Unidad 11.
b)
BACHILLERATO
Cálculo de primitivas
Matemáticas II
2
2
cos x) cos x (1 – 2cos x) cos x dx = y dx = y – cos 2x · cos x dx = – y cos x dx = –sen x + k y (1 – 2cos cos 2x cos 2x 2x
c) Teniendo en cuenta que sen 2 x · sen 2x = 1 – cos 2x sen 2x = sen 2x – sen 2x · cos 2x , obtenemos: 2 2 2
y sen 2 x · sen 2x dx = yd sen22x – sen 2x 2· cos 2x n dx = 14 y sen 2x · 2 dx – 14 y sen 2x · cos 2x · 2 dx = 2 = – 1 cos 2x – 1 sen 2x + k = – 1 cos 2x – 1 sen 2 2x + k 2 8 4 4 4
d) Teniendo en cuenta que cos 2 x – cos 2x = 1 + cos 2x – cos 2x = 1 – cos 2x , obtenemos: 2 2 2
y (cos 2 x – cos 2x) dx = yd 12 – cos22x n dx = 12 y dx – 12 y cos 2x dx = 2x – sen42x + k
28 Calcula
y (x +x 31) 2 dx
a) Por descomposición en fracciones simples. b) Mediante un cambio de variable. x 3 dx = e x – 2 + 3x + 2 o dx = (x – 2) dx + 3x + 2 dx (x + 1) 2 ( x + 1) 2 (x + 1) 2 Descomponemos la segunda integral en fracciones simples: a) I =
y
y
y
3x + 2 = A + B 8 A = 3, B = –1 (x + 1) 2 x + 1 (x + 1) 2
y
y
3x + 2 dx = 3 dx – x +1 (x + 1) 2 Sustituimos en I :
y
y
dx = 3 ln |x + 1| + 1 x +1 (x + 1) 2
2 I = x – 2x + 3 ln |x + 1| + 1 + k 2 x +1
b) Llamamos u = x + 1 → du = dx (x = u – 1) 3 x 3 dx = (u – 1) du = u 3 – 3u 2 + 3u – 1 du = e u – 3 + 3 – 1 o du = u u2 (x + 1) 2 u2 u2 2 (x + 1) 2 – 3 (x + 1) + 3 ln |x + 1| + 1 + k = u – 3u + 3 ln u + 1 + k = 2 u 2 x +1
y
y
y
y
29 Resuelve las siguientes integrales:
y x 2 +dx4x + 5 b) y x(2x ++25x) dx +3
a)
y x 3 +x2x+21+ 3x dx d) y 2xx3 +– x1 dx
c)
2 e) x +23x + 8 dx x +9
y
y (x + 1)dx 2 (x 2 + 1)
f )
a) El denominador no tiene raíces.
y
y
y
dx dx = arc tg (x + 2) + k = 2 dx = x 2 + 4x + 5 x + 4x + 4 + 1 (x + 2) 2 + 1 b) El denominador no tiene raíces. 1 (2x + 2) – 1 · 2 + 5 (x + 5) dx 2x + 2 dx + 4 2 1 = 2 dx = 1 dx = 1 I 1 + 4I 2 I= 2 2 x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3
y
y
y
42
y