2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine Θεωρία Μέτρου 71 : 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 Θεµελιώδεις έννοιες και293 παραδείγµατα 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 307 311 313 317 331 337 347 349 3
Θεωρία Μέτρου: Θεμελιώδεις έννοιες και παραδείγματα Χρόντσιος-Γαρίτσης Ευστάθιος-Κωνσταντίνος
γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος μεταπτυχιακός φοιτητής University of Cambridge
Εισαγωγή
Η Θεωρία Μέτρου, όπως ίσως συµπεραίνεται και από το όνοµα, είναι ο κλάδος των µαθηµατικών µε τον οποίο µπορούµε να ορίσουµε αυστηρά τον ῾῾τρόπο µέτρησης᾿᾿ συνόλων. Ο κλάδος αυτός έχει σηµαντικά αποτελέσµατα τόσο στα ϑεωρητικά µαθηµατικά, όπως η γενίκευση της έννοιας του ολοκληρώµατος σε τυχαίο αφηρηµένο χώρο, όσο και στη ϑεωρία πιθανοτήτων. Ας δούµε κάποιες ϑεµελιώδεις έννοιες, καθώς και το πώς µπορούµε να τις συσχετίσουµε µε όσα ήδη γνωρίζουµε. Ορισµός 1. ΄Εστω ένα µη κενό σύνολο X . ΄Ενα µη κενό σύνολο υποσυνόλων του Χ, έστω A ✓ P (X), λέγεται σ-άλγεβρα του X αν και µόνο αν ισχύουν τα παρακάτω : ι) Για κάθε A 2 A, το συµπλήρωµά του Ac 2 A ιι) Για κάθε ακολουθία συνόλων {An } ✓ A η ένωσή τους
S n
An 2 A
Το χώρο X εφοδιασµένο µε τη σ-άλγεβρα A το λέµε µετρήσιµο χώρο και το συµβολίζουµε (X, A) Τώρα που έχουµε µπροστά µας την έννοια του µετρήσιµου χώρου, µπορούµε να προχωρήσουµε στον ορισµό του µέτρου επάνω σε αυτόν :
Ορισµός 2. Ας είναι (X, A) ένας χώρος µέτρου. Μια επεκτεταµένη συνάρτηση µ : A −! R [ {+1} λέγεται µέτρο στην A αν και µόνο αν ισχύουν τα εξής : ι) µ(;) = 0 ιι) µ(E) ≥ 0, 8E 2 A ιιι) Για κάθε το πολύ αριθµήσιµη οικογένεια {En } ✓ A ξένων ανά δύο συS P νόλων, το µ( n En ) = n µ(En ). Η ιδιότητα αυτή λέγεται αριθµήσιµη προσθετικότητα Την τριάδα (X, A, µ) την ονοµάζουµε χώρο µέτρου.
Αναφέραµε λοιπόν τι χρειάζεται ο χώρος για να µπορεί να δεχθεί τρόπο µέτρησης (να είναι µετρήσιµος) και δώσαµε τους ῾῾κανόνες᾿᾿ που πρέπει να τηρεί κάθε τρόπος µέτρησης που ϑέλουµε να χρησιµοποιήσουµε. Ας δούµε πώς αυτά που ήδη γνωρίζουµε, από το σχολείο ακόµα, συµβαδίζουν µε τους παραπάνω ορισµούς.
Παράδειγµα 1. Θεωρούµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R και τη συνάρτηση που δίνει για κάθε διάστηµα D το µήκος του, δηλαδή
l(D) =
(
b − a, +1
αν D ϕραγµένο µε sup D = b και inf D = a, αν D άπειρο
τότε δείχνεται εύκολα ότι το l έχει όλες τις ιδιότητες του µέτρου.
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 137487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 6591661 673 677 683 691 701 709 719 727 733