Toegepaste mechanica hbo/wo

Basisboek Toegepaste Mechanica

Basisboek Toegepaste Mechanica is bestemd voor studenten in het HBO/WO, opleiding Bouwkunde en Civiele Techniek.

Het boek behandelt ‘de leer van het evenwicht’ ofwel de statica, een hoofdprobleemstelling uit de constructieleer, en een van de basisgereedschappen voor het ontwerpen en construeren van bouwkundige en/of civieltechnische constructies.

Het boek is modulair van opzet en gericht op zelfstudie. Hierdoor kan het flexibel worden ingezet in de verschillende onderwijsprogramma’s en onderwijswerkvormen.

Elke module eindigt met een toets.

Kijk op de website techniekvoorhbo.nl/bouwkunde/Toegepaste mechanica, voor de uitwerkingen van de opdrachten en de antwoorden op de toetsvragen.

Basisboek Toegepaste Mechanica

J.W. Welleman

J.W. Welleman

A. Dolfing

A. Dolfing

J.W. Hartman

9789006814859_omslag.indd 1

9 789006 814859

4e druk

J.W. Hartman

28/02/19 08:45

9006814859_bw_ingeladen.indd 560

28/02/19 09:15

Basisboek Toegepaste Mechanica

9006814859_bw_ingeladen.indd 1

28/02/19 09:03

vormgeving Studio Blanche, Nieuw Vennep opmaak Grafikon, Oostkamp tekenwerk Grafikon, Oostkamp ontwerp omslag OudZuid Ontwerp, Dieren foto omslag Ross Helen, Getty Images

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaing en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt.

Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl ISBN 978 90 06 81485 9 Vierde druk, eerste oplage, 2019 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2011 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j o het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie PRO , Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp www.stichting-pro.nl . Voor het overnemen van gedeelte n uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken artikel 16 Auteurswet 1912 dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO 2-neutraal geproduceerd.

Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk.

Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

9006814859_bw_ingeladen.indd 2

28/02/19 09:03

Basisboek Toegepaste Mechanica Ir. J.W. Welleman (tevens eindredactie) Ing. A. Dolfing Ing. J.W. Hartman

9006814859_bw_ingeladen.indd 3

28/02/19 09:03

Woord vooraf Toegepaste Mechanica is een belangrijk basisvak voor de opleiding tot Bouwkundig en/of Civiel ingenieur HBO. Dit basisboek Toegepaste Mechanica behandelt de onderwerpen van het kernprogramma van de opleidingen Bouwkunde en Civiele Techniek zoals dat op het merendeel van de HBO-opleidingen wordt verzorgd. Dit boek is niet een allesomvattend mechanicaboek, maar een studieboek voor de beginnende student. De opzet van het boek is tot stand gekomen uit een samenwerking van docenten uit het onderwijs. Het boek is modulair van opzet en gericht op zelfstudie waardoor het flexibel kan worden ingezet in de verschillende onderwijsprogramma’s en onderwijswerkvormen.

De verschillende auteurs hebben elk een aantal modules ontwikkeld: ‰ Hans Welleman Hogeschool Haarlem ‰ Hans Hartman Hogeschool Enschede ‰ Albert Dolfing Christelijke Hogeschool Windesheim

module 5, 6, 7 en 9 module 1 en 3 module 2, 4 en 8

Naast deze auteurs is er een aantal lezers van diverse hogescholen betrokken geweest bij het tot stand komen van het boek. Graag bedank ik dan ook de volgende collega’s voor hun waardevolle bijdragen: ir. ir. ir. ir.

W.J.M. Peperkamp Hogeschool ’s-Hertogenbosch G.E. Jansen Hogeschool Alkmaar J.H. Boer Hanzehogeschool Groningen J. Moerman Hogeschool Haarlem

In het bijzonder bedank ik ir. H.P.M. van Abeelen voor het beschikbaar stellen van zijn dictaten waarvan dankbaar gebruik is gemaakt.

Dit boek wordt met succes ingezet sinds 2001 op vele opleidingen. Met deze vierde druk zijn de reacties van studenten en docenten verwerkt en zijn met name in de uitwerking van de voorbeelden, opdrachten en toetsopgaven verbeteringen aangebracht in presentatie en toelichting. Daar waar nodig zijn figuren verbeterd en zijn fouten en onduidelijkheden verholpen. In de gehele opmaak van het boek is meer eenduidigheid gebracht, wat de leesbaarheid ten goede komt.

Den Hoorn, januari 2019 Hans Welleman

9006814859_bw_ingeladen.indd 4

28/02/19 09:03

V

Inhoud

Inleidende module 1 1 Inleiding 2 1.1 Toegepaste Mechanica 2 1.2 De relatie met het vakgebied 3 2 Indeling van dit boek 4 2.1 Modulaire opbouw 4 2.2 Hoe dit boek te gebruiken 4

Module 1 Uitwendige krachten en evenwicht 7 1 Uitwendige krachten en evenwicht 8 1.1 Systematische oplossingsmethode 9 1.2 Tekenafspraak uitwendig evenwicht 12 2 Kracht, moment en koppel 13 2.1 Kracht en evenwicht 14 2.2 Resultante van krachten 15 2.3 Het moment van een kracht 18 2.4 Koppel 19 3 Vlakke krachtenstelsels 21 3.1 Analytische bepaling van de resultante van krachten 22 3.2 Grafische bepaling van de resultante 26 4 Evenwicht van krachten in tweedimensionale situaties 28 4.1 Evenwichtsvoorwaarden 28 4.2 Enkele bijzondere gevallen 30 4.3 Het toepassen van de evenwichtsvoorwaarden 31

9006814859_bw_ingeladen.indd 5

28/02/19 09:03

VI

INHOUD

5 Opleggingen en reactiekrachten 35 6 Bepaling van steunpuntreacties voor liggers 40 6.1 Berekenen van oplegreacties 40 7 Bepaling van steunpuntreacties voor portalen 45 8 Statisch bepaald en statisch onbepaald 47 8.1 Statisch bepaald 47 8.2 Statisch onbepaald 47 9 Scharnierconstructies 49 9.1 Analytische reactiebepaling 51 9.2 Grafische reactiebepaling 56 10 Symmetrie en superpositie 57 10.1 Symmetrie 57 10.2 Superpositie 58 11 Opdrachten 59 12 Toetsing 68

Module 2 Inwendige krachten 75 1 Inleiding 76 2 Inwendige krachten in vakwerkliggers 78 3 Inwendige krachten in lineaire constructiedelen 85 3.1 Inwendige krachten in een snede 85 3.2 Grafieken van inwendige krachten 90 3.3 Assenstelsel en tekenafspraken 93 3.4 Verdeelde belasting 97 4 Wiskundige achtergrond 101 4.1 Verband tussen belasting en dwarskracht 101 4.2 Verband tussen dwarskracht en moment 102 4.3 Consequenties van de wiskundige verbanden 107 4.4 Superpositiebeginsel 116

9006814859_bw_ingeladen.indd 6

28/02/19 09:03

INHOUD

VII

5 Geknikte constructies 118 6 Scharnierconstructies 123 6.1 Scharnierliggers 123 6.2 Driescharnierconstructies 125 7 Opdrachten 130 8 Toetsing 140

Module 3 Spanningen en doorsnedegrootheden 143 1 Inleiding 144 2 Normaalspanningen 145 2.1 Spanningen door een normaalkracht 145 2.2 Spanningen door temperatuurverschillen 150 3 Spanningen als gevolg van buiging 153 3.1 Buigspanning volgens de elasticiteitstheorie 153 3.2 Wiskundige afleiding 155 4 Schuifspanningen door een dwarskracht 161 4.1 Langsschuifspanningen 161 4.2 Beschouwing van het evenwicht 162 4.3 Vervorming 163 4.4 Wiskundige afleiding 164 4.5 Schuifspanning voor een rechthoek 166 5 Zwaartepunten en traagheidsgrootheden 169 5.1 Zwaartepunten 169 5.2 Traagheidsmoment van een oppervlak 173

9006814859_bw_ingeladen.indd 7

28/02/19 09:03

VIII

INHOUD

6 Transformaties van assenstelsels 178 6.1 Translatie assenstelsel voor het traagheidsmoment Regel van Steiner 178 6.2 Rotatie assenstelsel voor het traagheidsmoment 182 7 Spanningscombinaties 188 7.1 Buiging en normaalkracht 188 7.2 Dubbele buiging 190 7.3 Dubbele buiging met normaalkracht 193 7.4 Vlakke spanningstoestand in een punt 197 7.5 Spanningstrajectoren 202 8 Niet-homogene dwarsdoorsneden 204 8.1 Normaalkracht 205 8.2 Buiging 208 8.3 Dwarskracht 214 9 Opdrachten 217 10 Toetsing 226

Module 4 Vakwerken 231 1 Inleiding 232 2 Vormvastheid, plaatsvastheid, statische bepaaldheid 235 2.1 Vormvastheid 235 2.2 Plaatsvastheid 237 2.3 Statische bepaaldheid 237 3 Berekening van staafkrachten 241 3.1 Snedemethode 241 3.2 Knooppuntsevenwichtmethode 246 3.3 Vakwerken en V- en M-lijnen 250

9006814859_bw_ingeladen.indd 8

28/02/19 09:04

INHOUD

IX

4 Vervorming van vakwerken 253 4.1 De enkele staaf 253 4.2 Twee pendelstaven 257 4.3 Uitkragend vakwerk 260 4.4 Williotdiagram 262 4.5 Knoopverplaatsing door rotatie 265 4.6 Vakwerkliggers 266 5 Opdrachten 268 6 Toetsing 276

Module 5 Vervorming door buiging 279 1 Inleiding 280 2 Theorie van vervorming door buiging 282 2.1 Probleemomschrijving en de oplossingsstrategie 282 2.2 De buigingstheorie 289 2.3 Toepassingen van de buigingstheorie 290 3 Methode van het gereduceerde momentenvlak 297 3.1 Introductie 297 3.2 Hoekverandering voor een puntlast op een uitkragende ligger 299 3.3 Zakking voor een uitkragende ligger 300 3.4 Toepassingen van de stellingen van het gereduceerde momentenvlak 302 4 Vergeet-mij-nietjes 324 5 Opdrachten 326 6 Toetsing 331

9006814859_bw_ingeladen.indd 9

28/02/19 09:04

X

INHOUD

Module 6 Statisch onbepaalde constructies 333 1 Inleiding 334 2 Statisch onbepaald 336 2.1 Het begrip ‘de statisch onbepaalde’ 336 2.2 De graad en de aard van statisch onbepaaldheid 338 2.3 Kenmerken van statisch onbepaalde constructies 342 3 Berekenen van de krachtsverdeling 347 3.1 Verschillende methoden 347 3.2 De oplossingsstrategie van de krachtenmethode 349 3.3 Berekenen van doorgaande liggers 355 3.4 Berekenen van raamwerken 373 4 Stijfheidsverschillen in een constructie 380 4.1 Algemeen 380 5 Opdrachten 389 6 Toetsing 394

Module 7 Knik en stabiliteit 397 1 Inleiding 398 1.1 Wat is stabiliteit? 398 1.2 Vormen van instabiliteit 399 2 Evenwicht van een gedrukte staaf 404 2.1 De starre staaf 404 2.2 De elastische staaf 413 2.3 Praktische oplossing van het knikprobleem 414 2.4 Wiskundige oplossing van het knikprobleem 416 2.5 Interpretatie van de oplossing voor het knikprobleem 418 2.6 Voorbeelden van knikproblemen 421 3 Verend ingeklemde gedrukte staaf 425 3.1 Veerstijfheid van de rotatieveer 426 3.2 Kritieke last voor de verend ingeklemde elastische staaf 427

9006814859_bw_ingeladen.indd 10

28/02/19 09:04

INHOUD

XI

4 Knik en de Eurocode 432 4.1 Knikspanning en slankheid 432 4.2 Knikcurve 433 4.3 Eurocode 3 – EN 1993-1-1 435 4.4 Grafische weergave 437 4.5 Knikfactoren in tabelvorm 438 5 Opdrachten 441 6 Toetsing 445

Module 8 Wringing 447 1 Inleiding 448 2 Wringspanningen 454 2.1 De massieve ronde staaf 454 2.2 Wringing in ronde buisprofielen 457 2.3 Schuifspanning in de lengterichting 459 2.4 Schuifstroom 460 2.5 Schuifstroom in rechthoekige kokerprofielen 464 2.6 Wringing in rechthoekige doorsneden 465 2.7 Combinatie van wringing met buiging, dwarskracht en normaalkracht 468 3 Vervormingen door wringing 472 4 Wringing in statisch onbepaalde constructies 479 4.1 Evenwichtswringing en compatibiliteitswringing 479 4.2 Wringing in samengestelde constructies 481 5 Opdrachten 489 6 Toetsing 499

9006814859_bw_ingeladen.indd 11

28/02/19 09:04

XII

INHOUD

Module 9 Plasticiteit 501 1 Inleiding 502 1.1 Schets van het probleem 502 1.2 Elasticiteit en plasticiteit 503 2 Op 2.1 2.3 2.3 2.4

buiging belaste doorsneden 506 Berekenen van het volplastisch moment van de doorsnede 509 Vormfactor 510 Verband tussen kromming en moment 511 Gewapend betonnen liggers op buiging 516

3 Bezwijkgedrag van liggerconstructies 520 3.1 Mechanismen 520 3.2 Graad van statische bepaaldheid en mechanismen 523 3.3 De bezwijklast 523 3.4 Vervormingsgedrag van liggerconstructies 532 3.5 Maximale combinatie van normaal- en schuifspanning 535 4 Opdrachten 540 5 Toetsing 543 Register 544

9006814859_bw_ingeladen.indd 12

28/02/19 09:04

1

MODULE

Inleidende module 1

Inleiding

2

Indeling van dit boek

_2 _4

Starten met een nieuwe studie en ook met een nieuw vak, de Toegepaste Mechanica.

Wat is Toegepaste Mechanica en waarom is dit vak voor de student Bouwkunde of Civiele Techniek zo belangrijk? Deze inleiding gaat hierop in en laat tevens zien hoe het boek is ingedeeld en hoe het gebruikt kan worden.

Ir. J.W. Welleman

9006814859_bw_ingeladen.indd 13

28/02/19 09:04

2 MODULE INLEIDENDE MODULE

1 INLEIDING Voor veel startende studenten Bouwkunde of Civiele Techniek is de Toegepaste Mechanica een onbekend terrein, hoewel er in de vooropleiding wel de nodige aandacht besteed is aan natuurkunde.

Dit boek gaat over ‘de leer van het evenwicht’. In feite is dit een klein onderdeel van de mechanica dat de statica wordt genoemd.

1 1

Toegepaste Mechanica

Voor bouwkundige en civieltechnische constructies is voor de constructieve analyse het evenwicht van groot belang. De eis dat een constructie in evenwicht moet zijn, is in feite een hoofdprobleemstelling uit de constructieleer. Daarvan afgeleid zijn enkele hoofdeisen te formuleren 1: ‰ Een constructie moet sterk genoeg zijn. ‰ Een constructie moet stijf genoeg zijn. ‰ Een constructie moet stabiel zijn.

Om te kunnen beoordelen of aan deze eisen voldaan wordt, is gereedschap nodig. Dit boek is een basisboek voor hbo-studenten Bouwkunde en/of Civiele Techniek en zal dit gereedschap aanreiken. In het schema van figuur 1.1 is weergegeven waar dit gereedschap geplaatst moet worden in het totaalplaatje van de constructieve analyse. 2 Duidelijk is dat de toegepaste mechanica een onlosmakelijk onderdeel is van het constructief ontwerpen. Het is de gereedschapskoffer van met name de constructief ontwerper. Dat betekent echter niet dat alleen ingenieurs die werkzaam zijn in de constructieve richting kennis van de Toegepaste Mechanica moeten hebben.

1. Zie het boek Basis Constructieleer, H. van Abeelen, Stichting Kennisoverdracht SG, ISBN 90-72830-25-3 2. Zie het boek Jellema 7 Bouwtechniek, A. van Boveldt, hoofdstuk 3 ‘Dragen’.

9006814859_bw_ingeladen.indd 14

28/02/19 09:04

1 INLEIDING

3 MODULE

Belastingen

Figuur 1.1 Constructieve analyse

1 2

Inwendige krachtsverdeling

Gereedschap: Evenwichtsvergelijkingen Vormveranderingsvergelijkingen

Toetsing op: • Sterkte • Stijfheid • Stabiliteit

Gereedschap: Spanningsleer Vervormingsleer Stabiliteit

INLEIDENDE MODULE

Constructieve analyse

De relatie met het vakgebied

De rol die de mechanica speelt binnen het vakgebied van de bouwkundig of civiel ingenieur, is zeer divers. Binnen de vakgebieden kan een aantal functiegroepen worden onderscheiden waarin ingenieurs werkzaam kunnen zijn. Deze functiegroepen zijn in alle deelgebieden van het vakgebied terug te vinden. In figuur 1.2 is een schema weergegeven van het vakgebied en de functiegroepen.

Ut

ilit

eit

sb

ou

w

Dr o (B geeto wa nb ter ou bo w) uw

ct

ite

ch

Ar

On Co twer ns per tru cte / ur

Toegepaste Mechanica

Ui

tvo

W on

ing

erd

er

er

rd

ee

h Be

bo

uw

ouw

a-b Infr

Figuur 1.2 Vakgebieden in de Bouw en Infrastructuur

Alle deelnemers in het vakgebied zullen op de hoogte moeten zijn van de basiskennis van de Toegepaste Mechanica omdat allen, op verschillende wijze, te maken hebben met het ontwerpproces. De één wellicht meer met de totstandkoming ervan en de ander meer met de uitvoering ervan.

9006814859_bw_ingeladen.indd 15

28/02/19 09:04

4 MODULE INLEIDENDE MODULE

2 INDELING VAN DIT BOEK Dit boek is modulair opgezet en bevat de leerstof voor het kernprogramma Toegepaste Mechanica van de opleiding Bouwkunde en Civiele Techniek. De theorie wordt afgewisseld met voorbeelden en iedere module wordt afgesloten met opdrachten en een toets. Hierdoor is dit boek uitstekend geschikt voor diverse onderwijsvormen.

Dit boek beperkt zich tot constructies die niet bewegen, de zogenaamde statische constructies. Het omvat de leerdoelen die horen bij het kernprogramma Toegepaste Mechanica van de opleidingen Bouwkunde en Civiele Techniek.

2 1

Modulaire opbouw

Dit boek is modulair van opbouw. De basisgedachte is dat de modules zo veel mogelijk op zichzelf staande onderdelen vormen. Iedere module is opgebouwd uit een aantal korte onderwerpen waarbij steeds een theoriedeel wordt afgewisseld met voorbeelden. Er wordt waar mogelijk gewerkt met de systematische probleemaanpak SPA . Aan het einde van iedere module is een hoofdstuk Opdrachten opgenomen waarmee de student kan oefenen. De uitwerkingen van deze opdrachten zijn te vinden op de cd-rom die bij dit boek meegeleverd is. Ten slotte wordt iedere module afgesloten met een Toets. Van de toetsen zijn alleen de einduitkomsten gegeven.

2 2

Hoe dit boek te gebruiken

Het boek bestaat naast de introductie uit negen modules. In tabel 2.1 is aangegeven welke onderwerpen er in de diverse modules aan de orde komen.

9006814859_bw_ingeladen.indd 16

28/02/19 09:04

2 I N D E L I N G VA N D I T B O E K

5 MODULE

Tabel 2.1 Inhoud van de modules

Beschrijving

Uitwendige krachten en evenwicht

‰ Bij evenwicht gaat het om krachten. In deze module zullen de begrippen kracht en uitwendig evenwicht worden behandeld.

2

Inwendige krachten

‰ Deze module gaat over wat er in de constructie gebeurt. Welke krachten ontstaan er inwendig en hoe kunnen we deze krachten, die we niet kunnen zien, toch presenteren.

3

Spanningen en ‰ Inwendige krachten veroorzaken spanningen in het materiaal. doorsnedeDeze spanningen mogen de maximaal opneembare spanning van grootheden het materiaal, de sterkte, niet overschrijden (hoofdeis 1). In deze module komen de begrippen spanning en sterkte aan de orde.

4

Vakwerken

‰ In deze module wordt de tot dan toe opgedane kennis toegepast op vakwerken. Dit zijn constructies die opgebouwd zijn uit rechte staven waarin uitsluitend druk- of trekkrachten optreden.

Tevens wordt er voor deze constructies gekeken naar de optredende vervormingen. Hiermee wordt de relatie gelegd met de tweede hoofdeis: is de constructie stijf genoeg?

5

Vervorming door buiging

‰ In vloeren en liggers treedt vervorming op door buiging. In deze module wordt gekeken naar deze vervorming. Ook hiermee wordt de relatie gelegd met de tweede hoofdeis: is de constructie stijf genoeg?

6

Statisch onbepaalde constructies

‰ Nadat het begrip vervorming en het bepalen van de doorbuiging van eenvoudige constructies bekend is, kan de krachtsverdeling van ingewikkelde (statisch onbepaalde) constructies worden bepaald.

7

Knik en stabiliteit

‰ In deze module wordt het gereedschap ontwikkeld voor de derde hoofdeis. De basisbegrippen van knik en stabiliteit worden hier uiteengezet.

8

Wringing

‰ In deze module wordt het begrip wringing uitgelegd.

9

Plasticiteit

‰ In deze module wordt het begrip plasticiteit uitgelegd en wordt voor eenvoudige, op buiging belaste constructies de bezwijkanalyse toegepast.

INLEIDENDE MODULE

Titel 1

Met deze summiere beschrijving van de inhoud is het schema van figuur 2.1 opgesteld waarin is aangegeven hoe de diverse modules kunnen worden doorlopen.

4

5 1

2

3

6

9

7

8

Figuur 2.1 Routewijzer voor dit boek

Het boek is zo veel mogelijk opgezet als een zelfstandig leermiddel, wat het mogelijk maakt dit leermiddel in te zetten bij diverse onderwijsvormen. De voorbeelden sluiten direct aan op de gepresenteerde theorie en de student kan de bijbehorende oefeningen gebruiken om de vaardigheid te trainen.

9006814859_bw_ingeladen.indd 17

28/02/19 09:04

9006814859_bw_ingeladen.indd 18

28/02/19 09:04

MODULE

1

7

Uitwendige krachten en evenwicht 1

Uitwendige krachten en evenwicht

2

Kracht, moment en koppel

3

Vlakke krachtenstelsels

4

Evenwicht van krachten in tweedimensionale situaties

5

Opleggingen en reactiekrachten

6

Bepaling van steunpuntreacties voor liggers

7

Bepaling van steunpuntreacties voor portalen

8

Statisch bepaald en statisch onbepaald

9

Scharnierconstructies _49

10

Symmetrie en superpositie

11

Opdrachten

12

Toetsing

_8

_13

_21 _28

_35 _40 _45

_47

_57

_59

_68

Belastingen die aangrijpen op (draag)constructies moeten worden overgebracht op de ondersteuning van deze constructies. Dit kunnen funderingen zijn of andere constructiedelen. Om te kunnen beoordelen of de ondersteunende constructies deze belasting wel kunnen dragen, moet bekend zijn hoe groot de krachten op deze constructies worden. In deze module wordt de student vertrouwd gemaakt met deze materie. Aan het eind van deze module kan de student op een grafische en een analytische wijze de oplegreacties bepalen van statisch bepaalde constructies.

Ing. J.W. Hartman

9006814859_bw_ingeladen.indd 19

28/02/19 09:04

8 MODULE 1

1

UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT Uitwendig evenwicht wil zeggen, dat alle op de constructie uitgeoefende uitwendige actieve belastingen (actiekrachten) via het inwendige van de constructie naar de opleggingen (reactiekrachten) worden afgevoerd.

De oplegkrachten maken dan evenwicht met de belastingen, met andere woorden: actie + reactie = 0.

We kennen statisch stilstaand evenwicht en dynamisch bewegend evenwicht. We beschouwen hier alleen het statisch evenwicht. Een voorbeeld van uitwendig evenwicht is gegeven in figuur 1.1. De oplegkrachten die op de plank omhoog werken, maken evenwicht met de actiekrachten die omlaag werken. Duidelijke vormen van uitwendig evenwicht zien we bij bruggen en spantconstructies van hallen. Zie figuur 1.2.

Schema:

actie

reactie

actie

actie

reactie

Figuur 1.1 Verschillende evenwichtssystemen

statisch evenwicht

dynamisch evenwicht

De actiekrachten worden via de constructie inwendig krachtenspel naar de steunpunten afgevoerd, waar ze evenwicht maken met de reactiekrachten.

Als men de grootte van de inwendige krachten berekend heeft, kan men zich de vraag stellen: hoe sterk moet de constructie zijn om deze krachten

9006814859_bw_ingeladen.indd 20

28/02/19 09:04

1 UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

9 MODULE 1

viaduct

Figuur 1.2 Uitwendig evenwicht

actiekrachten op funderingen

UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

houten hal

reactiekrachten op spant

op te kunnen nemen? Met andere woorden: is de constructie inwendig sterk en stijf genoeg? Dit komt in de volgende hoofdstukken aan de orde.

De reactiekrachten dienen opgenomen te worden door secundaire draagsystemen. Dit draagsysteem kan bijvoorbeeld een fundering zijn.

De fundering dient dus in feite de reactiekrachten op de constructie te leveren. Op zijn beurt oefent de fundering weer een actiekracht uit op een volgend draagsysteem, de ondergrond.

Is de fundering niet in staat deze krachten naar de ondergrond af te dragen, dan is er geen evenwicht. De constructie zal dan geheel of gedeeltelijk verzakken constructie is praktisch niet meer bruikbaar of instorten constructie zal bezwijken . Zie figuur 1.3.

1 1

Figuur 1.3 Scheefstaande constructie

9006814859_bw_ingeladen.indd 21

Systematische oplossingsmethode

Om vraagstukken op een structurele wijze op te lossen is het gebruik van een oplossingsmethodiek aan te bevelen. Het leerproces krijgt hierdoor een positieve stimulans, omdat men het probleem zonder rekenwerk kan doorgronden en daarmee in feite de oplossingsstructuur vastlegt.

Als methodiek wordt de SPA-methode toegepast. SPA betekent systematische probleemaanpak. In het begin gebeurt dat expliciet, later minder expliciet, omdat wij ervan uitgaan dat de methodiek min of meer voor zichzelf spreekt.

28/02/19 09:04

10

1 UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

MODULE 1 UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

Er zijn vier fasen te onderscheiden: ‰ fase 1: probleemanalyse het begrijpen van het vraagstuk ; ‰ fase 2: oplossingsplan doorgronden van het probleem ; ‰ fase 3: uitwerking het invullen van de vergelijkingen ; ‰ fase 4: controle past het antwoord in het geheel .

Aanvankelijk wordt de methode expliciet vermeld bij het uitwerken van de voorbeelden.

Voorbeeld 1

Gegeven Een blok beton met een massa van 300 kg dient horizontaal verplaatst te worden. De wrijving met de ondergrond is 30% van de verticale kracht.

Volgens de Arbowet mag men maar 25 kg per persoon verplaatsen.

Gevraagd Hoeveel mensen zijn er nodig om dit blok te verplaatsen?

Figuur 1.4 Betonblok

Probleemanalyse ‰ Lees de opgave grondig. ‰ Geef het assenstelsel aan. ‰ Maak een schema of tekening van de constructie of situatie. ‰ Zet de gegevens in de juiste eenheden. ‰ Noteer het gevraagde in symbolen. ‰ Maak een schatting van het antwoord.

9006814859_bw_ingeladen.indd 22

28/02/19 09:04

1 UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

Fh

G

UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

Deze onderdelen leiden tot het volgende: De gebruikelijke eenheden zijn N of kN. Het gewicht van het betonblok is G m g, met g 10 m/s 2, hieruit volgt G 300 kg 10 3000 N. Per persoon is verplaatsbaar 25 g 25 kg 10 250 N.

MODULE 1

Oplossingsplan ‰ Zoek de weg die naar de oplossing leidt, de oplossingsroute en ga van het gevraagde uit. ‰ Zoek de kernbetrekkingen op die bij dit onderwerp horen. ‰ Noteer de gevraagde grootheid als beginpunt van de oplossingsroute. ‰ Kies een kernbetrekking waarin het gevraagde voorkomt en waarmee je verder kunt. ‰ Vervang nu in de gekozen kernbetrekking de algemene grootheden door specifieke grootheden. ‰ Breid daarna de oplossingsroute uit, de nieuwe grootheden worden de nieuwe eindpunten van deze route. ‰ Ga na welke eindpunten van de oplossingsroute onbekend zijn.

11

In formulevorm: De horizontale kracht is afhankelijk van het aantal personen.

Vergelijking 1 ⇒ F horizontaal aantal personen n 250 N

F w = 0,3 G y

z

Figuur 1.5 Betonblok met krachten

De personen dienen een horizontale kracht te ontwikkelen groter dan de wrijvingskracht.

Vergelijking 2 ⇒ F horizontaal F wrijving De wrijvingskracht is 30% van de verticale kracht.

Vergelijking 3 ⇒ F wrijving 0,3 G Uitwerking ‰ Bepaal eerst de eindbetrekking aan de hand van de oplossingsroute.

In de eindbetrekking komen alle bekende grootheden voor. ‰ Je kunt nu het antwoord vinden door alle waarden in te vullen en het antwoord uit te rekenen. ‰ Zorg ervoor dat alle waarden in de juiste eenheid staan.

Het oplossingspad leidt tot het invullen van de vergelijkingen 3, 2 en 1.

Vergelijking 3 ⇒ F wrijving 0,3 G ⇒ F wrijving 0,3 3000 900 N Vergelijking 2 ⇒ F horizontaal F wrijving ⇒ F horizontaal 900 N Vergelijking 1 ⇒ F horizontaal aantal personen n 250 N ⇒ F horizontaal n 250 N

9006814859_bw_ingeladen.indd 23

28/02/19 09:04

12

1 UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

MODULE 1

Invullen in vergelijking 2 levert:

UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

F horizontaal 900 N ⇒ n 250 N 900 N 900 N ⇒ n 3,6 personen ⇒ wordt 4 personen 250 N Controle ‰ Bekijk het antwoord kritisch. Is het gevonden antwoord wel reëel? ‰ Vergelijk het antwoord met de gemaakte schatting. Ga de oorzaak van een te groot verschil na. ‰ Staat het antwoord in de juiste eenheden en in het juiste aantal significante cijfers?

Door nu het gevraagde in te vullen, is een controle mogelijk: 4 personen kunnen 4 250 N 1000 N verplaatsen.

De wrijvingskracht is 0,3 3000 900 N. 1000 N 900 N; akkoord.

Het voorbeeld is eenvoudig van structuur en is ook zonder het stappenplan op te lossen. Het voordeel van de gekozen methodiek komt tot uitdrukking bij de wat ingewikkelder problemen.

1 2 y x

z

x

Tekenafspraak uitwendig evenwicht

Hoewel voor het berekenen van het uitwendig evenwicht een consequente tekenafspraak niet nodig is, wordt in deze module zo veel mogelijk de tekenafspraak volgens de geldende norm gebruikt.

x y

z ruimtelijk, 3D

z platte vlak, 2D

a

b

Figuur 1.6 Tekenafspraak

Het assenstelsel in het platte vlak dat wordt gebruikt in dit boek, volgt uit het ruimtelijk rechtsdraaiend assenstelsel van figuur 1.6a. De positieve draairichting in dit stelsel is aangegeven voor ieder vlakje x- y, y-z en z-x . Het assenstelsel in het platte vlak, zoals wij gebruiken voor draagconstructies, is het x-z-vlak. Dit assenstelsel is in figuur 1.6b aangegeven. De draairichting wordt aangeduid met de letter spreek uit als fi .

De belasting is hier positief qua richting getekend. Het is gebruikelijk om de reactiekrachten te tekenen zoals ze werken. Is de richting van de reactiekrachten lastig in te schatten, dan kan men een richting aannemen. Uiteindelijk zal uit de berekening blijken of de aangenomen richting juist is. Dit uit zich in het teken van de uitkomst.

Figuur 1.7 Latei met belasting

9006814859_bw_ingeladen.indd 24

28/02/19 09:04

13 MODULE 1

2 Krachten, momenten (inwendig) en koppels (uitwendig) zijn de primaire typen van belasting op een constructie. Belastingen kunnen bestaan uit eigengewicht van de constructie, windbelasting, personen, voertuigen, enzovoort. De belastingen waarop bouwconstructies dienen te worden berekend, zijn vastgelegd in NEN 6702.

De meest voorkomende belastingen zijn puntlasten en gelijkmatig verdeelde belastingen. Gelijkmatig verdeelde belasting kunnen we ons voorstellen als een belasting over een bepaalde lengte, een groot aantal even grote puntlasten tegen elkaar, zodat deze in lengterichting een continue belasting vormen. In figuur 2.1 kan het muurtje van betonsteen met massa van 2400 kg/m 3 worden geschematiseerd als een gelijkmatig verdeelde belasting van 4,8 kN/m. man = 80 kg

UITWENDIGE KRACHTEN EN EVENWICHT

KRACHT, MOMENT EN KOPPEL

stenen = 0,20 m dik 1 m hoog

situatie

F = 0,8 kN q = 4,8 kN/m

Figuur 2.1 Puntlast gelijkmatig verdeelde belasting

9006814859_bw_ingeladen.indd 25

schematisering

28/02/19 09:04

Basisboek Toegepaste Mechanica

Basisboek Toegepaste Mechanica is bestemd voor studenten in het HBO/WO, opleiding Bouwkunde en Civiele Techniek.

Het boek behandelt ‘de leer van het evenwicht’ ofwel de statica, een hoofdprobleemstelling uit de constructieleer, en een van de basisgereedschappen voor het ontwerpen en construeren van bouwkundige en/of civieltechnische constructies.

Het boek is modulair van opzet en gericht op zelfstudie. Hierdoor kan het flexibel worden ingezet in de verschillende onderwijsprogramma’s en onderwijswerkvormen.

Elke module eindigt met een toets.

Kijk op de website techniekvoorhbo.nl/bouwkunde/Toegepaste mechanica, voor de uitwerkingen van de opdrachten en de antwoorden op de toetsvragen.

Basisboek Toegepaste Mechanica

J.W. Welleman

J.W. Welleman

A. Dolfing

A. Dolfing

J.W. Hartman

9789006814859_omslag.indd 1

9 789006 814859

4e druk

J.W. Hartman

28/02/19 08:45