148
Розділ 4
680°. Навколо прямокутного трикутника АВС із прямим кутом С описано коло. Знайдіть радіус кола, якщо АС = 10 см, ∠В = 30°. 681°. Точка О — центр кола, вписаного у ∆АВС. Знайдіть ∠АВО, ∠СВО, ∠САО, якщо: 1) ∠А = 50°, ∠В = 70°; 2) ∠А = ∠В = 40°; 3) ∠А = 30°, ∠В = 60°; 4) ∠А = 120°, ∠В = ∠С. 682°. У ∆KLM вписано коло з центром О. Знайдіть кути даного трикутника, якщо: 1) ∠OKL = 25°, ∠OLM = 30°; 2) ∠KMO = ∠MKO = 20°; 3) ∠MLO = 2∠OMK = 30°; 4) ∠OLK = ∠OKM = 15°. 683°. Знайдіть відношення радіуса вписаного в рівносторонній трикутник кола до радіуса описаного кола. 684°. Доведіть, що сума радіусів кіл, описаного навколо рівностороннього трикутника і вписаного в нього, дорівнює його висоті. 685°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, якщо висота трикутника дорівнює: 1) 12 см; 2) 24 см; 3) 36 см; 4) h. 686°. Знайдіть радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, якщо висота трикутника дорівнює: 1) 9 см; 2) 18 см; 3) 36 см; 4) h. 687. За якої умови точка перетину серединних перпендикулярів двох сторін трикутника лежить на його третій стороні? 688. Чи може один із катетів прямокутного трикутника дорівнювати радіусу описаного кола? Поясніть відповідь. 689. У прямокутному трикутнику кут між медіаною і бісектрисою, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 10°. Знайдіть кути трикутника. 690. На сторонах кута АВС, що дорівнює 120°, відкладено відрізки ВА = ВС = 6 см. Знайдіть радіус кола, що проходить через точки А, В, С. 691. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника АВС з основою АС, лежить на бісектрисі, проведеній з вершини В. 692. Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 120°, бічна сторона — 4 см. Знайдіть радіус описаного кола. 693. Доведіть, що центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, лежить на одній з його медіан.
149
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
697. У прямокутний трикутник АВС із прямим кутом С вписане коло, яке дотикається до катетів у точках М і N. Доведіть, що відрізки СМ і СN дорівнюють радіусу кола (мал. 377). 698. У прямокутному трикутнику гіпотенуза ділиться точкою дотику вписаного кола радіуса r на відрізки довжиною m і n. Знайдіть периметр трикутника, якщо: 1) m = 4 см, n = 6 см, r = 2 см; 2) m = 3 см, n = 10 см, r = 2 см; 3) m = 5 см, n = 12 см, r = 3 см; 4) m = 4 см, n = 21 см, r = 3 см. 699*. Доведіть, що центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.
Мал. 377
700*. У прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою с вписано коло радіуса r. Доведіть, що r =
a+b+c . 2
701*. Знайдіть радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами m і n та гіпотенузою k, якщо: 1) m : n : k = 3 : 4 : 5, Р = 24 см; 2) m : n : k = 8 : 15 : 17, Р = 12 дм; 3) m : n : k = 5 : 12 : 13, Р = 0,6 м, де Р — периметр даного трикутника. 702*. Із вершини прямого кута трикутника проведено промені через центри вписаного й описаного кіл. Кут між цими променями дорівнює 7°. Знайдіть гострі кути трикутника. 703*. Вписане у трикутник АВС коло дотикається до сторін АВ, ВС і АС відповідно в точках K, М і N. Доведіть, що AK + BM + CN = BK + CM + AN. 704*. У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до сторін у точках М, N і K (мал. 378). Доведіть, що AN = AK = p – BC, BM = BK = p – AC, CM = CN = p – AB, де р — півпериметр трикутника. 705*. До кола, вписаного в рівносторонній трикутник АВС зі стороною а, проведено дотичну, яка перетинає сторони трикутника в точках М і N (мал. 379). Знайдіть периметр трикутника ВMN. 706*. До кола, вписаного в трикутник АВС, проведено три дотичні (мал. 380). Периметри утворених трикутників AKP, BEF і CMN відповідно дорівнюють Р1, Р2, Р3. Знайдіть периметр трикутника АВС.
694. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 8 і 4 см, починаючи від основи. Знайдіть периметр трикутника. 695. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 5 : 7, починаючи від основи. Знайдіть периметр трикутника, якщо його основа дорівнює 10 см. 696. Точки дотику кола, вписаного в трикутник, ділять його сторони на відрізки, три з яких дорівнюють 4, 5 і 6 см. Знайдіть сторони трикутника.
Мал. 378
Мал. 379
Мал. 380