86
§ 2. Трикутники
241.• Точки M і K належать відповідно бічним сторонам AB і BC рівнобедреного трикутника ABC, ам = сK. Відрізки AK і CM перетинаються в точці O. Доведіть, що трикутник AOC рівнобедрений. 242.•• На сторонах AB і BC трикутника ABC позначили відповідно точки D і E так, що ∠EAC = ∠DCA. Відрізки AE і CD перетинаються в точці F, DF = EF. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений. 243.•• Через середину D сторони AB трикутника ABC проведено прямі, перпендикулярні до бісектрис кутів ABC і BAC. Ці прямі перетинають сторони AC і BC у точках M і K відповідно. Доведіть, що ам = ВK. 244.•• Медіана AM трикутника ABC перпендикулярна до його бісектриси BK. Знайдіть сторону AB, якщо BC = 16 см. 245.•• Пряма, яка проходить через вершину A трикутника ABC перпендикулярно до його медіани BD, ділить цю медіану навпіл. Знайдіть відношення довжин сторін AB і AC трикутника ABC. 246.•• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠A = 67,5°, ∠B = 22,5°, CK — бісектриса трикутника ABC, CM — бісектриса трикутника BCK (рис. 174). Доведіть, що точка M — середина відрізка AB. 247.* Довжини сторін трикутника, виражені в сантиметрах, дорівнюють трьом послідовним натуральним числам. Знайдіть сторони цього трикутника, якщо одна з його медіан перпендикулярна до однієї з його бісектрис.
B
M K
C
A Рис. 174
248.* У трикутнику ABC відомо, що AB = = 3 см, BC = 4 см, AC = 6 см. На стороні BC позначено точку M таку, що CM = 3 см. Пряма, яка проходить через точку M перпендикулярно до бісектриси кута ACB, перетинає відрізок AC