Цілі вирази
Маємо тотожність, яку називають формулою різниці кубів: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2). Тричлен a2 + ab + b2 називають неповним квадратом суми виразів а і b, а формулу різниці кубів читають так: різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми. Приклад 2. Розкласти многочлен 27a3 – m6 на множники. Р о з в’ я з а н н я. Оскільки 27a3 = (3a)3 і m6 = (m2)3, то даний многочлен можна перетворити на різницю кубів: 27a3 – m6 = (3a)3 – (m2)3. Далі застосуємо формулу різниці кубів: (3a)3 – (m2)3 = (3a – m2)((3a)2 + 3am2 + (m2)2) = = (3a – m2)(9a2 + 3am2 + m4). Помінявши місцями ліві і праві частини формул суми і різниці кубів, матимемо: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3, (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3. Ці тотожності є формулами скороченого множення і дають змогу скорочено виконувати множення суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці та різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми. Добуток суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів; добуток різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми до рівнює різниці кубів цих виразів. Приклад 3. Перетворити вираз (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) на многочлен. Р о з в’ я з а н н я. Оскільки вираз x2 – 2xy + 4y2 є неповним квадратом різниці виразів x і 2y, можемо застосувати формулу суми кубів: (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) = x3 + (2y)3 = x3 + 8y3. Приклад 4. Розв’язати рівняння (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) = 125x3 – 8x.
103