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Nivel de Proyecci贸n
Probabilidad de Sucesos
Probabilidad de sucesos Nivel de proyecci贸n
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
1. Si sacamos una carta de un naipe español la probabilidad de que la carta no sea un caballo es.
Sol. Para resolver este problema de manera más simple usamos el complemento de este suceso, es decir, que la carta obtenida sea caballo entonces nuestra formula quedaría: P(A) + P( Sea
)=1
P(A) = 1 - P(
)
A = que la carta no sea caballo
así: y
= que la carta sea
caballo P(A) = 1 - P(
) = 1-
=1-
=
2. Al lanzar un dado tres veces y tuvieras la opción de apostar dinero a que sale al menos una vez el 2 en los 3 lanzamientos lo harías o no.
Sol. Sea nuestro suceso A = salga al menos una vez el 2, en este caos ocuparemos el complemento que seria = que no salga ninguna vez el 2, de esta manera tendríamos. P(
) = (no sale el 2 en el primer lanzamiento)·(no sale en el segundo
lanzamiento)· (no sale en el tercer lanzamiento) P(
)=
·
·
, luego P(A) = 1 - P(
)=1-
= 0.42 lo que nos da un
42% lo que nos indica que no debemos apostar el dinero .
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
3. Se ha decidido pasar de curso a todos aquellos alumnos que aprueben matemáticas o castellano. Con esta fórmula aprobaron un 80% de los alumnos, si sabemos que aprobaron matemáticas el 60% y castellano un 50% ¿Qué porcentaje de alumnos hubiesen pasado de curso si se hubiera exigido aprobar ambas asignaturas?
Sol. Rescatando los datos expresados en este problema tenemos lo siguientes sucesos. A = Aprobaron matemáticas, esto es P(A) = 0,6 B = Aprobaron castellano, esto es P(B) = 0,5 A U B = Aprobaron uno de los dos, esto es = 0,8 Como necesitamos encontrar A y B que corresponde a la P(A la expresión P(A B) = P(A) + P(B) – P(A P(A B) Reemplazando tenemos: P(A al 30%
B) Despejamos P(A
B) usamos
B) = P(A) + P(B) -
B) = 0,6 + 0,5 – 0,8 = 0,3 lo que equivale
Por lo que los alumnos que hubiesen pasado de curso corresponde a un 30%
4. Analicemos los siguientes sucesos. Suceso A : Probabilidad que haya buen tiempo es de un 0,4 Suceso B : Probabilidad que haya un derrumbe es de un 0,1 La probabilidad de que haya buen tiempo y que exista un derrumbe es del 0,08. Determine si estos sucesos son independientes. Sol. Para que estos suceso sean independientes debe cumplir al menos una de estas condiciones :
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
P(B/A) =
P(A/B) =
P(A
B) = P(A) · P(B) = 0,4 · 0,1 = 0,04
0,08 = P(A
B)
Al no cumplirse al menos una de las 3 condiciones podemos afirmar que estos sucesos no son independientes.
5. Si se escriben al azar las los 5 primeros números. ¿Cuál es la probabilidad que el primer número sea el 3 y el último el 2? Sol. Ocupando permutaciones ya que se trata de ordenar tenemos que la cantidad de casos posibles de ordenar 5 números esta dada por = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120. Como el 3 y el 2 ya tienes sus lugares asignados los números que se deben ordenar son 3 por lo tanto los casos favorables estará dada por = 3! = 3 · 2 = 6. Con estos datos obtenidos a través de la regla de La place obtenemos P=
=
=
= P( A
B)=
=
6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 bolas rojas de una tómbola que contiene 6 bolas rojas y 9 azules? Sin reintegrar las bola extraída. Sol. Como lo que se pide va relacionado con combinaciones usamos combinatoria así podemos inferir, como las bolas rojas las podemos tomar de 2 en 2 hacemos
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
= 15 lo que corresponde a nuestros casos favorables mientras que para nuestros casos posibles como también las podemos tomar de 2 en 2 las bolitas usamos = 105 así teniendo estos datos podemos obtener la probabilidad de obtener dos bolas rojas. P=
=
=
7. La probabilidad de que un perro viva más de 10 años es de 0,6 y la de un gato es de 0,7. La probabilidad de que solo viva más de 10 años el perro es de. Sol. Los sucesos dados por el problema son: A = que solo el perro viva más de 10 años B = que el perro viva más de 10 años y su probabilidad P(B) = 0,6 C = que el gato viva más de 10 años y su probabilidad P(C) = 0,7 Como solo necesitamos saber que los perros vivan más de 10 años y no los gatos usamos el complemento de C , es decir, los gatos no viven más de 10 años y su probabilidad será P( ) = 0,3 con estos dato podemos obtener P(A) = P(B
) = P(B) · P(
) = 0,6 · 0.3 =0,18
8. Sean A y B dos sucesos con A B = . Encuentre una condición necesaria y suficiente para que estos sucesos sean independientes entre si.
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Sol. Para que A y B sean independientes se debe cumplir con que P(A
B) = P(A) · P(B) lo que nos daría que P(A
B) = P( ) y P( ) = 0
Por lo tanto una condición necesaria y suficiente para que sean independientes estos dos sucesos es claramente que P(A) = 0
ó P(B) = 0
9. La probabilidad de que un anciano viva más de 25 años es de 0,5 y la de un anciana es de 0,8. La probabilidad de que viva más de 25 años al menos unos de los dos es de. Sol. Los sucesos dados por el problema son: A = que viva más de 25 años al menos unos de los dos B = que el anciano viva más de 25 años y su probabilidad P(B) = 0,5 C = que el anciana viva más de 25 años y su probabilidad P(C) = 0,8 Como nos pide al menos uno de los dos sucesos usamos la siguiente definición P(A) = P(B U C) = P(B) + P(C) – (B C), como los sucesos B y C son independientes (B C) = P(B) · P(C) = 0,5 · 0,8 = 0,4 ahora reemplazando en primera formula tenemos P(A) = P(B U C) = 0,5 + 0,8 – 0,4 = 0,9 por lo tanto la probabilidad de que al menos uno de los dos viva más de 25 años es de un 90%
10. Sean 3 caballos C1 , C2 , C3, compiten en una carrera donde los sucesos son 1.- El C1 le gana a C2 esta dado por AB 2.- el C1 le gana a C2, el cual vence a C3, esta dado por ABC y asi entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
sucesivamente con todas las permutaciones posibles y tenemos que P(AB) = 2/3 P(AC) = 2/3 , P(BC) =1/2, también tenemos que P(ABC) = P(ACB) = P(BAC) = P(BC) = P(CAB) = P(CBA). Determine si los sucesos AB, AC y BC son independientes. Sol. Para que estos sucesos sean independientes basta con comprobar que P(AB AC)=P(AB) · P(AC) si no lo son ya estos sucesos no serán independientes aunque los otros si lo sean. P(AB
AC)= P({ABC, ACB}) = P({ABC}) + P({ACB)} =
P(AB) · P(AC) = P(AB
AC)
·
=
, con esto inferimos que
P(AB) · P(AC) lo que implica que
AB, AC, BC NO SON INDEPENDIENTES
11. Demostrar que si dos sucesos son independientes entonces sus complementos también lo son. Sol. Sean nuestros sucesos A y B debemos comprobar lo siguiente para ver si son independientes. P(A
B) = P(A) · P(B)
P( propiedades. P(
) = P(
) = P(
) · P(
por ende sus complementos serían ) para demostrar esto usaremos las
) = 1 – P(A
B) = 1 – P(A) – P(B) + P(A
B)
= 1 – P(A) – P(B) + P(A) · P(B) / ya que el enunciado nos dice que los sucesos A y B son independientes. = (1 – P(A)) · (1 – P(B))
que si observamos bien es
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
P(
) · P(
) = P(
) si son independientes
12. Sean nuestros sucesos P y Q tales que P(P) = 0,25 , P(Q/P) = 0,5 y P(P/Q) = 0,25. Diga si estos sucesos son o no incompatibles Sol. Para que dos sucesos sean incompatibles se debe verificar que P(A B) = 0 luego ocupando la siguiente formula tenemos P(P Q) = P(Q/P) · P(P) = 0,5 · 0,25 = 0,125 0 Por lo que ambos sucesos no son incompatibles.
13. La probabilidad de que un kilo de carne provenga de una carnicería X es de un 0,7 y la probabilidad que provenga de una carnicería Y es de un 0,3. Si sabemos que la carnicería X produce un 4 por mil kilos de carne en mal estado mientras que la carnicería Y lo hace en un 8 por mil kilos de carne en mal estado. Si tomamos un kilo de carne en mal estado Si tomamos un individuo de esa población y sabemos que está enfermo ¿Cuál es la probabilidad que este individuo sea hombre? Sol. Sean los sucesos A = El individuo este enfermo B = El individuo es hombre y su probabilidad es P(B) = 1/3 C = El individuo es mujer y su probabilidad es P(C) = 2/3 P(A/B) = 0,1 P(A/C) = 0,18 Lo que debemos hacer es utilizar el teorema de bayes así tendremos: P(B/A) =
=
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=
= 0,218
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
14. Un curso esta compuesto por 40 alumnos y 10 estudiantes repitentes de los cuales 8 son mujeres y 10 alumnas no son repitentes. Si al elegir un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y repitente? Si al elegir a dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea repitente? Sol. a) Esta probabilidad se puede sacar de manera muy simple analizando simplemente los datos entregados y esta seria con nuestro suceso A=alumna repitente su probabilidad sería P(A) = b)
Sea nuestro suceso B = dos estudiantes no sean repitentes
P(B) =
=
=
0,682
15. Juan olvida poner su reloj despertador 3 de cada 10 días y uno de cada 10 días en que pone despertador no se levanta a tiempo para llegar a su trabajo, mientras que 2 de cada 10 días que olvida poner el despertador llega a tiempo a su trabajo. Identificar todos los sucesos que en este problema están presentes. Sol. Lo primero que debemos analizar es el experimento que estamos realizando. Este consiste en tomar un día al azar de Juan y analizarlo. Sean los sucesos:
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
A = Juan olvida poner su reloj despertador B = Juan llega tarde a su trabajo Notemos que con estos sucesos podemos tener sus complementos lo que nos dan sucesos completos. Ahora podemos sacar las probabilidades con los datos del enunciado, así. P(A) =
P(
)=
=
P(
)=
16. Sean nuestros sucesos A, B y C tal que A que P(A B/C) = P(A/C) + P(B/C)
P(B /
B=
)=
demostrar
Sol. P(A B/C) =
= =
= =
+
= P(A/C) + P(B/C)
17. La mitad de los productos de un negocio provienen del supermercado jumbo, mientras que la otra mitad provienen del supermercado unimarc y alvi en igual cantidad. El porcentaje de productos defectuosos son de 4%, 5% y 6% respectivamente de cada uno de los 3 supermercados. Si al elegir un producto del negocio y este sale defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que ese producto sea del supermercado Jumbo? Sol. Sean nuestros sucesos: entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
A = El productos provenga del jumbo y su probabilidad es P(A) = 0,5 B = El producto provenga del unimarc y su probabilidad es P(B) = 0,25 C = El producto provenga del alvi y su probabilidad es P(C) = 0,25 D = Que el producto sea defectusos P(D/A) = 0,04 ; P(D/B) = 0,05 ; P(D/C) = 0,06 Luego para encontrar nuestra probabilidad deseada utilizamos el teorema de bayes así. P(A/D) =
=
=
0,42
18. En una caja tenemos 4 bolas blancas y 5 negras. De las 4 bolas blancas 2 son con puntos y 2 rayadas. De las 5 bolas negras 4 son con puntos y 1 rayadas. Si sacamos un bolita al azar y se sabe que es blanca ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita sea rayada? Sol. Identificando los sucesos : A = que la bolita sea rayada y su probabilidad es P(A) = 3/9 B = que la bolita sea blanca y su probabilidad es P(B) = 4/9 Como sabemos que la bolita es blanca la probabilidad de que esta sea rayada es claramente estamos en presencia de que la probabilidad A está condicionada por la ocurrencia del sucesos B es. P(A/B) =
=
=
19. En una caja que contiene 4 bolitas azules y 6 verdes y se extraen dos bolitas al azar sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
que la segunda bolita sea verde, sabiendo que la primera bolita es azul? Si nuestros sucesos son A = la segunda bolita es verde y B = la primera bolita es azul donde la P(A/B) = 2/3
Sol. Como los sucesos están ya designados solo nos queda en encontrar la probabilidad del suceso A así. P(A) = P(A/B) · P(B) + P(A/
) · P(
)=
20. En una universidad el 55% de los estudiantes es vegetariano, el 30% es carnívoro y el 20% come vegetales y carne. Si al sacar un alumno al azar y sabiendo que este es vegetariano ¿Cuál es la probabilidad de que coma carne? Sol. Sean nuestros sucesos los siguientes : A = que coma carne B = que coma vegetales Como esta es una probabilidad condicionada debemos utilizar: P(A/B) =
21.
Si los sucesos A y B son disjuntos, demostrar que P(A/B) = 0
Sol. Como los sucesos son disjuntos tenemos que A P(A
B) = 0 y como P(A/B) =
B=
esto implica que
= 0 ya que su denominador es 0
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Por lo tanto P(A/B) = 0
22. Si lanzamos un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3 o un 5? Calcular P(A B)
Sol. Sean los sucesos siguientes: A = que salga un 3 B = que salga un 5 P(A
B) = P(A) + P(B) =
Luego como claramente es imposible que salga un 3 y un 5 al mismo tiempo podemos afirmar que estos sucesos son mutuamente excluyentes por lo que P(A B) = 0.
23. Si la probabilidad de que un hombre compre un automóvil nuevo , elija el color rojo, verde, gris o blanco, son respectivamente 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23 ¿Cuál es la probabilidad que un comprador compre un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores? Sol. Identificando los sucesos tenemos los siguientes A = el hombre elija un automóvil rojo B = el hombre elija un automóvil verde C = el hombre elija un automóvil gris D = el hombre elija un automóvil blanco Como sabemos que todos estos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad es.
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
P(A B 0.68
C
D) = P(A)
P(B)
P(C)
P(D) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 =
24. Una caja contiene 4 lápices rojos y 3 azules y la segunda caja contiene 3 lápices rojos y 5 lápices azules. Si se saca un lápiz de la caja uno y se coloca sin verlo en la caja 2 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz de color azul de la segunda caja? Sol. Definamos los sucesos necesarios para encontrar la probabilidad deseada A = sacar un lápiz azul de la bolsa 1 B = sacar un lápiz azul de la bolsa 2 C = sacar un lápiz rojo de la bolsa 1 Necesitamos encontrar la unión de los sucesos (A B) y (C B) que son claramente mutuamente excluyentes así tenemos P(A B)
P(C B) = P(A B) + P(C B) =
25. En una caja hay 20 ampolletas de las cuales cinco están defectuosas. Si se sacan al azar dos ampolletas y se separan de la caja una después de la otra sin reemplazar la primera ¿Cuál es la probabilidad de que ambas ampolletas estén malas? Sol. Identifiquemos los sucesos. A = la primera ampolleta este defectuosa B = la segunda ampolleta este defectuosa D = ambas ampolletas estén defectuosas
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Claramente necesitamos la intersección de las probabilidades A y B para encontrar P(D), luego como encontrar P(A) es simplemente 5/20 = 1/4 Y para obtener P(B) es independiente de A y en la caja hay una ampolleta mala menos P(B) = 4/19 P(A
B) =
26. En una casa viven 12 personas de las cuales cinco son mujeres y siete son hombres. Si se sacan 2 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos hombres?. Sol. Determinemos nuestros sucesos H1 = que la primera persona sacada sea hombre H2 = que la segunda persona sea hombre H = que ambas personas sacadas sean hombres Para obtener la probabilidad de H usaremos P(H1 sucesos son dependientes
H2) pero como estos
P(H1 H2) = P(H1) · P(H1/H2) y P(H1/H2) como esta condicionada a que H1 sea hombre su probabilidad es 6/12 = 1/2 Por lo que nos quedaría P(H1
H2) =P(H1) · P(H1/H2) =
27. En un baño hay 8 cepillos , 5 de color verde y 3 de color amarillo. Si al entrar al baño y sacamos dos cepillos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo cepillo sea amarillo?. Sol. Identificamos los sucesos: A = el primer cepillo sea verde entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
B = el segundo cepillo sea amarillo A B = el primer cepillo sea verde y el segundo sea amarillo B = que ambos cepillos sean amarillos P(A) = 5/8 Para determinar la probabilidad pedida usamos el teorema de probabilidad total así P(B) = P( =(
B) + P(A ·
)+(
·
B) = P(
) · P(B/
) + P(A) · P(B/A)
)=
28. En un estante hay 15 libros, 12 son de matemáticas y 3 son de literatura. Si se quiere sacar dos libros al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo libro sacado sea de literatura?. Sol. Determinemos los sucesos necesarios para encontrar la probabilidad pedida M = que el primer libro sea de matematica L1 = que el primer libro sea de literatura L2 = que el segundo libro sea de literatura M L2 =que el primer libro sea de matematica y el segundo sea de literatura L1 L2 = que los dos libros sean de literatura Usando el teorema de la regla de eliminación tenemos que P(L2) = P (M P (M
L2) + P (L1
L2) + P (L1
L2)
L2) = P(M) · P(L2/M) + P(L1) · P(L2/L1) =
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+
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
29. Si sacamos una carta de un naipe español la probabilidad de que la carta no sea una zota es.
Sol. Para resolver este problema de manera más simple usamos el complemento de este suceso, es decir, que la carta obtenida sea caballo entonces nuestra formula quedaría: P(A) + P( Sea
)=1
P(A) = 1 - P(
A = que la carta no sea caballo
)
así: y
= que la carta sea
caballo P(A) = 1 - P(
) = 1-
=1-
=
30. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de un naipe español (40 cartas) y que esta no sea un mono?
Sol. Determinemos los sucesos ocupando las propiedades pertinentes A = que la carta no sea un mono Como esta probabilidad es muy complicada obtenerla debido a su gran número, usaremos la siguiente formula del complemento que está dada por P(A) + P(
)=1
P(A) = 1 - P(
)
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Necesitamos para ocupar esta propiedad nos falta determinar el otro suceso que es = que la carta sea un mono y la probabilidad de esta es más simple de sacar como son 3 monos y de 4 pintas distintas, en un total de 40 cartas obtenemos P(
)=
P(A) = 1 - P(
ahora reemplazando ) = 1-
=
31. Si se quiere sacar al azar una carta de un naipe español , la probabilidad que esta carta no sea un número menor que 3 es.
Sol. Los sucesos son A = que la carta no sea menor que 3 = que la carta sea menor que 3 Luego podemos obtener P(A) con la siguiente igualdad P(A) + P( P(A) = 1 - P(
)=1
)
P(A) = 1 -
32. Al sacar una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no salga un múltiplo de 2 menor que 5? Siendo un naipe ingles de 52 cartas.
Sol.
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Como nuestro suceso que lo denotaremos con la letra M, es muy difícil de obtener debido a su gran cantidad de posibilidades usaremos una propiedad que nos ayudara a resolverlo de manera más simple. P(M) + P(
)=1
P(M) = 1 - P(
)
con
M = que la carta no sea múltiplo de 2 menor que 5 = que la carta sea un múltiplo de 2 menor que 5 Y este ultimo suceso es mucho mas simple de obtener ya que los múltiplos menores que 5 son solamente el 2 y el 4 y como ahí solo 4 pintas la P()= luego reemplazando tenemos
P(M) = 1 -
=
33. Al lanzar un dado tres veces y tuvieras la opción de apostar dinero a que sale al menos una vez el 1 en los 3 lanzamientos lo harías o no.
Sol. Sea nuestro suceso A = salga al menos una vez el 1, en este caos ocuparemos el complemento que seria = que no salga ninguna vez el 1, de esta manera tendríamos. P(
) = (no sale el 1 en el primer lanzamiento)·(no sale en el segundo
lanzamiento)· (no sale en el tercer lanzamiento) P(
)=
·
·
, luego P(A) = 1 - P(
)=1-
= 0.42 lo que nos da un
42% lo que nos indica que no debemos apostar el dinero
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
34. Para obtener licencia de conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,50, la de que apruebe la parte práctica es 0,75 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,80. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad. de que apruebe el examen para obtener licencia?
Sol. Determinemos los sucesos que están en dentro de este problemas Sea: A = Aprobar examen teórico = P(A) = 0,50 B = Aprobar examen práctico = P(B) = 0,75 Para poder responder a nuestra interrogante de obtener licencia debemos encontrar la probabilidad de aprobar el examen teórico y el examen práctico P(A y B) = P(A B), para hacerlo y así ocupar todos los datos existentes usaremos la formula P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
P(A) + P(B) - P(A P(A
B) , Despejando obtenemos P(A
B) =
B) B) = 0,50 + 0,75 – 0,80 = 0,45 , podemos afirmar que
tiene un 45% de probabilidad de obtener la licencia
35.
Analicemos los siguientes sucesos.
Suceso A : Probabilidad que haya buen tiempo es de un 0,7 Suceso B : Probabilidad que haya un derrumbe es de un 0,5 La probabilidad de que haya buen tiempo y que exista un derrumbe es del 0,12. Determine si estos sucesos son independientes. Sol. Para que estos sucesos sean independientes debe cumplir al menos una de estas condiciones:
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
P(B/A) =
P(A/B) =
P(A
B) = P(A) · P(B) = 0,7 · 0,5 = 0,35
0,12 = P(A
B)
Al no cumplirse al menos una de las 3 condiciones podemos afirmar que estos sucesos no son independientes.
36. La probabilidad de que un perro viva más de 15 años es de 0,6 y la de una golondrina es de 0,8. La probabilidad de que solo viva más de 15 años el perro es de. Sol. Los sucesos dados por el problema son: A = que solo el perro viva más de 15 años B = que el perro viva más de 15 años y su probabilidad P(B) = 0,6 C = que la golondrina viva más de 15 años y su probabilidad P(C) = 0,8 Como solo necesitamos saber que los perros vivan más de 15 años y no las golondrinas usamos el complemento de C , es decir, las golondrinas no viven más de 15 años y su probabilidad será P( ) = 0,2 con estos dato podemos obtener P(A) = P(B
) = P(B) · P(
) = 0,6 · 0.2 =0,12
37. Sean A, B y C tres sucesos pertenecientes a un determinado espacio muestral, y sean los sucesos M = entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Calcular las probabilidades de M sabiendo que P(A) = 0,6 , P(B) =0,6, P(C) = 0,5 , P(A B) = 0,35 , P(A P(B C) = 0,25 y P(A B C) = 0,8.
C) = 0,20
Sol. Usando propiedades de sucesos calculamos P(M) = P( = P(A) - P( = P(A) – P( = P(A) – P(
) = P(
) = P(
) = P(A) - P( ) – P( ) + P( ) – P( ) + P(
) ) ) )
P(M) = 0,6 – 0,35 – 0,20 + 0,8 = 0,85
38. Sean nuestros sucesos A y B tales que P(A) = 0,45 , P(Q/P) = 0,7 y P(P/Q) = 0 ,25. Diga si estos sucesos son o no incompatibles Sol. P(A
Para que dos sucesos sean incompatibles se debe verificar que B) = 0 luego ocupando la siguiente formula tenemos
P(A B) = P(B/A) · P(A) = 0,7 · 0,45 = 0,315 Por lo que ambos sucesos no son incompatibles
0
39. Marta olvida poner su reloj despertador 7 de cada 10 días y 3 de cada 10 días en que pone despertador no se levanta a tiempo para llegar a su trabajo, mientras que 6 de cada 10 días que olvida entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
poner el despertador llega a tiempo a su trabajo. Identificar todos los sucesos que en este problema están presentes. Sol. Lo primero que debemos analizar es el experimento que estamos realizando. Este consiste en tomar un día al azar de Juan y analizarlo. Sean los sucesos: A = Marta olvida poner su reloj despertador B = Marta llega tarde a su trabajo Notemos que con estos sucesos podemos tener sus complementos lo que nos dan sucesos completos. Ahora podemos sacar las probabilidades con los datos del enunciado, así. P(A) = P(
)=
P( P(B /
)=
=
)=
40. La mitad de los productos de un negocio provienen de la bodega X , mientras que la otra mitad provienen de la bodega Y y Z en igual cantidad. El porcentaje de productos defectuosos son de 3%, 5% y 9% respectivamente de cada una de las 3 bodegas. Si al elegir un producto del negocio y este sale defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que ese producto sea de la bodega X? Sol. Sean nuestros sucesos: A = El productos provenga de la bodega X y su probabilidad es P(A) = 0,5 B = El producto provenga de la bodega Y y su probabilidad es P(B) = 0,25 C = El producto provenga de la bodega Z y su probabilidad es P(C) = 0,25 D = Que el producto sea defectuosos P(D/A) = 0,03 ; P(D/B) = 0,05 ; P(D/C) = 0,09 entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
Luego para encontrar nuestra probabilidad deseada utilizamos el teorema de bayes así. P(A/D) =
=
=
0,3
41. De un banco el 10% de quienes tienen tarjeta han pasado ha ser morosos. El banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente normal se atrase en un paso es de 0,3 y la probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es de 0,8. Si al elegir un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente se atrase en un pago mensual? Sol. Determinemos los sucesos A = que el cliente sea moroso B = que el cliente se haya atrasado en un pago mensual Como lo que nos piden es P(B), ocupamos la formula de probabilidad total lo que nos daría. P(B) = P(B/ ) · P( ) + P(B/A) · P(A) para poder reemplazar en esta formula debemos encontrar el valor de P( ) el que encontramos con la siguiente formula. P(
) = 1 – P(A) = 1 – 0,1 = 0,9 por lo que
P(A) = 0,3 · 0,9 + 0,8 · 0,1 = 0,35
42. Sean A y B dos estaciones meteorológicas, si la probabilidad que llueva en cualquier en cualquier momento del día en A y B está dada por P(A) = P(B) = 0,35 y que P(A B) = 0.25. Determinar si las probabilidades condicionadas de A en B y B en A son iguales entretencionx1000.cl
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyecci贸n
Sol. Para determinar esta probabilidad debemos recordar que y despejando
tenemos
y reemplazando Ahora debemos encontrar la P(A/B) como ya se despejo nuestra inc贸gnita solo debemos cambiar el orden de los datos y reemplazar
Si comparamos ambas probabilidades podemos afirmar que las probabilidades condicionadas y son iguales.
43. Sean X e Y dos estaciones s铆smicas de distintas partes del mundo, la probabilidad que tiemble en X e Y al mismo tiempo es de 0,20 y se sabe tambi茅n que P(X) = 0,38 que es la misma que P(Y). determinar la probabilidad condicionada P(X/Y) y decir si estos sucesos son independientes
Sol. Para determinar la probabilidad condicionada P(X/Y) solo debemos ocupar la formula siguiente
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
44.
Si se permutan 4 términos y definimos que A₁ = a
al espacio
muestral y que en a aparece el termino i en el lugar i-esimo. Calcular entonces P(A₁ A₄)
Sol. Lo primero que debemos saber es que P(A₁ A₄) = P(A₁) + P(A₄) –P(A₁ A₄) Luego debemos encontrar las probabilidades necesarias para desarrollar la probabilidad pedida P(A₁) = P(A₄) ya que como nos dice el enunciado en “a” aparece el termino i por lo que debemos encontrar P( ) y como sabemos que son permutaciones su resultado estará dada por P( ) =
=
por consiguiente P(A₁ A₄) =
=
ahora
reemplazando tenemos que P(A₁
A₄) =
+
-
=
45. Tomando en cuenta el enunciado del ejercicio anterior en el que se permutan 4 términos y que A₁ = a al espacio muestral y que en a aparece el termino i en el lugar i-esimo. Calcular entonces P(A₁ (A₂ A₄))
Sol.
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Probabilidad de sucesos Nivel de proyección
P(A₁
(A₂
A₄)) = P(A₁) + P(A₂
A₄) - P(A₂
A₄
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A₃) =
+
-
=
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