the prime magazine 6 by the_prime_magazine

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 47 53 59 61 3 the 6 PR1ME 3 89 97 101 1 magazine 113 127 131 1 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 Τεύχος: 6 / Σεπτ-Οκτ-Νοεμ 2017 479 487 491 499 503 509 521 το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ.

the

PR1ME

Τεύχος: 6o

magazine

ΕΝΤΟΣ:

{ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ} 07_Τα εν οίκω

ΣΕΠΤ-ΟΚΤ-ΝΟΕΜ 2017

11_Κρυμμένοι θησαυροί του Α.Π.Θ. 19_Η σημασία της επανάληψης 31_Αν4λυσ3 το 41_Sudoku: Ο γρίφος του 21ου αιώνα 53_Βιβλιοπαρουσίαση: “On Growth and Form”

ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου

61_ Μια σύντομη γνωριμία με τη Συνδυαστική 73_ Bitcoin: Η άλλη όψη του ίδιο νομίσματος ή μια νέα συναλλακτική πραγματικότητα; 97_Alfred Nobel: Ένας πρωτοπόρος εφευρέτης 103_ Μαθηματικοφοβία 109_Ταξιδεύοντας με το μυαλό και το σώμα: Βαλτικές Χώρες 127_ (Παρα)Λογισμός 137_Θεωρία Μέτρου: Θεμελιώδεις έννοιες και παραδείγματα 151_photocollage: bye bye summer

ακαδημαϊκό έτος

2017-18

163_Στατιστικές καταγραφές της πραγματικότητας 173_Math Art by Coral Fang

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 2_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

the

PR1ME magazine

Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ηλεκτρονική σελίδα: http://the-prime-magazine.math.auth.gr Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: https://www.facebook.com/theprimemagazine/ Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος.

A Σ

the.prime.magazine@gmail.com

ρχισυνταξία:

Βασίλειος Καλέσης

υντακτική Ομάδα:

Γεώργιος Βανασίκας Γεωργία Γιαμλόγλου Ευάγγελος Ιωαννίδης Αθανάσιος Κουρούπης Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης Λάζαρος Μωυσής Αθηνά Νησιώτη Ίρις Παπαδοπούλου Νίκος Στάρρεβελντ Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ευσταθ. - Κων/νος Χρόντσιος - Γαρίτσης

Τεύχος

Φ Σ Ν

6ο

ωτογράφος:

Γεωργία Ευαγγελίδη

κιτσογράφος:

Μάγδα Παπαθανασίου

ομική σύμβουλος:

Ελένη Βαρβαρούση

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569the 571prime 577 587 593 599 magazine_ 3 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Editorial Καλό ακαδημαϊκό έτος, καλή επιστροφή στα ακαδημαϊκά έδρανα και καλή ανάγνωση του 6ου τεύχους του prime magazine. Επιστρέφουμε δριμύτεροι, μετά από τις καλοκαιρινές μας διακοπές, γεμάτοι έμπνευση, με πολλά και συνάμα ενδιαφέροντα άρθρα. Στο παρόν τεύχος θα περιηγηθείτε στα “κρυμμένα” μουσεία που στεγάζονται στους χώρους του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου (σελ: 6) και θα αναπολήσετε τις διακοπές σας μέσα από το photocollage με θέμα “bye bye summer” (σελ: 151). Θα συνειδητοποιήσετε “τη σημασία της Επανάληψης” για την μάθηση των Μαθηματικών (σελ: 19), θα λύσετε και θα μάθετε την ιστορία του Sudoku (σελ: 41), θα γνωρίσετε την “Μαθηματικοφοβία” (σελ: 103) αλλά και τον τρόπο λειτουργίας των ψηφιακών νομισμάτων (σελ: 73). Επίσης, θα αυξήσετε τις γνώσεις πάνω στη Θεωρία Μέτρου (σελ: 137) και την Ανάλυση (“Ανάλυσέ το” σελ: 31 και “Παραλογισμός” σελ: 127), ενώ θα μάθετε χρήσιμες πληροφορίες για τον Alfred Nobel (σελ: 97), το βιβλίο του D’Arcy Thompson “On growth and form” (σελ: 53) καθώς και λεπτομέρειες σχετικά με τον τρόπο καταγραφής των στατιστικών της πραγματικότητας (σελ: 163).

φώτο: Νικόλαος Καραμπετάκης

Τέλος, θα κάνετε μια πρώτη γνωριμία με τη Συνδυαστική μέσω προβλημάτων της πραγματικής ζωής (σελ: 61), ενώ το νοερό ταξίδι μας θα τελειώσει με μια βόλτα στις “Βαλτικές Χώρες” (σελ: 109). Πάντα, στη στήλη “Τα εν οίκω” θα διαβάζετε τα τελευταία νέα της σχολής, μέχρι τη στιγμή που γράφονται αυτές οι σειρές... (σελ: 7). Καλή ανάγνωση και καλή χρονιά! Βασίλειος Καλέσης

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 5_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 Τα263 νέα: 233 239 241 251 257 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 uΘα θέλαμε να καλωσορίσουμε στο Τμήμα Μαθηματικών τον Δρ. κ. Ψαρουδάκη Χρυσόστομο ο οποίος εκλέχτηκε Επίκουρος Καθηγητής στον Τομέα της Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής στο γνωστικό αντικείμενο “Άλγεβρα”, τον Δρ. κ. Διογένη-Ρωμανό Μαλικιώση ο οποίος εκλέχτηκε Αναπληρωτής Καθηγητής στον Τομέα της Μαθηματικής Ανάλυσης στο γνωστικό αντικείμενο “Αρμονική Ανάλυση ή Γεωμετρική Ανάλυση ή Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων ή Θεωρία Δυναμικού ή Θεωρία Τελεστών ή Μιγαδική Ανάλυση ή Συναρτησιακή Ανάλυση” αλλά και τον Δρ. Γεώργιο Αφένδρα ο οποίος εκλέχτηκε στη θέση του Επίκουρου Καθηγητή στον Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας στο γνωστικό αντικείμενο Στατιστική ή Πιθανότητες.

τά ἐν οἴκῳ

Οι διακρίσεις: uΤο βραβείο “Δανίκας” του Τομέα Μαθηματικής Ανάλυσης απονεμήθηκε στους φοιτητές του Τμήματος: 1. Κωνσταντίνο Κάρτα 2. Ευστάθιο-Κωνσταντίνο Χρόντσιο-Γαρίτση 3. Βύρωνα Μπουλούμη

uΝα συγχαρούμε την υποψ. διδάκτωρ του Τμήματος κ. Χριστίνα Καραφυλλιά η οποία σε διαγωνισμό της Ακαδημίας Αθηνών απέσπασε υποτροφία με έναρξη το ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 για εκπόνηση διδακτορικής διατριβής στην Ελλάδα ή το εξωτερικό uΕυχόμαστε καλή συνταξιοδότηση στον Αν. Καθη- στον κλάδο των Μαθηματικών, από τα έσοδα της γητή του Τμήματος κ. Νικόλαο Φαρμάκη. Να είναι ∆ωρεάς-Κληροδοτήματος Π. Γραμματικάκη. γερός, δυνατός και πάντα δίπλα στο Τμήμα όταν τον uΝα συγχαρούμε τις φοιτήτριες κ. Θεοδοσιάδου χρειαστεί. Ουρανία και Πίττου Μαρία οι οποίες απέσπασαν υποτροφία από το ΕΛΙΔΕΚ (Ελληνικό Ίδρυμα Έρευνας και Καινοτομίας) για εκπόνηση διδακτορικής διατριβής.

uΝα συγχαρούμε τους μεταπτυχιακούς (πλέον) φοιτητές Κωνσταντίνο Κάρτα, Ευστάθιο Χρόντσιο και Φοίβο Κατσετσιάδη, οι οποίοι έγιναν δεκτοί στα Πανεπιστήμια του Oxford και Cambridge αντίστοιχα για να συνεχίσουν τις μεταπτυχιακές τους σπουδές και να τους ευχηθούμε καλή σταδιοδρομία. uΝα συγχαρούμε τον φοιτητή του Τμήματος Φράγκο Αναστάσιο για το χάλκινο μετάλλιο που απέσπασε ο Διαγωνισμό Μαθηματικών για uΤα ονόματα των μεταδιδακτόρων που θα διδάξουν στον 24 Διεθνή th φοιτητές (24 International Mathematics Compeφέτος στο Τμήμα: tition for University Students), ο οποίος διεξήχθη 1.Γενική Τοπολογία: Χ. Παπαχριστόδουλος στο Blagoevgrad της Βουλγαρίας στις 31 Ιουλίου - 6 2.Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης: Γ. Στυλογιάννης Αυγούστου 2017. 3.Γραμμική Γεωμετρία Ι: Θ. Θεοφανίδης 4.Υπολογιστική Γεωμετρία: Π. Δόσπρα Η ορκωμοσία 5.Στατιστική Συμπερασματολογία: Α. Σκουρκέας uΕυχόμαστε καλή σταδιοδρομία στους φοιτητές του 6.Υπολογιστικοί Μέθοδοι στην Άλγεβρα και στην Τμήματος που ορκίστηκαν την 19η Ιουλίου 2017. Αλγεβρική Γεωμετρία: Χ. Τατάκης 7.Μαθηματικά Λογισμικά και οι Γλώσσες Αναπαράστασης Γνώσης: Γ. Μακρής

Το καλωσόρισμα uΘα θέλαμε να καλωσορίσουμε τους νέους φοιτητές του Τμήματος. Ευχόμαστε καλό ξεκίνημα και καλή επιτυχία στις σπουδές σας. Να είστε σίγουροι ότι κάνατε μια σοφή επιλογή που θα σας δικαιώσει στο μέλλον.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569the 571prime 577 587 593 599 magazine_ 7 601

‘Κρυμμένοι θησαυροί’ του Α.Π.Θ γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου

μεταπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού Α.Π.Θ.

Λαογραφικό Μουσείο και Αρχείο της Φιλοσοφικής Σχολής

Θεσσαλονίκη, όπως είναι λογικό με βάση την ιστορία και τη θέση της, διαθέτει πολλά μουσεία τα οποία καλύπτουν όλες τις πολιτιστικές κατηγορίες (πολιτισμού, ιστορίας, τέχνης και αθλητισμού). Το Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, ως φορέας διάδοσης πολιτισμού, δε θα μπορούσε να μη διαθέτει δικά του μουσεία, τα οποία όμως ελάχιστοι γνωρίζουν.

Η ίδρυση του Λαογραφικού Μουσείου τοποθετείται με την έναρξη της λειτουργίας του πανεπιστημίου, τέλος της δεκαετίας του 1920, ύστερα από εισήγηση του μεγάλου λαογράφου Στίλπωνος Κυριακίδη, με φιλοδοξία αυτός ο πυρήνας να βοηθήσει τους φοιτητές και μελλοντικούς μελετητές να γνωρίσουν τον παραδοσιακό πολιτισμό του βορειοελλαδίτικου χώρου.

Το Μουσείο Εκμαγείων Η ίδρυση του μουσείου Εκμαγείων τοποθετείται στα τέλη της δεκαετίας του 1930, στη Φιλοσοφική Σχολή, από τον Kαθηγητή Κλασικής Αρχαιολογίας Κ. Ρωμαίο. Από το 1970, το μουσείο στεγάζεται στο υπόγειο του νέου κτιρίου της Σχολής, φιλοξενώντας συλλογή μαρμάρινων και πήλινων εκμαγείων. Η συλλογή αποτελείται από τουλάχιστον 700 πρωτότυπα και αντίγραφα έργα μεταλλοτεχνίας, από τη μινωική ως τη βυζαντινή εποχή. Επίσης, διαθέτει περισσότερα από 1500 πρωτότυπα αγγεία και έργα μικροτεχνίας της γεωμετρικής, αρχαϊκής και κλασικής περιόδου καθώς και συλλογή νομισμάτων της ελληνορωμαϊκής και βυζαντινής περιόδου. Επιτελεί έναν εκπαιδευτικό και κοινωνικό ρόλο, καθώς χρησιμοποιείται ως κέντρο έρευνας, διδασκαλίας και πρακτικής άσκησης προπτυχιακών και μεταπτυχιακών φοιτητών, ενώ είναι επισκέψιμο, με ελεύθερη είσοδο καθημερινά 8:30 με 14:30.

πηγή: http://castmuseum.web.auth.gr/el

πηγή: https://www.auth.gr/museums_archives/laografiko

Με ιδιαίτερο ζήλο, το προσωπικό του Μουσείου, κατάφερε να διαφυλάξει τα εκθέματα του, την περίοδο της Κατοχής και στον σεισμό του 1978. Βρίσκεται στο υπόγειο του παλαιού κτιρίου της Φιλοσοφικής, στις αίθουσες 8-9 και φιλοξενεί δύο μεγάλες κατηγορίες συλλογών, τα μουσειακά αντικείμενα και το αρχειακό υλικό. Η πρώτη αποτελείται από συλλογές λαϊκών ενδυμασιών, κεντήματα, υφαντά, έργα αργυροχοΐας, μεταλλοτεχνίας, ξυλογλυπτικής, κεραμικής, μουσικών οργάνων, ζωγραφικής, παλαιών φωτογραφιών και αρχειακό υλικό από αδημοσίευτες εργασίες, παροιμίες και τραγούδια, μαγνητοταινίες με πλούσιο μουσικό υλικό από όλη την Ελλάδα, το αρχείο αποκομμάτων του Ν. Γ. Πολίτη, μία ταινία ντοκουμέντο των Αναστενάρηδων του χωριού Αγία Ελένη Σερρών καθώς και προσωπικό αρχείο από την προσωπική βιβλιοθήκη του Στίλπωνα Κυριακίδη. Παρά τη λιγοστή κρατική χρηματοδότηση γίνονται συνεχείς προσπάθειες από τους φοιτητές και το επιστημονικό προσωπικό τόσο για τη συντήρηση όσο και για τον εμπλουτισμό των εκθεμάτων.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 11_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241Μουσείο 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Βιβλικό Το Βιβλικό Μουσείο ιδρύθηκε το 1986, στη Θεολογική Σχολή, στον 3ο όροφο και αποτέλεσε την υλοποίηση ενός ονείρου του αείμνηστου ομότιμου Καθηγητή Δαμιανού Δόικου. Τα πρώτα ομοιώματα έφθασαν από το μουσείο του Λούβρου το 1988, ακολούθησε το Αρχαιολογικό Μουσείο Θεσσαλονίκης και τέλος το Βρετανικό Μουσείο το 1990.

Εικόνα 1: Θεολογική Σχολή Α.Π.Θ.

Η τρίτη είναι η συλλογή σπονδυλωτών οργανισμών που αναφέρεται κυρίως στην εξέλιξη των θηλαστικών, όπου το εργαστήριο αναπτύσσει εκτεταμένη ερευνητική δραστηριότητα. Η συλλογή περιλαμβάνει απολιθωμένα λείψανα θηλαστικών ανά την Ελλάδα (κοιλάδα Αξιού, Μυγδονία λεκάνη, λεκάνη Γρεβενών, Θεσσαλία, Πετράλωνα, Νικήτη Χαλκιδικής κ.ά.) και παρουσιάζει κρανία και οστά αντιλοπών, ιπποειδών, καμηλοπαρδάλεων, σαρκοφάγων, ρινόκερων και προβοσκιδωτών, που έζησαν τα τελευταία 10 εκατομμύρια χρόνια. Στο Μουσείο φυλάσσονται δύο από τα πιο ενδιαφέροντα παγκοσμίως δείγματα, το τμήμα κρανίου του Ouranopithecus macedoniensis, ηλικίας 9,5 εκατομμυρίων ετών, το οποίο βρέθηκε στην περιοχή του Αξιού ποταμού και το κρανίο του «Ανθρώπου των Πετραλώνων», ηλικίας περίπου 200.000 ετών, το οποίο θεωρείται ότι ανήκει σε ένα τελικό στάδιο του Homo erectus και αποτελεί σταθμό στην πορεία προς το σύγχρονο άνθρωπο. Το μουσείο είναι επισκέψιμο κάθε Πέμπτη πρωί σε ομάδες σχολείων ή ενηλίκων, κατόπιν συνεννοήσεως.

Τα εκθέματα δεν έχουν άμεση σχέση με τη Βίβλο, καθώς σκοπός του είναι η παρουσίαση μιας ολοκληρωμένης εικόνας του ευρύτερου ιστορικού, γεωγραφικού και πολιτιστικού περιβάλλοντος της εγγύς Ανατολής, όπου γεννήθηκε η Βίβλος. Επειδή οι γλώσσες της περιοχής είναι κατά το πλείστον άγνωστες σήμερα, προτιμήθηκαν κυρίως εικονογραφικές παραστάσεις, ώστε οι επισκέπτες να πηγή: https://www.auth.gr/museums_archives/geology αντιλαμβάνονται τη μορφή των αντικειμένων που περιγράφονται. Μουσείο Ζωολογίας

Μουσείο Γεωλογίας - Παλαιοντολογίας Το Μουσείο Γεωλογίας ιδρύθηκε το 1927, εντός του εργαστηρίου Γεωλογίας-Παλαιοντολογίας, στη δεξιά πτέρυγα του ισογείου του παλαιού κτιρίου της Σχολής Θετικών Επιστημών. Τα εκθέματα διακρίνονται σε τρείς βασικές συλλογές. Η πρώτη, ορυκτά και πετρώματα του ελληνικού χώρου, περιλαμβάνει μία πετρογραφική συλλογή της διάρθρωσης και εξέλιξης της γεωλογίας, συλλογή ορυκτών από τα ορυχεία Στρατωνίου Χαλκιδικής και Λαυρίου, εμπλουτισμένη με χαρακτηριστικά ορυκτά της Ευρώπης, μία συλλογή μαρμάρων και μία συλλογή γαιανθράκων. Η δεύτερη, ασπόνδυλων οργανισμών, αναφέρεται στην εξέλιξη τους στο βάθος του γεωλογικού χρόνου (εδώ και 600 εκατομμύρια χρόνια) και περιλαμβάνει δείγματα από Ελλάδα και Ευρώπη, όπως Τριλοβίτες, Αμμωνίτες, Ιππουρίτες.

Το Μουσείο Ζωολογίας βρίσκεται στις εγκαταστάσεις του Τομέα Ζωολογίας, στον 6ο όροφο του κτιρίου Βιολογίας και φιλοξενεί συλλογές ταριχευμένων ζώων από διάφορες τροπικές και εύκρατες περιοχές του πλανήτη. Η πρώτη συλλογή αποκτήθηκε αρχές του 1930 από τον ρωσικής καταγωγής μετανάστη Poduskin. Έκτοτε, εμπλουτίσθηκε από δείγματα που συνέλεξαν και συντήρησαν το προσωπικό του Εργαστηρίου ή αγοράσθηκαν. Πλέον υπάρχουν 407 δείγματα, 42 από τα οποία ανήκουν σε διάφορα είδη πτηνών. Το εργαστήριο διαθέτει επίσης και μία συλλογή νωπού ζωολογικού υλικού που συλλέχθηκε στο πλαίσιο των ερευνητικών δραστηριοτήτων, όπως δείγματα ασπόνδυλων (σπόγγοι, κοράλλια, δακτυλιοσκώληκες, καρκινοειδή, κ.ά.) και σπονδυλωτών, κυρίως ψαριών. Η μόνη συλλογή που είναι ανοικτή στο ευρύ κοινό, είναι των ταριχευμένων ζώων, ενώ οι υπόλοιπες είναι διαθέσι-

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 13 601 the prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 -μες241 για ερευνητικούς σκοπούς. Μουσείο Άγριας Πανίδας

Το παλαιό τμήμα φιλοξενεί συλλογές που συλλέχθηκαν από διάφορες περιοχές της Ελλάδας κατά την περίοδο 1800-1950. Στο νέο τμήμα φιλοξενούνται τα δείγματα των σύγχρονων ερευνητών, χωρισμένα σε θεματικές ενότητες ανά γεωγραφική περιοχή που εκπονήθηκε ή εκπονείται η αντίστοιχη έρευνα (δείγματα από το ∆έλτα του Έβρου, τα όρη της Μακεδονίας και της Θράκης, την περιοχή της Θεσσαλονίκης και του Βόλου, τον Εθνικό ∆ρυμό Βίκου - Αώου, την Κρήτη, τη Μάνη και τη Χίο). Επιπλέον υπάρχουν συλλογές που αφορούν μια ταξινομική ομάδα ή ομάδες φυτών που συλλέγονται από όλη την Ελλάδα (αρωματικά φυτά των γενών Calamintha, Mentha, Origanum, Salvia, Satureja, Thymus). Τα δείγματα του Μουσείου εμπλουτίζονται συνεχώς από τους ερευνητές, κατά 2.000 - 3.000 κάθε χρόνο.

Το Μουσείο Άγριας Πανίδας συμπληρώνει τα 10 χρόνια λειτουργίας και στεγάζεται στις εγκαταστάσεις της Σχολής Δασολογίας και Φυσικού Περιβάλλοντος, στο Φοίνικα. Διαθέτει περίπου διακόσια είδη άγριων θηλαστικών και πουλιών της ενδημικής πανίδας της χώρας και είδη που εμφανίζονται κατά την περίοδο των μεταναστευτικών μετακινήσεων. Η συλλογή των πρώτων εκθεμάτων χρονολογείται το 1950, η οποία εμπλουτίστηκε με ταριχευμένα είδη που ανήκαν σε ιδιώτες. Το Μουσείο έγινε επισκέψιμο από το ευρύ κοινό μετά την ίδρυση του αντίστοιχου Εργαστηρίου το 1975 και την οικονομική ενίσχυση της πρυτανείας του Α.Π.Θ., του Ταμείου ∆ιοίκησης και ∆ιαχείρισης των Πανεπιστημιακών ∆ασών και της ΣΤ΄ Κυνηγετικής Ομοσπονδίας. Η λειτουργία του μουσείου, πέρα από την κάλυψη των εκπαιδευτικών και ερευνητικών αναγκών των φοιτητών και των Εγκληματολογικό Μουσείο ειδικών επιστημόνων, αποτελεί και ένα σημαντικό πόλο έλξης για ενημέρωση της μαθητιώσας νεολαίας στα σύγχρονα περιβαλλοντικά προβλήματα της χώρας μας.

πηγή: https://www.auth.gr/museums_archives/criminologic

πηγή: https://www.auth.gr/museums_archives/panida

Το Βοτανικό Μουσείο Το Βοτανικό Μουσείο του Τμήματος Βιολογίας βρίσκεται στον 8ο όροφο του κτιρίου, στο Εργαστήριο Συστηματικής Βοτανικής και Φυτογεωγραφίας, όπου υπάρχουν περισσότερα από 30.000 αποξηραμένα δείγματα φυτών. Αναφορές - Πηγές:

Η συγκρότηση του Εγκληματολογικού Μουσείου στο Εργαστήριο Ιατροδικαστικής και Τοξικολογίας του Α.Π.Θ. ξεκίνησε το 1944 από τον καθηγητή Ηλιάκη ο οποίος έθεσε τις βάσεις με την καταχώρηση των πρώτων εκθεμάτων. Αρχικά είχε τοποθετηθεί δίπλα στο νεκροτομείο, ενώ το 2004 μεταφέρθηκε στο 2ο όροφο του κτιρίου και στον παλαιό χώρο του μουσείου άρχισε να λειτουργεί Εργαστήριο Ιατροδικαστικής ανάλυσης DNA. Σήμερα αναμένουμε να διαμορφωθεί πλήρως ο χώρος που θα φιλοξενεί τα εκθέματα του μουσείου.

‘Κρυμμέν θησαυρ

[1] Βιβλικό Μουσείο | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/bibliko [2] Βοτανικό Μουσείο | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/botaniko [3] Εγκληματολογικό Μουσείο | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/criminologic [4] Λαογραφικό Μουσείο και Αρχείο της Φιλοσοφικής Σχολής | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/laografiko [5] Μουσεία - Αρχεία - Συλλογές | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives [6] Μουσείο Άγριας Πανίδας | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/panida [7] Μουσείο Γεωλογίας - Παλαιοντολογίας | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/geology [8] Μουσείο Ζωολογίας | ΑΠΘ. (2017), https://www.auth.gr/museums_archives/zoology [9] Το Μουσείο Εκμαγείων | Μουσείο Εκμαγείων. (2017) http://castmuseum.web.auth.gr/el

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 17_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Η σημασία της επανάληψης γράφει η Κατερίνα Χατζηγεωργίου Μαθηματικός M.Sc.

Η επανάληψη δεν είναι μία απλή διαδικασία η οποία

μπορεί να παραληφθεί ελλείψει χρόνου. Ο στόχος της επανάληψης δεν είναι μία υπενθύμιση των όσων έχουμε μάθει, αλλά η συνολική επεξεργασία αυτών. Με την επανάληψη οργανώνουμε τις πληροφορίες και τις συνδέουμε με τις παλιές, ώστε να μην είναι σκόρπιες και ασύνδετες στο μυαλό μας και επομένως ακατάλληλες για χρήση. Σύμφωνα με τον Ericsson, οι γνωστικές στρατηγικές που χρησιμοποιούμε στη φάση της επανάληψης επηρεάζουν πολύ τη δυνατότητα ανάκλησης της γνώσης, την αξιοποίηση της και επομένως την αποτελεσματικότητα της μάθησης. Η μηχανική επανάληψη κατά την οποία επαναλαμβάνουμε απλώς από την αρχή την ύλη, βοηθάει μόνο σε αποσπασματική ανάκληση στη μνήμη.

ορισμό, θεώρημα, μέθοδο, όχι με βάση τη χρονική σειρά που τα διδάχτηκαν, αλλά με όρους κριτικής σκέψης. Ο Beyer ορίζει την κριτική σκέψη ως την ικανότητα να εξάγεις αιτιολογημένες αποφάσεις. Ο Dewey θεωρεί πως «οι ίδιες εμπειρίες που οδηγούν στην ανάπτυξη της κριτικής σκέψης, οδηγούν και στη μάθηση σημαντικών γνώσεων».

Πώς μπορούμε λοιπόν να οργανώσουμε την επανάληψη;

Πώς µπορούµε λοιπόν να οργανώσουµε την επα Παρακάτω δίνεται ένα σχεδιάγραμμα στο οποίο ένα σχεδιάγραµµα φαίνεται ηΠαρακάτω σειρά με δίνεται την οποία διδάσκονται στο τα οποίο φ μαθηματικά της Γ΄ταλυκείου: διδάσκονται µαθηµατικά της Γ΄ λυκείου.

Πώς µπορούµε λοιπόν να οργανώσουµε την επα “Μαθαίνω δεν σημαίνει συσσωρεύω γνώσεις, Πώς µπορούµε λοιπόν να οργανώσουµε την επανάληψη; αλλά τις επεξεργάζομαι, τις αναδιοργανώνω Παρακάτω δίνεται ένα σχεδιάγραµµα Παρακάτω δίνεται ένα σχεδιάγραµµα στο οποίο φαίνεται η σειρά µε την οποία στο οποίο φ και τις συνδέω με τις υπάρχουσες.”

διδάσκονται τα µαθηµατικά της Γ΄ λυκείου.διδάσκονται τα µαθηµατικά της Γ΄ λυκείου. Πώς µπορούµε λοιπόν να οργανώσουµε την επα Πώς µπορούµε λοιπόν να οργανώσουµε την επανάληψη; Η σωστή επανάληψη βοηθάει το μαθητή να Παρακάτω δίνεται ένα σχεδιάγραµµα Παρακάτω δίνεται ένα σχεδιάγραµµα στο οποίο φαίνεται η σειρά µε την οποία στο οποίο φ αποθηκεύσει τις πληροφορίες στη μακρόχρονη μνήμη του, να διδάσκονται ταξινομήσει τα καιµαθηµατικά να οργανώσει της Γ΄τολυκείου.διδάσκονται τα µαθηµατικά της Γ΄ λυκείου. γνωστικό αντικείμενο, δημιουργώντας γνωστικά Πώς µπορούµε λοιπόν να οργανώσουµε την επανάληψη; μονοπάτια τα οποία θα επιλέξει όταν του χρειαστούν Παρακάτω Η δίνεται ένα σχεδιάγραµµα στο οποίο φαίνεται η σειρά µε την οποία για ανάκληση της πληροφορίας. αναδιοργάνωση της ύλης βασίζεται σε κριτήρια εσωτερικεύονται διδάσκονται ταπου µαθηµατικά της Γ΄ λυκείου. και αποτελούν τις λέξεις κλειδιά στο μυαλό μας. Με την κατασκευή σχεδιαγραμμάτων, την συλλογή θεωρημάτων, μεθοδολογιών, στρατηγικών και Στο επόµενο σχεδιάγραµµα η ίδια ύλη, των µαθη την αξιολόγησή τους, καθώς και με τη διατύπωση ερωτημάτων, το μυαλό μας επιλέγει τη γνώση που θα οργανωθεί σε θεµατικές ενότητες. κρατήσει και την τοποθετεί στη σωστή θέση, έτοιμη για μελλοντική χρήση. Η απουσία μίας σωστής επανάληψης μπορεί να καταστήσει σε μεγάλο βαθμό περιττό τον προηγούμενο κόπο αφού η ανάκληση της γνώσης είναι αποσπασματική ή και αδύνατη. η ίδια ύλη, των Στο επόµενο σχεδιάγραµµα η ίδια ύλη, των µαθη Στο επόµενο σχεδιάγραµµα µαθηµατικών της Γ΄ λυκείου, έχει Η ύλη των μαθηματικών διδάσκεται με τέτοια οργανωθεί σε θεµατικές ενότητες. οργανωθεί σε θεµατικές ενότητες. χρονική σειρά έτσι ώστε οι νέες έννοιες να χτίζονται πάνω σε προϋπάρχουσες γνώσεις. Ωστόσο, όταν οι επόµενο σχεδιάγραµµα η ίδια Στο επόµενο σχεδιάγραµµα η ίδια ύλη, τωνΣτο µαθηµατικών της Γ΄ λυκείου, έχειύλη, των µαθη μαθητές πρέπει να επιλύσουν μία άσκηση, καλούνται να επαναφέρουνοργανωθεί στη μνήμησε τους και να επιλέξουν οργανωθεί σε θεµατικές ενότητες. θεµατικές ενότητες. µετάβαση από τις ενότητες ακολουθούν 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 Η431 433 439 443 449που 457 461 463τη

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 θεµατικές 557 563 ενότητες, 569 571 577 magazine_ 587ένα593 599 αποτελεί βασικό και the prime 19 601 Στο επόµενο σχεδιάγραµµα η ίδια ύλη, των µαθηµατικών της Γ΄ λυκείου, έχει 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 να οργανώσουµε την επανάληψη; Το παράδειγμα της μονοτονίας κατασκευάζουµε σχεδιαγράµµατα ώστε να οπτικοποιούµε τη σκέψη µας και να

σχεδιάγραµµα στο οποίο φαίνεται η σειρά µε την οποία συνειδητοποιούµε περισσότερο τη πορεία που ακολουθεί. Ας μελετήσουμε το θέμα της μονοτονίας το οποίο ης Γ΄ λυκείου. διδάσκεται παράγραφο 1.3 αλλά και 2.6 του Το παράδειγµα τηςστην µονοτονίας Ας µελετήσουµε το θέµα της το οποίο στην παράγραφο σχολικού βιβλίου τηςµονοτονίας κατεύθυνσης τηςδιδάσκεται Γ΄ λυκείου. 1.3 αλλά και 2.6 του σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης της Γ΄ λυκείου.

Στο επόμενο σχεδιάγραμμα η ίδια ύλη, των μαθηματικών της Γ΄ επόµενο λυκείου, έχει οργανωθεί ησείδια θεματικές Στο σχεδιάγραµµα ύλη, των µαθηµατικών της Γ΄ λυκείου, έχει ενότητες. οργανωθεί σε θεµατικές ενότητες.

µµα η ίδια ύλη, των µαθηµατικών της Γ΄ λυκείου, έχει

τες.

Αντιµέτωποι µε ένα θέµα εύρεσης µονοτονίας, τα προβλήµατα που µας απασχολούνΑντιμέτωποι είναι τα ακόλουθα: με ένα θέμα εύρεσης μονοτονίας, τα 1.! Να βρούµε τη µονοτονία της συνάρτησης βάσει του ορισµού της γνησίως προβλήματα που μας απασχολούν είναι τα ακόλουθα: µονότονης συνάρτησης ή χρησιµοποιώντας το θεώρηµα της πρώτης παραγώγου; Η µετάβαση από τις ενότητες που 2.! ακολουθούν τη διδακτική χρονική είναι σειρά, σε αρνητικό, µεταβαλλόµενο, ή Το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου θετικό, άγνωστο; 1. Να βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης θεµατικές ενότητες, αποτελεί ένα 3.! βασικό και αναπόσπαστο τµήµα µίαςτης πρώτης παραγώγου, πώς Αν δεν µπορούµε υπολογίσουµε το πρόσηµο βάσεινατου ορισμού της γνησίως μονότονης συνεχίζουµε; ολοκληρωµένης επανάληψης, χωρίς το οποίο ο µαθητής βρίσκεται αντιµέτωπος µε συνάρτησης ή χρησιμοποιώντας το θεώρημα 4.! Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις εύρεσης µονοτονίας που πρέπει να λειτουργήσουµε διαφορετικά; της πρώτης παραγώγου; ένα καίριο ερώτηµα: «Τι από όλα αυτά που έµαθα πρέπει να χρησιµοποιήσω για να Το σχεδιάγραµµα που ακολουθεί δίνει απαντήσεις στα παραπάνω. Δεν προτείνεται για αποµνηµόνευση, ούτε αποτελεί λύση για όλα τα προβλήµατα εύρεσης λύσω την άσκηση;». 2. Το πρόσημο της µελέτης, πρώτηςώστε παραγώγου µονοτονίας. Αποτελεί όµως αντικείµενο να συνειδητοποιήσει ο είναι αρνητικό, ή επίλυσης την πορεία της θετικό, σκέψης του, να επιλέγει πιο Αφού οργανωθούν οι θεµατικές µαθητής ενότητες, επεξεργαζόµαστε την κάθεμεταβαλλόμενο, µίασυνειδητά τον τρόπο µίας άσκησης εύρεσης µονοτονίας και να αντιληφθεί τη σηµασία της υποβολής άγνωστο; ξεχωριστά, διατυπώνοντας ερωτήµατα, αναλύοντας και αξιολογώντας τα θεωρήµατα αυτό-ερωτήσεων. μετάβαση από τις ενότητες που ακολουθούν τη

ότητες πουΗακολουθούν τη διδακτική χρονική σειρά, σε διδακτική χρονική σειρά,της σε ενότητας, θεματικές ενότητες, και τις µεθόδους αποσαφηνίζοντας και 3. Αν ταδενδύσκολα μπορούμεσηµεία να υπολογίσουμε το λεί ένααποτελεί βασικό ένα και βασικό αναπόσπαστο τµήµα µίαςτμήμα και αναπόσπαστο πρόσημο της πρώτης παραγώγου, πώς αναζητώντας τις εξαιρέσεις. Συγκρίνουµε τις µεθόδους και εντοπίζουµε οµοιότητες ολοκληρωμένης επανάληψης, χωρίς τοµεοποίο συνεχίζουμε; χωρίς τομίας οποίο ο µαθητής βρίσκεται αντιµέτωπος ο μαθητής βρίσκεταιαναζητάµε αντιμέτωπος με ένατακαίριο και διαφορές, κριτήρια οποία µας βοηθούν να επιλέγουµε και όλα αυτά που έµαθα να αυτά χρησιµοποιήσω να να ερώτημα: «Τι πρέπει από όλα που έμαθαγια πρέπει 4. Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις εύρεσης χρησιμοποιήσω για να λύσω την άσκηση;». μονοτονίας που πρέπει να λειτουργήσουμε Αφού οργανωθούν οι θεματικές ενότητες, διαφορετικά; θεµατικές ενότητες, επεξεργαζόµαστε την κάθε µία επεξεργαζόμαστε την κάθε μία ξεχωριστά, ωτήµατα,διατυπώνοντας αναλύοντας και αξιολογώντας θεωρήµατα και ερωτήματα, τα αναλύοντας αξιολογώντας τα θεωρήματα και τις μεθόδους της τητας, αποσαφηνίζοντας τα δύσκολα σηµεία και ενότητας, αποσαφηνίζοντας τα δύσκολα σημεία Συγκρίνουµε τις µεθόδους και οµοιότητες τις και αναζητώντας τις εντοπίζουµε εξαιρέσεις. Συγκρίνουμε εντοπίζουμε και διαφορές, κριτήρια μεθόδους τα οποίακαι µας βοηθούν ομοιότητες να επιλέγουµε και αναζητάμε κριτήρια τα οποία μας βοηθούν να επιλέγουμε και κατασκευάζουμε σχεδιαγράμματα ώστε να οπτικοποιούμε τη σκέψη μας και να συνειδητοποιούμε περισσότερο τη πορεία που ακολουθεί.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 23_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Το σχεδιάγραμμα που ακολουθεί δίνει απαντήσεις στα παραπάνω. Δεν προτείνεται για απομνημόνευση, ούτε αποτελεί λύση για όλα τα προβλήματα εύρεσης μονοτονίας. Αποτελεί, όμως, αντικείμενο μελέτης,

ώστε να συνειδητοποιήσει ο μαθητής την πορεία της σκέψης του, να επιλέγει πιο συνειδητά τον τρόπο επίλυσης μίας άσκησης εύρεσης μονοτονίας και να αντιληφθεί τη σημασία της υποβολής αυτόερωτήσεων.

Η σημασία της Επανάληψης

Βιβλιογραφία: 1.! Α. Χατζηγεωργίου, Η επανάληψη ως εργαλείο για την καλλιέργεια κριτικής σκέψης στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση, Πρακτικά 9ης Διεθνούς Μαθηµατικής Εβδοµάδας 2017. Αναφορές: 2.! Α. Χατζηγεωργίου, Οικοδοµώντας την επανάληψη – Το παράδειγµα της [1] Α. Χατζηγεωργίου, Η επανάληψη ως εργαλείο γιαηςτην καλλιέργεια κριτικής σκέψης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, Πρακτικά µονοτονίας, Πρακτικά 9ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας 2017. 9 Διεθνούς Μαθηµατικής Εβδοµάδας 2017. ης [2] Α. Χατζηγεωργίου, την επανάληψη Το παράδειγμα Διεθνούς Μαθηματικής 3.! Οικοδομώντας K. Anders Ericsson, Neil –Charness, PaulτηςJ.μονοτονίας, Feltovich,Πρακτικά Robert 9R. Hoffman, the Εβδομάδας 2017. Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance, Cambridge [3] K. Anders Ericsson, Neil Charness, Paul J. Feltovich, Robert R. Hoffman, The Cambridge Handbook of Expertise and Expert Handbooks in Psychology, ISBN:9780521840972, 9780521840972, July 2006. Performance, Cambridge Handbooks in Psychology, ISBN: July 2006. [4] Steven D. Schafersman, January 1991, An introduction to critical thinking. 4.! Steven D. Schafersman, January 1991, An introduction to critical thinking.# [5] International Journal of Research in Education and Science, Volume 2, Issue 1, winter 2016, “Mathematical teaching strate 5.!critical International Journal of Research in Education and Science, Volume 2, Issue gies: Pathways to thinking and Metacognition”. 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421strategies: 431 433 439 443 449 457 461 463 1, winter 2016, “Mathematical teaching Pathways to critical 467 479 487 491 499 503and 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 thinking Metacognition”. the prime 29 601

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

τ0

(Αν4λυσ3) Q∏roi analutik∏n γράφει sunart†sewn. ο Θάνος Μπεσλίκας

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Χώρ ο ι Αν α λυτικών Συν αρτ ή σ ε ων

24 Septembr–ou 2017 Per–lhyh

Sto àrjro autÏ ja parousiàsoume touc basikÏterouc q∏rouc analutik∏n sunart†sewn , orismËnec ston monadia–o d–sko. . Ja d∏soume meriko‘c basiko‘c orismo‘c kai Ënnoiec gia ton klassikÏ q∏ro D(D) (q∏roc Dirichlet) kai ton H 2 (D) (q∏roc Hardy.) kai ja touc sundËsoume àmesa.OdhgÏc mac ja e–nai h didaktorik† diatrib† pou mpore–te na bre–te sto [1].

OrismÏc 1: Wc q∏roc Dirichlet analutik∏n sunart†sewn, or–zetai to s‘nolo Ïlwn twn olomÏrfwn sunart†sewn ston monadia–o d–sko gia tic opo–ec isq‘ei Ïti h hminÏrma ||.||D e–nai peperasmËnh, dhlad†: Z Z Z 1 0 2 ||f ||D(D) = |f (z)| dxdy = |f 0 (z)|2 dA(z) < 1. ⇡ D D R Parat†rhsh: To olokl†rwma D |f 0 (z)|2 dA(z) ekfràzei to embadÏ thc eikÏnac thc sunàrths†c mac , sunupolog–zontac thn pollaplÏthta. OrismÏc 2: Wc q∏roc Hardy analutik∏n sunart†sewn or–zetai to s‘nolo Ïlwn twn olÏmorfwn sunart†sewn ston monadia–o d–sko gia tic opo–ec isq‘ei: Z 1 2⇡ ||f ||H 2 (D) = sup |f (rei✓ )|2 d✓. < 1 r<1 ⇡ 0 O q∏roc Hardy pou or–same parapànw e–nai q∏roc Hilbert. Isod‘nama loipÏn, mporo‘me na isquristo‘me to ex†c: PrÏtash 1: Isq‘ei Ïti : ||f ||H 2 (D) =

1 X

n=0

|an |2

1 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 31_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

(Αν4λυσ3)

τ0

ApÏdeixh: Jewro‘me wc eswterikÏ ginÏmeno gia d‘o sunart†seic f, g 2 H 2 (D) to ex†c: Z 1 2⇡ f (rei✓ )g(rei✓ )d✓ < f, g >= sup ⇡ r<1 0 P1 P1 E‘kola mporo‘me na de–xoume Ïti an f (z) = n=0 an z n , g(z) = n=0 bn z n tÏte 1 < f, g >= sup r<1 ⇡

2⇡

f (re

i✓

)g(rei✓ )d✓

1 X

an b¯n

n=0

JËtontac Ïpou g(z) = f (z) Ëqoume to apotËlesma, afo‘ o q∏roc Hardy e–nai Hilbert kai àra h nÏrma tou proËrqetai apÏ eswterikÏ ginÏmeno. StÏqoc mac e–nai na sundËsoume touc d‘o q∏rouc auto‘c. Gia na to kànoume ja prËpei prwt–stwc na apode–xoume to apotËlesma pou d–netai parakàtw : PrÏtash-'Askhsh gia ton anagn∏sth: An f (z) = fh ston monadia–o d–sko , tÏte: Z

|f (z)| dA(z) =

1 X

n=0

n=1

an z n olÏmor-

n|an |2 .

T∏ra e–maste Ëtoimoi na apÏde–xoume to basikÏ apotËlesma pou jËsame wc stÏqo mac parapànw. PÏrisma: Gia touc d‘o q∏rouc Dirichlet kai Hardy isq‘ei h ex†c sqËsh: Z |f 0 (z)|2 dA(z) ||f ||D(D) = ||f ||H 2 (D) + D

ApÏdeixh: ||f ||D(D) =

1 X

n=0

(n + 1)|an | =

1 X

n=0

n|an | +

1 X

n=0

|an |2

kai Ëqoume to apotËlesma. ANAFORES: [1]: Epamein∏ndac DiamantÏpouloc, O p–nakac Hilbert se q∏rouc analutik∏n sunart†sewn. Didaktorik† Diatrib†. Tm†ma majhmatik∏n Aristotele–ou Panepisthm–ou Jessalon–khc ,2003. Αναφορές: [1] Διαμαντόπουλος, Δ., (2003), Ο πίνακας Hilbert σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων. Διδακτορική Διατριβή. Τμήμα Μαθηματικών Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 37 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239Καλοκαίρι. 241 251Οι 257 263 269λιγοστεύουν 271 277 281 293Κάθε 307 311 317 331 337 347 349 3 υποχρεώσεις και ο 283 υφήλιο. χρόνο313 μάλιστα διοργανώνονται ελεύθερος χρόνος αυξάνεται. Πολλοί είναι αυτοί που καταφεύγουν σε σταυρόλεξα, γρίφους και παιχνίδια του μυαλού για να γεμίσουν δημιουργικά τις ημέρες τους. Ένα από αυτά και ίσως το πιο διάσημο είναι το Sudoku, με το οποίο έχουν ασχοληθεί οι περισσότεροι από εμάς τουλάχιστον μία φορά. Το Sudoku είναι ένα παιχνίδι λογικής που δεν απαιτεί εγκυκλοπαιδικές γνώσεις, ούτε αριθμητικές πράξεις. Αποτελείται συνήθως από έναν 9×9 πίνακα με 81 κελιά ο οποίος έχει διαιρεθεί σε 9 3×3 υποπίνακες. Κάποια από τα 81 κελιά περιέχουν αριθμούς από το 1 ως το 9. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να συμπληρωθούν τα κενά κελιά με τους μονοψήφιους ακέραιους από το 1 ως το 9 με τέτοιο τρόπο ώστε ο ίδιος αριθμός να μην εμφανίζεται στην ίδια γραμμή, στην ίδια στήλη ή στον καθένα από τους 3×3 υποπίνακες.

παγκόσμια πρωταθλήματα Sudoku. Για το 2017 το παγκόσμιο πρωτάθλημα θα διεξαχθεί στις 15-22 Οκτωβρίου στην πόλη Bangalore της Ινδίας και με ελληνική συμμετοχή. Εκτός από τον τρόπο λύσης ενός γρίφου Sudoku ενδιαφέρον παρουσιάζουν και τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από την κατασκευή του. Αρχικά μπορούμε να μετρήσουμε με πόσους τρόπους μπορεί κανείς να γεμίσει ολοκληρωμένα έναν 9×9 πίνακα Sudoku, αν λάβει υπ’ όψιν τον κανόνα συμπλήρωσης του γρίφου. Ο υπολογισμός αυτός δεν είναι απλός και μπορεί να υπολογιστεί ένα άνω φράγμα σε τέσσερα βήματα σύμφωνα με τις παρακάτω εικόνες. Στα κελιά εμφανίζονται πόσοι πιθανοί τρόποι υπάρχουν για κάθε κελί ώστε να γεμίσει ο 9×9 πίνακας με αριθμούς από το 1 ως το 9 χωρίς να επαναληφθεί ο ίδιος

S u d o k u:

Ο γρίφος του 21ου αιώνα. γράφει η Αθηνά Νησιώτη

προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

Οι ρίζες του Sudoku βρίσκονται στα «μαγικά αριθμός στην ίδια γραμμή (εικόνα 1), στήλη (εικόνα τετράγωνα»(1), τα οποία δημιούργησε ο μεγάλος 2), 3×3 υποπίνακα (εικόνα 3), καθώς και σε όλα μαζί μαθηματικός Leonard Euler σε ηλικία 76 ετών, (εικόνα 4). ! παρέμεινε όμως στην αφάνεια για πολλά χρόνια λόγω του θανάτου του. Με τη μορφή που είναι 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! γνωστό σήμερα το Sudoku εμφανίστηκε το 1979 από 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! τον εκδοτικό οίκο Dell, αλλά το “Number Puzzle” όπως αρχικά ονομάστηκε, δεν κατάφερε να κερδίσει 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! το αμερικανικό κοινό. Το 1984 κυκλοφόρησε στην 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! Ιαπωνία από την εκδοτική εταιρία Nikoli με το όνομα Sudoku , που σημαίνει «οι αριθμοί πρέπει να βγαίνουν 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! μόνο μία φορά» και γνώρισε μεγάλη επιτυχία. Στο 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! δυτικό κόσμο το Sudoku έφτασε με τον Νεοζηλανδό Wayne Gould, ο οποίος εθίστηκε στους γρίφους 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! αυτούς που αγόρασε από ένα βιβλιοπωλείο σε ένα 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! ταξίδι του στην Ιαπωνία. Προκειμένου να βρίσκει κι 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! άλλους γρίφους για να λύνει έφτιαξε ένα πρόγραμμα ! στον υπολογιστή που παρήγαγε νέα Sudoku και στη ! Εικόνα: 1 συνέχεια έστειλε κάποια από αυτά στους επικεφαλής ! των “Times”. Στις 12 Νοεμβρίου 2004 κυκλοφόρησε 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! το πρώτο παζλ Sudoku στην εφημερίδα “Times”, ενώ 3 μέρες αργότερα ακολούθησε η “Daily Mail” και 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! άλλες εφημερίδες. Σε λίγες μόνο ημέρες ολόκληρη 7! 7! 7! 7! 7! 7! 7! 7! 7! η Βρετανία μιλούσε για το νέο γρίφο. Το 2005 εξαπλώθηκε και στην Αμερική και έκτοτε έχει γίνει 6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! καθημερινή συνήθεια πολλών ανθρώπων ανά την

6! ! ! ! 3 ! 9! ! 4! ! ! 2! 3! ! 7

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 443 449 461 463 5! 431 5! 5!433 5! 439 5! 5! 5!4! 5! 457 5! ! ! 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599!601! 41_the magazine 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

! 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 2 3 5 7 11 13 113 127 131! 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 347 349 3 Δηλαδή συνολικά για τα313 τρία 317 πρώτα331 κελιά337 της πρώτης 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9!

8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 8! 7! 7! 7! 7! 7! 7! 7! 7! 7! 6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! 6! 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4! 4!

γραμμής δεν έχουμε πάνω από 9×8×7 τρόπους. Συνεχίζοντας έτσι και για τα 81 κελιά του πίνακα προκύπτει ότι έχουμε το πολύ 1,5×1031 τρόπους για να γεμίσουμε τον 9×9 πίνακα με τα 9 ψηφία, χωρίς να έχουμε επανάληψη του ίδιου ψηφίου σε μία γραμμή, στήλη ή 3×3 υποπίνακα.

Ο πραγματικός αριθμός είναι: 6.670.903.752.021.072.936.960 δηλαδή περίπου 6,7x1021

3! 3! 3! 3! 3! 3! 3! 3! 3! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1!

Sudoku και υπολογίστηκε από τους Betram Felgenhauer και9!Frazer 8! Jatris 7! 9!το 2005, 8! 7!χρησιμοποιώντας 9! 8! 7! ένα Εικόνα: 2 πρόγραμμα το οποίο οι ίδιοι δημιούργησαν σε C++. ! 4! περισσότερα 6! 5! 4! για 6! τον 5! τρόπο 4! που Από τον συνολικό πίνακα (εικόνα 4) βλέπουμε ότι Μπορείτε6!να 5! μάθετε ! (2) δεν υπάρχουν πάνω από 9 τρόποι για να γεμίσει το το κατάφεραν 3! 2!στο1!παρακάτω 3! 2! 1!. 3! 2! 1! !

9! 8! 7! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1! !

πρώτο κελί, πάνω από 8 τρόποι για το δεύτερο και πάνω από 7 τρόποι για να επιλέξουμε αριθμό για το τρίτο κελί της πρώτης σειράς.

9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1!

9! 8! 7! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1!

6! 6! 6! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 5! 5! 4! 5! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1!

9! 8! 7! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 3! 2! 1! 3! 2! 1! !

Εικόνα: 3

9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 6! 5! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 5! ! 3! 2! 1! 3! 2! (1) 1! 3! 2! 1!

3! ! ! ! ! 2! 6!! 6! ! 6! 7! 8! ! 5!! 5!6!4!

3! 3! 3! 3! 3! 3! 3! 2! 1! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 1! ! !

Εικόνα: 4

Το παρακάτω παράδειγμα (εικόνα 5) δείχνει γιατί το ! άνω φράγμα που εμείς αρχικά υπολογίσαμε διαφέρει ! αρκετά από τον πραγματικό αριθμό: ! !

Μαγικό τετράγωνο n×n ή τάξης n λέγεται μία τετραγωνική διάταξη n2 αριθμών έτσι ώστε, το κάθε1! γραμμής , κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου να είναι το ίδιο. Το κοινό αυτό 5! 4!άθροισμα 3! 2! άθροισμα ονομάζεται μαγική σταθερά.

6! 5! 5! 4! 3! 2! 1! (2) www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/sudoku/sudoku.pdf 2! 379 1! 3!383 2! 389 1! 3!397 2! 401 1! 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 353 359 3673!373

!4675!4791!4877! 3!491 3!9!499 3! 3!503 3! 509 3! 3!521 2! 523 1! 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 the prime magazine_43 607 613 6172!619 6412!643 2! 631 2! 2! 2! 647 2! 2!653 1! 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Μπορείτε να λύσετε το παρακάτω Sudoku; !

6! ! ! ! 3! ! ! 5! ! ! 9! ! 4! ! ! 2! ! ! ! 2! 3! ! 7! 8! ! ! 6! 4! ! ! ! ! 5! 1! 7! 9! 7! ! 6! ! ! ! ! ! 4! ! ! ! 3! ! ! ! ! !

! Εικόνα: 5

Στον!παραπάνω!πίνακα!το!κόκκινο!κελί!μπορεί!να!περιέχει!μόνο!2!αριθμούς!το!1!ή!το!3! Στον αφού!όλοι!οι!υπόλοιποι!εμφανίζονται!ήδη!στην!ίδια!σειρά!ή!στον!ίδιο!3×3!!υποπίνακα.! παραπάνω πίνακα το κόκκινο κελί μπορεί να περιέχει μόνο 2 αριθμούς το 1 ή το 3 αφού όλοι Όμως!στον!προηγούμενο!υπολογισμό!μας!χρησιμοποιήσαμε!ότι!το!κελί!αυτό!δε!μπορεί!να! οι υπόλοιποι εμφανίζονται ήδη στην ίδια σειρά ή συμπληρωθεί!με!πάνω!από!!4!τρόπους!.!Δηλαδή!ο!αριθμός!που!υπολογίσαμε!είναι!σίγουρα! στον ίδιο 3×3 υποπίνακα. Όμως στον προηγούμενο διπλάσιος!από!τον!πραγματικό.!

! 8! 2! ! ! ! ! ! ! 7! ! ! ! 2! 5! ! ! 6! 1! ! 8! ! 4! !

! ! !

υπολογισμό μας χρησιμοποιήσαμε ότι το κελί αυτό Ακόμη,!πολλοί!επιστήμονες!ενδιαφέρθηκαν!να!καταλάβουν!πότε!ένας!γρίφος!Sudoku!έχει! δε μπορεί να συμπληρωθεί με πάνω από 4 τρόπους. ! Καλή διασκέδαση… Δηλαδή ο αριθμός που υπολογίσαμε είναι σίγουρα μοναδική!λύση.!Αν!και!γενικά!είναι!πολύ!δύσκολο!κανείς!!να!το!καταλάβει!χωρίς!τη!χρήση! !Το!Sudoku!πάρθηκε!από!την!ιστοσελίδα!http://www.puzzles.ca/ διπλάσιος από τον πραγματικό. υπολογιστή,!έχει!βρεθεί!ότι!κανένα!Sudoku!στο!οποίο!δίνονται!οι!16!από!τους!81!!αριθμούς! Ακόμη, πολλοί επιστήμονες ενδιαφέρθηκαν να κα- Και!η!λύση…! δεν!έχει!μοναδική!λύση!ενώ!έχουν!βρεθεί!γρίφοι!με!17!στοιχεία!οι!οποίοι!λύνονται!με! ταλάβουν πότε ένας γρίφος Sudoku έχει μοναδική μοναδικό!τρόπο.!Επίσης!για!τη!μοναδικότητα!της!λύσης!απαραίτητο!στοιχείο!είναι,!στο! λύση. Αν και γενικά είναι πολύ δύσκολο κανείς να το γρίφο!μας!να!εμφανίζονται!8!από!τους!9!μονοψήφιους!ακέραιους,!γιατί!διαφορετικά! καταλάβει χωρίς τη χρήση υπολογιστή, έχει βρεθεί ανταλλάσσοντας!θέση!στα!στοιχεία!που!λείπουν!καταλήγουμε!σε!!διαφορετικές!λύσεις!του! ότι κανένα Sudoku στο οποίο δίνονται οι 16 από ίδιου!γρίφου.! τους 81 αριθμούς δεν έχει μοναδική λύση ενώ έχουν βρεθείΜπορείτε!να!λύσετε!το!παρακάτω!Sudoku;!!Καλή!διασκέδαση…! γρίφοι με 17 στοιχεία οι οποίοι λύνονται με μοναδικό τρόπο. Επίσης για τη μοναδικότητα της λύσης απαραίτητο στοιχείο είναι, στο γρίφο μας να εμφανίζονται 8 από τους 9 μονοψήφιους ακέραιους, γιατί διαφορετικά ανταλλάσσοντας θέση στα στοιχεία που λείπουν καταλήγουμε σε διαφορετικές λύσεις του ίδιου γρίφου. (1)Μαγικό!τετράγωνο!n×n!ή!τάξης!n!λέγεται!μία!τετραγωνική!διάταξη!n2!αριθμών!έτσι! ώστε,!το!άθροισμα!κάθε!γραμμής!,!κάθε!στήλης!και!κάθε!διαγωνίου!να!είναι!το!ίδιο.!Το! κοινό!αυτό!άθροισμα!ονομάζεται!μαγική!σταθερά.!

! !

Εικόνα: 6 Λεπτομέρεια στην πρόσοψη της Σαγράδα Φαμίλια στη Βαρκελώνη. Το μαγικό τετράγωνο δίπλα από το «Φιλί του Ιούδα». Η μαγική σταθερά του 4×4 μαγικού τετραγώνου είναι 33 όσο και η ηλικία του Χριστού όταν σταυρώθηκε!

Βιβλιογραφία:

Και!η!λύση…!

[1] Βάρβογλης, Χ. (2012, 22 Ιανουαρίου). Sudoku, η απόδειξη των 17. Το Βήμα. Ανακτήθηκε 15 Ιουλίου, 2017, από http://www.tovima.gr/science/article/?aid=439358

(1)Μαγικό!τετράγωνο!n×n!ή!τάξης!n!λέγεται!μία!τετραγωνική ώστε,!το!άθροισμα!κάθε!γραμμής!,!κάθε!στήλης!και!κάθε!δια κοινό!αυτό!άθροισμα!ονομάζεται!μαγική!σταθερά.! 4! 3! 8! 6! 2! 5! 1! 7! 9! 7! 5! 6! 8! 9! 1! 3! 2! 4! 2! 1! 9! 3! 4! 7! 6! 8! 5! 6! 4! 7! 2! 3! 9! 8! 5! 1! 8! 9! 5! 4! 1! 6! 2! 3! 7! 1! 2! 3! 5! 7! 8! 9! 4! 6!

9! 8! 2! 1! 5! 4! 7! 6! 3! 3! 7! 4! 9! 6! 2! 5! 1! 8! 5! 6! 1! 7! 8! 3! 4! 9! 2!

[4] Το Sudoku πάρθηκε από την ιστοσελίδα: http://www.puzzles.ca/sudoku.html

Και η λύση:

[3] The Math Behind Sudoku. (2009). Ανακτήθηκε από http://www.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/Mahmood/ Intro.html

!Το!Sudoku!πάρθηκε!από!την!ιστοσελίδα!http://www.puzzles.ca/sudoku.html!

[2] Mathematics and sudokus. (2009, Ιούλιος). Ανακτήθηκε από http://www.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/meerkamp/ Site/Introduction.html

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 47_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 !

Φ έτος συμπληρώθηκαν εκατό χρόνια από την

πρώτη έκδοση του βιβλίου «On Growth and Form», γραμμένο από τον D’Arcy Thompson. Tο βιβλίο αυτό αποτελεί την πρώτη συστηματική και καθολική προσπάθεια να μελετηθούν η μορφή και η δομή διαφόρων οργανισμών με τη χρήση μαθηματικών μεθόδων. Ο D’Arcy Thompson (1860 - 1948) ήταν ένας Σκωτσέζος βιολόγος και μαθηματικός με ειδικότητα στους ασπόνδυλους οργανισμούς. Μέχρι εκείνη την εποχή η μελέτη της μορφής και της δομής των διαφόρων οργανισμών βασιζόταν στην θεωρία του Δαρβίνου, της θεωρίας της φυσικής επιλογής δηλαδή. Ο D’Arcy Thompson (1860-1948) πρέσβευε την άποψη ότι οι μορφολόγοι και οι βιολόγοι πρέπει να αφιερώνουν πιο πολύ χρόνο και ενέργεια στη μελέτη των φυσικών νόμων και της επιρροής που ασκούν αυτοί στην αναπτυξιακή διαδικασία και στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών ζωής. Στον επίλογο του βιβλίου ο D’Arcy Thompson ξεκαθαρίζει τις προθέσεις του: «να επισημάνω ότι η μαθηματική προσέγγιση της μορφολογίας είναι κρίσιμη για την κατανόηση και την μελέτη της εξέλιξης και της μορφής».

Εικόνα 1: φωτό του συγγραφέα D’Arcy Wentworth Thompson

Μαθηματικός, Ph.D. candidate στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Korteweg - de Vries

Ο D’Arcy Thompson είχε κλασσική μόρφωση, ο πατέρας του ήταν καθηγητής πρώτης βαθμίδας ελληνικών, γεγονός που διαφαίνεται μέσα απ’ τις σελίδες του βιβλίου του. Χρησιμοποιεί ελληνικούς και λατινικούς όρους χωρίς να τους διευκρινίζει στο κείμενο αναμένοντας από τον αναγνώστη να μπορεί να τους κατανοήσει. Η μεθοδολογία με την οποία κάνει την έρευνα του είναι βαθιά εμπνευσμένη από την αριστοτελική επιστημονική μέθοδο. Πρέπει να παρατηρούμε τον κόσμο γύρω μας και να κάνουμε μετρήσεις, έπειτα χρησιμοποιούμε τις παρατηρήσεις αυτές ώστε να ανακαλύψουμε τυχούσες σχέτεις εξάρτησης. Ο D’Arcy Thompson προσπάθησε να συμπυκνώσει την τότε υπάρχουσα εμπειρική γνώση χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Χρησιμοποιούσε εξισώσεις για να μελετήσει σχέσεις και συμμετρίες για να εντοπίσει δομές.

Το βιβλίο Η πρώτη έκδοση του βιβλίου χρονολογείται στο 1917 και αποτελείται από δεκαεννέα κεφάλαια και περίπου χίλιες σελίδες. Η ανα χείρας βιβλιοπαρουσίαση αφορά μια συνοπτική έκδοση που κυκλοφόρησε το 1961, επίσης στα αγγλικά. Αυτή η συνοπτική έκδοση αποτελείται από δέκα κεφάλαια και περίπου τριακόσιες σελίδες. Από τα δέκα αυτά κεφάλαια θα ήθελα να παρουσιάσω εν συντομία δύο, το πρώτο και το δέκατο. Το πρώτο κεφάλαιο με τίτλο «Περί μεγέθους» (On Magnitude) είναι μείζονος σημασίας για τη κατανόηση των κεφαλαίων που έπονται. Το δέκατο κεφάλαιο αφορά τη «θεωρία μεταμορφώσεων» (transformation theory), μια θεωρία που θεωρείται μια από τις πολύ σημαντικές συμβολές του βιβλίου αυτού στον κλάδο της μορφολογίας. Το βιβλίο στο σύνολό του δεν είναι ένα μαθηματικό βιβλίο και η σημαντική του συνδρομή είναι μια βιολογική θεωρία.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 53 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 χείς απεικονίσεις. Φαινομενικά διαφορετικές μορφές Περί μεγέθους και η θεωρία των οι οποίες όμως συνδέονται μέσω κάποιας συνεχούς μεταμορφώσεων Ο D’Arcy Thompson προσπάθησε να αξιοποιήσει στον μέγιστο βαθμό τις μαθηματικές του δεξιότητες και γνώσεις. Στο βιβλίο «On growth and form» βρίσκουμε μεταξύ άλλων και αρκετές εφαρμογές της ευκλείδειας γεωμετρίας. Μεταξύ όλων εκείνων των θεωρημάτων που μάθαμε στο σχολείο υπάρχουν τα εξής διαμάντια, ο τύπος του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό της επιφάνειας (4πρ2) και του όγκου (4/3 πρ3) μιας σφαίρας. Αυτοί οι δύο τύποι μπορούν να αποδειχθούν και με τη χρήση ολοκληρωτικού λογισμού. Θεωρώ μια απειροστή σφαίρα γύρω από ένα σημείο x και ολοκληρώνω ως προς x από –ρ έως ρ, όπου ρ είναι η ακτίνα της σφαίρας. Ο D’Arcy Thompson ήταν εξοικειωμένος με την ευκλείδεια γεωμετρία και πιθανότατα και με τον απειροστικό λογισμό. Στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου του χρησιμοποιεί παρόμοιες τεχνικές ολοκληρωτικού λογισμού ώστε να μελετήσει τη μορφή και τη δομή διάφορων οργανισμών. Ας δούμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, σε κάποιο σημείο ο συγγραφέας μελετάει την σχέση μεταξύ του μεγέθους ενός οργανισμού και της θερμότητας που ανταλλάσσει με το περιβάλλον. Ένας οργανισμός παράγει θερμότητα στο εσωτερικό του και αποβάλλει θερμότητα από την επιφάνειά του. Η μεν παραγωγή θερμότητας μεταβάλλεται ανάλογα με τον όγκο του κάθε οργανισμού ενώ η αποβολή θερμότητας ανάλογα με την επιφάνειά του. Όπως και στην περίπτωση της σφαίρας ο λόγος όγκος/επιφάνεια μεταβάλεται σαν ρ, όπου ρ είναι η «γραμμική διάσταση» (διάνυσμα βάσης στη γλώσσα της μοντέρνας γραμμικής άλγεβρας). Αυτή η σχέση επιβάλλει δραστικούς περιορισμούς πρώτον στο μέγεθος που μπορεί να έχει ένας οργανισμός και δεύτερον στη μηχανική και σκελετική του δομή. Η θεωρία των μεταμορφώσεων (transformation theory) θεωρείται η σημαντικότερη συμβολή του έργου του D’Arcy Thompson στον κλάδο της μορφολογίας. Για να μπορέσει να μελετήσει την ανάπτυξη και τη μορφή των οργανισμών με ομοιόμορφο τρόπο χρησιμοποιεί συστήματα συντεταγμένων και συνε-

απεικόνισης αποτελούν ένδειξη ότι η μορφή πολλών οργανισμών ακολουθεί συγκεκριμένους νόμους που μπορούν να εκφραστούν ως ένα πεδίο δυνάμεων. Ο D’Arcy Thompson επικεντρώνεται σε τρία διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων, το καρτεσιανό, το πολικό και το λογαριθμικό. Στο τελευταίο κεφάλαιο του έργου του παρουσιάζει πολλά παραδείγματα από τον φυσικό κόσμο, παραδείγματα οργανισμών που διαφέρουν εκ πρώτης όψης μορφολογικά αλλά ταυτίζονται μορφολογικά κατόπιν μιας αλλαγής συστήματος συντεταγμένων. Όπως ανέφερα και πιο πριν δεν πρόκειται για ένα βιβλίο μαθηματικό. Προσωπικά αυτό που με γοήτευσε σε αυτό το βιβλίο δεν ήταν τα μαθηματικά αυτά καθαυτά αλλά η συλλογιστική πορεία που οδηγεί σε συγκεκριμένες μαθηματικές εκφράσεις, όπως στο παράδειγμα της ανταλλαγής θερμότητας.

Εικόνα 2: φωτό του συγγραφέα D’Arcy Wentworth Thompson

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 59_487 the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Μια σύντομη γνωριμία με τη ... Συνδυαστική! γράφει ο Βύρων Μπουλούμης

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Οι

καλύτεροι τζογαδόροι έχουν πολύ στενή σχέση με τα μαθηματικά καθώς χάρη σε αυτά μπορούν να υπολογίσουν ακριβέστερα τα δεδομένα του παιχνιδιού και τις πιθανότητές τους. Ο όρος «μέτρημα φύλλων» δεσπόζει ανάμεσα στα τραπέζια με στρωμένη την πράσινη τσόχα. Παρ’ όλα αυτά όσο καλός μαθηματικός και αν είναι κάποιος δεν μπορεί να υπολογίσει κάθε λεπτομέρεια της τράπουλας διότι οι πιθανοί συνδυασμοί της είναι πραγματικά αμέτρητοι. Πιο συγκεκριμένα, ο αριθμός των πιθανών συνδυασμών που μπορεί να ανακατευτεί μια τράπουλα είναι τόσο μεγάλος (52! = 8,07·1067), ώστε να καθιστά κάθε παρτίδα του παιχνιδιού μοναδική. Ακόμη και ο πιο παθιασμένος χαρτοπαίκτης δεν θα συναντήσει ποτέ στη ζωή του δύο ολόιδιες παρτίδες. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί πολύ εύκολα μέσω των μαθηματικών. Η ανάγκη του υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων ενός συνόλου, της απαρίθμησης δηλαδή των στοιχείων του συνόλου, έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη ολόκληρου κλάδου των μαθηματικών, της συνδυαστικής. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. ____________ Παράδειγμα 1 Μας ενδιαφέρει να μετρήσουμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άνδρες σε 4 καρέκλες.

Θεωρούμε τώρα ένα πεπερασμένο σύνολο ν αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους λόγω μιας χαρακτηριστικής ιδιότητας όπως είναι για παράδειγμα το χρώμα. Από αυτά τα ν αντικείμενα θέλουμε να κατασκευάσουμε μία συλλογή με κ αντικείμενα. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : 1. Αν κατά την επιλογή των κ αντικειμένων δεν μας ενδιαφέρει η σειρά τότε η συλλογή λέγεται συνδυασμός. 2. Αν μας ενδιαφέρει η σειρά των αντικειμένων στη συλλογή, τότε η συλλογή λέγεται διάταξη. 3. Αν στη διάταξη συμμετέχουν όλα τα αντικείμενα, τότε λέγεται μετάθεση. 4. Τέλος μια μετάθεση στην οποία κανένα αντικείμενο δε μένει στην αρχική του θέση λέγεται διατάραξη. Αν στη συλλογή των κ αντικειμένων επιτρέπεται η επανάληψη των αντικειμένων, τότε αναφερόμαστε σε επαναληπτικούς συνδυασμούς, επαναληπτικές διατάξεις ή επαναληπτικές μεταθέσεις.

Ο πρώτος άνδρας μπορεί να επιλέξει όποια καρέκλα θέλει. Ο δεύτερος έχει τρεις επιλογές αφού η μία είναι πιασμένη, ο τρίτος έχει δύο επιλογές και ο τελευταίος θα κάτσει στην καρέκλα που απομένει. Πολλαπλασιάζοντας τις επιλογές των ανδρών καταλήγουμε στους πιθανούς συνδυασμούς οι οποίοι είναι 4 · 3 · 2 · 1 = 24 = 4!. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να προκύψει φτιάχνοντας ένα δέντρο για τις θέσεις στις οποίες μπορεί να καθίσει ο κάθε άνδρας. ___________

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 61 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

!" =' (%) (365 − − -1)+∙ !" = (%)' = (365) = ' = (365)'==365 ∙ (365 −=1)365 ∙. . .∙∙ (365 Οι τύποι που δίνουν το πλήθος των διατάξεων και (365 − -)! (365 − -)! στοιχηματίσουμε ότι δύο τουλάχιστον άτομα έχουν των συνδυασμών σε κάθε περίπτωση δίνονται στον ! ! ! μέρα. ! γενέθλια την ίδια παρακάτω πίνακα: !4 1 !4 2 1 - 2− 1 − ∙. . .∙∙ 1 − ∙.!. .∙ 1 − 1 − = ∙ =1 −1__________ 365! 2(3) = ! = 2(3) 365 365 ! 365365 365

!! !! !!! ! !!! ! !! !! !!! ! !!! ! !! !! !!! ! !!!!! !! !!! ! !!! ! !! !! !!! ! !!! ! !! !! !!! ! !!! ! !!

!" = (%)' = (365)' = = 365 ∙ (365 − 1) ∙. . .∙ (365 − - + 1)! (365! − -)! ! ! ! ! ___________ 365! −1 1 ∙. . .∙ (365 −--1−+11)! -(- −-1) ! !" = (%)' = (365)'2(6) = = 1 − 2(3) = 365 ∙ (365−− 1) ∙. .≈.∙ 1 − ∙. .−.∙ 1 − ! (365 − -)! 2(6) !4 1 2 = 1=−1 −1 2(3) -365 −=1 1 Παράδειγμα 3 365 365 365 730 2(3) = = 1 −! ∙ 1− ∙. . .∙ 1 − ! ! ! προπονητής ! 365 365! 365 365 Ένας ποδοσφαιρικής ομάδας έχει στη ! !" = !(%)' = (365)' != = 365 ∙ (365 − 1) ∙. . .∙ (365 − - + 1)! ! (365 − -)! <= ! 1 2 - !− 11 − <= διάθεσή του 418 ποδοσφαιριστές οποίους ! 1∙.−.από ;τους 2(3) = = 1− ∙ 1− .∙: ≈ 1− ! :≈; ! ! ! 365 365 365 1 − 1 -(− 1) ! ! 2 =είναι τερματοφύλακες, αμυντικοί, 2(6) 1 − 2(3) =1− 1− ∙. . .∙ 61 είναι − ≈ ! 6 είναι !! ! ! 3651 365 730 ! 2 − 1 4 μέσοι και έχει να ! 1 ! 1 2(3) 4= είναι = 1επιθετικοί. − ∙ 1 − Ο προπονητής ∙. . .∙ 1 − ! ! 365 1 365 >(?) - −>1 ! 365 -(->(?) − 1)> ! ! επιλέξει ανάμεσα σε τρία συστήματα 4-4-2, 3-5-2, 2 2(6) = 1 − 2(3) = 1 − 1 −<= ∙. . .∙ 1 − ≈ ! 2 ! 365 730 ! 1 − : ≈ ; 365 ! ! 4-3-3. περισσότερες επιλογές !! ! ! Με ποιο! σύστημα έχει 1 -−1 -(- − 1) Στη συνέχεια θα δώσουµε τρία πολύ ενδιαφέροντα παραδείγµατα. ! 1 ≈ ! 2(6) = 1 − 2(3) = της 1 − ενδεκάδας; 1− ∙. . .∙ 1 − !1 καταρτισμό Στη συνέχεια θα δώσουμε τρία πολύ ενδιαφέροντα στον >(?) >(?)365 < ! 730 < ! 1 −1:365 ≈ ; <= ! 2 2 Παράδειγµα 2 (Το πρόβληµα των γενεθλίων) παραδείγματα. !! ! >(?) > 2! Ποια η πιθανότητα ανάµεσα σε κ άτοµα που βρίσκονται σε µία ! αίθουσα, δύο ! ! ! 4-4-2 έχουμε: ! Με !το σύστημα τερματοφύλακες 2, ___________ <= τουλάχιστον να έχουν την ίδια µέρα γενέθλια; 6 4 61 − : ≈ 4;1 ! 6 6 46 4 6 ! >(?) > ! αμυντικοί και μέσοι και επιθετικοί ∙ = 2.700CCC! ∙ ∙ = 2.7 CCCCCCCCC 2 CCCCCCCC2 CCCCCCCCC ∙ ∙ .CCCCCCCC2 ∙ Παράδειγμα 2 (Το πρόβλημα των γενεθλίων) ! 4 4 2 4 1 2 4 24 2 4 Υποθέτουµε ότι ένα έτος έχει 365 µέρες και κάθε ηµέρα είναι εξίσου πιθανή ως >(?) < ! ! ! Ποια η πιθανότητα ανάμεσα κ άτομα που 2 ηµέρα γενεθλίων κάθε ατόµου. Τότε στα κ άτοµασεαντιστοιχούν κ !ηµεροµηνίες οι ! 1 6 ! 6 4 6 4 6 οποίες µπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίο δείγµα που επιλέγεται! µε επανάθεση από το >(?) > ! Επομένως οι επιλογές πουCCCCC2 έχει προπονητής CCCCC2 ∙ = 1.440! ∙ είναι: ∙ = 1.440! ∙ ∙ βρίσκονται σε μία αίθουσα, δύο τουλάχιστον να 1 2∙ ο ! 3 5 2 σύνολο των 365 ηµερών. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα : 3 5 2 >(?) < ! ! ! 6 4 6 6 4 2 ! τα άτοµα έχουν διαφορετική µέρα γενέθλια} έχουν την Α={όλα ίδια μέρα γενέθλια; CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙ ∙ ∙ = 2.700CCC! 6 4 Β={δύο τουλάχιστον άτοµα έχουν ίδια µέρα γενέθλια}! ! 4 2 4 4 22 ∙1 6 ∙ 6 ∙ 42 ∙ =62.400! ∙ ∙ = 2.400! ! Επειδή η δειγµατοληψία είναι µε επανάθεση υπάρχουν Ν=νκ !=365κ τυχαία δείγµατα 3 3 3 3 4 >(?) < ! 4 6 4 6 6 4 2 Όμοια με το σύστημα 3-5-2 οι επιλογές του προποπουΥποθέτουμε είναι ισοπίθανα. Τα στο ενδεχόµενο Α έχουν τα ! !6 6 4 ότιτυχαία έναδείγµατα έτος που έχειπεριέχονται 365 μέρες και κάθε CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙ ∙ ∙ = 2.700CCC! στοιχεία τους διαφορετικά, άρα το πλήθος τους είναι όσες οι διατάξεις !των ν=365 ανα ! 4CCCCC2 ∙ !3 2∙ 5 ∙ 2 4= 1.440! 4 2 νητή είναι: ημέρα είναι εξίσου πιθανή ως ημέρα γενεθλίων κάθε ! κ, δηλαδή ΝΑ=(ν)κ=(365)κ=365!/(365-κ)!=365*(365-1)*...*(365-κ+1). Άρα τελικά ! 13 13 ! ! 6 6 46 6 4 6 6 4 6 4 ! P(Α)=Ν Παρατηρούµε ότι το ενδεχόµενο Α/Ν=(1-1/365)*(1-2/365)*...*[1-(κ-1)/365]. ατόμου. Τότε στα κ άτομα αντιστοιχούν κ ημερομηνίες 2 ∙ = ∙1.440! =22.700CCC! CCCCC2 ∙ CCCCCCCC2 ∙ ∙ =4∙2.400! 2 ∙CCCCCCCCC ∙ ∙ Β είναι συµπληρωµατικό του Α άρα: 4 2 4 2 2 ! 4! 3 3 3 5 οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως χάρη τυχαίο δείγμα P(B)=1-P(A)=1-(1-1/365)*...*[1-(κ-1)/365]≈ κ(κ-1)/730 στη 1-x≈e-x !! ! προσέγγιση ! ! 6 6 Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι αν κ=23 τότε P(B)>1/2 ενώ για κ=22 οι 6 4-3-3 6 4 4επιλογές που επιλέγεται με επανάθεση από το σύνολο 365 Τέλος με το σύστημα 4 4 4 του 4 προπονητή ! τωνP(B)<1/2. CCCCC2 1.440! 2 ∙ ∙ 3∙ ∙ 5∙ ∙ 2= = 2.400! ∙ ! Εποµένως σε µία αίθουσα µε 23 άτοµα συµφέρει να στοιχηµατίσουµε ότι δύο ∙ ! 13 4 3 3 είναι: 3 2 3 2 ημερών. άτοµα Θεωρούμε τα ενδεχόμενα τουλάχιστον έχουν γενέθλια την ίδια µέρα. : ! !! ! ! 62 6 4 ! ! 2∙ ! ∙ ∙ = 2.400! Παράδειγµα Α={όλα 3τα άτομα έχουν διαφορετική μέρα!! γενέθλια} 4 313 3 E 2 ∙ E ∙ EG ∙ HF 2 ∙ ∙ EG ∙ HF Ένας προπονητής ποδοσφαιρικής οµάδας έχει στη διάθεσή του 18 ποδοσφαιριστές ! G F ! D =G =F0,00141! = 0,00141! D = 4 4 Β={δύο τουλάχιστον άτομα έχουν ίδια μέρα γενέθλια} 2 IG IG από τους οποίους 2 είναι τερµατοφύλακες, 6 είναι αµυντικοί, 6 είναι µέσοι και 4 είναι Άρα τελικά ο προπονητής με το σύστημα 4-4-2 ∙ ! !! I I 3 2 13 επιθετικοί. Ο προπονητής έχει να επιλέξει ανάµεσα σε τρία συστήµατα 4-4-2, 3-5-2, ! !της ενδεκάδας; έχει ! περισσότερες επιλογές της ! υπάρχουν Επειδή η δειγματοληψία είναι επιλογές με επανάθεση ! στον καταρτισμό 4-3-3. Με ποιο σύστηµα έχει περισσότερες στον καταρτισµό 2 ∙ EH ∙ HF 4 ∙42EH 4∙ HF 4 2 4 4 ! G G κ κ ενδεκάδας. ∙ ! CCCCCCCCCCD = = 0,0024CCCCCCD = IG = 0 CCCCCCCCCCD = 0,0024CCCCCCD = IG = 0,0000007695! ! Ν = ν = 365 τυχαία δείγματα που είναι ισοπίθανα. IG 3 1 IG 2 Με το σύστηµα 4-4-2 έχουµε: τερµατοφύλακες 2, αµυντικοί και µέσοι 2 ∙1 EF ∙ EG ∙ HF I I G I I !! _________ D= = 0,00141! Τα τυχαία δείγματα που περιέχονται στο ενδεχόμενο ! IG ! 4 4 ! I ∙ ! και Αεπιθετικοί έχουν τα στοιχεία τους διαφορετικά, άρα ! το πλή2 2 ∙ EF ∙ EG3 ∙ HF G Εποµένως οι επιλογές που έχει ο προπονητής είναι: E HF ! = 4 0,00141! θος τους είναι όσες οι διατάξεις των ν = 365 ανα κ,4 CCCCCCCCCCD = 2 ∙ H ∙ DG == 0,0024CCCCCCD IG = IG = 0,0000007695! ! I IG 1 δηλαδή: I I ! 2 ∙ E ∙ EG ∙ HF G E = HF F ! D = 0,00141! 2 ∙ ∙ 4 4 IG 365! H G 365! CCCCCCCCCCD = = 0,0024CCCCCCD = IG = 0,0000007695! I !"" = = (%) (%)'' = = (365) (365)'' = = = 365 365 ∙∙ (365 (365 − − 1) 1) ∙.∙. .. .∙.∙ (365 (365 − − -- + + 1)! 1)! IG ! = 1 (365 − − -)! -)! (365 ! I I 365! 365! E HF ! - + 1)! 365! 365! 2 ∙ ∙ 4 4 ! = (%) = (365) = = 365 ∙ (365 − 1) ∙. . .∙ (365 − ! = (%) = (365) = = 365 ∙ (365 − 1) ∙. . .∙ (365 − + 1)! H G """= '''= τελικά !Άρα (%) (365)''''= = (365 = 365 365 ∙∙ (365 (365 − − 1) 1) ∙.∙....∙.∙ (365 (365 − − -- + + 1)! 1)! ! " = (%) ' = (365) CCCCCCCCCCD = = 0,0024CCCCCCD = IG = 0,0000007695! (365− -)!= IG (365 −−-)! -)! (365 − -)! 1 !4 − 11 I I ! 11 22 -- − 2(3) = = 4= = 11 − − − − 2(3) ∙∙ 11 − ∙.∙. .. .∙.∙ 11 − !! ! ! 365 365 365 ! 365 365 365 ! 1 444 !! −−1 ! 111 ∙ ∙ 1 1−− 2 222 ∙. ∙.. .∙. .∙ 1 1−−----− − 111! ! 4 = 11 2(3)= 2(3) 2(3) ==!!= = ότι −−365 −ενδεχόμενο − 365 2(3) = = 11− − ∙∙ 11 − ∙.∙....∙.∙ 11 − !! είναι Παρατηρούμε το 365 365 365 365 ! 365 365 365Β ! 365 365 365 − 11 -(- − − 1) 1) 11 -- − -(συμπληρωματικό Α 2(6) = = 11 − − 2(3) 2(3) = = του − 1 1− −άρα: ∙.∙. .. .∙.∙ 11 − − ≈ 2(6) 11 − ≈ !! 365 365 730 365 365 730 1 − 1 -(− 1) 1 − 1 -(− 1) − 11 ≈≈-(-(- − − 1) 1)! ! 11 ∙. ∙.. .∙. .∙ 1 1−−-- − 2(6)= 2(3)= 2(6) 2(6) ==1 −−2(3) 2(3) ==1 −− 1 −−365 − 365 ≈ 730 2(6) = 111− − 2(3) = 111− − 111− − 365 ∙.∙....∙.∙ 11 − 365 ≈ 730 !! 365 365 730 365 365 730 <= − :: ≈ ≈ ;;<= !! 11 −

χάρη στη προσέγγιση

<= <= ;<= 1 !!! ! −−::::≈ ≈≈;;;<= 111− − ≈ 11 >(?) > > !!ότι αν κ = 23 τότε Μπορούμε να διαπιστώσουμε >(?) 22 1 11!1! >(?) > >(?) > >(?) > > 2 !2! >(?) 221 1 >(?) < < !! >(?) ενώ για κ = 22 είναι: 22 1 1 1 1 >(?)< >(?) >(?) <<2!!2! ! >(?) < 22 6 66 44 66 6 44 CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙∙ = 2.700CCC! 2.700CCC! CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙∙ ∙∙ = 4 2 4 4 4 2 4 4 22 6 4 6 6 4 6 4 6 6 4 _the 6prime magazine 6 CCCCCCCCC 66 ∙ ∙ 66 ∙ ∙ 44 ==2.700CCC! CCCCCCCCC44 CCCCCCCC2 CCCCCCCC2 2.700CCC! CCCCCCCCC CCCCCCCC2 = 2.700CCC! 2.700CCC! 66 ∙∙∙ ∙ 6 4 4CCCCCCCCC 2 2 CCCCCCCC2 464 ∙∙ 4 444 ∙∙ 2 2 =

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 67 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

! 365 365 (365 − -)! 1365 -−1 -(- − 1) ! 2(6) = 1 − 2(3) = 1 − 1 − ∙. . .∙ 1 − ≈ ! 1 − 1 -(− 1) 365 365 730 ! = 2(6) 1 −=2(3) = 1=− 1365! − ∙. . 365 .∙ 1 ∙−(365 − 1) ≈∙. . .∙ (365 − ! - + 1)! !!" = (%) (365) = ' ' 365 1 − - −11 365-(- −21)730 !-)! -−1 (365 4 2(6) =! 1 − 2(3) = 1 − 1 2(3) − ≈ ! ∙. . .∙ 1 − ! = ∙. . .∙ =1 − 1− ∙ 1− ! ! 365 ! 365 730 365 365 365 365! 1 − : ≈ ; <= ! ! ! ! ! 1) ∙. . .∙ (365 − - + 1)! ! !" = (%)' =!(365)'1=−(365 :1≈ ;−<=-)! ! = 2365 ∙ (365 − ___________ ! −1 ! 4 365! ! 2(3) = = 1 − ∙ 1 − ∙. . .∙ 1 − ! ! =<=(%) =-!365 ! ' = (365) − 1 ∙ (365 -(-−−1)1)∙. . .∙ (365 − - + 1)! ! 1 − : !≈" ;365 365' =1(365 365 Παράδειγμα 4 − -)! 1 ∙. . .∙ 1 − δ) Έστω μία !πεντάδαI διαδοχικών χαρτιών π.χ. 56789. 2(6) = 1 − 2(3) = 1 − 1 − ≈ ! ! ! ! >(?) > ! 365 365 730 ! 11 Στο παιχνίδι του poker διανέμονται 5 χαρτιά σε ! 2 − 1 2 4 ! Γι’ αυτήν έχουμε 4 !διαφορετικούς ! ! >(?) 2(3) = 1 −> ! ∙ 1 − ∙. . .∙ 1 − ! 4 I τρόπους. Υπάρ! = 365!! 1 2 1 365 !∙. . .∙ (365 365-Η 365 1 − 1 -(− 1) ! ! κάθε παίχτη από μια τράπουλα 52 φύλλων. σειρά %)' = (365) = = 365 ∙ (365 − 1) − + 1)! !4! − 1 2 όμως 10 - − διαφορετικές 1 χουν πεντάδες, οι : Α2345, > 1! − ! ' (365 =1− 1 ! −! -)!2(6) = 1 − 2(3)>(?) <= ≈ ∙ 1 − ! 2(3)∙.=. .∙1 −1 = 1;− ∙. . .∙ 1 − ! : ≈1365 ! 2 365 730 ! I ! ! 365 365 365 των χαρτιών δεν λαμβάνεται υπόψη. Βρείτε την ! ! ! 4 23456 ,..., 910JQK, 10JQKA. Άρα: ! >(?) < ! ! ! I ! I − 1) 10 ∙ 4I 1 4 ! 13 2 1 -−1 -(4 ! πιθανότητα ενός παίκτη να έχει: ! 1 ! >(?) < ! D = = 0,00394CCCCCCCC CCCCCC ! 4 !4 I 2(6) = 1 − 2(3) = 1 − 1 − ∙. . .∙ 1 − ≈ ! ! ! ! IG 10 ∙ 4 13 !4 1 2 - −111− :2≈ ;365 <= 1 5 ! 365 1 730 ! 2 ενός1άλλου 1 D= = 0,00394CCCCCCCC CCCCCC ! I 2(3) =! α)=Full 1 − house ∙ 1(3 − χαρτιά ∙. . .∙ >(?) 1 − είδους και ! ! ! >(?) >1 −! ! 1 − 1 ∙. . .∙ ! 1 − - − 1 ≈ -(- − 1)! IG 1 5 ! 365 !! 365 365 ! ενός< 2(6) = 1 − 2(3) = ! 2 I 2 6 4 6 6 4 365 365 730 ! ! ! ! ! ! 10 ∙ 4I 4 13 CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙ ! ∙ ∙ = 2.700CCC! ! ! είδους), ! 4 6 6 2 16− : 4≈ ;4<= 4 4 ∙ 42I D = = 0,00394CCCCCCCC HF ! ! IG 10 4 13 10 ∙ 4I 1 CCCCCC 5 ! 4 13 1 ! ! του ίδιου CCCCCCCCC! είδους CCCCCCCC2 ∙(πχ ∙άσσους) ∙ = και 2.700CCC! 4∙ I β) 4 χαρτιά 1 δια! D = IG HF = 0,00394CCCCCCCC CCCCCC ! > !2 D = 1IG = 0,00394CCCCCCCC 2- − 16 4 -(−41) ε)<=Με 1 CCCCCC τρόπους το χρώμα και1 με 61 4 4 6>(?) ! D =5 !IGI διαλέγουμε = 0,001981! 4 ∙ 5 2 6) = 1 −! 2(3) = 1 − 1 − CCCCCCCCC ∙. . .∙ 1CCCCCCCC2 − ∙ ≈ 6!= 2.700CCC! 6 4 I! ! 1 − : ≈ ; ! ∙ ∙ ! D = I IGI = 0,001981! I 365 4 7302∙ ∙ >(?) ∙ <2 = 1.440! την πεντάδα. Άρα: 4365 2 4CCCCC2 ! φορετικό, 6 4 3 ! ! 6 ! ! 51 2 I ! ! ∙ K, A ∙ του ∙ ίδιου = 1.440! γ)! Flush! Royal (10, J,!CCCCC2 Q, χρώματος), >(?) > ! ! ! 4 ∙ HF 3 5 2 6 6 4 I 2 1 ! 6 6 4 D = IG = 0,001981! ∙ ∙ = 1.440! 1 ! δ) Στρέιτ 44 ∙ HF 4 ∙ HF (5: διαδοχικά ! 1− ≈ ; <=CCCCC2 ! ∙ 3 χαρτιά), I> ! 2 ∙ 4< 2∙ ! ∙ 6 = 6D 2.400! 5 6 2 >(?) >(?) = = 0,001981! D = IGI = 0,001981! I 6 6 4 4 3 3 IG CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙ ∙ ∙ = 2.700CCC! 2 ! ! 2∙ ∙ 4 ∙ 2= 2.400! 4 4 2 I ε)! Flush I !(5 του ίδιου!6χρώματος). _________ 4 3 3 6 4 1 ! ! 2 ∙ ∙ ∙ = 2.400! >(?) < ! ! ! ! 1 6 4 4 34 3 246 6 66 13 >(?) >έχει ! στο χέρι του δύο ! α) Ο! παίκτης ∙ =είδη 1.440! 1 ∙ CCCCC2∙διαφορετικά ∙∙ ! !=∙ 2.700CCC! 2 4 CCCCCCCCC 2 CCCCCCCC2 >(?) < ! 3 5 2 4 4 2 13 2 2 ! ! (πχ που επιλέγονται με ! Α,8) !τρόπους. ! ! ! 6 13 64 2 6 66 66 44 4 CCCCCCCCC ! CCCCCCCC2 ∙ = 2.400! 2.700CCC! 3 χαρτιά από το ένα ! ! πάρουμε ! Τότε οι τρόποι ∙∙ 1.440! ∙∙ = 1για να 4 CCCCC22∙ 32 ∙ 5 2∙∙ 244 = 4 34 4432 6 6 6 4 >(?) < ! ! ! (Α) και ! είδος 2 2από το άλλο 4(8) είναι: ! ∙ ! ! CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙ ∙ ∙ = 2.700CCC! 4 3 2 4 2 4 4 2 6 6 4 ! 6 ∙∙ 6 ! ∙ 4 ∙ CCCCC2 = 1.440! ! ! ! 2 ∙ ∙ ∙ = 2.400! 4 43 4 32 3 35 2 13 6 4 ∙ ! να πάρουμε ! άλλοι ! 6 6! Υπάρχουν 4! 6 6 τόσοι 4 τρόποι 3 2 ! ∙ ∙ = 1.440! 2 3∙ χαρτιά E E HF CCCCCCCCC CCCCCCCC2 ∙ ∙ ∙ = 2.700CCC! 6 2 ∙ 6 ∙ 4 ∙ CCCCC2 ! 3 5 2 ! F G G 4 από 4 2 Α. EΟπότε: ! 4 2 από ! 2 το 8 και ED HF ∙ το = = 0,00141! 2 ∙ ∙ = 2.400! ! 2∙ ∙ G ∙ 4 G 13 3 IG3 ! F ! I 6 6 4 =! 0,00141! 4 2D∙ =E ∙ E ∙ IGHF ! 6! 6 4 2 ∙4 ∙ ∙ = 2.400! 2 F G IG CCCCC2!∙ ∙ ∙ D == 1.440! 4 3 3 ∙ ! = 0,00141! E HF 3 5 2 4 IG ! 3 2 ! 2 ∙ ∙ 4 ! H G 130,0024CCCCCCD = I = ECCCCCCCCCCD HF = ! ! IG IG = 0,0000007695! 4! ! 6 4 CCCCCCCCCCD 6! 4= 2 ∙1 H! ∙ G = 0,0024CCCCCCD 2 IG = 0,0000007695! I4 I 4 = E HF IG 24∙ ! 1∙! ∙ 2 ∙ = ∙2.400! 13 ∙ 4 !E I E HF 4 3 3 H G Iεπιλογής των ! β) Και εδώ οι τρόποι δύο ειδών είναι 2∙ F=∙0,0000007695! ∙ G CCCCCCCCCCD = = 0,0024CCCCCCD3 = 2IG G 2 IG ! ! D = = 0,00141! 1 ! IG I I ! Για κάθε τέτοια επιλογή παίρνουμε4 όλα, 4 I από το ένα ! ! ∙ ! ! ! 13 E E HF 3 2 άλλο είδος από τα δύο είδη, το 2 ∙ F ∙ και ∙ από ! με 2 τρόπους 4 4 HF GE G ! 2 ∙IGH ∙ G = 0,00141! 4 D= 4∙ 2 ! διαλέγουμε ένα με τρόπους. Άρα: CCCCCCCCCCD = = 0,0024CCCCCCD = = 0,0000007695! 3 IG 2 ! I IG 1 ! I I ! 2 ∙ EF ∙ EG ∙ HF G !2 ∙ E ∙ DHF= =40,00141! 4! 4 4 IG H G ∙ CCCCCCCCCCD ! = = 0,0024CCCCCCD = IG2 = ∙ EF0,0000007695! ∙ EG ∙ HF I IG G 31 2 D =I = 0,00141! ! I IG E HF I ! 2∙ H ∙ G 4 4 ! = να IGδιαλέξουμε CCCCCCCCCCD = 0,0024CCCCCCD = IG = 0,0000007695! γ) Υπάρχουν τρόποι το μοναδικό 1 2 ∙ EF ∙ EG ∙ HF 2 ∙ EH ∙ HF I 4 G 4 GI D= = 0,00141! χρώμα να διαλέξουμε CCCCCCCCCCD =τη μεγαλύτερη = 0,0024CCCCCCD = IG = 0,0000007695! IG 1 περίπτωση ! και IG 1 I I I πεντάδα. Άρα : ! E HF 2∙ H ∙ G 4 CCCCCCCCCCD = = 0,0024CCCCCCD = IG = 0,0000007695! IG !

P( ) Αναφορές - Πηγές:

[1] Σ.Κουνιάς, Χ. Μωυσιάδης, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι (1995), Εκδόσεις Ζήτη [2] http://www.samos.aegean.gr/math/dimitheo/Sindiastiki.htm

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 71 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Η άλλη όψη του ίδιου νομίσματος ή μια νέα συναλλακτική πραγματικότητα; γράφει o Γεώργιος Βανασίκας

Οικονομολόγος, M.Sc.

Ως επίσημη ημερομηνία γέννησης ορίζεται η 8

Ιανουαρίου του 2009, όταν και εμφανίστηκε στη δημοσιότητα το ledger του Bitcoin, του πρώτου ψηφιακού νομίσματος, από τον (ή τους, παραμένει αδιευκρίνιστο) δημιουργό του Satoshi Nakamoto. Στα επόμενα χρόνια που ακολούθησαν, υπήρξε πληθώρα εκδόσεων cryptocurrencies (ICO), ή κρυπτονομισμάτων, προς το ελληνικότερον. Τα κρυπτονομίσματα αποτελούν μια υποκατηγορία των εικονικών νομισμάτων, με χαρακτηριστικό τους γνώρισμα την χρήση κρυπτογραφίας για την πιστοποίηση μιας συναλλαγής και του χτισίματος του βιβλίου συναλλαγών (ledger). Ξεκίνησε ως μια προσπάθεια δημιουργίας ενός ηλεκτρονικού μέσου συναλλαγών ανάμεσα σε χρήστες του διαδικτύου (p2p). Βρίσκεται στον δρόμο να αποκτήσει μια πιο εξελιγμένη υπόσταση, αυτή του χρήματος, αν και δεν πληροί ακόμη τις τρεις λειτουργίες του. Η αγοραπωλησία τους πραγματοποιείται από εξειδικευμένα online συναλλακτήρια. Η ειδοποιός διαφορά του από τα κοινά γνωστά μας χρήματα (fiat money) όπως δολάριο, ευρώ, λίρα, κτλ είναι η decentralized administration, δηλαδή δεν ελέγχεται από κάποια αρχή όπως κυβέρνηση ή κεντρική τράπεζα που να μπορεί να διαμορφώνει κατ΄απόλυτο τρόπο το κόστος του (επιτόκιο) και την προσφορά, δηλαδή την ποσότητα χρήματος σε κυκλοφορία. Αντίθετα βασίζεται στην επικύρωση των συναλλαγών και της αλλαγής κατοχής του νομίσματος μέσω blockchain από τους χρήστες του λογισμικού και της πλατφόρμας του εκάστοτε νομίσματος. Επίσης, οι εγγραφές στους λογαριασμούς δεν απεικονίζουν χρέος, αλλά μόνο κατοχή, συνεπώς δεν μπορείς να δανειστείς, τουλάχιστον μέχρι τώρα. Ακόμη, η οριστική ποσότητα νομισμάτων ενός κρυπτο-

νομίσματος σε κυκλοφορία καθορίζεται εξαρχής από το λογισμικό του. Έτσι δεν υπόκειται σε πληθωριστικές πιέσεις εξαιτίας την συνεχώς αυξανόμενης προσφοράς χρήματος. Αντιθέτως όταν το σύνολο των προβλεπόμενων μονάδων βρεθεί σε κυκλοφορία, θα αρχίσει να παρατηρείται το “φαινόμενο” του αποπληθωρισμού, δηλαδή της ενδυνάμωσης της συναλλακτικής ισχύος του και συνεπώς της συγκριτικής μείωσης των τιμών των αγαθών ως προς το νόμισμα αυτό. Έχοντας υπόψη ότι ο στόχος πληθωρισμού για την Ευρωπαϊκή Κεντρική Τράπεζα είναι 2% αύξηση, ο αποπληθωρισμός αποτελεί ένα πρόβλημα, διότι με συνεχώς μειούμενες τιμές προϊόντων, οι επιχειρήσεις δεν θα έχουν κίνητρο να παράγουν μακροπρόθεσμα. Οι υποστηρικτές όμως της απελευθέρωσης των συναλλαγών από τις κεντρικές τράπεζες υποστηρίζουν ότι πρόκειται για μια άλλη μορφή οικονομίας από την κλασική του Κέυνς όπου ο αποπληθωρισμός έχει προβλεφθεί και είναι αναμενόμενος και θεμιτός. Φυσικά, όλα τα αυτά εναπόκεινται στην αποδοχή ενός νομίσματος ως πραγματικό καθημερινό μέσο αγοράς αγαθών από τους χρήστες του και στην αξία που αποδίδουν σε αυτό, ειδάλλως θα σβήσει μεσομακροπρόθεσμα σαν ένα λαμπρό πυροτέχνημα στον έναστρο ουρανό. Μικρά βήματα έχουν ξεκινήσει να γίνονται προς αυτήν την κατεύθυνση με την εγκατάσταση ATMs που προσφέρουν την επιτόπου ανταλλαγή ενός κρυπτονομίσματος με δολάρια ή άλλο φυσικό νόμισμα, με αρκετά αυξημένη προμήθεια βεβαίως. Ακόμη, επιχειρήσεις έχουν αρχίσει να αποδέχονται ως μέσο πληρωμής κάποια κρυπτονομίσματα.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 73_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 Το υπόλοιπο του συνόλου καταλαμβάνουν κάποιες εκατοντάδες άλλα νομίσματα, είτε νεότευκτα είτε προς την δύση της ζωής τους.

Ο ρόλος των Μαθηματικών

Σημαντικότερη ώθηση, όμως, λαμβάνουν από το γεγονός ότι η Ιαπωνία τον Απρίλιο τα αποδέχθηκε επίσημα ως μέσο πληρωμών. Ακόμη ξεκινούν να αποκτούν την υπόσταση του ασφαλούς καταφυγίου όπως δρουν τα πολύτιμα μέταλλα, εν μέσω περιόδου κρίσεως. Κατά τη διάρκεια της χρηματοοικονομικής κρίσης στην Κύπρο το 2012-2013, υπήρξε ένα άλμα στην ζήτηση και στον όγκο συναλλαγών του Bitcoin. Στην Βενεζουέλα, όπου ο πληθωρισμός καλπάζει και υπάρχει ραγδαία απομείωση της αξίας του Μπόλιβαρ, το Bitcoin κυρίως, αλλά και τα υπόλοιπα, χρησιμοποιούνται ως ένα σκιώδες σύστημα παράλληλων συναλλαγών (σας θυμίζει κάτι;). Επιβεβαίωση της παραπάνω εξέλιξης είναι ο χαρακτηρισμός από τη FED και τη SEC ως financial asset, δηλαδή χρηματοοικονομικό μέσο όπως οι μετοχές ή τα commodities, που ο κάτοχός του αποβλέπει στα κεφαλαιακά κέρδη. Η συνολική αγορά κρυπτονομισμάτων έχει κεφαλαιοποίηση περίπου 130 δισεκατομμύρια δολάρια, με τη μερίδα του λέοντος να κατέχει το Bitcoin με 65, ακολούθως το Etherium με 25. Το Ripple και το Bitcoin Cash, το οποίο είναι σαν κλώνος του Bitcoin και αποσχίστηκε από την αλυσίδα του την 1η Αυγούστου του τρέχοντος έτους, διαθέτουν 8 δισεκατομμύρια δολάρια περίπου κεφαλαιοποίηση έκαστο.

Τώρα, τι σχέση έχουν όλα αυτά σε μία μαθηματική έκδοση; Απλούστατα η βάση και ο κορμός των κρυπτονομισμάτων βασίζονται στους μαθηματικούς γρίφους. Και εξηγούμαι αμέσως. Αναφέραμε ότι το πλήθος των μονάδων του Bitcoin, καθώς και των υπολοίπων, που προβλέπονται σε κυκλοφορία είναι πεπερασμένο. Συγκεκριμένα 21 εκατομμύρια μονάδες προβλέπεται να παραχθούν στη διάρκεια της ζωής του, με το καθένα να δύναται να διαιρεθεί σε οκτώ δεκαδικά ψηφία, επονομαζόμενο και Satoshi προς τιμήν του δημιουργού του. Όσον αφορά αυτόν, μυστήριο περικλείει την ύπαρξή του, με τις γνώμες να διίστανται περί του αν πρόκειται για ένα πρόσωπο ή ομάδα ατόμων, έχοντας επιλέξει την πλήρη ανωνυμία του. Η πιθανότητα γέρνει προς την ομάδα ανθρώπων, δεδομένου της πολυπλοκότητας της δομής του αρχικού κώδικα. To σύστημα συναλλαγών ενός κρυπτονομίσματος βασίζεται στα μέλη του, οι οποίοι χρησιμοποιούν το λογισμικό και την πλατφόρμα του και έχουν ενεργές συνδέσεις στο διαδίκτυο. Κάθε πακέτο συναλλαγών δημιουργεί ένα μπλοκ στην αλυσίδα καταγραφών του ledger, εξού και Blockchain. Κάθε μπλοκ αναφέρεται στο αμέσως προηγούμενό του, εκτός του αρχικού Genesis Block, για το οποίο χρειάστηκε τροποποιημένη μορφή του λογισμικού από τον δημιουργό του Satoshi Nakamoto. Να επισημάνω ότι από τα πρώτα links του blockchain, ο Nakamoto κατέχει περίπου ένα εκατομμύριο Bitcoins σε public keys που πιστεύεται ότι διαχειρίζονται από τον/ους ίδιο/ους και δεν έχουν μετακινηθεί έκτοτε. η συνέχεια στο επόμενο τεύχος...

Πηγές: [1] https://coinmarketcap.com/ [2] https://www.theguardian.com/technology/2013/jun/25/bitcoin-successors-litecoin-freicoin [3] https://www.forbes.com/sites/timothylee/2013/04/03/four-reason-you-shouldnt-buy-bitcoins/#a9a9cd1cd634 [4] https://www.cryptocompare.com/coins/#/usd [5] http://theweek.com/articles/465541/want-make-money-bitcoin-mining-hint-dont-mine [6] https://arstechnica.com/tech-policy/2011/06/bitcoin-inside-the-encrypted-peer-to-peer-currency/ [7] https://techcrunch.com/2017/09/08/bitcoin-price-drops-following-report-that-china-is-going-to-shut-down-local-exchanges/?ncid=rss [8] https://techcrunch.com/2013/04/08/how-to-mine-bitcoins/ [9] http://www.bitcoinx.com/profit/ [10] http://www.businessinsider.com/how-bitcoins-are-mined-and-used-2013-4 [11] https://blockchain.info/ [12] https://www.technologyreview.com/s/527051/the-man-who-really-built-bitcoin/#comments [13] https://www.technologyreview.com/s/424091/what-bitcoin-is-and-why-it-matters/ [14] https://blockexplorer.com/

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 magazine_ 587 593 599 the prime 79 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Μαθηματικός, Ph.D

Ο Alfred Nobel (1833-1896) υπήρξε από τους επιδραστικότερους επιστήμονες του προηγούμενου αιώνα. Ως χημικός, εφευρέτης και φιλάνθρωπος, άλλαξε την πορεία της ανθρωπότητας με το έργο του. Ο Nobel γεννήθηκε το 1833 στη Στοκχόλμη. Ο πατέρας του, Immanuel Nobel ήταν και αυτός μηχανικός και εφευρέτης, που αρχικά εργαζόταν στην κατασκευή γεφυρών. Για οικονομικούς λόγους, η οικογένεια μετακόμισε το 1837 στην Φινλανδία και αργότερα στη Ρωσία. Εκεί ο I. Nobel πρωτοπόρησε στην κατασκευή ναρκών θαλάσσης, οι οποίες κατά τη διάρκεια του Κριμαϊκού Πολέμου (18531856) έπαιξαν τεράστιο ρόλο στην προστασία των Ρώσων από τους Βρετανούς. Αν και για αυτές του τις υπηρεσίες τιμήθηκε με αυτοκρατορικό μετάλλιο τιμής, με την παύση του πολέμου αναγκάστηκε το 1859 να επιστρέψει ξανά στην Στοκχόλμη.

Εικόνα 1: Το βραβείο Νόμπελ Μέχρι το 1980, τα μετάλλια που συνόδευαν το βραβείο Νόμπελ ήταν φτιαγμένα από ατόφιο χρυσό 23ων καρατίων, ενώ μετέπειτα αντικαταστάθηκαν με επίχρυσα 24ων καρατίων. Κάθε μετάλλιο έχει διάμετρο 6,6 εκατοστά και πάχος που κυμαίνεται από 2,4 έως 5,2 χιλιοστά, ενώ το βάρος του ανέρχεται κατά μέσο όρο στα 175 γραμμάρια.

Ο Alfred Nobel όλα αυτά τα χρόνια έλαβε στοιχειώδη εκπαίδευση μέχρι τα 16 του, όπου ο πατέρας του τον έστειλε σε ταξίδια ώστε να εκπαιδευτεί ως χημικός μηχανικός. Ταξίδεψε στη Σουηδία, τη Γερμανία, τη Γαλλία και την Αμερική. Στο Παρίσι γνώρισε τον διάσημο χημικό Ascanio Sobrero, τον εφευρέτη της νιτρογλυκερίνης. Η νιτρογλυκερίνη είναι ένα υγρό με θαυμαστές εκρηκτικές ικανότητες, όμως, εξαιρετικά ασταθές και επικίνδυνο στη χρήση. Ο Nobel ενδιαφέρθηκε αμέσως για τις τεράστιες δυνατότητες που θα είχε η εφαρμογή της νιτρογλυκερίνης στην κατασκευαστική βιομηχανία. Επικεντρώθηκε λοιπόν στην ανάπτυξη ασφαλών τρόπων διαχείρισης της νιτρογλυκερίνης, με σκοπό να εμπορευματοποιήσει τη χρήση της. Αυτό οδήγησε στην πρώτη θεμελιώδη ευρεσιτεχνία του το 1863, έναν πυροκροτητή που επέτρεπε την ασφαλή πυροδότηση της νιτρογλυκερίνης, με το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα. Επομένως, από το 1864 μπόρεσε να στήσει εργαστήρια παραγωγής νιτρογλυκερίνης, η οποία βρήκε εκτενείς εφαρμογές στις σιδηροδρομικές κατασκευές και στην εξόρυξη μεταλλευμάτων. Η παραγωγή νιτρογλυκερίνης βέβαια δε σταμάτησε να είναι προβληματική και η απόλυτη αποφυγή ατυχημάτων ήταν αδύνατη. Διάφορα εργατικά ατυχήματα, ένα από τα οποία κόστισε τη ζωή και στον αδελφό του Emil, έθεταν δυσκολίες στο άνοιγμα νέων εργοστασίων για την παραγωγή νιτρογλυκερίνης. Για αυτούς τους λόγους ο Nobel δε σταμάτησε ποτέ να μελετάει νέους τρόπους διαχείρισης της νιτρογλυκερίνης, ώστε να κάνει το υλικό περισσότερο ασφαλές. Η συνεχής έρευνα τον οδήγησε στην τεράστια ευρεσιτεχνία του το 1867. Ανακάλυψε πως η νιτρογλυκερίνη αναμεμιγμένη με διατομίτη (kieselguhr) μετατρέπεται σε πάστα, η οποία πλέον είναι ασφαλής στη χρήση, αλλά παραμένει εκρηκτική όταν αναφλεχθεί. Αυτό το νέο υλικό είναι ο γνωστός σε όλους δυναμίτης. Με αυτή του την ανακάλυψη, ο Nobel ήταν πλέον σε θέση να παράγει μαζικά το υλικό αυτό, που φυσικά βρήκε εφαρμογή σε όλους τους κλάδους της κατασκευαστικής βιομηχανίας.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 prime 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 97_the magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Εικόνα 2: Alfred Nobel

Τα επόμενα χρόνια αφιέρωσε τη ζωή του στην ανάπτυξη της αυτοκρατορίας του, φτάνοντας να έχει εργοστάσια σε 90 διαφορετικά μέρη και 20 διαφορετικές χώρες. Βέβαια, πέρα από ικανότατος επιχειρηματίας, δεν έπαψε ποτέ να είναι ένας εξαίρετος ερευνητής. Μέχρι το τέλος της ζωής του, είχε κατοχυρωμένες 355 ευρεσιτεχνίες, μεταξύ των οποίων ο βαλλιστίτης, η ζελατινοδυναμίτιδα, συνθετικό πλαστικό, μετάξι και πολλές ακόμη. Φυσικά, δε θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για το έργο του Nobel χωρίς να αναφέρουμε τις απόψεις του γύρω από τον πόλεμο καθώς και τα βραβεία που όρισε στη διαθήκη του. Κατά τη διάρκεια της ζωής του ο Nobel αν και δεν παντρεύτηκε, καλλιέργησε μια βαθιά φιλία με την Bertha von Suttner, η οποία υπήρξε επιφανής φιγούρα στο κίνημα κατά του πολέμου. Ο ίδιος ο Nobel ήταν υπέρμαχος της ειρηνικής συνεργασίας των κρατών και έδειχνε ενδιαφέρον σε κοινωνικά ζητήματα. Αν και σήμερα γνωρίζουμε της ευρύτατες εφαρμογές του δυναμίτη στην πολεμική βιομηχανία, αξίζει να σημειωθεί ότι τουλάχιστον τα πρώτα 20 χρόνια, οι ανακαλύψεις του Nobel χρησιμοποιήθηκαν αποκλειστικά στην κατασκευαστική βιομηχανία, στις εξορύξεις μεταλΑναφορές: [1] [2] [3] [4]

λευμάτων, την κατασκευή καναλιών, δρόμων, τούνελ και σιδηροδρόμων. Επομένως πράγματι οι εφευρέσεις του τέθηκαν στην υπηρεσία της ανθρωπότητας και τη βελτίωση της ποιότητας ζωής των συνανθρώπων του. Οι απόψεις του, βέβαια, για το πώς μπορεί να επιτευχθεί ειρήνη υπήρξαν αρκετά ριζοσπαστικές. Παρόλο που χρηματοδότησε την Suttner για την οργάνωση του συνεδρίου Ειρήνης το 1892, ο ίδιος πίστευε πως τέτοιες δραστηριότητες δεν θα είχαν ιδιαίτερο αποτέλεσμα στην επίτευξη της ειρήνης. Η άποψη του ήταν πως «Τα εργοστάσια μου θα θέσουν τέλος στον πόλεμο νωρίτερα από τα συνέδρια. Όταν έρθει η μέρα που δύο αντίπαλα στρατεύματα θα είναι σε θέση να καταστρέψουν το ένα το άλλο μέσα σε ένα δευτερόλεπτο, τότε όλα τα πολιτισμένα κράτη σίγουρα θα αποστραφούν με φρίκη από τον πόλεμο και θα αποδεσμεύσουν το στρατό τους». Μια τέτοια κίνηση ίσως έδινε χρόνο στις κυβερνήσεις να αλλάξουν την πολιτική τους, αφού «αν σε τριάντα χρόνια δεν επιτύχουμε να αναδιοργανώσουμε τον κόσμο, αυτός αναπόφευκτα θα υποπέσει σε πλήρη βαρβαρότητα». Η ιδέες του Nobel ήταν σίγουρα ριζοσπαστικές για την εποχή του, και δυστυχώς οι φόβοι του πραγματοποιήθηκαν, όπως είδαμε αργότερα στα εγκλήματα του 2ου παγκοσμίου πολέμου. Παρόλα αυτά, η πίστη του Nobel στην ειρήνη και όσους αγωνίζονται για αυτή είναι αδιαμφισβήτητες, και επιβεβαιώνονται στο βραβείο ειρήνης που όρισε στη διαθήκη του. Συνολικά, μετά το θάνατό του το 1896, ο Nobel όρισε ετήσια βραβεία σε πέντε κλάδους, τη Φυσική, τη Χημεία, την Ιατρική, τη Λογοτεχνία και την Ειρήνη. Το βραβείο στα Οικονομικά προστέθηκε πολύ αργότερα, το 1968. Πολλοί συγγενείς πρόσβαλαν τη διαθήκη και προσπάθησαν να διεκδικήσουν την περιουσία του, με τη συμβολή όμως του ανιψιού του Emanuel, η διαθήκη αποκαταστάθηκε ως ορθή. Τα βραβεία Nobel αποτελούν σήμερα τη μεγαλύτερη τιμή στο χώρο τον επιστημών, και είναι ίσως η μεγαλύτερη κληρονομιά του Alfred Nobel στον κόσμο. Στο παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να βρείτε όλα τα βραβεία Νόμπελ που απονεμήθηκαν από το 1901 μέχρι σήμερα: https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/lists/all/

Jorpes, J. E. (1959). Alfred Nobel. British medical journal, 1(5113), 1. Miller, F. A., & Kauffman, G. B. (1988). Alfred Nobel and philately: The man, his work, and his prizes. J. Chem. Educ, 65(10), 843. http://www.nobelprize.org/ . Ringertz, N. (2001). Alfred Nobel - His Life and Work. Available through Nobelprize.org. Nobel Media AB. Web. 19 Jun 2017. http://www.nobelprize.org/alfred_nobel/biographical/articles/life-work/ .

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593101 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Μαθηματικ-ο-Φοβία γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός Α.Π.Θ.

«Το σύμπαν δεν μπορεί να διαβαστεί παρά μόνο αφού μαθευτεί η γλώσσα του και έχει γίνει εξοικείωση με τους χαρακτήρες με τους οποίους η γλώσσα του είναι γραμμένη. Η γλώσσα του είναι η μαθηματική γλώσσα, και τα γράμματα είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία συνεπώς είναι ανθρωπίνως αδύνατο να κατανοηθεί έστω και μια λέξη. Χωρίς αυτά, κάποιος (που ασχολείται με την έρευνα για το σύμπαν) είναι σαν να περιπλανιέται σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο» Galileo Galilei

Το εν λόγω συναίσθημα έχει ως αποτέλεσμα να αναπτυχθούν προκαταλήψεις, αρνητικές στάσεις και συναισθήματα που αποτελούν τροχοπέδη στη διαδικασία τόσο της διδασκαλίας όσο και της μάθησης των Μαθηματικών. Ο φόβος αυτός μπορεί να οφείλεται σε γνωστικά αίτια ή και συναισθηματικά αίτια. Στο παρόν κείμενο θα επικεντρωθούμε στα συναισθηματικά.

ια την χρησιμότητα (αν όχι την αναγκαιότητα) των Μαθηματικών στη ζωή έχουν γραφεί αμέτρητα εγκωμιαστικά δοκίμια. Το περίεργο είναι ότι δεν έχουν γραφεί μόνο από μαθηματικούς, το οποίο και θα δικαιολογούσε ως ένα σημείο τον εγκωμιασμό, αλλά και από φιλόσοφους, θετικούς και θεωρητικούς επιστήμονες. Παρόλα αυτά, στη σύγχρονη εποχή παρατηρείται ένας φόβος, αν όχι και δέος, απέναντι στα Μαθηματικά από τον μέσο άνθρωπο αλλά και πολύ περισσότερο από τους μαθητές. Πολλοί θεωρούν ότι η επιστήμη αυτή απευθύνεται στην ελίτ των μυαλών, εξυπηρετεί μόνο ερευνητικούς σκοπούς και αγνοούν την χρηστικότητά της στην καθημερινή ζωή, δημιουργώντας έτσι ένα αρνητικό συναίσθημα απέναντί της. Ως μαθηματικοφοβία ή αλλιώς φοβία των μαθηματικών (mathophobia ή math anxiety) περιγράφεται το συναίσθημα που συνδέεται με την δυσφορία, την απέχθεια, την ανησυχία, το άγχος ή ακόμα και τον φόβο που δημιουργείται κατά την ενασχόληση ενός ατόμου με τα μαθηματικά, όχι μόνο στο εκπαιδευτικό περιβάλλον αλλά και στην καθημερινή ζωή.

Πού, όμως, οφείλεται η μαθηματικοφοβία; Εξαιρώντας τους παθολογικούς παράγοντες που μπορεί να προκαλούν την μαθηματικοφοβία και εστιάζοντας στους ψυχολογικούς (εξωτερικούς) παράγοντες αλλά και τη φύση της επιστήμης, είναι δόκιμο να παραθέσουμε τις παρακάτω αιτίες: 1. Η αλυσιδωτή φύση της επιστήμης των Μαθηματικών. Θα μπορούσε κανείς να παρομοιάσει τα Μαθηματικά με μια αλυσίδα, από την οποία αν λείψει ένας κρίκος τότε αυτή παύει να υφίσταται ως ολότητα και χάνει την αρχική λειτουργική της αξία. Έτσι, για παράδειγμα, αν κάποιος δεν γνωρίζει την προπαίδεια, δεν θα μπορέσει να αντιληφθεί άλλες μαθηματικές έννοιες που προαπαιτούν αυτή τη γνώση, όπως είναι οι δυνάμεις. 2. Η αφηρημένη φύση των μαθηματικών συμβολισμών. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στα Μαθηματικά απέχουν από την γλώσσα επικοινωνίας των ανθρώ-

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 103487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 πων. Πολλοί μαθητές θεωρούν τα Μαθηματικά 6. Η φύση της προσωπικότητας των ανθρώπων. ως μια “ξένη” γλώσσα, την οποία καλούνται να Η φύση της προσωπικότητας πολλών ανθρώπων που αποστηθίσουν τυπικά. δεν τους επιτρέπει να πειθαρχήσουν στους κανόνες και την αυστηρότητα των Μαθηματικών δημιουργεί 3. Η κακή διδασκαλία, προερχόμενη από την πολλές φορές απέχθεια για την επιστήμη. έλλειψη διδακτικής από τους διδάσκοντες των Μαθηματικών. 7. Η προκατάληψη των γονέων ή και των δασκάλων Δυστυχώς, η Διδακτική των Μαθηματικών απέναντι στα Μαθηματικά. αποτελεί πολυτέλεια στο πρόγραμμα σπουδών των Πολλοί γονείς ή και δάσκαλοι, λόγω προσωπικών μαθηματικών τμημάτων, με συνέπεια οι μαθηματικοί βιωμάτων, περνάνε ακούσια την δική τους μαθηπου αποφοιτούν και προσανατολίζονται στη ματικοφοβία στα παιδιά - μαθητές τους. Έτσι, διδασκαλία της μέσης εκπαίδευσης να υπολείπονται δημιουργείται, πολλές φορές, μια αλυσίδα του γνωστικών εφοδίων. συναισθήματος αυτού, η οποία διαιωνίζεται. 4. Η αποχή των Σχολικών Μαθηματικών από το πεδίο εφαρμογής τους. Είναι γεγονός ότι τα σχολικά μαθηματικά (ειδικά στις μεγαλύτερες τάξεις) απέχουν από τη φύση και διδάσκονται φορμαλιστικά, με αποτέλεσμα οι μαθητές να μην κατανοούν την εφαρμοσιμότητά τους στην καθημερινότητα. (είναι χαρακτηριστική η φράση των μαθητών: “Και πού θα το χρειαστούμε αυτό κύριε;¨)

8. Οι μαθησιακές ιδιαιτερότητες κάθε ατόμου. Κάθε άτομο μαθαίνει με διαφορετικό τρόπο και ρυθμό. Παρόλα αυτά, η διδασκαλία σε ένα μεγάλο κοινό (π.χ. τάξη) δεν μπορεί να ανταποκριθεί στις εξειδικευμένες μαθησιακές ανάγκες κάθε ατόμου.

Γνωρίζοντας τα βασικά αίτια που προκαλούν την μαθηματικοφοβία, οι σύγχρονοι εκπαιδευτικοί αλλά και οι γονείς μπορούν να συμβάλλουν αποτελεσματικά στην εξάλειψη του φαινομένου και στη δημιουργία 5. Η αυστηρότητα που διέπει τη μαθηματική έκφρα- μιας υγιούς εικόνας των Μαθηματικών για τους μαθητές. ση. Ο τρόπος με τον οποίο αποδεικνύονται τα θεωρήματα ή διατυπώνονται οι προτάσεις δίνουν στα Μαθηματικά την εικόνα ενός συνόλου αυστηρά διατυπωμένων κανόνων. Προφανώς, κάθε παρέκκλιση από τους κανόνες αυτούς αλλάζει και το νόημα του περιεχομένου. Βιβλιογραφία: [1] Fulkerson, K. P., Galassi, J. P., & Galassi, M. D. (1984). Relation between cognitions and performance in math anxious stu dents: A failure of cognitive theory? Journal of Counseling Psychology, 11, 376- 382. [2] Greenwood, J. (1984). My anxiety about math anxiety. Mathematics Teacher, 77, 662-663. [3] Hembree, R. (1990). The Nature, Effects and Relief of Mathematics Anxiety. Journal for Research in Mathematics Education, 21, 33-46. [4] Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics: 1. Newton and Leibniz, BBC Radio 4, 27/09/2010. [5] Resek, D. and Rupley, W. H. (1980). Combating Mathophobia with a conceptual approach toward mathematics. Educational studies in Mathematics, 11, 423-441. [6] Resnick, H., Viehe, J., & Segal, S. (1982). Is math anxiety a local phenomenon? A study of prevalence and dimensionality. Journal of Counseling Psycholo- gy, 29, 39-47. [7] Richardson, F.C. & Suinn, R.M. (1972). The mathematics anxiety rating scale: Psychometric data. Journal of Counceling Psychology, 19, 551-554. [8] Sherard, W. H. (1981). Math anxiety in the classroom. The Clearing House, 55, 106-110 [9] Skiba, A. E. (1990). Reviewing an old subject: math anxiety. Mathematics Teacher, 90, 188-189. [10] Snyder, C.K. (1990). Mathematics Anxiety: What a teacher can do to help students with this problem. Doctoral dissertation, Ball State University. [11] Steinmann, P. (1984, Spring). How do you teach mathematics anxiety? Delta Kappa Gamma Bulletin, pp. 19-23. [12] Williams, W. v. (1988). Answers to questions about math anxiety. School Science and Mathematics, 88, 95-103. [13] Zaslavsky, C. (1994). Fear of math: How to get over it and get on with jour life. New Brunswick, N. J.: Rutgers University Press. [14] Τουμάσης, M. (2002). Σύγχρονη διδακτική των μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις Gutenberg.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593107 599 601 the 571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Ταξιδεύοντας... με το σώμα και το μυαλό γράφει η Ίρις Παπαδοπούλου Μαθηματικός, Ph.D.

Βα λτικ ές Χώρες

Οι Βαλτικές χώρες, αν και δεν αποτελούν έναν μπορεί να θαυμάσει την πανοραμική θέα της πόλης.

δημοφιλή ταξιδιωτικό προορισμό, ωστόσο εντυπωσιάζουν τον επισκέπτη. Το Ταλλίν, με πληθυσμό περίπου 500.000, είναι η πρωτεύουσα και μεγαλύτερη πόλη της Εσθονίας και βρίσκεται στις ακτές του Φινλανδικού κόλπου 80 χμ. νότια του Ελσίνκι. Όποιος επισκέπτεται την πόλη αξίζει να δει το πάρκο του παλατιού Κάντριοργκ και να περπατήσει κατά μήκος του μεγάλου παραλιακού δρόμου Μπιργκίτα ατενίζοντας τον Φινλανδικό κόλπο. Η Παλιά Πόλη του Ταλλίν είναι μια από τις καλύτερα διατηρημένες μεσαιωνικές πόλεις της Ευρώπης και βρίσκεται στον κατάλογο μνημείων παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO. Στην Παλιά Πόλη του Ταλλίν, η οποία χωρίζεται στην άνω και κάτω πόλη, ο επισκέπτης μπορεί να δει τον εντυπωσιακό Ρώσικο Ορθόδοξο Καθεδρικό Ναό του Αλεξάνδρου Νέφσκι, τις πύλες Βιρούτσκι, τις εκκλησίες του Αγίου Πνεύματος και Αγίου Νικολάου και να περιπλανηθεί στα μεσαιωνικά σοκάκια της πόλης έχοντας την αίσθηση ότι βρίσκεται σε άλλη εποχή. Επίσης, από την κορυφή του λόφου Τοομπέα

Εικόνα 1: Tallinn παλιά πόλη: Κάστρο Toompea και πύργος Tall Hermann.

Στην εντυπωσιακή πλατεία του δημαρχείου θα δει το μοναδικό ανέγγιχτο γοτθικό δημαρχείο της Βόρειας Ευρώπης. Αξίζει όποιος επισκέπτεται το πολύ γραφικό και μεσαιωνικό Ταλλίν να απολαύσει μια τοπική μπύρα σε ένα από τα καφέ που βρίσκονται γύρω από την πολύ όμορφη κεντρική πλατεία του δημαρχείου. Σε απόσταση περίπου 4 ωρών νότια του Ταλλίν βρίσκεται η πρωτεύουσα και μεγαλύτερη πόλη της Λετονίας Ρίγα. Η πόλη είναι χτισμένη στις όχθες του ποταμού Νταουγκάβα, έχει 700.000 κατοίκους και είναι σημαντικό λιμάνι της Βαλτικής θάλασσας. Ο επισκέπτης αξίζει να περιπλανηθεί μέσα στην πόλη και να δει τον Καθεδρικό Ναό, τις εκκλησίες Αγίου Πέτρου και Αγίου Ιακώβ, την πλατεία του δημαρχείου, τα σπίτια των «Τριών αδερφών», τη μικρή και μεγάλη συντεχνία και το σύμβολο της πόλης, τη γάτα. Επίσης, στην οδό Άλμπερτ, στην art nouveau περιοχή της πόλης, θα θαυμάσει κανείς τα πολύ εντυπωσιακά κτίρια του Eisenstein. Αξίζει να σημειωθεί ότι η περιοχή αυτή ανήκει στον κατάλογο μνημείων παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO. Στην Κεντρική Αγορά της πόλης, που στεγάζεται σε παλιές αποθήκες Ζέπελιν, με εντυπωσίασε η αφθονία των φρέσκων ψαρικών, και ιδίως του σολωμού. Οι λάτρεις των αυτοκινήτων μπορούν να επισκεφτούν το μουσείο αυτοκίνητων και να θαυμάσουν τα αυτοκίνητα-αντίκες που εκτίθενται εκεί. Σε απόσταση 15 χμ. από τη Ρίγα βρίσκεται η λουτρόπολη και παραδοσιακό αριστοκρατικό θέρετρο Γιούρμαλα. Οι επισκέπτες μπορούν να κάνουν μια βόλτα στο πεζόδρομο της πόλης ενώ οι πιο τολμηροί μπορούν να κολυμπήσουν στα νερά της Βαλτικής θάλασσας. Σε απόσταση περίπου 300 χμ. από τη Ρίγα βρίσκεται η μεγαλύτερη πόλη και πρωτεύουσα της Λιθουανίας, το Βίλνιους.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 109487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Εικόνα 2: Vilnius παλιά πόλη

Το Βίλνιους έχει πληθυσμό περίπου 550.000 και είναι χτισμένο στη συμβολή των ποταμών Βίλνελε και Νέρις. Ο επισκέπτης μπορεί να περιηγηθεί στην Παλιά Πόλη του Βίλνιους, η οποία είναι μνημείο παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO και να δει το δημαρχείο, αναγεννησιακού ρυθμού, το πρώτο και ιστορικό πανεπιστήμιο της πόλης, τον εντυπωσιακό Καθεδρικό Ναό της πόλης και την Πύλη της Αυγής, όπου θα θαυμάσει ένα πολύ ωραίο ξυλόγλυπτο της Παναγίας. Στην περιοχή Ουζούπης της πόλης βρίσκο-

νται οι ναοί του Αποστόλου Πέτρου και Παύλου και Αγίας Άννας. Επίσης, μπορεί να επισκεφτεί το κάστρο Γκεντίμας και να απολαύσει την πανοραμική θέα της πόλης. Σε απόσταση 30 περίπου λεπτών από το Βίλνιους βρίσκεται η πρώτη πρωτεύουσα της Λιθουανίας, το Τρακάι. Το Τρακάι είναι μια πόλη χτισμένη «πάνω στο νερό», περιτριγυρισμένη από περίπου 200 λίμνες και 21 νησάκια. Το σημαντικότερο και πιο εντυπωσιακό κάστρο της περιοχής είναι αυτό που βρίσκεται στο νησάκι της λίμνης Γκάλβε. Ένα από τα πράγματα που αξίζει να αγοράσει κανείς από τις Βαλτικές χώρες, είτε από μαγαζιά είτε από πλανόδιους πωλητές, είναι διακοσμητικά, κοσμήματα ή σουβενίρ με κεχριμπάρι. Κοινό στοιχείο και των τριών χωρών που προκαλεί εντύπωση είναι το πράσινο, που είναι άφθονο εντός και εκτός πόλεων. Από τις τρεις πόλεις που επισκέφθηκα περισσότερο μου άρεσαν το Ταλλίν και η Ρίγα. Το Ταλλίν, διότι είναι μια θαυμάσια μεσαιωνική πόλη που σώζεται σε μεγάλο βαθμό αυτούσια, με πολύ γραφικά σοκάκια και εντυπωσιακή κεντρική πλατεία. Η Ρίγα μου άρεσε, επίσης, γιατί αν και δεν είναι τόσο γραφική όσο το Ταλλίν είναι μια πολύ ζωντανή πόλη με εντυπωσιακό ιστορικό κέντρο και κτήρια.

the prime magazine_113

[Παρα-Λ{o}γισμός]2 γράφουν οι Θάνος Μπεσλίκας

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Ask†seic

Θανάσης Κουρούπης

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Ασκήσεις

7 Septembr–ou 2017 Θεωρίας Μέτρου Λογισμού ΙΙ, Πραγματικής Ανάλυσης, Per–lhyh Sto pr∏to àrjro mac gia to akadhmaikÏ Ëtoc 2017-2018 ja parousiàsoume merikËc tupikËc ask†seic pou sunantàei opoiosd†pote foitht†c Ëqei parakolouj†sei ta maj†mata 'LogismÏc 2' 'Pragmatik† Anàlush' 'Jewr–a MËtrou'. Ja d∏soume tic l‘seic apo 3 klassikËc ask†seic me akolouj–ec kai seirËc sunart†sewn.

1. 'Askhsh Logismo‘ 2 An fn (x) = upolog–ste to lim

n!1

✓

x 1 + n3 x 2

◆3

fn (x)dx 0

L‘sh: E–nai profanËc Ïti den mporo‘me na peràsoume to Ïrio mËsa sto olokl†rwma. Ja prËpei na elËgxoume thn shmeiak† kai omoiÏmorfh s‘gklish thc akolouj–ac sunart†sewn fn . Arqikà parathro‘me Ïti an stajeropoi†soume Ëna x 2 [0, 1] ,tÏte lim fn (x) = 0

n!1

'Ara fn ! 0 shmeiakà. 'Epeita elegqoume thn ÏmoiÏmorfh s‘gklish. Ston logismÏ 2 den mporo‘me na qrhsimopoi†soume thn sun†jh metrik† afo‘ den Ëqei didaqje–, opÏte arke– na bro‘me Ëna ànw fràgma gia thn akolouj–a mac , to opo–o na mhn exartàtai apÏ to x 2 [0, 1]. Arqikà parathro‘me Ïti: (1 − n3/2 x)2 ≥ 0 ) 1 + n3 x2 ≥ 2n3 x3 )

x3 1  . (1 + n3 x)2 8n3

'Ara fn ! 0 omoiÏmorfa. 'Etsi mporo‘me na peràsoume to Ïrio mËsa apÏ to olokl†rwma kai Ëqoume Ïti lim

n!1

fn (x)dx = 0. 0

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 1 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 127_the prime magazine 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

[Παρα-Λ{o}γισμός]

2. Pragmatik†c anàlushc. De–xte Ïti h seirà 1 X (−1)n n3 x 2 + n n=1

sugkl–nei omoiÏmorfa sto gia x ≥ 0. L‘sh: Parathro‘me Ïti gia x = 0 apÏ krit†rio Leibniz h seirà sugkl–nei. Gia x > 0 Ëqoume Ïti: (nx−1)2 ≥ 0 ) n2 x2 +1 ≥ 2nx ) n3 x2 +n ≥ 2n2 x )

1 n3 x 2 + n



1 ,a > x 2n2 a

Sunep∏c apÏ to krit†rio tou W eierstrass seirà 1 X (−1)n n3 x 2 + n n=1

sugkl–nei omoiÏmorfa gia kàje a > x àra kai gia kàje x > 0 allà kai gia x = 0 sugkl–nei Ïpwc parathr†same. 3. 'Askhsh Jewr–ac MËtrou: Upolog–ste to Ïrio: lim

n!1

n sin 0

L‘sh: Jewro‘me

⇣x⌘

fn (x) = n sin Parathro‘me Ïti

(1 − x)3 x4 dx

⇣x⌘ n

(1 − x)3 x4 .

lim fn (x) = (1 − x)3 x4

n!1

AkÏmh parathro‘me Ïti |fn (x)|  (1 − x)3 x4 2 L1 ([0, 1]) Sunep∏c plhro‘ntai oi proupojËseic tou Jewr†matoc Kuriarqo‘menhc S‘gklishc kai àra Ëqoume Ïti: lim

n!1

fn (x)dx = 0

1 0

(1 − x)3 x4 dx =

1 280

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593131 599 601 the 571 prime magazine_ 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine Θεωρία Μέτρου 71 : 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 Θεµελιώδεις έννοιες και293 παραδείγµατα 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 307 311 313 317 331 337 347 349 3

Θεωρία Μέτρου: Θεμελιώδεις έννοιες και παραδείγματα Χρόντσιος-Γαρίτσης Ευστάθιος-Κωνσταντίνος

γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος μεταπτυχιακός φοιτητής University of Cambridge

Εισαγωγή

Η Θεωρία Μέτρου, όπως ίσως συµπεραίνεται και από το όνοµα, είναι ο κλάδος των µαθηµατικών µε τον οποίο µπορούµε να ορίσουµε αυστηρά τον ῾῾τρόπο µέτρησης᾿᾿ συνόλων. Ο κλάδος αυτός έχει σηµαντικά αποτελέσµατα τόσο στα ϑεωρητικά µαθηµατικά, όπως η γενίκευση της έννοιας του ολοκληρώµατος σε τυχαίο αφηρηµένο χώρο, όσο και στη ϑεωρία πιθανοτήτων. Ας δούµε κάποιες ϑεµελιώδεις έννοιες, καθώς και το πώς µπορούµε να τις συσχετίσουµε µε όσα ήδη γνωρίζουµε. Ορισµός 1. ΄Εστω ένα µη κενό σύνολο X . ΄Ενα µη κενό σύνολο υποσυνόλων του Χ, έστω A ✓ P (X), λέγεται σ-άλγεβρα του X αν και µόνο αν ισχύουν τα παρακάτω : ι) Για κάθε A 2 A, το συµπλήρωµά του Ac 2 A ιι) Για κάθε ακολουθία συνόλων {An } ✓ A η ένωσή τους

S n

An 2 A

Το χώρο X εφοδιασµένο µε τη σ-άλγεβρα A το λέµε µετρήσιµο χώρο και το συµβολίζουµε (X, A) Τώρα που έχουµε µπροστά µας την έννοια του µετρήσιµου χώρου, µπορούµε να προχωρήσουµε στον ορισµό του µέτρου επάνω σε αυτόν :

Ορισµός 2. Ας είναι (X, A) ένας χώρος µέτρου. Μια επεκτεταµένη συνάρτηση µ : A −! R [ {+1} λέγεται µέτρο στην A αν και µόνο αν ισχύουν τα εξής : ι) µ(;) = 0 ιι) µ(E) ≥ 0, 8E 2 A ιιι) Για κάθε το πολύ αριθµήσιµη οικογένεια {En } ✓ A ξένων ανά δύο συS P νόλων, το µ( n En ) = n µ(En ). Η ιδιότητα αυτή λέγεται αριθµήσιµη προσθετικότητα Την τριάδα (X, A, µ) την ονοµάζουµε χώρο µέτρου.

Αναφέραµε λοιπόν τι χρειάζεται ο χώρος για να µπορεί να δεχθεί τρόπο µέτρησης (να είναι µετρήσιµος) και δώσαµε τους ῾῾κανόνες᾿᾿ που πρέπει να τηρεί κάθε τρόπος µέτρησης που ϑέλουµε να χρησιµοποιήσουµε. Ας δούµε πώς αυτά που ήδη γνωρίζουµε, από το σχολείο ακόµα, συµβαδίζουν µε τους παραπάνω ορισµούς.

Παράδειγµα 1. Θεωρούµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R και τη συνάρτηση που δίνει για κάθε διάστηµα D το µήκος του, δηλαδή

l(D) =

(

b − a, +1

αν D ϕραγµένο µε sup D = b και inf D = a, αν D άπειρο

τότε δείχνεται εύκολα ότι το l έχει όλες τις ιδιότητες του µέτρου.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 137487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 6591661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

∆ουλεύοντας µε όµοιο τρόπο στο πραγµατικό επίπεδο R2 και στον πραγµατικό χώρο R3 µπορεί κανείς να αντιληφθεί γρήγορα ότι ο ορισµός του µέτρου είναι γενίκευση του µήκους, του εµβαδού και του όγκου. Πριν όµως ϐιαστούµε να δουλέψουµε µε αφηρηµένα σύνολα και µέτρα χωρίς οπτική εικόνα, αξίζει να παρατηρήσουµε ότι δεν είµαστε ιδιαίτερα εξοικειωµένοι µε τα γνωστά µας µέτρα. Πιο συγκεκριµένα, εάν µας δοθεί ένα λίγο πιο περίπλοκο υποσύνολο του R που δεν είναι προφανείς ενώσεις και τοµές διαστηµάτων, δε ϑα είµαστε σε ϑέση να υπολογίσουµε το µήκος του. Θα ϑέλαµε πολύ να ϐρούµε ένα µέτρο που µπορει να µετρήσει ΟΛΑ τα υποσύνολα του R, δηλαδή να είναι ορισµένο στη µεγαλύτερη δυνατή σ-άλγεβρα του R, στο P (R). Για το λόγο αυτό ορίστηκε αρχικά η παρακάτω επεκτεταµένη συνάρτηση : Ορισµός 3. ΄Εστω E ⇢ R. Τότε υπάρχει το πολύ αριθµήσιµου πλήθους οιS κογένεια ανοικτών διαστηµάτων τέτοια ώστε E ⇢ k Ik . Μπορούµε να υπολογίσουµε το συνολικό µήκος όλων αυτών των διαστηµάτων που ϑα ισούται µε P k l(Ik ) και ϑα πλησιάζει αρκετά το ¨µήκος¨ του E που ϑέλουµε να υπολογίσουµε. ΄Ετσι, ορίζεται η επεκτεταµένη συνάρτηση

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

m⇤ : P (R) −! R [ {+1}

µε

m⇤ (E) = inf{

l(Ik ) : E ⇢

και ονοµάζεται εξωτερικό µέτρο Lebesgue.

[ k

Ik }

Η κατασκευή του εξωτερικού µέτρου Lebesgue προκύπτει πολύ ϕυσικά και ϑα ήταν λογικό να χρησιµοποιούµε τον παραπάνω τύπο για να υπολογίζουµε το µήκος ΚΑΘΕ υποσυνόλου της πραγµατικής ευθείας. Ωστόσο, το εξωτερικό µέτρο Lebesgue δεν είναι µέτρο... Ικανοποιεί τη λεγόµενη αριθµήσιµη υποπροσθετικότητα, δηλαδή 8 το πολύ αριθµήσιµη οικογένεια {En } ✓ P (R) S P ξένων ανά δύο συνόλων, το m⇤ ( n En )  n µ(En ), αλλά υπάρχουν υποσύνολα της πραγµατικής ευθείας για τα οποία η ισότητα δεν ισχύει. Αν παρ΄ όλ΄ αυτά αφαιρέσουµε µε κάποιο τρόπο όλα εκείνα τα σύνολα, και το υποσύνολο του P (R) που ϑα προκύψει είναι σ-άλγεβρα στο R, τότε ϑα έχουµε έναν χώρο µέτρου για την πραγµατική ευθεία. Πράγµατι, υπάρχουν τα λεγόµενα ¨µετρήσιµα σύνολα¨ για αυτή τη δουλειά : Ορισµός. (Καραθοδωρή) ΄Ενα σύνολο E ⇢ R λέγεται ( Lebesgue) µετρήσιµο αν και µόνο αν 8A ⇢ R ισχύει

m⇤ (A) = m⇤ (A \ E) + m⇤ (A \ E c )

Το σύνολο των µετρήσιµων συνόλων συµβολίζεται µε M και είναι µια σ-άλγεβρα στο R. Παρά την πολυπλοκότητα του ορισµού, τα περισσότερα σύνολα (αν όχι όλα) µε τα οποία ασχολούµαστε είναι µετρήσιµα. Οπότε το M δεν περιέχει µόνο 2 λίγα εξειδικευµένα υποσύνολα του R τα οποία χρησιµοποιούνται µόνο εντός πλαισίων της ϑεωρίας µέτρου, αλλά είναι χρήσιµο και σε πολλούς άλλους 367των 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 κλάδους. ΄Ετσι, καταλήγουµε στο εξής ϑεώρηµα :

353 359 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593139 599 601 the571 prime Θέωρηµα 1. Την επεκτεταµένη συνάρτηση 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 Παρά την πολυπλοκότητα του ορισµού, τα περισσότερα σύνολα (αν όχι όλα) 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 µε τα οποία ασχολούµαστε είναι µετρήσιµα. Οπότε το M δεν περιέχει µόνο 233 239 241λίγα 251εξειδικευµένα 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 3 υποσύνολα του R τα οποία χρησιµοποιούνται µόνο εντός των πλαισίων της ϑεωρίας µέτρου, αλλά είναι χρήσιµο και σε πολλούς άλλους κλάδους. ΄Ετσι, καταλήγουµε στο εξής ϑεώρηµα : Θέωρηµα 1. Την επεκτεταµένη συνάρτηση

m : M −! R [ {+1}

µε

m(E) = m⇤ (E) την ονοµάζουµε µέτρο Lebesgue και είναι µέτρο. ΄Ετσι, ο χώρος (R, M, m) είναι ένας χώρος µέτρου. Μπορεί να γνωρίζουµε ότι τα N, Z, Q είναι άπειρα αριθµήσιµα σύνολα, όµως ξέρουµε πόσο είναι το µήκος τους; Την απάντηση ϑα µας δώσει το µέτρο Lebesgue µέσα από το παρακάτω παράδειγµα : Παράδειγµα 2. ΄Εστω A ⇢ R αριθµήσιµο. Τότε µπορούµε να το γράψουµε ως A = {a1 , a2 , a3 , . . . }. ΄Εστω ένα τυχαίο ✏ > 0 πολύ µικρό. Τότε ΄Αρα

8 ai

9Ai = (ai − 2−i ✏, ai + 2−i ✏) : A = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⇢

1 [

a i 2 Ai

i=1

και εφόσον τα Ai είναι διαστήµατα µέτρου l(Ai ) = 2−i+1 ✏ που καλύπτουν το A, ϑα ισχύει από τον ορισµό του inf ότι

m(A) 

+1 X

2−i+1 ✏ = ✏

i=1

1 1−

1 2

= 2✏

΄Αρα, αφού αυτό ισχύει για κάθε ✏ > 0 αυθαίρετα µικρό, µπορούµε να πάρουµε ✏ ! 0, µε το οποίο προκύπτει m(A) = 0, εφόσον γνωρίζουµε ότι το µέτρο είναι εξορισµού µη αρνητικό. Εποµένως, όσο µεγάλο και να είναι ένα αριθµήσιµο σύνολο, το µήκος του ϑα είναι πάντα ίσο µε 0. Μπορεί µε το µέτρο Lebesgue να µην µπορούµε να µετρήσουµε όλα τα υποσύνολα της πραγµατικής ευθείας, αλλά µας δίνει έναν χώρο µέτρου, στον οποίο µπορούµε να ορίσουµε ένα νέο ολοκλήρωµα, γενίκευση του ολοκληϱώµατος Riemann. Με αυτόν τον τρόπο, ϑα δούµε σε επόµενο τεύχος ότι µπορούµε να υπολογίζουµε τα ολοκληρώµατα συναρτήσεων όπως της

f (x) =

(

αν x 2 Q,

1 0

αλλού

που αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγµα µη ολοκληρώσιµης Riemann συνάρτησης. 3 Αναφορές - Πηγές: [1] Μπετσάκος, Δ. Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση. [2] Ξενικάκης, Π., Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης. [3] G. B. Folland, Real Analysis.

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 149487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Γεωργία Ευαγγελίδη

#bye_bye_summer #photocollage1

Γεωργία Ευαγγελίδη 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593151 599 601 the571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

Νικόλαος Καραμπετάκης

#bye_bye_summer #photocollage2 Νικόλαος Καραμπετάκης

157_the prime magazine

Στατιστικές καταγραφές της πραγματικότητας γράφει η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Μαθηματικός M.Sc.

ημοσκόπηση ή αλλιώς “γκάλοπ” είναι η έρευνα της κοινής γνώμης που διενεργείται με επιστημονική μεθοδολογία και σκοπό έχει την στατιστική καταγραφή της πραγματικότητας σε ό,τι αφορά τις απόψεις του πληθυσμού πάνω σε συγκεκριμένα ζητήματα. Μια δημοσκόπηση γίνεται με την μορφή ερωτήσεων και απαντήσεων. Για τον λόγο αυτό ένα ερωτηματολόγιο αποτελεί το θεμελιώδες στοιχείο για να διεξαχθεί μια έρευνα. Η μορφή ενός ερωτηματολογίου είναι επίσης πολύ σημαντική για το είδος και τη διατύπωση των ερωτήσεων που αυτό περιλαμβάνει. Επομένως ένα ερωτηματολόγιο θα πρέπει να είναι: > Σαφές.

Oι κλειστές ερωτήσεις υπερτερούν στην ευκολία ανάλυσης των δεδομένων, ενώ οι ανοιχτές δίνουν επιπλέον δυνατότητα στον ερωτώμενο να ξεδιπλώσει τη σκέψη του. Τα πλεονεκτήματα της κλίμακας Likert είναι ότι χρησιμοποιείται εποικοδομητικά και αποτελεσματικά ο χώρος, είναι πιο γρήγορη η συμπλήρωση του ερωτηματολογίου και έχουν τη δυνατότητα οι ερωτώμενοι να συγκρίνουν της απαντήσεις τους. Σε γενικές γραμμές θα πρέπει να προηγούνται ερωτήσεις ανοιχτού τύπου με περιεχόμενο ανάλογο με αυτό των ερωτήσεων κλειστού τύπου που θα έπονται. Επομένως για την διατύπωση των ερωτήσεων θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψιν τα εξής:

> Σύντομο.

> Η διάταξη των ερωτήσεων

> Να περιέχει ερωτήσεις σύντομου περιεχομένου.

> Η διατύπωση σαφών και μονοσήμαντων ερωτήσεων

Οι ερωτήσεις μπορούν να είναι δύο ειδών: είτε κλειστού τύπου, όπου ο ερωτώμενος καλείται να επιλέξει μεταξύ συγκεκριμένων απαντήσεων, είτε ανοιχτού τύπου, όπου ο ερωτώμενος απαντά στην ερώτηση συμπληρώνοντας στο κενό περιθώριο που προβλέπεται την απάντησή του. Επιπλέον, η μορφή των ερωτήσεων ενός ερωτηματολογίου μπορεί να δίνει τη δυνατότητα στους ερωτώμενους να επιλέξουν την απάντηση από μια λίστα πιθανών απαντήσεων μέσα σε κουτάκια. Μια άλλη μορφή είναι οι ερωτήσεις πίνακα ή κλίμακας Likert. Συγκεκριμένα πρόκειται για πίνακες που έχουν ερωτήσεις και πέντε (ή επτά) πιθανές απαντήσεις.

> Η αποφυγή διφορούμενων ερωτήσεων > Η αντίληψη της ικανότητας απάντησης των ερωτώμενων > Η απροθυμία των ερωτώμενων να απαντήσουν > Η αποτύπωση σύντομων ερωτήσεων > Η αποφυγή ερωτήσεων αρνητικού περιεχομένου. > Η παράλειψη προκατειλημμένων και μεροληπτικών ερωτήσεων και όρων

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577magazine_ 587 593163 599 601 the 571 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

επόμενο(τεύχος(….(

( 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 the_prime_magazine 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 (( 163 Σχήμα(1:(((Σχέση(μεγέθους(δείγματος(και(σφάλματος(εκτίμησης(( 113 127 131 137 139 149 151 157 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313!! 317 331 337 347 349 3

Σε μια δημοσκόπηση σημαντικό ρόλο παίζει όχιδειγματοληψία( !δειγματοληψία Αντίθετα μια πιθανότητα Η( απλή( τυχαία( (ΑΤΔ)( με( ή( χωρίς( επανάθεση,( η( συστ = επανάθεση( χωρίς ( " μόνο η καταγραφή ερωτήσεων αλλάδειγματοληψία,(η(στρωματοποιημένη(δειγματοληψία(και(η(κατά(συστάδες(δειγματ και η επιλογή γίνεται σε περιπτώσεις "!όπου 9 −θέλουμε " !)))) να διεξάγουμε δείγματος . γρήγορα αποτελέσματα ή δεν εφικτήτις( η δειγματοληψία είναι( οι( μορφές( της( δειγματοληψίας( με( πιθανότητα,( οποίες( και( θα( αναλύσο ( Η διαδικασία με την οποία επιλέγουμε ένα τμήμα με πιθανότητα ενώ τα αποτελέσματα της δεν είναι επόμενο(τεύχος(….( του πληθυσμού (δείγμα) λέγεται δειγματοληψία και γενικεύσιμα. *: , → ℝ( θεωρείται επιτυχής όταν η επιλογή( του δείγματος Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ αυτών των δύο παράγει αποτελέσματα και μετρήσεις που είναι μεθόδων είναι ό,τι σε μια ( δειγματοληψία με πιθα!! γενικεύσιμα και ακριβέστερα για το ευρύ σύνολο. νότητα μπορούμε το σφάλμα ! να υπολογίσουμε 5 = ( /))))012/)))))4 ))))4( Στην περίπτωση αυτή λέμε ό,τι το δείγμα μας είναι εκτίμησης ενώ στην " δειγματοληψία "! 9 − " !))))χωρίς πιθανότηαντιπροσωπευτικό. Τις περισσότερες φορές ο πλητα δεν είναι εφικτό. ( (( θυσμός έχει πεπερασμένου πλήθους στοιχεία, τα Το σφάλμα εκτίμησης δίνεται από την σχέση: χήμα(1:(((Σχέση(μεγέθους(δείγματος(και(σφάλματος(εκτίμησης(( οποία συνήθως επιλέγονται χωρίς επανάθεση. Είναι 1 *:6 , = → ℝ( (( εφικτή και η επιλογή της επανάθεσης, όμως, εάν " τυχαία( δειγματοληψία( (ΑΤΔ)( με( επανάθεση( ή( χωρίς( επανάθεση,( η( συστηματική( ( το δείγμα το πάρουμε με επανάθεση θα (μας δώσει ( ( ( Σχήμα(1:(((Σχέση(μεγέθους(δείγματος(και(σφάλματος(εκτίμησης(( ληψία,(η(στρωματοποιημένη(δειγματοληψία(και(η(κατά(συστάδες(δειγματοληψία( λιγότερη πληροφορία από το δείγμα που θα πάρουμε όπου n είναι το μέγεθος του 1 5δείγματος που πήραμε χήμα(1:(((Σχέση(μεγέθους(δείγματος(και(σφάλματος(εκτίμησης(( ( Σχήμα(1:(((Σχέση(μεγέθους(δείγματος(και(σφάλματος(εκτίμησης(( (Σχέση(μεγέθους(δείγματος(και(σφάλματος(εκτίμησης(( μορφές( της( δειγματοληψίας( με( πιθανότητα,( τις( οποίες( και( θα( αναλύσουμε( σε( /))))012/)))))4 "Η=παραπάνω ( ))))4( σχέση εκφράζει χωρίς επανάθεση.Η( απλή( από τον πληθυσμό N. 65 τυχαία( δειγματοληψία( (ΑΤΔ)( με( επανάθεση( ή( χωρίς( επανάθεση,( η( συστηματική( τεύχος(….( Εάν, λοιπόν, (ΑΤΔ)( συμβολίσουμε το μέγεθος του δείγμα- το μέγιστο σφάλμα σε επίπεδο σημαντικότητας τυχαία( δειγματοληψία( με( επανάθεση( ή( χωρίς( επανάθεση,( η( συστηματική( Η( απλή( τυχαία( δειγματοληψία( (ΑΤΔ)( με( επανάθεση( ή( χωρίς( επανάθεση,( η( συστηματική( ειγματοληψία( (ΑΤΔ)( με( επανάθεση( ή( χωρίς( επανάθεση,( η( συστηματική( δειγματοληψία,(η(στρωματοποιημένη(δειγματοληψία(και(η(κατά(συστάδες(δειγματοληψία( (( του δείγματος 95% ή στάθμη σημαντικότητας 95%, το οποίο μποτος με n, τότε το πλήθος των στοιχείων ληψία,(η(στρωματοποιημένη(δειγματοληψία(και(η(κατά(συστάδες(δειγματοληψία( δειγματοληψία,(η(στρωματοποιημένη(δειγματοληψία(και(η(κατά(συστάδες(δειγματοληψία( (στρωματοποιημένη(δειγματοληψία(και(η(κατά(συστάδες(δειγματοληψία( είναι( οι( μορφές( της( δειγματοληψίας( με( πιθανότητα,( τις( οποίες( και( θα( αναλύσουμε( σε( είναι: ρεί να έχουμε της1δειγματοληψίας από τις μορφές( της( δειγματοληψίας( με( πιθανότητα,( τις(και( οποίες( και( θα( αναλύσουμε( σε(εξαιτίας σε( οι( μορφές( της( πιθανότητα,( τις( οποίες( και( της(είναι( δειγματοληψίας( με( δειγματοληψίας( πιθανότητα,( τις( με( οποίες( θα( αναλύσουμε( σε( θα( αναλύσουμε( επόμενο(τεύχος(….( 6 = Εάν ( λύσουμε την παραπραγματικές παραμέτρους. !! ! επόμενο(τεύχος(….( .(τεύχος(….( "θα έχουμε: = ( πάνω σχέση ως προς n τότε "( "! 9 − " !)))) 1 ( " = 5( δηλαδή όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί επιλογής n στοι!! ! 6 = ( ! !! Ν.!!! χείων από !! " "! 9 − " !)))) ! τον πληθυσμό ( = = " =*:"! 9"(− " "! !))))( 9 − με Eαν τώρα τον Π, ( ορί- Συμπεραίνουμε λοιπόν πως όσο μικρότερο θέλουμε → ℝ(πληθυσμό " συμβολίσουμε " !)))) "! 9 − ",!)))) ζουμε την μεταβλητή ( Χ πάνω σε όλα τα στοιχεία του να είναι το σφάλμα, τόσο μεγαλύτερο θα πρέπει να ( πληθυσμού ως εξής: είναι το μέγεθος του δείγματος. ( *: , → ℝ( 5 /))))012/)))))4 *: , → ℝ())))4( *: , → ℝ( *: , → ℝ( ( Πιο συγκεκριμένα εκτιμώντας κάποια περιγραφικά ( ( ( μέτρα της παραπάνω μεταβλητής όπως η μέση τιμή /))))012/)))))4 5 ))))4( 5 /))))012/)))))4 ))))4( 5 1/))))012/)))))4 ))))4( η επιη διασπορά ή 5 ))))4( , η τυπική απόκλιση /))))012/)))))4 6 = ( κρατούσα τιμή, η( διάμεσος "κ.ά. θα μπορέσουμε να ( εξάγουμε πληροφορίες για το δείγμα που θα είναι 1 1 πληθυσμό. αντιπροσωπευτικές και"για τον 6 = ( 1 = ( 1κατηγορίες: 1χωρίζονται 5( " 6 = 6 Οι δειγματοληψίες σε δύο 6= ( " 6 = "( " Σχήμα 1: Σχέση μεγέθους δείγματος και σφάλματος εκτίμησης 1 > τις δειγματοληψίες με πιθανότητα " = ( 1 Η απλή6 5τυχαία δειγματοληψία (ΑΤΔ) με επανάθεση 1 1 = 5 (πιθανότητα > τις δειγματοληψίες " = ( " = 5 ( " χωρίς 6 ή χωρίς επανάθεση, η συστηματική δειγματοληψία, 65 6 ( η στρωματοποιημένη δειγματοληψία και η κατά Οι δειγματοληψίες με πιθανότητα είναι περισσότερο ( συστάδες δειγματοληψία είναι οι μορφές της ενδιαφέρουσες και χρήσιμες διότι: δειγματοληψίας με πιθανότητα, τις οποίες και θα > Είναι απρόσωπες και αντικειμενικές. αναλύσουμε σε επόμενο τεύχος …. > Παρέχουν περισσότερες πληροφορίες που αυξάνονται με το μέγεθος του δείγματος. > Παρέχουν την δυνατότητα να γενικευτούν τα συμπεράσματα που διεξάγονται από ένα δείγμα. > Είναι αξιόπιστες από το ευρύ κοινό.

Αναφορές: [1] Νίκος Φαρμάκης (2009), Εισαγωγή στην δειγματοληψία, Eκδόσεις Χριστοδουλίδη. [2] Νίκος Φαρμάκης (2001), Στατιστική Περιληπτική Θεωρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Χριστοδουλίδη. [3] Φ.Κολυβά-Μαχαίρα, Ε.Μπόρα-Σέντα (1995), Στατιστική Θεωρία Εφαρμογές. [4] Χαλίκιας Μιλτιάδης, Μεθοδολογία Έρευνας για διοικητικά στελέχη, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 499magazine 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 167487 _the 491 prime 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

the prime magazine_173

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521