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Nivel de Proyecci贸n
Inferencia Estad铆stica Elemental
Inferencia estad铆stica elemental Nivel de proyecci贸n
1.
Inferencia estadística elemental Nivel de proyección
2. Para estimar la vida media de un tipo de componente electrónica se selecciona una ma(10), se les somete a prueba y se encuentra que 6 de ellas siguen funcionando después de 3000 horas. Suponiendo que la vida útil de las componentes es una va T ~ε(β), estimar la vida media de tales componentes producidas. Sol.: Sea p la proporción poblacional de tales componentes que siguen funcionando después de 3000 horas. Entonces,
De donde resulta (1) Por otra parte la estimación por máxima verosimilitud de la proporción es (2) Igualando (1) y (2) y aplicando logaritmo se tiene: entonces Finalmente la vida media es:
=
3. Dos métodos diferentes e independientes dieron lugar a dos estimadores insesgados del parámetro . Las desviaciones estándar de estos estimadores son 0.4 y 0.6 respectivamente. Los estimadores son combinados de la siguiente manera: con Hallar el valor de r que haga mínima la varianza del estimador . Sol.:
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4. Sea X1, X2, X3 … Xn una ma(n) de una población Bernoulli B(1,p). De las siguientes estadísticas:
Determinar: a) ¿Cuáles son estimadores insesgados del parámetro p? b) ¿Cuál es ellas es de varianza mínima? Sol.: a)
Es insesgado.
Es insesgado. b)
(1) Antes debemos obtener momentos.
y para ello usaremos el método de los
luego derivando 4 veces y evaluando en (2) Reemplazando (2) en (1) tenemos:
El segundo estimador tiene menor varianza.
, tenemos:
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5. De una población de variable aleatoria continua X, se extrae una muestra aleatoria , y se define la variable aleatoria Bernoulli:
a) Usando el método de máxima verosimilitud estimar la proporción p de todos los valores positivos, esto es, estimar . b) Estimar el valor p si una muestra aleatoria tamaño 80 de ha dado 64 valores positivos y 16 valores negativos. c) Si utilizando a) y b), calcular aproximadamente el valor de . Sol.: a) La distribución de cada variable aleatoria es , , aplicamos , derivamos a
con respecto
e igualamos a 0 despejando
resulta
b) c)
6. El tiempo en meses que dura una componente electrónica es una variable aleatoria T con distribución exponencial con parámetro β. Para estimar β se prueban 30 componentes y se encuentra que 18 fallan antes de los 6 meses. a) Utilizando el método de máxima verosimilitud estimar la proporción de todas las componentes que fallan antes de los 6 meses. b) Utilice el resultado de a) para estimar por máxima verosimilitud β. Sol.:
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a) Sea p la proporción poblacional de tales componentes que fallan antes de los 6 meses. La distribución de cada variable aleatoria 1 si meses 0 si meses
Aplicamos
Derivamos
con respecto a p e igualamos a 0
despejando p resulta
Luego, la estimación por máxima verosimilitud de la proporción es (1) a) Por otro lado
De donde resulta (2) Igualando (1) y (2), despejando la exponencial y aplicando logaritmo se tiene: entonces
meses
Inferencia estadística elemental Nivel de proyección
7. La longitud de cierto tipo de objeto producido por una máquina, puede estar por arriba o por debajo de la medida estándar de 2 pulgadas. Suponga que tal longitud tiene distribución N(μ, 0.0025) a) Utilizando el método de la máxima verosimilitud estime la proporción p de todos los objetos cuya longitud está por arriba de las 2 pulgadas. b) Si en una muestra de 1000 de tales objetos se encontró que 992 tenían longitud por arriba de 2 pulgadas, utilizando a) estime la media de la longitud de todos los objetos producidos. Sol.: Dada la variable longitud . Sea además la variable número de objetos cuya longitud está por arriba de las 2 pulgadas. a) La distribución de cada variable aleatoria
0 si 1 si
es:
pulgadas pulgadas
aplicamos
derivamos
con respecto a
e igualamos a 0
despejando p resulta
Luego, la estimación por máxima verosimilitud de la proporción es
b)
Inferencia estadística elemental Nivel de proyección
pulgadas
8. Una máquina produce objetos cuyo peso en gramos tiene una distribución normal N(30,σ2) , con σ desconocido. Los objetos son defectuosos si el peso es menor que 26 gr o mayor que 34 gr. Para estimar σ, se pesa cada objeto una vez hasta obtener uno defectuoso. Hallar el estimador de máxima verosimilitud de σ si en un control se halló el primer defectuosos en la decima prueba. Sol.: Si
, entonces
/
Como en una muestra el primer éxito(defectuoso) salió en la decima prueba, por lo tanto Por otro lado:
Así
, entonces
y
9. Considere como estimador de la esperanza matemática la siguiente combinación lineal de las observaciones muestrales: donde la suma de los coeficientes ci es igual a 1. Pruebe que es un estimador insesgado.
Inferencia estadística elemental Nivel de proyección
Sol.:
Es insesgado.
10.
A partir de una muestra de tamaño n de una población considere los estimadores de μ: y . ¿Cuál de los dos preferiría en términos del ECM?
Sol.:
Ambos estimadores son insesgados. Ahora calcularemos sus sesgos. y Como los sesgos al cuadrado nos darán iguales, el ECM sólo dependerá de las varianzas. Ahora veremos sus varianzas.
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Al comparar las varianzas, podemos observar que la varianza del primer estimador es menor, así que este sería el mejor estimador.
11. Pruebe que la media muestral es un estimador insesgado del parámetro θ en una distribución exponencial y que su varianza es
. ¿Es asimismo un estimador consistente?
Sol.: Sea una ma(n) extraída de una población exponencial de parámetro θ, entonces:
es insesgada la media muestral.
Como la media muestral es un estimador insesgado y además entonces diremos que la media muestral es un estimador consistente.
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12. Obtenga el estimador de máxima verosimilitud del parámetro μ en una población N(μ,25). Sol.: Si
13. Obtenga el estimador de máxima verosimilitud del parámetro en una población . Sol.: Si
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14. Obtenga el estimador de de momentos del parámetro en una distribución uniforme sobre el intervalo y pruebe que es consistente. Sol.: Recordemos que en una población uniforme estimador de
, por lo tanto el
por el método de los momentos es
.
Es insesgado. y
Entonces como el estimador es insesgado, y además la varianza para muestras grandes tiende a 0, podemos afirmar que el estimador es consistente.
15. Obtenga el estimador de momentos de los parámetros en una población Gamma Sol.: Recordemos que en una población Gamma , de modo que
, y . Para estimar por el
método de los momentos los parámetros α y λ formamos el siguiente sistema: (1) De aquí tenemos que: (2) Luego, reemplazando (3) en (2) tenemos: y esto en (3) queda
(3)
y
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16. ¿Es el estimador consistente en la estimación del parámetro de una distribución Poisson? Sol.:
El estimador es insesgado.
Y
Entonces como el estimador es insesgado, y además la varianza para muestras grandes tiende a 0, podemos afirmar que el estimador es consistente.
17. Con la finalidad de obtener información acerca del volumen de cargas que se envía en camiones por una autopista particular, el dpto. de carreteras observó la autopista durante 25 períodos de una hora seleccionados al azar, durante un mes. Se contó el número de vehículos pesados durante los períodos de una hora y se calculó la media para la muestra de los 25 períodos. Si el número de camiones pesados durante una hora tiene una distribución aproximadamente normal con : a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor a 55? b) Supongamos que se calcula el número de camiones pesados en cada uno de períodos de una hora seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor a 55? c) ¿Cual es la probabilidad de que el número total de camiones pesados en cuatro períodos de una hora sea mayor que 180? Sol.: a) Sea durante una hora .
,
el número de camiones pesados , por el TLC tenemos que
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b) Sea
, entonces, por el TLC tenemos que.
.
b) Sea y número de camiones pesados durante 4 períodos de una hora. Entonces , por el TLC tenemos que . P( X 180) 1 P( X 180) 1 P( Z
180 200 ) 1 P( Z 1, 43) 1 0, 0764 0,9236 4*7 / 4
18. Se construye un intervalo de confianza para la proporción de artículos defectuosos, el tamaño de la muestra es de 400 y el error de estimación es de 0,05 dicho intervalo fluctúa (0,1532; 0,2166). Con que nivel de confianza se desarrollo dicho estudio
Resolviendo el sistema de ecuación
Error de estimación = 0,05
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0,05 = Zpor tabla Zpor tabla Zpor tabla Zpor tabla
Sol.: El estudio se desarrollo con un nivel de confianza del 99%.
18. Una muestra aleatoria de 37 ríos de sur América arrojo una concentración de ppm que va desde (144,61 a 155,39) que representa el intervalo de confianza para la media con un promedio 150 ppm y una varianza de 225 ppm, Encuentre el nivel de significancia con el que se realizo dicho estudio.
despejando el error de estimación en cualquiera de la ecuaciones Error de estimación = Zpor tabla
DESPEJANDO
Sol.: El nivel de significancia es de 2% por lo tanto este intervalo se construyo con un 98% de confianza.”
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19. Las trazas de metales en el agua potable afectan el sabor, y las concentraciones inusualmente altas pueden poner en riesgo salud. Un estudio describe la selección de seis lugares en un rio y se determinó la concentración de zinc (mg/l) tanto para el agua superficial como la del fondo en cada lugar. 1
2
3
4
5
6
Fondo de río Superficie de río Determinar si las varianzas de las concentraciones de zinc son iguales o distintas, tanto para el agua superficial como la del fondo del rio con un 5% de significancia. X: fondo de rio = Y: superficie de río 1
2
3
4
5
6
Diferencia XY
a. ¿Es posible suponer que la concentración media de zinc es mayor en el fondo del río que en la superficie, con un 5% de significancia? X: concentración de zinc en mg/l en el fondo del rio Y: concentración de zinc en mg/l en la superficie del rio X e Y distribuyen normalmente Diferencia de medias para muestras pareadas
1
Hipótesis
2
3
4
5
6
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b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”
d)
e) con un nivel de confianza del 95% se rechaza H0 ya que evaluado apartado anterior es verdadero, por lo tanto el contenido de zinc en el fondo es mayor que en la superficie.
20. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra de n =10 de esta clase de valores. La media y desviación estándar resultaron: Ȳ = 8.71% y S = 2.1%. ¿Existe evidencia para decir que el verdadero rendimiento anual promedio es igual o mayor 8.5%? con α=0 .10
a) b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2” d)
e) con un nivel de confianza del 90% se acepta H0 ya que evaluado del apartado anterior es falso, se puede mencionar que las secretarias redactan 80 palabras por minutos en promedio.
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21. Un muestreo aleatorio de n =24 artículos en un supermercado presenta una diferencia entre el valor marcado del artículo y el valor real de éste. La media y la desviación estándar de las diferencias entre el precio marcado y el real en los 24 artículos son $37.14 y $6.42 respectivamente. Con un nivel de significancia de 0.05 pruebe que la diferencia media entre el valor marcado y el real por artículo en ese supermercado no es mayor de $40.0.
Hipótesis
b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”
d)
e) con un nivel de confianza del 95% se rechaza H0 ya que evaluado apartado anterior es verdadero, por lo tanto la diferencia es de a lo mas 40.
22. Un contratista ha construido un gran número de casas aproximadamente del mismo tamaño y del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no excede de $35,000 dólares. Un corredor de bienes raíces selecciona aleatoria mente 5 de las casas construidas recientemente por el contratista y averigua los precios que resultan ser: $34,500, $37,000, $36,000, $35,000 y $35,500. ¿Contradicen estas cinco observaciones la afirmación del contratista acerca del valor promedio de sus casas?. Use a =0.05
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Desviación
Hipótesis b) Estadístic
c) Región de rechazo “método 2”
d)
e) con un nivel de confianza del 95% no se rechaza H0 ya que evaluado apartado anterior es falso, por lo tanto las casas no exceden los 35.000 dólares de precio de venta, el contratista está equivocado.
23. Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg de 15 hombres escogidos al azar: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. con un nivel de significancia de 0.1.
Hipótesis b) Estadística a usar c) Región de rechazo “método 2”
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d) e) con un nivel de confianza del 90% se rechaza H0 ya que evaluado apartado anterior es falso, por lo tanto el promedio es de 74 kilogramos.
24. Se toma una muestra de 49 monedas de una máquina para acuñar monedas. El espesor medio de las monedas es de 0,22 cm con un desvío estándar de 0,01cm. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra se desvíe más de 0,05 de la media del proceso? Sol.: Sea
;
;
Entonces
con
y
25. Una población muy grande tiene una media de 22 y un desvío estándar de 1,6. Si se toma una muestra de 49 observaciones indique: a) Cuál es la media de la distribución de medias maestrales b) Cuáles el desvío estándar de la distribución de muestreo c) Que porcentaje de posibles valores medios de la muestra diferirán de la media de la población por más de 0.2 Sol.: Sea , Entonces a) La media de la distribución de muestreo es 22 b)
y
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El desvío estándar de la distribución de muestreo es 0,228 c) El porcentaje de medias de muestras que diferirán en más de 0,2 respecto a la media poblacional es de 37,84%.
26. La estatura de los 3000 estudiantes de una universidad, posee una media de 172 cm, con una varianza de 58 (cm)2. Si se obtienen 80 muestras de 25 estudiantes cada una: a) ¿cuál será la media y la varianza que se espera de la distribución de medias resultante? b) ¿en cuantas muestras espera encontrar que la estatura promedio sea superior a 170 cm? Sol.: Sea a) Entonces
; y
b)
Por lo tanto el número de medias muestrales que tienen media superior a 170 cm es
27. Ciertos dispositivos de un instrumento diagnóstico poseen una duración promedio de 800 h, y una desviación estándar de 60 h. Suponiendo que la variable aleatoria en juego distribuye normal, calcule la probabilidad de que la duración promedio de una muestra aleatoria de 16 de estos dispositivos sea: a) de 790 a 810 horas. b) mayor a 820 horas. R: Sea
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Entonces
con
y
a)
b)
28. Se sabe que la prevalencia de diabetes mellitus en una gran ciudad es del 5%. Si se eligen al azar 400 habitantes de esa ciudad, calcule la probabilidad de encontrar: a) un 3% ó más de diabéticos. b) entre 8 y 12 personas diabéticas. Sol.: Sea
Entonces
a)
b) Sea
y
por
el
TLC
con
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29. Una maquina empaqueta determinado producto, en paquetes cuyo peso en gramos se distribuye normalmente con una desviación estándar de de 20gr y una media μ que debe ser bien regulada. a) La media μ está bien regulada solo si el 1% de los pesos de todos los paquetes que produce la maquina tiene pesos mayores a 546,6 gr. ¿Cuánto vale μ? b) Con la media bien regulada se programa el siguiente control de peso del producto. Cada hora se escogen al azar 4 paquetes, si el promedio de los pesos no está entre 480 gr y 520 gr., se para la máquina para mantenimiento. En caso contrario se continúa el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de parar la maquina cuando en realidad está bien regulada? c) Si la maquina está bien regulada, ¿con qué tamaño de muestra se consigue que la media muestral sea a lo mas 490,2 gr. con probabilidad igual a 0,025? Sol.: Como y Entonces
b) Si
, entonces por el TLC
Entonces la probabilidad de parar la maquina cuando en realidad está bien regulada es . c) de donde
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30. En un proceso de producción el porcentaje de unidades defectuosas producidas es 4%, Para controlar el proceso se revisan periódicamente las unidades producidas. a) Calcular aproximadamente la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 150 unidades revisadas se encuentren 6% defectuosas. b) Si el proceso de producción se para al encontrar al menos 5% de unidades producidas al revisar muestras aleatorias de tamaño 100 cada vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso continúe si realmente produce 6% defectuosos del total de la producción? Sol.: a) Si normal,
b) Si
, por el TLC y utilizando aproximación binomial a tenemos: con , ), sea , por lo tanto:
, por el TLC la proporción muestral : con
y