Розділ 1
68 (х – а)(х + а) = х + ах – ах – а = х – а , (х2 – а2)(x2 – а2) = х4 – а2х2 – а2х2 + а4 = = х4 – 2а2х2 + а4. 2
2
2
2
Отже, (х – а)(х + а)(х2 – а2) = х4 – 2а2х2 + а4. Хочете знати ще більше? Тотожність (а + b + с )(x + у) = ах + bх + сх + ау + bу + сy для додатних значень змінних відповідає малюнку 18. Адже якщо сторони прямокутника відповідно дорівнюють а + b + с і х + у, то його площа становить: (а + b + с)(х + у), або ах + bх + сx + ау + bу + су. Отже, ці два вирази тотожно рівні.
ЦІЛІ ВИРАЗИ
Виконаємо разом! 1. Перемножте многочлени 2х + 3 і а – х. ✔ Р о з в ’ я з а н н я. (2х + 3)(а – х) = 2ха + 3а – 2х2 – 3х. 2. Спростіть вираз: 4а – 2ах – (2а – 1)(2 – х). ✔ Р о з в ’ я з а н н я. 4а – 2ах – (4а – 2 – 2ах + х) = = 4а – 2ах – 4а + 2 + 2ax – x = 2 – x. Виконайте усно 296. Подайте у вигляді многочлена добуток: а) (1 + у)(1 + x); б) (x + 1)(а + 1); в) (x – 1)(n +1); г) (1 + а)(с + 1); ґ) (1 – y)(1 + с); д) (2 – а)(с + 1). 297. Розкрийте дужки у виразі: а) (x + 1)(x +1); б) (1 – у)(1 – у); в) (а + с)(а – с). Рівень
Мал. 18 В алгебрі рівність (а + b + с)(х + у) = ах + bх + сх + ау + bу + су вважається правильною за умови, що її букви позначають не тільки додатні числа, а й будьAякі числа або вирази. Зверніть увагу: якщо тричлен помножити на двочлен, то в результаті матимемо шестичлен. Якщо перемножати многочлени, у яких відповідно k і р членів, то одержимо многочлен, що має k ⋅ р членів. Тільки після зведення подібних доданків кількість членів добутку може зменшитися. Наприклад,
(х2 +х + 1)(х – 1) = х3 +х2 + х – х2 – х – 1 = х3 – 1. Перевірте себе 1. Сформулюйте правило множення многочлена на одночлен. 2. Сформулюйте правило множення многочлена на многочлен. 3. Як можна перемножити три многочлени? А чотири? 4. Скільки членів може мати многочлен, що дорівнює добуткові двох двочленів? А двох тричленів?
69
А
298. Перемножте многочлени: a) а + b і т – п; б) х – у і х + у; в) 2а – 1 і а – 2; г) с + ах і а + х; ґ) 1 – с і а + с2; д) –а + 1 і 2а – 3. Подайте у вигляді многочлена (299—302). 299. а) (а – b)(с + d); б) (x – 2)(x – 3); в) (2x – 3)(а – b); г) (а2 – b)(а – b2). 300. а) (1 – 2xz) (1 + 2xz);
б) (0,5 + c2)(0,5 + c2);
301. а) (2x + 3) (3x – 2); в) (7c – 1) (5 – 6c);
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ г) ⎜ x + 2⎟ ⎜ x + 2⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ б) (5а – 4) (3а – 2); г) (–2п + 3) (3n – 2).
302. а) (–а – b)(с + d); в) (x2 – x + 1)(x + 1); ґ) (c + z – q)(1 – cq);
б) (–2 + c)(–3 + c); г) (p – 1)(p2 + р + 1); д) (0,5x – 1,3)(0,5x + 1,3).
в) (а2 + b)(а2 + b);
303. Чи тотожні вирази: а) (а – b)(а + b) і а2 – b2; б) (x + а)(x + а) і x2 + 2xа + а2; в) (c2 + c – 1)(c – 1) і c3– 1; г) c2 + 1 і (c + 1)(c2 – c + 1)? 304. Спроcтіть вираз: а) (x – 1)(x2 – 2x + 2); б) (1 + а)(а2 – а + 1);