98
Розділ 3
Теорема 14 Якщо в трикутнику два кути рівні, то він — рівнобедрений. Доведення. Нехай у трикутника АВС ∠B = ∠С (див. мал. 168). Доведемо, що АВ = АС. Проведемо бісектрису AL. Вона розбиває даний трикутник на два: ∆ABL і ∆ACL. У них ∠B = ∠C і ∠BAL = ∠CAL, тому ∠ALB = ∠ALC. За стороною AL і прилеглими до неї кутами ∆ВАL = ∆CAL. Отже, АВ = АС. Із теорем 12 і 14 випливає такий наслідок.
Наслідок
У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів — рівні сторони.
Теорема 15 Якщо медіана трикутника є його висотою, то цей трикутник — рівнобедрений. Доведення. Нехай у ∆ABC відрізок AL — медіана і висота (див. мал. 168). Доведемо, що цей трикутник — рівнобедрений. Розглянемо ∆ABL і ∆ACL. Якщо AL — медіана, то BL = CL. Якщо AL — висота, то ∠ALB = ∠ALC = = 90°. AL — спільна сторона цих трикутників. Тоді ∆ABL = ∆ACL за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності цих трикутників випливає, що AB = AC. Отже, ∆ABC — рівнобедрений. B
99
ТРИКУТНИКИ
Теорема 17 Якщо медіана трикутника є його бісектрисою, то цей трикутник — рівнобедрений. Доведення. Нехай BM — медіана і бісектриса трикутника ABC (мал.169), тобто AM = MC і ∠1 = ∠2. Доведемо, що ∆ABC — рівнобедрений. На промені BM відкладемо відрізок MK, який дорівнює відрізку BM. Розглянемо трикутники AMK і CMB. Ці трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними, бо AM = CM за умовою, MK = MB за побудовою, ∠3 = ∠4 як вертикальні. Із рівності цих трикутників слідує, що AK = CB і ∠5 = ∠2. А оскільки ∠2 = ∠1, то ∠5 = ∠1. Значить, ∆KAB — рівнобедрений, тобто AK = AB. Але за доведеним AK = CB. Тоді AB = CB. Отже, ∆ABC — рівнобедрений.
Д
ля допитливих
Як співвідносяться між собою трикутники і рівнобедрені трикутники? Рівнобедрені трикутники становлять тільки частину всіх трикутників. Говорять, що поняття трикутники ширше, ніж поняття рівнобедрені трикутники. Такі співвідношення прийнято зображати наочно діаграмами Ейлера (мал. 170). Трикутники, які не є рівнобедреними, називають різносторонніми трикутниками. Отже, загальне поняття трикутники можна розбити на два класи: рівнобедрені трикутники і різносторонні трикутники (мал. 171). Рівносторонні трикутники — окремий вид рівнобедренних трикутників.
A ТРИКУТНИКИ
1 2
4
А 3 B
РІВНОБЕДРЕНІ ТРИКУТНИКИ
C
РІВНОБЕДРЕНІ ТРИКУТНИКИ
РІЗНОСТОРОННІ ТРИКУТНИКИ
M
C L
ТРИКУТНИКИ
Мал. 170
Мал. 171
5
Запитання і завдання для самоконтролю K Мал. 168
Мал. 169
Теорема 16 Якщо бісектриса трикутника є його висотою, то цей трикутник — рівнобедрений. Доведіть цю теорему самостійно.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Який трикутник називають рівнобедреним? Як називають сторони рівнобедреного трикутника? Сформулюйте і доведіть властивості рівнобедреного трикутника. Сформулюйте і доведіть ознаки рівнобедреного трикутника. Який трикутник називають рівностороннім? Як співвідносяться поняття трикутники і рівнобедрені трикутники?