168
§ 4. Коло та круг. Геометричні побудови
На рисунку 302 точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, відрізки OM, ON, OP — радіуси, проведені в точки дотику, OM ^ AB, ON ^ BC, OP ^ AC. Оскільки OM = = ON = OP, то центр вписаного кола трикутника рівновід далений від усіх його сторін. Т е о р е м а 21.2. У будь-який трикутник можна вписати коло. Доведення. Щоб довести цю теорему, достатньо показати, що для будь-якого трикутника ABC існує точка O, яка віддалена від кожної його сторони на одну й ту саму відстань r. Тоді за наслідком з ознаки доB тичної до кола (наслідок з теореми 20.4) точка O буде центром кола радіуса r, яке дотикається до сторін AB, BC і AC. O На рисунку 303 зображено довільний трикутник ABC. Проведемо бісектриси A C кутів A і B, позначимо точку O їхнього Рис. 303 перетину. Оскільки точка O належить бісектрисі кута A, то за теоремою про бісектрису кута (теорема 19.2) ця точка рівновіддалена від сторін AB і AC. Аналогічно, оскільки точка O належить бісектрисі кута B, то вона рівновіддалена від сторін BA і BC. Отже, точка O рівновіддалена від усіх сторін трикутника. Зауважимо, що в трикутник можна вписати тільки одне коло. Це випливає з того, що бісектриси кутів A і B (рис. 303) перетинаються тільки в одній точці. Отже, існує тільки одна точка, рівновіддалена від сторін трикутника. Н а с л і д о к 1. Бісектриси кутів трикутника перетинаються в одній точці. Н а с л і д о к 2. Центр кола, вписаного в трикутник, — це точка перетину бісектрис трикутника. З а д а ч а. Доведіть, що радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, визначають за формулою r =
a+b−c 2
,
де r — радіус вписаного кола, a і b — катети, c — гіпотенуза.