78
Розділ 3
кутів двох утворених трикутників, тобто 180° · 2. Отже, сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°. Довільний п’ятикутник можна розрізати на чотирикутник і трикутник або на 3 трикутники (мал. 134). Отже, сума кутів п’ятикутника дорівнює 180° • 3, тобто 540°. Спробуйте написати формулу, за якою можна обчислити суму кутів довільного n-кутника.
79
ТРИКУТНИКИ
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ Виконайте усно
Мал. 134
Запитання і завдання для самоконтролю
289. 290. 291. 292. 293.
Сума двох кутів трикутника дорівнює 80°. Знайдіть третій кут. Два кути трикутника дорівнюють по 30°. Знайдіть третій кут. Чи існує трикутник з кутами: 60°, 70° і 80°? Два кути трикутника дорівнюють 20° і 80°. Знайдіть третій кут. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо один із них дорівнює 30°.
А
1. 2. 3. 4.
Сформулюйте та доведіть теорему про суму кутів трикутника. Що таке зовнішній кут трикутника? Сформулюйте та доведіть теорему про зовнішній кут трикутника. Чи правильно, що зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжний із ним? 5. Чому дорівнює сума кутів чотирикутника?
294. Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам: 1 1 2 а) 2, 3 і 5; б) 1, 5 і 6; в) , , . 2 2 3 295. Доведіть, що сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. 296. Заповніть порожні клітинки таблиці про кути трикутника ABС.
Виконаємо разом А
∠А ∠В
1
1. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів трикутника, взятих при кожній вершині по одному? Нехай ABC — довільний трикутник. Позначимо його зовнішні кути цифрами 1, 2 і 3 (мал. 135). Перший спосіб: C Згідно з теоремою про зовнішній кут трикутника 3 ∠1 = ∠В + ∠С, ∠2 = ∠А + ∠В, ∠3 = ∠А + ∠С. 2 B Додавши окремо ліві й праві частини цих рівностей, матимемо: Мал. 135 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2 (∠А + ∠В + ∠С) = 2 · 180° = 360°. Другий спосіб: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° – ∠А + 180° – ∠В + 180° – ∠С = 540° – (∠А + ∠В + + ∠С) = 540° – 180° = 360°. Отже, сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. 2. Доведіть, що в кожному трикутнику є кут не більший за 60° і кут не менший від 60°. Якби кожний кут трикутника був менший від 60°, то сума всіх його кутів становила б менше 180°, а це неможливо. Якби кожний кут трикутника був більший за 60°, то сума всіх його кутів була б більшою за 180°, що також неможливо. Отже, у кожному трикутнику є кут, не більший за 60°, і кут, не менший від 60°.
∠С
30° 70°
20°
83° 45°
100°
45°
17°
95° 35°
54° 47° 67°
54°
297. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них: а) дорівнює другому і менший від третього на 30°; б) більший за другий на 20°, а за третій — на 40°; в) більший за другий у 2 рази, а за третій — на 10°. 298. У трикутнику ABC кути А і В дорівнюють по 65°. Знайдіть зовнішній кут трикутника при вершині С. 299. Чи може кожний зовнішній кут трикутника дорівнювати 100°? 300. Кути трикутника пропорційні числам 1, 2 і 3. Доведіть, що цей трикутник прямокутний.
Б 301. Знайдіть кути трикутника ABС, якщо ∠A + ∠B = 100° і ∠B + ∠C = = 120°. 302. ∠ABC = 30°. Під яким кутом пряма АС перетинає промінь ВС, якщо промінь ВА вона перетинає під кутом 45°? 303. СН і CL — висота і бісектриса трикутника ABС, ∠А = 60°, ∠В = 30°. Знайдіть ∠HCL. 304. CL — бісектриса трикутника ABС, ∠A = 80°, ∠B = 40°. Знайдіть: a) ∠CLA; б) під яким кутом перетинаються бісектриси кутів А і В.