I VO D E PAUW EN B IEKE M ASSELIS
WISKUNDE VOOR IT
Derde herziene druk: juni 2014 Tweede herziene druk: juni 2012 Eerste druk: maart 2010 Foto’s: Hoofdstuk 1, David Ritter; Hoofdstuk 2, Wouter Tansens; Hoofdstuk 3, Daryl Beggs, Juan Pablo Arancibia Medina; Hoofdstuk 4, Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 5, Filip Joos; Hoofdstuk 6, Wouter Tansens, Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 7, Wouter Tansens; Hoofdstuk 8, Wouter Tansens; Hoofdstuk 9, Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 10, Wouter Verweirder; Hoofdstuk 11, Wouter Tansens; Hoofdstuk 12, Wouter Tansens, Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 13, Brecht Wyseur; Hoofdstuk 14, Wouter Tansens; Hoofdstuk 15, Wouter Tansens, Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 16, Wouter Tansens, Sofie Eeckeman; p.27, 71, 73, Bieke Masselis; p.82, 353, Wouter Verweirder; p.341, Anneleen Tansens. D/2014/45/465 – ISBN 978 94 014 2100 3 – NUR 918 Vormgeving cover en binnenwerk: Jurgen Leemans Omslagontwerp: Jan Middendorp, in samenwerking met Ellen Deketele © Ivo De Pauw, Bieke Masselis & Uitgeverij Lannoo nv, Tielt, 2010. Uitgeverij LannooCampus maakt deel uit van Lannoo Uitgeverij, de boeken- en multimediadivisie van Uitgeverij Lannoo nv. Alle rechten voorbehouden. Niets van deze uitgave mag verveelvoudigd worden en/of openbaar gemaakt, door middel van druk, fotokopie, microfilm, of op welke andere wijze dan ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Uitgeverij LannooCampus Erasme Ruelensvest 179 bus 101 3001 Leuven België www.lannoocampus.be
Dit boek is opgedragen aan Joke Ceuppens (1977-2006)
“Ze kijkt naar mij, ze ziet me niet: het sneeuwt soms in haar hoofd. Ze zegt me dat ze vlinders ruiken kan, kan ik dat ook?� Lieven Tavernier (Niet voorbij, oktober 2004)
Inhoud
Dankwoord
Hoofdstuk 1 · Instapwiskunde 1.1
1.2
1.3
Letterrekenen Reële getallen Reële veeltermen Vergelijkingen met één onbekende Lineaire vergelijkingen Kwadratische vergelijkingen Reflectie
Hoofdstuk 2 · Logaritmen 2.1
2.2
2.3
2.4
Begripsvorming Definitie Eigenschap Bestaansvoorwaarden Soorten logaritmen Rekenregels Hoofdbewerkingen Veranderen van grondtal Een notatiekwestie Logaritmische vergelijkingen Via de definitie Eenzelfde grondtal Gemengde grondtallen Reflectie
Hoofdstuk 3 · Functies 3.1 3.2
3.3
Begrippen uit de reële analyse Veeltermfuncties Lineaire functies Kwadratische functies Krommen Hogere graadsfuncties Snijpunten tussen functies
15
17 18 18 23 25 25 26 32
35 36 36 37 37 38 40 40 42 43 43 43 43 44 46
49 50 51 51 53 54 54 56
8
WISKUNDE VOOR IT
3.4 3.5 3.6 3.7
3.8
Logaritmische functies Exponentiële functies De absolute waarde-functie Discrete functies De functie ‘floor’ De functie ‘ceiling’ Reflectie
Hoofdstuk 4 · Getalformaten 4.1
4.2
4.3
Soorten getallen Begrippen uit de rekenkunde Tiendelige getallen Tweedelige getallen Achtdelige getallen Zestiendelige getallen Converteren tussen getalformaten Converteren naar decimaal formaat Modulorekenen Converteren van tiendelige naar vreemde getalbases Hoekformaten Converteren tussen getalbases die een macht van 2 zijn Reflectie
Hoofdstuk 5 · Getallen in computers 5.1 5.2
5.3
5.4
5.5
De moderne computer Getalopslag van natuurlijke getallen Opslagformaten Natuurlijke overflow Getalopslag van gehele getallen Keuze voor het 2-komplement Converteren tussen decimale en 2-komplementweergave 2-komplementformaten Gehele overflow Getalopslag van reële getallen Reële opslagfouten De reële getalopslag als idee Visualisering van de reële getalopslag IEEE opslagstandaarden voor R Foutvoortplanting Reflectie
57 58 60 60 61 61 62
65 66 66 69 70 74 76 78 78 79 80 82 83 85
87 88 90 91 91 92 93 95 96 96 98 99 104 106 113 118 125
INHOUD
9
Hoofdstuk 6 · Booleaanse wiskunde 6.1
127
Uitsprakenlogica Uitspraken Verbindingen Samengestelde uitspraken en redeneerwetten Bewijsvoering Structuur Paradoxen Schakelalgebra Schakelaarcircuits Combinatorische circuits Booleaanse algebra Structuur Axioma’s van Huntington Booleaanse rekenregels Booleaanse functies Karnaughkaarten Begrippen Normaliseren van functies Vereenvoudigen van functies IT-toepassingen Programmeren RAID4/5 Subnetting Nand-technologie Reflectie
128 129 129 131 137 138 138 140 140 142 147 147 148 149 151 156 157 159 161 167 167 168 170 171 172
Hoofdstuk 7 · Inleiding tot de cryptografie
175
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7.1 7.2 7.3
7.4
7.5
Begrippen omtrent cryptografie Het schema van de cryptografie Soorten cryptografie Indeling naar invoer Indeling naar symmetrie Indeling naar algoritme Kraakpogingen De kracht van de sleutel De kwaliteit van het algoritme Kraaktechnieken Cryptografische rekenomgevingen Associatietabellen
176 176 177 177 178 179 179 179 180 180 181 181
10
WISKUNDE VOOR IT
7.6
Restsystemen Oplossen van lineaire vergelijkingen Structuren met één bewerking Structuren met twee bewerkingen Reflectie
Hoofdstuk 8 · Lineaire cijfers 8.1
8.2
8.3
8.4
Rekenomgeving De ringstructuur met twee bewerkingen Tweede vuistregel voor modulorekenen Lineaire cijfers De publieke rekenomgeving De vercijfering De ontcijfering Het algoritme De kraakpoging Soorten lineaire cijfers Het caesarcijfer Het multiplicatiecijfer Een bijzondere kraakpoging Reflectie
Hoofdstuk 9 · Klutsfuncties 9.1 9.2
9.3
9.4
9.5
Eenrichtingsfuncties Klutsfuncties Toepassingen Kwaliteiten van een klutsfunctie Parallellisatie Restvectoren Chinese reststelling Parallelliseren van hoofdbewerkingen Uitgebreide grootste gemene deler Het algoritme ‘uggd’ Invers element in een restsysteem Bewijs van de chinese reststelling Lineaire vergelijkingen in een restsysteem Reflectie
183 190 192 198 199
201 202 202 205 205 205 206 207 208 209 210 210 210 211 213
215 216 216 218 218 219 220 220 224 225 225 226 227 228 234
INHOUD
H o o f d s t u k 10 · R S A
10.1 Rekenomgeving 10.2 Getaltheorie De totiëntfunctie De stelling van Euler Het gemengd modulorekenen 10.3 Rivest Shamir Adleman De publieke rekenomgeving De versleuteling De ontsleuteling Het algoritme Voorbeeld De kraakpoging 10.4 Handtekenen met RSA De handtekening De authenticatie Het algoritme Een gelaagde toepassing 10.5 Parallelliseren van RSA 10.6 Reflectie
H o o f d s t u k 11 · D S A
11.1 Rekenomgeving De veldstructuur met twee bewerkingen Generatoren 11.2 Discrete functies Discrete logaritmen Discrete logaritmische functie Discrete exponentiële functie 11.3 Diffie-Hellman-sleuteluitwisseling De publieke rekenomgeving De uitwisseling Het algoritme De kraakpoging 11.4 Digital Signature Algorithm De publieke rekenomgeving De handtekening De authenticatie Het algoritme De kraakpoging 11.5 Reflectie
11
237 238 238 238 240 240 241 241 241 242 242 243 245 246 246 246 247 247 249 253
255 256 256 258 260 260 260 261 262 262 262 263 264 266 266 267 268 269 270 272
12
WISKUNDE VOOR IT
H o o f d s t u k 12 · E l l i p t i s c h e k r o m m e n v e r s l e u t e l i n g 12.1 Rekenomgeving 12.2 Reële elliptische krommen De reële elliptische krommengroep Analytische aspecten 12.3 Discrete elliptische krommen Kwadratische residu’s Priemkrommen E p (b, c) De priemkrommengroep Generatorpunten 12.4 Priemkrommencryptografie De publieke rekenomgeving De versleuteling De ontsleuteling Het priemkrommenalgoritme De kraakpoging 12.5 Priemkrommensleuteluitwisseling De uitwisseling Het uitwisselingsalgoritme De kraakpoging 12.6 Priemkrommenhandtekening De handtekening De authenticatie 12.7 Reflectie
H o o f d s t u k 13 · A E S
13.1 Rekenomgeving Het binair priemveld Z2 De binaire quotiëntringen De binaire galoisvelden 13.2 Advanced Encryption Standard De publieke rekenomgeving Het AES-versleutelingsalgoritme De versleuteling als functie Het ontsleutelingsalgoritme De ontsleuteling als omgekeerde functie Herbruikbaarheid van het algoritme Implementeren van het algoritme 13.3 De kraakpoging De brute kracht aanval De AES-eenrichtingsfunctie 13.4 Reflectie
275 276 276 277 280 281 281 282 285 285 289 289 290 292 293 294 294 295 295 296 297 297 298 299
301 302 302 303 309 311 311 313 319 321 326 326 328 328 328 329 333
INHOUD
H o o f d s t u k 14 · I n l e i d i n g t o t c o d e s 14.1 Begrippen omtrent codes 14.2 Het schema van de codeertheorie 14.3 Soorten codes Indeling naar doelstelling Indeling naar afstand Indeling naar algoritme 14.4 Rekenomgevingen van codes 14.5 Constructie van codes De ‘codering’ zonder extra bits Coderingen met één extra bit Een codering met twee overtallige bits Een 3-bit overtallige codering Een 4-bit overtallige codering 14.6 Parameters van codes 14.7 Foutafhandeling bij algemene codes De ‘codering’ zonder extra bits Coderingen met één extra bit Een codering met twee overtallige bits Een 3-bit overtallige codering Een 4-bit overtallige codering De muisknoppen-codering C(5, 4, 3) Een spoorwegsein-codering Dichtste buur-corrigering 14.8 Reflectie
H o o f d s t u k 15 · L i n e a i r e c o d e s 15.1 Rekenomgeving Vectorruimten Interne allocatie 15.2 Constructie van lineaire codes Het nulcodewoord Hamming gewicht Basiscodewoorden Notatie 15.3 Matrixweergave van lineaire codes Generatormatrix G Pariteittester H 15.4 Foutafhandeling bij lineaire codes Syndromen
13
335 336 337 338 338 339 339 340 341 341 342 342 342 343 343 346 346 346 347 347 348 348 349 351 353
355 356 356 358 358 359 360 360 361 362 362 364 366 366
14
WISKUNDE VOOR IT
Schema van lineaire codes 15.5 Hamming codes Het ontstaan De constructie van hamming codes De foutafhandeling bij hamming codes 15.6 Reflectie
H o o f d s t u k 16 路 C y c l i s c h e t e s t s
16.1 Rekenomgeving 16.2 Constructie van cyclische tests Cyclisch testen in Z Het CRC-algoritme met binaire veeltermen 16.3 Cyclische tests versus klutsfuncties Geen integriteitsgarantie Geen eenrichtingsfunctie 16.4 Foutafhandeling bij cyclische tests Samenstelling van de CRC-veelterm Illustraties en uitzonderingen De troeven van cyclische tests 16.5 Reflectie
Hoofdstuk A 路 Notatie-afspraken A.1 Sleutels A.2 Alfabetten Latijns alfabet Grieks alfabet A.3 Wiskundige symboliek Verzamelingen Wiskundige symbolen Wiskundige sleutelwoorden Getallen
374 375 375 375 376 377
379 380 381 381 382 388 388 389 389 390 391 393 395
397 397 398 398 398 399 399 400 401 401
Hoofdstuk B 路 (Windows)ANSI ASCII
403
H o o f d s t u k C 路 We g w i j z e r s
407
C.1 Didactische wegwijzer C.2 Antwoorden wegwijzer
407 407
Bronvermelding
408
Index
411
Dankwoord
Volgende mensen bleken van onmisbaar tot onschatbaar bij het maken van dit boek en worden door ons uitdrukkelijk bedankt: Prof. Dr. Leo Storme, Olga Coutrin, Wouter Tansens, Wouter Verweirder, Hilde De Maesschalck, Ellen Deketele, Conny Meuris, Hans Ameel, Tom Decavele, Johan De Gelas, Dr. Rolf Mertig, Dick Verkerck, ir. Gose Fischer, Dr. Tom Wickham-Jones, Prof. Dr. Fred Simons, Dr. Luc Gheysens, Johan Beke, ir. MBA Jan Devos, Marijn Verspecht, ir. Wouter Gevaert, Dr. Philippe Bocher, Tina Defloo, Bart Grimonprez, ir. Sarah Rommens, Wauter Leenknecht, Prof. Dr. Vincent Rijmen, Dr. Joan Daemen, Sofie Eeckeman, Peter Saerens, Mercè Aicart, Jurgen Leemans, Jan Middendorp, Hilde Vanmechelen, Leen Wouters, Jef De Langhe, Wannes Van Wichelen, Eric Van Remortel, Ann Deraedt, Rita Vanmeirhaeghe, Roel Vandommele, ir. Lode De Geyter, Bart Leenknegt, Pascal Voet, Jill Vandendriessche, Dieter Roobrouck, Nicolaas Bijvoet, dr. ir. Frederik Vercauteren, Jef Daels, Anne-Mieke Vandenbulcke, alle multimediale Howestcollega’s en iedereen die we even waren vergeten!
Hoofdstuk 1 ¡ Instapwiskunde
18
WISKUNDE VOOR IT
Dit hoofdstuk omvat de onmisbare lees- en rekenvaardigheden voor het verder bestuderen van technologische onderwerpen in hun rekenomgeving. De opeenvolgende paragrafen van dit hoofdstuk stippen met dit oogmerk stapsgewijze aspecten van de ‘wiskundige taal’ aan die wordt gesproken op allerlei toepassingsniveaus.
1.1 Letterrekenen R E ¨E L E G E TA L L E N
We noteren de verzameling van alle: natuurlijke getallen (unsigned integers) als N, gehele getallen (integers) als Z, rationale getallen of breuken als Q, reële getallen (floats of reals) als R. Deze getallenverzamelingen zijn als volgt genest: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. We vervolgen met wat terminologie, waar vaak verwarring over bestaat, zodat we dezelfde taal spreken. We wijzen erop dat het correct verwoorden ervan een weerspiegeling is van correct denkwerk. Verzamelingen Deelverzamelingen worden altijd tussen accolades genoteerd, bijvoorbeeld de ledige verzameling noteren we als {}. Een singleton definiëren we als een verzameling met juist één element. We geven {5} als voorbeeld van een singleton. Dit is een deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen, {5} ⊂ N.
Een paar definiëren we als een verzameling met juist twee elementen. De verzameling van de Booleaanse waarheidswaarden vormt bijvoorbeeld een paar {waar, onwaar}, kortweg te noteren als B. Geven we anderzijds {115, −4} als voorbeeld, dan is dit paar een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen of in symbolen {115, −4} ⊂ Z. Deelverzamelingen zoals Z− definiëren we als {. . . , −3, −2, −1, 0} of de verzameling van enkel de negatieve gehele getallen. We noteren −1234 ∈ Z− als we benadrukken dat het negatief getal −1234 een element is van Z− .
I N S TA P W I S K U N D E
19
Als we elementen uit een verzameling wegnemen, doen we dat met de verschilbewerking voor verzamelingen, die genoteerd wordt als ‘backslash’. Zo noteren we bij wijze van illustratie hiervan de verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul als N \ {0}, de verzameling van alle breuken uitgezonderd de gehele getallen als Q \ Z en de verzameling van alle reële getallen uitgezonderd nul en één als R \ {0, 1}. Hoofdbewerkingen operatie
voorbeeld
getal a heet
getal b heet
uitkomst c heet
optelling
a+b = c
term
term
som
aftrekking
a−b = c
term of aftrektal
term of aftrekker
verschil
vermenigvuldiging
a·b = c
factor
factor
product
deeltal of teller
deler of noemer
quotiënt
ab = c √ b a=c
grondtal
exponent
macht
grondtal
wortelexponent
wortel
deling machtsverheffing worteltrekking
a b
= c, b = 0
Het tegengestelde van een reëel getal r noteren we als −r en definiëren we als r + (−r) = 0. Het invers of omgekeerde van een reëel getal r noteren we als 1r , ofwel r−1 en definiëren we als r · r−1 = 1. Aftrekken definiëren we als het optellen met het tegengestelde: a − b = a + (−b). Delen definiëren we als het vermenigvuldigen met het omgekeerde: a : b = a · b−1 . Wanneer bewerkingen elkaar ontmoeten, zijn we gehouden aan rekenregels. We herhalen hiertoe alle essentiële rekenregels in een notendop. Er geldt een vaste volgorde voor het uitvoeren van bewerkingen in R, dat gememoriseerd kan worden met de volgende zin ‘Het Mannetje won Van De Oude Aap’. Eerst alles uitrekenen tussen de haakjes, daarna alle machten (een vierkantswortel is ook een macht), dan alle vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts, ten slotte de optellingen en aftrekkingen van links naar rechts.
20
WISKUNDE VOOR IT
Er geldt ook distributiviteit in R. Distributiviteit definiĂŤren we als de verdeel-eigenschap van een ‘hogere’ bewerking over een ‘lagere’ bewerking. Distributiviteit vereist dus twee verschillende bewerkingen. Zo noteren we distributiviteit van machtsverheffen over vermenigvuldigen bijvoorbeeld als (a ¡ b)3 = a3 ¡ b3 . Eveneens noteren we de distributiviteit van vermenigvuldigen over optellen als 3 ¡ (a + b) = 3 ¡ a + 3 ¡ b. We hoeden ons ervoor tegen deze ‘trap van distributiviteit’ fouten te maken, daar in het algemeen geldt: (a + b)3 = a3 + b3 , √ √ √ a + b = a + b, x2 + y2 = x + y.
Breuken
Een breuk is de schrijfwijze van een rationaal getal onder de vorm nt met t, n ∈ N en n = 0. In nt is t de teller en n de noemer. De omgekeerde breuk van nt met t, n = 0 definiĂŤren we −1 t . De tegengestelde breuk is dan gelijk aan − nt = −t als 1t = nt , ofwel nt n = −n . De n rekenregels voor breuken kunnen we als volgt samenvatten: som
t n
+ ab =
t¡b+n¡a n¡b ,
verschil
t n
t¡b−n¡a n¡b ,
product
t n
− ab =
deling
t n a b
machtsverheffing singuliere breuken
¡ ab =
t¡a n¡b ,
= nt ¡ ba , t m t m = nm , n 1 0 0 0
= Âąâˆž limietgeval, =? onbepaald.
Machten Een macht is de schrijfwijze van een reĂŤel getal onder de vorm gm . In gm is g het grondtal en m de exponent. Een tegengestelde macht van gm definiĂŤren we als −gm en een omgekeerde macht wordt genoteerd als g1m = g−m , met g = 0.
I N S TA P W I S K U N D E
21
Afhankelijk van de waarde van de exponent hebben we een andere betekenis: g3 = g ¡ g ¡ g
g−3
1 g3
3 ∈ N,
1 g¡g¡g
−3 ∈ Z,
= = 1 √ g 3 = 3 g = w ⇔ w3 = g
1 3
g0 = 1
In de praktijk komen soms stappen voor, zoals:
∈ Q,
g = 0.
product g3 ¡ g2 = g3+2 = g5 , deling macht
g3 g2
= g3 ¡ g−2 = g3−2 = g1 , 3 2 = g3¡2 = g6 . g
We wijzen erop dat het een goed idee is machtsworteltekens te herschrijven in de moderne notatie en uitdrukkingen zoals 7 g3 te herschrijven als een macht met grondtal g en 3 exponent 37 , dus g 7 . We merken bovendien op dat de vierkantswortel op zich altijd een √ 1 positief getal is, a = a 2 ∈ R+ . Zowel de betekenis van de exponenten, als de rekenregels zijn vereist om succesvol met machten om te gaan. Verder is het handig de kwadraten in het gehele interval 12 = 1, 22 = 4,. . ., 152 = 225, 162 = 256 en derdemachten in het interval 13 = 1, 23 = 8,. . ., 73 = 343, 83 = 512 te (her)kennen. Onthoud dat de enige manier om een macht op te heffen, de inverse machtsverheffing is. Hiertoe gebruiken we dus links ĂŠn rechts (zoals we bij vergelijkingen, zie paragraaf 1.2, doen) de omgekeerde exponent. √ 7 Voorbeeld: bepaal x als we weten dat x3 = 5. We passen de rekenregel toe waarbij een macht van een macht herleid wordt tot ĂŠĂŠn macht met product van exponenten. 3 73 3 7 = x = (5) 3 ≈ 42, 7494. (x) 7 = 5 â‡?⇒ (x) 7 We stellen vast dat enkel met deze strategie het gezochte grondtal x bevrijd raakt vanonder zijn exponent en kan worden afgelezen als uitdrukking of desgewenst numeriek benaderd. Wiskundige uitdrukkingen Vooral samengestelde wiskundige uitdrukkingen kunnen nogal intimiderend overkomen of ronduit leesdrempels veroorzaken. Om een uitdrukking vlot te doorzien, wijzen we alvast op het bestaan van geĂŻndexeerde variabelen. GeĂŻndexeerde variabelen definiĂŤren we als onbekenden voorzien van een benedenindex om ze af te tellen, zoals:
22
WISKUNDE VOOR IT
x1 , x2 , x3 , x4 , . . . , x99999 , x100000 , . . ., en α0 , α1 , α2 , α3 , α4 , . . . enz. Industriële toepassingen die duizenden variabelen vereisen, zijn namelijk verre van uitzonderlijk, daar waar ons alfabet 26 letters telt. Eindige uitdrukkingen definiëren we als een samenstelling van operatoren (bewerkingen) op objecten (getallen, variabelen of structuren). We doorgronden bijvoorbeeld een uitdrukking (3a + x)4 (indien nodig) door het schetsen van zijn boom-vorm. In ons voorbeeld betreft het een macht (Power) met exponent 4 van grondtal een som (Plus), enzovoort. We evalueren hier even onze uitdrukking (3a + x)4 . Stellen we a = 1, dan resulteert dit in een gedeeltelijk ‘inklappen’ tot de eenvoudiger expressie (3 + x)4 . Stellen we vervolgens ook nog x = 2, dan verkrijgen we de corresponderende getalwaarde (3 + 2)4 = 54 = 625 als resultaat.
Power
Plus
Times
3
4
x
a
Werken we deze 4de macht uit tot de som-vorm 81a4 + 108a3 x + 54a2 x2 + 12ax3 + x4 , dan herschreven we de product-vorm (3a + x)4 slechts naar een andere gedaante. Deze expressie, die geen relatie is, proberen op te lossen is echter onzinnig. Enkel en alleen ongelijkheden, vergelijkingen of stelsels daarvan kunnen worden opgelost. Relaties We nemen hier ook de relationele uitdrukkingen heel beknopt onder de loep. Een ongelijkheid definiëren we als een veranderlijke afweging waarin een linkerlid vergeleken wordt met een rechterlid door hetzij het ‘is-(strikt)-kleiner-dan’, hetzij het ‘is-(strikt)-groter-dan’ teken. Bij wijze van voorbeeld hiervan noteren we (3a + x)4 (b + 4)(x + 3) in de onbekenden a, x, b. Ongelijkheden kunnen eventueel worden opgelost naar een onbekende a, x of b. Een vergelijking definiëren we als een veranderlijke afweging waarin een linkerlid vergeleken wordt met een rechterlid door het gelijkheidsteken. De uitdrukking (3a + x)4 = (b + 4)(x + 3) is een vergelijking in de onbekenden a, x, b. Ook vergelijkingen kunnen eventueel worden opgelost naar een onbekende a, x of b. Een identiteit (of gelijkheid) definiëren we als een uitspraak die constant waar is, bijvoorbeeld 7 = 7. Een contradictie (of tegenstrijdigheid) definiëren we als een uitspraak die constant onwaar is, bijvoorbeeld −10 > 5.
I N S TA P W I S K U N D E
23
R E ¨E L E V E E L T E R M E N
Op deze plaats gaan we even in op de rekenomgeving van de reële veeltermen in de variabele x; een verzameling die we noteren als R[x] . Eentermen Een eenterm in x definiëren we als een uitdrukking axn , met a een getal en n ∈ N. Bij uitbreiding kan deze lettervorm ook bestaan uit een aantal variabelen x, y, z, . . .. Bijvoorbeeld 3(xy)6 en 3(x2 y3 z6 ) zijn eentermen in respectievelijk xy en x2 y3 z6 . De graad van een eenterm axn definiëren we als de natuurlijke exponent n ∈ N van de beoogde variabele x. Op deze manier onderscheiden we constante, lineaire, kwadratische, kubische of hogere graads eentermen. Constante eentermen zijn van graad 0, lineaire eentermen hebben graad 1, kwadratische graad 2 en kubische graad 3. √ Nemen we als voorbeeld de reële eenterm − 12x6 , dan is de graad hiervan 6. Analoog is 3(xy)6 een eenterm in xy van graad 6, en is 3(x2 y3 z6 )9 een eenterm in x2 y3 z6 van graad 9. Gelijksoortige eentermen definiëren we als eentermen√met identiek lettergedeelte. Zo zijn bijvoorbeeld de reële eentermen 57 x6 en − 12x6 gelijksoortig en ook √ 5 3 5 2 3 5 2 7 x y z en − 12x y z zijn gelijksoortig. Alle (hoofd)bewerkingen op eentermen zijn uitvoerbaar als onmiddellijke toepassing van de rekenregels voor breuken en machten. Veeltermen Een veelterm V (x) definiëren we als een som van ongelijksoortige eentermen. De graad van een veelterm V (x) definiëren we als de maximum exponent m ∈ N van de beoogde variabele x. Nemen we als voorbeeld de reële veelterm √ 1 V (x) = 17x2 + x3 + 6x − 7x2 − 12x6 − 13x − 1, 4 dan is de graad van V (x) gelijk aan de maximum exponent 6. Herleiden of vereenvoudigen van veeltermen is mogelijk daar waar gelijksoortige eentermen ervan bijeen kunnen worden genomen. We vereenvoudigen even ons √ voorbeeld hiervoor tot de vorm V (x) = 10x2 + 14 x3 − 7x − 12x6 − 1. Eenzelfde veelterm kunnen we in op- of aflopende machten van x rangschikken. Rangschikken we V (x) naar oplopende machten van x, dan komt er √ V (x) = −1 − 7x + 10x2 + 14 x3 − 12x6 . √Rangschikken we V (x) naar aflopende machten van x, dan noteren we V (x) = − 12x6 + 14 x3 + 10x2 − 7x − 1.
24
WISKUNDE VOOR IT
Uiteraard kunnen we veeltermen ook als expressie evalueren tot een getalwaarde. Bepalen we bijvoorbeeld de getalwaarde van V (x) in√x = −1, dan komt er V√(−1) = √ − 12(−1)6 + 14 (−1)3 + 10(−1)2 − 7(−1) − 1 = − 12 − 14 + 16 = 63 4 − 2 3 ∈ R. Hoofdbewerkingen Som van twee gelijksoortige eentermen: we tellen de coëfficiënten op en behouden het lettergedeelte 5a2 − 3a2 = (5 − 3)a2 = 2a2 . Product van eentermen: we vermenigvuldigen de coëfficiënten en de lettergedeelten elk apart 7 7 −35 3 4 −5ab · a2 b3 = −5 · · a1+2 b1+3 = a b . 4 4 4 Quotiënt van eentermen: we delen de coëfficiënten door elkaar en we delen de lettergedeelten −8 6−4 4−0 −8a6 b4 = = 2a2 b4 . a b −4a4 −4 Macht van een eenterm: we verheffen elke factor van de eenterm tot de macht 3 − 2a2 b4 = (−2)3 (a2 )3 (b4 )3 = −8a6 b12 .
Optellen en aftrekken van veeltermen: we tellen de termen van de tweede veelterm op bij de eerste of we trekken de termen van de tweede af van de eerste veelterm (x2 − 4x + 8) − (2x2 − 3x − 1) = x2 − 4x + 8 − 2x2 + 3x + 1 = −x2 − x + 9. Product van veeltermen: we vermenigvuldigen elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm en tellen de verkregen producten op (2x2 + 3y) · (4x2 − y) = 2x2 (4x2 − y) + 3y(4x2 − y)
= 2x2 · 4x2 + 2x2 · (−y) + 3y · 4x2 4
+ 3y · (−y)
= 8x − 2x2 y + 12x2 y − 3y2 = 8x4 + 10x2 y − 3y2 .