Відповіді та вказівки до розв'язування
9 клас 1. Для участі в лотереї було випущено лотерейні білети, кожному з яких присвоєно секретний шестицифровий номер від 000001 до 999999. Головні призи отримають гравці, які придбали білети, в секретних номерах яких, серед цифр є чотири цифри 7, що йдуть поспіль (7777), та крім того сума перших трьох цифр дорівнює сумі останніх трьох. Скільки усього існує таких суперщасливих номерів білетів серед усіх можливих? Відповідь: 17. Розв’язання. Розглянемо два випадки. 1 випадок. Комбінація 7777 йде посередині. Тоді, щоб білет став щасливим треба, щоб перша та останні цифри співпадали. Тому таких номерів рівно 9. 2 випадок. Цифри 7777 йдуть на початку числа. Тоді дві останні цифри у сумі повинні давати 14. Таких комбінацій усього чотири: 95, 59, 86 та 68. Комбінація 777777 вже врахована у першому випадку. Така ж кількість чисел, коли ці цифри йдуть наприкінці числа. Таким чином, усього таких чисел 9 8 17 .
2.
Знайдіть кількість натуральних чисел, менших 2017, квадрати яких окінчуються двома однаковими цифрами.
Розв'язання: Скористаємося тим, що точні квадрати при діленні на 4 дають залишки 0 і 1. Тоді розглянувши останні цифри й остачі при діленні на 4, одержимо, що дві останні цифри – або 00, або 44. У першому випадку підходять всі числа кратні 10 (їх 201). У другому випадку можемо перебрати можливі варіанти a для b 2 або b 8 . Одержимо числа виду 100k 12 й 100k 38 . Таких чисел 20 4 1 . Таким чином, кількість натуральних чисел, менших 2017, квадрати яких окінчуються двома однаковими цифрами дорівнює 282. Відповідь: 282.
3.
Доведіть, що паралелограм зі сторонами 2016 см та 2017 см можна розрізати рівно на 9 рівнобедрених трикутників.
Розвязання: Нехай ABCD – заданий паралелограм. Проведемо висоти BB ' , DD ' . Позначимо далі через E середину відрізка BD '. Зауважимо, що BED є рівнобедреним. Також утворилось чотири прямокутних трикутника: AB ' B, B 'BE, ED ' D і DD 'C. Для кожного з них проведемо однакові дії, що продемонструємо на трикутнику ABB . Розглянемо прямокутний трикутник ABB і нехай S1 – середина гіпотенузи AB . Тоді, як відомо, S1 є центром описаного навколо прямокутного трикутника AB ' B кола. Тому AS1=S1B=S1B '. Звідки трикутники AS1B ' і B ' S1B є рівнобедреними. Аналогічно для інших трикутників B 'BE, ED ' D і DD 'C. Отримали 9 рівнобедрених трикутників.
E
D'
B
C
S1 2
8
5
4 3
6 S2
9
7 S4
S3
1 D
A B' 4.
2 Знайдіть суму всіх дійсних коренів усіх рівнянь виду x - 15x m 0 , де m пробігає всі цілі значення від 1 до 2016.
Розв'язання: 1) Якщо корені дійсні, то D=15⋅15−4⋅m≥0. Тоді 4⋅m≤225, m≤56.25. З огляду на те, що m - ціле від 1 до 2016, отримаємо: 1≤m≤56. 2) За теоремою Вієта в рівнянні x - 15x m 0 сума коренів дорівнює 15, для кожного m. Тоді шукане число дорівнює 15⋅56=840. Відповідь: 840 2
5.
Доведіть, що a 16 b 16 c 16 d 16 2016 abcd , якщо a 0; b 0; c 0 , d 0. a 16 ab 4 a, Доведення: Використовуючи нерівність Коші, маємо: ab , отримаємо: 2 2 b 16 c 16 d 16 4 b, 4 c, 4 d 2 2 2 a 16 b 16 c 16 d 16 4 4 abcd 256 abcd , 16 a 16 b 16 c 16 d 16 46 abcd 2016 abcd .