124
Розділ 3
573. Кут B прямокутного трикутника ABC дорівнює 60°, катет BC — 6 см. Знайдіть відрізки, на які висота, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу.
586. Через місто А має проходити автомагістраль так, щоб два населених пункти В і С розташовувались із різних боків від неї на однаковій відстані. На малюнку 328 показано план будівництва магістралі. Поясніть, чому населені пункти будуть рівновіддаленими від автомагістралі.
574. Знайдіть AB, AD, CD і BD, якщо AC = a, BC = b, ∠ABC = 30° (мал. 326). 575. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Доведіть. 576. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 4 см, а один з катетів — 8 см. Знайдіть кути трикутника.
125
ТРИКУТНИКИ
Мал. 328
587. Як скористатися властивістю катета, що лежить проти кута 30°, для вимірювання відстаней між двома пунктами на місцевості, якщо між ними є перешкода, але до кожного з них можна підійти?
Мал. 326
577. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 6 см, кінець її віддалений від другої бічної сторони на 3 см. Знайдіть кути трикутника. 578. Із середини D сторони BC рівностороннього трикутника ABC проведено перпендикуляр DM до сторони AC. Знайдіть AM, якщо AB = 12 см. 579*. Доведіть, що коли медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то трикутник прямокутний. 580*. Кут, протилежний основі рівнобедреного трикутника, дорівнює 120°. Висота, проведена до бічної сторони, дорівнює 9 см. Знайдіть основу трикутника. 581*. У прямокутному трикутнику проведено бісектрису кута, що дорівнює 60°. Знайдіть бісектрису, якщо вона менша від більшого катета на 1 см. 582*. У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, сума гіпотенузи і меншого катета становить 45 см. Знайдіть гіпотенузу. 583*. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 15°. Знайдіть висоту, проведену з вершини прямого кута, якщо медіана, проведена з цієї вершини, дорівнює 8 см. 584*. Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 30°. Знайдіть відстань між основами медіани і висоти, проведеними з вершини прямого кута, якщо медіана дорівнює 10 см.
ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ 585. Недалеко від населених пунктів А і В проходить шосе. Потрібно побудувати автобусну зупинку так, щоб відстані від неї до населених пунктів були однакові. Місце зупинки визначили так (мал. 327): знайшли середину D відстані між населеними пунктами. Провісили пряму DC ⊥ AB і позначили на цій прямій точку C біля шосе — місце зупинки. Чи правильно визначили місце для автобусної зупинки? Поясніть.
Мал. 327
ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 3
3
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Які є види трикутників залежно від довжини їх сторін та міри їх кутів? 2. Як називають сторони рівнобедреного трикутника? Прямокутного трикутника? 3. Що таке медіана трикутника? Бісектриса? Висота? 4. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів трикутника; про властивість зовнішнього кута трикутника. 5. Які властивості має прямокутний трикутник? 6. Сформулюйте і доведіть теорему про властивості та ознаку рівнобедреного трикутника. 7. Які дві геометричні фігури називаються рівними? 8. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними; за стороною і прилеглими до неї кутами; за трьома сторонами. 9. Сформулюйте ознаки рівності прямокутних трикутників.