezen

Afname van de amplitude van een trilling door energieverliezen

Een toon is een geluidstrilling met een constante frequentie

Bij andere geluidstrillingen is de frequentie niet constant.

Proefversie©VANIN

TRILLINGEN

De toonsterkte wordt bepaald door de amplitude van de geluidstrilling. Hoe groter de amplitude, hoe luider de toon.

Een vrije trilling of eigentrilling is een trilling van een systeem dat, eenmaal uit evenwicht gebracht, ongemoeid wordt gelaten.

De eigenfrequentie is de eigen, natuurlijke frequentie van een systeem.

A: bepaalt toonsterkte

f (= 1 T ): bepaalt toonhoogte

▲ y(t)-grafiek van een toon (links) en een geluid dat geen toon is (rechts)

De toonhoogte wordt bepaald door de frequentie van de geluidstrilling. Hoe groter de frequentie, hoe hoger de toon. De menselijke gehoorgrenzen

liggen tussen 20 Hz en 20 000 Hz. Dat frequentiegebied neemt af naarmate iemand ouder wordt en/of meer gehoorschade oploopt.

Een gedwongen trilling is een trilling van een systeem onder invloed van een uitwendige kracht met een frequentie. Het systeem trilt met de frequentie van de uitwendige kracht, ook als die verschilt van zijn eigenfrequentie.

Het timbre of de klankkleur wordt bepaald door de vorm van het patroon dat zich herhaalt op de y(t)-grafiek. Het timbre hangt af van de geluidsbron die de klank produceert.

Resonantie is een gedwongen trilling met een erg grote amplitude. Ze ontstaat als de frequentie van de uitwendige kracht gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem.

HOOFDSTUK 2

Wiskundige beschrijving van trillingen

Proefversie©VANIN

Hoe werkt een noise cancelling koptelefoon? Waarom wordt de amplitude bij resonantie zo groot? En hoe kunnen muzikanten hun instrumenten stemmen op basis van hun gehoor?

In dit hoofdstuk leer je hoe je trillingen wiskundig beschrijft en hoe je de uitwijking van een trillend punt op een bepaald tijdstip vaststelt. Je leert wat er gebeurt als een punt aan twee of meer trillingen onderhevig is. Daardoor krijg je inzicht in welke soorten (speciale) trillingen er kunnen ontstaan, hoe je die waarneemt en welke toepassingen ze hebben.

LEERDOELEN

M harmonische trillingen beschrijven

M betekenis geven aan de fase vanuit het verband tussen de harmonische trilling en de eenparig cirkelvormige beweging

M twee harmonische trillingen met dezelfde trilrichting voor een aantal bijzondere situaties samenstellen: fase, tegenfase, klein frequentieverschil

M niet-harmonische trillingen beschrijven

1 Hoe kun je eenvoudige trillingen wiskundig beschrijven?

1.1 De uitwijking bij een massa-veersysteem

Een van de eenvoudigste trillingen is de trilling van een massa aan een veer. Dat noem je een massa-veersysteem. Om die trilling op een eenvoudige manier te beschrijven, kies je een geschikte y-as:

• richting: hetzelfde als de trilrichting;

• zin: kan vrij gekozen worden:

– voor een verticaal opgehangen veer meestal naar boven;

– voor een horizontale veer meestal naar rechts;

• oorsprong: in het evenwichtspunt.

De positie van het trillende massapunt wordt beschreven door de positievector r = y(t) · e y . Daarbij is e y de eenheidsvector, met dezelfde richting en zin als de gekozen y-as. In de context van trillingen noemt men de positievector soms ook de uitwijkingsvector De uitwijkingsvector heeft:

• zijn aangrijpingspunt in het evenwichtspunt van de trilling;

• zijn eindpunt in het trillende (massa)punt.

Dat heeft als gevolg dat de richting van de uitwijkingsvector bij een massa-veersysteem hetzelfde is als de trilrichting en dus ook hetzelfde als de gekozen y-as.

De uitwijkingsvector is een positievector met het aangrijpingspunt in het evenwichtspunt van de trilling.

Proefversie©VANIN

▲ Afb. 1 De uitwijkingsvector voor een trillend massa-veersysteem

De getalcomponent van de uitwijkingsvector, y(t), is de uitwijking

• Als de uitwijkingsvector dezelfde zin heeft als de eenheidsvector, dan is de uitwijking positief.

• Als de uitwijkingsvector een zin heeft tegengesteld aan de zin van de eenheidsvector, dan is de uitwijking negatief.

CONCEPTVRAAG

Vergelijk de uitwijkingen van situaties A, B, C en D op afbeelding XXX. Welke uitwijkingen zijn gelijk en welke zijn verschillend? Verklaar.

De positie van een trillend punt kun je weergeven door een uitwijkingsvector r. Die vector heeft:

• zijn aangrijpingspunt in het evenwichtspunt van de trilling;

• zijn eindpunt in het trillende (massa)punt.

De uitwijking y van een massa-veersysteem kun je aflezen als de projectie van de uitwijkingsvector op een y-as met:

• dezelfde richting als de trilrichting;

• zijn oorsprong in het evenwichtspunt van de trilling.

1.2 Harmonische trillingen

Experimenten tonen aan dat de uitwijking in functie van de tijd, y(t), van een trillende massa bij een massa-veersysteem een sinusfunctie is. De uitwijkingsfunctie is gegeven door y(t) = A · sin φ(t). Een trilling waarvan de uitwijking in functie van de tijd een sinusfunctie is, noem je een harmonische trilling.

Proefversie©VANIN

Afb. 2

De trilling van een aangeslagen stemvork is een harmonische trilling.

Afb. 3

Na de sprong voert de duikplank een harmonische trilling uit.

Een harmonische trilling heeft deze kenmerken:

Afb. 4

De slinger van een mechanische klok voert een harmonische trilling uit.

• De sinusfunctie is een periodische functie. Bijgevolg is de uitwijking na een of meerdere periodes T opnieuw gelijk aan de beginuitwijking.

• De sinus fluctueert tussen +1 en –1. Bijgevolg fluctueert de uitwijking tussen ymax  = A en ymin = –ymax  = –A. A is de maximale uitwijking of de amplitude van de trilling.

• φ(t) noem je de fasehoek of kortweg de fase van de trilling op tijdstip t. Ze wordt uitgedrukt in radialen.

Het punt of systeem dat de harmonische trilling uitvoert, noem je de harmonische oscillator y 0 A –A t T t

▲ Grafiek 1 y(t)-grafiek van een harmonische oscillator

Bestudeer de beweging van een trillend massa-veersysteem in de video.

Voor de fase gebruik je de Griekse kleine letter phi, φ.

trillende veer

XX LABO

CONCEPTVRAGEN

1 Is een harmonische trilling een gedempte of een ongedempte trilling?

2 Hoe werd de trilling op grafiek XXX gestart?

Waar bevindt de massa op grafiek XXX zich na één periode?

Proefversie©VANIN

VOORBEELDVRAAGSTUK

Leerlingen laten tijdens een labo een massa aan een veer trillen.

De veer hangt aan een statief. De leerlingen geven de massa een beginuitwijking door de massa naar beneden te trekken. De grootte van de beginuitwijking bedraagt 10,0 cm.

Ze meten ook de tijdsduur van tien heen-enweerbewegingen, namelijk 6,0 s.

1 Teken de uitwijkingsas met daarop het evenwichtspunt, de maximale uitwijking en de minimale uitwijking.

2 Bepaal de amplitude, de periode en de frequentie van de trilling.

3 Teken de y(t)-grafiek.

4 Waar bevindt de massa zich bij t = 0 en na T 4 , T 2 , 3 · T 4 en T? Duid aan op de grafiek.

Gegeven:

• |y(0)| = 10,0 cm

• richting en zin van de beginuitwijking: verticaal naar beneden,

• Δt(10 cycli) = 6,0 s

Gevraagd: 1 y-as met het evenwichtspunt y = 0, ymax en ymin

2 A, T en f = ?

3 y(t)-grafiek

4 y(0), y( T 4 ), y( T 2 ), y( 3 · T 4 ) en y(T) = ?

Oplossing: 1 De richting van de veer is verticaal, dus is de richting van een geschikte y-as ook verticaal.

Je kiest de zin naar boven.

De uitwijking kan nooit groter worden dan de beginuitwijking.

Dus geldt:

|y(0)| = 10,0 cm = ymax = A

Voor de minimale uitwijking geldt dan: ymin = –A = –10,0 cm

2 A = 10,0 cm (zie 1)

T is de tijdsduur voor één cyclus.

De tijdsduur voor tien cycli bedraagt 6,0 s.

Dus geldt:

T = 6,0 s 10 = 0,60 s

f = 1 T = 1 0,60 s = 1,7 Hz

▲ Afb. 5 Opstelling van een massa aan een veer

3 Een massa-veersysteem gedraagt zich als een harmonische oscillator.

De y(t)-grafiek is dus een sinusfunctie met:

A = 10,0 cm

T = 0,60 s y(0) = –10,0 cm, want de beginuitwijking is naar beneden en dus negatief

Proefversie©VANIN

Grafiek 2 y(t)-grafiek

4 y(0) = –10,0 cm, y( T 4 ) = 0 cm, y( T 2 ) = 10,0 cm, y( 3 · T 4 ) = 0 cm, y(T) = –10,0 cm

Reflectie: Waar bevindt de massa zich na één periode? Komt dat overeen met je grafiek? De massa bevindt zich dan opnieuw op de beginpositie, met een uitwijking van –10,0 cm.

Een harmonische trilling is een trilling waarvan de uitwijking in functie van de tijd een sinusfunctie is:

y(t) = A · sin φ(t)

Daarbij is:

• A de amplitude van de trilling;

• φ(t) de fase.

Een harmonische oscillator is een punt of voorwerp dat harmonisch trilt.

1.3 Verband tussen een harmonische trilling en een eenparig cirkelvormige beweging

A Het verband tussen een harmonische trilling en een eenparig cirkelvormige beweging

DEMO

Wat is het verband tussen een harmonische trilling en een ECB?

1 Je leerkracht monteert een schijf op de as van een motor met een regelbaar toerental. De schijf bevat in de buurt van de rand een staafje dat loodrecht op het vlak van de schijf staat.

Je leerkracht belicht het geheel zo dat de bewegende schaduw van het staafje zichtbaar wordt op een scherm.

2 Hoe zal de schaduw van het staafje volgens jou bewegen?

Bespreek met je buur.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Proefversie©VANIN

vooraanzicht

▲ Afb. 6 Schematische voorstelling van de opstelling

zijaanzicht

scherm

Een harmonische trilling is een eendimensionale beweging. Een eenparig cirkelvormige beweging is een tweedimensionale beweging. De demoproef toont dat je een harmonische trilling kunt beschouwen als de projectie van een (tweedimensionale) ECB op een verticale y-as (één dimensie). Het verband tussen de harmonische trilling en de ECB laat toe om de fase φ(t) van de harmonische trilling in detail te bestuderen.

B Fase en fasor bij een eenparig cirkelvormige beweging

Bij een ECB kun je de positie van het punt dat de ECB uitvoert, weergeven door een positievector A, ook wel de fasor genoemd. De fasor heeft deze kenmerken:

• aangrijpingspunt: het middelpunt van de cirkel;

• grootte A: de straal van de cirkel;

• richting en zin: worden bepaald door de fasehoek φ(t)

Je kunt dat verband ook in de applet bekijken.

De fasehoek wordt op zijn beurt bepaald door de beginfase φ0, de hoeksnelheid ω en de rotatieduur Δt. Uit definitie van de hoeksnelheid volgt: ω = Δφ Δt = φ(t) – φ0 t – t0

Bij een ECB is de hoeksnelheid ω constant. Als je t0 = 0 kiest, dan kun je de fase als volgt schrijven:

φ(t) = ω · t + φ0

Op afbeelding XXX kun je zien dat de y-component van de fasor (dat wil zeggen: de projectie van de fasor A op de y-as) voor een ECB gelijk is aan: y(t) = A · sin φ(t) = A · sin(ω

t + φ0)

C Fase en fasor bij een harmonische trilling

Afb. 7 Grafische voorstelling van een fasor en de projectie ervan op de y-as

Proefversie©VANIN

Vanwege het verband tussen de harmonische trilling en de ECB stelt men de harmonische trilling ook vaak voor door een fasor die een ECB uitvoert. De uitwijking y van de harmonische trilling is dan de projectie van de fasor op de y-as. y y

Afb. 8 Het verband tussen de y(t)-grafiek van een harmonische trilling en een ECB

De uitwijking van een harmonische trilling wordt op dezelfde wiskundige manier beschreven als de y-component van de fasor die een ECB uitvoert, namelijk als een sinusfunctie: y(t) = A · sin φ(t)

Uit die gelijkenis volgt dat je de fase van een harmonische trilling kunt schrijven als:

Dus je kunt een harmonische trilling als volgt schrijven: y(t) = A

sin(ω · t + φ0)

‘Pulsatie’ komt van het Latijnse pulsatio, dat ‘het stoten of slaan’ betekent.

Daarbij geldt:

• A, de straal van de cirkel van de ECB, is gelijk aan de amplitude van de corresponderende harmonische trilling.

• De fase φ(t) = ω · t + φ0 bepaalt de positie van het trillende punt.

• φ0 = φ(t = 0) is de beginfase, die de beginpositie van het trillende punt bepaalt.

• ω is recht evenredig met zowel de frequentie van de harmonische trilling als de frequentie van de corresponderende ECB. Immers: ω = Δφ Δt = 2 · π T = 2 · π · f. In de context van een ECB noem je ω de hoeksnelheid. In de context van een trilling noem je ω de pulsatie.

CONCEPTVRAGEN

1 Schat hoe groot de beginfase is op afbeelding XXX.

2 Welk faseverschil Δφ doorloopt de harmonische oscillator in een tijdsinterval T 2 ?

VOORBEELD BEGINFASE

Vaak is de uitwijking van een trilling maximaal op t = 0. De beginfase is dan – π 2 of + π 2 . Het teken van de beginfase hangt af van de zin van de uitwijkingsvector r en de zin van de uitwijkingsas.

Proefversie©VANIN

2 + ▲ Afb. 9 De beginfase bij maximale uitwijking voor verschillende situaties

y ▲ Afb. 10 Beginfase 0

Soms wordt t = 0 ook zo gekozen dat de beginuitwijking en de beginfase gelijk zijn aan 0. Dat wil zeggen: op het tijdstip dat het beschouwde trillende punt zich in het evenwichtspunt bevindt.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een stemvork trilt met een frequentie van 440 Hz.

Op het tijdstip t = 0, als je de stemvork aanslaat, is de uitwijking van de trilling maximaal.

1 Wat is de pulsatie van de trilling van de stemvork?

2 Op welke tijdstippen gaat de stemvork door de evenwichtspositie?

Proefversie©VANIN

Gegeven: • f = 440 Hz

• y(0 s) is maximaal.

Gevraagd: 1 ω = ?

2 t waarvoor (y = 0) = ?

Oplossing: 1 Uit het verband tussen de pulsatie en de frequentie volgt:

ω = 2 · π · f = 2 · π · 440 Hz = 2,76 · 103 Hz

2 De stemvork voert een harmonische trilling uit.

De uitwijking in functie van de tijd is een sinusfunctie: y = A · sin φ(t).

De uitwijking y = A · sin φ(t) = 0 als de fase φ(t) = k · π, met k een geheel getal.

De fase φ(t) = ω · t + φ0

De uitwijking y is maximaal op t = 0 φ0 = π 2 .

De pulsatie ω = 2 · π T

Vul je de uitdrukkingen voor ω en φ0 in de uitdrukking voor de fase φ in, dan krijg je:

φ(t) = 2 · π T · t + π 2 = k · π

2 T · t + 1 2 = k

t = T 2 · (k –1 2 ) = – T 4 + k · T 2

De gemeten tijd t is positief.

De uitwijking y wordt dus 0 op:

t1 = T 4 voor k = 1

t2 = 3 · T 4 voor k = 2

t3 = 5 · T 4 voor k = 3 enzovoort

Door de getalwaarde voor de periode T in te vullen, kun je de tijdstippen berekenen waarop de stemvork door de evenwichtspositie gaat:

T = 1 f = 1 440 Hz = 2,27 · 10–3 s = 2,27 ms

De stemvork gaat dus door de evenwichtspositie op de volgende tijdstippen t:

t1 = T 4 = 2,27 ms 4 = 0,568 ms

t2 = 3 · T 4 = 3 · 2,27 ms 4 = 1,70 ms

t3 = 5 · T 4 = 5 · 2,27 ms 4 = 2,84 ms enzovoort

Reflectie: Je kunt je antwoord controleren door de y(t)-grafiek te schetsen met pulsatie

= 2 · π · f = 2,76 · 103 Hz en beginfase φ0 = π 2 .

Je kunt dat bijvoorbeeld doen met een grafische rekenmachine of GeoGebra.

Proefversie©VANIN

Een harmonische trilling kun je voorstellen door een fasor. Een fasor is een vector die:

• roteert met een constante hoeksnelheid ω;

• een grootte heeft die gelijk is aan de amplitude van de harmonische trilling

Je kunt de wiskundige uitdrukking voor een harmonische trilling als volgt schrijven: y(t) = A · sin φ(t) = A · sin(ω

t + φ0)

Daarbij is:

• A de amplitude van de harmonische trilling;

• ω de pulsatie van de harmonische trilling. ω is gelijk aan de hoeksnelheid van de corresponderende fasor en gelijk aan 2 · π · f = 2 · π T ;

• φ0 de beginfase van de harmonische trilling, die de beginpositie van het trillende punt bepaalt.

2 Welke trillingen kunnen ontstaan als je harmonische trillingen samenstelt?

2.1 Het onafhankelijkheidsbeginsel

Als je trillingen optelt, bekom je een nieuwe trilling. Dat is bijvoorbeeld het geval bij tonen van muziekinstrumenten: de samengestelde toon is een som van harmonische trillingen met frequenties f, 2 · f, 3 · f, 4 · f …

Je kunt trillingen bij elkaar optellen omdat een trilling een beweging is waarbij de positie van een punt van een trillend systeem verandert. Het onafhankelijkheidsbeginsel voor bewegingen geldt bijgevolg ook voor trillingen: als een punt onderhevig is aan meerdere trillingen, dan heeft de ene trilling geen invloed op de andere. Elke trilling blijft haar volledige uitwerking behouden.

De resulterende trilling is de som van de onafhankelijke trillingen.

De onderliggende ligging van de oorspronkelijke trillingen bepaalt het mogelijke resultaat.

We beperken ons tot de beschrijving van trillingen met dezelfde trilrichting.

Als een punt onderworpen is aan twee trillingen met dezelfde trilrichting, dan is de resulterende uitwijking yres(t) op elk ogenblik gelijk aan de algebraïsche som van de afzonderlijke uitwijkingen: yres(t) = y1(t) + y2(t)

De resulterende fasor Ares(t) is gelijk aan de vectoriële som van de afzonderlijke fasoren:

Ares(t) = A1(t) + A2(t)

De resulterende fasehoek φres(t) is op elk tijdstip t gelijk aan de hoek tussen de resulterende fasor Ares(t) en de horizontale as.

Proefversie©VANIN

Afb. 11 Harmonische trillingen samenstellen met behulp van fasoren

Hoe de resulterende trilling van het punt eruitziet, hangt af van de amplitudes, de fases en de faseverschillen van de afzonderlijke harmonische trillingen. De volgende paragrafen beschrijven enkele concrete situaties met voorbeelden.

De uitwijking van een punt yres(t) dat onderworpen is aan twee harmonische trillingen met dezelfde trilrichting, is gelijk aan:

yres(t) = y1(t) + y2(t)

Daarbij zijn y1(t) en y2(t) de uitwijkingen van de afzonderlijke harmonische trillingen.

De resulterende fasor is gelijk aan de vectoriële som van de afzonderlijke fasoren:

Ares(t) = A1(t) + A2(t)

Proefversie©VANIN

2.2 Samenstelling van twee trillingen met dezelfde trilrichting

A Twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie in fase

VOORBEELD SCHOMMELENDE KINDEREN IN FASE

Twee kinderen zijn aan het schommelen met dezelfde frequentie. Ze schommelen synchroon en gaan telkens opnieuw samen van voren naar achteren. Ze hebben op elk tijdstip dezelfde uitwijking. Ze trillen in fase.

▲ Afb. 12 Schommelende kinderen in fase

Twee trillingen zijn in fase als ze dezelfde frequentie hebben en hun uitwijking y op elk tijdstip t hetzelfde teken heeft. Omdat y(t) = A · sin φ(t), gaat het om twee trillingen met een faseverschil: Δφ = 0 (bij trillingen met dezelfde fase) of een constant faseverschil Δφ = 2 · π, 4 · π, 6 · π … radialen.

Tel je twee harmonische trillingen met dezelfde fase φ(t) = ω · t + φ0 bij elkaar op, dan bekom je de volgende uitdrukking voor de resulterende trilling yres(t): yres(t) = y1(t) + y2(t) = A 1 · sin(ω · t + φ0) + A2 · sin(ω · t + φ0) = (A 1 + A2) · sin(ω · t + φ0)

Het resultaat is een harmonische trilling met dezelfde fase en een amplitude A res die de som is van de amplitudes A 1 en A2 van de afzonderlijke harmonische trillingen. Als de twee amplitudes gelijk zijn aan elkaar, dan vereenvoudigt de wiskundige uitdrukking tot: y1(t) + y2(t) = 2 · A · sin(ω · t + φ0)

Het fenomeen waarbij twee trillingen in fase elkaar versterken, noem je positieve of constructieve interferentie. Dat kan leiden tot trillingen met een erg grote amplitude.

▲ Afb. 13 Twee harmonische trillingen met dezelfde fase en dezelfde amplitude samenstellen

CONCEPTVRAAG

Bestudeer afbeelding XXX. Teken de fasoren van de afzonderlijke trillingen en de samengestelde trilling bij t = 0.

VOORBEELD WAGENTJE DAT TRILT TUSSEN TWEE GELIJKE VEREN

Als een wagentje trilt tussen twee gelijke veren, dan is de uiteindelijke trilling een samenstelling van de trillingen van de afzonderlijke veren. De afzonderlijke trillingen zijn in fase en er vindt positieve interferentie plaats. De resulterende trilling heeft dezelfde fase als de afzonderlijke trillingen. Omdat het een systeem is met veel demping, neemt de amplitude van de trilling snel af.

Proefversie©VANIN

▲ Afb. 14 Wagentje dat trilt tussen twee gelijke veren

VOORBEELD GLAS BREKEN DOOR RESONANTIE

▲ Afb. 15 Kapot gesprongen glas als gevolg van resonantie

Bij resonantie vindt er positieve interferentie plaats tussen de eigentrilling van het systeem en de trilling van de uitwendige kracht. Het resultaat is een trilling met een erg grote amplitude. Een glas kan zo kapot springen als een sopraan zingt.

B Twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie in tegenfase

VOORBEELD SCHOMMELENDE KINDEREN IN TEGENFASE

Twee kinderen zijn aan het schommelen met dezelfde frequentie. Toch zijn hun trillingen verschillend. Als het ene kind achteraan is, is het andere kind vooraan. Ze hebben op elk tijdstip een tegengestelde uitwijking. Ze trillen in tegenfase.

Proefversie©VANIN

Twee trillingen zijn in tegenfase als ze met dezelfde frequentie trillen en hun uitwijking y op elk tijdstip t een tegengesteld teken heeft. Omdat y(t) = A · sin φ(t), gaat het om trillingen met een constant faseverschil van Δφ = π, 3 · π, 5 · π … radialen.

Je bekomt de volgende uitdrukking: y1 + y2 = A

sin(ω

+

0 + π) = A 1 · sin(ω · t + φ0) – A2 · sin(ω · t + φ0) = (A 1 – A2) · sin(ω · t + φ0)

Bij verschillende amplitudes krijg je een gedeeltelijke uitdoving. Bij gelijke amplitudes krijg je een volledige uitdoving van de trilling: y1 + y2 = 0. Ook met fasoren kun je eenvoudig inzien dat een samenstelling van twee harmonische trillingen in tegenfase tot een volledige uitdoving leidt.

Het fenomeen waarbij de samenstelling van twee trillingen in tegenfase resulteert in een gedeeltelijke of volledige uitdoving, noem je negatieve of destructieve interferentie.

▲ Afb. 16 Schommelende kinderen in tegenfase

VOORBEELD NOISE CANCELLING KOPTELEFOON

Noise cancelling koptelefoons vangen het omgevingsgeluid op met microfoontjes. Ze creëren een antigeluid: het antigeluid is in tegenfase met het geregistreerde omgevingsgeluid. Door de trillingen van het geluid en het antigeluid op te tellen, krijg je een resulterende trilling met een erg kleine amplitude. Het geluid wordt gedempt.

Proefversie©VANIN

VERDIEPING

Op vind je meer informatie over twee harmonische trillingen met een vast faseverschil.

C Twee harmonische trillingen met een klein frequentieverschil

DEMO

Welke trilling bekom je als je twee harmonische trillingen met een lichtjes verschillende frequentie samenstelt?

1 Je leerkracht slaat twee identieke stemvorken aan. Dat wordt herhaald nadat er op één stemvork een klem wordt geschoven.

2 Wat zul je horen in beide situaties? Zal het verschil merkbaar zijn?

Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Een trilling waarvan de amplitude periodiek aanzwelt en afneemt, noem je een zweving. Je bekomt een zweving door twee harmonische trillingen met frequenties f1 en f2 die weinig van elkaar verschillen, bij elkaar op te tellen.

Je kunt uitrekenen dat de trillingsfrequentie van de zweving gelijk is aan f1 + f2 2 en de zwevingsfrequentie aan |Δf| = |f2 – f1| (zie oefening 16 op p. XXX). De zwevingsperiode is dan gelijk aan 1 |∆f|

VOORBEELD MUZIEKINSTRUMENTEN STEMMEN

Muzikanten gebruiken zwevingen om muziekinstrumenten te stemmen op basis van hun gehoor. Zijn twee muziekinstrumenten lichtjes verschillend gestemd, dan is er een licht verschil tussen de frequenties van dezelfde noot.

Muzikanten met een goed getraind gehoor horen dan een zweving als ze samen dezelfde noot spelen. De zweving verdwijnt als de instrumenten goed gestemd zijn.

▲ Afb. 18 Een noise cancelling koptelefoon

▲ Afb. 19 Een violiste die haar viool stemt

VOORBEELDVRAAGSTUK

De grafieken tonen een zweving die ontstaat door een samenstelling van twee trillingen met lichtjes verschillende frequenties.

Wat zijn de frequenties van de afzonderlijke trillingen en wat is de zwevingsfrequentie?

Gegeven: de grafieken

Gevraagd: f1, f2 en fres = ?

Oplossing: Je telt bij de blauwe grafiek 9 cycli in een tijdsduur van 1,0 s. Dus is de frequentie f1 = 9 Hz.

Je telt bij de groene grafiek 11 cycli in een tijdsduur van 1,0 s. Dus is de frequentie f2 = 11 Hz.

De zwevingsfrequentie is |f1 – f2| = 2 Hz.

Reflectie: Op de rode grafiek kun je zien dat de zweving twee keer aanzwelt en uitdooft in een tijdsduur van 1 s. De zwevingsfrequentie is dus 2 Hz. Dat komt overeen met de berekende waarde.

Proefversie©VANIN

r = y1 + y2

▲ Grafiek 4 Zwevingen

• Als je twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie samenstelt, dan krijg je een nieuwe harmonische trilling met dezelfde frequentie of soms een volledige uitdoving. Twee bijzondere situaties: – Het samenstellen van twee harmonische trillingen in fase: je bekomt een nieuwe harmonische trilling met dezelfde fase en een amplitude die gelijk is aan de som van de afzonderlijke amplitudes. Als twee trillingen in fase elkaar versterken, noem je dat positieve of constructieve interferentie – Het samenstellen van twee harmonische trillingen in tegenfase: je bekomt een gedeeltelijke of volledige uitdoving. Je noemt dat negatieve of destructieve interferentie.

• Een zweving is een trilling waarvan de amplitude periodiek aanzwelt en afneemt. Een zweving ontstaat als je twee harmonische trillingen met lichtjes verschillende frequenties bij elkaar optelt.

2.3 Niet-harmonische trillingen

Bij harmonische trillingen is de uitwijking in functie van de tijd een sinusfunctie. Er bestaan echter ook niet-harmonische trillingen: de uitwijking in functie van de tijd is wel periodisch, maar geen sinusfunctie. Dat is bijvoorbeeld het geval bij samengestelde tonen die geproduceerd worden door muziekinstrumenten.

Je kunt elke ongedempte trilling met een frequentie f, hoe ingewikkeld ook, schrijven als een som van harmonische trillingen met frequenties die gehele veelvouden zijn van f

Proefversie©VANIN

De laagste frequentie noem je de grondfrequentie. De harmonische trillingen die je samenstelt, noem je de eerste harmonische, de tweede harmonische …

VOORBEELD BLOKFUNCTIES

In de digitale wereld gebruikt men veel blokfuncties. Een blokfunctie is een (niet-mechanische) trilling van een spanning die twee waarden kan aannemen: een hoge spanning komt overeen met een digitale 1, een lage spanning met een digitale 0.

De blokfunctie is een niet-harmonische trilling die je kunt ontbinden in harmonische trillingen. Hoe meer harmonische trillingen je toevoegt, hoe beter de benadering.

niet-harmonische trilling met frequentie f

harmonische trillingen

Afb. 20 Ontbinding van een blokfunctie in harmonische trillingen

De vorm van een niet-harmonische trilling op een y(t)-grafiek wordt bepaald door de aanwezige frequenties en hun amplitudes. In de muziek betekent dat dat het timbre van een samengestelde toon wordt bepaald door de aanwezige frequenties en hun amplitudes. In de context van de muziek noem je de eerste harmonische de grondtoon en de volgende harmonischen de boventonen.

De fourieranalyse is genoemd naar de Franse wis- en natuurkundige

Joseph Fourier.

Een niet-harmonische trilling kan enkel op een unieke manier worden ontbonden in harmonische trillingen. Het terugvinden van de oorspronkelijke harmonische functies noem je de fourieranalyse van de trilling. De fourieranalyse van een trilling laat toe om vast te stellen welke frequenties er in de trilling aanwezig zijn, en met welke amplitude. Dat wordt vaak voorgesteld op een grafiek met op de horizontale as de frequentie en op de verticale as de amplitude.

VOORBEELD FOURIERANALYSE VAN EEN LA-TOON OP EEN BLOKFLUIT EN EEN

VIOOL

Visualiseer je de trilling van een la-toon op een blokfluit of een viool, dan krijg je een periodieke functie die geen sinusfunctie is. De la-toon op die instrumenten is een samengestelde toon.

Met computersoftware kun je, naast de y(t)-grafiek, ook een grafiek maken met op de horizontale as de frequentie en op de verticale as de amplitude. Die grafiek bevat de fourieranalyse van de la-toon. Zo’n grafiek laat toe om na te gaan welke frequenties de trilling bepalen, en in welke mate.

Proefversie©VANIN

▲ Afb. 21 Fourieranalyse van een la-toon op een la-snaar van een viool

▲ Afb. 22 Fourieranalyse van een la-toon op een blokfluit

Uit de fourieranalyse van de la-toon gespeeld op de la-snaar van een viool leer je het volgende:

• De grondfrequentie bedraagt 440 Hz.

• De belangrijkste boventonen die bijdragen tot het timbre, hebben frequenties van 880 Hz, 1 320 Hz, 1 760 Hz, 2 200 Hz, 2 640 Hz, 3 080 Hz, 3 520 Hz, 3 960 Hz … Dat zijn gehele veelvouden van de grondfrequentie.

Uit de fourieranalyse van de la-toon van een blokfluit leer je het volgende:

• De grondfrequentie bedraagt 880 Hz.

• De belangrijkste boventonen hebben frequenties van 1 760 Hz en 2 640 Hz. Dat zijn gehele veelvouden van de grondfrequentie.

De grondfrequentie van de la-toon geproduceerd op de la-snaar van een viool bedraagt 440 Hz.

De grondfrequentie van de la-toon op een blokfluit is dubbel zo groot. In muzikale termen zeg je dat de la-toon op een blokfluit een octaaf hoger klinkt dan de la-toon op een viool.

• Elke niet-harmonische ongedempte trilling met frequentie f is een samengestelde trilling die je kunt schrijven als een som van harmonische trillingen waarvan de frequenties gehele veelvouden zijn van f.

• De harmonische trillingen die je samenstelt, noem je de eerste harmonische, de tweede harmonische …

• De grondfrequentie is de frequentie van de eerste harmonische.

• In de muziek noem je de eerste harmonische de grondtoon en de volgende harmonischen de boventonen.

REEKS

Maak de uitspraken correct door ze aan te vullen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’. Verklaar je keuze.

a Bij een trilling is de uitwijking in functie van de tijd een sinusfunctie.

b Een harmonische trilling kun je beschrijven als een projectie van een eenparig cirkelvormige beweging op een as volgens de trilrichting.

c Een samenstelling van twee trillingen in tegenfase leidt tot een volledige uitdoving.

d Resonantie is het resultaat van positieve interferentie.

Bestudeer de onderstaande afbeeldingen.

a Neem de y-as met het blokje over en teken de uitwijkingsvectoren.

b In welke situaties is de uitwijking positief en in welke negatief? Verklaar waarom.

Wie heeft gelijk? Verklaar je keuze.

B

Proefversie©VANIN

A

De beginfase van een trilling is altijd

C

Nee, dat klopt niet. De beginfase is enkel – π 2 als de trilling met een maximale uitwijking begint. Een trilling begint altijd met een maximale uitwijking.

D

E

De beginfase kan ook gewoon 0 zijn. De beginfase kan – π 2 of + π 2 zijn. Dat hangt af van de zin van de uitwijkingsas.

Welke uitspraken zijn correct?

Verbeter de foute uitspraken.

a Als een massa van een massa-veersysteem zich boven het evenwichtspunt bevindt, dan is de uitwijking positief.

b Als de fase positief is, dan is de uitwijking positief.

c Je kunt de uitwijking (op tijdstip t) van een resulterende trilling vinden door de afzonderlijke uitwijkingen op te tellen.

d Je kunt een zaagtandfunctie schrijven als een som van harmonische trillingen waarvan de frequenties gehele veelvouden zijn van elkaar.

zaagtand

De uitwijking van een massa aan een veer wordt weergegeven door deze uitwijkingsfunctie:

y(t) = 6,0 cm · sin(2 · π s–1 · t)

a Bepaal de amplitude, de frequentie en de beginfase.

b Schets de grafiek van de uitwijking in functie van de tijd.

c Waar bevindt de massa zich na 2,00 min?

d Bepaal de verplaatsing tussen t = 0 s en t = 2,00 min.

AAN DE SLAG

Vanja hangt aan de springplank in het zwembad en laat zich vallen. De plank blijft natrillen zoals op de grafiek.

REEKS

Proefversie©VANIN

a Lees (benaderend) de uitwijking af na 0,30 s; 1,2 s en 1,5 s.

b Bepaal de periode en de amplitude.

c Bepaal de beginfase en de fase op tijdstip A met behulp van fasoren.

d Bereken de fase na 0,30 s; 1,2 s en 1,5 s.

e Geef de vergelijking die de uitwijking van de duikplank beschrijft.

Een zwemster staat op het uiteinde van een springplank. Daardoor zakt het uiteinde van de plank met 25 cm ten opzichte van de evenwichtspositie. De zwemster begint zachtjes op en neer te wippen met een frequentie van 1,2 Hz.

a Wat is de wiskundige uitdrukking voor de uitwijking in functie van de tijd?

b Bereken de fase op t = 0, t =  T 4 , t =  T 2 , t =  3 · T 4 , t = 0,20 s en t = 1,0 s.

c Teken de uitwijkingsas met daarop de uitwijkingen op t = 0, t =  T 4 , t =  T 2 , t =  3 · T 4 , t = 0,20 s en t = 1,0 s.

Teken de bijbehorende fasoren.

d Schets de grafiek van de uitwijking in functie van de tijd.

Een trilling van een massa aan een veer wordt beschreven door deze uitwijkingsfunctie:

y(t) = 3 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t –π 2 )

a Welke van de onderstaande trillingen zijn in fase met die trilling?

b Welke van de onderstaande trillingen zijn in tegenfase met die trilling?

y1 = 2 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t –π 2 )

y2 = 3 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t –π 2 )

y3 = 3 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t)

y4 = 2 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t + 3 · π 2 )

y5 = 2 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t –3 · π 2 )

y6 = 3 cm · sin(2 · π · 1,5 Hz · t –3 · π 2 )

De grafiek toont de uitwijking voor drie verschillende massa-veersystemen. De vergelijking voor de uitwijking van trilling 1 is gegeven door:

y1(t) = 6 cm · sin(4 · π s–1 · t)

a Hoe groot is één schaalverdeling op beide assen?

b Geef de vergelijking van de twee andere trillingen.

Vijf identieke drums worden aan het trillen gebracht. De uitwijking op t = 0 s verschilt voor de vijf drums: y1(0 s) = –A; y2(0 s) = 0; y3(0 s) = A;

y4(0 s) = A 2 ; y5(0 s) = A 2

a Bepaal de beginfase voor de verschillende drums.

b Waarom zijn er soms meerdere antwoorden mogelijk?

Gegeven is een harmonische trilling met φ0 = 0. Welke waarde kan de fase hebben halverwege tussen het evenwichtspunt en het uiterste punt?

a π 4

b π 2

c π 3

d 7 · π 6

Welke tijd is nodig om vanuit het evenwichtspunt de helft van de amplitude af te leggen?

a T 12

b T 8

c T 4

d de tijd die nodig is om vanuit een uiterst punt een halve amplitude af te leggen

De uitvinding van de verbrandingsmotor heeft een cruciale rol gespeeld in de industriële revolutie. Met behulp van warmte wordt een zuiger aangedreven, waardoor een wiel in beweging wordt gezet. De afbeelding toont een historische schets (1876) van een viertaktmotor.

t

grafiek 1 grafiek 2

grafiek 1 grafiek 2

Ga naar de applet. Kies de optie ‘Discreet’. Definieer de horizontale as als de tijdas.

a Ga op zoek naar een combinatie van sinusfuncties met gepaste frequenties en amplitudes om een zaagtandfunctie (zie oefening 4) te construeren.

Proefversie©VANIN

b Wat is het verband tussen de frequenties f1, f2, f3, f4, f5 …?

c In de applet kun je negatieve amplitudes ingeven. Wat betekent dat?

d Ga op zoek naar een combinatie van sinusfuncties met gepaste frequenties en amplitudes om een blokfunctie te construeren.

REEKS

Een zweving ontstaat als een samenstelling van twee trillingen met een lichtjes verschillende frequentie.

y t y t

y t y t y t y

y t y t

grafiek 3 grafiek 4

grafiek 3 grafiek 4

a Welke grafiek geeft bij benadering de uitwijking (ten opzichte van het midden) van de zuiger tussen positie A en D weer voor een wiel dat met een constante snelheid draait?

b Waarom is dat enkel een benadering van de beweging?

Je kunt je gsm in tril- of in belmodus zetten. Hieronder zie je drie verschillende harmonische beltonen en een triltoon.

y1(t) = 0,8 mm · sin(300 · π s–1 · t + π 4 )

y2(t) = 1,6 mm · sin(3 000 · π s–1 · t + π)

y3(t) = 0,8 mm · sin(3 000 · π s–1 · t + π 4 )

y4(t) = 1,6 mm · sin(30 · π s–1 · t + π 4 )

a Welke van de vier is de triltoon?

b Rangschrik de overige tonen volgens toenemende …

1 toonhoogte; 2 toonsterkte.

Je mag veronderstellen dat de amplitudes van de trillingen die de zweving veroorzaken, gelijk zijn aan elkaar en dat de beginfases gelijk zijn aan 0.

a Waaraan is de wiskundige uitdrukking van de zwevingsuitwijking gelijk?

b Waaraan is de fase van de zweving gelijk?

c Waaraan is de trilfrequentie van de zweving gelijk?

d Waaraan is de amplitude van de zweving gelijk?

e Waaraan is de maximale amplitude van de zweving gelijk?

f Op welke tijdstippen bereikt de zweving de maximale amplitude?

g Waaraan is de zwevingsperiode gelijk?

h Waaraan is de zwevingsfrequentie gelijk?

` Meer oefenen? Ga naar .

HOOFDSTUKSYNTHESE

uitwijkingsvector

Positievector r = y · e y die de positie van het trillende punt beschrijft:

De uitwijkingsvector heeft zijn aangrijpingspunt in het evenwichtspunt van de trilling.

Proefversie©VANIN

uitwijkingsas

uitwijking

harmonische trilling

fasor

pulsatie

fase beginfase

As volgens de trilrichting met oorsprong in het evenwichtspunt

Projectie y van de uitwijkingsvector op de uitwijkingsas

De uitwijking geeft de positie van het trillende punt weer.

Trilling waarvan de uitwijking een sinusfunctie is in functie van de tijd: y(t) = A · sin φ(t)

Positievector A van een eenparig roterend punt

De fasor heeft zijn aangrijpingspunt in het middelpunt van de cirkel.

De pulsatie ω = 2 · π T = 2 · π · f is recht evenredig met de frequentie f en omgekeerd evenredig met de periode T van een harmonische trilling.

De fase φ = ω · t + φ0 is het argument van de sinusfunctie die de uitwijking y(t) beschrijft. Het is de hoek die de corresponderende fasor maakt met de horizontale as.

De fase op tijdstip t = 0, genoteerd als φ0 y

▲De harmonische trilling als de projectie van een eenparig roterende fasor op een as volgens de trilrichting

onafhankelijkheidsbeginsel van trillingen

Als een punt onderhevig is aan meerdere trillingen, dan heeft de ene trilling geen invloed op de andere. De resulterende trilling is de som van de onafhankelijke trillingen.

Samenstelling van twee trillingen met dezelfde trilrichting

trillingen in fase

Proefversie©VANIN

trillingen in tegenfase

zwevingen

Trillingen met dezelfde fase of met een faseverschil van k · 2 · π radialen (met k een geheel getal). Ze versterken elkaar: A res = A 1 + A2, met A res de resulterende amplitude en A 1 en A2 de afzonderlijke amplitudes.

Je noemt dat positieve of constructieve interferentie.

Trillingen met een faseverschil van (2 · k + 1) · π radialen (met k een geheel getal). Ze doven elkaar uit:

A res = A 1 – A2, met A res de resulterende amplitude en A 1 en A2 de afzonderlijke amplitudes.

Je noemt dat negatieve of destructieve interferentie.

Een zweving is een trilling waarvan de amplitude periodiek toe- en afneemt. Een zweving ontstaat bij een samenstelling van twee trillingen met een klein frequentieverschil

Niet-harmonische trilling

Een niet-harmonische trilling met frequentie f is een samengestelde trilling van harmonische trillingen met frequenties die gehele veelvouden zijn van f

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 3

Dynamica van harmonische trillingen

Proefversie©VANIN

Waarom krijg je kriebels in je buik als je schommelt? Wist je dat te grote versnellingen bij trillingen van drilboren, slijpmachines, bulldozers … schadelijk kunnen zijn voor de gezondheid? Hoe kun je de eigenfrequentie van een massaveersysteem of een slinger uitrekenen, wat bijvoorbeeld voor een klokkenmaker erg belangrijk is? En waarom is er bij resonantie zoveel trillingsenergie aanwezig?

In dit hoofdstuk leer je hoe de snelheid, de versnelling en de kracht bij een harmonische trilling veranderen in functie van de tijd. Je leert om die grootheden te berekenen en voor te stellen, en om hun grafische voorstellingen te interpreteren. Je krijgt inzicht in het verband tussen de inwerkende kracht en de eigenfrequentie van een trillend systeem. Ten slotte leer je van welke fysische grootheden de mechanische energie van een trillend systeem afhangt.

LEERDOELEN

M de tijdsafhankelijkheid van de snelheid en de versnelling bij een harmonische trilling kwalitatief en kwantitatief beschrijven

M het verband tussen de kracht en de uitwijking van een harmonische trilling kwalitatief en kwantitatief beschrijven

M de eigenfrequentie en de eigenperiode van een harmonische trilling wiskundig beschrijven en uitrekenen voor een massa-veersysteem en een slingerbeweging

M de wet van behoud van energie toepassen op een harmonische oscillator

M de mechanische energie uitrekenen voor een massa-veersysteem

1 Wat zijn de snelheid en de versnelling van een harmonische oscillator?

1.1 Veranderende snelheid en versnelling

De snelheid van een kind op een schommel verandert bij de heen-en-weerbeweging. Op het hoogste punt wordt ze telkens nul.

2

Bij een bungeesprong neemt de snelheid van de springer af naarmate het elastiek meer wordt uitgerekt. De springer ondervindt dan een vertraging door het elastiek.

3

Hand-armtrillingen zijn schadelijk voor het lichaam. De wettelijk toegelaten grenswaarde voor trillingen door contact met trillende machines bedraagt 5 m s2 gedurende een referentieperiode van acht uur.

‘Extremum’ betekent ‘uiterste’. Een minimum en een maximum zijn dus extrema. Bij harmonische trillingen betekent dat: het punt waar de uitwijking y(t) = A of y(t) = –A is.

Bij een harmonische trilling verandert de positie van het trillende punt (of systeem) ten opzichte van het referentiepunt. Het beweegt tussen twee uiterste punten waar de uitwijking y een extremum bereikt. De snelheid v is bij een trilling niet constant:

• De trilling is een heen-en-weerbeweging: de zin van de snelheid verandert telkens bij het uiterste punt: de snelheidscomponent verandert er van teken.

• Bij de extrema is de snelheid nul. De snelheidsgrootte neemt toe als de oscillator naar het evenwichtspunt beweegt, om daarna opnieuw af te nemen: de snelheid is maximaal in het evenwichtspunt. De grootte van de snelheid verandert tijdens de trilling.

Aangezien de snelheid van het trillende punt (of systeem) verandert, ondergaat het trillende punt een versnelling. De versnelling a bij een trilling is niet constant:

• Bij de uiterste punten is de snelheidsgrootte gelijk aan nul, om daarna opnieuw toe te nemen met de zin naar het evenwichtspunt toe. Als de uitwijking een extremum bereikt, is er dus een versnelling verschillend van nul met een zin naar het evenwichtspunt toe.

• De grootte van de snelheid neemt toe als de oscillator van een van de twee extrema naar het evenwichtspunt beweegt. De beweging is dan versneld. Eenmaal de oscillator voorbij het evenwichtspunt is, neemt de grootte van de snelheid opnieuw af. De beweging is vertraagd. Bij het evenwichtspunt verandert de beweging dus van een versnelde naar een vertraagde beweging en keert de zin van de versnelling om. De versnellingscomponent wordt in het evenwichtspunt nul, om dan van teken te veranderen.

VOORBEELD TRILLENDE DUIKPLANK

Een duiker wipt zachtjes op en neer op een duikplank. In het laagste punt is de snelheid gelijk aan nul. De snelheidsgrootte neemt toe naar het evenwichtspunt toe, dus naar boven. In het laagste punt is er een versnellingsvector die naar boven wijst. a = 0 v

v = 0 a

Proefversie©VANIN

Afb. 5

Als het uiteinde van een duikplank vanuit het laagste punt door het evenwichtspunt gaat, is de snelheidsgrootte maximaal en wijst de snelheidsvector naar boven. De plank met de duiker versnelt tussen het laagste punt en het evenwichtspunt, om dan te vertragen tussen het evenwichtspunt en het hoogste punt. In het evenwichtspunt keert de zin van de versnellingsvector om en is de versnelling gelijk aan nul.

In het bovenste punt is de snelheidsgrootte opnieuw gelijk aan nul. De zin van de snelheid keert om. De snelheidsgrootte neemt opnieuw toe. Er is een versnelling die naar beneden, naar het evenwichtspunt, wijst.

Proefversie©VANIN

De snelheid en de versnelling van een trillend punt veranderen voortdurend in functie van de tijd.

Trillingen kunnen het lichaam schaden. De risico’s zijn het grootst als de trillingen met grote schokken gepaard gaan, als de frequentie en de versnelling van de trillingen groot zijn, en bij een lange blootstellingsduur. Trillingen kunnen bijvoorbeeld leiden tot problemen in de lage rug, problemen bij zwangerschappen, duizeligheid (zeeziekte), neurologische schade in de vingers en de handen, vermoeidheid …

Daarom zijn er wettelijke richtlijnen omtrent de trillingen waaraan het menselijk lichaam mag worden blootgesteld. Er wordt daarbij een onderscheid gemaakt tussen trillingen die worden overgebracht op het hele lichaam (lichaamstrillingen), en trillingen die enkel een effect hebben op de handen en de armen (hand-armtrillingen). Voor hand-armtrillingen bedraagt de actiewaarde 2,5 m s2 en de grenswaarde 5 m s2 Voor lichaamstrillingen zijn dat respectievelijk 0,5 m s2 en 1,15 m s2 . De actie- en grenswaarden worden bepaald als een gemiddelde voor een werkdag van acht uur.

Uit onderzoek blijkt dat het lichaam al hinder ondervindt als de actiewaarden worden overschreden. Dan dringen een aantal maatregelen zich op, zoals aangepast gereedschap kiezen.

WEETJE

▲ Afb. 7 Een trilplaat in de sportschool

demovideo: snelheids- en versnellingsfunctie bij een harmonische oscillator

1.2 Snelheids- en versnellingsfunctie

DEMO

Hoe veranderen de snelheid en de versnelling bij een harmonische oscillator?

1 Je leerkracht laat een massa-veersysteem trillen. De uitwijkings-, snelheids- en versnellingsfunctie worden opgemeten met behulp van een bewegingssensor.

Proefversie©VANIN

2 Voorspel de vorm van de y(t)-, vy(t)- en ay(t)-grafieken en de mogelijke verbanden tussen de grafieken. Bespreek met je buur en test uit.

3 Formuleer een antwoord op de onderzoeksvraag.

Uit experimenten blijkt dat niet alleen de uitwijkingsfunctie, maar ook de snelheids- en versnellingsfunctie van een harmonische oscillator een sinusoïdaal verloop vertonen. Dat is het geval voor elke harmonische oscillator en hangt niet af van de richting van de uitwijkingsas: de uitwijkings-, snelheids- en versnellingsgrafieken van verticale en horizontale harmonische oscillators vertonen hetzelfde sinusoïdale verloop.

Je kunt het sinusoïdale verloop van de snelheids- en versnellingsfunctie van een harmonische oscillator wiskundig aantonen:

• Voor een punt dat een harmonische trilling uitvoert, is de uitwijkingsfunctie gegeven door: y(t) = A · sin(ω · t + φ0)

• De snelheidsfunctie kun je berekenen als de afgeleide van de uitwijkingsfunctie.

Voor een harmonische beweging geldt:

vy(t) = dy(t) dt = d(A

0)) dt = A

• De versnellingsfunctie kun je berekenen als de afgeleide van de snelheidsfunctie.

Voor een harmonische beweging geldt: ay(t) = dvy(t) dt = d(A · ω · cos(ω · t + φ0)) dt =

In die uitdrukkingen is A de amplitude, ω de pulsatie en φ0 de beginfase.

VOORBEELD UITWIJKINGSFUNCTIE, SNELHEIDSFUNCTIE EN VERSNELLINGSFUNCTIE VAN EEN MASSA-VEERSYSTEEM

Afbeelding XXX toont de uitwijking, de snelheidscomponent en de versnellingscomponent in functie van de tijd. De grafieken kunnen zowel de trilling van de massa aan een verticaal opgehangen veer als de horizontale trilling van een autootje tussen twee gelijke horizontale veren voorstellen. De trilling wordt gestart als je de massa aan de veer naar beneden trekt of het autootje naar links duwt.

De afbeelding toont ook de vectorvoorstellingen van de uitwijking, de snelheid en de versnelling op de tijdstippen t = 0, T 4 , T 2 , 3 · T 4 , T

y = 0

Proefversie©VANIN

Afb. 8 Een grafische voorstelling van de snelheid en de versnelling bij een harmonische oscillator

Uit de grafieken en de wiskundige uitdrukkingen van de uitwijking, de snelheidscomponent en de versnellingscomponent in functie van de tijd kun je de volgende kenmerken van harmonische trillingen afleiden:

• De uitwijkings-, snelheids- en versnellingsfunctie van een harmonische oscillator zijn telkens goniometrische functies met dezelfde periode T. De fase van de functies is verschoven ten opzicht van elkaar:

– De faseverschuiving van de snelheidscomponent ten opzichte van de uitwijking is π 2

Dat komt overeen met een verschuiving van een kwart van een periode op de tijdsas.

De faseverschuiving van de versnellingscomponent ten opzichte van de uitwijking is π.

Dat komt overeen met een verschuiving van een halve periode op de tijdsas.

• In het evenwichtspunt y = 0 is de snelheidsgrootte v = |vy(t)| maximaal en ay(t) = 0. In de uiterste punten (ymax = A of ymin = –A) is vy(t) = 0 en de versnelllingsgrootte a = |ay(t)| maximaal.

• De maximale uitwijking ymax = A, de maximale snelheidscomponent v y, max = A · ω en de maximale versnellingscomponent a y, max = A · ω2

Dat betekent dat de pulsatie ω niet alleen de periodiciteit van de snelheid en de versnelling bepaalt, maar ook hoe groot de snelheid en de versnelling maximaal kunnen worden.

Als ω = 2 · π · f groot wordt, dan is ook de frequentie f groot. Het trillende punt beweegt dan sneller heen en weer, en v y, max en a y, max worden groter.

• De relatie tussen de versnellingscomponent en de uitwijking wordt gegeven door: ay(t) = –ω2 · y(t) = –constante · y(t)

CONCEPTVRAGEN

1 Welk verband bestaat er tussen het teken van de uitwijking en dat van de versnellingscomponent?

2 Wat kun je daaruit besluiten over het verband tussen de zin van de uitwijkingsvector en die van de versnellingsvector?

3 Wat is het verband tussen het teken van de uitwijking, dat van de snelheidscomponent, dat van de versnellingscomponent en de zin van de corresponderende vectoren?

applet: verticaal massa-veersysteem applet: horizontaal massa-veersysteem

Bekijk de applets met een verticaal en een horizontaal massa-veersysteem:

• Kijk in de applet met het verticale systeem naar de vectoriële en de grafische voorstelling van zowel de uitwijking, de snelheid als de versnelling.

• Kijk in de applet met het horizontale systeem gelijktijdig naar de uitwijking, de snelheidscomponent en de versnellingscomponent.

Proefversie©VANIN

VOORBEELDVRAAGSTUK

Tijdens een labo trilt een massa aan een veer met een amplitude van 10,0 cm en een periode van 0,60 s. De trilling start in het onderste punt, dus de beginfase φ0 = – π 2 .

1 Wat is de wiskundige uitdrukking voor de uitwijkings-, de snelheids- en de versnellingsfunctie?

2 Maak een grafiek van de uitwijkings-, de snelheids- en de versnellingsfunctie.

3 Bereken de getalcomponenten van de uitwijking, de snelheid en de versnelling na 0,90 s.

Gegeven:

• A = 10,0 cm

• T = 0,60 s

• φ0 = – π 2

Gevraagd: 1 de vergelijking voor y(t), vy(t) en ay(t)

2 de grafieken voor de uitwijkings-, de snelheids- en de versnellingsfunctie

3 y = ?; v y = ?; a y = ? als t = 0,90 s

Oplossing: 1 Uit het verband tussen de pulsatie en de periode volgt: ω = 2

π T = 2 · π 0,60 s

De beginuitwijking is maximaal. De beginfase φ0 = – π 2 , als je de uitwijkingsas naar boven kiest.

De fasehoek is:

De uitwijkingsfunctie wordt:

De snelheidsfunctie wordt:

De versnellingsfunctie wordt:

Afb. 9 Een opstelling van een massa aan een veer –π 2 y y r

Afb. 10 De beginfase

2 Grafische voorstellingen:

y (m)

▲ Grafiek 1 De uitwijkingsfunctie

v y ( ) m s

De uitwijkingsfunctie is een sinusfunctie met:

• een beginfase van – π 2 ;

• een maximale uitwijking ymax = A.

Proefversie©VANIN

▲ Grafiek 2 De snelheidsfunctie

De snelheidsfunctie is een sinusfunctie met:

• een faseverschil van π 2 ten opzichte van de uitwijkingsfunctie;

• een maximale snelheid

v y, max = A · ω = 0,10 m · 2 · π 0,60 s = 1,0 m s .

De versnellingsfunctie is een sinusfunctie met:

• een faseverschil π ten opzichte van de uitwijkingsfunctie;

• een maximale versnelling

a y, max = A · ω2 = 0,10 m · ( 2 · π 0,60 s )2 = 11 m s2 .

▲ Grafiek 3 De versnellingsfunctie

3 Als je tijdstip t = 0,90 s invult in de bovenstaande vergelijkingen, dan vind je de volgende waarden voor de uitwijking, de snelheidscomponent en de versnellingscomponent:

y(t) = A · sin(ω · t + φ0) = 0,10 m · sin( 2 · π 0,60 s · 0,90 s – π 2 ) = 0,10 m · sin(2 · π · 1,5 – π 2 ) = 0,10 m · sin( 5 · π 2 ) = 0,10 m

vy(t) = 0,10 m · 2 · π 0,60 s · cos( 5 · π 2 ) = 0 m s

ay(t) = –0,10 m · ( 2 · π 0,60 s )2 · sin( 5 · π 2 ) = –11 m s2

Reflectie: • Komen de berekende waarden overeen met wat je afleest op de grafiek? Ja.

• Is de snelheid gelijk aan 0 als de uitwijking maximaal is? Ja.

• Hebben de uitwijking en de versnelling een verschillend teken? Ja.

De snelheidsfunctie en de versnellingsfunctie van een harmonische oscillator zijn, net zoals de uitwijkingsfunctie, goniometrische functies:

vy(t) = A · ω · cos(ω · t + φ0)

ay(t) = –A · ω2 · sin(ω · t + φ0)

Daarbij is A de amplitude, ω de pulsatie en φ0 de beginfase.

Daaruit volgt ook dit verband tussen ay(t) en y(t):

ay(t) = –ω2 · y(t) = –constante · y(t)

2 Welke kracht veroorzaakt de versnelling van een harmonische oscillator?

2.1 Het verband tussen de terugroepkracht en de uitwijking

11

Als iemand aan een touw boven het water slingert, dan zorgt de tangentiële component van de zwaartekracht voor een versnelling naar het evenwichtspunt toe.

Als een duikplank na een sprong blijft natrillen, voert het uiteinde van de plank een versnelde beweging uit. Dat betekent dat er een kracht inwerkt op het uiteinde.

13

Als een auto over een oneffenheid rijdt, dan oefenen de veren van de schokdempers een kracht uit die ervoor zorgt dat de auto snel zijn evenwichtspositie terugvindt.

Een trillend punt ondervindt een versnelling. Volgens de tweede wet van Newton, F = m · a, wordt de versnelling veroorzaakt door een (resulterende) kracht die recht evenredig is met de versnelling.

Voor een harmonische oscillator geldt:

De krachtcomponent F y is recht evenredig met de versnellingscomponent a y : F y ~ a y

De versnellingscomponent a y is recht evenredig met –y: a y ~ –y

De vectoriële uitdrukking voor de kracht is:

(t) = Fy(

Proefversie©VANIN

F y ~ –y of F y = –C · y, met C een (evenredigheids)constante

Kun je een kracht schrijven als F(t) = –C · r(t), met C een constante, dan noem je die kracht een terugroepkracht. De bijbehorende beweging is altijd een harmonische trilling. De evenredigheidsconstante C hangt af van de eigenschappen van het trillende systeem en wordt de krachtconstante genoemd.

De terugroepkracht heeft de volgende eigenschappen:

• De zin van de uitwijkingsvector en de krachtvector zijn altijd tegengesteld aan elkaar. Bevindt een punt zich bijvoorbeeld boven of rechts van het evenwichtspunt, dan zal de zin van de krachtvector naar beneden of naar links zijn (zie ook afbeelding XXX). De zin van de kracht wijst dus altijd naar het evenwichtspunt. De kracht probeert altijd om het trillende punt naar de evenwichtstoestand ‘terug te roepen’. Vandaar de naam ‘terugroepkracht’.

• De grootte van de terugroepkracht is recht evenredig met de grootte van de uitwijking. Dus hoe groter de uitwijking is, hoe groter de kracht wordt. Dat betekent dat: – de terugroepkracht, net zoals de versnelling, het grootst is in de twee uiterste punten; – de krachtfunctie een sinusoïdaal verloop vertoont met dezelfde periode en frequentie als de uitwijking.

• In het evenwichtspunt is de uitwijking en dus ook de terugroepkracht nul. De oscillator blijft echter verder bewegen tot voorbij het evenwichtspunt door zijn traagheid. Voorbij het evenwichtspunt is de terugroepkracht opnieuw verschillend van nul, maar deze keer in tegengestelde zin

Proefversie©VANIN

▲ Afb. 14 Een voorstelling van de uitwijkingsvector, de versnellingsvector en de krachtvector bij een verticaal en bij een horizontaal massa-veersysteem

CONCEPTVRAGEN

▲ Afb. 15 Een grafische voorstelling van de uitwijkings-, versnellingsen krachtfunctie van een harmonische trilling Bekijk de drie inleidende voorbeelden op p. XXX opnieuw.

1 In welke punten is de grootte van de terugroepkracht maximaal?

2 In welke punten is de terugroepkracht gelijk aan nul?

3 In welke punten is de grootte van de versnelling maximaal?

4 In welke punten is de versnelling gelijk aan nul?

Verklaar.

• Kun je een kracht beschrijven met een krachtcomponent van de vorm F y = –C · y(t), dan is de bijbehorende beweging altijd een harmonische trilling.

• Je noemt een dergelijke kracht een terugroepkracht, omdat haar zin altijd naar het evenwichtspunt van het trillende systeem wijst.

• De constante hangt af van het trillende systeem en wordt soms ook de krachtconstante genoemd.

2.2 Het verband tussen de eigenfrequentie en de terugroepkracht

▲ Afb. 16

De eigenfrequentie waarmee de duikplank na een sprong blijft natrillen, hangt af van de eigenschappen van de duikplank.

▲ Afb. 17

Bij een metronoom kun je de eigenfrequentie en de eigenperiode veranderen door een massa te verschuiven en zo de eigenschappen van het trillende systeem te veranderen. Muzikanten gebruiken het toestel om de maat aan te geven.

▲ Afb. 18

De Skylab 3-astronaut Alan L. Bean wordt in de ruimte gewogen met het Body Mass Measurement Device. Dat is een massa-veersysteem dat trilt met een eigenfrequentie die afhangt van de eigenschappen van het systeem, en dus ook van de massa van de astronaut.

Bij een vrije trilling trilt een systeem altijd met dezelfde natuurlijke frequentie, die eigen is aan het systeem. Die eigenfrequentie hangt af van de eigenschappen van het trillende systeem. Uit de uitdrukking voor de terugroepkracht van het trillende systeem kun je de eigenfrequentie en de eigenperiode berekenen.

Voor de krachtcomponent van een terugroepkracht geldt: F y = –C · y(t) (1)

Uit de tweede wet van Newton volgt:

y(t) = m

ay(t) = –m

A

Uit de uitdrukkingen (1) en (2) volgt:

C = –m · ω2 ω2 = C m ω = C m

Proefversie©VANIN

y(t) (2)

Uit de relatie tussen de pulsatie en de frequentie van een trillend systeem volgt:

De eigenperiode is dan:

T = 1 f = 2 · π · m C

Een trillend systeem trilt altijd met de frequentie f = 1 2 · π · C m . Dat is de eigenfrequentie van het systeem. Die formule bevestigt de waarnemingen uit hoofdstuk 1:

• De eigenfrequentie hangt niet af van de amplitude van het trillende systeem.

• De eigenfrequentie is eigen aan het systeem via een constante C, die eigen is aan het systeem.

In de volgende paragrafen bestudeer je de krachtwerking en de eigenfrequentie van een massaveersysteem en een slinger.

De eigenfrequentie van een trillend systeem is f = 1 2 · π · C m

De constante in de uitdrukking voor de eigenfrequentie hangt af van het trillende systeem.

Een collega-astronaut van Alan L. Bean neemt plaats in het Body Mass Measurement Device. De collega-astronaut heeft een grotere massa dan Alan L. Bean.

Zal het Body Mass Measurement Device trillen met een grotere of een kleinere frequentie?

2.3 Kracht en eigenfrequentie bij een massa-veersysteem

A Kracht en eigenfrequentie bij een horizontaal massa-veersysteem

Proefversie©VANIN

VOORBEELD EEN AUTOOTJE TUSSEN TWEE VEREN 0 F y a r

▲ Afb. 19 Een vectoriële voorstelling van de kracht bij een trillend horizontaal massa-veersysteem

Een autootje tussen twee gelijke veren is een voorbeeld van een horizontaal massa-veersysteem. Als je de wrijving verwaarloost, werkt enkel de (samengestelde) veerkracht op het autootje in.

De veerkracht zorgt er telkens opnieuw voor dat het autootje naar het evenwichtspunt wordt geduwd of getrokken. Het resultaat is een eigentrilling waarvan de frequentie afhangt van de eigenschappen van het massa-veersysteem, namelijk de massa van het autootje en de veerconstante van de veren.

Bij een trillend horizontaal massa-veersysteem werkt enkel de veerkracht op de massa in, als je de wrijving verwaarloost. Je kunt de uitdrukking voor de kracht schrijven met de wet van Hooke:

Fv(t)= –k · r(t) = –k · y(t) · e y

Daarbij is k de veerconstante.

De veerkracht is een terugroepkracht. De krachtconstante C is gelijk aan de veerconstante k.

Voor de eigenfrequentie van een horizontaal massa-veersysteem bekom je:

f = 1 2 · π · k m

De eigenperiode wordt:

T = 2 · π · m k

XX LABO

B Kracht en eigenfrequentie bij een verticaal massa-veersysteem

Bij een verticaal massa-veersysteem werkt niet alleen de veerkracht, maar ook de zwaartekracht in op de oscillator. Hang je een massablokje aan een veer, dan rekt de veer uit door de zwaartekracht op het massablokje. Het massablokje is in rust in het evenwichtspunt van de uitgerekte veer (zie afbeelding XXX, b). Als je het blokje uit evenwicht brengt en loslaat, begint het te trillen. Dat leidt tot de volgende vragen:

• Wat is de invloed van de zwaartekracht op de verschuiving van het evenwichtspunt van het massa-veersysteem?

• Wat is de invloed van de zwaartekracht op de eigenfrequentie van het trillende massa-veersysteem?

Proefversie©VANIN

veer in rust: onbelaste toestand

uitgerekte veer door massa trilling rond het evenwichtspunt van de uitgerekte veer

▲ Afb. 20 Een vectoriële voorstelling van de kracht bij een trillend verticaal massa-veersysteem

1 Invloed van de zwaartekracht op het evenwichtspunt

Als je een massablokje m aan een verticaal opgehangen veer bevestigt, zal de veer uitrekken over een afstand |∆l|. Het evenwichtspunt verschuift over een afstand |∆l| naar beneden.

Je kunt het evenwichtspunt vinden met de eerste wet van Newton.

Op het massablokje werken de opwaartse veerkracht F v en de neerwaartse zwaartekracht F z De massa is in het evenwichtspunt in rust, en dus is de resulterende kracht F res op de massa nul:

F res = F z + F v = 0

Voor een uitwijkingsas verticaal naar beneden geldt voor de krachtcomponenten:

F res, y = F z, y + F v, y = m · g – k · |∆l| = 0

Dat betekent dat het evenwichtspunt over een afstand |∆l| = m · g k naar beneden verschuift als gevolg van de zwaartekracht.

2 Invloed van de zwaartekracht op de eigenfrequentie

Als het blokje uit evenwicht wordt gebracht en dan wordt losgelaten, gaat het trillen rond zijn evenwichtstoestand. De afstand waarover de veer wordt uitgerekt, is dan gelijk aan |∆l| + y(t), met y(t) de uitwijking.

De y-component van de veerkracht wordt dan:

F v, y(t) = –k · (|∆l| + y(t))

Proefversie©VANIN

Daarbij is y > 0 voor posities onder het evenwichtspunt en y < 0 voor posities boven het evenwichtspunt.

De resulterende krachtcomponent volgens de uitwijkingsas wordt:

F res, y(t) = F z, y + F v, y(t) = m · g – k · (|∆l| + y(t))

Doordat de uitrekking |∆l| = m · g k , wordt dat:

F res, y(t) = m · g – k · ( m · g k + y(t)) = m · g – m · g – k · y(t) = –k · y(t)

De y-component van de resulterende kracht F res, y(t) = F z, y + F v, y(t) is dus:

F res, y(t) = –k · y(t)

De vectoriële uitdrukking voor de resulterende kracht wordt:

Fres(t) = –k · y(t) · e y = –k · r(t)

Die uitdrukking is onafhankelijk van de zwaartekracht en identiek aan de uitdrukking voor een horizontaal massa-veersysteem.

Dat betekent dat de eigenfrequentie en de eigenperiode van een verticaal massaveersysteem gelijk zijn aan die van een horizontaal massa-veersysteem:

f = 1 2 · π · k m en T = 2 · π · m k

De zwaartekracht heeft geen invloed op de eigenfrequentie van een massa-veersysteem.

CONCEPTVRAAG

Waarom is het Body Mass Measurement Device van het voorbeeld op p. XXX een voorbeeld van een horizontaal massa-veersysteem, en niet van een verticaal massa-veersysteem?

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een massa van 50 g hangt aan een verticaal opgestelde veer. Een leerling trekt de massa naar beneden en laat ze los. De massa beweegt nu op en neer om de evenwichtsstand met een amplitude van 10 cm en een periode van 0,60 s.

Bereken:

1 de eigenfrequentie van het trillende systeem; 2 de grootte van de maximale kracht op de massa.

Gegeven:

Proefversie©VANIN

• m = 50 g

• A = 10 cm

• T = 0,60 s

Gevraagd: 1 f = ?

2 F y, max = ?

Oplossing: 1 Voor de frequentie geldt:

f = 1 T , dus f = 1 T = 1 0,60 s = 1,7 Hz

2 Voor de veerkracht geldt de wet van Hooke:

Fy(t) = –k · y(t), met k de veerconstante

Dat betekent dat F y, max = k · ymax = k · A.

De massa voert een trilling uit met als eigenperiode T = 2 · π · m k

Daaruit kun je de veerconstante bepalen: k = m · ( 2 · π T )2 = 0,050 kg · ( 2 · π 0,60 s )2 = 5,5 N m

Daaruit volgt:

F y, max = k · A = 5,5 N m · 0,10 m = 0,55 N

Reflectie: Vergelijk die kracht met de zwaartekracht op de massa. Zijn die krachten van dezelfde grootteorde?

F y, max = 0,55 N is van dezelfde grootteorde als de zwaartekracht: F z ≈ 0,50 N.

Zowel bij een horizontaal als bij een verticaal massa-veersysteem kun je de resulterende krachtcomponent volgens de uitwijkingsas als volgt schrijven: F res, y(t) = –k · y(t)

Een massa aan een veer oefent dus een harmonische trilling uit.

De eigenfrequentie is f = 1 2 · π · k m .

De eigenperiode is T = 2 · π · m k

De zwaartekracht heeft geen invloed op de eigenfrequentie van het systeem en zorgt er enkel voor dat het evenwichtspunt bij een verticaal systeem lager ligt dan bij een niet-uitgerekte veer.

2.4 Kracht en eigenfrequentie bij een slinger

Sommige uurwerken worden gestuurd door een slinger die met zijn eigenperiode een maat is voor de aangegeven tijd.

Een metronoom is een regelbare slinger. Je kunt de eigenfrequentie aanpassen door het blokje te verschuiven en zo de slingerlengte te veranderen.

Galileo Galilei nam waar dat de eigenperiode van de slingerbeweging niet afhangt van de uitwijking.

Proefversie©VANIN

Een slinger beweegt heen en weer tussen twee uiterste punten. De slingerbeweging is een trilling. Om de slinger te beschrijven, gebruik je het model van de (wiskundige) slinger. Een wiskundige slinger bestaat uit een kleine massa, de slingermassa, die aan het uiteinde van een touw hangt. De massa van het touw is verwaarloosbaar ten opzichte van de slingermassa. Je kunt het touw niet uitrekken.

Is het ook een harmonische trilling? Om dat te weten te komen, bestudeer je de krachten die inwerken op een slinger.

1 Uitwijking van de slinger

De slinger beweegt in het verticale vlak van het blad. De uitwijkingsas wordt horizontaal door het evenwichtspunt gekozen en wijst naar rechts. De evenwichtspositie bevindt zich onder het ophangpunt en stemt overeen met de positie van de massa in rust.

De uitwijking wordt gemeten langs de baan. Bij een slinger is de uitwijking y dus gelijk aan de booglengte s: y = s = l · θ, waarbij l de lengte van het touw (in meter) en θ de hoek tussen het touw en de verticale as (in radialen) is.

Voor kleine hoeken θ (typisch kleiner dan ≈ 15° = 0,08 rad) geldt dat sin θ ≈ θ.

Daarom kun je de uitwijking y van de slinger bij kleine hoeken benaderen als de projectie van de booglengte op de uitwijkingsas: y = l · θ ≈ l · sin θ

Afb. 24 De uitwijking bij een slinger

De booglengte is de afstand gemeten langs een cirkelboog. De lengte kun je berekenen als R · θ, met R de straal van de cirkel en θ de corresponderende middelpuntshoek uitgedrukt in radialen.

▲ Afb. 21

▲ Afb. 22

▲ Afb. 23

XX LABO

2 Krachten bij een slingerbeweging

Op de slingermassa werken twee krachten in: de zwaartekracht F z en de spankracht F s . De resulterende kracht is gelijk aan F res = F z + F s

Je bestudeert nu of de resulterende kracht een terugroepkracht is, door de resulterende kracht eerst te ontbinden in haar normaalcomponent en haar tangentiële component.

• De normaalcomponent van de resulterende kracht

Voor kleine hoeken θ is de slingerbeweging (benaderend) eendimensionaal.

De normaalcomponent van de resulterende kracht F res, n is dus (benaderend) gelijk aan nul, omdat er geen richtingsverandering plaatsvindt bij eendimensionale bewegingen:

F res, n = F z, n + F s, n ≈ 0

• De tangentiële component van de resulterende kracht

Voor kleine hoeken θ valt de tangentiële richting van de resulterende kracht (benaderend) samen met de richting van de uitwijkingsas. Dan geldt: F res, t ≈ F res, y

De spankracht staat loodrecht op de cirkelboog en heeft een tangentiële component gelijk aan nul. De zwaartekracht heeft een tangentiële component verschillend van nul.

De tangentiële component van de resulterende kracht wordt:

F res, t = F z, t + F s, t = F z, t + 0 = F z, t ≈ F res, y

De tangentiële component van de zwaartekracht is gelijk aan (zie afbeelding XXX):

F z, t = –F z · sin θ = –m · g · sin θ

De resulterende tangentiële krachtcomponent is dan gelijk aan:

F res, t = F z, t = –m · g · sin θ ≈ F res, y

Voor kleine hoeken geldt benaderend:

F res, t ≈ –m · g · θ ≈ F res, y

Uit de relatie y = l · θ volgt dat θ = y l .

Door die uitdrukking voor θ in te vullen in de uitdrukking voor de y-component van de resulterende kracht, krijg je:

F res, y ≈ –m · g · y l

Voor kleine hoeken θ heeft de resulterende kracht bij een slingerbeweging dus een y-component van de vorm F res, y ≈ –C · y, met krachtconstante C = m · g l

• De vectoriële uitdrukking voor de resulterende kracht

▲ Afb. 25 Een voorstelling van de krachten die inwerken op een slingermassa

Proefversie©VANIN

De vectoriële uitdrukking van de resulterende kracht is gelijk aan:

F res ≈ F res, y(t) · e y ≈ –m · g l · y(t) · e y ≈ –m · g l · r(t) ≈ –C · r(t)

Voor kleine hoeken θ is de resulterende kracht bij een slingerbeweging een terugroepkracht. De slingerbeweging is een harmonische trilling. 0 y l θ P F s F z Fz, t Fz, t θ

3 De eigenfrequentie van een slingerbeweging

Doordat de slingerbeweging een harmonische trilling is, kun je de eigenfrequentie op een analoge manier berekenen als bij een massa-veersysteem.

Voor de eigenfrequentie geldt:

f = 1 2 · π · C m = 1 2 · π

Daaruit volgt de eigenperiode:

T = 1 f = 2 · π · l g

Proefversie©VANIN

De eigenfrequentie van een slinger hangt dus enkel af van de slingerlengte l, en bijvoorbeeld niet van de slingermassa of de grootte van de beginuitwijking.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een lamp van 10,0 kg slingert in de kathedraal van Gent heen en weer aan een kabel met een lengte van 15,0 m. Bepaal voor de slingerbeweging van de lamp:

1 de eigenfrequentie; 2 de eigenperiode.

Gegeven: • m = 10,0 kg

• l = 15,0 m

Gevraagd: 1 f = ?

2 T = ?

Oplossing: 1 De eigenfrequentie

2 De eigenperiode bedraagt T = 1 f = 1 0,197 Hz = 5,08 s.

Reflectie: Zijn die waarden realistisch? Overleg met je buur. Ja, een periode van 5,08 s is realistisch.

Het betekent dat de lamp in vijf seconden een heen-en-weerbeweging uitvoert.

De eigenfrequentie van een slinger is: f = 1 2

π · g l

De eigenperiode is:

T = 2 · π · l g

Een sloopkogel (of wrecking ball in het Engels) is een zware kogel aan een slinger die, dankzij zijn energie, gebouwen kan slopen.

Bij resonantie heeft het trillende systeem een grote amplitude en heel veel energie.

Proefversie©VANIN

Als iemand aan een touw heen en weer slingert boven het water, dan wordt zijn potentiële energie omgezet in kinetische energie en zijn kinetische energie opnieuw in potentiële energie.

Volgens de wet van behoud van energie blijft de mechanische energie van een gesloten systeem, en dus ook van een trillend systeem of punt, constant (als je de wrijving verwaarloost). Omdat de snelheid van een trillend punt niet constant is, is ook de kinetische energie van dat punt niet constant. Tijdens de trilling wordt de kinetische energie omgezet in potentiële energie, en de potentiële energie in kinetische energie, waarbij de som van de potentiële energie en kinetische energie constant blijft.

CONCEPTVRAGEN

1 Een jongen aan een touw begint zijn slingerbeweging door van een platform op grote hoogte te springen.

a Welke vorm van energie heeft de jongen bij het begin van de slingerbeweging?

b In welk punt is die energie volledig omgezet naar een andere vorm van mechanische energie?

c Welke energieomzetting gebeurt er als de jongen na het punt uit vraag b zijn slingerbeweging voortzet?

2 Een jongen aan een touw begint zijn slingerbeweging in het evenwichtspunt doordat iemand hem een beginsnelheid geeft.

a Welke vorm van energie heeft de jongen bij het begin van de slingerbeweging?

b In welk punt is die energie volledig omgezet naar een andere vorm van mechanische energie?

c Welke energieomzetting gebeurt er als de jongen na het punt uit vraag b zijn slingerbeweging voortzet?

Voor een massa-veersysteem kun je de totale mechanische energie eenvoudig uitrekenen.

De kinetische energie Ekin is:

Ekin(t) = 1 2 · m · v y2(t) = 1 2 · m

(A · ω · cos2(ω · t + φ0)) = 1 2

De potentiële energie E pot van een massa aan een veer is:

Epot(t) = 1 2 · k · y2(t) = 1 2 · k · (A · sin2(ω · t + φ0)) = 1 2 · m · ω2 · A2 · sin2(ω · t + φ0)

0)

totale mechanische energie Emech van het massa-veersysteem is gelijk aan:

mech = Ekin(t) +

)

Proefversie©VANIN

▲ Grafiek 4 De kinetische, potentiële en mechanische energie van een massa-veersysteem in functie van de tijd bij een beginfase φ0 = 0

VOORBEELD DE ENERGIE BIJ EEN HORIZONTAAL MASSA-VEERSYSTEEM

Een massa aan een veer voert een horizontale harmonische trilling uit.

• In het evenwichtspunt is de uitwijking y gelijk aan nul en de snelheidsgrootte v maximaal.

De potentiële energie E p is minimaal en de kinetische energie Ek is maximaal.

• Verwijdert de massa zich van het evenwichtspunt, dan neemt de grootte van de uitwijking y toe en de snelheidsgrootte v af. De potentiële energie E p neemt toe en de kinetische energie Ek neemt af. De totale mechanische energie Emech blijft constant.

mechanische energie potentiële energie

▲ Afb. 29 De energie bij een massa-veersysteem

• Bereikt de massa het uiterste punt (+A of –A), dan is de grootte van de uitwijking y maximaal en de snelheidsgrootte v gelijk aan nul. De potentiële energie E p is maximaal en de kinetische energie Ek is nul.

• Keert de massa van het uiterste punt terug naar het evenwichtspunt, dan neemt de snelheidsgrootte v opnieuw toe en de grootte van de uitwijking y af. De kinetische energie Ek neemt opnieuw toe en de potentiële energie E p neemt af.

• De massa komt opnieuw door het evenwichtspunt, waar de potentiële energie E p minimaal en de kinetische energie Ek maximaal is.

TIP

Je kunt de energie bij massa-veersystemen bestuderen met behulp van de applets.

applet: massaveersysteem

applet: wet van Hooke

Je kunt de formule voor de totale mechanische energie veralgemenen voor een willekeurige harmonische oscillator door de veerconstante te vervangen door de krachtconstante van de terugroepkracht:

Emech = 1 2 · C · A2

De totale mechanische energie van een trillend systeem hangt dus af van de krachtconstante van dat systeem en van de amplitude van de trilling. De berekeningen bevestigen dat de totale mechanische energie constant blijft in functie van de tijd.

VOORBEELD MECHANISCHE ENERGIE BIJ RESONANTIE

▲ Afb. 30 De instorting van de Tacoma Narrows Bridge in 1940

Proefversie©VANIN

Bij resonantie wordt de amplitude van de trilling erg groot door positieve interferentie tussen de eigentrilling en de trilling van de uitwendige kracht. Doordat de mechanische energie recht evenredig is met de amplitude in het kwadraat, Emech ~ A2, bezit een systeem in resonantie erg veel mechanische energie. In 1940 werd de mechanische energie van de Tacoma Narrows Bridge zo groot dat de brug instortte.

De totale mechanische energie van een harmonische oscillator is constant en gelijk aan:

Emech = Ek(t) + Ep(t) = 1 2 · C · A2

De energie hangt af van de krachtconstante van het trillende systeem en van de amplitude.

VOORBEELDVRAAGSTUK

Een bungeespringster met een massa van 73,0 kg voert net na de sprong (bij benadering) een harmonische trilling uit met een maximale uitwijking van 10,0 m. In 6,00 s gaat ze van het laagste punt naar het hoogste punt.

Bereken:

1 de kinetische en de potentiële energie van de springster in het evenwichtspunt;

2 de kinetische en de potentiële energie in het laagste punt;

3 de totale mechanische energie.

Gegeven:

Proefversie©VANIN

• m = 73,0 kg

• A = 10,0 m

• T 2 = 6,00 s

Gevraagd: 1 Ek en E p als y = 0 m

2 Ek en E p in het laagste punt = ?

3 Emech = ?

Oplossing: Je kiest de zin van de uitwijkingsas naar beneden.

1 In het evenwichtspunt is de potentiële energie E p gelijk aan nul, want y = 0 m.

De kinetische energie is maximaal, omdat de grootte van de snelheid er maximaal is:

Ek = 1 2 · m · A2 · ω2

De pulsatie is ω = 2 · π T , met de periode T = 2 · 6,00 s = 12,00 s. ω = 2 · π 12,00 s

Dus:

Ek = 1 2 · m · A2 · ω2 = 1 2 · 73,0 kg · (10,0 m)2 · ( π 6,00 s )2 = 1,00 · 103 J = 1,00 kJ

2 In het laagste punt is er geen kinetische energie, want v y = 0 m s

De elastische potentiële energie E p is in dat punt maximaal, omdat de uitwijking er maximaal is:

E p = 1 2 · m · A2 · ω2

Dus:

E p = Emech = 1 2 · m · A2 · ω2 = 1 2 · 73,0 kg · (10,0

3 De totale mechanische energie is in elk punt gelijk aan:

Emech = Ek + E p

In het evenwichtspunt geldt:

Emech = 1,00 · 103 J + 0 = 1,00 · 103 J

In het laagste punt geldt:

Emech = 0 + 1,00 · 103 J = 1,00 · 103 J

De totale mechanische energie is dus:

Emech = 1,00 · 103 J = 1,00 kJ

Reflectie: Is de grootteorde van die kinetische en potentiële energie realistisch? Ja, een energiewaarde van ongeveer 1,00 kJ is realistisch voor een massa van 73,0 kg.

In het laagste punt en in het evenwichtspunt is de waarde van de totale mechanische energie hetzelfde, wat moet volgens de wet van behoud van energie.

REEKS

Wie heeft gelijk? Verklaar.

Anna: Hoe snel je gaat, hangt af van je massa. Yara: Ik ga overal even snel.

Ik ga het snelst als ik het hoogst ben.

De onderstaande grafiek stelt de uitwijkingsfunctie van een harmonische oscillator voor.

y (m) Q P R S t (s)

Een harmonische oscillator trilt met deze uitwijkingsfunctie:

y(t) = 2,00 m · sin(π s–1 · t + π 6 )

a Bepaal de uitdrukking voor de snelheids- en versnellingscomponent van de oscillator op een willekeurig tijdstip t.

b Wat zijn de uitwijking, de snelheidscomponent en de versnellingscomponent van de oscillator op het tijdstip t = 1,00 s?

c Wat zijn de maximale snelheidscomponent en versnellingscomponent?

Een massa trilt op en neer aan een spiraalveer volgens de weergegeven grafiek.

Proefversie©VANIN

a Neem de tabel over en vul aan met <, > of =.

PUNT P y 0 v y 0 a y 0

PUNT Q y 0 v y 0 a y 0

PUNT R y 0 v y 0 a y 0

PUNT S y 0 v y 0 a y 0

b Verklaar je antwoord.

a Noteer de uitwijkingsfunctie van die harmonische trilling

b Noteer de corresponderende snelheidsfunctie.

c Welke curve stelt de corresponderende vy(t)grafiek voor?

Siem:

David: Je staat stil in het hoogste punt.

A B

C D

Maak de uitspraken correct door ze aan te vullen met ‘altijd’, ‘soms’ of ‘nooit’.

Verklaar je keuze.

a De harmonische trilling is een vertraagde beweging.

b De uitwijking en de snelheidscomponent van een harmonische oscillator zijn op hetzelfde ogenblik nul.

c De versnelling is nul in het evenwichtspunt van een harmonische trilling.

d De maximale snelheidsgrootte van een harmonische oscillator hangt af van de periode van de trilling.

e De uitwijkingsvector van en de kracht die inwerkt op een harmonische oscillator, hebben dezelfde zin.

Een jongen met een massa van 30,0 kg springt rond op een pogostick. De massa van de pogostick is 2,5 kg en de veerconstante van de ingesloten veer is 9,00 kN m . Bepaal:

a de eigenfrequentie van de pogostick; b de tijdsduur van één sprongetje.

Een mechanische klok wordt aangedreven door een massa aan een veer die op en neer beweegt.

Bij welke veerconstante is de periode 0,50 s voor een massa van 0,010 kg?

Een auto (m = 1 500 kg) heeft vier schokdempers (elk met een veerconstante van 22,0 kN m ).

a Bepaal de eigenfrequentie:

1 als twee vrienden (samen een massa van 150 kg) samen in de auto over een oneffenheid rijden;

2 als de twee vrienden de stilstaande auto naar beneden duwen en loslaten.

b Vergelijk je resultaten bij vraag a.

Komen ze overeen met wat je verwacht?

Diverse blokjes aan verschillende veren worden op t = 0 s vanuit de weergegeven positie losgelaten op aarde en in een ruimtestation. De stippellijn geeft de lengte van de onbelaste veer aan. Rangschik de harmonische trillingen volgens toenemende periode.

Tijdens een trapezeact vangt een circusartiest zijn collega op zoals op de afbeelding.

Welke uitspraak is correct nadat de artiest zijn collega heeft opgevangen? Verklaar je antwoord. (Er zijn meerdere antwoorden mogelijk.)

a De eigenfrequentie van de trilling verandert niet.

b De eigenfrequentie van de trilling neemt af, omdat de massa toeneemt.

c De eigenfrequentie van de trilling neemt af, omdat de slingerlengte toeneemt.

d De eigenperiode van de trilling neemt af, omdat de massa toeneemt.

e De eigenperiode van de trilling neemt toe, omdat de slingerlengte toeneemt.

Wie heeft gelijk? Verklaar je antwoord.

A B C

Om de eigenfrequentie van een slinger te verdubbelen, moet je de slingerlengte halveren.

Nee, je moet de slingerlengte verdubbelen om de eigenfrequentie te verdubbelen.

Toch niet: je verdubbelt de eigenperiode als je de slingerlengte verdubbelt.

D E

Volgens mij moet je de slingerlengte verviervoudigen om de eigenfrequentie te verdubbelen.

Dat klopt niet. Als je de slingerfrequentie verviervoudigt, verdubbel je de eigenperiode.

Het massamiddelpunt van een meisje op een schommel is 3,12 m verwijderd van de rotatieas van de schommel. In welke tijdsduur gaat het meisje van het voorste hoogste punt naar het achterste hoogste punt?

Christiaan Huygens (1629-1695) stelde ooit voor om de SI-eenheid voor lengte te definiëren als de slingerlengte die nodig is voor een slingerperiode van 1,00 s.

a Aan hoeveel meter zou de SI-eenheid van Huygens gelijk zijn geweest?

b Is het een goed idee om de SI-eenheid voor lengte op die manier te definiëren? Verklaar je antwoord.

De amplitude van een harmonische trilling wordt verdubbeld. Hoe veranderen de volgende grootheden? Verklaar. a de periode b de maximale snelheidsgrootte c de maximale versnellingsgrootte d de totale mechanische energie

Een voorwerp voert een harmonische trilling uit met φ0 = π. Je meet de onderstaande grafieken op.

Proefversie©VANIN

a Vul de grootheid op de verticale as aan voor elke grafiek. Kies uit: y, vy, ay, Ekin en Epot.

b Bepaal voor elke grafiek de grootte van de maximale waarde in symbolen.

c Teken de Emech(t)-grafiek.

Een bungeespringster met een massa van 63,0 kg voert (bij benadering) een harmonische trilling uit met een maximale uitwijking van 10,0 m. Ze passeert om de 6,00 s het evenwichtspunt.

Bereken de kinetische en de potentiële energie van de trilling:

a in het evenwichtspunt;

b op het laagste punt.

REEKS

Als je een stemvork aanslaat, trillen de uiteinden van de benen met een uitwijking die beschreven wordt door y(t) = 2,4 mm · sin(880 · π s–1 · t). Op tijdstip t1 geldt dat y(t1) = 1,2 mm. Bereken op dat tijdstip:

a de snelheidscomponent van een uiteinde; b de versnellingscomponent van een uiteinde.

Hoge torens vangen veel wind, waardoor ze heen en weer zwaaien. Zo tonen berekeningen aan dat de top van Burj Khalifa in Dubai (160e verdieping op 828 m hoogte) 2,5 m uitwijkt bij de maximaal te verwachten windsnelheid van 300 km h . Op de hoogste toegankelijke verdieping – de 124e – is de uitwijking ‘maar’ 75 cm.

Voor het comfort van de bewoners telt niet zozeer de uitwijking van het gebouw, maar wel de versnelling waarmee het gebouw beweegt. Die moet beperkt blijven tot 0,20 m s2 .

a Waarom is de toren smaller naar boven toe?

b Waarom is niet de uitwijking, maar wel de versnelling van belang?

c Waaraan is de maximale versnelling op de 124e verdieping gelijk, als de eigenperiode van de toren 12 s bedraagt? Is dat nog comfortabel voor de bewoners?

Welke van de volgende uitspraken zijn juist? Verklaar je antwoord. (Er zijn meerdere antwoorden mogelijk.)

a Rubberen pootjes onder de wasmachine dempen de trilling. De amplitude van de trilling wordt kleiner en dus ook de (opwaartse) versnelling. Als de demping groot genoeg is, komt de wasmachine niet meer los van de grond.

b Rubberen pootjes onder de wasmachine dempen de trilling. De frequentie van de trilling wordt kleiner en dus ook de (opwaartse) versnelling. Als de demping groot genoeg is, komt de wasmachine niet meer los van de grond.

c Door een droogkast op de wasmachine te plaatsen, neemt de frequentie van de trilling af. De (opwaartse) versnelling neemt af. Als de droogkast zwaar genoeg is, komt de wasmachine niet meer los van de grond.

Een massa van 300 g hangt aan een veer en beweegt op en neer met een periode van 0,80 s. Welke massa moet je toevoegen om de periode te verlengen tot 1,20 s?

Een slinger heeft op aarde een periode van 1,25 s. Wat is zijn periode op de maan? De valversnelling op de maan is gelijk aan 1,62 m s2

Proefversie©VANIN

Bekijk in de video wat er kan gebeuren als een wasmachine begint te centrifugeren. Ze kan veel lawaai veroorzaken, doordat ze loskomt van de grond of doordat de spullen die op de wasmachine staan, opwippen. Bij het loskomen van de grond is de opwaartse versnelling van de trillingen die worden veroorzaakt door de motor, groter dan de valversnelling.

Voor welke uitwijking van de harmonische oscillator bestaat de totale energie voor de helft uit kinetische energie en voor de helft uit potentiële energie?

a y = 1 2 · A

b y = 2 2 · A

c y = 1 4 · A

d Dat hangt af van de krachtconstante.

▲Burj Khalifa

REEKS

Een massa m hangt aan een veer met veerconstante k. De veer heeft een uitrekking van 12 cm. Iemand trekt de massa verder naar beneden en laat ze los, zodat het systeem begint te trillen. Met welke frequentie trilt dat massa-veersysteem?

In de onderstaande tabel zie je meetgegevens van een massa-veersysteem. Daarbij is de periode gemeten voor verschillende massa’s.

m (g) T (s)

10 0,12

20 0,17

30 0,21

40 0,24

50 0,27

60 0,30

70 0,32

80 0,34

90 0,36

a Maak een grafiek van de gegevens (bijvoorbeeld in Excel). Kies de grootheden op de assen zo dat je een rechte bekomt.

b Bereken de veerconstante k op basis van de grafiek.

Een waarzegger wandelt met een slinger een lift binnen. Die slinger is 20,0 cm lang. Het bolletje aan het uiteinde heeft een massa van 50 g. De waarzegger meet dat de slingerperiode in de versnellende lift 0,050 s kleiner is dan de slingerperiode in de stilstaande lift.

Proefversie©VANIN

a Bereken de slingerperiode in de stilstaande lift.

b Hoe komt het dat de periode verandert als de lift versnelt?

c Versnelt de lift naar boven of naar beneden? Verklaar je antwoord.

d Hoe groot is de versnelling van de lift?

De conus van een luidspreker produceert een zuivere do-klank (262 Hz) met een maximale uitwijking op t = 0 s. Op welk tijdstip is Ekin = 1 4 · k · A2? Verklaar.

a t = 0 ms

b t = 0,318 ms

c t = 0,477 ms

d t = 0,954 ms

e t = 1,91 ms

Meer oefenen? Ga naar .

v y ( ) m s a y ( ) m s2 T 2 T 2 T 2

TERUGROEPKRACHT

De uitwijkings-, snelheids- en versnellingsfunctie zijn goniometrische functies met dezelfde periode en dezelfde frequentie

• De snelheidsfunctie is verschoven ten opzichte van de uitwijkingsfunctie met een faseverschil van π 2

Dat komt overeen met een verschuiving van een kwartperiode.

• De versnellingsfunctie is verschoven ten opzichte van de uitwijkingsfunctie met een faseverschil van π

Dat komt overeen met een verschuiving van een halve periode.

Er geldt: ay(t) = –ω2 · y(t) = –constante · y(t)

SNELHEIDS- EN VERSNELLINGSFUNCTIE BIJ EEN HARMONISCHE OSCILLATOR y (m) t (s) T T T t (s) t (s)

• v y, max = A · ω en

• a y,

A de amplitude en ω de pulsatie

EIGENFREQUENTIE

Proefversie©VANIN

• Een terugroepkracht is een kracht van de vorm F(t) = –C · r(t). De constante C noem je de krachtconstante.

• De kracht op een harmonische oscillator is altijd een terugroepkracht. Omgekeerd is de beweging bij een terugroepkracht altijd een harmonische trilling.

Voor de uitwijkingsvector en de terugroepkracht geldt:

• De zin is tegengesteld. De terugroepkracht wijst bijgevolg altijd naar het evenwichtspunt van de harmonische trilling.

• De grootte is recht evenredig: hoe groter de uitwijking, hoe groter de terugroepkracht en omgekeerd.

TOTALE MECHANISCHE ENERGIE

De eigenfrequentie van een trillend systeem is f = 1 2

De eigenperiode van een trillend systeem is T = 1 f = 2

Daarbij is C de krachtconstante en m de massa van het trillende voorwerp.

Massa-veersysteem

f = 1 2 · π · k m en T = 2 · π · m k

Daarbij is de krachtconstante gelijk aan de veerconstante k

De totale mechanische energie van een harmonische oscillator is constant en gelijk aan:

Emech = Ek(t) + E p (t) = 1 2 · C · A2

De energie hangt af van:

• de krachtconstante C van het trillende systeem;

• de amplitude.

Massa-veersysteem

Ev, mech = 1 2 · k · A2

Daarbij is de krachtconstante gelijk aan de veerconstante k. HOOFDSTUKSYNTHESE

Slinger f = 1 2 · π · g l en T = 2 · π · l g

Daarbij is de krachtconstante gelijk aan m · g l , met l de slingerlengte.

Proefversie©VANIN