Iniciación Inferencia Estadística Elemental by tesis Prob.esta

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Nivel de Iniciaci贸n

Inferencia Estad铆stica Elemental

Inferencia estad铆stica elemental Nivel de iniciaci贸n

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

1. Un análisis de muestreo de leche de 67 madres mostró la presencia del agente contaminante PCB en la leche de 65 de ellas. La media de estas 65 madres fue de 1,7 partes por millón (ppm) y la medición mayor fue de 10,6. Para evaluar esta medición del valor medio de contaminante en la población, se necesita la medida de variación de las mediciones de contaminación. a) Aunque no hay información al respecto del valor de , es improbable que sea mayor a 2,7 y probablemente su valor es cercana a 2. ¿Por qué? b) supongamos que . Use este valor para evaluar la precisión de la estimación ppm de la media de la población. Sol.: a) Porque ) b) Precisión

ppm

2. Los geólogos se interesan en los desplazamientos y movimientos de la superficie de la tierra indicados por las fracturas en la corteza terrestre. Con el objeto de determinar el ángulo medio de las fracturas en al falla de San Andrés, un geólogo tomó una muestra de tamaño fracturas y encontró que la media y angular media de las fracturas y obtenga una cota para el error de estimación.

Sol.: y

3. Un aumento en la proporción de ahorros de los consumidores frecuentemente se asocia con una falta de confianza en la economía y se considera un indicador de una tendencia a la recesión en la economía. Una ma(200) cuentas de ahorro en una comunidad local

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación mostró un aumento promedio en los ahorros de 7,2% en los 12 meses pasados, con una desviación estándar de 5,6%. a) Estime el porcentaje de aumento medio en las cuentas de ahorro en los 12 meses pasados. b) Encuentre una cota del error de estimación. Sol: a)

entonces el porcentaje medio es de 7,2%

Una cota del 0,9

4. Se desea estimar la producción diaria de un producto elaborado en una planta química. La producción diaria para días, tuvo una media y desviación estándar iguales a 871 toneladas y 21 toneladas respectivamente. a) Estime la producción diaria promedio. b) Obtenga la cota del error de estimación. Sol.: a) Dados

, entonces la producción diaria promedio es

Toneladas. b). La cota del error de estimación es

, pero como no conocemos

podemos aproximar su valor usando el estimador s del parámetro . Así la cota del error de estimación será: toneladas.

5. La media y la desviación estándar de la duración de una ma(100) bombillos son 1280 y 142 horas respectivamente. a) Estime la duración media de la población de bombillos de donde se obtuvo la muestra. b) Encuentre la cota para el error de estimación. Sol.: a) Dados

La estimación de la producción diaria es

horas.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

b). La cota del error de estimación es

, pero como no conocemos

, podemos aproximar su valor usando el estimador Así la cota del error de estimación será:

del parámetro . horas.

6. En el ejercicio anterior supongamos que la media de la población es realmente 1285 horas con horas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de n=100 observaciones exceda las 1300 horas? Sol.: Si

y por el TLC

7. Sabiendo que para la población de lanzamiento de una dado, y .Si se lanza un dado 5 veces, aproximadamente ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra caiga en el intervalo Sol.: Si

y por el TLC

8. Sean distribución a)

, entonces:

una muestra aleatoria de cualquier población con Dados los estimadores del parámetro µ: b)

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación i) Verificar si los estimadores son insesgados. ii) Verificar que la media de la muestra es el estimador más eficiente de µ. Sol.: i)a) b)

Ambos estimadores son insesgados. ii)a)

Efectivamente, el primer estimador tiene menor varianza y por lo tanto es más eficiente.

9. Sea . De los siguientes estimadores indicar cuáles son insesgados. a) b) c)

Sol.: a) b) Insesgado

Insesgado

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Sesgado

10. De los estimadores insesgados anteriores, indicar cuál es más eficiente. Sol.: a) b) El primer estimador por tener menor varianza es el más eficiente.

11.

De los estimadores sesgados del ítem 2, calcular el ECM. Sol.:

a) b) c)

12. En un curso de 40 alumnos, 10 tienen 16 años de edad, 14 tienen 17 años de edad y 9 tienen 18 años de edad. El resto de los alumnos

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación tienen 19 años. ¿Es la edad media mayor que la edad mediana? Justifique.

Sol.:

Como el número de alumnos es par, la mediana es el promedio del datos de lugar 20 y 21 al ordenar los datos de menor a mayor. Siendo así, la mediana es 17. Por lo tanto la edad media si es mayor a la edad mediana.

13. La duración en horas de cierta clase de focos sigue una distribución exponencial con media desconocida horas. Se toma una muestra de un solo foco al azar y se mide su duración 3en horas. Si con se estima , ¿se podría decir que es un estimador insesgado de ? Sol.: Si la media es , entonces diremos que

y por lo tanto

14. Sea una ma(20) escogida de una población con distribución Binomial de parámetro . Determinar el estimador de máxima verosimilitud de p, si en la muestra el valor 0 ocurre 4 veces, el valor 1 ocurre 9 veces y el valor 2 ocurre 7 veces. Sol.: Dada una muestra de tamaño k donde la distribución de cada variable aleatoria , f

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Despejando

resulta

Aplicando este resultado al caso particular del problema, tenemos:

15. El número de ventas diarias de cierta mercadería es una variable aleatoria X Piosson con un promedio de λ ventas por día. a) Si son las ventas de 50 días, estimar λ por el método de la máxima verosimilitud. b) Si en los 50 días se han hecho 30 ventas de tal mercadería, estimar el promedio λ de ventas diarias. Sol.: ), entonces a)

16. La captura diaria de un pescador de langostas es en total y, en libras, de langostas capturadas en un número fijo de trampas. Si la captura media por trampa es de 30 libras con libras, y si el

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación pescador tiene 50 trampas, obtenga la media y desviación estándar de la distribución y probabilidad de la captura total diaria. Sol.: Por el TLC si

entonces

, entonces 17. Obtenga el estimador de momentos del parámetro p en una población Sol.: Recordemos que en una población binomial estimador de p por el método de los momentos es

, por lo tanto el .

18. Utilizar el método de los momentos para obtener el estimador del parámetro θ en una función densidad. . Sol.: por lo tanto el Estimador por el método de los momentos de

es:

19. Considere una distribución Binomial con Calcular a) Usando una tabla de distribución acumulada. b) Usando aproximación de Binomial a normal.

Sol.: a) b) Sea

, Y= el número de éxitos. , por el TLC y usando aproximación a Normal tenemos que σ2) con μ= y σ2 =

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación =

20. Sea y una variable aleatoria Binomial con a) Usando la tabla de la distribución acumulada Binomial calcule b) Encuentre y para la distribución binomial y use la aproximación normal para calcular Sol.: a) Sea

, , por el con

Y= el número de éxitos. y usando aproximación a Normal tenemos que y

21. La media y la desviación típica de las cargas máximas soportadas por 60 cables soldados es 11,06 toneladas y 0,73 toneladas respectivamente. Encontrar los limites de confianza al 95% para la verdadera media de las cargas máxima de todos los cables producidos por la fabrica

Z por tabla

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

Sol.: Con un 95% de confianza el verdadero valor medio de las cargas soportadas en toneladas se encuentra entre (10,87; 11,24)

22. La media y la desviación típica de 40 sacos de cemento es 60 kilos y 2,5 kilos respectivamente. Encontrar los limites de confianza al 95% para la verdadera media de las cargas máxima de todos los cables producidos por la fabrica

Z por tabla

Sol.: Con un 95% de confianza el verdadero valor medio de los pesos de los sacos de cemento en kilos se encuentra entre

23. El salario medio semanal para una muestra de 40 empleados de una gran firma es de US$200 con una desviación de 15 US. Se sabe que los montos están normalmente distribuidos. Calcular el intervalo de confianza para los verdaderos ingresos medios de los salarios medios.

Z por tabla

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Sol.: Con un 95% de confianza el verdadero valor medio de los salarios medios semanal de los empleados se encuentra entre (195,95; 204,6485)

24. Los índices de toxicidad de un cierto plaguicida que se ocupan en el control de insectos en el cultivo de maíz se distribuyen normalmente. Una muestra aleatoria de 35 de estos plaguicidas que controlan las plagas arrojo una media de 90 ppm por CC de Carbaril y una desviación de 5 ppm por CC. Calcular el intervalo de confianza al 98% para la toxicidad media de los plaguicidas.

Sol.: Con un 98% de confianza el verdadero valor medio de la toxicidad de los plaguicidas se encuentra entre

25. Un ingeniero inspector de producto selecciona cuatro bolsas de cemento se pesa el contenido de cada una y se determina que el peso promedio es de 60 kilos con una desviación estándar de 2 kilos. El peso neto indicado en cada envase de la marca es de 65 kilos. Determine si el intervalo de confianza al 99% para el peso medio abarca el peso neto anunciado

T por tabla (3)

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Sol.: Con un 99% de confianza el verdadero valor medio de los pesos de las bolsas en kilos se encuentra entre , por lo tanto el peso neto indicado en el envase de 65 kilos se encuentra en el intervalo de confianza calculado. 26. Se selecciona 8 planteles lecheros se mide la producción de leche por cada uno la producción promedio es de 5250 litros de leche por día y con una desviación estándar de 200 litros. La producción estimada para el año 2010 es de 5400 litros. Determine si el intervalo de confianza al 90% para la producción media de los planteles abarca el estimado para el año 2010.

T por tabla(3)

Sol.: Con un 90% de confianza el verdadero valor medio de los pesos de las bolsas en kilos se encuentra entre (5116; 5383), por lo tanto para la producción media de los planteles abarca el estimado para el año 2010 no se encuentra en el intervalo de confianza calculado.

27. Una muestra de 10 de latas de conservas enlatadas por una maquina “A” presentaban un llenado promedio de 251 cc con una varianza de 16 cc, la planta trabaja con un estándar máximo de llenado de 255 cc. Determine si la maquina esta bien regulada y si cumple los estándares de llenado máximo con un 90% de confianza.

T- student por tabla(9)

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Límite superior Unilateral

28. Se tienen 3000 artículos producidos por una compañía donde 578 son defectuosos. Suponiendo que se le aplica el modelo binomial. Determine el intervalo de confianza al 90%.

Intervalo de confianza para la proporción Z por tabla

Sol.: Con un nivel de confianza del 90% la proporción de artículos defectuosos de la compañía se encuentra entre (0,1808; 0,2044)

29. Se quiere estimar el resultado de un nuevo estatuto mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n=150 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra. Con un nivel de significación del 5%, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.

Intervalo de confianza para la proporción Z por tabla

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Sol.: Con un nivel de significación del 5% la proporción para el verdadero resultado de las elecciones se encuentra entre (0,2737; 0,4263)

30. Tomada, al azar, una muestra de 100 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad.

Intervalo de confianza para la proporción Z por tabla

Sol.: Con un nivel de confianza del 90% la proporción para el verdadero resultado de las elecciones se encuentra entre (0,458; 0,622) F

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

31. Tomada una muestra aleatoria de 200 personas mayores de edad de Santiago, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 98%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en Santiago.

Intervalo de confianza para la proporción Z por tabla

Sol.: Con un nivel de confianza del 98% la proporción para el verdadero resultado de las elecciones se encuentra entre (0,4429; 0,6071)

32. Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos hipertensos de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos hipertensos del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 98%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de hipertensos de toda la población.

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Intervalo de confianza para la proporción Z por tabla

Sol.: Con un nivel de confianza del 98% la proporción para el verdadero resultado de las elecciones se encuentra entre (0,2259; 0,4741)

33. Una muestra aleatoria de estudiantes tomada en una universidad extranjera ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporción de estudiantes chilenos, siendo sus extremos 0,232 y 0,368. Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería la cota de error, si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de 696 estudiantes?

Z por tabla Error de estimación = Zpor tabla Error de estimación =

Para una muestra de 696 estudiantes la cota de error es de 0,034

34. Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporción de televidentes que lo prefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo una proporción muestral del 35% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota del error de estimación, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%.

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Z por tabla Error de estimación = Z por tabla Error de estimación

Para una muestra de 1000 televidentes la cota de error es de 0,026

35. En una muestra aleatoria de 600 vehículos de la ciudad de Santiago, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporción de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%.

Intervalo de confianza para la proporción

Z por tabla

Sol.: Con un nivel de confianza del 98% la proporción para el verdadero resultado de la cantidad de vehículos de color blanco se encuentra entre (0,162; 0,238)

36. Suponga que las autoridades del sindicato de conductores de camiones, creen que el ingreso promedio anual de sus miembros fue de $7000 dólares y quieren verificar esta suposición. Para ello

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación seleccionan una muestra aleatoria de 250 trabajadores y les preguntaron cuanto ganaron en ese periodo, arrojo un promedio de $7100 USS y con una desviación típica de 16000 a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo d e) se acepta H0 lo que deja de manifiesto que los conductores ganaban $7000 USS.

37. El periodo de tiempo de espera en atención al cliente de las sucursales de los bancos en la región metropolitana es de 7 minutos. Una muestra aleatoria de 45 sucursales presento una media 6,5 minutos y una desviación estándar de 1,9 minutos. Con un nivel de confianza al 98% determine si el tiempo de espera es menor al indicado.

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2” d)

e) con un nivel de confianza del 98% de acepta H0 ya que 6,42 no es mayor a la media de la muestra lo que afirma que promedio de espera es de 7 minutos.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

38. El consumo perca pita anual de carne de vacuno es de 15 kilogramos. Una muestra aleatoria de 70 personas de la región determino que el consumo promedio es de 14,7 kilogramos y una desviación de 1,1 kilogramo. Existe evidencia para suponer que el consumo es menor al mencionado con un nivel de significancia del 2%.

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 98% de rechazo H0 ya que 14,7 14,73, por lo tanto el consumo de carne es menor a 15 Kg.

39. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de 50 unidades cuyos diámetros promedio son de 1,002 centímetros y una desviación de 0,01. Con un nivel de significancia de 0.05. ¿Pruebe la hipótesis de que el diámetro promedio de piezas de esta máquina es de 1.009?

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación o d)

e) con un nivel de confianza del 95% se acepta H0 ya que evaluado de las dos formas lo que menciona el apartado anterior es falso, por lo tanto los diámetros son de 1,002 cms.

40. El peso medio de una muestra aleatoria de 60 personas de la comuna de providencia es de 63,6 kg. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 6 kg. Con un nivel de significación del 0,05, ¿hay suficientes evidencias para rechazar la afirmación de que el peso medio poblacional es de 65 kg?.

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2” d)

e) con un nivel de confianza del 95% se rechaza H0 ya que 63,6 63,73 es verdadero, por lo tanto el peso promedio de la población es menor de 65 kilogramos.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

41. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular es de 2.4 miligramos? Con α = 0.05.

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 95% se acepta H0 ya que evaluado 2,6 1,65 apartado anterior es falso, por lo tanto el contenido de nicotina es de 2,4 miligramos.

42. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio 48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones están normalmente distribuidas, pruebe la hipótesis de que la dureza Rockwell promedio es menor 48.705. Con α= .05.

a) b) Estadística a usar

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

c) Región de rechazo “método 2” d)

e) con un nivel de confianza del 95% se acepta H0 ya que evaluado 48,5 47,7 apartado anterior es falso, por lo tanto la dureza Rockwell es 48,705.

43. Un industrial desea verificar la exactitud de una nueva máquina cuando se ajusta en forma apropiada enrolla en forma automática 1760 pies de cables. Si el fabricante no tiene información alguna sobre la posible tendencia de la maquina con respecto a enrollar una cantidad superior o inferior de cable. Toma una muestra aleatoria de 25 cables preparado por la maquina y mide la cantidad y se determina una media de 1700 y una desviación de 100 pies que conclusión puede obtener el industrial. N= 25

α= 5%

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2” o d)

e) con un nivel de confianza del 95% se rechaza H0 ya que evaluado 1700 1718 apartado anterior es verdadero, por lo tanto la maquina enrolla una cantidad distinta a 1760 pies.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

44. Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografió un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. ¿Se tiene evidencia estadística para decir que el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esa escuela es menor de 80 con = .1. a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2” d)

e) con un nivel de confianza del 90% se acepta H0 ya que evaluado del apartado anterior es falso, se puede mencionar que las secretarias redactan 80 palabras por minutos en promedio.

45. Un comerciante importante desea determinar si el ingreso medio de las familias que viven en un perímetro de dos millas de un sitio de construcción es mayor a 24.000 US. ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5%, una muestra aleatoria tomada a 60 familias que viven en el perímetro establecido es de 25.524 U$ con una desviación de 763 U$

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

e) con un nivel de confianza del 95% se rechaza H0 ya que 25.524 > 24.162 es verdadero y se infiere que las personas ganan más de 24.000 dólares.

46. Una empresa de camiones de carga sospecha que la duración en promedio de 25.000 millas que se adjudica a ciertos neumáticos es demasiado larga. Para demostrar la afirmación, la empresa coloca una muestra tomada al azar de 40 neumáticos en sus camiones y descubre que su duración media es de 24.421 millas. Su se presume que la desviación estándar de la muestra que asciende a 1349 millas es realmente la verdadera ¿ Qué puede concluir con un nivel de significación del 1%, con respecto a su sospecha?

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 99% se rechaza H0 ya que 24.421 24.503 es verdadero, por lo tanto se puede concluir que la media es menor a 25.000 millas.

47. Con el fin de interesar a una compañía de autobuses para que ofrezca transporte entre una ciudad pequeña y un aeropuerto

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación cercano, la cámara de comercio afirma que cuando menos 2.000 personas utilizan el aeropuerto cada día. Para verificar afirmación, la compañía contrató a una firma de investigación de mercado, que concluyó que un promedio de 2.100 personas, con una desviación estándar de 267 personas, pasaba por el aeropuerto en 35 días seleccionados al azar. ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 10%, respecto a los intereses de la compañía de autobuses?

a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 95% rechazo H0 ya que 2100 2021, por lo tanto se puede concluir que la media es mayor a 2000 personas.

48. Teniendo una muestra con los años de duración en el cargo de tres ministros de gobierno: MINISTRO AÑOS DE SERVICIO A 6 B 2 C 4 Con esta información calcule: a.- La cantidad de muestras aleatorias de tamaño dos sin reemplazo. b.- Cada una de las medias muestrales. c.- La media de la distribución muestral. Sol.: a) N° de muestras de tamaño igual 2 es 3. b)

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

c) 49. Una técnica de laboratorio de rayos X toma lecturas de su máquina para asegurarse de que este se apega a las guías de seguridad federal. Se sabe que la desviación estándar de la cantidad de radiación emitida por la máquina es de 150 milirems, pero desea tomar lecturas hasta que el error estándar de la distribución de muestreo no sea mayor de 25 milirems. ¿Cuántas lecturas debe de tomar? Sol.: Sea

50. Dada una población finita X que consta de los valores: 3,4,7,9,12. a) Calcular la media y varianza de la población. b) Verificar que la distribución muestral de la media de las muestras de tamaño 2 escogidas con reposición tiene  x   y  x 2 

2

. n c) Verificar que la distribución muestral de la media de las muestras de tamaño 2 escogidas sin reposición tiene

d) Si se extraen muestras al azar de tamaño 36 con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 5 y 8? Sol.: a) La distribución de probabilidad de esta población finita de tamaño N=5, es la distribución uniforme en el intervalo [0,5], por lo tanto:

b) Se pueden extraer son: Muestras

muestras de tamaño dos con reposición. Estas Medias muestrales

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 3,3 4,3 7,3 9.3 12,3

3,4 4,4 7,4 9.4 12,4

3,7 4,7 7,7 9.7 12,7

3,9 4,9 7,9 9.9 12,9

La distribución de x 3 3, 4 5 f ( x ) 1/ 2/ 1/ 25 25 25

3,12 4,12 7,12 9.12 12,12

probabilidades 5 5, 6 5 2/ 2/ 1/ 25 25 25

3 3,5 5 6 7,5

3,5 4 5,5 6,5 8

5 5,5 7 8 9,5

de la media es: 6, 7 7, 8 5 5 2/ 1/ 2/ 4/ 25 25 25 25

6 6,5 8 9 10,5 9 1/ 25

7,5 8 9,5 10,5 12 9, 5 2/ 25

10 ,5 2/ 25

12 1/ 25

c) Se pueden extraer 5*4 muestras de tamaño dos sin reposición. Estas son: Muestras Medias muestrales 3,4 3,7 3,9 3,12 3,5 5 6 7,5 4,3 4,7 4,9 4,12 3,5 5,5 6,5 8 7,3 7,4 7,9 7,12 5 5,5 8 9,5 9.3 9.4 9.7 9.12 6 6,5 8 10,5 12,3 12,4 12,7 12,9 7,5 8 9,5 10,5 La distribución de probabilidades de la media es: x 3,5 5 5,5 6 6,5 7,5 8 9,5 10,5 f ( x ) 2/20 2/20 2/20 2/20 2/20 2/20 4/20 2/20 2/20

d) Sea X la media de las muestras de tamaño n=36 con reposición. La estadística X tiene media y varianza respectivas:

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

y Por lo tanto el error estándar será: Y por el TLC

entonces:

51. El numero de automóviles por familia en una ciudad es una variable aleatoria X cuya distribución de probabilidad es como sigue: x 0 1 2 3 4 f(x) 4/12 4/12 2/12 1/12 1/12 Si se escoge al azar una muestra de 49 familias. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de autos por familia esté entre 1 y 2? Sol.: La media y varianza de X son respectivamente:

, por el TLC

, por lo tanto

52. Si S2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n=15 escogida de una población normal con media μ y varianza σ2, calcular:

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación a) b) Sol.: a) Con la variable aleatoria tiene una distribución chicuadrado con 14 grados de libertad, entonces:

b) Con la variable aleatoria tiene una distribución chi-cuadrado con 14 grados de libertad, entonces:

53. Si X es la media y S 2 la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n=9, seleccionada de una población normal con media μ=90, calcular:

Sol.: En este caso la variable

, por lo tanto

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

54. Una población finita X consiste de los valores 0,2,5,8. Determine la distribución muestral de la media X para las muestras de tamaño 2 escogidas de esta población: a) Con reposición. b) Sin reposición Sol.: Sea

a) Entonces

por

TLC

con y

b) Con

, entonces por TLC

con y

55. Un industrial sospecha que más del 95% del equipo sumistrado a una fábrica, consistente en piezas de herramientas se ajusta a las especificaciones. Una verificación de una muestra aleatoria de 500 piezas, revoló que 45 eran defectuosas. Compruebe si la sospecha del fabricante es correcta con un nivel de significancia del 0,01. a) HO: H1: B) c) d) e) con un nivel de confianza del 99% se rechaza H0 ya que es verdadero, es correcta la sospecha del fabricante.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 56. Sea P la proporción que vota por el candidato A en las próximas elecciones. El candidato quiere saber si tiene posibilidades de ganar en la primera vuelta. Se toma una encuesta aleatoria a 400 personas, de las cuáles el 57% dice que va a votar por A. ¿Qué le diría usted al candidato A con un nivel de confianza del 90%? a) HO: B)

H1:

c) d) e) con un nivel de confianza del 90% se rechaza H0 ya que es verdadero, el candidato A ganaría las elecciones.

57. La proporción de fumadores adultos en New York en el año 2005 era de 25,5%. El año 2006 el departamento de salud decide hacer una encuesta para saber si ha bajado la proporción. Se realizó una encuesta telefónica a 2400 adultos. En un artículo del diario salió el resultado de la encuesta, donde decía que la proporción de fumadores no había bajado significativamente porque la proporción de fumadores en la encuesta era de 25%. Con un 99,5% de confianza determine si el diario esta en lo correcto. a) HO: B)

H1:

c) d) e) con un nivel de confianza del 99,5% se acepta H0 ya que es falso, no a disminuido la proporción de fumadores.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 58. Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 99%? a)

H0 µ 6 H1 µ 6 b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 99% se acepta H0 ya que es falso y se infiere que el promedio de la nota no es de 6.

59. Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de partida?

H0 µ H1 µ b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

e) con un nivel de confianza del 90% se rechaza H0 ya que es verdadero y se infiere que los ticket de avión tiene un valor de de mas de 120 euros.

60. La duración de las bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía? a)

H0 µ H1 µ b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 99% se rechaza H0 ya que es verdadero y se infiere que las bombillas tiene una vida útil menor a 800 horas.

61. La proporción de fumadores adultos en New York en el año 2005 era de 25,5%. El año 2006 el departamento de salud decide hacer una encuesta para saber si ha bajado la proporción. Se realizó una encuesta telefónica a 2400 adultos. En un artículo del diario salió el resultado de la encuesta, donde decía que la proporción de fumadores no había bajado significativamente porque la proporción

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación de fumadores en la encuesta era de 25%. Con un 99% de confianza determine si el diario esta en lo correcto. a) HO: B)

H1:

c) d) e) con un nivel de confianza del 99% se acepta H0 ya que es falso, no a disminuido la proporción de fumadores.

62. Según el Wall Street Journal de Mayo de 1998, el porcentaje de jóvenes entre 10 y 19 años de edad que tomaba café en 1994, fue del 8,9%. En 1998, una muestra de 742 jóvenes indicó que el 5,3% tomaba café. ¿Se justifica la conclusión de que en 1998 había un porcentaje más bajo de jóvenes que bebían café con un nivel de significancia del 0,01? a) HO: B)

H1:

c) d) e) con un nivel de confianza del 99% se rechaza H0 ya que es verdadero, concluye que bajo el porcentaje de jóvenes que bebían café.

63. En el año 2005 la proporción del consumo de salmón en la población de la ciudad de Puerto Montt era de 63%, En el año 2009 una muestra aleatoria de 600 personas arrojo que 350 consumieron salmón en el último periodo. Con un nivel de significancia del 0,1 podría usted inferir que la cantidad de salmón consumido disminuyo en el año 2009.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación a) HO: B)

H1:

c) d) e) con un nivel de confianza del 90% se rechaza H0 ya que es verdadero, concluye que la proporción de personas que consumia salmón disminuyo.

64. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 600 familias a las que se les pregunta si tienen ordenador en casa, resultando que 240 contestan afirmativamente. Obtener un intervalo de confianza al nivel del 95% para estimar la proporción real de familias que poseen ordenador. Solución:

Z por tabla 0,3608 0,4392 Con un nivel de confianza del 95%, el intervalo de confianza para la proporción se encuentra entre

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 65. En una central telefónica se seleccionan 150 llamadas, observándose que el tiempo medio que tardan en descolgar el teléfono los receptores era de 2 segundos, con una desviación típica de 0’61 seg. Se pide, para un nivel de confianza de al menos el 98%, obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio que tardan los usuarios en descolgar el teléfono.

Z por tabla

Con un 98% de confianza el verdadero valor medio para el tiempo medio que tardan los usuarios en descolgar el teléfono está entre segundos.

66. El gerente de producción afirma que las baterías que produce duran en promedio 3 años. En el control de calidad se verifican 16 baterías y si el valor de t calculado: está entre y , el fabricante está satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión sacará el fabricante si la muestra da una media de 3,8 años y una desviación estándar años? Suponga que la duración de las baterías tiene distribución normal. Sol.: Si

pequeño

, y si entonces

desconocido,

entonces donde

con no está

entre y además como el fabricante debe quedar mas que satisfecho pues el producto es mejor de lo afirmado.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 67. Un fabricante afirma que a lo más un 2% de las piezas producidas son defectuosas. Al parecer esta afirmación es exagerada, por lo que se selecciona una muestra aleatoria de 400 de tales piezas. Si la proporción muestral de defectuosos es mayor que 3% se rechaza la afirmación, en caso contrario se acepta la afirmación. a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la afirmación cuando realmente el 2% de todas las piezas producidas son defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar la afirmación cuando realmente el 4% de todas las piezas producidas son defectuosas? Sol.: a)

b).

68. Por experiencia el departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con: dinero en efectivo, con cheque o al crédito con probabilidades respectivas: y . La probabilidad de que una venta sea por más de $50000 es igual a 0,2 si esta es en efectivo, es igual a 0,9 si esta es en cheque y es igual a 0,6 si es al crédito. Si se escoge una muestra aleatoria de 356 personas que ingresan a la tienda, ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de personas que hayan comprado por más de $50000 sea al menos 50%? Sol.: Sea , y $50000 es:

la probabilidad de que un cliente compre más de

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

69. De 3000 empleados de una empresa se elige una muestra aleatoria de 300 empleados para una encuesta sobre condiciones laborales. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral a favor de las condiciones laborales esté comprendido en el intervalo y , si se estima en 80% del total de empleados el porcentaje de empleados a favor de las condiciones laborales. Sol.: Sea

, entonces

70. Si son ocho variables aleatorias independientes y distribuidas cada una normal N(10,32), calcular la probabilidad de que la varianza muestral sea menor o igual a

Sol.: Sea

, con

, la variable

entonces:

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 71. Calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 13 escogida de una población normal con varianza tenga una varianza muestral , a) Menor que b) Entre Sol.: Con

, la variable

, entonces:

72. a)

Utilizando la tabla de distribución b) c)

hallar: d)

Sol.: a)

c d)

73. Sean distribución a)

una muestra aleatoria de una población con . Dados los estimadores del parámetro : b)

i) Verificar si los estimadores son insesgados.

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación ii) Verificar que la media de la muestra es el estimador más eficiente de µ. i)a)

Ambos estimadores son insesgados. ii)a)

Efectivamente, el primer estimador tiene menor varianza y por lo tanto es más eficiente.

74. Sea insesgados. a)

. De los siguientes estimadores indicar cuáles son

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación b)

c) a) Si

insesgado b) insesgado c) Sesgado

75. De los estimadores insesgados anteriores, indicar cuál es más eficiente. a) b) El primer estimador por tener menor varianza es el más eficiente.

76.

De los estimadores sesgados del ítem 140, calcular el ECM.

luego

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación 77. Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración medias 2400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra tiene una duración media de 2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 15%? a)

H0 µ 2400 H1 b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 85% se rechaza H0 ya que es verdadero. Por lo tanto las lámparas eléctricas duran menos de 2400 horas.

78. El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación es de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica: ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 1%? a)

H0 µ 300 H1 b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

Inferencia estadística elemental Nivel de iniciación

e) con un nivel de confianza del 99% se rechaza H0 ya que es verdadero. Por lo las pilas y baterías duran menos de 300 minutos. 79. Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. ¿Se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 20%?

H0 H1 b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”

e) con un nivel de confianza del 80% se rechaza H0 ya que es verdadero. Por lo tanto el nivel medio de protombina en una población normal es menor de 20 mg/100 ml.