Page 1

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 the 73 79 83 89 97 101 10 PR1ME 131 137 139 149 151 15 magazine 9 181 191 193 197 199 21 3 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 Τεύχος: 5 / Μαϊ-Ιουν 2017 757 761 769 773 787 797 809 811 821 το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ.


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 73 79 83 89 97 101 4 the 10 PR1ME 131 137 139 149 151 15 magazine 9 181 191 193 197 199 ΕΝΤΟΣ: 211 223 227 229 57 26 311 31 67 21 373 379 383 389 431 433 439 44 63 467 21 523 7 587 31 641 ΜΑΪ-IOYN 83 691 51 2017 7 69 773 787 797 809 811 821 ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ

Color Code Zones:

Προπτυχιακοί φοιτητές, Πτυχιούχοι

Μεταπτυχιακοί φοιτητές, Κάτοχοι μεταπτυχιακού Διδακτορικοί φοιτητές, Διδάκτορες

Ειδικοί συνεργάτες

Ιστορικά - Αφιερώματα

07_Τα εν οίκω

11_90 χρόνια Σχολή Θετικών Επιστημών

19_Brain’s anatomy 23_Αν4λυσ3 το

31_Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg

41_myAuth mobile app: Η νέα εφαρμογή για τους φοιτητές του ΑΠΘ 53_Ήξερε ο Mozart πιθανότητες;

ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου

67_ Δείκτης Νοημοσύνης IQ: Τι είναι; Πως μετριέται;

79_ Rudolf E. Kalman: Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου 101_Θεωρία Παιγνίων: Μικτές Στρατηγικές 109_Θεωρίες μάθησης (Β)

127_Μαθηματική Προτυποποίηση του καρκίνου 137_(Παρα)Λογισμός

149_Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική: Κόμβοι και DNA 157_Δυσαριθμησία: Η διαταραχή των Μαθηματικών

167_Ταξιδεύοντας με το μυαλό και το σώμα: Πράγα 173_Math Art by Coral Fang

the prime magazine_2


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 73 79 83 89 97 101 4 the 10 PR1ME 131 137 139 149 151 15 magazine 181 191 193 197 199 211 7 26 11 31 7 37 21 4 63 5 Τεύχος A 4 21 7 52 Σ Φ 58 31 Σ 6 83 Ν 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ηλεκτρονική σελίδα: http://the-prime-magazine.math.auth.gr

Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: https://www.facebook.com/theprimemagazine/

Το e-mail του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος. the.prime.magazine@gmail.com

ο

ρχισυνταξία:

Βασίλειος Καλέσης

υντακτική Ομάδα:

Γεωργία Γιαμλόγλου Ευάγγελος Ιωαννίδης Αθανάσιος Κουρούπης Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης Λάζαρος Μωυσής Αθηνά Νησιώτη Ίρις Παπαδοπούλου Αγγελική Παναγιωτίδου Δέσποινα Τερζοπούλου Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ευσταθ. - Κων/νος Χρόντσιος - Γαρίτσης

ωτογράφος:

Γεωργία Ευαγγελίδη

κιτσογράφος:

Μάγδα Παπαθανασίου

ομική σύμβουλος:

Ελένη Βαρβαρούση

the prime magazine_3


Editorial

Editorial

37 4 4 52 58 6 69 7

Φτάσαμε αισίως στο 5ο και τελευταίο τεύχος της ακαδημαϊκής χρονιάς 2016-17. Κλείνοντας αυτόν τον πρώτο κύκλο του περιοδικού των “πρώτων” νιώθουμε την ανάγκη να ευχαριστήσουμε όλους αυτούς τους ανθρώπους που συντέλεσαν στην επιτυχία της πρώτης μας χρονιάς. Αρχικά, ευχαριστούμε θερμά τον πρόεδρο του Τμήματος, καθηγητή κύριο Καραμπετάκη για την πίστη που έδειξε στο εγχείρημά μας, την αρωγή με την οποία το πλαισίωσε αλλά και τις υπέροχες φωτογραφίες που μας διέθεσε για να διακοσμήσουμε τις σελίδες του. Ευχαριστούμε επίσης, τον κοσμήτορα της Σχολής Θετικών Επιστημών, καθηγητή κύριο ΧαρίτωνΣαρλ Χιντήρογλου για την στήριξή που μας παρείχε καθώς και την καθηγήτρια του Τμήματος κυρία Χαρά Χαραλάμπους για τη συμμετοχή της στη συγγραφική ομάδα. Ευχαριστούμε τους συνεντευξιαζόμενους για τις συνεντεύξεις που μας παραχώρησαν, τους φίλους που επικοινώνησαν μαζί μας με παρατηρήσεις, σχόλια και λύσεις αλλά και όλους αυτούς που προώθησαν το περιοδικό μέσω των κοινωνικών καναλιών δικτύωσης και όχι μόνο. Τέλος, ευχαριστούμε εσάς, τους αναγνώστες μας, που αγαπήσατε το περιοδικό και το φτάσατε να αριθμεί πάνω από 6 χιλιάδες μοναδικά downloads, σε μόλις 4 τεύχη.

the prime magazine_5

Σε αυτό το 5ο τεύχος θα περιηγηθείτε στις υπηρεσίες του ΑΠΘ μέσω του νέου mobile application (σελ: 41), θα μάθετε αν ο Μότζαρτ ήξερε πιθανότητες (σελ: 53), θα διαβάσετε για την μαθηματική προτυποποίηση του καρκίνου (σελ: 127), θα προβληματιστείτε με το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg (σελ: 31), θα διεκδικήσετε 10 βιβλία των εκδόσεων Κανδύλα λύνοντας τον γρίφο του Brain’s Anatomy (σελ: 19), θα ταξιδέψετε νοερά στην Πράγα (σελ: 167), θα γνωρίσετε τον Kalman, τον θεμελιωτή της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου (σελ: 79), θα αναλύσετε τον δίσκο του Poincare (σελ: 23), θα αναθεωρήσετε τις μεικτές στρατηγικές σας (σελ: 101), θα διαβάσετε τη συνέχεια των θεωριών μάθησης (σελ: 109), θα γιορτάσετε μαζί μας την επέτειο των 90 χρόνων της Σχολής Θετικών Επιστημών (σελ: 11), θα παραλογιστείτε με το Πρόβλημα της Βασιλείας (σελ: 137), θα μάθετε για την δυσαριθμησία (σελ: 157), την εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική (σελ: 149) και τέλος θα γνωρίσετε τα βασικά χαρακτηριστικά του IQ (σελ: 67).

21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821 Καλή ανάγνωση, καλή εξεταστική και καλό καλοκαίρι! Βασίλειος Καλέσης


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 τά ἐν οἴκῳ 4 10 15 21 26 Τα νέα:

uΣτις 1/6/2017 και ώρα 10πμ έγινε σε Συνέλευση του Τμήματος η εκλογή του Τομέα της Μαθηματικής Ανάλυσης στο γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματική Ανάλυση, με έμφαση στην Αρμονική Ανάλυηση ή Οι διακρίσεις: Γεωμετρική Ανάλυση ή Διαφορικές Εξισώσεις με μερικές παραγώγους ή Θεωρία Τελεστών ή Μιγαδική uΣυγχαρητήρια στην ομάδα ποδοσφαίρου του ΤμήΑνάλυηση ή Συναρτησιακή Ανάλυση. Εκλέχθηκε με ματος, η οποία κατάφερε να φτάσει ως την προημιτελική πλειοψηφία στη θέση αυτή ο κ. Ιωάννης Παρίσσης. φάση του Πανεπιστημιακού Πρωταθλήματος του ΑΠΘ. Καλωσορίζουμε τον κύριο Παρίσση και του ευχόμαστε καλή ακαδημαϊκή σταδιοδρομία στο Τμήμα! uΣτις επόμενες ημέρες θα προκηρυχθούν 6 θέσεις μεταδιδακτόρων στα γνωστικά αντικείμενα : Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Άλγεβρα και στην Αλγεβρική Γεωμετρία (Τομέας Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής) Γενική Τοπολογία (Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης) Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης (Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης) Γραμμική Γεωμετρία Ι (Τομέας Γεωμετρίας) Υπολογιστική Γεωμετρία (Τομέας Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης) Στατιστική Συμπερασματολογία (Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας). uΠρόσκληση υποβολής υποψηφιοτήτων στο ΠΜΣ του Τμήματος για το ακαδημαϊκό έτος 2017-18. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να υποβάλουν αιτήσεις από 6-6-2017 έως 3-7-2017. Περισσότερες πληροφορίες στο site: http://www.math.auth.gr/el/node/2466 uΠροκήρυξη μιας (1) κενής θέσης διδάσκοντα στη βαθμίδα του καθηγητή πρώτης βαθμίδας με γνωστικό αντικείμενο «Αριθμητική Ανάλυση – Υπολογιστικά Μαθηματικά και εφαρμογές αυτών». Περισσότερες πληροφορίες στο site:

Η online-supporting κοινότητα uΕν έτει 2017 με την παρουσία MOOC και e-learning όλο και πιο έντονη στην καθημερινότητα ενός σπουδαστή, η ύπαρξη online σημειώσεων, ασκήσεων, παλαιότερων θεμάτων και λύσεων είναι πιο επιτακτική από ποτέ για μια σχολή που θέλει να ακολουθεί από κοντά τις εξελίξεις στον τομέα του e-learning. Όταν μάλιστα αυτό το υλικό παρέχεται *ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΔΩΡΕΑΝ* σε όλους τους σπουδαστές αποτελεί αναπόφευκτα το σημείο αναφοράς της φοιτητικής κοινότητας. Για τον λόγο αυτό εγκαινιάστηκε ο ΤρελόςΦοιτητής (http://www. trelosfoititis.gr) το Νο1 βοηθητικό φόρουμ φοιτητών, με περισσότερα απο 4000(!) θέματα εξεταστικών, σημειώσεις μαθημάτων, αξιολογήσεις καθηγητών και λύσεις θεμάτων από 63 σχολές από 17 ΑΕΙ/ΤΕΙ της χώρας με την λίστα αυτή να μεγαλώνει καθημερινά. Γραφτείτε τώρα δωρεάν και χρησιμοποιήστε το υλικό που θα βρείτε εκεί για την καλύτερη προετοιμασία σας για την επερχόμενη εξεταστική!

4 52 58 6 69 757 761 769 773 787 797 http://www.math.auth.gr/el/node/2460

uΣε Επίτιμο Καθηγητή του Τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του ΑΠΘ αναγορεύτηκε ο απόφοιτος του Τμήματος (1981) και Καθηγητής του Πανεπιστημίου Tübingen, Κωνσταντίνος Δ. Κόκκοτας. Η Τελετή Αναγόρευσης πραγματοποιήθηκε την Τρίτη 23 Μαΐου 2017 και ώρα 18:00, στην αίθουσα Τελετών της παλαιάς Φιλοσοφικής Σχολής του ΑΠΘ.

01 51 99 7 11

uΗ ορκωμοσία του Τμήματος θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 19 Ιουλίου 2017 και ώρα 9.30 π.μ. στην Αίθουσα Τελετών του Α.Π.Θ.

the prime magazine_7

21 7 31 83 51 21


2 3ΙΣΤ5ΟΡΙΚΟ 4 10 Η 15 211 26 31 37

17 19 23

90 χρόνια Σχολή Θετικών Επιστημών γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου Μαθηματικός ΑΠΘ

Φυσικομαθηματική Σχολή, η οποία μετέπειτα μετονομάστηκε σε Σχολή Θετικών Επιστημών, ξεκίνησε να λειτουργεί το 1927 με πρώτο τμήμα αυτό της Δασολογίας. Η σύσταση της δε, προβλέπεται στον ιδρυματικό του καθιδρύματος νόμο 3341 της 14ης Μαΐου 1925. Στεγάζεται από αρχής στο κτίριο του Ιδαδιέ (σημερινό κτίριο Παλαιάς Φιλοσοφικής Σχολής) μαζί με τη Φιλοσοφική Σχολή, έως το 1961, οπότε και εγκαινιάζεται το σημερινό κτίριο της Φυσικομαθηματικής. Το πρώτο Τμήμα της Σχολής, αποτέλεσε το τμήμα της Δασολογίας το οποίο αποσπάστηκε το 1937 και μαζί με το τμήμα της Γεωπονίας δημιούργησαν τη Γεωπονοδασολογική Σχολή. Το ακαδημαϊκό έτος 1928-1929 αρχίζει η λειτουργία των Τμημάτων Μαθηματικών και Φυσικής και η Σχολή δέχεται τους πρώτους εισακτέους της, πέντε σε αριθμό. Παράλληλα με τη σταδιακή αύξηση των εισακτέων, το ακαδημαϊκό έτος 1930-1931 αυξάνεται το διδακτικό προσωπικό, η βιβλιοθήκη εξοπλίζεται με τα πρώτα της βιβλία, περιοδικά και δημιουργείται Σύλλογος Φοιτητών Φυσικής και Μαθηματικών. Κατά την περίοδο της κατοχής επιτάσσεται ο Ιδαδιές, ο οποίος μετατρέπεται σε στρατιωτικό νοσοκομείο και οι παραδόσεις των μαθημάτων γίνονται σε ιδιωτικούς χώρους. Το γεγονός αυτό δημιούργησε λειτουργικά προβλήματα καθώς είχε ως αποτέλεσμα τη μεγάλη αύξηση του αριθμού των εγγεγραμμένων φοιτητών, λόγω της κατάργησης των εξετάσεων. Τόσο το Μαθηματικό Τμήμα, όσο και το Φυσικό κατά τη μεταπολεμική περίοδο επιχειρούν να διευρύνουν τις προοπτικές τους και τα ερευνητικά ενδιαφέροντα, αποκτώντας μεγάλα όργανα όπως μικροσκόπιο και εγκαθιστώντας ηλεκτρονικό υπολογιστή (1964).

the prime magazine_11

Κατά τη διάρκεια των ετών 1975-1981 υλοποιήθηκε και η επέκταση του κτιρίου της Φυσικομαθηματικής. Στο Τμήμα Φυσικής λειτούργησε το πρώτο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών της Σχολής Θετικών Επιστημών, διετούς φοίτησης στην Ηλεκτρονική Φυσική και Ραδιοηλεκτρολογία το 1965. Σήμερα το Τμήμα καλύπτει ένα μεγάλο εύρος επιστημονικών πεδίων και επιλέγει να συνεργάζεται με εθνικούς και διεθνείς φορείς, ώστε οι απόφοιτοί του να έχουν τα καλύτερα εφόδια τόσο για τη συνέχιση των σπουδών τους, όσο και για την επαγγελματική τους αποκατάσταση. Τομείς: Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής, Πυρηνικής Φυσικής και Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων, Φυσικής Στερεάς Κατάστασης, Ηλεκτρονικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, Εφαρμογών Φυσικής και Φυσικής Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Ηλεκτρονικής Φυσικής (Ραδιοηλεκτρολογίας), Φυσικής και Τεχνολογίας Υλικών, Φυσικής Περιβάλλοντος, Νανοεπιστήμες και Νανοτεχνολογίες Από τη δεκαετία του ‘70 ξεκινά η υπέρβαση των καθαρά θεωρητικών μαθηματικών και της θεωρητικής κατεύθυνσης του Τμήματος με ένα άνοιγμα στο χώρο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών το οποίο έδωσε διαφορετική μορφή στο Τμήμα. Σήμερα, το Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ, παρέχει ένα Πρόγραμμα Σπουδών το οποίο ανταποκρίνεται στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης και στην ανάγκη παροχής υψηλού επιπέδου γνώσης στους φοιτητές του.

01 51 99 7 11 7 21


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 Tο έμπειρο διδακτικό, ερευνητικό και διοικητικό προσωπικό συμβάλει στην ύπαρξη φοιτητών με υψηλές επιδόσεις εισαγωγής και με δυνατότητες για εξ ίσου υψηλές επιδόσεις κατά τη διάρκεια των σπουδών τους. Τομείς: Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής, Μαθηματικής Ανάλυσης, Γεωμετρίας, Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης, Στατιστικής και Επιχειρηματικής ‘Έρευνας

Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Θεωρητικά Μαθηματικά, Στατιστική και Μοντελοποίηση, Θεωρητική Πληροφορική και Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, ΔΠΜΣ στα Πολύπλοκα Συστήματα και Δίκτυα (των Τμημάτων Μαθηματικών - Βιολογίας - Γεωλογίας - Οικονομικών Επιστημών)

Μολονότι το αντικείμενο της Χημείας διδάσκεται στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης από την ίδρυση της Φυσικομαθηματικής Σχολής, η ίδρυση του Χημικού τμήματος ανάγεται στο 1943 με το νομοθετικό διάταγμα 430 της 3ης Αυγούστου. Τα εργαστήρια του Χημικού Τμήματος αρχικά υλοποιούνταν στο Άσυλο του Παιδιού, ενώ καθοριστική για το Τμήμα εξέλιξη ήταν η εγκατάσταση του στο κτίριο της Φυσικομαθηματικής το 1956, την οποία ακολούθησε η εγκατάσταση μεγάλων οργάνων και η στελέχωση των εργαστηρίων. Η εγκαινίαση του οκταωρόφου κτιρίου Χημείας γίνεται το 1979.

Με το ίδιο νομοθετικό διάταγμα θεσμοθετείται και η ίδρυση του Φυσιογνωστικού Τμήματος. Η μεγάλη ανάπτυξη των φυσιογνωστικών σπουδών κατά την πρώτη εικοσιπενταετία είχε ως αποτέλεσμα το διαχωρισμό τους σε Βιολογικό και Γεωλογικό το 1973 - 1974 με μεγάλη αύξηση του αριθμού των σπουδαστών. Το Γεωλογικό Τμήμα όπως και το Βιολογικό αναπτύσσονται ταχύτητα δημιουργώντας ενδιαφέρον για τους νέους σύγχρονους τομείς. Σήμερα το Τμήμα Γεωλογίας εργάζεται ερευνητικά σε όλους σχεδόν τους τομείς των γεωεπιστημών. Η εμπειρία και κατάρτιση του διδακτικού και ερευνητικού προσωπικού προσφέρει στους φοιτητές τη δυνατότητα να ασχοληθούν με ένα ευρύ φάσμα γνωστικών αντικειμένων. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι το Τμήμα βρίσκεται στην πρώτη δεκάδα των Τμημάτων του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ως προς την εισροή πόρων από ερευνητικά προγράμματα. Τομείς: Γεωλογίας, Ορυκτολογίας - Πετρολογίας - Κοιτασματολογίας, Γεωφυσικής, Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας, Φυσικής και Περιβαλλοντικής Γεωγραφίας

Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Εφαρμοσμένη και Περιβαλλοντική Γεωλογία, Μετεωρολογία, Κλιματολογία και Ατμοσφαιρικό Περιβάλλον, Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών των Τμημάτων Βιολογίας, Γεωλογίας και Πολιτικών μηχανικών A.Π.Θ., Έρευνα και Τομείς: Γενικής και Ανόργανης Χημείας, Οργανικής Εκμετάλλευση Υδρογονανθράκων του Τμήματος Χημείας και Βιοχημείας, Φυσικής, Αναλυτικής και Γεωλογίας Α.Π.Θ., της Σχολής Μηχανικών ΜεταΠεριβαλλοντικής Χημείας, Χημικής Τεχνολογίας και λλείων - Μεταλλουργών Ε.Μ.Π. του Τμήματος Οικονομικών του Δ.Π.Θ. και του Τμήματος Γεωλογίας Βιομηχανικής Χημείας και Γεωπεριβάλλοντος Ε.Κ.Π.Α. Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Ανόργανη Χημεία και Χημεία Ανόργανων Υλικών, Το εννεαώροφο κτίριο Βιολογικών Σπουδών Κβαντική και Υπολογιστική Χημεία, Βιοχημεία, εγκαινιάζεται το 1987 και σήμερα στεγάζει Οργανική Σύνθεση - Φυσικά Προϊόντα και Εφαρμογές, πολυάριθμους φοιτητές. Οι υψηλού επιπέδου Χημική Ανάλυση - Βιοανάλυση, Χημεία και Έλεγχος σπουδές διασφαλίζονται από την ενσωμάτωση Ρύπανσης του Περιβάλλοντος, Χημεία Υλικών, των πιο σύγχρονων διδακτικών μεθόδων και την Χημική και Περιβαλλοντική Τεχνολογία, Επιστήμη έμφαση στη θεωρητική κατάρτιση των φοιτητών και Τεχνολογία Πολυμερών και Νανοσύνθετων και στην πρακτική άσκηση στο εργαστήριο ή στο Υλικών , Χημεία, Τεχνολογία και Έλεγχος Τροφίμων, πεδίο. Τα μέλη του Τμήματος παρουσιάζουν πλούσια Χημική Εκπαίδευση και Τεχνολογίες Πληροφορικής ερευνητική δραστηριότητα, τόσο στη βασική όσο και Επικοινωνίας και την εφαρμοσμένη έρευνα, η οποία υποστηρίζεται

από σημαντική υποδομή σε επιστημονικό εξοπλισμό.

the prime magazine_13


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 3 4 10 15 211 26 31 37 4 4

Τομείς: Τομείς: Βοτανικής, Γενετικής, Ανάπτυξης και Μοριακής Πληροφοριακά ΣυστήμαΒιολογίας, Ζωολογίας, Οικολογίας τα, Δίκτυα–Επικοινωνίες– Αρχιτεκτονική ΣυστημάΜεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Ψηφιακά Μέσα, Εφαρμοσμένη Γενετική και Βιοδιαγνωστική, Βιο- των, τεχνολογία - Μοριακή και Μικροβιολογική Ανάλυση Τεχνολογίες Πληροφοριών Προϊόντων και Τροφίμων, Υδατοκαλλιέργειες, και Επικοινωνιών στην Καινοτομία και Βιωσιμότητα, Αλιευτική Βιολογία Εκπαίδευση (Τεχνολογίες και Διαχείριση, Οικολογία και Βιολογία Διατήρησης, Μάθησης)

ΔΠΜΣ Οικολογική Ποιότητα και Διαχείριση Υδάτων Μεταπτυχιακά σε Επίπεδο Λεκάνης Απορροής, ΔΠΜΣ Ειδίκευση Προγράμματα Σπουδών: στην Περιβαλλοντική Εκπαίδευση. Πληροφορική και Επικοινωνίες, Διαδίκτυο Παρότι η ίδρυση του Φαρμακευτικού Τμήματος και Παγκόσμιος Ιστός, προβλέπεται από τον ιδρυματικό του πανεπιστημίου, Πληροφορική και Διοίκηση των Τμημάτων το τμήμα ιδρύεται το 1955 με το βασιλικό διάταγμα Πληροφορικής και Οικονομικών Επιστημών του 226, της 17ης Αυγούστου. Τα πρώτα χρόνια της Α.Π.Θ., Ιατρική Πληροφορική των τμημάτων λειτουργίας του αντιμετώπισε αρκετά προβλήματα Πληροφορικής, Ιατρικής και Ηλεκτρολόγων και είχε μικρό αριθμό διδακτικού προσωπικού και Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Α.Π.Θ. φοιτητών ενώ τελικά αποσπάστηκε από τη Σχολή το 1982 και προσαρτήθηκε στη Σχολή Επιστημών Η Φυσικομαθηματική το 1982 μετονομάσθηκε Υγείας με βάση το νόμο 1286 της 16ης Ιουλίου. σε Σχολή Θετικών Επιστημών και απέκτησε νέα διοικητική δομή. Το νέο αυτό σχήμα που αποτελείται Σε αυτό το κτίριο στεγάζεται και το Τμήμα από τα τμήματα Μαθηματικών, Φυσικής, Χημείας, Πληροφορικής το οποίο ιδρύθηκε το 1991 με το Βιολογίας, Γεωλογίας και Πληροφορικής έχει ως προεδρικό διάταγμα 200 και δέχεται φοιτητές από έμβλημα την προτομή του αρχαίου φιλόσοφου το ακαδημαϊκό έτος 1992 - 1993.Παρότι το Τμήμα Θεόφραστου (372 π.Χ. - 287 π.Χ.), ο οποίος υπήρξε Πληροφορικής λειτουργεί μόλις μια εικοσιπενταετία, υποδειγματικός δάσκαλος των Φυσικών Επιστημών η εξέλιξη του είναι μεγάλη. Αυτό φαίνεται και με την και της Φιλοσοφίας. Η Σχολή στεγάζεται στα κτίρια κατάταξη του ΑΠΘ στα 200 καλύτερα πανεπιστήμια Α, Β & Δ Φυσικομαθηματικής, κτίριο Χημείας στην κατηγορία “Επιστήμη Υπολογιστών και (Παλαιό Α & Νέο Β), κτίριο Βιολογίας και κτίριο Πληροφοριακά Συστήματα” σύμφωνα με πρόσφατη Γραμματειών ΣΘΕ. έρευνα της εταιρίας QS., τον μεγάλο αριθμό πρωτότυπων δημοσιεύσεων σε έγκριτα διεθνή ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΧΟΛΗΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ επιστημονικά περιοδικά και συνέδρια και τη • Τμήμα Μαθηματικών: 10.360 συγγραφή και έκδοση μεγάλου αριθμού βιβλίων • Τμήμα Φυσικής: 10.250 Πληροφορικής. Επίσης είναι σημαντικός ο αριθμός • Τμήμα Χημείας: 6.082 χρηματοδοτούμενων ερευνητικών και αναπτυξιακών • Τμήμα Γεωλογίας: 2.898 προγραμμάτων που έχει αναλάβει το Τμήμα τόσο • Τμήμα Βιολογίας: 3.402 από την Ευρωπαϊκή Ένωση όσο και από Ελληνικούς • Τμήμα Πληροφορικής: 1.556 φορείς. Βιβλιογραφία:

[1] 75 χρόνια Φυσικομαθηματικής Σχολής Α.Π.Θ., (2003) επετειακός τόμος, συλλογικό έργο, Θεσσαλονίκη. [2] Σχολή Θετικών Επιστημών | Faculties | ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. (2017). https://www.auth.gr/sci προσπελάστηκε 5/5/2017. [3] Καστάνης, Ν. (1999). Η 70χρονη πορεία του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη: Ζήτη.

the prime magazine_17

01 51 99 7 11 7 21 63 21


γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

<Break the code:/>

3ος Διαγωνισμός Σπάστε τον κώδικα και στείλτε την απάντησή σας στο e-mail του περιοδικού: the.prime.magazine@gmail.com Οι 10 πρώτοι που θα στείλουν τη σωστή απάντηση θα κερδίσουν ένα βοήθημα Μαθηματικών Γ Λυκείου, των εκδόσεων Κανδύλα, χωρίς κλήρωση!

1, 13, 2, 5, 3, 3, 107, 1, 16, 6, 4, 79, 1, 1, 9, 2, 37, 2, 33, 2, 1, 17, 1, 3, 6, 2, 107, 1, 27, 4, 1, 7, 1, 39, 8, 2, 59, 1, 2, 8, 1, 19, 1, 26, 2, 3, 13, 1, 21, 2, 1, 13, 1, 4, 3, 3, 61, 1, 5, 5, 3, 7, 2, 7, 7, 1, 17, 2, 2, 4, 1, 41, 2, 21, 7, 1, 41, 2, 22, 1.

Λεπτομέρειες και όροι του διαγωνισμού στο facebook group του περιοδικού: https://www.facebook.com/theprimemagazine

Λύση γρίφου 4ου τεύχους: Τα βιβλία είναι ποτισμένα με δηλητήριο και οι μοναχοί σαλιώνουν το δάχτυλο για να γυρίσουν σελίδα.

the prime magazine_19


οι

4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

προπτυχιακοι

O d–skoc tou P oincare τ0 kai h uperbolik† gewmetr–a γρα ν φ ου (Αν4λυσ3) (MËroc γράφει A') ο Θάνος Μπεσλίκας

51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Ο δίσκος του Poincare και η2017 Υπερβολική Γεωμετρία 8 MaÚou

(μέρος Α)

Per–lhyh

Sto àrjro autÏ thc st†lhc mac ja anaferjo‘me ston d–sko tou P oincare , Ëna basikÏ montËlo thc uperbolik†c gewmetr–ac. Ja parousiàsoume meriko‘c basiko‘c orismo‘c ,Ïpwc oi gewdaisiakËc tou d–skou, h uperbolik† yeudometrik† kai metrik† ston d–sko autÏn, ja d∏soume kàpoia basikà jewr†mata, kai ja parajËsoume merikà sq†mata-eikÏnec ta opo–a ja mac bohj†soun na katano†soume kal‘tera tic gewmetrikËc Ënnoiec pou diËpoun autÏ to montËlo. To [1] e–nai basikÏc odhgÏc tou àrjrou auto‘.

Xekinàme me meriko‘c basiko‘c orismo‘c:

OrismÏc 1: Wc d–skoc tou P oincare onomàzetai o monadia–oc d–skoc D = {z 2 C : |z| < 1} efodiasmËnoc me thn uperbolik† metrik†.

OrismÏc 2: Wc gewdaisiakËc tou sunÏlou D or–zoume tm†mata k‘klwn tou C = C [ {1}ta opo–a tËmnoun kàjeta ton monadia–o k‘klo. Sto sq†ma 1 blËpete merikËc gewdaisiakËc tou D.

Sto shme–o autÏ ja or–soume thn Ënnoia tou m†kouc enÏc tm†matoc m–ac gewdaisiak†c pou en∏nei d‘o shme–a tou monadia–ou d–skou.

OrismÏc 3: Gia to uperbolikÏ m†koc enÏc uperboliko‘ eujugràmmou tm†matoc γ ston monadia–o d–sko isq‘ei o parakàtw t‘poc: Z Z 2|dz| lengthD (γ) = = λD (z)|dz| 1 − |z|2 OrismÏc 5 H uperbolik† yeudometrik† or–zetai wc ex†c: � � � z−w � � , z, w 2 D � ⇢D (z, w) = � 1 − wz ¯ �

Sto [1] ja bre–te analutikà ton orismÏ gia thn yeudometrik†.

Αναφορές:

1

[1] James W. Amderson (2003) Faculty Of Mathematical Studies ,University of Southampton , Highfield: Springer

the prime magazine_23


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 τ0 (Αν4λυσ3) 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Je∏rhma 2.2.1 Gia thn uperbolik† metrik† ston monadia–o d–sko isq‘ei o parakàtw t‘poc: ◆ ✓ 1 + ⇢D (z, w) dD (z, w) = log , 1 − ⇢D (z, w)

ApÏdeixh: Arqikà ja to de–xoume gia −1 < x < y < 1 . TÏte gia m–a kamp‘lh γ(t) = u(t)+iv(t), t 2 [0, 1] h opo–a en∏nei ta x, y isq‘ei Ïti: Z 1 Z 1 2|γ 0 (t)|dt 2u0 (t)dt lengthD (γ) = ≥ 2 2 0 1 − |γ(t)| 0 1 − u (t) Upolog–zontac to pr∏to olokl†rwma Ëqoume Ïti: lengthD (γ) ≥ log

1+y1−x 1−y1+x

= log

1+

1+

y−x 1−xy y−x 1−xy

!

Ant–stoiqa jewro‘me kai thn γ(t) = x+t(y−x) kai Ëqoume àmesa thn isÏthta. T∏ra ja to de–xoume gia opoiad†pote z, w 2 D. ApÏ prohgo‘meno je∏rhma gnwr–zoume Ïti opoiod†pote ze‘goc shme–wn z, w ston monadia–o d–sko isq‘ei Ïti oi strofËc wc apeikon–seic apotelo‘n upos‘nolo thc omàdac Aut(D) z−w kàti pou shma–nei Ïti apotelo‘n isometr–ec tou q∏rou mac.Jewro‘me thn sunàrthsh f (z) = 1− wz ¯ . H f 2 Aut(D) kai epeid† dD (0, z) = dD (0, |z|) gia kàje z 2 D Ëqoume Ïti: dD (z, w) = dD (w, z) = dD (f (w), f (z))

= dD (0, f (z)) = dD (0, |f (z)|) = dD (0, ⇢D (z, w))

Kai Ëqoume to apotËlesma.Parathr†ste Ïti : ◆ ✓ 1 + |z| dD (0, z) = log = 2 tanh−1 |z| 1 − |z|

Sq†ma 1: GewdaisiakËc ston monadia–o d–sko.

AnaforËc

Σχήμα 1: Γεωδαισιακές στον μοναδιαίο δίσκο,U niversity of Southampton [1] James W. Amderson (2003) F aculty Of M athematical Studies , Highf ield: Springer − V erlag London Berlin Heidelberg. 2

the prime magazine_29


13 17 19 23 29 31 37 41 43

οι

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γρα

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg

ν

φ ου

γράφει η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Μαθηματικός M.Sc.

Τον 18ο αιώνα η σημερινή πόλη Καλίνινγκραντ της Ρωσίας ονομαζόταν Königsberg και άνηκε στην Πρωσία. Η πόλη μέχρι και σήμερα είναι γνωστή για τον πανέμορφο ποταμό της, τον Pregel, ο οποίος δημιουργεί στο κέντρο της δύο μικρές νησίδες. Εκείνη την εποχή υπήρχαν 7 γέφυρες που συνέδεαν τις όχθες του ποταμού μεταξύ τους και τις νησίδες με την στεριά. Οι κάτοικοι προσπαθούσαν να δουν εάν ήταν εφικτό να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας καθεμία μόνο μια φορά. Παρόλες τις προσπάθειες τους, όμως, πάντα υπήρχε μια γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Οπότε είχαν καταλήξει στα εξής συμπεράσματα: ή το παραπάνω πρόβλημα είναι αδύνατο ή δεν είχαν βρεί ως τότε τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες από μια φορά. Την λύση στο πρόβλημα τους έδωσε ο Euler και με αυτόν τον τρόπο εγκαινίασε την θεωρία Γραφημάτων και την Τοπολογία. Λίγα λόγια για την θεωρία Γραφημάτων: Γράφημα είναι οτιδήποτε μπορεί να παρασταθεί με σημεία (κορυφές) και γραμμές (ακμές). Δηλαδή ένα γράφημα είναι ένα ζεύγος G = (V,E), όπου V = {v1, …,vn}, το σύνολο των κορυφών και Ε = {e1,…,em} το σύνολο των ακμών. Ένα γράφημα χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των κορυφών του |V| = n και το πλήθος των ακμών του |Ε| = m. Μία ακμή μπορεί να είναι κατευθυνόμενη ή μηκατευθυνόμενη. Η κατευθυνόμενη ακμή e=(v1,v2) λέμε ότι συνδέει την κορυφή v1 με την κορυφή v2. Η κορυφή v1 ονομάζεται ουρά της ακμής και η κορυφή v2 κεφαλή της ακμής. Η μη-κατευθυνόμενη ακμή e=(v1,v2) λέμε ότι συνδέει τις κορυφές v1 και v2, οι

the prime magazine_31

Εικόνα 1: Κατευθυνόμενο γράφημα

Εικόνα 2: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα

οποίες ονομάζονται και άκρα της. Τέλος δύο κορυφές που συνδέονται με ακμή ονομάζονται γειτονικές. Σε ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα ο βαθμός που αντιστοιχεί σε κάθε κορυφή v είναι το πλήθος των ακμών που εφάπτονται στην κορυφή v και συμβολίζεται με d(v), ενώ σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα διακρίνουμε τον βαθμό εισόδου που είναι ο αριθμός των ακμών που καταλήγουν στην κορυφή v και συμβολίζεται με din(v) και τον βαθμό εξόδου που είναι ο αριθμός των ακμών που ξεκινούν από την κορυφή v και συμβολίζεται με dout(v). • Μονοπάτι P = (v1,…,vn) μήκους n είναι μια ακολουθία από κορυφές έτσι ώστε να υπάρχουν οι ακμές (vi ,vi+1) με 1 < i < n-1, όπου όλες οι κορυφές είναι διαφορετικές. • Κύκλος C = (v1,…,vn,v1) είναι ένα μονοπάτι όπου ξεκινάει και τελειώνει με την ίδια κορυφή. • Μονοπάτι Euler είναι ένα μονοπάτι που περιέχει μια φορά ακριβώς όλες τις ακμές. • Κύκλος Euler είναι ένας κύκλος που περιέχει όλες τις ακμές ακριβώς μία φορά και όλες τις κορυφές τουλάχιστον μία φορά.

69 773 787 797


11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 3 83 51 69 773 787 797 21

Λύση του προβλήματος των γεφυρών από τον Euler

Έτσι λοιπόν για να μπορεί να διασχίσει κάποιος κάθε γέφυρα μία μόνο φορά θα έπρεπε να υπάρχει μία γραμμή που ξεκινάει από κάθε σημείο και μια που καταλήγει στο ίδιο σημείο. Δηλαδή ο βαθμός κάθε κορυφής θα έπρεπε να είναι ζυγός αριθμός! Οι μόνες εξαιρέσεις ήταν τα σημεία εκκίνησης και τερματισμού όπου οι βαθμοί των κορυφών αυτών θα ήταν 1.

Το σημαντικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία απολύτως σχέση με την λύση του προβλήματος. Ο Euler αντικατέστησε τις 4 χερσαίες περιοχές με σημεία ενώ τις 7 γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Σύμφωνα με τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε: d(B) = d(C) = d(D) = 3 και d(A) = 5

Για αυτό και ο εν λόγω περίπατος ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί Σε ποιες περιπτώσεις η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος θα ήταν εφικτή;

Εικόνα 3: Königsberg in 1736

Εικόνα 4: Γραφική αναπαράσταση του Euler

Η μαθηματική ανάλυση του Euler έδειξε ότι εάν υπήρχαν ακριβώς δύο κορυφές με ζυγό βαθμό τότε ένα μονοπάτι θα ήταν εφικτό. Ξεκινάς από το ένα και καταλήγεις στο άλλο έχοντας διασχίσει και τις ενδιάμεσες γραμμές (γέφυρες). Επομένως το πρόβλημα θα λύνονταν εάν δεν υπήρχε η γραμμή που ενώνει τα σημεία C και D ή η γραμμή που ενώνει τα σημεία B και D ή τέλος η γραμμή που ενώνει τα σημεία A και D. H ιστορία των γεφυρών του Königsberg γέννησε έναν νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφερόμαστε για τις αποστάσεις, τις διαστάσεις και τις γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, εστιάζουμε στον τρόπο που είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους. Αυτή είναι και η αρχή της τοπολογίας ενός από τα πιο ισχυρά παρακλάδια της μαθηματικής επιστήμης. Επίσης έκτοτε αναπτύχθηκε περαιτέρω και η θεωρία γραφημάτων.

Που συναντάμε τα γραφήματα καθημερινά;

Βιβλιογραφία:

[1] Βασικές έννοιες της θεωρίας γραφημάτων, Δημήτρης Φωτάκης, τμήμα ΗΜΜΥ-ΕΜΠ [2] Εισαγωγή στην θεωρία γραφημάτων, Αλέξανδρος Νανόπουλος [3] Οι γέφυρες του Königsberg, Γιώργος Καρουζάκης, Θαλής και φίλοι [4]Οι γέφυρες του Königsberg, Κώστας Γιαννακός [5] Πιθανοθεωρητική προσωμοίωση και γραφήματα, Πολυχρόνης Μωυσιάδης

the prime magazine_37


235 4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

οι

ΔΙΔΑΚΤΟρικοι γρα

ν

φ ου

Το

13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 myAuth mobile app

Η νέα εφαρμογή για τους φοιτητές του ΑΠΘ γράφει ο Ευάγγελος Ιωαννίδης

Μαθηματικός, Ph.D candidate

νέο app “myAuth” που ανέπτυξε το Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης (ΚΗΔ) του ΑΠΘ, σε συνεργασία με τους εκπαιδευομένους φοιτητές του, έχει ως στόχο την άμεση και προσωποποιημένη ενημέρωσή των φοιτητών του ΑΠΘ για όλα τα θέματα της φοιτητικής τους καθημερινότητας[1].

Έτσι λοιπόν, μέσω μιας ειδοποίησης στο smartphone τους, θα μπορούν πλέον οι φοιτητές του ΑΠΘ να ενημερώνονται σε πραγματικό χρόνο για τα διάφορα θέματα που αφορούν την φοίτησή τους στο πανεπιστήμιο, όπως για παράδειγμα: • πληροφορίες για τα τρέχοντα μαθήματα

• προβολή του προγράμματος μαθημάτων, καθώς και τυχόν έκτακτες αλλαγές αυτού

• οδηγίες για τις αίθουσες μαθημάτων και τον χώρο που βρίσκονται • το πρόγραμμα εξεταστικής

• εάν πέρασαν και με τι βαθμό, κάποιο συγκεκριμένο μάθημα στην εξεταστική τους

Εικόνα 1: Ο σχεδιασμός του “myAuth” έγινε με γνώμονα την άμεση και προσωποποιημένη ενημέρωση των φοιτητών.

• αν έχουν προσκομίσει τα απαραίτητα δικαιολογητικά για κάποια συγκεκριμένη αίτηση προς Η πρώτη εφαρμογή για κινητά, το “ΑΠΘ moτην γραμματεία του τμήματος (π.χ. ορκωμοσία). bile”, δημιουργήθηκε το 2012 και αφορούσε γενική • τις ανακοινώσεις του τμήματος, των μαθημάτων, πληροφόρηση για το πανεπιστήμιο. Η πληροφόρηση που παρείχε το “ΑΠΘ mobile” ήταν αντίστοιχη και των καθηγητών από το elearning.auth.gr αυτής που παρέχεται στην κύρια ιστοσελίδα του • το μενού της λέσχης ΑΠΘ. Δεν υπήρχε δηλαδή η λεγόμενη «άμεση και προσωποποιημένη πληροφόρηση» για τους • τα στοιχεία επικοινωνίας της γραμματείας σου φοιτητές. «Πάρα πολύ μεγάλο μέρος της Το “myAuth” εξασφαλίζει ότι η χρήση των στοιχείων δουλειάς που έγινε, βασίζεται στην ερτου ιδρυματικού λογαριασμού των φοιτητών γίνεται γασία εκπαιδευόμενων φοιτητών. Τρεις μόνο μέσα από τα ασφαλή κανάλια επικοινωνίας των φουρνιές φοιτητών εργάστηκαν στο ηλεκτρονικών υπηρεσιών του ΑΠΘ[1]. H εφαρμογή συγκεκριμένο project, σε διάφορες είναι διαθέσιμη σε Android στο Google Play Store από φάσεις, για να φτάσουμε στο σημερινό τον σχετικό σύνδεσμο[2], και μετρά ήδη περισσότερες αποτέλεσμα» ανέφερε στο ΑΠΕ-ΜΠΕ από 1.000 λήψεις με ιδιαίτερα θετικές αξιολογήσεις. ο Δημήτρης Δασκόπουλος, υπεύθυνος

the prime magazine_41

69 773 787 797 809


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 5 7 31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 του Τμήματος Υπηρεσιών στο Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης (ΚΗΔ) του ΑΠΘ[3]. Όπως εξήγησε ο κ. Δασκόπουλος, πριν από 4 χρόνια με την πρώτη εφαρμογή «ΑΠΘ Mobile» το 2012, δεν υπήρχε όλη αυτή η πληροφορία συγκεντρωμένη. Ως εκ τούτου, όλα τα δεδομένα έπρεπε να συλλεχθούν και να καταχωρηθούν σε μία νέα ενιαία βάση. «Στο εξωτερικό κάποια πανεπιστήμια διαθέτουν τέτοιες εφαρμογές, οπότε υπήρξε αυτό το όραμα, μίας αντίστοιχης υπηρεσίας στους φοιτητές του ΑΠΘ και ιδιαίτερα σε ξένους φοιτητές, οι οποίοι έρχονται εδώ χωρίς να γνωρίζουν τη γλώσσα ή τους χώρους, και αναζητώντας πληροφορίες “από στόμα σε στόμα” προσπαθούν να κινηθούν στο πανεπιστήμιο» σημείωσε ο κ. Δασκόπουλος[3].

Εικόνα 4: Η εφαρμογή ενσωματώνει χάρτη της πανεπιστημιούπολης του ΑΠΘ

Εικόνα 2: Στο “myAuth” μπορείς να δεις εάν περάστηκαν και με τι βαθμό, τα μαθήματα της εξεταστικής σου.

Η ομάδα του ΚΗΔ του ΑΠΘ εργάζεται ήδη πάνω σε διορθώσεις της νέας εφαρμογής «myAuth», τις οποίες τις έχουν προτείνει οι χρήστες της διάρκειας 6 μηνών δοκιμαστικής BETA λειτουργίας της εφαρμογής. Επίσης, σχεδιάζουν τον εμπλουτισμό της με νέες κατηγορίες πληροφοριών, με υπηρεσίες ειδοποίησης (notifications), και εργάζονται για την έκδοση της εφαρμογής σε περισσότερες γλώσσες. Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι ήδη έχει ξεκινήσει η διαδικασία για τη διάθεσή της νέας εφαρμογής «myAuth» και μέσω του App Store για συσκευές με λειτουργικό iOS.

Εικόνα 3: Το “myAuth” μετρά ήδη περισσότερες από 1.000 λήψεις και οι αξιολογήσεις είναι ιδιαίτερα θετικές.

the prime magazine_43


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 4 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 58 6 69 7 69 773 787 797 809 Εικόνα 5: Η εφαρμογή “ΑΠΘ Mobile”, ήταν η πρώτη εφαρμογή για κινητά που αναπτύχθηκε από το ΑΠΘ το 2012, η οποία συνεχίζει να είναι διαθέσιμη στο Play Store και στο App Store.

Αναμένεται ότι η νέα υπηρεσία προσωπικών ειδοποιήσεων που σχεδιάζεται, μέσω της αμεσότητας που θα εξασφαλίζει, θα συμβάλλει σημαντικά στην εξοικονόμηση του χρόνου και στην αποτελεσματικότητα της επικοινωνίας των φοιτητών με τις γραμματείες των Σχολών τους είτε με τους καθηγητές τους.

Εικόνα 6: Το “myAuth” είναι διαθέσιμο σε Android στο Google Play Store από τον σχετικό σύνδεσμο.[2]

Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης ΑΠΘ

Τηλεφωνική εξυπηρέτηση: 2310 999000 Ηλεκτρονική Διεύθυνση: support@auth.gr Δικτυακός τόπος: http://it.auth.gr

Αναφορές:

[1] https://www.auth.gr/news/articles/23890 [2] https://play.google.com/store/apps/details?id=gr.auth.myAuth [3] ιστότοπος foititikanea.gr εντοπίστηκε την 15/5/2017 στο http://bit.ly/2rvtdGv

the prime magazine_47


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 4 Ήξερε ο Mozart πιθανότητες; γράφει η Αθηνά Νησιώτη

προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού

21 Θ 26 31 37 4 4 52 58 64 69 757 761 769 773 787 797 α ακουγόταν ουτοπικό αν κάποιος σας έλεγε ότι μπορείτε να συνθέσετε το δικό σας μουσικό κομμάτι, καθώς ίσως πιστεύετε ότι απαιτούνται πολλές μουσικές σπουδές, ταλέντο και έμπνευση. Κι όμως... Το μόνο που χρειάζεται είναι δύο ζάρια.

Κατά το τέλος του 18ου αιώνα στην Ευρώπη οι μουσικές εκδόσεις ήταν ένας ταχύτατα αναπτυσσόμενος κλάδος. Οι εκδότες προσπαθούσαν λοιπόν να κάνουν τη μουσική προσιτή σε όλους με διάφορους τρόπους. Ένας καινοτόμος τρόπος ήταν να δημοσιεύουν συστήματα που θα επέτρεπαν ακόμη και σε αυτούς που δεν γνώριζαν θεωρία της μουσικής να συνθέτουν. Έτσι πολλοί ήταν οι γνωστοί συνθέτες οι οποίοι προσπαθούσαν να βρουν τρόπους σύνθεσης της μουσικής βασιζόμενοι στα τυχερά παιχνίδια, τα οποία ήταν επίσης διαδεδομένα εκείνη την εποχή. Ένας από αυτούς ήταν και ο Mozart, ο οποίος δημιούργησε μία φημισμένη και επιτυχή σύνθεση την Musikalisches Würfelspiel Ο Mozart πίστευε ότι η μουσική δεν είναι μόνο για τους διανοούμενους γι’αυτό και προσπαθούσε να την κάνει προσιτή σε όλους. Έλεγε δε “Αν τύχει και βρεθούν δύο ζάρια παραδίπλα σου, ρίξτα και ξεκίνα”. Η μουσική του σύνθεση Musikalisches Würfelspiel εκδόθηκε για πρώτη φορά στο Βερολίνο το 1792 (ένα χρόνο μετά το θάνατό του) και πρόκειται για ένα μουσικό παιχνίδι με ζάρια, που αποσκοπούσε στη διασκέδαση και έδινε την ευκαιρία σε όλους να συνθέτουν μουσική. Αποτελείται από 176 + 96 = 272 μουσικά μέτρα τα οποία ο ίδιος έγραψε. Τα 16 x 11 = 176 μουσικά μέτρα αριθμημένα τοποθετήθηκαν από τον Mozart σε ένα πίνακα 16 στηλών και 11 γραμμών. Επίσης τα υπόλοιπα 16 x 6 = 96 τοποθετήθηκαν σε ένα δεύτερο πίνακα με 6 γραμμές και 16 στήλες. Από τον πρώτο πίνακα προκύπτουν τα μινουέτα και από το δεύτερο τα Trio, καθένα από τα οποία αποτελείται από 16 μέτρα (1)... (1)

43 01 51 99 7 11 7 21 63 21

Για να φτιάξουμε ένα μινουέτο ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Ρίχνουμε δύο ζάρια και προσθέτουμε τις ενδείξεις τους. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών βρίσκεται μεταξύ του 2 και του 12. Ο πίνακάς μας, όμως, έχει 11 γραμμές γι αυτό και κάθε φορά από το άθροισμα αφαιρούμε 1. Πηγαίνουμε τώρα και βρίσκουμε το στοιχείο της πρώτης στήλης που αντιστοιχεί στον αριθμό μας. Αυτό θα είναι και το πρώτο μέτρο της σύνθεσής μας. Για παράδειγμα για να συντεθεί το πρώτο μέτρο ενός μινουέτου ρίχνουμε 2 ζάρια και έστω ότι το άθροισμα των ενδείξεων είναι 7. Πηγαίνουμε λοιπόν στον πίνακα και βρίσκουμε το στοιχείο της πρώτης στήλης και της 7 - 1 = 6ης γραμμής. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία άλλες 15 φορές και έτσι έχουμε καταλήξει σε μία αλληλουχία 16 μέτρων που συνιστούν ένα μινουέτο. Το δικό μας μινουέτο! Στη συνέχεια κάνουμε το ίδιο με ένα ζάρι αυτή τη φορά, για να συνθέσουμε ένα Trio.

Είδη μουσικών κομματιών

the prime magazine_53

83 51 21


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 64 69 7 69 773 787 797 809      

11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+

7,3 ∙ 10+ *+ *+ ∙ 10∙ 10     11 ∙ 6 1,3 =   1,3             *+     1,3 ∙ 10 = 1,7 ∙ 10"+       7,3 ∙ 10+ + + 7,37,3 ∙ 10∙ 10                       1,3 ∙ 3 ∙ 1023 *+*+ 𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10 ∙ 30   s ec =   =   1,31,3 ∙ 10∙ 10*+ "+ 3600ℎ "+ = 1,7 ∙ 10   + + =   1,7 ∙ 10   7,37,3 ∙ 10∙ 10 Εικόνα 1: Παράδειγμα σύνθεσης με τη βοήθεια ζαριών                                                                                    =  . . . = 1,23 ∙ 10*2  χρόνια.           Εύλογα, λοιπόν, μπορεί να μας δημιουργηθούν     ∙ 10*"  αιώνες   Δηλαδή  1,23 κάποια ερωτήματα μαθηματικής φύσης. Αρχικά 23 23 ∙ 3 ∙∙ 310∙ 10   1,31,3 *+ αναρωτιόμαστε πόσες μπορεί να είναι οι διαφορε- ακόμη 𝑡𝑡 =𝑡𝑡 1,3 ∙ 10 secsακούμε =  =   συνεχώς =   =   κι 1,3 αν καθημερινά = ∙ 10∙*+30   ∙ 30   ec   3600ℎ 3600ℎ τικές συνθέσεις που προκύπτουν. Χρησιμοποιώντας καινούριες συνθέσεις.       γνώσεις συνδυαστικής παρατηρούμε ότι το μινουέτο          Παρατηρούμε ότι μέτρα στο *2 *2                          𝑃𝑃                  7                    =                  𝑃𝑃                  επίσης      1,6                            = .  = . .𝑃𝑃.=τα 1,23 ∙ 10 ρόνια.       + 2,5 +∙ 10 𝑃𝑃  χ3,4 +                     . . = 1,23  χρόνια.   16 μπορεί να προκύψει με 11 διαφορετικούς τρόπους μινουέτο δεν έχουν την   ίδια πιθανό   (όσες είναι οι διατάξεις με επανάληψη των 11 ανά τητα να εμφανιστούν. Για  παράδει*" *" Δηλαδή   1,23 ∙ 10∙ 10  αιώνες   6 1 Δηλαδή   1έχουμε ,23  αιώνες   16 16) ενώ το Trio με 6 "# "#τρόπους (όσοι *+ οι διατάξεις γμα η πιθανότητα να άθροι                                               + 𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 + 𝑃𝑃 1,6 = =   11 ∙ 6 = 1,3 ∙ 10       5,2 36 6 με επανάληψη των 6 ανά 16) Έτσι, σύμφωνα με τη σμα ενδείξεων των δύο ζαριών 7       “Θεμελιώδη Αρχή της Απαρίθμησης” μπορούν να είναι:       συντεθούν: 𝑃𝑃 7 + 𝑃𝑃 2,52,5+ 𝑃𝑃+ 1 3,4 +   𝑃𝑃 7= 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃1,6 11"# ∙ 6"# = 1,3 ∙ 10*+   𝑃𝑃1,6 2 =+𝑃𝑃𝑃𝑃 1,1 = 𝑃𝑃   3,4 +       36 δηλαδή 130 οκτάκις εκατομμύρια 7,3 ∙ 10+    συνθέσεις. 6 6 1 1 Σημειώνουμε ότι η γη έχει πληθυσμό 7,3 δισεκα                                               + 𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 =                                              +𝑃𝑃 4,3 + 𝑃𝑃 5,2 + 𝑃𝑃 1,6 36 = = 6=         36 6 τομμύρια ανθρώπους (2013). Έτσι βλέπουμε ότι σε "# "# *+ 11 ∙ 6 =  1,3  ∙ 10     κάθε κάτοικο του πλανήτη   αντιστοιχούν: ενώ να έχουμε άθροισμα 2 είναι: +     7,3 ∙ 10   1 1 1,3 ∙ 10*+   1,7 ∙ 10"+   𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 = = 𝑃𝑃 2 = 𝑃𝑃 1,1 36 =     7,3 ∙ 10+   36         διαφορετικές συνθέσεις, δηλαδή είναι σχεδόν απί- Δηλαδή η πιθανότητα να έχουμε στη σύνθεσή 7,3   +       *+∙ 10 1,3 ∙ 10 θανο δύο διαφορετικά άτομα που "+ παίζουν το ίδιο μας μέτρο από τη γραμμή 6 (= 7 - 1) είναι 6 φορές  =   1,7 ∙ 10   + παιχνίδι να κάνουν την ίδια σύνθεση. Έχει μάλιστα μεγαλύτερη από το να έχουμε μέτρο από την 1 (= 2 7,3 ∙ 10   1,3 ∙ 3 ∙ 1023 *+ υπολογιστεί είναι∙ 30   πιοsπιθανό να κερδίσει κάποιος - 1). Τίθεται, λοιπόν, το ερώτημα, αν ο Mozart είχε   𝑡𝑡 = 1,3ότι ∙ 10 =    ec =   3600ℎ το Τζόκερ 62.164.442*+φορές παρά να συνθέσει το τις κατάλληλες γνώσεις πιθανοτήτων ώστε να το   1,3 ∙ 10   "+ ίδιο κομμάτι 2 φορές. =  1,7 ∙ 10   *2 προβλέψει αυτό ή αν θεωρούσε όλα τα γεγονότα                                                7,3              ∙    10          +      =. . . = 1,23 ∙ 10  23 χρόνια.     Υπολογίζουμε επίσης ότι, αν ένα 1,3κομμάτι ∙ 3 ∙ 10 έχει μέση ισοπίθανα. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δε   =   𝑡𝑡 =30 1,3δευτερόλεπτα, ∙ 10*+ ∙ 30  s  ec =   διάρκεια τότε*"για3600ℎ να τα ακούσουμε μπορεί να δοθεί με σιγουριά. Δηλαδή   1 ,23 ∙ 10   α ιώνες     όλα απαιτούνται:                                                                                        =. . . = 1,23 ∙ 10*223  χρόνια.       1,3 ∙ 3 ∙ 10 𝑡𝑡 = 1,3 ∙ 10*+ ∙ 30  sec   =   =   Δηλαδή  1,23 ∙ 10*"  α3600ℎ ιώνες   𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃   2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +                                                                                      =. . . = 1,23 ∙ 10*2  χρόνια.       6 1                                                +Δηλαδή   𝑃𝑃 4,3 1+ 𝑃𝑃 5,2 = =   *" + 𝑃𝑃 1,6 ,23 ∙ 10  αιώνες   36 6 𝑃𝑃 7 = 𝑃𝑃 1,6 + 𝑃𝑃 2,5 + 𝑃𝑃 3,4 +     the prime magazine_59   11"# ∙"#6"# "# =


3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 7 761 769 773 787 797 21 Τα τυχερά παιχνίδια με ζάρια υπήρχαν από την αρχαιότητα και απασχολούσαν τους ανθρώπους.Την εποχή μάλιστα που έζησε ο Mozart ο κλάδος των πιθανοτήτων βρισκόταν υπό συνεχή εξέλιξη. Μάλιστα ήδη από το 1620 διασώζεται ένα απόσπασμα του Γαλιλαίου στο οποίο απαριθμούνται με σωστό τρόπο οι ρίψεις τριών ζαριών. Οπότε ο Mozart είναι πολύ πιθανό να γνώριζε πιθανότητες και να καταλάβαινε ότι οι διαδικασίες επιλογής των μουσικών μέτρων δεν είναι ισοπίθανες. Όπως και να έχει, όποια και να ήταν η σχέση του Mozart με τα μαθηματικά, κανένας δεν μπορεί να αμφισβητήσει ότι ήταν μία μουσική ιδιοφυία που το έργο του ακόμη και σήμερα μαγεύει τους ανθρώπους. Πολλοί μάλιστα είναι αυτοί που ισχυρίζονται ότι η σονάτα του για δύο πιάνα σε Ρε Ματζόρε (Κ 448) έχει θετική επίδραση στη λειτουργία του εγκεφάλου και βοηθά στην επίλυση λογικών και μαθηματικών προβλημάτων (Mozart effect). Ας την ακούσουμε λοιπόν και ας βγάλουμε τα δικά μας συμπεράσματα...

Εικόνα 2: Sonata I

Εικόνα 3: Η υπογραφή του Mozart

Βιβλιογραφία:

[1] Σπυρίδης, Χ. (χ.η.) Musikalisches Würfelspiel. ανακτήθηκε την 25/5/2017 από τον ιστότοπο: http://users.uoa.gr/~hspyridis/mozartzaria.pdf [2] Δρούγας, Αθ. (2012). Μαθηματικά αξιοπερίεργα: Ο Μότζαρτ και τα μουσικά αξιοπερίεργα. ανακτήθηκε την 25/5/2017 από τον ιστότοπο: http://mathhmagic.blogspot. gr/2012/08/blog-post_25.html [3] Ελούλ, Ι. (2011). Αλγοριθμική σύνθεση Ιστορική αναδρομή και βασικές τεχνικές. (Εργασία Μαθήματος). Ιόνιο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Ηχου και Εικόνας: Κέρκυρα.

Εικόνα 4: Χειρόγραφη παρτιτούρα του Mozart

the prime magazine_61


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 43 4 IQ 10 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Δείκτης Νοημοσύνης: Τι είναι; Πως μετριέται;

γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ

Για τη νοημοσύνη έχουν δοθεί πολλοί ορισμοί κατά καιρούς: η ικανότητα ενός ατόμου να αντιλαμβάνεται και να αφομοιώνει με ταχύτητα, να κρίνει σωστά, να ενεργεί αποτελεσματικά, να σκέφτεται, να εκλογικεύει, να αντιλαμβάνεται αφηρημένες έννοιες – ομοιότητες – διαφορές – σχέσεις, να λύνει προβλήματα, να μαθαίνει, να κατανοεί, να προβλέπει και να προσαρμόζεται σε νέες καταστάσεις. Στην επιστήμη της ψυχολογίας ορίζεται ως το σύνολο των πνευματικών λειτουργιών που χρησιμοποιούμε για να αντιμετωπίσουμε νέες καταστάσεις και να λύσουμε προβλήματα, αξιοποιώντας προηγούμενες εμπειρίες.

Ο ψυχολόγος Wilhelm Stern, που καθιέρωσε την έννοια του IQ, χαρακτήρισε τη νοημοσύνη ως η «ικανότητα του ανθρώπου να προσαρμόζει συνειδητά τον νου του σε νέες απαιτήσεις, η πνευματική ικανότητα προσαρμογής σε νέα καθήκοντα και νέους όρους ζωής» (Stern, σ. 2). Στην ίδια λογική ο αμερικανός ερευνητής David Wechsler συμπληρώνει: «Νοημοσύνη είναι η ικανότητα του ατόμου να ενεργεί αποφασιστικά, να σκέφτεται λογικά και να αντιμετωπίζει με επιτυχία το περιβάλλον του» (Wechsler σ. 3). Βάσει των παραπάνω συγγραφέων και των θεωρητικών πλαισίων που αποδίδουν στην έννοια της νοημοσύνης, είναι δόκιμο να ισχυριστούμε ότι νοημοσύνη είναι η ικανότητα αποτελεσματικής μάθησης και διαχείρισης του καινούριου, του νέου. Συμπέρασμα, λοιπόν, το οποίο συνεπάγεται είναι πως ένα άτομο το οποίο μπορεί να λύσει γρήγορα τον κύβο του Rubik, δεν είναι απαραίτητα άτομο υψηλής νοημοσύνης. Αντιθέτως, το άτομο το οποίο έμαθε να λύνει γρήγορα τον κύβο, μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα και μετά από λίγες επαναλήψεις, χαρακτηρίζεται άτομο υψηλής νοημοσύνης. Εργαλείο μέτρησης της νοημοσύνης αποτελούν τα τεστ νοημοσύνης (IQ tests) τα οποία περιγράφονται παρακάτω:

the prime magazine_67

Τεστ νοημοσύνης (IQ tests)

Tο πρώτο ολοκληρωμένο τεστ νοημοσύνης εκπονήθηκε από τον ψυχολόγο Alfred Binet και τον συνεργάτη του, επίσης ψυχολόγο, Theodore Simon, το 1905, όταν του ζητήθηκε από τους αξιωματούχους του γαλλικού Υπουργείου Παιδείας να δημιουργήσει ένα τεστ το οποίο θα εντοπίζει τους «αδύνατους» μαθητές. Τα τεστ νοημοσύνης αποτελούνται από ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ή και συμπλήρωσης, με εκφωνήσεις σαφείς και σύντομες, ενώ είθισται η πρώτη ερώτηση να δίνεται απαντημένη ως παράδειγμα. Παράδειγμα_1: Δίνονται τρεις λέξεις. Ψάχνουμε μια τέταρτη λέξη που να συσχετίζεται με την τρίτη λέξη, κατά τρόπο ανάλογο μ’εκείνον που σχετίζεται η δεύτερη λέξη με την πρώτη. υγεία : ασθένεια = ημέρα : ........................

α] ήλιος

β] μεσημέρι

γ] φως

δ] νύχτα

Σύμφωνα με τη θεωρία του ψυχολόγου Louis L. Thurstone (Thurstone, σ. 3) αντί να αντιμετωπίζουμε τη νοημοσύνη ως μια ενιαία γενική ικανότητα, επικεντρωνόμαστε σε 7 διαφορετικές «πρωτογενείς νοητικές ικανότητες» τις οποίες και εντοπίζουμεμετρούμε με το τεστ νοημοσύνης για να βγάλουμε γενικό συμπέρασμα. Αυτές είναι: 1. Η λεκτική κατανόηση (Verbal comprehension) 2. Η αιτιολόγηση (Reasoning) 3. Η ταχύτητα αντίληψης (Perceptual speed) 4. Η αριθμητική ικανότητα (Numerical ability) 5. Η ευφράδεια λόγου (Word fluency) 6. Η συνειρμική μνήμη (Associative memory) 7. Η χωρική απεικόνηση - αντίληψη (Spatial visualization)


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 Ανάλογα με την ηλικιακή ομάδα που θέλουμε να εξετάσουμε ή τη νοητική ικανότητα που θέλουμε να μετρήσουμε, υπάρχουν διαφορετικά τεστ με ερωτήσεις που στοχεύουν σε μια ή περισσότερες από τις παραπάνω νοητικές ικανότητες. (WAIS, WISC, Stanford-Binet.., με τις αντίστοιχες κλίμακές τους). Παράδειγμα_2:

IQ

Δείκτης Νοημοσύνης (IQ)

χωρική αντίληψη

Παράδειγμα_3: Από τις τέσσερις λέξεις που δίνουμε, οι τρεις έχουν παραπλήσιο νόημα, ενώ η μια δεν ταιριάζει με τις άλλες. Ζητάμε αυτή τη λέξη: α] τρέχω γ] κουτσαίνω

β] πηδάω δ] κάθομαι

λεκτική κατανόηση

Παράδειγμα_4: Βρείτε το σωστό αποτέλεσμα κατ’εκτίμηση και     με απλούς αριθμητικούς συλλογισμούς.       3251 + 4523 + 2512 = ?   α] 9955 β] 9782     γ] 10533 δ] 9843     ε] 10286   αριθμητική ικανότητα

Οι δείκτες νοημοσύνης, ανάλογα με τη σωματική ηλικία ενός ατόμου, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, το παιδικό και το ενήλικο iq.

Παιδικό IQ

Για παιδιά ηλικίας μικρότερης των 15 ετών, ο δείκτης νοημοσύνης προκύπτει από το κλάσμα με αριθμητή την πνευματική ηλικία προς τη σωματική, πολλαπλασιαζόμενο επί 100. 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ή 𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂ί𝛼𝛼 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋ή   𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂ί𝛼𝛼 ∙ 100   𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎ή  𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂ί𝛼𝛼 ∙ 100   𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎ή  𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂ί𝛼𝛼 Για παράδειγμα, ένα 10χρονο παιδί με νοητικές ικανότητες 14χρονου έχει δείκτη νοημοσύνης 140. 14 ∙ 100 = 140   14 10 ∙ 100 = 140   10

Ενήλικο IQ

Aντίστοιχα, για άτομα άνω των 15 ετών, (ενήλικο iq) ορίζεται ως η σπανιότητα μιας πνευματικής επίδοσης ενός ατόμου στο γενικό πληθυσμό. Η σπανιότητα της επίδοσης ορίζεται από την απόσταση της επίδοσης iq από τον μέσο όρο που είναι το IQ 100. Η κατανομή τιμών του iq ακολουθεί την κατανομή του Gauss (Gaussian distribution).

the prime magazine_71

Απαντήσεις: Παράδειγμα_1: Παράδειγμα_2: Παράδειγμα_3: Παράδειγμα_4:

δ] νύχτα σχήμα Β δ] κάθομαι ε] 10286


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 Ποσοστό πληθυσμού

Εικόνα 1: Πίνακας κατανομής IQ

IQ score

Άτομα με εξαιρετικά υψηλό IQ

• Για παράδειγμα, αν 2 άτομα στα 100 ενός τυχαίου πληθυσμού, μπορούν να περατώσουν μια νοητική δοκιμασία σε προκαθορισμένο χρονικό διάστημα, • τότε τα άτομα αυτά διαθέτουν IQ > 130. Κάθε τεστ έχει τη δική του κλίμακα αξιολόγησης. • Στις μέρες μας τα πιο διαδεδομένα τεστ είναι αυτά των Stanford-Binet (SB5) και Wechsler (WAIS-IV, WISC-V, 2008). • Σύμφωνα με το σκορ που επιτυγχάνει κάθε άτομο, Σύµφωνα µε το σκορ που επιτυγχάνει κάθε άτοµο, κατατάσσεται κατατάσσεται σε μια από τις παρακάτω κατηγορίες: µια από τις παρακάτω κατηγορίες: •

Stephen Hawking (IQ 160) θεωρητικός φυσικός, κοσμολόγος Albert Einstein (IQ 160-190) φυσικός, νόμπελ φυσικής Judit Polgar (IQ 170) σκακίστρια, Grandmaster μόλις 15 ετών Garry Kasparov (IQ 194) σκακιστής, πολιτικός σε ακτιβιστής Evangelos Katsioulis (IQ 205) ψυχίατρος, ψυχοθεραπευτής • Kim Ung-Yong (IQ 210) πολιτικός μηχανικός, μίλησε 6 μηνών, 3 ετών διάβαζε 4+ γλώσσες, Guinness record • Chris Hirata (IQ 225) αστροφυσικός, 16 ετών προσελήφθη στη NASA • Terence Tao (IQ 225-230) μαθηματικός, 20 ετών διδακτορικό, 24 ετών ακαδημαϊκός UCLA, Fields Medal

Stanford - Binet Fifth Edition (SB5) classification IQ Range IQ classification 160+ Extremely gifted 145-160 Very gifted - Highly advanced 130-144 Gifted - Very Advanced 120-129 Superior 110-119 High average 90-109 Average 80-89 Low average 70-79 Borderline 55-69 Mildly impaired 40-54 Moderately impaired Ανάλογη είναι και η κλίμακα Wechsler (WAIS–IV, WISC–V, Kaufman 112) πηγή: (Πηγή: Kaufman σ. 112 σ. WPPSI–IV), KAIT 1993, KABC-II 2004

ΑνάλογηΒιβλιογραφία: είναι και η κλίµακα Wechsler (WAIS–IV, WISC–V, WPPSI–IV), [1] Flanagan P. Dawn , Harrison, L. Patti (2012). Contemporary Intellectual Assessment, Theories, Tests, and Issues, Third edition, New York: KAIT 1993, KABC-II 2004 The Guilford Press

Groth-Marnat, G. (2009). Handbook of Psychological Assessment. 5th Edition, Hoboken. New Jersey: Wiley. Άτοµα µε[2]εξαιρετικά υψηλό δείκτη νοηµοσύνης [3] Kaufman, Alan S. (2009). IQ Testing 101. p. 112, 151–153 New York: Springer Publishing. • Stephen HawkingH.(IQ θεωρητικός φυσικός, [4] Silverman, L. &160) Krenzel, K. (1964). Alfred Binet:κοσµολόγος Prolific Pioneer in Psychology. The Psychiatric quarterly. Supplement 38, p. 323–335. • Albert 160-190) φυσικός, νόµπελ v.1.0. φυσικής [5]Einstein Stangor, C.(IQ (2013). Introduction to Psychology, στις 30/01/2016: http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/127?e=stangorch09_s02 • JuditΕντοπίστηκε Polgar (IQστην 170)ιστοσελίδα σκακίστρια, Grandmaster µόλις 15 ετών [6] Stern, W. (1914). The phychological methods of testing intelligence, p. 2. Baltimore: Warwick & York, Inc. • GarryThurstone, Kasparov 194)Primary σκακιστής, L. L.(IQ (1938). mental πολιτικός abilities, p.3ακτιβιστής Chicago: University of Chicago Press. Wechsler, D. (1939). (IQ The Measurement of Adult Intelligence, p. 3. Baltimore: Williams & Witkins. • Evangelos Katsioulis 205) ψυχίατρος, ψυχοθεραπευτής • Kim Ung-Yong – (IQ 210) πολιτικός µηχανικός, µίλησε 6 µηνών, ετών διάβαζε 4+ γλώσσες, Guinness record the prime magazine_373


13 17 19 23 29 31

οι

ΔΙΔΑΚΤΟρεσ γρα

ν

φ ου

Rudolf E. Kalman Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 64 69 757 761 769 773 787 797

γράφει ο Λάζαρος Μωυσής

Μαθηματικός, Ph.D

Ο Rudolf Emil Kalman (1930-2016) υπήρξε ένας από τους επιδραστικότερους επιστήμονες και μηχανικούς του περασμένου αιώνα, και ο θεμελιωτής της μοντέρνας θεωρίας συστημάτων ελέγχου. Η σύγχρονη θεωρία συστημάτων ελέγχου είναι ένας ευρύς κλάδος της μηχανικής και των μαθηματικών που ασχολείται με δυναμικά συστήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών, τη μελέτη της συμπεριφοράς τους (ανάλυση) αλλά και τη χειραγώγηση των ελέγξιμων παραμέτρων ή εισόδων ενός συστήματος με σκοπό την επίτευξη της επιθυμητής συμπεριφοράς του (σύνθεση). Κατά τη διάρκεια της μακρόχρονης και δραστήριας επιστημονικής του καριέρας, ο Kalman κατάφερε όχι μόνο να θέσει τα θεμέλια αυτού του κλάδου, αλλά και να κατευθύνει με τις ιδέες του την ανάπτυξή του για πολλές δεκαετίες[1,2,7,16].

Εικόνα 1: Λογότυπο του προγράμματος Apollo

Ο R.E. Kalman γεννήθηκε στη Βουδαπέστη στις 19 Μαΐου το 1939 και μετακόμισε στην Αμερική στην ηλικία των δεκατριών χρόνων. Έλαβε το πτυχίο και το μεταπτυχιακό του από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (MIT) το 1953 και 1954 και το διδακτορικό του δίπλωμα από το Πανεπιστήμιο της Κολούμπια το 1957. Οι επόμενες θέσεις που κατείχε ήταν αυτές του ερευνητή στο RIAS (Research Center for Advanced Study) στη Βαλτιμόρη (1958-1964), του καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ (1964-1971), του ερευνητή καθηγητή στο Center for Mathematical System Theory στο Πανεπιστήμιο της Φλόριντα (1971-1992) και ταυτόχρονα του προέδρου της Mathematical System Theory στο Swiss Federal Institute of Technology στη Ζυρίχη (1973-1997).

Από τις πιο σημαντικές συνεισφορές του Kalman υπήρξε η ανάπτυξη του φίλτρου Kalman[11-13]. Το φίλτρο Kalman είναι ένας αλγόριθμος που εφαρμόζεται σε συστήματα που διέπονται από εξωτερικές διαταραχές (θορύβους), με σκοπό τον «καθαρισμό» των μετρήσεων που γίνονται και την απόκτηση μιας νέας εκτίμησης της κατάστασης του συστήματος, απογυμνωμένη από διαταραχές. Το φίλτρο αρχικά αναπτύχθηκε σε διακριτό χρόνο και η επέκταση του στον συνεχή έγινε αργότερα σε συνεργασία με τον R. Bucy[12]. Η ανάπτυξη αυτής της τεχνικής για την εκτίμηση των καταστάσεων ενός συστήματος που υπόκειται σε διαταραχές μπορεί να θεωρηθεί χωρίς υπερβολή μια από τις σημαντικότερες θεωρητικές και τεχνολογικές ανακαλύψεις του προηγούμενου αιώνα. Αυτό γίνεται κατανοητό αν αναλογιστεί κανείς πως στις περισσότερες μηχανικές και τεχνολογικές εφαρμογές οι μετρήσεις είναι θορυβώδεις και υπάρχει συνεχώς η ανάγκη για την απόκτηση καλύτερων εκτιμήσεων, ώστε να εξασφαλίζεται η ορθή λειτουργία τους. Το φίλτρο Kalman επομένως βρίσκει εφαρμογές στην οικονομετρία, στη σεισμολογία, στην μετεωρολογία, στη μηχανική όραση (computer vision), στον έλεγχο στατικής επάρκειας (structural health monitoring), στον έλεγχο κινητήρων, σε όργανα GPS, σε προγράμματα αυτόματης πλοήγησης, στην πλοήγηση δορυφόρων, σε ραντάρ, σε ατομικά ρολόγια (atomic clocks) και σε αναρίθμητες ακόμη εφαρμογές[2,4-6,15]. Ξεχωριστή σημασία ανάμεσα στο πλήθος των παραπάνω εφαρμογών, έχει η ιστορική πρώτη αποστολή ανθρώπων στο φεγγάρι το 1969 με το Apollo 11, στην επιτυχία της οποίας το φίλτρο Kalman έπαιξε καίριο ρόλο, συμβάλλοντας στον ακριβή υπολογισμό των τροχιών του επανδρωμένου αεροσκάφους. Η αρχή της συνεργασίας αυτής ξεκίνησε όταν S. F. Schmidt, ο οποίος ήταν διευθυντής στο Τμήμα Δυναμικής Ανάλυσης της NASA στο Ames Research Center στην Καλιφόρνια προσκάλεσε τον Kalman να τους παρουσιάσει τις ιδέες του, και πίστεψε πως η μεθοδολογία του Kalman θα μπορούσε να εφαρμοστεί στη βελτίωση του προγράμματος πλοήγησης του υπό κατασκευή διαστημικού σκάφους. the prime magazine_79

99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 21


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 4 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 7 69 773 787 797 809 811 821 (realization) και της αναγνώρισης συστημάτων (system identification), που μελετάει την κατασκευή της κατάστασης ενός συστήματος χρησιμοποιώντας μετρήσεις της εισόδου και της εξόδου[3,9,15]. Για τη συνολική του συμβολή στην επιστήμη, ο R. Kalman τιμήθηκε κατά τη διάρκεια της ζωής του με τα IEEE Medal of Honor (1974), το IEEE Centennial Medal (1984), το Rufus Oldenburger Medal (1976), το Kyoto Prize in Advanced Technology (1985), το Steele Prize της American Mathematical Society (1987), το Richard Bellman Control Heritage Award (1997), το Charles Stark Draper Prize for Engineering (2008) και το National Medal of Science (2008) των Η.Π.Α.

Εικόνα 2: Απονομή του National Medal of Science. Source: Ryan K. Morris/National Science & Technology Medals Foundation.

Πέρα από το ομώνυμο φίλτρο, ο R. Kalman συνέβαλε με την έρευνα του σε πάρα πολλά πεδία των μαθηματικών, παρουσιάζοντας συνεχώς νέες ιδέες, αλλά και θέτοντας νέα ερωτήματα των οποίων η απάντηση οδηγούσε σε νέες καινοτομίες[3,7,8,10]. Η ανάπτυξη της θεωρίας των συστημάτων του χώρου των καταστάσεων (state space systems) και των εννοιών της ελεγξιμότητας (controllability) και παρατηρησιμότητας (observability)[14] άλλαξε ριζικά τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων και έθεσε τις βάσεις για τη μελέτη νέων μεθόδων σύνθεσης Εικόνα 3: National Medal of Science ελεγκτών (LQR), την απόρριψη διαταραχών (disturbance rejection) και τη δημιουργία παρατηρητών κατάστασης (state observers). Σημαντική ήταν επίσης Ο R. Kalman έφυγε από τη ζωή στις 2 Ιουλίου 2016, σε ηλικία 86 χρονών. η συμβολή του στο πρόβλημα της πραγμάτωσης Αναφορές:

[1] Antoulas, A., Georgiou, T. T., Khargonekar, P. P., Ozguler, A. B., Sontag, E. D., & Yamamoto, Y. (2017). A Tribute to Rudolf Kalman: His Research, Life, and Influence [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 37(2), 153-153. [2] Antoulas, A., Georgiou, T. T., Khargonekar, P. P., Ozguler, A. B., Sontag, E. D., & Yamamoto, Y. (2017). Prof. Rudolf Emil Kalman [Obitu ary]. IEEE Control Systems, 37(1), 151-152. [3] Antoulas, A. (Ed.). (1991). Mathematical system theory: the influence of RE Kalman. Springer Science & Business Media. [4] Galleani, L., & Tavella, P. (2010). Time and the Kalman filter. IEEE Control Systems, 30(2), 44-65. [5] Gelb, A. (1974). Applied optimal estimation. MIT press. [6] Grewal, M. S., & Andrews, A. P. (2010). Applications of Kalman filtering in aerospace 1960 to the present [historical perspectives]. IEEE Control Systems, 30(3), 69-78. [7] Isidori, A. (2017). Kalman: The Scientist Who Defined Our Field [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 37(2), 166-168. [8] Kalman, R. (2010). Old and new directions of research in system theory. In Perspectives in Mathematical System Theory, Control, and Signal Processing (pp. 3-13). Springer Berlin Heidelberg. [9] Kalman, R. E. (1982). Identification from real data. In Current developments in the interface: Economics, Econometrics, Mathematics (pp. 161-196). Springer Netherlands. [10] Kalman, R. (2003). Discovery and invention: The newtonian revolution in systems technology. Journal of guidance, control, and dynamics, 26(6), 833-837. [11] Kalman, R. E. (1963). Mathematical description of linear dynamical systems. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathemat ics, Series A: Control, 1(2), 152-192. [12] Kalman, R. E., & Bucy, R. S. (1961). New results in linear filtering and prediction theory. Journal of basic engineering, 83(3), 95-108. [13] Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of basic Engineering, 82(1), 35-45. [14] Kalman, R. (1959). On the general theory of control systems. IRE Transactions on Automatic Control, 4(3), 110-110. [15] Pincus, S., & Kalman, R. E. (2004). Irregularity, volatility, risk, and financial market time series. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 101(38), 13709-13714. [16] Sontag, E. (2010). Rudolf E. Kalman and His Students [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 30(2), 87-88.

the prime magazine_97


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 757 761 769 773 787 797

οι

προπτυχιακοι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

Μικτές Στρατηγικές

γρα

γράφει ο Βύρων Μπουλούμης

ν

φ ου

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

Οι στρατηγικές με τις οποίες έχουμε ασχοληθεί μέχρι τώρα χρησιμοποιούνται από τους παίκτες με βεβαιότητα 100%. Τέτοιες στρατηγικές ονομάζονται αμιγείς στρατηγικές. Ωστόσο υπάρχουν παίγνια στα οποία τα συμφέροντα των παικτών είναι διαμετρικά αντίθετα και κάθε παίκτης είναι δυνατό να αποκομίσει όφελος αν καταφέρει να προκαλέσει σύγχυση στον αντίπαλο σχετικά με τις επιλογές του.

Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα.

Παράδειγμα: Δύο πλοία, ένα εμπορικό και ένα πολεμικό, κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και πλησιάζουν το ένα το άλλο όπως φαίνεται στο σχήμα. Μεταξύ τους υπάρχει ένα νησί. Β

ΕΜΠΟΡΙΚΟ

ΠΟΛΕΜΙΚΟ

Ν

Τα δύο πλοία μπορούν να επιλέξουν αν θα περάσουν βόρεια (Β) ή νότια (Ν) του νησιού. Η στρατηγική μορφή του παιγνίου είναι:

Εµπορικό

Β Ν

Πολεµικό Β Ν 0,1 1,0 1,0 0,1

Το πολεμικό επιθυμεί να κάνει την ίδια ακριβώς K S i = {s διαδρομή , ... , sik , ...με , siτο } εμπορικό, ενώ το εμπορικό θέλει να αποφύγει το πολεμικό. 1 i

pi = { pi1 , ... , pik , ... , piK }

5 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 21

Αν το πολεμικό μπορούσε να προβλέψει με ακρίβεια την επιλογή (στρατηγική) του εμπορικού θα προσάρμοζε ανάλογα τη δική του στρατηγική ώστε να κερδίσει το παίγνιο. Για παράδειγμα, αν το πολεμικό γνώριζε ότι το εμπορικό κάνει πάντοτε την επιλογή Β θα έκανε και αυτό την επιλογή Β. Είναι λοιπόν προς το συμφέρον του εμπορικού πλοίου να κάνει τη συμπεριφορά του απρόβλεπτη επιλέγοντας κάποιες φορές τη διαδρομή Β και άλλες τη διαδρομή Ν. Η αβεβαιότητα που θα αντιμετωπίσει σε μια τέτοια περίπτωση το πολεμικό πλοίο μοντελοποιείται μαθηματικά ως μικτή στρατηγική από την πλευρά του εμπορικού πλοίου. Πολεµικό Ορισμός: Β Ν Πολεµικ Η μικτή στρατηγική για έναν Βπαίκτη 0,1 σε Πολεµικό 1,0 ένα στρατηγικό παίγνιο είναι μια Εµπορικό Ν κατανομή 1,0 ΒΒ 0,1 Β 0,1 πιθανοτήτων ως προς τις ενέργειες τουΒπαίκτη. 0,1Εµπορικ1 Εµπορικό Ν 1,0 Εµπορικό αμιγών Ν στρα1,0 0 Έστω ότι ο χώρος των διαθέσιμων 1 k K S = { s , ... , s , ... , s } i παίκτη i i i τηγικών του i είναι: S i = {si1 , ... , sik , ... , siK 1 k K S = {s , ... , s , ... , s } S i i = {si1i, ... , siki , ... , siKi } 1 k K Η μικτή pστρατηγική μια κατανομή } i = { p i , ... , p του i , ... , ip i είναι pi = { pi1 , ... , pik , ... , p πιθανότητας p = { p 1 , ... , p k , ... , p K } pi i = { pi1i, ... , piki , ... , piKi } 0 ≤ p ik ≤ 1 πάνω στις αμιγείς στρατηγικές του, με 0 ≤ p ik ≤ 1 0 ≤ pk ≤ 1 K 0 ≤ p iki ≤ 1 και pik = 1. ∀ k = 1, 2,!, K ∑ ∀ k = 1, 2,!, K και ∑ k =1 K k K k . ∀ k = 1, 2,! , K και ∑ pkδεν i = 1επιλέγει Στο παραπάνω και ∑ p = 1. ∀ k1παίγνιο = 1, 2f ,!το , KFεμπορικό k =1 i , ...ή, sτην k =1 στρατηγική Ν την αμιγήSστρατηγική 1 = {s1 , ... , s1 Β 1 } αμιγή S1 = {s11 , ... , s1f , ... , s1F } αλλά την πιθανότητα1 με τηνf οποία θα ακολουθήσει S1 = {s11 , ... , sf1 , ... , sF1F } το δρομολόγιοS1Β. γράφεται ως =Η {s1μεικτή , ... , s1 στρατηγική , ... , s1 } 1 k K {Β,Ν;p} (εννοείται ότι, sτο Ν επιλέγεται με πιθανότητα S 2 = {s 2 , ... 2 , ... , s 2 }. S 2 κατανομή = {s12 , ... , s 2k , ... , s 2K } 1-p). Γενικότερα, ο παίκτης επιλέγει μια 1 k K S = {s12 , ... , s , ... , sK2 }. πιθανότητας πάνω του. S 22 = {στις s 2 , ...αμιγείς , s 2k2, ... ,στρατηγικές s 2 }. 1 k K Μέχρι στιγμής καθόλου με p2 = { p2 ,δεν ... , pασχοληθήκαμε 2 , ... , p 2 } τις συναρτήσεις απόδοσης. Θεωρούμε pγια p12 , ... , p2k , ... , p2 2 = {λόγους 1 k K p12 , ... , pkλαμβάνουν ευκολίας, ότι ppστο παίγνιο μέρος δύο 2 ={ 2 , ... , pK2 } 2 = { p 2 , ... , p 2 , ... , p 2 } παίκτες μεKχώρους αμιγών στρατηγικών: K ( p 2k )u1 ( s1f , s 2k ). ∑ ( p 2k )u1 ( s1f , s 2k ). k =1 K ∑ k f k K k =1 , s prime ). magazine_ 101 ∑((ppk2))uu1((ssf1the , s k2).

k =1

2

1

1

2


0∀≤k p=i 1,≤21∀ = 1K∑ . Ν p = 1. 1,0 ,!k, K = 1και , 2,Εµπορικό !∑ , Kpi και k i K f,kK ∀ k = 11, 2,! 1k =p f 1. F =1 και 1i = F ∑ S=1, s= S1, = s1 , ... , s1p,k... 11.{}sk1=1, ... , s1 , ... , s1 } ∀ k = 1, 2,! K{και

0,1

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 1 51 15 99 21 7 2 11 31 7 37 21 4 63 4 52 58 31 64 83 69 7 69 773 K

Ki

k =1F 1 , ! ,fK 1και f p k = F1. ∑ S11k= ...S{,1 ss=11 ,{,1... ... s1,,,s... s , ...i K, s } k,} p ∀ = . ={Ss11, ,2= K και ∑ 1 1 f =1 , s F}1 iS = { i s , ...s, is ,k... , ... , si 1 } k =1 1 1 1 Η ισορροπία Nash σε μικτές είναι και η λύση του 1 S 2, s=2K{}.s12 , ... , s 2k , ... , s 2K }. s 2k , ... S1 = {s11 , ... ,Ss21f =, ...{s, 2s1,F...},και παιγνίου. Η αμοιβαία άριστη αντίδραση υποδεικνύει 1 f F 1, ... , s1 k , ...1, s1K} k K 1 = {s1στρατηγική ... , s1F } Αν ηSSμικτή του 2 είναι η: μια μέθοδο λύσης η οποία βασίζεται στις αντιστοιχίες S , s= ,{... s ,,s... ,}.s 2παίκτη , ... ,KKs 2 }. 2 = {s 2 , ... pi S= {2=p{2i1s,1...,2... , ,p2sikk,,... ,,psi }}. ... άριστης αντίδρασης τα σημεία τομής των οποίων 2 2 2 2 k K 1 k K 1 S 2 = {s12 , ... p, s22k =, ...{,ps22K, ... }., p2 ,p...2 ,=p{2 p}2 , ... , p2 , ... , p2 } δίνουν όλες (τόσο σε αμιγείς όσο και σε μικτές S 2 = {s112 1,χρησιμοποιώντας ... , s k , ... , s K }.K k την αμιγή , ... , s 2K }. ο παίκτης p2 = { p2 ,p...2k, =2p2{k ,1p...12 ,2... p2, kp}2 , ... , pK 2K } στρατηγική στρατηγικές) τις ισορροπίες Nash. f ≤p2pμικτή ≤p12 του s1 ενάντια0στη προσδο= , ... , 2p2έχει , ... ,υπoσυνθήκη p2 } i { K K k 1 K p = { p , ... , p , ... , p } k f k k f k κώμενη απόδοση: Παράδειγμα: 2 2 (2p 2 )ku1 (2s1 ,Ks 2∑ ). ( p 2 )u1 ( s1 , s 2 ). ∑ 1 K k K p = { p , ... , p , ... , p } = k 1 K K Ο παίκτης Α της ομάδας Χ ετοιμάζεται να εκτε= k 1 2 2 2 2 k 2 , ... , p 2 } k∀ k = 1 f , 2k,k! , K f καιk p = 1 . K ∑ i ( s1( ,kps22)).u1 (fs1 ,ks 2 ). λέσει ένα πέναλτι σε βάρος της ομάδας Υ με ∑ ( p2 )u1∑ k =1 K k =1 k =(1 p 2 )u1 ( s1 , s 2 ). ∑ τερματοφύλακα τον Β. Είναι γνωστό ότι αν ο Α ( Kp 2k )u1 ( sk1f=1, s 2k ). 1 f F ∑ f F 1 Όμως ο 1 στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί τη p = { p , ... , p , ... , p } p = { p , ... , p , ... , p } σκοπεύσει στην αριστερή γωνία του τέρματος και ο Β 1 f F 1 2 1 {sf , ... 1 , s1 } 2 1 k =1 ( p 2kS)1u1= ( s1 1, s12k ,).s1 , ... 1 ∑ s 2k ). μικτή στρατηγική: f 1 F f προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στην αριστερή k =1 p1 = { p11 , ... p1, = p1{,1p...1 , ...p,2 p}f 1 , ... , pF 2F } γωνία, ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.2, ενώ αν pf1 f= { p1 , ... , p1 , ... , p2 } f 1 F (για την ίδια επιλογή του Α) ο Β προετοιμάσει τον s 1 , p2 } k p1 = { p1 ,S...s,1=p1{s, ... ... , 1s 2K }. 21 αμιγή 2 ,fs...f., s 2 ,F αντί για την εαυτό του να πέσει στη δεξιά γωνία ο Α θα σκοράρει p = { p1 , ...f, p1 ,1... , p2 } , ... , p2F } s11f sf 1 F K F 0.8. K F K F με K πιθανότητα Αν ο Α σκοπεύσει στη δεξιά k Συνεπώς, η ππροσδοκώμενη απόδοση του 1s(είναι: f f k k f f k f fk k f kf s 1 π ( p , p ) = p ) ( p u ( s , s )) = ( p , s 2k ) του να πέσει ( p , p ) = ( p ) ( p u ( , s )) = ( p )( p ) u ( s , s ο2 Β∑∑ τον ∑ 1 1 1 ∑2 2 ∑ 2 γωνία 1 1 1και 2 1 ( s1εαυτό 1 1 2 1 1 1 2 ∑ ∑∑ 1προετοιμάσει 1 21) )( p 2 )u 1 k K s1f F, p } F K f =1 k =1 f =1 Fk =1 K f =1 k =1 k =1 K p2 = { pF2 , ... , fp2f =,1K... στηνk αριστερή k2 f K f kk f k f f kk (δεξιά) f k γωνία, ο Α θα σκοράρει με Ff )(K πs11f ( p1 , p2 π) 1=(∑ p1 ,(pp21 ))=(F∑ p ( p u ) ( ( s , s p )) u = ( s , s )) ( p = p ) u ( p ( s )( , p s ) ) u ( s , s ) ∑ 2f 1 1 ∑ 1 k 22 1 f ∑∑ 1 *k 2 1* ∑∑ 2 1 1 1 2 2 1 1 2 k0.7 f *k * * f * πιθανότητα (0.3). π 1F( p1f ,=1pf 2 ) K= ∑ ( p )( p ) u ( s , s ) π1i (,Kfp=s112,k)) ..... , p∑∑ , p , p ....... , p ) ≥ π ( p , ..... , pi*−1 , pi , pi*+1 ....... , p *N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i. k f=1=(1p1 )(∑ k =p f k 1 2 u1 (Fs 1 1 =1 = = = i −1 i i +1 N 1 12 1i k f k f k f k 2 μορφή του παιγνίου είναι: π 1 ( p1 , p2 )K= ∑ ( Fp1 )(∑ fpF=K12 uK1 (s1 ,k s=12 )) = F∑∑ p1 )(fp=21Η)ku=1στρατηγική 1 ( s1 , s 2 ) K F (K K F K kf =1 k fk k f k kf f f k k f =1 kf=1 k f f 1 = k f k f ). k = )) π)(2pp(2k(pu)p11u,1(ps()1s2( p),f s2,=2s)u∑∑ )up22( s)u1 1,(ss21 ), s 2 ) ,(sp21 ))((pp12 )( ∑ (2)p(==p1∑ ),up((2sp)1=(,)ps(∑∑ 2) ( s1∑∑ ( p f )( p k uπ 1((spf1,,∑ spπk2))

1

1

K

k i

∑∑ π ( p , p π) =( ∑∑ p , p )( p= ∑∑ )( p )(up( s)( p, s ))u ( s , s ) ενώ η προσδοκώμενη π ( p , p )απόδοση = ∑∑ (του p )2( pείναι: )u ( s , s ) π ( p , p ) = ∑∑ ( p )( p )u (s , s ) ,sp ,, sp, )p)i* , pi*+1....... , pA*N ) p)((,pp,pp,)}..... ....... pp( =p) {=,p..... , ..., ,pp( p, ... π ( p , u ( ∑∑ )( p )u ( s , s )

k =1

2

2

f 1

∑∑ ( p

k 2

1

1

2

1

1

2

2

1f 1

2

1 1 21 2 1 1 2 f =F1 K f =1 f k==11Fk =1 K f =1 k =1 f f kk Ff K k 2 2 1 2 1 2 2f 1 1 k 22 F K f =1 k =1 1 2 1f =1 k2=1f 2 k f k2 f =1 k =12 1 F K 1 2 2 * * * 1 *f * *F* f i −1 kN i −11 f i 1k2 i +1 1 k f1=1 k1=1 2 1 2 2 1 2 2 * *f =1 k*=1 ** * *

2 k =1

2

Β

k =f1=1 k =1 f k 2 f1 k 2 1 2

(p) (1-p)

Αριστερά (L) Δεξιά (R)

(q) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.7, 0.3

(1-q) Δεξιά (R) 0.8, 0.2 0.3, 0.7

( p1* , ....., (p*pi −11 ,, ..... pi ,, p*pii+−11....... , *pi , *piN+1)....... , *p *N ) ( p1 , .....τα , pi −οποία , p Nισορροπία ) 1 , pi , p i +1 ....... Υπάρχουν παίγνια δεν έχουν Κανένας από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά Β ( p1* , .....,sp1fi*−1 , pi* , pi*+1....... , p *N ) Αριστερά (L) Δεξιά (R) ισορNash σε Αποδεικνύεται όμως κυριαρχούμενη στρατηγική και δεν υπάρχει * αμιγείς * στρατηγικές. * * * * * *1 , ....., pi −1 , pi , pi +1 ....... , p N ) ( p Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q) pi , pi +1....... p N κάθε ) ότι ,για πεπερασμένο παίγνιο (δηλαδή παίγνιο ροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές. F K F K Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) f k f k με πεπερασμένο παικτών όπου κάθε παίκτης π 1 ( p1 , pαριθμό ) = ( p ) ( p u ( s , s )) = ( p1f )( p2k )u1 (s1f , s 2k ) ∑ ∑ ∑∑ 2 1 2 1 1 2 f =1 k =1 f =1 k =Έστω 1 έχει πεπερασμένο αριθμό αμιγών στρατηγικών) ότι είναι η μικτή στρατηγική του Α και είναι υπάρχει μία τουλάχιστον ισορροπία Nash πιθανά σε η μικτή στρατηγική του Β. Η από κοινού συνάρτηση π A ( p, q) = (0.20( p)(q) + (0.8)( p)(1 − q) + (0.7)(1 − p)(q) + (0.3)(1 − p)(1 − q) = μικτές στρατηγικές (θεώρημα ύπαρξης ισορροπιών πιθανότητας τότε είναι: F K ( p)(0.5 − q ) + (0.4)(q ) + 0.3 Nash). π 2 ( p1 , p2 ) = ∑∑ ( p1f )( p2k )u 2 (s1f , s 2k )

=1 k =1

f =1 k =1

Η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές π B (είναι p, q) = (η0.8)( p)(q) + (0.2)( p)(1 − q) + (0.3)(1 − p)(q) + (0.7)(1 − p)(1 − q) = κατατομή: (q)( p − 0.4) − 0.5( p) + 0.7

( p1* , ....., pi*−1 , pi* , pi*+1....... , p *N )

για την οποία ισχύει:

{( L, R; 0.4), ( L, R; 0.5)}.

π i ( p1* , ....., pi*−1 , pi* , pi*+1 ....... , p *N ) ≥ π i ( p1* , ....., pi*−1 , pi , pi*+1 ....... , p *N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i.

....... , p *N ) ≥ π i ( p1* , ....., pi*−1 , pi , pi*+1 ....... , p *N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i.

(p) 1-p)

Β

Όπως και αυτή σε αμιγείς, η ισορροπία Nash σε μικτές Β αποτελεί την αμοιβαία άριστη αντίδραση, με την έννοια ότι κάθε παίκτης άριστη μικτή (q) Aυιοθετεί (1-q) (p)μια Αριστερά (L) στρατηγική, με δεδομένες τις μικτές στρατηγικές των Αριστερά (L) (1-p) Δεξιά (R) Δεξιά (R) υπολοίπων. Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 Δεξιά (R) 0.7, 0.3 the prime magazine_103

0.3, 0.7

(q) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.7, 0.3

Β Αριστερά (L)

(1-q) Δεξιά (R) 0.8, 0.2 0.3, 0.7

Δεξιά (R)


(1-q) Β * * (q)* (q)* (1-q)* * *, ∀ i(R) * * ...... , p *N ) ≥ π i ( p1* , .....,πpi*−(1p, *p, i..... , pi*,+1p....... , p,Np) ∀....... . pi ∈, PpiΔεξιά Β Αριστερά (L) , p i 1 i −1 i i +1 N ) ≥ π i ( p1 , ..... , p i −1 , p i , p i +1 ....... , p N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i. Αριστερά (L) Δεξιά (R) A (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 Β Β (1-q) (1-p) Δεξιά(q) (R) 0.7, 0.3 0.3, 0.7 A (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 (q) 0.8, 0.2 (1-q) Αριστερά (L) (R) * * Δεξιά * * * * * * , π i (Αριστερά p1* , ....., p(L) , p , p ....... , p ) ≥ π ( p , ..... , p , p , p ....... , p ) ∀ i . ∀ p ∈ P (1-p) Δεξιά (R) 0.7, 0.3 0.3, 0.7 Αριστερά (L)(1-q)Δεξιά (R) Αριστερά (p)(q) i +1 i 1 i −1 i i +1Α i i (L) (q) Β N (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8i −1 Β i 0.8, 0.2 N A (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 Δεξιά (R) (1-p)(q) Β Αριστερά (L) Δεξιά (R) 1-p) Δεξιά (R) 0.7, 0.3 0.3, 0.7 (L)(1-q) Δεξιά (R) (1-p) Δεξιά (R) 0.7, 0.3 0.7 (q)A Αριστερά (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 (q) 0.8, 0.20.3, (1-q) Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q) Β Β Αριστερά (L)(1-p)Δεξιά (R) Δεξιά (R) 0.7, Αριστερά 0.3 0.3, 0.7 (L) Δεξιά (R) Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) Αριστερά (L) Δεξιά (R) p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 A (p) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 Β Α0.3 Αριστερά (p)(q) π A ( p, q) =(q) ((p)(1-q) 0Β .20( p)(q) + ((1-q) 0.8)( p)(1 − q) + (0.7)(1 − p)(q) + ( -p) Δεξιά (R) Αριστερά 0.7, 0.3, 0.7 (L) Δεξιά (R) (1-p) 0.7, 0.3 0.3, 0.7 (L) ΔεξιάΔεξιά (R) (R) για τον(1-p)(q) (1-p)(1-q) και από αυτή, η προσδοκώμενη απόδοση Αριστερά (R) ( p)(0Αριστερά .5Β− q(L) ) + (0(L) .4Δεξιά )(q ) +Δεξιά 0.3 (R) Αριστερά 0.20(L) ((δηλαδή, p)(q) + (0.8)((p)(q) − q) + (0.7)(Α 1 (p)(1-q) −Apεπιτυχίας )(q) +(p) (0.Αριστερά 3)(1τέρματος) − pΑριστερά )(1 − (L) q) = (L) (p)(q)0.2, 0.8 (p)(1-q) A ( p, q ) = (Α ηp)(1πιθανότητα 0.8, 0.2 Αριστερά (L) Δεξιά (R) (1-p)(1-q) p)(0.Δεξιά 5 − q )υπολογίζεται +(R) (0.4)(q ) + 0.3 (1-p)(q) ως: (1-p) Δεξιά (R) 0.7, 0.3 0.3, 0.7 Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) Β Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q) Β Από την εξίσωση των δύο Αριστερά (L) Δεξιά (R) πΑριστερά ( 0.8)( pΔεξιά )(q) +(R) (0προκύπτει .2)( p)(1 − qq) +=(00.5. .3)(1Η − p)(q) + ( Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) B ( p, q ) =(L) πqA) +( p(0,.q2(p)(q) ) p=)((10−.20 (+p(0)(.3q)()1(p)(1-q) +− (p0)(.q8))(+ p(0)(.71)(−1 −qp) )(+1(−0q.7) =)(1υποσυνθήκη − p)(q) + (0.3προσδοκώμενη )(1 − p)(1 − q) = απόδοση του Β όταν Αριστερά (L) ( p , q ) = ( 0 . 8 )( p )( )( q ) B Α Αριστερά (L) (q)((p)(q) p − 0.4)την −Β0L.5είναι ( p(p)(1-q) ) +(0.8)(p)+(0.3)(1-p) 0.7 χρησιμοποιεί και όταν (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) ( p )( 0 . 5 − q ) + ( 0 . 4 )( q ) + 0 . 3 q()(0p.Δεξιά − 0 . 4 ) − 0 . 5 ( p ) + 0 . 7 (1-p)(q) (1-p)(1-q) 8)( p)(1 − q) + (0.7)(1 − p)(q) + (0.3)(1 − p)(1 − qΔεξιά ) = (R) την Από την π A ( p, q) = (0.20( p)(q) + (0.8)( p)(1 − q) + χρησιμοποιεί (0Αριστερά .7)(1 − p)(q(L) ) + (R0.είναι 3Δεξιά )(1 −(0.2)(p)+(0.7)(1-p). p(R) )(1 − q) = 0.3 (p)(1-q) − (qp) )( + q(0)Α.+4)( + p0)( .Αριστερά 31 − q) + (0(L) ( p, q( )p)( = 0(0.5.20 (0q.8) )( .7)(1εξίσωση − p{( )(L q(p)(q) ), R +των (00..4δύο 3),)(1( Lπροκύπτει −, R p)( 1.5−)}. q) p== 0.4, επιβεβαιώνοντας ; ; 0 {( L, R; 0.4), ( L, R; 0π.5A)}. το αποτέλεσμα από την π B ( p, q) = ( 0.8)( p)(q) + (0.2)( p)(1Δεξιά − q) +(R) (0.3)(1 − p)((1-p)(q) q) + (0.7)(1 − p(1-p)(1-q) )(1 − qλύση ) = με τις αντιστοιχίες ( p )( 0 . 5 − q ) + ( 0 . 4 )( q ) + 0 . 3 άριστης αντίδρασης. (0.8)( p)(ενώ 1 − qη) προσδοκώμενη + )( ).5=+((p(00)..20 π101A−.−4()ppp− ,)(qq0q)απόδοση ))()( +11−Β (−0q(πιθανότητα .q8)))(==p)(1 − q) + (0.7)(1 − p)(q) + (0.3)(1 − p)(1 − q) = (+ q()((00.p7.3)( −)( +3.7)( 0()(1.pγια 7−)(−qpτον + (0.2)( p)( 1 − q ) ) + ( 0 1 p απόκρουσης)πυπολογίζεται ( p0,.5q)−=q() 0+.8(ως: )(qq)) ++ 0(0.3.2)( p)(1 − q) + (0.3)(1 − p)(q) + (0.7)(1 − p)(1 − q) = 0.3 B )( ( p 0)(.4p)( .7 (q) )( .4p) )( − q0).5+( (p0).+ π B ( p, qπ = p( 0−.80)( 2)(0.p7)(1 − q) + (0.3)(1 − p)(q) + (0.7)(1 − p)(1 − q) = A ( p, q ) = (0.20( p )(q ) + (0.8)( p )(1 − q ) + (0.7)(1 − p )(q ) + (0.3)(1 − p )(1 − q ) = {( L, R; 0.4), ( L, R; 0.5)}. −(10p−.)( 4)p0.− 0.41.7)(−qp) )( 5q0−).5q+()p(+0) .(+70)( + 0.3 (0.2)( p)(1 − q) (+q()(0.p3)( )( π ( p , q ) = ( 0 . 8 )( p)(q) +1 −(0q.2))(=p)(1 − q) + (0.3)(1 − p)(q) + (0.7)(1 − p)(1 − q) = B . 7 ({( q)(Lp, R−; 00..44), ) −( L0,.5R(;p0).5+)}. 0.7 {( L, Rπ; 0.(4p),, (qL) ,=R(; 00..58)}. )( p)(q) + (0.2)( p)(1 − q) + (0.3)(1 − p)(q) + (0.7)(1 − p)(1 − q) = B Στο σχήμα παρουσιάζονται οι αντιστοιχίες άριστης (q)( p − 0.4) − 0.5( p) + 0.7 {( L,αυτές R; 0.4),προκύπτει ( L, R; 0.5)}. αντίδρασης. Από ότι η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές είναι:

2 3 5 7 11 4 10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69

{( L, R; 0.4), ( L, R; 0.5)}.

Η υποσυνθήκη προσδοκώμενη απόδοση του Α όταν χρησιμοποιεί την L είναι (0.2)(q)+(0.8)(1-q) και όταν χρησιμοποιεί την R είναι (0.7)(q)+(0.3)(1-q). Βιβλιογραφία: 1] Martin J. Osborne (2010), Εισαγωγή στη θεωρία παιγνίων, Εκδόσεις: Κλειδάριθμος. 2] Σημείωσεις του καθηγητή Φουσέκη Π. για το μάθημα Θεωρία Παιγνίων του Οικονομικού Τμήματος του ΑΠΘ.

787 797

the prime magazine_107

99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 21


13 17 19 23 29 31 37

οι

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γρα

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

(Μέρος Β)

ν

φ ου

Οι σημαντικότερες θεωρίες μάθησης γράφει η Κατερίνα Χατζηγεωργίου Μαθηματικός M.Sc.

Ε νώ

99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

στην Αμερική άνθιζε ο συμπεριφορισμός, που ακολουθεί η γνώση και εισήγαγε τέσσερα στάδια στην Ευρώπη νέα ρεύματα ψυχολογίας άρχιζαν ανάπτυξης του παιδιού. να εμφανίζονται. Η μορφολογική ψυχολογία, η • Αισθησιοκινητική περίοδος ψυχανάλυση του Freud και η γνωστικό-εξελεγκτική • Περίοδος προλογικής σκέψης ψυχολογία ενέπνευσαν νέες θεωρίες μάθησης. • Περίοδος συγκεκριμένων λογικών πράξεων Ανάμεσα στο ερέθισμα και στην αντίδραση, • Περίοδος τυπικών λογικών πράξεων παρεμβάλλονται πλέον λειτουργίες του ανθρώπινου νου, όπως η μνήμη, η κριτική και δημιουργική σκέψη, η αντίληψη, η κατανόηση, η γλώσσα, η επίλυση προβλημάτων και η λήψη αποφάσεων. Εμφανίζονται λοιπόν ο γνωστικισμός και ο εποικοδομισμός, κλασσικός και κοινωνικός, θεωρίες που στηρίζονται στο φιλοσοφικό πλαίσιο του John Dewey, ο οποίος υποστήριζε τη διδασκαλία με επίκεντρο το μαθητή.

Εικόνα 2: Jean Piaget

Ανακαλυπτική μάθηση Ο Brunner υποστήριξε ότι η μάθηση είναι δημιουργία κατηγοριών, ομαδοποίησης και ταξινόμησης, που βοηθούν τον άνθρωπο να μειώσει την πολυπλοκότητα Εικόνα 1: του περιβάλλοντος. Με την κατηγοριοποίηση, John Dewey το άτομο μαθαίνει τα στοιχεία που συγκροτούν Οι κυριότεροι αντιπρόσωποι αυτών των θεωριών μία έννοια σε δύο φάσεις. Πρώτα ταξινομεί τη νέα μάθησης είναι ο Jean Piaget, ο Jerome Bruner, ο Al- γνώση πιο γενικά και έπειτα μελετά αναλυτικά τα bert Bandura και ο Lev Vygotsky. χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές της. Ο Brunner πρότεινε την ανακαλυπτική μάθηση η οποία γίνεται Λογικομαθηματική μάθηση Σύμφωνα με τον Piaget, η μάθηση είναι μία εσωτερική με βάση τρεις διαδικασίες: ανάγκη και όχι αποτέλεσμα εξωτερικών ερεθισμάτων. • Ανακάλυψη των γνώσεων και των εννοιών Ο άνθρωπος μαθαίνει στην προσπάθειά του να • Μετασχηματισμός των γνώσεων προσαρμοστεί στο περιβάλλον. Η νοημοσύνη του • Αξιολόγηση, εκτίμηση και έλεγχος των γνώσεων. είναι οργανωμένη σε δομές, οι οποίες είναι μοντέλα Η ανακαλυπτική μάθηση επηρεάζεται από τα κίνητρα, δράσεων που ο άνθρωπος χρησιμοποιεί σε παρόμοιες την ετοιμότητα και το γνωστικό επίπεδο του μαθητή, καταστάσεις. Όταν τα μοντέλα αυτά δεν επαρκούν, καθώς και από τη δομή της γνώσης. Ο μαθητής τότε ο άνθρωπος έρχεται σε μία κατάσταση για να κατανοήσει τις πληροφορίες χρησιμοποιεί: ανισορροπίας και χρησιμοποιεί δύο διαδικασίες, την την πραξιακή, την εικονική και τη συμβολική αφομοίωση και τη συμμόρφωση για να αναπτύξει τη αναπαράσταση και για να μάθει χρησιμοποιεί τη νοημοσύνη του και να πετύχει μία νέα ισορροπία. Ο διαισθητική και την αναλυτική σκέψη. Ο Brunner Piaget ασχολήθηκε με την εξελεγκτική διαδικασία πρότεινε την σπειροειδή διάταξη της ύλης, όπου κάθε

the prime magazine_109


7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 θέμα παρουσιάζεται μία φορά, και ανά τακτά χρονικά διαστήματα παρουσιάζεται και πάλι σε πιο προχωρημένο επίπεδο κάθε φορά.

Εικόνα 3: Lev Vygotsky

• Κίνητρα, τα οποία διακρίνονται σε εξωγενή (κοινωνική αναγνώριση, υλικές απολαβές, βαθμοί) και ενδογενή (συνέπειες, αυτοενίσχυση, προσωπικοί στόχοι). Κοινωνικοπολιτισμική μάθηση Εισηγητής των κοινωνικοπολιτισμικών θεωριών είναι ο Lev Vygotsky. Υποστήριξε ότι η μάθηση είναι μία διαδικασία κοινωνικής αλληλεπίδρασης, όπου βασικό ρόλο παίζει η γλώσσα, η οποία αναπτύσσεται σε τρία στάδια, κοινωνική, εγωκεντρική και εσωτερική γλώσσα. Για να μεταβεί η γλώσσα από την κοινωνική στην εσωτερική, είναι σημαντικός ο προσωπικός μονόλογος. Η κοινωνία και ο πολιτισμός παίζουν τον πρωτεύοντα ρόλο στη διαδικασία της μάθησης, αφού διαμορφώνουν τις δεξιότητες και τις γνώσεις που χρειάζεται να αναπτύξει ο μαθητής, ο οποίος με τις πράξεις του, διαμορφώνει τη γνωστική του πραγματικότητα, μετατρέποντας τις κοινωνικές του σχέσεις σε νοητικές λειτουργίες. Σημαντική θέση στη θεωρία του Vygotsky κατέχει η «Ζώνη Επικείμενης Ανάπτυξης», οι δυνατότητες δηλαδή που έχει ο κάθε μαθητής και που μπορεί να τις αξιοποιήσει με τη βοήθεια των συνομηλίκων του ή του δασκάλου, ο οποίος μέσα στο «πλαίσιο στήριξης» τον βοηθάει να δώσει νόημα αλλά και να εσωτερικεύσει όλα όσα του χρειάζονται για να αναπτυχθεί.

Κοινωνική μάθηση Ο Αμερικανός ψυχολόγος Albert Bandura είναι ο εισηγητής της κοινωνικής μάθησης και επηρέασε τη μετάβαση από το συμπεριφορισμό στη γνωστική ψυχολογία. Η κύρια θέση του είναι ότι Πώς επηρέασαν οι γνωστικές και οι κοινωνιο άνθρωπος μαθαίνει μέσω της παρατήρησης των κοπολιτισμικές θεωρίες την εκπαίδευση; άλλων, παρακολουθώντας τη συμπεριφορά τους. Η παρατήρηση όμως, έχει μόνο πληροφοριακό • Ο μαθητής αποκτά ενεργητικό ρόλο αφού οικοδομεί τις γνώσεις του. χαρακτήρα, αφού ο ίδιος ο άνθρωπος, έπειτα από μία σειρά γνωστικών λειτουργιών, θα επιλέξει αν θα • Αναδείχθηκε η σημασία των σχέσεων που αναπτύσσονται μεταξύ του δασκάλου και του εκδηλώσει ή όχι τη παρατηρούμενη συμπεριφορά. μαθητή αλλά και των μαθητών μεταξύ τους, Η κοινωνικογνωστική θεωρία του Bandura προάγοντας τη συνεργατική μάθηση. διαμορφώνεται με βάση τις ακόλουθες διαδικασίες: • Στόχος του δασκάλου είναι ο μαθητής να • Προσοχή, η οποία εξαρτάται από τη σαφήνεια, αναπτύξει ικανότητες αυτοαξιολόγησης αλλά και τη χρησιμότητα και τη συναισθηματική αξία της να μάθει πώς μαθαίνει. παρεχόμενης γνώσης. • Προτείνεται η σταδιακή μείωση της βοήθειας από • Διατήρηση της μάθησης με επανάληψη και το δάσκαλο, ώστε ο μαθητής να γίνεται σιγά σιγά οργάνωση των γνώσεων. όλο και πιο αυτάρκης. • Παραγωγή, η οποία απαιτεί τις απαραίτητες • Ο δάσκαλος λειτουργεί ως πρότυπο, αφού οι δεξιότητες καθώς και ανατροφοδότηση σε μαθητές μαθαίνουν μιμούμενοι τη συμπεριφορά περίπτωση μη αναμενόμενου αποτελέσματος. του. • Δόθηκε έμφαση στη διαδικασία της σκέψης και Βιβλιογραφία: στις γνωστικές λειτουργίες. [1] Μόνικα. Α Παπά, Ο Albert Bandura: Η κοινωνικογνωστική μάθηση μέσω προτύπων: παιδαγωγική και ψυχολογική διάσταση, θεωρία και πράξη, Περιοδική ηλεκτρονική έκδοση του Ελληνικού ινστιτούτου εφαρμοσμένης παιδαγωγικής και εκπαίδευσης, τεύχος 6. [2] Ε. Καραδήμας, Πανεπιστημιακές σημειώσεις του μαθήματος «Συμπεριφοριστικές και γνωστικές θεωρίες προσωπικότητας», Εθνικό και Καποδιστριακό πανεπιστήμιο Αθηνών. [3] Ελληνιάδου, Κλεφτάκη, Μπαλκίζας, Η συμβολή των παιδαγωγικών προσεγγίσεων για την κατανόηση του φαινομένου της μάθησης, Πανεπιστημιακό κέντρο επιμόρφωσης Αθήνας. [4] Βασίλης Κουλαϊδής, Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις για την Ανάπτυξη Κριτικής - Δημιουργικής Σκέψης για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

the prime magazine_113


13 17 19 23 29

οι

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γρα

10 15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

ν

φ ου

51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

Μαθηματική Προτυποποίηση του καρκίνου

γράφει η Αγγελική Παναγιωτίδου

Μαθηματικός, graduate student

Τα μαθηματικά είναι μία επιστήμη, η οποία έχει των πολλαπλασιαστικών κυττάρων, το φλοιό των βοηθήσει σημαντικά πολλούς κλάδους των θετικών αδρανών κυττάρων και τον πυρήνα των νεκρών και τεχνολογικών επιστημών, ανάμεσά τους η κυττάρων. βιολογία, η φυσική, η ιατρική και η χημεία. Αυτό επιτυγχάνεται με ποικίλους τρόπους και ένας από αυτούς είναι μέσω της μαθηματικής προτυποποίησης μοντέλων που περιγράφουν και επιλύουν προβλήματα αυτών των κλάδων. Τα στάδια που ακολουθούνται για την επίτευξη αυτής της προτυποποίησης είναι τα εξής: 1] μελέτη των συνθηκών του προβλήματος, 2] συγκέντρωση όλων των πληροφοριών, Εικόνα 1: Yγιής ιστός και περιοχή του όγκου Ω(t) 3] καθορισμός των άγνωστων παραμέτρων, 4] μετατροπή του προβλήματος σε μαθηματικό πρόβλημα, και έπειτα 5] έλεγχος καλής τοποθέτησης του προβλήματος και 6] εύρεση μαθηματικής τεχνικής για την επίλυση. Μια από τις πιο γνωστές ασθένειες του αιώνα μας που τα μεγαλύτερα επιστημονικά κέντρα του πλανήτη μας προσπαθούν να βρουν την θεραπεία είναι ο καρκίνος. Πρόκειται για μία γενετική ασθένεια που προκύπτει από μεταλλάξεις σε συγκεκριμένα γονίδια για αυτό και θεωρείται νόσος των κυττάρων. Τις τελευταίες δεκαετίες μεγάλος αριθμός επιστημών έχει συγκεντρωθεί γύρω από την έρευνα του καρκίνου. Τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να λείπουν από αυτή την προσπάθεια κατανόησης και γιατί όχι και θεραπείας αυτής της νόσου. Δεν είναι λίγοι οι ερευνητές που έχουν ήδη προχωρήσει στην μαθηματική προτυποποίηση του καρκίνου. Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψουμε το μοντέλο που μελετούν οι Donatelli D και Trivisa K. στο paper με τίτλο “On an Nonlinear model for tumor growth with drug application”. Στην εικόνα 1 βλέπουμε τον υγιή ιστό καθώς και τη περιοχή του όγκου (Ω(t)) και στην εικόνα 2 απεικονίζεται αναλυτικά η δομή του καρκινικού όγκου, που όπως βλέπουμε αποτελείται από το φλοιό

the prime magazine_127

Εικόνα 2: Δομή του καρκινικού όγκου

Στο σημείο αυτό να τονίσουμε ότι όλα τα κύτταρα ακολουθούν την γενική εξίσωση συνέχειας. Επομένως ο νόμος διατήρησης της μάζας για τις πυκνότητες των πολλαπλασιαστικών P, αδρανών Q και νεκρών κυττάρων D, παίρνει την παρακάτω μορφή στο χωρίο του όγκου: ∂P + div(P v) = GP ∂t ∂Q + div(Qv) = GQ ∂t

∂D + div(Dv) = GD ∂t

GP = [KB C − KQ (C¯ − C) − KA (C¯ − C)]P + KP CQ − i1 G1 (W )P


Q

Q

P

D

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 ∂Q + div(Qv) = GQ ∂t

2

(2) GD = KA (C¯ − C)P + KD (C¯ − C)Q − KR D + i1 G1 (W )P + i2 G2 (W )Q

∂D + div(Dv) = GD ∂t

όπου

2

∂C

¯

= v1 ∆Cμοντέλο − [K1 KP CPτων + K2Donatelli KQ (C − C)Q]C Το μαθηματικό και Trivisa ∂t (4) συμπληρώνεται από τις ακόλουθες συνοριακές και ∂W = v2 ∆W − [µ1 G1 (W )P + µ2 G2 (W )Q]W ¯ ¯ ∂t αρχικές συνθήκες: όπουGQο =πρώτος όρος είναι η αύξηση του αριθμού των KQ (C − C)P − [KP C + KD (C − C)]Q − i2 G2 (W )Q (5) κυττάρων λόγω νέων γεννήσεων με τη διαθέσιμη (v − V) · n|Γ = 0, ∀ τ ≥ 0 τροφή, ο δεύτερος όρος η απώλεια που οφείλεται GD = KA (C¯ − C)P + KD (C¯ − C)Q − KR D + i1 G1 (W )P + i2 G2 (W )Q (6) στην αλλαγή φάσης από πολλαπλασιαστική σε [S · n]tan |Γ = 0 ηρεμίας ∂C λόγου έλλειψης τροφής, ¯ο τρίτος όρος η = v ∆C − [K1 KP CP + K2 KQ (C − C)Q]C (7) C(x, t)|Γ = 0, W (x, t)|Γ = 0 απώλεια ∂tλόγω1 απόπτωσης, εφ όσων τα κύτταρα   ∂W ολοκλήρωσαν τον κύκλο ζωής τους, ο τέταρτος όρος (8)1 P (0, ·) = P0 , Q(0, ·) = Q0 , D(0, ·) = D0 = v2 ∆W − [µ1 G1 (W )P + µ2 G2 (W )Q]W ¯ W (0, ·) = W0 στο Ω0 C(0, ·) = C0 ≤ C, η αύξηση ∂tτων πολλαπλασιαστικών κυττάρων που 1 ∂PV) · n|κύτταρα, παράγονται από(vαδρανή τα οποία βρέθηκαν (1) − (9) Γ = + div(P v)0,=∀GτP ≥ 0 ∂t ∂P όπου σε περιβάλλον πλούσιο σε τροφή ώστε να είναι + div(P v) = GP (1) 1 v είναι η ταχύτητα του κυττάρου, V η ταχύτητα ∂t [S · n] | = 0 (10) ∂Q tan Γ του ικανά προς πολλαπλασιασμό και ο τελευταίος όρος + div(Qv) = GQ (2) γεωμετρικού συνόρου της ογκικής περιοχής ∂t ∂Q Γτ το σύνορο της ογκικής περιοχής την χρονική είναι ο ρυθμός που τα κύτταρα ή Ω(t), div(Qv) = GQ (2) ∂P+πολλαπλασιαστικά ∂t C(x,∂D t)|Γ + =div(P 0, W (x, (11) v) t)| = ΓGP= 0 (1) τ και S ο τανυστής πίεσης. ∂t+ div(Dv) = GD αλλοιώνονται ή μετατρέπονται σε νεκρά λόγω της στιγμή (3) ∂t ∂D  + div(Dv) = G (3) D επίδρασης του φαρμάκου. ∂Q P (0, ·) = P ·) = Q0 , D(0, ·) = D0 ∂t0 , Q(0, (12) +¯ div(Qv) = GQ (2) ≤ = W+ Ω0 − i1 G1 (W )P GP = [KB C −C(0, KQ (·)C¯=−CC) −C, KAW (C¯(0, −·)C)]P KP CQ (4)Με την πάροδο του χρόνου οι μαθηματικές 0∂t 0 στο GP = [KB C − KQ (C¯ − C) − KA (C¯ − C)]P + KP CQ − i1 G1 (W )P (4) ∂D προτυποποιήσεις του καρκίνου ορίζουν όλο και Ομοίως: div(Dv) = GD (3)1 ¯− GQ = KQ (C¯ − C)P −∂t[K+P C + KD (C C)]Q − i2 G2 (W )Q (5) καλύτερα τον καρκίνο. Φυσικά δεν πρέπει να ξεχνάμε GQ = KQ (C¯ − C)P − [KP C + KD (C¯ − C)]Q − i2 G2 (W )Q (5) ¯ ¯ GP = [KB C − KQ (C −∂P C) − KA (C − C)]P + KP CQ − i1 G1 (W )P ότι (4)ένα τόσο πολύπλοκο ιατρικό ζήτημα περιλαμβάνει (1) ¯ + div(P v) = GP GD = KA (C¯ − C)P + KD (C (6) παραμέτρους τις οποίες αν τις λάβουμε όλες ∂t− C)Q − KR D + i1 G1 (W )P + i2 G2 (W )Q πολλές ¯ ¯ ¯ ¯ (C=−KC)P + KD (C−−[K C)Q − KDD G1 (W−)P +2i(W (6) GD = KG AQ 2 G)Q 2 (W )Q (C+−i1C)]Q i2 G (5) Q (C − C)P P C + KR υπόψιν μας θα προκύψει, όπως είναι αναμενόμενο, ∂Q + div(Qv) = GQ (2) ∂C ¯ ∂tγια =εξίσωση v1 ∆C − [K K CP + K K ( C − C)Q]C (7) πολύ σύνθετο μαθηματικό πρόβλήμα. Παρ’όλα ένα Η γραμμική την εξέλιξη των θρεπτικών 1 P 2 Q ∂t ∂C v1 ∆C − [K K CP + K2 KQ (C¯ − C)Q]C (7) ¯ −=C)P ουσιών από την (C + KD∂D (C¯1 −Pσχέση: C)Q − K D + i G (W )P + i2 G2 (W )Q αυτά (6) η επιστήμη δεν θα πάψει ποτέ να προσπαθεί και GD = KAδίνεται ∂t + div(Dv) =R GD 1 1 (3) ∂W ∂t[µ1 G1 (W )P + µ2 G2 (W )Q]W = v2 ∆W − (8) να κάνει το αδύνατο δυνατό. ∂t ∂W GP = [KB C − KQ (C¯ − C) − KA (C¯ − C)]P + KP CQ − i1 G1 (W )P

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

= v2 ∆W − [µ1 G1 (W )P + µ2 G2 (W )Q]W (8) ∂t GP = [KB∂C C −=KvQ1 ∆C (C¯ −−C) (C¯ + −K C)]P − i1 G1 (W )P (4) [K−KKACP K + (C¯K−P CQ C)Q]C (7) (v − V) · 1n|ΓPτ = 0, ∀ τ2 ≥Q0 (9) ∂t (v − V) · n| τ = 0, ∀ τ ≥ 0 (9) ¯ − C)P − [KPΓC ∂W K + K)P (+ C¯ µ −G C)]Qτου − i2 G (5) Q (C Dμορίων 2 (W )Q όπου GuQ1 =είναι η vταχύτητα οξυγόνου = −· [µ )Q]W (8) 2 ∆W[S 1 Gτων 1|(W= 2 2 (W n] 0 (10) tan Γτ ∂t (η θρεπτική μας ουσία). [S · n]tan |Γτ = 0 (10) (v − V) · n|ΓW 0,t)|∀ τ=≥00 (9) τ = ¯τ = (x, + Kt)| − 0, C)Q −K (6) GD = KA (C¯ − C)PC(x, τ + i1 G1 (W )P + i2 G2 (W )Q (11) D (ΓC RΓD C(x, t)| = 0, W (x, t)| = 0 (11) Γτ Η γραμμική τουφαρμάκου  εξίσωσηΓτγια την εξέλιξη [S · n] 0 ·) = D0 (10) P (0, ·) = P0 , Q(0, ·)tan =|ΓQτ 0= , D(0, ∂C   (12) δίνεται απόPC(0, την σχέση: ¯ W = v·)1 ∆C [K + K K0Q·)στο (C¯=−D (7) C− C, (0,Q·) = ΩC)Q]C 1 K·) P CP 2W 0, ≤ 0 (0, = P Q(0, = , D(0, 0 0 0 ∂t (12) ¯ W (0, ·) = W0 στο Ω0 C(0, ·) C(x, = C0t)| ≤ΓC, = 0, W (x, t)| = 0 (11) Γτ τ ∂W (8) ∂t = v2 ∆W − [µ1 G1 (W )P + µ2 G2 (W )Q]W  P (0, ·) = P0 , Q(0, ·) = Q0 , D(0, ·) = D0 (12) ¯ W (0, ·) = W0 στο Ω0 C(0, ·) = C0 ≤ C, (v − V) · n|των ∀ τ ≥ 0του φαρμάκου. (9) Γτ = 0, όπου u είναι η ταχύτητα μορίων 2



[S · n]tan |Γτ = 0

(10)

C(x, t)|Γτ = 0, W (x, t)|Γτ = 0

(11)

P (0, ·) = P0 , Q(0, ·) = Q0 , D(0, ·) = D0 ¯ W (0, ·) = W0 στο Ω0 C(0, ·) = C0 ≤ C,

(6)

(3)



(12)

Αναφορές:

[1] Donatelli D. & Trivisa K (2015). On an Nonlinear model for tumor growth with drug application. Nonlinearity, 28, 1463-1481.

the prime magazine_131

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

(12)


οι

4

[Παρα-Λ{o}γισμός]

2

γράφουν οι Θάνος Μπεσλίκας To prÏblhma thc Basile–ac. προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

γρα

ν

φ ου

51 99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821 Θανάσης Κουρούπης

προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

15 21 26 31 37 4 4 52 58 64 69 7

προπτυχιακοι

Το Πρόβλημα της2017 Βασιλείας 25 MaÚou

Στη στήλη του Παραλογισμού για αυτό το τεύχος, ο Θανάσης και ο Θανάσης μελέτησαν ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στην ιστορία των Per–lhyh μαθηματικών, το Πρόβλημα της Βασιλείας. Το πρόβλημα αυτό ονομάστηκε την Ελβετική πόλη τηςtoΒασιλείας. Επιλύθηκε από τον L.Euler το Sth st†lhέτσι touαπό 'Paralogismo‘ ' gia autÏ te‘qoc, o Janàshc kaiπρώτα o Janàshc melËthsan Ëna1734. Θα παρουσιάσουμε 2 διαφορετικούς λύσεις προβλήματος με τεχνικές ΙΙ και με apÏ ta shmantikÏtera probl†mataτρόπους sthn istor–a twnτου majhmatik∏n, to PrÏblhma thcΛογισμού Basile–ac.To τεχνικές Μιγαδικής Ανάλυσης. prÏblhma autÏ onomàsthke Ëtsi apÏ thn Elbetik† pÏlh thc Basile–ac. Epil‘jhke pr∏ta apÏ ton L.Euler to 1734. Ja parousiàsoume 2 diaforetiko‘c trÏpouc l‘seic tou probl†matoc me teqnikËc Logismo‘ 2 kai me teqnikËc Migadik†c Anàlushc.

To prÏblhma: Bre–te to àjroisma thc seiràc

P1

1 n=1 n2

L‘sh me teqnikËc Logismo‘ 2 Gia thn l‘sh ja qreiasto‘me kàpoiec basikËc sqËseic : P1 (2n)! x2n+1 • arcsin(x) = n=0 22n (n!)2 2n+1 •

R ⇡/2 0

(sin(x))2n+1 dx =

Parathro‘me Ïti:

22n (n!)2 (2n+1)!

Z ⇡/2 22n (n!)2 x2n+1 2n+1 p , (1) dx = (sin(y)) dy = (2n + 1)! 1 − x2 0 0 qrhsimopoi∏ntac thn allag† metablht†c x = sin(y). AkÏmh Ëqoume Ïti: Z 1 2n+1 Z 1 1 X arcsin(x) (2n)! 1 x p p dx = dx 2n 2 2 2 (n!) 2n + 1 0 1−x 1 − x2 0 n=0 Z

1

me th parapànw sqËsh na prok‘ptei apÏ th dunamoseira thc arcsin(x) h opo–a sugkl–nei omoiÏmorfa sto [−1, 1] , kai Ëtsi dikaiologe–tai h enallag† àjroishc-olokl†rwshc. T∏ra me qr†sh thc (1) sthn prohgo‘menh sqËsh, lambànoume: Z 1 1 X ⇡2 1 arcsin(x) p = dx = (2n + 1)2 8 1 − x2 0 n=0

Q∏r–zontac àrtiouc kai peritto‘c Ëqoume Ïti

1 1 1 X X 1 1 1X 1 = + n2 (2n + 1)2 4 n=1 n2 n=1 n=0

kai me aplËc pràxeic katal†goume sto apotËlesma pou e–nai

the prime magazine_137

1 X ⇡2 1 = n2 6 n=1

1


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 2 [Παρα-Λ{o}γισμός] 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 64 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 L‘sh me teqnikËc Migadik†c Anàlushc: Ja upolog–soume to olokl†rwma thc sunàrthshc f (z) =

⇡ cot(⇡z) z2

se Ëna kleistÏ tetràgwno me korufËc ta shme–a ±(N + 12 ) ± (N + 12 )i. ApÏ je∏rhma upolo–pwn Ëqoume Ïti: ! Z X ⇡ cot(⇡z) dz = 2⇡i Res(f, zk ) z2 CN k

, me zk ta an∏mala shme–a thc f sto eswterikÏ auto‘ tou tetrag∏nou. Oi pÏloi thc oloklhrwtËac sunàrthshc br–skontai se kàje jetikÏ akËraio, afo‘ cot(⇡z) = cos(⇡z) sin(⇡z) . ApÏ th jewr–a, Ëqoume Ïti ⌘ ⇣ cos(⇡z) Res ⇡ cos(⇡z) sin(⇡z) , n = cos(⇡z) = 1. 'Ara Ëqoume: Z

CN

⇡ cot(⇡z) dz = 2⇡i z2

N X

n= N

! 1 + Res(f (z), 0) , (1) (zk )2

OpÏte, an de–xoume Ïti to olokl†rwma ep– thc kamp‘lhc t†nei sto mhdËn Ïso to N ! 1 ja Ëqoume Ïti: +1 X 1 = −Res(f (z), 0) 2 n n= 1

Gia na to kànoume autÏ mporo‘me na skefto‘me wc ex†c: Ja de–xoume Ïti h f (z) = ⇡ cot(⇡z) e–nai z2 fragmËnh sto tetràgwno mac kai ja qrhsimopoi†soume to l†mma ekt–mhshc. Isq‘ei Ïti | cot(⇡z)| < 2 gia Re(z) = N + 1/2 kai | cot(⇡z)| < 1 gia Im(z) = N + 1/2, (af†nontai wc àskhsh ston anagn∏sth.)Sunep∏c apÏ to l†mma ekt–mhshc Ëqoume Ïti: An L to m†koc thc kamp‘lhc olokl†rwshc, tÏte L = 8N + 4. 'Ara �Z � � � � � � �1� � � � ⇡ cot(⇡z) � �  (8N + 2)2⇡ max � � = C max � 1 � ! 0 f (z) = dz � � z2CN � z 2 � z2CN � z � z2 CN Ïso to N ! 1. 'Ara apÏ thn (1) Ëqoume Ïti 1 X

1 = −Res(f (z), 0) n2 n= 1 ⇣ ⌘ 2 ⇡ cot(⇡z) 1 ⇡2 = z3 − 3z − ... Ëqoume Ïti Res(f (z), 0) = − ⇡3 , ApÏ to anàptugma Laurent thc f (z) = z2 epomËnwc, 1 X ⇡2 1 = n2 3 n= 1

kai epeid†

1 X

n=

Ëqoume to apotËlesma.

1 X 1 1 = 2 , 2 2 n n 1 n=0

P1 'Opoioc e–nai arketa tolmhrÏc ac prospaj†sei na upolog–sei to àjroisma thc seiràc n=1 n13 . Kai an brei th l‘sh tou na thn d∏sei se emàc pr∏ta gia na th dhmosie‘soume sto periodikÏ mac (kai na plout–soume fusikà , diÏti apotele– akÏma anoiqtÏ prÏblhma!) 2

the prime magazine_139


2357 4

13 17 19 23 29 31 37 41 Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική: Κόμβοι και DNA γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού

15 21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Εισαγωγή:

Στο προηγούμενο τεύχος του περιοδικού είχε παρουσιαστεί μία καθημερινή εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων και πιο συγκεκριμένα ένας εύκολος τρόπος να χρησιμοποιηθούν οι μαθηματικοί κόμβοι στην κρυπτογραφία μηνυμάτων. Ωστόσο, όπως έχει ήδη αναφερθεί σε παλαιότερο άρθρο, η Θεωρία Κόμβων έχει ακόμα περισσότερες εφαρμογές σε άλλες επιστήμες. Στο παρόν άρθρο θα εξεταστεί μία εφαρμογή στην Ιατρική και όπως πάντα όσο απλά και εκλαϊκευμένα γίνεται χωρίς απώλεια της μαθηματικής αυστηρότητας.

311 67 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821

Αρχικά, είναι σημαντικό να δώσουμε κάποιους να αλλάξουν ώστε να προκύψουν τετριμμένοι κόμβοι βασικούς ορισμούς: ελαχιστοποιείται. Το ελάχιστο αυτό πλήθος των διασταυρώσεων που χρειάζεται να αλλάξουμε ώστε Ορισμός 1. Έστω ένας κόμβος Κ. Το πλήθος των να προκύψουν τετριμμένοι κόμβοι ονομάζεται αριθμός διασταυρώσεων του διαγράμματος του Κ, στο οποίο επίλυσης ή λύσεως (unknotting number) του Κ και υπάρχουν οι ελάχιστες δυνατές διασταυρώσεις, είναι πάντα μικρότερος του Ν : 2. ονομάζεται αριθμός διασταυρώσεων (crossing numΈχοντας τα παραπάνω υπόψη, ας δούμε πως μπορούν ber) του Κ. οι κόμβοι να εφαρμοστούν στη μελέτη του DNA. Για Εξορισμού του, ο αριθμός διασταυρώσεων ενός την πραγματοποίηση σημαντικών λειτουργιών όπως κόμβου είναι μια αναλλοίωτος, η οποία δυστυχώς η αντιγραφή, η μεταγραφή και η μετάφραση το DNA είναι τις περισσότερες φορές εξαιρετικά δύσκολο χρειάζεται να αλληλεπιδράσει με συγκεκριμένα να βρεθεί, ειδικά εάν ο κόμβος δεν είναι ένας εκ ένζυμα, τα οποία τροποποιούν τοπολογικά την έλικα. των γνωστών. Να σημειωθεί ότι όλοι οι γνωστοί Το ένζυμο το οποίο θα εξεταστεί για το υπόλοιπο του έως σήμερα διαφορετικοί κόμβοι έχουν ταξινομηθεί άρθρου είναι η τοποϊσομεράση, ένζυμο απαραίτητο με βάση δύο τους χαρακτηριστικά, με τον αριθμό για τη διαδικασία της αντιγραφής του DNA. διασταυρώσεων και με τη σειρά με την οποία ανακαλύφθηκαν. Για παράδειγμα, τον τρίτο σε σειρά Έχοντας ένα μόριο DNA, η τοποϊσομεράση δρα με κόμβο που ανακαλύφθηκε με 7 διασταυρώσεις τον τρόπο τέτοιον ώστε να το παραμορφώνει με έναν ή συμβολίζουμε με 73. παραπάνω από τους παρακάτω τρόπους:

Μία εξίσου χρήσιμη έννοια είναι η παρακάτω:

Σχήµα 1.

Ορισμός 2. Έστω ένας κόμβος Κ με αριθμό Σχήμα: 1 ΄Ετσι, έχοντας ένα κυκλικό µόριο DNA, το οποίο µπορούµε να το δούµε διασταυρώσεων N > 0, δηλαδή ο Κ δεν είναι ο σαν τον τετριµµένο κόµβο, µετά τη δράση ενός ενζύµου σε αυτό ϑα προκύψει Έτσι, έχοντας ένα κυκλικό μόριοµπορεί DNA, οποίοένας τετριμμένος κόμβος. Σε κάθε τυχαίο διάγραμμα ένατου πιο µπερδεµένο και περίπλοκο µόριο, το οποίο να το ϑεωρηθεί άλλος πιθανότατα µε τον μπορούμε ναµη τοισοδύναµος δούμε σαν τοντετριµµένο. τετριμμένο κόμβο, Κ αποδεικνύεται ότι αλλάζοντας κάποιες από τιςκόµβος Πράγµατι, για να διαπιστωθεί εάν δύο ένζυµα δρουν µε τον ίδιο τρόπο μετά τη δράση ενός ενζύμου σε αυτό θα προκύψει διασταυρώσεις από άνω σε κάτω και αντίστροφα, στο DNA, οι επιστήµονες τα αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά µόρια DNA μπορεί το εν λόγω διάγραμμα να μετατραπεί σε ένα πιο μπερδεμένο και περίπλοκο μόριο, το οποίο και εξετάζουν τους κόµβους που προκύπτουν. Εάν δύο ένζυµα προκαλούν μπορείκόµβους, να θεωρηθεί ένας άλλος κόμβος πιθανότατα διάγραμμα ενός ή παραπαπάνω τετριμμένων κόμβων. µη ισοδύναµους τότε οι δράσεις τους στο DNA δίνουν διαφορετικά Για παράδειγµα, έχοντας ένα κυκλικό µόριο και εφαρµόζοντας με τον τετριμμένο. Αποδεικνύεται επίσης ότι υπάρχει διάγραμμα αποτελέσµατα. του Κ μη ισοδύναμος τα ένζυµα Ε1 και Ε2 εάν οι δύο κόµβοι που προκύπτουν είναι µη ισοδύναµοι, στο οποίο το πλήθος των διασταυρώσεων που πρέπει

the prime magazine_149

τότε τα δύο ένζυµα ϑα έχουν διαφορετικές ιδιότητες.


7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 01 51 99 7 11 7 Υπολογίζοντας το πολυώνυμο Alexander για τους Κ1 και Κ2 όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο άρθρο και παίρνοντας τις τιμές τους για t = −1, θα προκύψει ότι |PK1(−1)| = 33 ενώ |PK2(−1)| = 25. Επομένως οι Κ1 και Κ2 είναι διαφορετικοί, πράγμα που σημαίνει ότι τα ένζυμα Ε1 και Ε2 έχουν διαφορετικές ιδιότητες.

Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο η Θεωρία Κόμβων εφαρμόζεται στη μελέτη του DNA είναι κάνοντας χρήση του αριθμού λύσεως ενός κόμβου. Έστω ένα μπλεγμένο μόριο DNA, δηλαδή ένας κόμβο ή κρίκος (όπως ονομάζονται 2 ή παραπάνω κόμβοι μπλεγμένοι μεταξύ τους). Εάν θέλουμε να προκαλέσουμε συγκεκριμένες αλλαγές εφαρμόζοντας διάφορα Σχήµα 1. ένζυμα σε αυτό, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τον αριθμό διασταυρώσεως και τον αριθμό λύσεως ΄Ετσι, έχοντας ένα κυκλικό µόριο DNA, το οποίο µπορούµε να το δούµε Πράγματι, για να διαπιστωθεί εάν δύο ένζυμα του αντίστοιχου σαν τον τετριµµένο κόµβο, µετά τη δράση ενός ενζύµου σε αυτό ϑα προκύψει κόμβου. Για παράδειγμα, ο κόμβος με τον ίδιο στο DNA, στο σχήμα έναδρουν πιο µπερδεµένο καιτρόπο περίπλοκο µόριο,οιτοεπιστήμονες οποίο µπορεί Κ1 να ϑεωρηθεί ένας2 είναι ο κόμβος 815 (πράγμα που τα αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά μόρια DNA άλλος κόµβος πιθανότατα µη ισοδύναµος µε τον τετριµµένο.μπορούμε να καταλάβουμε υπολογίζοντας το Alexκαι εξετάζουν κόμβους που Εάν µε Πράγµατι, για τους να διαπιστωθεί εάν προκύπτουν. δύο ένζυµα δρουν τον ίδιο τρόπο του) με αριθμό διασταυρώσεων ander πολυώνυμό ένζυμα προκαλούν ισοδύναμους κόμβους, στοδύο DNA, οι επιστήµονες τα μη αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά µόρια DNA ίσο με 8 και αριθμό λύσεως ίσο με 2 (στοιχεία οι δράσεις τους στοπου DNA δίνουν διαφορετικά καιτότε εξετάζουν τους κόµβους προκύπτουν. Εάν δύο ένζυµα προκαλούν να αντλήσουμε από υπάρχουσα που μπορούμε Για παράδειγμα, έχοντας έναστο κυκλικό µη αποτελέσματα. ισοδύναµους κόµβους, τότε οι δράσεις τους DNA δίνουν διαφορετικά κατηγοριοποίηση γνωστών κόμβων, όπως η αποτελέσµατα. Για παράδειγµα, ένακαι κυκλικό µόριο εφαρµόζοντας [3] μόριο και εφαρμόζοντας τα έχοντας ένζυμα Ε1 Ε2 εάν οι και ιστοσελίδα της βιβλιογραφίας). Αυτό μας δείχνει τα ένζυµα Ε1 καιπου Ε2 εάν οι δύο κόµβοι ισοδύναµοι, δύο κόμβοι προκύπτουν είναιπου μηπροκύπτουν ισοδύναμοι,είναι ότιµηένζυμα που προκαλούν την πρώτη μεταβολή από τότετότε τα δύο ένζυµα ϑα έχουν διαφορετικές ιδιότητες. τα δύο ένζυμα θα έχουν διαφορετικές ιδιότητες. το σχήμα 1 θα δράσουν με παρόμοιο τρόπο σε μόρια που έχουν ισοδύναμη μορφή με αυτήν του Κ1.

26 31 37 4 4 52 58 64 69 757 761 769 Σχήµα 2.

Επίλογος: Όπως έχει ήδη αναφερθεί λοιπόν, με εργαλεία που δεν απαιτούν ιδιαίτερη μαθηματική εξειδίκευση μπορεί κανείς να βοηθήσει στην ανάπτυξη της Θεωρίας Κόμβων. Με αυτόν τον τρόπο, μόνο με υπομονή και έφεση στους γρίφους έχει τη δυνατότητα να συμβάλει στην πρόοδο και άλλων επιστημονικών κλάδων κοντινότερων στον άνθρωπο, όπως στη Βιοχημεία, τη Φαρμακευτική και την Ιατρική.

Σχήμα: 2 Υπολογίζοντας το πολυώνυµο Alexander για τους Κ1 και Κ2 όπως παρουσιάστηκε στο προηγούµενο άρθρο και παίρνοντας τις τιµές τους για t = 1, ϑα προκύψει ότι |PK1 ( 1)| = 33 ενώ |PK2 ( 1)| = 25. Εποµένως οι Κ1 και Κ2 είναι διαφορετικοί, πράγµα που σηµαίνει ότι τα ένζυµα Ε1 και Ε2 έχουν διαφορετικές ιδιότητες. Βιβλιογραφία: ΄Ενας άλλος τρόπος µε τονTheory οποίο η Θεωρία Κόµβων εφαρµόζεται στη µελέτη [1] Charles Livingston, Knot του[2] DNA είναι κάνοντας του αριθµού λύσεως ενός κόµβου. ΄Εστω ένα Colin Conrad Adams,χρήση The knot book µπλεγµένο µόριο DNA, δηλαδή ένας κόµβο ή κρίκος (όπως ονοµάζονται 2 ή [3] http://katlas.org/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table [4] http://www.tiem.utk.edu/ gross/bioed/webmodules/DNAknot.html [5] Kunio Murasugi, Knot Theory and its applications παραπάνω κόµβοι µπλεγµένοι µεταξύ τους). Εάν ϑέλουµε να προκαλέσουµε συγκεκριµένες αλλαγές εφαρµόζοντας διάφορα ένζυµα σε αυτό, είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε τον αριθµό διασταυρώσεως και τον αριθµό λύσεως του αντίστοιχου κόµβου. Για παράδειγµα, ο κόµβος Κ1 στο σχήµα 2 είναι ο κόµϐος 815 (πράγµα που µπορούµε να καταλάβουµε υπολογίζοντας το Alexander πολυώνυµό του) µε αριθµό διασταυρώσεων ίσο µε 8 και αριθµό λύσεως ίσο µε 2 (στοιχεία που µπορούµε να αντλήσουµε από υπάρχουσα κατηγοριοποίηση the prime magazine_151 γνωστών κόµβων, όπως η ιστοσελίδα [3] της ϐιβλιογραφίας). Αυτό µας δείχνει

21 7 31 83 51 21


οι

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γρα

ν

φ ου

Δυσαριθμησία (Η διαταραχή των Μαθηματικών) γράφει η Δέσποινα Τερζοπούλου Μαθηματικός, M.Sc.

21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Μαθητές με αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές Η διαταραχή των μαθηματικών, γνωστή ως ανάγκες, σύμφωνα με το άρθρο 3 του νόμου δυσαριθμησία, ανήκει στο πλαίσιο το ειδικών 3699/2008, θεωρούνται: μαθησιακών δυσκολιών που αφορούν το γνωστικό α) οι μαθητές που για ολόκληρη ή ορισμένη αντικείμενο της αριθμητικής. Εισηγητής του όρου περίοδο της σχολικής τους ζωής εμφανίζουν της δυσαριθμησίας (dyscalculia) ήταν ο R. Cohn με σημαντικές δυσκολίες μάθησης εξαιτίας άρθρο του το 1961 στο περιοδικό Archives of Neuαισθητηριακών, νοητικών, γνωστικών, ανα- rology. Ο νευρολόγος όρισε τη δυσαριθμησία σαν μια πτυξιακών προβλημάτων, ψυχικών και νευρο- δυσλειτουργία του κεντρικού νευρικού συστήματος ψυχικών διαταραχών οι οποίες, σύμφωνα με που είναι υπεύθυνη για την ανεξήγητη δυσκολία τη διεπιστημονική αξιολόγηση, επηρεάζουν που παρουσιάζουν κάποια παιδιά στην πρόσκτηση τη διαδικασία της σχολικής προσαρμογής των μαθηματικών εννοιών και δεξιοτήτων και και μάθησης. Συγκαταλέγονται ιδίως όσοι παρουσιάζει παρόμοια αποτελέσματα με τις παρουσιάζουν νοητική αναπηρία, αισθητηριακές επίκτητες εγκεφαλικές κακώσεις των ενήλικων. Τα αναπηρίες όρασης (τυφλοί, αμβλύωπες με επόμενα χρόνια που ακολούθησαν έγιναν μια σειρά χαμηλή όραση), αισθητηριακές αναπηρίες ακοής από μελέτες πάνω στο θέμα της δυσαριθμησίας από (κωφοί, βαρήκοοι), κινητικές αναπηρίες, χρόνια ερευνητές, όπως οι Johnson & Myklebust (1967), μη ιάσιμα νοσήματα, διαταραχές ομιλίας-λόγου, Kosc (1974) και πολλοί άλλοι. Η ανάγκη όλο και ειδικές μαθησιακές δυσκολίες όπως δυσλεξία, περισσότερο για μελέτη πάνω στο τομέα της ειδικής δυσαριθμησία, δυσαναγνωσία, δυσορθογραφία, μαθησιακής δυσκολίας στα μαθηματικά, γίνεται σύνδρομο ελλειμματικής προσοχής με ή χωρίς εμφανής αν αναλογιστεί κανείς ότι εκτιμάται περίπου υπερκινητικότητα, διάχυτες αναπτυξιακές το 6% του πληθυσμού πάσχει από δυσαριθμησία διαταραχές(φάσμα αυτισμού), ψυχικές διαταραχές (Badian, 1983). Ως προς το φύλο και την εμφάνιση και πολλαπλές αναπηρίες. Στην κατηγορία της δυσαριθμησίας οι έρευνες μέχρι στιγμής είναι μαθητών με αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές αντικρουόμενες. Ορισμένοι ερευνητές υποστηρίζουν ανάγκες δεν εμπίπτουν οι μαθητές με χαμηλή ότι δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των φύλων και σχολική επίδοση που συνδέεται αιτιωδώς με άλλοι ότι η δυσαριθμησία εμφανίζεται περισσότερο εξωγενείς παράγοντες, όπως γλωσσικές ή στα αγόρια. Ως προς την κληρονομικότητα, το 2001 οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι πολιτισμικές ιδιαιτερότητες. β) οι μαθητές με σύνθετες γνωστικές, τα παιδιά με γονείς που έχουν δυσαριθμησία έχουν συναισθηματικές και κοινωνικές δυσκολίες, 10 φορές μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανίσουν παραβατική συμπεριφορά λόγω κακοποίησης, και τα ίδια, καθώς και όσα άτομα έχουν αδέρφια με γονεικής παραμέλησης και εγκατάλειψης ή λόγω δυσαριθμησία, το 50% αυτών αντιμετωπίζει κάποιο σοβαρό θέμα στα μαθηματικά. ενδοοικογενειακής βίας Ο πρώτος ορισμός της δυσαριθμησίας ήρθε από τον γ) οι μαθητές που έχουν μία ή και περισσότερες νοητικές ικανότητες και ταλέντα ανεπτυγμένα σε Kosc, το 1974. Σύμφωνα με αυτόν, η δυσαριθμησία βαθμό που υπερβαίνει κατά πολύ τα προσδοκώμενα είναι «μια δομική διαταραχή των μαθηματικών ικανοτήτων, που έχει τις ρίζες της σε μια γενετική για την ηλικιακή τους ομάδα. ή εκ γενετής διαταραχή εκείνων των τμημάτων του εγκεφάλου, που είναι άμεσα ανατομικο-φυσιολογικά

the prime magazine_157

11 7 21 63 21 7 31 83 51 69 773 787 797 809 811 821


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 10 51 15 99 21 7 26 11 31 7 37 21 4 63 4 21 52 7 58 31 6 83 69 51 757 761 769 773 787 797 21 υποστρώματα της ωρίμανσης των μαθηματικών ικανοτήτων, ανάλογα με την ηλικία, χωρίς μια ταυτόχρονη διαταραχή της γενετικής νοητικής λειτουργίας». Με τα χρόνια παρουσιάστηκαν διάφοροι ορισμοί της, ωστόσο αυτός που εμφανίζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι του Geary το 2004. Σύμφωνα με αυτόν «μια μαθηματική μαθησιακή αναπηρία μπορεί να εκδηλωθεί με τη μορφή ελλείψεων στις ικανότητες χειρισμού εννοιών ή διαδικασιών που καθορίζουν το πεδίο των μαθηματικών και που, θεωρητικά, οφείλονται σε υποκειμενικές ελλείψεις στην κεντρική εκτελεστική λειτουργία ή στα γλωσσικά συστήματα αναπαράστασης και διαχείρισης πληροφοριών ή στο οπτικοχωρικό πεδίο». Οι δύο αυτοί ορισμοί, του Kosc και Geary παρουσιάζουν ενδιαφέρον, διότι ο πρώτος εστιάζει στο νευρολογικό πλαίσιο της διαταραχής, ενώ ο δεύτερος στις διαδικασίες επεξεργασίας των πληροφοριών. Για να μπορούμε να μιλάμε για δυσαριθμησία θα πρέπει η μαθηματική ικανότητα του ατόμου να είναι σημαντικά κάτω από το αναμενόμενο, δεδομένης της ηλικίας του, της νοημοσύνης του και της εκπαίδευσης στο επίπεδο της ηλικίας του. Επίσης, η μαθηματική αυτή δυσκολία θα πρέπει να εμποδίζει σημαντικά την σχολικά επίδοση του ατόμου ή τους τομείς της ζωής του που απαιτούν μαθηματικές ικανότητες. Η δυσαριθμησία, όπως και η δυσλεξία, εμφανίζουν ποίκιλες μορφές. Ήδη από το 1974 ο Kosc πρότεινε έξι μορφές. Η λεκτική μορφή σχετίζεται με την κατανόηση, χρήση μαθηματικών όρων και λεκτική απόδοση των σχέσεων. Η πρακτογνωστική μορφή σχετίζεται με το μαθηματικό χειρισμό αντικειμένων και εικόνων. Η τρίτη μορφή που όρισε καλείται λεξιλογική και σχετίζεται την αναγνώριση μαθηματικών συμβόλων, ενώ η γραφολογική μορφή αφορά τη γραπτή απόδοση των μαθηματικών συμβόλων. Η ιδεογνωστική μορφή εμφανίζεται στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων. Τέλος, η έκτη μορφή καλείται λειτουργική και αφορά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων.

Η πρώτη αναλυτική περιγραφή της συμπτωματολογίας της δυσαριθμησίας έγινε το 1967 από τους Johnson & Myklebust. Σύμφωνα με αυτούς το άτομο εμφανίζει τα εξής προβλήματα - αδυναμίες: • • • • • • • • • • • •

στο σχηματισμό αντιστοιχίσεων ένα προς ένα στη σύνδεση συμβόλων με ποσότητες στη σύνδεση ακουστικών και οπτικών συμβόλων στην ερμηνεία των τακτικών και απόλυτων αριθμών στις σχέσεις μέρους - όλου στην έννοια διατήρησης της ποσότητας στην εκτέλεση πράξεων στην κατανόηση και διάκριση των συμβόλων στις πράξεις στη θεσιακή αξία των αριθμών στους αλγόριθμους στις μετρήσεις μεγεθών, ποσοτήτων, όγκων στην ερμηνεία γραφικών παραστάσεων και χαρτών στην επίλυση προβλημάτων

Αυτή η έρευνα αποτέλεσε τη βάση για τα επόμενα χρόνια, στην περιγραφή των συμπτωμάτων των ατόμων με δυσαριθμησία. Οι νέες μελέτες, διατήρησαν τα παραπάνω στοιχεία, ενώ άλλες πρόσθεσαν νέα χαρακτηριστικά. Τέλος η αξιολόγηση του ατόμου που πάσχει από δυσαριθμησία είναι ένα πολύπλοκο και ακόμα προς εξερεύνηση πεδίο για τους ερευνητές, καθώς τα μαθηματικά αποτελούν ένα σύνθετο γνωστικό αντικείμενο.

Βιβλιογραφία:

[1] Αγαλιώτης, Ι. (2011). Διδασκαλία Μαθηματικών στην Ειδική Αγωγή και Εκπαίδευση. Φύση και εκπαιδευτική διαχείριση των μαθηματικών δυσκολιών. Αθήνα: Γρηγόρης. [2] Badian, N.A. (1983). Dyscalculia and nonverbal disorders of learning. In H.R.Myklebust (Ed.), Progress in Learning Disabilities, 5, (pp.235-264). New York: Grune & Stratton, Inc. [3] Cohn, R. (1961). Dyscalculia. Archives of Neurology, 4, 301-317. [4] Geary, D.C. (2004). Mathematics and Learning Disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37, 1, 4-15. [5] Johnson, D. & Myklebust, H. (1967). Learning Disabilities. New York: Grune & Stratton. [6] Kosc, L. (1974). Developmental Dyscalculia. Journal of Learning Disabilities, 7, 164-177. [7] ΦΕΚ 199/Α’/08, Νόμος υπ’αριθμό 3699.

the prime magazine_163


οι

ΔΙΔΑΚΤΟρεσ γρα

Ταξιδεύοντας... με το σώμα και το μυαλό

ν

φ ου

γράφει η Ίρις Παπαδοπούλου Μαθηματικός, Ph.D.

99 7 11 7 21 63 21 7 31 83 51 9 773 787 797 809 811 821 Πράγ α

21 26 31 37 4 4 52 58 6 69 7

Η Πράγα ή «Η Πόλη του Κάφκα» αποτελεί εδώ και χρόνια έναν «κλασσικό» προορισμό και είναι ανάμεσα στις πρώτες σε επισκεψιμότητα ευρωπαϊκές πόλεις. Παρόλο που την είχα επισκεφτεί το καλοκαίρι του 1999, μαθήτρια ακόμα, αποφασίσαμε να πάμε και πάλι. Η Πράγα, πρωτεύουσα της Τσεχίας και η μεγαλύτερή της πόλη, έχει πληθυσμό 1,2 εκατομμύρια κατοίκους και είναι χτισμένη πάνω στον ποταμό Μολδάβα. Όποιος επισκέπτεται την πόλη αξίζει να περιπλανηθεί στο ιστορικό της κέντρο, το οποίο ανήκει από το 1992 στον κατάλογο μνημείων παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO. Εκεί θα θαυμάσει την πολύ εντυπωσιακή Πλατεία της Παλιάς πόλης με το μεσαιωνικό Δημαρχείο, το αστρονομικό ρολόι και την οικία του Τσεχοεβραίου συγγραφέα Φραντς Κάφκα. Επίσης μπορεί να δει το γοτθικό Πύργο της πυρίτιδας, το Πανεπιστήμιο του Καρόλου, την όπερα, την πλατεία Václavské και να περιπλανηθεί στην Εβραϊκή συνοικία. Δεν πρέπει να παραλείψει κανείς να διασχίσει την πέτρινη γέφυρα του Καρόλου, σήμα κατατεθέν της πόλης, η οποία είναι στολισμένη με 30 αγάλματα αγίων και να επισκεφτεί την Καστρούπολη και το Κάστρο. Εκεί θα δει, μεταξύ άλλων, το Προεδρικό μέγαρο και τον επιβλητικό ναό του Αγίου Βίτου. Αξίζει κάθε επισκέπτης να κάνει βόλτα στον Μολδάβα με ένα καραβάκι, να θαυμάσει τα εντυπωσιακά κτήρια της πόλης και να περάσει με το καραβάκι κάτω από τη γέφυρα του Καρόλου. Μπορεί, ακόμα, να παρακολουθήσει μια παράσταση του φημισμένου «Μαύρου Θεάτρου της Πράγας», το οποίο είναι ένα μείγμα κινησιολογίας, χορού, μουσικής και παντομίμας και βασίζεται, σήμερα, στον φωτισμό του υπεριώδους φωτός. Αξίζει ακόμα να κάνει κανείς μια βόλτα στην οδό Parizská, στην οποία υπάρχουν η μια δίπλα στην άλλη μπουτίκ όλων των παγκοσμίως γνωστών οίκων μόδας και χρυσοχοΐας. Υπάρχουν ακόμα πολλά μουσεία μεταξύ των οποίων είναι το Μουσείο Σοκολάτας και το Μουσείο Κέρινων Ομοιωμάτων.

the prime magazine_167

Ένα από τα πράγματα που αξίζει να κάνει κανείς στην Πράγα είναι να δοκιμάσει τσέχικη μπύρα, η οποία είναι φθηνότερη από το εμφιαλωμένο νερό και πολύ καλής ποιότητας. Σε απόσταση περίπου μιάμισης ώρας από την Πράγα, στην καταπράσινη κοιλάδα του ποταμού Τέπλα, βρίσκεται η πολύ γνωστή και γραφική λουτρόπολη Karlovy Vary, η οποία ιδρύθηκε το 14ο αιώνα από τον Κάρολο τον Δ΄ και είναι επίσης γνωστή για το διεθνές φεστιβάλ κινηματογράφου. Ο επισκέπτης μπορεί να δει τις ιαματικές πηγές και να πιεί νερό από αυτές. Μπορεί ακόμα να δει το κτήριο του θεάτρου, να περπατήσει μέσα στην πόλη πλάι στο ποτάμι αλλά και να επισκεφτεί το πολύ γνωστό Grandhotel Pupp και να δοκιμάσει ένα από τα φημισμένα γλυκά του. Σε απόσταση 2 ωρών από την Πράγα, χτισμένη πάνω στον ποταμό Έλβα, βρίσκεται η Δρέσδη, πόλη της Γερμανίας και πρωτεύουσα του ομόσπονδου κρατιδίου της Σαξονίας. Η ιστορία της πόλης είναι μακρόχρονη διότι αποτελούσε την έδρα των Σαξόνων βασιλιάδων. Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου καταστράφηκε ολοσχερώς αλλά πολλά σημαντικά κτήρια χτίστηκαν και πάλι σύμφωνα με τα ιστορικά σχέδια. Μεταξύ αυτών βρίσκεται η εντυπωσιακή εκκλησία Frauenkirche, την οποία αξίζει να επισκεφτεί κανείς. Μπορεί ακόμα να περιπλανηθεί στο ιστορικό της κέντρο, να δει το βασιλικό συγκρότημα Zwinger, την Brühl Terrace και το «Τείχος των διαδόχων». Από το 2004 η Δρέσδη και το τμήμα της κοιλάδας του ποταμού Έλβα αποτελεί μνημείο παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO. Η Πράγα μου άρεσε (και πάλι) πολύ ως προορισμός λόγω της ζωντάνιας της και της ομορφιάς της. Συγκρίνοντας τις αναμνήσεις που είχα από την πρώτη μου επίσκεψη με αυτά που έβλεπα σχεδόν 18 χρόνια αργότερα, παρατήρησα ότι είναι πολύ περισσότερο τουριστική σε σχέση με τότε. Σύμφωνα με αρκετούς ντόπιους τότε ήταν μια διαφορετική πόλη και οι συνθήκες ζωής ήταν διαφορετικές.


the prime magazine_173


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821

Τεύχος 5ο  

Το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού ΑΠΘ