Відповіді та вказівки до розв'язування
8 клас 1. Скільки розв'язків має числовий ребус ABA· AA AB · AAA - 7A , де A і B — різні цифри, A 0 ? Відповідь. 2. Розв'язання: Перепишемо ліву частину рівності (101A 10B)· 11A 1111A 110 AB , а праву — 2
як (10A B)· 111A - 7A 1110A 111AB 7 A , звідки A AB 7 A . Поділивши на A 0 , одержимо A = B − 7. Із того що B 9 та A 1 робимо висновок про існування розв'язків : (A = 1, В=8), (А=2, В=9) . 2
2
1 2 3 4 2016 2. Доведіть, що сума 3 3 3 3 ... 3 ділиться на 120.
Розв'язання:
Враховуючи,
3 3 3 3 ... 3 1
2
3
2012 1
3
3 3
4
2
2016
31 32 33 34 3 9 27 81 120 ,
що
маємо:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 1
2
3
4
4 1
2
3
4
3 3 . Кожний доданок ділиться на 120, значить, сума ділиться на 3
4
120. 2 спосіб. Довести подільність на 8, 3,5 та скористатись взаємною прстотою цих чисел
3. Розв’яжіть систему рівнянь 2 2 2 2 (x - 2016) - (x + 2017) = (y - 2017) - (y + 2016) ; 2 2 (x + 2) + (x - 3) 2 x (x - 4) 13 y 2016 Розв'язання:
(-2016 - 2017) (2x 1) = (2y - 1)(-2017 - 2016); y - x = 1; 6x 13 13 y 2016 6x 13 13 y 2016 Відповідь: x 288, y 287 . 4. Іра хоче розкласти 2017 цукерок по 14 вазам так, що в кожній наступній вазі або на 3 цукерки більше, або на 4 цукерки менше, ніж у попередній. Чи вдасться їй це зробити? Чи зможе вона це зробити, якщо цукерок буде 2016? Відповідь обґрунтуйте. Розв'язання: Пронумеруємо вази. Нехай в першій вазі x цукерок, тоді в другій або x 3 або x 4 (значення відрізняються на 7), в третій можливі значення x 6 або x 1 для попереднього x 3 (значення відрізняються на 7), або значення x 8 або x 1 для попереднього x 4 (значення відрізняються на 7) і т.д. Запишемо для кожної вази числа, що відповідають тількі процедурі збільшення – для першої вази число х, для другої - х+3, для третьої - х+6,..., для 14-ї - х+39. Сума виписаних чисел дорівнює 14х+273=7(2х+39), тобто ділиться на 7. Якщо число цукерок у першій вазі дорівнює х, то кількість цукерок у другій вазі або дорівнює виписаному для неї числу, або менше нього на 7. Аналогічно, для третьої вази кількість цукерок також відрізняється від виписаного для неї числа на 0, 7 або 14. Те ж саме вірно й для всіх наступних ваз. Виходить, сума цукерок у всіх вазах теж ділиться на 7. Але число 2017 на 7 не ділиться. Тому розкласти цукеркі не можна. Для 2016 цукерок це можливо. Наприклад найменше ціле x для якого 14 x 273 2016 дорівнює 125, 14* 125 273 2023 . Відповідно в першу вазу поклали 125, в інші, з другої по 13-ту, збільшуємо на 3 кожну, а в останню 14-ту на 4 менше ніж в 13-ту.
5. Чи можуть відстані від деякої точки на площині до вершин деякого квадрата цієї площини дорівнювати 1, 2016, 2018 і 2019? Розв'язання. Припустимо, що це можливо й така точка O існує. Нехай точкі A, B, C, D є вершинами квадрата (порядок розташування вершин довільний), причому OA = 2016, OB = 1. Тоді з нерівності трикутника для точок O, A, B одержуємо, що AB не більше 2017 (рівність, якщо О лежіть на АВ, при цьому О не співпадає ні з А ні з В). Можливі випадки: АВ — це сторона квадрата, або АВ діагональ. Враховуючи це, робимо висновок, , що довжина сторони квадрата не перевищує 2017. Один з відрізків BC і BD є стороною квадрата. Нехай це буде відрізок BC. Тоді в трикутнику OBC довжина OC дорівнює 2018 або 2019, OB = 1, BC не перевершує 2017. Якщо ОС=2019 і BC не перевершує 2017, або ОС=2018 і ВС менше 2017, то одержимо протиріччя з нерівністі трикутника. Якщо ж ОС=2018 і ВС=2017, то отримаємо протиріччя із умови одночасної належності точки О відрізкам АВ і ВС, при цьому О не співпадає з В. Одержимо протиріччя.Виходить ситуація, описана в умові, неможлива. Відповідь: Ні, не можуть.