Issuu on Google+

BACHILLERATO

Unidad 11. Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Resuelve Página 327

Obtención de la primitiva de algunas funciones ■■ números y potencias sencillas

y

y

y

a)  1 dx = x b)  2 dx = 2x c)   2 dx = 2 x 2 f )  3x dx = 3x 2

2 d)  2x dx = x   2 e)  x dx = x 2

y

y

y

2 x3 x3 g)  7x dx = 7x h)  x   2 dx = i)   1 x 2 dx = 3 6 2 2

y

y

y

■■ potencias de exponente entero

–1 a)  (–1)x   –2 dx = x   –1 = 1 b)  x   –2 dx = x = –1 x –1 x

y

y

–2 c)   52 dx = –5 d)   13 dx = x –3 dx = x = –12 x –2 2x x x

y y

e)   23 dx = 2 x

y

y

y

y (x –53) 3 dx =

1 dx = –2 = –1 x3 2x 2 x 2

f )  

–5 2 (x – 3) 2

■■ las raíces también son potencias

y

a)   3 x 1/2 dx = x   3/2 = x 3 2

y

y 32 x 1/2 dx = x 3/2 =

y

y

b)   3 x dx = 2 c)  7 x dx = 7

x3

x dx = 14 x 3 3

y

d)   1 x –1/2 dx = x   1/2 = x 2

y

e)   1 dx = x 2 x

y

y

5/2

f )  5 x 3 dx = 5 x 3/2 dx = 5 x = 2 x 5 5/2

■■ ¿recuerdas que

y

D (ln x) = 1 ? x

y

y

a)   1 dx = ln |   x   | b)   1 dx = 1 5 dx = 1 ln |5x | x 5x 5 5x 5

y

y

y

2 dx = 3 ln |2x + 6| c)   1 dx = ln |   x + 5   | d)   3 dx = 3 2x + 6 x +5 2 2x + 6 2 1


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

■■ algunas funciones trigonométricas

y

a)  cos x dx = sen x

y

b)  2cos x dx = 2sen x c)  cos bx + π l dx = sen c x + π m 2 2

y y

d)  cos 2x dx = 1 2

y 2cos 2x dx = 12 sen 2x

y

e)  (–sen x) dx = cos x

y

f )  sen x dx = –cos x

y

g)  sen (x – π) dx = –cos (x – π)

y

h)  sen 2x dx = 1 2

y 2sen 2x dx = –21 cos 2x

y

i)  (1 + tg   2 2x) dx = 1 2

y

j)  tg   2 2x dx =

y 2 (1 + tg 2 2x) dx = 12 tg 2x

9 (1 + tg 2 2x – 1) dx = y (1 + tg 2 2x) dx – y 1 dx = 12 tg 2x – x

■■ algunas exponenciales

y

a)  e   x – 1 dx = e    x – 1

y

b)  e   2x + 1 dx = 1 e 2x + 1 2

2


Unidad 11.

1

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Primitivas. Reglas básicas para su cálculo

Página 329 1 Halla: a)

y x   4 dx b) y (5x   3 – 8x   2 + 2x – 3) dx c) y 3 x dx

d)

y 512 y 1x dx e)

g)

y

j)

y 5x + 6x x– 2 x + 3 dx y ( 5 x – 3) 4 dx k) y 3 (7x – 6) 2 dx l)

f )

x

y x32

3 3 x + 5x 3 2x 5 dx h) i) dx dx 3x 3x 6x 4

y

y

3

2

4 3 5dx ñ) 2x 4 + 6x – 3 dx m) 2x – 6x + 5x dx n) x +2 x–2 6 – 4x

y

o)

y

y

y 7x

4

– 5x 2 + 3x – 4 dx x2

5 a) x   4 dx = x + k 5

y

4 3 b) (5x   3 – 8x   2 + 2x – 3) dx = 5 x 3 dx – 8 x 2 dx + 2 x dx – 3 dx = 5x – 8x + x 2 – 3x + k 3 4

y

y

c)

(1/3) + 1

y 3 x dx = y x 1/3 dx = x 1 3

+1

y

y

3x 3 x + k = 3 x 4/3 = +k 4 4

– (1/2) + 1

d)

y 1x dx = y x –1/2 dx = x

e)

y 5 1 2 dx = y x –2/5 dx = x

f )

y x32 dx = 3 y x –2 dx = 3 –x2 + 1 + k = – 3x + k

g)

y

5 dx = 5 x – 4 dx = 5 · x – 4 + 1 + k = – 5 + k 6 6 – 4 +1 6x 4 18x 3

h)

y

3

i)

y

3

– 1 +1 2

+ k = 2x 1/2 + k = 2 x + k

– (2/5) + 1

– 2 +1 5

x

y

5

5 x3 + k = 5 x 3/5 + k = +k 3 3

–2 + 1

y

2x dx = 3x

3

2 3

1/3

y x 1/2 dx =

x + 5x 3 dx = 3x

3

x

1/3

y x3x

dx +

3 63 2 2 –1/6 2 x – (1/6) + 1 x dx = · +k= 5 3 3 3 – 1 +1 6

y

y

6

5 x 3/2 5 1/2 dx = 1 x –2/3 dx + x dx = 3x 3 3

y

y

1/3 5 x 3/2 2 5x 3 · +k=3 x + +k = 1·x + 3 9 3 3 1 3 2 3

x5 + k


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

( 5 x – 3) 4 + 1 ( 5 x – 3) 5 +k= +k j) ( 5 x – 3) 4 dx = 1 · 4 +1 5 5 5

y

k)

3

l) m) n)

(2/3) + 1

y 3 (7x – 6) 2 dx = y (7x – 6) 2/3 dx = 17 · (7x –26) y 5x

3 + 6x 2

y 2x

4

+1

3 (7x – 6) 3 (7x – 6) 2 + k = 3 (7x – 6) 5/3 + k = +k 35 35

3 – 2x + 3 3o dx = 5x + 3x 2 – 2 x + 3 ln |x | + k dx = e 5x 2 + 6x – 2 + x 3 3

y

– 6x 3 + 5x dx = d 2x 3 – 10x 2 + 20x – 35 + 70 n dx = x 4 – 10x 3 + 10x 2 – 35x + 70 ln |x + 2| + k x +2 2 3 x +2

y

y 6 –54x dx = – 54 ln |6 – 4x| + k

4 3 4 ñ) 2x + 6x – 3 dx = d 2x 3 + 4x 2 + 8x + 22 + 41 n dx = x + 4x + 4x 2 + 22x + 41 ln |x – 2| + k x –2 x–2 2 3

y

y

4 2 4 2 o) 7x – 5x 2+ 3x – 4 dx = f 7x2 p dx – f 5x2 p dx + e 3x2 o dx – e 42 o dx = x x x x x

y

y

y

y

y

y 7x 2 dx – y 5 dx + y 3x dx – y 42 dx = 73x

=

3

x

– 5x + 3 ln |x | + 4 + k x

Página 330

y

y

y

b)  (5 cos x + 3  x) dx

2 a)  (3x – 5 tg x) dx

y

d)  (10x – 5x) dx

c)  (3 tg x – 5 cos x) dx

2 2 a)  (3x – 5 tg x) dx = 3 x dx – 5 tg x dx = 3x – 5 (– ln |cos x |) + k = 3x + 5 ln |cos x | + k 2 2

y

y

y

x b)  (5 cos x + 3  x) dx = 5 cos x dx + 3 x dx = 5sen x + 3 + k ln 3

y

y y

y

y

y

c)  (3 tg x – 5 cos x) dx = 3 tg x dx – 5 cos x dx = 3 (– ln |cos x |) – 5sen x + k = –3ln |   cos x   | – 5sen x + k x x d)  (10x – 5x) dx = 10 – 5 + k ln 10 ln 5

y

y

y

3 a)   23 dx x +1

b)   22x dx x +1

y

2

c)   x 2 – 1 dx x +1

y

a)   23 dx = 3 arctg x + k x +1

y

b)   22x dx = ln |   x   2 + 1   | + k x +1 2 c)   x 2 – 1 dx = e 1 + 2–2 o dx = x – 2arctg x + k x +1 x +1

y

y

2

y (xx 2++11)

d)  

dx =

yx

2

+ 2x + 1 dx = 1 + 2x dx = x + ln |x 2 + 1| + k e o x2 + 1 x2 + 1

y

4

2

y (xx 2++11)

d)  

dx


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Página 331 4 a)

y sen 2 x dx b) y 1 +dx9x 2 c) y 1 +dx8x 2

d)

dx e) y 25 dx y 2 + 9x 3 + 2x 2

g)

y

j)

y e 5x – 2 dx

f )

y

y

dx 1 – 9x 2

y

dx h) dx dx i) 1 – 8x 2 25 – 9x 2 3 – 2x 2

a) Restando las ecuaciones del ejercicio resuelto 2.a) de esta página, obtenemos que 1 – cos 2x = 2sen   2 x.

2x dx = y 1 dx – 1 y cos 2x dx = x – 1 y sen 2 x dx = y 1 – cos 2 2 2 2 2

b)

y 1 +dx9x 2 = y

dx = 1 arc tg 3x + k 2 3 1 + (3x)

c)

y 1 +dx8x 2 = y

dx = 1 arc tg 8 x + k 2 8 1 + ( 8 x)

d)

y 25 dx + 9x 2

e)

y 3 +dx2x 2

f )

y

dx = 1 – 9x 2

y

dx = 1 arc sen 3x + k 2 3 1 – ( 3x )

g)

y

dx = 1 – 8x 2

y

dx = 1 arc sen 8 x + k 2 8 1 – ( 8 x)

h)

y

dx = 1 2 5 25 – 9x

y

dx =1 9 2 5 1– x 25

y

i)

y

dx = 1 2 3 3 – 2x

y

dx = 1 2 2 3 1– x 3

y

y

= 1 25 = 1 3

y

dx = 1 25 9 x2 1+ 25

dx = 1 3 1 + 2 x2 3

y

y

sen 2x + k = x – sen 2x + k 2 2 4

dx = 1 · 1 arc tg 3x + k = 1 arc tg 3x + k 2 25 3 5 15 5 1+ d 3 xn 5 5 dx

= 1 · 1 arc tg 3 2 1+ d 2 xn 3 3 2

2 x + k = 6 arc tg 3 6

2 x +k 3

dx = 1 · 1 arc sen 3x + k = 1 arc sen 3x + k 2 5 3 5 3 5 3 1– d xn 5 5 dx

= 1 · 1 arc sen 2 3 2 1– d xn 3 3 2

y

j) e 5x – 2 dx = 1 e 5x – 2 + k 5

5

2 x + k = 1 arc sen 3 2

2 x +k 3


Unidad 11.

2

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Expresión compuesta de integrales inmediatas

Página 333 1 a)

y cos 5 x (–sen x) dx b) y 3 cos 2 x (–sen x) dx c) y e cos x sen x dx y

d) e x g)

y

3 + x2

y

(3x 2 + 2x) dx e) tg x 2 · 2x dx

y

3x 2 dx 1 + x6

y

6

y (cos x) 5 (–sen x) dx = cos6 x + k ,

y y

y

3 4 –e –x dx h) ln (x 2 + 1) 2x dx i) (x + 5x) 2 (4x 3 + 5) dx – 2 x 1– e

a) cos 5 x (–sen x) dx =

b)

f )

3

cos 2

x (–sen x) dx =

y

y (cos x)

2/3

ya que D[cos x] = –sen x.

(cos x) 2 + 1 3 +k = 3 (–sen x) dx = 5 2 +1 3

3

cos 5 x , porque D [cos x] = –sen x.

y

c) e cos x sen x dx = – e cos x (–sen x) dx = –e cos x + k , puesto que D[cos x] = –sen x.

y

d) e x

3 + x2

(3x 2 + 2x) dx = e x

e) 9 tg x 2 · 2x dx = f )

y

g)

y

3x 2 dx = 1+ x6

y

–e –x dx = 1 – e –2x

3

+ x2

+ k , ya que D [x   3 + x   2] = 3x   2 + 2x.

2

y sen x2 · 2x dx = – y –sen x

2

· 2x dx = – ln |cos x 2| + k , porque D [cos   2 x] = –sen x   2 · 2x. cos x 2

cos x

3x 2 dx = arc tg x 3 + k , puesto que D [x   3] = 3x   2. 1 + ( x 3) 2

y

–e –x dx = arc sen e –x , ya que D [e    –x] = –e    –x. –x 2 1 – (e )

y

h) ln (x 2 + 1) 2x dx = (x 2 + 1) ln (x 2 + 1) – (x 2 + 1) + k , porque D [x   2 + 1] = 2x. i)

y 3 (x 4 + 5x) 2 (4x 3 + 5) dx = y (x 4 + 5x) 2/3 (4x 3 + 5) dx = (x

ya que D [x   4 + 5x] = 4x   3 + 5.

4

+ 5x) (2/3) + 1 +k = 3 5 2 +1 3

3

(x 4 + 5x) 5 + k ,

Página 334 2 a)

y y

y

x 3 – 3x 2 + 5 · (x 2 – 2x) dx b) 1 1 – e2

e x

y

cos 3 x dx dx c) x sen 4 x x

y

sen x cos x dx d) (x 2 + 1) ln (x 3 + 3x) dx e) 1 + sen 4 x

f )

y e x + x e 6x +x3

xo

dx

a) Llamamos u = x   3 – 3x   2 + 5 → du = 3(x   2 – 2x) dx → du = (x 2 – 2x) dx 3

= 1 y u 1/2 du = 2 u 3/2 + k = 2 (x 3 – 3x 2 + 5) 3/2 + k = 9 x 3 – 3x 2 + 5 (x 2 – 2x) dx = y u du 3 3 6 9

= 2 (x 3 – 3x 2 + 5) 3 + k 9 6


Unidad 11.

b)

y

1 1 – e2

e x

x

x

Hacemos u = e I=

c)

y

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

dx = x

y

Matemáticas II

e

1 1 – (e x ) 2

x

x

dx = I

x x 8 du = e dx 8 2 du = e dx 2 x x

1 2 du = 2arc sen u + k = 2arc sen e x + k 2 1– u 2 (1 – sen 2 x) · cos x dx = I = < cos x 4· cos x dx = sen x sen 4 x

y cos 3 x4 dx

y

sen x

Llamamos u = sen x → du = cos x dx I=

y 1 – 4u

2

u

y

du = du4 – u

y du2 = y u – 4 du – y u –2 du = – u

1 + 1 +k =– 1 + 1 +k 3 3 u 3u 3sen x sen x

y

d) (x 2 + 1) ln (x 3 + 3x) dx = I Si u = x 3 + 3x 8 du = (3x 2 + 3) dx 8 du = (x 2 + 1) dx 3 I= e)

y ln u du3 = 13 u · ln u – 13 u + k = 13 (x 3 + 3x) ln (x 3 + 3x) – 13 (x 3 + 3x) + k

x dx = I y sen x · cos4 x dx = y sen x · cos 2 2 1 + sen x

1 + (sen x)

Llamamos u = sen 2 x 8 du = 2sen x · cos x dx 8 du = sen x · cos x dx 2 I=

y

y

f ) e x +

1 du = 1 arc tg u + k = 1 arc tg (sen 2 x) + k 2 1 + u2 2 2 xe

6x + 3 x o dx = x

ye x +

x

e 6 + 3 o dx = I x

Como D[x + x ] = 1 + 1 , hacemos u = x + x 8 du = e 1 + 1 o dx 8 6 du = e 6 + 3 o dx 2 x 2 x x I=

y e u 6 du = 6e u + k = 6e x +

x

+k

Página 335 3

y

x – 4 (x + 5) dx

Para eliminar la raíz hacemos x – 4 = t 2 8 dx = 2t dt

y

x – 4 (x + 5) dx =

y

(x = t    2 + 4)

y

y

t 2 (t 2 + 4 + 5) 2t dt = 2 t 2 (t 2 + 9) dt = 2 (t 4 + 9t 2) dt =

5 2 (x – 4) 5 = 2t + 6t 3 + k = + 6 (x – 4) 3 + k 5 5

7


Unidad 11.

4

y

3

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

x –1+x –1 dx ( x – 1) 3

Para eliminar las raíces hacemos x – 1 = t    6 → dx = 6t    5 dt (x = 1 + t    6)

y

3

x –1 + x –1 ( x – 1) 3

dx =

y

3 6

t + t6 (t 6) 3

2 6 6t 5 dt = 6 t +9 t t 5 dt = 6 e 12 + t 2 o dt = t t

y

y

y

= 6 (t –2 + t 2) dt = – 6 + 2t 3 + k = – 6 6 + 2 6 (x – 1) 3 + k t x –1 5

y

4 – x 2 dx

Hacemos el cambio x = 2sen α → dx = 2cos α dα

y

4 – x 2 dx =

=

y

4 – (2sen a) 2 2cos a da =

y2

y

4 – 4sen 2 a 2cos a da =

1 – sen 2 a 2cos a da = 4 cos 2 a da = 4 d a + sen 2a n + k = 2 4

y

= 2arc sen c x m + sen =2arc sen c x mG + k 2 2

8


Unidad 11.

3

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Integración “por partes”

Página 336 1 Calcula:

y x sen x dx Llamamos I = y x · sen x dx u = x, du = dx 3 I = –x · cos x + y cos x dx = –x · cos x + sen x + k dv = sen x dx, v = – cos x 2 Calcula:

y x arc tg x dx Llamamos I = y x · arc tg x dx u = arc tg x, du =

1 dx 1+ x2

2 dv = x dx, v = x 2

4

2 2 2 I = x arc tg x – 1 f x 2 p dx = x arc tg x – 1 e 1 – 1 2 o dx = 2 2 2 2 1+ x 1+ x

y

y

2 2 = x arc tg x – 1 [x – arc tg x] + k = x arc tg x – 1 x + 1 arc tg x + k = 2 2 2 2 2 2 = x + 1 arc tg x – 1 x + k 2 2

Página 337 3 Calcula:

y x 4 e x dx Resolvámosa integrando por partes:

u = x 4 8 du = 4x 3 dx dv = e x dx 8 v = e x

y

4

y

I = x 4 · e x – e x · 4x 3 dx = x 4 · e x – 4 x 3 · e x dx I1 =

y x 3 · e x dx = x 3 · e x – 3x 2 · e x + 6x · e x – 6e x

(Visto en el ejercicio resuelto 2 de la página 337) I = x 4 · e x – 4 [x 3 · e x – 3x 2 · e x + 6x · e x – 6e x ] + k = x 4 · e x – 4x 3 · e x + 12x 2 · e x – 24x · e x + 24e x + k

9


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

4 Calcula:

y sen 2 x dx Resolvámosla integrando por partes:

u = sen x 8 du = cos x dx 4 dv = sen x dx 8 v = – cos x

y

y

I = –sen x · cos x – (– cos x) cos x dx = –sen x · cos x + cos 2 x dx =

y

y

y

= –sen x · cos x + (1 – sen 2 x) dx = –sen x · cos x + dx – sen 2 x dx =

y

= –sen x · cos x + x – sen 2 x dx Es decir: I = –sen x · cos x + x – I 8 2I = –sen x · cos x + x 8 I = x – sen x · cos x + k 2

10


Unidad 11.

4

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Integración de funciones racionales

Página 338 1 Calcula: 2

y 3x x––54x + 1 dx y 3x x––54x + 1 dx = yd 3x + 7 + x 29– 4 n dx = 32x 2

2

+ 7x + 29 ln |x – 4| + k

2 Calcula: 2

y 3x 2–x 5+x1 + 1 dx y 3x 2–x 5+x1 + 1 dx = yd 32 x – 134 + 217x +/41 n dx = 2

3 · x 2 – 13 x – 17 ln |2x + 1| + k = 2 2 8 4

2 = 3x – 13 x – 17 ln |2x + 1| + k 8 4 4

Página 341 3 Calcula:

y

y

x 2 – 2x + 6 dx a) 5x3 – 3 dx b) ( x – 1) 3 x –x a) Descomponemos la fracción:

5x – 3 = 5x – 3 = A+ B + C 3 x x – 1 x +1 x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x –x 5x – 3 = A (x – 1) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1) x ( x – 1) ( x + 1) x3 – x 5x – 3 = A (x – 1)(x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1)

Hallamos A, B y C dando a x los valores 0, 1 y –1:

x = 0 8 –3 = – A 8 A = 3 x = 1 8 2 = 2B 8 B =1 4 x = –1 8 – 8 = 2C 8 C = – 4

Así, tenemos que:

: 5x3 – 3 dx = yd 3x + x 1– 1 – x 4+ 1 n dx = 3 ln |x | + ln |x – 1| – 4 ln |x – 1| + k x –x

b) Descomponemos la fracción:

A (x – 1) 2 + B (x – 1) + C C x 2 – 2x + 6 = A + B + = x – 1 ( x – 1) 2 ( x – 1) 3 ( x – 1) 3 (x – 1) 3

x 2 – 2x + 6 = A (x – 1) 2 + B (x – 1) + C

Dando a x los valores 1, 0 y 2, queda:

8 A =1 x =1 8 5 =C x = 0 8 6 = A – B +C 4 8 B = 0 x = 2 8 6 = A + B +C 8 C = 5

Por tanto:

yx

5 5 – 2x + 6 dx = f 1 + +k dx = ln |x – 1| – 3 3p – 1 x ( x – 1) (x – 1) 2 ( x – 1) 2

2

y

11


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

4 Calcula:

y

y

3 2 x + 8 dx b) x 3 – 4x 2 + 4x a) x + 224x – 12 dx 2 4 x – 4x x – 2x 3 – 4x 2 + 8x

a) x 4 – 4x 2 = x 2 (x 2 – 4) = x 2 (x – 2) (x + 2) Descomponemos la fracción:

x 3 + 22x 2 – 12x + 8 = A + B + C + D x x2 x – 2 x + 2 x 2 (x – 2) (x + 2)

2 2 x 3 + 22x 2 – 12x + 8 = Ax (x – 2) (x + 2) + B (x – 2) (x + 2) + Cx (x + 2) + Dx (x – 2) x 2 (x – 2) (x + 2) x 2 (x – 2) (x + 2)

x 3 + 22x 2 – 12x + 8 = Ax (x – 2) (x + 2) + B (x – 2) (x + 2) + Cx 2 (x + 2) + Dx 2 (x – 2) Hallamos A, B, C y D dando a x los valores 0, 2, –2 y 1: x =0 x =2 x = –2 x =1

8 8 8 8

8 = – 4B 80 = 16C 112 = –16D 19 = –3A – 3B + 3C – D

8 8 8 8

B = –2 C =5 D = –7 –3A = –9 8 A = 3

4

Por tanto:

yx

3

+ 22x 2 – 12x + 8 dx = e 3 – 2 + 5 – 7 o dx = x x2 x – 2 x + 2 x 4 – 4x 2

y

= 3 ln |x | + 2 + 5 ln |x – 2| – 7 ln |x + 2| + k x

b) La fracción se puede simplificar:

y

x ( x – 2) 2 x 3 – 4x 2 + 4x = 1 = 2 4 3 2 x – 2x – 4x + 8x x (x – 2) (x + 2) x + 2

x 3 – 4x 2 + 4x 1 dx = ln |x + 2| + k dx = 4 3 2 x + 2 x – 2x – 4x + 8 x

y

Página 342 5 a)

b) y 3xdx y 9xdx 2+3 2+3

c)

d) y 6xdx y 7x 2dx+ 11 2+3

a)

y 3xdx2 + 3

= 1 3

y

dx = 1 arc tg x + k x2 + 1 3

b)

y 9xdx2 + 3

= 1 3

y

dx = 1 3x 2 + 1 3

y

dx = 1 · 1 arc tg 3 x + k = 1 arc tg 3 x + k 3 3 ( 3 x) 2 + 1 3 3

c)

y 6xdx2 + 3

= 1 3

y

dx = 1 2x 2 + 1 3

y

dx = 1 · 1 arc tg 2 x + k = 1 arc tg 2 x + k 3 2 ( 2 x) 2 + 1 3 2

d)

y 7x 2dx+ 11

= 1 11 =

y

dx = 1 7 x 2 + 1 11 11

1 arc tg 77

y

dx

d

2

7 xn +1 11

= 1 · 11

7 x +k 11

12

1 arc tg 7 11

7 x +k = 11


Unidad 11.

6 a)

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

dx c) y x 2 –dx4x + 5 b) y x 2 – dx y x 2 +dx3x + 8 d) y 2x 2 – 12 4x + 10 x + 26

a) Como el polinomio x   2 – 4x + 5 no tiene raíces reales,

y

y

y

dx dx = arc tg (x – 2) + k = 2 dx = x 2 – 4x + 5 x – 4x + 4 + 1 (x – 2) 2 + 1

b) Al igual que en el apartado anterior, el polinomio x   2 – 4x + 10 no tiene raíces reales,

y

y

y

dx dx = 2 dx = =1 x – 4x + 4 + 6 (x – 2) 2 + 6 6 x 2 – 4x + 10

y

dx = 2 x–2 e o +1 6

6 arc tg e x – 2 o + k = 1 · 1 arc tg e x – 2 o + k = 6 6 1 6 6 6

c) Como el polinomio x   2 + 3x + 8 no tiene raíces,

y

y

y

y

dx dx dx = = = 1 2 23 9 9 3 2 x + 3x + 8 x +2· x + – +8 d x + 3 n + 23 4 2 4 4 2 4 2

1 23 4

=

y

f

dx = 2 3 x+ 2 +1 23 2

p

2 23 = 1 · 1 arc tg e 2x + 3 o + k = arc tg e 2x + 3 o + k 23 2 23 23 23 2x + 3 + 1 e o 4 23 23 dx

2

d) Una vez comprobado que el polinomio x   2 – 6x + 13 no tiene raíces,

y

dx =1 2x – 12x + 26 2

y

= 1 8

y

2

dx =1 x – 6x + 13 2 2

y

dx =1 x – 2 · 3x + 9 + 4 2 2

y

dx = (x – 3) 2 + 4

dx = 1 · 1 arc tg d x – 3 n + k = 1 arc tg d x – 3 n + k 2 2 2 4 x – 3 +1 8 1 d n 2 2

Página 343 7 a)

y x 2 –x4–x2+ 10 dx b) y x 2 –x 4–x11+ 10 dx c) y x 27–x4–x11+ 10 dx d) y x 25+x3+x12+ 10 dx

a)

y x 2 –x 4–x2+ 10 dx = 12 y

b)

y x 2 –x –4x11+ 10 dx = y 2

2 ( x – 2) dx = 1 2 x – 4x + 10 2

y

2x – 4 dx = 1 ln (x 2 – 4x + 10) + k 2 x – 4x + 10 2

1 (2x – 4) + 1 · 4 – 11 2 dx = 1 2 2 x – 4x + 10

y

I1 =

y

2x – 4 dx = ln (x 2 – 4x + 10) + k x 2 – 4x + 10

I2 =

y

1 1 1 dx = 2 dx = dx = 1 6 x 2 – 4x + 10 x – 4x + 4 + 6 (x – 2) 2 + 6

y

y

y

2x – 4 dx – 9 1 dx = 1 I 1 – 9I 2 2 2 x – 4x + 10 x – 4x + 10 2

y

1

6 arc tg e x – 2 o + k = 1 · 1 arc tg e x – 2 o + k = 6 6 1 6 6 6 13

2

x – 2 +1 e o 6

dx =


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Por tanto:

c)

y

3 6 x – 11 dx = 1 ln (x 2 – 4x + 10) – arc tg e x – 2 o + k 2 2 6 x – 4x + 10

y

2

7x – 11 dx = x 2 – 4x + 10

y

7 (2x – 4) + 7 · 4 – 11 2 2 dx = 7 2 x 2 – 4x + 10

y

y

2x – 4 dx + 3 1 dx = x 2 – 4x + 10 x 2 – 4x + 10

6 arc tg e x – 2 o + k = 7 ln (x 2 – 4x + 10) + 2 2 6

(Las dos últimas integrales están resueltas en los apartados anteriores).

y

d) 25x + 12 dx = x + 3x + 10

y

5 (2x + 3) – 5 · 3 + 12 2 2 dx = 5 2 x 2 + 3x + 10

y

2x + 3 dx + 9 2 x 2 + 3x + 10

I1 =

y

2x + 3 dx = ln (x 2 + 3x + 10) + k x 2 + 3x + 10

I2 =

y

dx dx = = 1 2 31 9 9 3 3 n + 31 x 2 + 2 · x + – + 10 d + x 4 2 4 4 2 4

y

y

f

y

dx = 5 I1 + 9 I2 2 x 2 + 3x + 10 2

dx = 1 2 31 x+ 3 4 2 +1 31 2

p

1 arc tg e 2x + 3 o + k = 2 arc tg e 2x + 3 o + k 2 31 31 31 31

= 1 31 4 Por tanto:

5x + 12 dx = 5 ln (x 2 + 3x + 10) + 9 arc tg e 2x + 3 o + k 2 31 31 x + 3x + 10

y

2

Página 344 8 Calcula

yx

4 + 2x 3 + 3x 2 + 3x

x 3 + 2x 2 + 3x

+ 3 dx .

Comenzamos efectuando la división: x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 3x + 3 = x + 3x + 3 3 2 3 x + 2x + 3x x + 2x 2 + 3x

yx

4

+ 2x 3 + 3x 2 + 3x + 3 dx = x + 3x + 3 3x + 3 dx e o dx = x dx + 3 3 2 3 2 x + 2x + 3x x + 2x + 3x x + 2x 2 + 3x

y

y

y

Descomponemos el cociente en fracciones simples: x   3 + 2x   2 + 3x = x (x   2 + 2x + 3)

3x + 3 = A + Mx + N 8 A = 1, M = –1, N = 1 x 3 + 2x 2 + 3x x x 2 + 2x + 3

3x + 3 = 1 + 2 –x + 1 2 x + 2x + 3x x x + 2x + 3 3

yx

4

+ 2x 3 + 3x 2 + 3x + 3 dx = x dx + 1 dx + –x + 1 dx = I + I + I 1 2 3 x x 3 + 2x 2 + 3x x 2 + 2x + 3

y

y

y

14

y

dx

2

2x + 3 + 1 e o 31

=


Unidad 11.

2

I1 =

y x dx = x2

I2 =

y 1x dx = ln |x| + k

I3 =

y

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

+k

–x + 1 dx = 2 x + 2x + 3

y

–1 (2x + 2) – –1 · 2 + 1 2 2 dx = –1 2 2 x + 2x + 3

y

2x + 2 dx + 2 x + 2x + 3 2

y

1 dx x + 2x + 3 2

Calculamos esta segunda integral:

y

y

y

1 1 1 dx = 2 dx = dx = 1 2 x 2 + 2x + 3 x + 2x + 1 + 2 (x + 1) 2 + 2

y

1

2

x +1 +1 e o 2

dx =

2 arc tg e x + 1 o + k = 1 · 1 arc tg e x + 1 o + k = 2 2 1 2 2 2 De donde I3 = –1 ln (x 2 + 2x + 3) + 2 arc tg e x + 1 o + k 2 2 Finalmente, obtenemos el resultado:

yx

4

+ 2x 3 + 3x 2 + 3x + 3 dx = x 2 + ln |x | – 1 ln (x 2 + 2x + 3) + 2 arc tg x + 1 + k e o 2 2 2 x 3 + 2x 2 + 3x

15


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Ejercicios y problemas resueltos Página 345

1. Integrales inmediatas de funciones compuestas Hazlo tú. Calcula las siguientes integrales: a)

sen 3x + cos 3x dx b) y y sen 3x – cos 3x

c)

– cos 2 x dx d) y x 2 dx y 1 sen 2x x2 + 1

3x dx x2 – 2

a) Observamos que D [sen 3x – cos 3x] = 3(cos 3x + sen 3x). Por tanto: sen 3x + cos 3x dx = 1 y 3 (cos 3x + sen 3x) dx = 1 ln |sen 3x – cos 3x | + k y sen 3 sen 3x – cos 3x 3 3 x – cos 3x

y

c)

sen x – cos x 1 sen x 1 –sen x 1 dx = y dx = y dx = – y dx = – ln |cos x | + k y 1 sen 2sen x cos x 2 cos x 2 cos x 2 2x

d)

y x 2x+ 1

3x dx = 3 2 x2 – 2 2

2

y

(x 2 – 2) (–1/2) + 1 + k = 3 x 2 – 2 + k – 1 +1 2

b)

2x dx = 3 2 x2 – 2

y (x 2 – 2) –1/2 2x dx = 32

2

2 2 dx = x +2 1 – 1 dx = x 2 + 1 dx – x +1 x +1

y

y

y

y

1 dx = dx – x2 + 1

y

1 dx = x – arc tg x + k x2 + 1

Página 346

2. Método de sustitución Hazlo tú. Aplicar el método de sustitución para resolver estas integrales: a)

yx

y

dx x dx b) 1+ x 1 – ln x

a) Hacemos el cambio 1 – ln x = t   2 → – 1 dx = 2t dt 8 dx = –2t dt x x

yx

y

y

dx = –2t dt = (–2) dt = –2t + k = –2 1 – ln x + k 1 – ln x t2

b) Usando el cambio x = t    2 → dx = 2t dt, obtenemos:

y 1 +x x dx = y

t 2 2t dt = 2 t 3 dt = 2 d t 2 – t + 1 – 1 n dt = 1+ t t +1 1 + t2

y

y

3 2 x3 x – + x – ln | x + 1| p + k = 2 e t – t + t – ln |t + 1| o + k = 2 f 3 2 3 2

16


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

3. Integración por partes Hazlo tú. a)

y arc sen 2x dx b) y x12 ln x dx

a) Integramos por partes:

*

u = arc sen x 8 du = 2 dv = dx 8 v = x

I = x · arc sen x – 2

y

1 2 2· 1– x 4

dx

– (1/2)

2 dx = x · arc sen x + e 1 + x o 2 4 2 2· 1– x 4

y

x

c – x m dx = 2

– (1/2) + 1

2 e1 – x o 4 = x · arc sen x + 2 – 1 +1 2

2 + k = x · arc sen x + 2 1 – x + k = x · arc sen x + 4 – x 2 + k 2 2 4

b) Integramos por partes:

*

u = ln x 8 du = 1 dx x dv = 12 dx 8 v = – 1 x x

y

y

I = – 1 ln x + 1 · 1 dx = – 1 ln x + 12 dx = – 1 ln x – 1 + k x x x x x x x Página 347

4. Integración por partes Hazlo tú. Calcular: a) I =

y 2x 2 cos 2x dx b) I = y e –x cos 2x dx

a) Integramos por partes:

u = 2x 2 8 du = 4x dx

* dv = cos 2x dx

I = 2x 2 · sen 2x – 2 I1 =

y x · sen 2x dx

8 v = sen 2x 2

y sen22x · 4x dx = x 2 sen 2x – 2 y x · sen 2x dx = x 2 · sen 2x – 2I 1

Aplicamos de nuevo la integración por partes:

u = x 8 du = dx

* dv = sen 2x dx

y

8 v = – cos 2x 2

I1 = –x cos 2x + cos 2x dx = –x cos 2x + 1 2 2 2 2 Finalmente:

y cos 2x dx = –x cos22x + 14 sen 2x + k

I = x 2 · sen 2x – 2I 1 = x 2 · sen 2x + x · cos 2x – 1 sen 2x + k 2 17


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y e –x · cos 2x dx = – 15 e –x (cos 2x – 2sen 2x)

b) I =

Integramos por partes: u = e –x 8 du = –e –x dx * dv = cos 2x dx 8 v = sen 2x 2

I = e –x sen 2x + 1 2 2 I1 =

y e –x sen 2x dx = e –x sen22x + 12 I 1

y e –x sen 2x dx

Integramos de nuevo por partes: u = e –x 8 du = –e –x dx

* dv = sen 2x dx

I1 = –e –x · cos 2x – 1 2 2

8 v = – – cos 2x 2

y e –x · cos 2x dx

Sustituimos I1 en I y se obtiene:

y e –x · cos 2x dx = e –x · sen22x – e –x · cos42x – 14 y e –x · cos 2x dx

Pasamos el último término al primer miembro y despejamos: 5 4

y e –x · cos 2x dx = e –x · sen22x – e –x · cos42x

8

y e –x · cos 2x dx = 25 e –x · sen 2x – 15 e –x · cos 2x + k

5. Integración de funciones racionales Hazlo tú. a)

y

a)

y

x +2 dx b) x 4 – 2x 2 + 1 x4

x +2 dx = – 2x 2 + 1

y

y 3x 22+ 4 dx

x +2 dx (x – 1) 2 (x + 1) 2

Descomponemos en fracciones simples:

x +2 B = A + + C + D 2 8 A = – 1, B = 3, C = 1, D = 1 2 2 2 x – 1 x + 1 (x + 1) 2 2 4 4 (x – 1) (x + 1) (x – 1)

y

x +2 dx = – 1 2 x – 2x 2 + 1

b)

4

y x 1– 1 dx + 34 y

1 dx + 1 2 ( x – 1) 2

y x 1+ 1 dx + 14 y

1 dx = (x + 1) 2

3 1 = – 1 ln (x – 1) – + 1 ln (x + 1) – +k 2 4 ( x – 1) 2 4 ( x + 1)

y 3x 22+ 4 dx = 24 y

3xo 3xo = 1 · 1 arc tg e + k = 1 arc tg e +k 2 2 2 3 3 3x e o +1 2 2 1

2

18


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Página 348

6. Integrales racionales con raíces reales y complejas Hazlo tú. Calcula

y xx3+–21 dx .

y xx3+–21 dx = y

x +2 dx ( x – 1) ( x 2 + x + 1) Descomponemos en fracciones simples: + N 8 A = 1, M = –1, N = –1 x +2 = A + Mx 2 2 x – 1 (x – 1) (x + x + 1) x + x +1

I =

I1 =

y

y

x +2 1 dx – dx = 2 –1 x ( x – 1) ( x + x + 1)

y

x + 1 dx = x2 + x + 1

y

y

x + 1 dx = ln |x – 1| – I 1 x + x +1 2

1 (2x + 1) – 1 + 1 2 2 dx = 1 2 x2 + x + 1

y

2x + 1 dx + 1 2 x2 + x + 1

y

1 dx = x2 + x + 1

= 1 ln (x 2 + x + 1) + 1 I 2 2 2

I2 =

y

1

x2 + 2 · 1 x + 1 – 1 + 1 2 4 4

= 1 3 4

y

dx =

y

1 dx = 1 2 3 dx + 1 n + 3 4 2 4

y

f

1 x+ 1 2 3 2

dx =

2

p

+1

dx = 1 · 1 arc tg e 2x + 1 o + k = 2 arc tg e 2x + 1 o + k 3 2 3 3 3 2x + 1 + 1 4 e o 3 3 1

2

Sustituimos en I1:

I1 = 1 ln (x 2 + x + 1) + 1 arc tg e 2x + 1 o + k 2 3 3 Sustituimos en I:

I = ln |   x – 1   | – 1 ln (x 2 + x + 1) – 1 arc tg e 2x + 1 o + k 2 3 3

7. Integrales de diversos tipos Hazlo tú. a)

y 1+x x dx b) y (e 2x – 1e)x(e x + 1) dx c) y [cos (2x) + sen x cos x] dx

a) Llamamos u = x 8 du = 1 dx 8 2u du = dx 2 x I=

y 1 +u u 2u du = 2 y 1u+ u du = 2 yd u – 1 + u 1+ 1 n du = 2

2 = 2 e u – u + ln |u + 1| o + k = 2 c x – x + ln ( x + 1) m + k 2 2

19


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

b) Llamamos u = e    x → du = e    x dx

I=

y

y

du du = (u 2 – 1) (u + 1) (u – 1) (u + 1) 2

Descomponemos en fracciones simples: 1 –1 –1 2 4 1 4 = + + (u – 1) (u + 1) 2 u – 1 u + 1 (u + 1) 2 I= 1 4

y u 1– 1 du – 14 y u 1+ 1 du – 12 y

1 du = 1 ln |u – 1| – 1 ln |u + 1| + 1 1 + k = 2 2 u +1 4 4 ( u + 1)

1 = 1 ln |e x – 1| – 1 ln (e x + 1) + +k x 4 4 2 ( e + 1)

2 c) : (cos 2x + sen x · cos x) dx = cos 2x dx + sen x · cos x dx = sen 2x + sen x + k 2 2 En la segunda integral se ha tenido en cuenta que D [sen x] = cos x.

y

y

8. Primitiva que cumple una condición Hazlo tú. Halla f (x) sabiendo que f (0) = 1, f ' (0) = 2 y f '' (x) = 3x. f ' (x) =

y 3x dx = 32x

2

+ k1

f ' (0) = 2 → k1 = 2 2 3 f (x) = e 3x + 2 o dx = x + 2x + k 2 2 2

y

f (0) = 1 → k2 = 1 3 f (x) = x + 2x + 1 2

20


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Ejercicios y problemas guiados Página 349

1. Curva de la que se conocen las pendientes de las rectas tangentes Hallar la curva en la que las pendientes de las rectas tangentes en cualquier punto vienen dadas por la función f (x) = xe   2x. Se sabe también que la curva pasa por el punto A (0, 2). Si llamamos F (x) a la función buscada, esta cumple dos condiciones: F ' (x) = x · e   2x

F (0) = 2 para que pase por el punto A. Por tanto,

F (x) = 9 x · e 2x dx

Integramos por partes:

u = x 8 du = dx

* dv = e 2x dx

2x F (x) = x · e – 2

2x 8 v= e 2 2x

y e2

dx = 1 x · e 2x – 1 e 2x + k 2 4 9 1 F (0) = 2 → – + k = 2 8 k = 4 4

Así, F (x) = 1 x · e 2x – 1 e 2x + 9 . 2 4 4

2. Función derivable Hallar una función f (x) derivable en Á, que pase por el punto P (–1, 3) y cuya derivada es: 2x – 1 si x ≤ 1 f ' (x) = * 1 si x > 1 x Calculamos las primitivas de los dos tramos: f1(x) = (2x – 1) dx = x 2 – x + k 1 f2(x) = 1 dx = ln x + k 2 , ya que x > 1. x

y

y

Como pasa por el punto P  :

f1(–1) = 3 → 2 + k1 = 3 → k1 = 1

Así:

f (x) = *

x 2 – x + 1 si x ≤ 1 ln x + k 2 si x > 1

Como f (x) es derivable en Á, debe ser continua en Á y, en particular, en x = 1.

f (1) = 1 lím f (x) =

x 81

*

l ím ( x 2 – x + 1) = 1

x 8 1–

lím + (ln x + k 2) = k 2

→ k2 = 1

x 81

Con el valor de k2 obtenido se cumplen todas las condiciones y la función es:

f (x) = *

x 2 – x + 1 si x ≤ 1 ln x + 1 si x > 1 21


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

3. Integración de un valor absoluto Dada la función f (x) = x – 2, calcular 2

y | f (x)| dx .

Definimos la función por intervalos: x – 2=0 8 x =4 2 – x + 2 si x < 4 | f (x)| = * 2 x – 2 si x ≥ 4 2 Integramos cada tramo:

yc – 2x + 2 m dx = – x4

yc 2x – 2 m dx = x4

2

2

F (x) =

y

+ 2x + k 1

– 2x + k 2

*

2 – x + 2x + k 1 si x < 4 | f (x)| dx = 24 x – 2x + k si x ≥ 4 2 4

Como la función debe ser continua en x = 4: 2 F (4) = 4 – 2 · 4 + k 2 = – 4 + k 2 4

lím F (x) =

x84

*

2 lím – e – x + 2x + k 1 o = 4 + k 1 4 x84 2 l ím + e x – 2 x + k 2 o = – 4 + k 2 4 x84

→ 4 + k1 = –   4 + k2 → k2 = 8 + k1

Es decir:

*

2 – x + 2x + k si x < 4 4 F (x) = x 2 – 2x + 8 + k si x ≥ 4 4

4. Gráficas de primitivas Hallar una primitiva F (x) de la función f (x) = 2x – 4 tal que su gráfica corte al eje X en un único punto. F (x) =

y (2x – 4) dx = x 2 – 4x + k

Para que F (x) corte al eje X en un único punto, la expresión de F (x) debe ser un cuadrado perfecto. Por tanto:

F (x) = x   2 – 4x + 4 = (x – 2)2

y el único punto de corte con el eje X es el punto (2, 0).

22


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Ejercicios y problemas propuestos Página 350

Para practicar Integrales casi inmediatas 1 Calcula las siguientes integrales: 2 a) 4x – 5x + 7 dx 2

y

b) x3dx x

c)

y 2x1+ 7 dx

d) (x – sen x) dx

a)

y 4x

2

y y

y

– 5x + 7 dx = d 2x 2 – 5 x + 7 n dx = 2x 3 – 5x 2 + 7 x + k 2 2 2 3 2 4

b) x3 dx = x c)

y

y

5/3

y x 1dx/3 = y x 2/3 dx = x 5 x

1 dx = 1 ln |2x + 7| + k 2x + 7 2

+k=

3

3 3 x5 +k 5

2 d) (x – sen x) dx = x + cos x + k 2

y

2 Resuelve estas integrales:

y c) y

y d) ( y cos x + e x) dx b)  (x – 5)3 dx

a) (x 2 + 1) 2 dx 3x + 5 dx 5

y

a) (x 2 + 1) 2 dx =

y

b)  (x – 5)3 dx = c)

y

y (x 4 + 2x 2 + 1) dx = x5

( x – 5) 4 +k 4

3x + 5 dx = 1 3

y

d) (cos x + e x ) dx =

3 + 2x + x + k 3

(3x + 5) 3/2 + k = 2 (3x + 5) 3 + k 3 9 2 cos x dx + e x dx = sen x + e x + k

y (3x + 5) 1/2 3 dx = 13 y

y

3 Calcula: a)

y3

y cos72 x dx

x 2 dx 2

b)

y

y

d) (e 2x + 3e –x ) dx

c) sen (x – 4) dx x 2 dx = 1 3 2 2

a)

y3

b)

y cos72 x dx = 7tg x + k

x 5/3 + k = 3 2 5 53 2 3

y x 2/3 dx = 31

3

x5 + k

y

c) sen (x – 4) dx = –cos (x – 4) + k

y

d) (e 2x + 3e –x ) dx =

y e 2x dx + y 3e –x dx = 12 y e 2x 2 dx – 3 y e –x (–1) dx = 12 e 2x – 3e –x + k 23


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

4 Halla las siguientes integrales: x+ x dx c) dx a) c 2 + 22 m dx b) 3 x x x2 ( x – 1)

y

y

d)

y

y 1–+8x 2 dx e) y  1 3+xx 2 dx f ) y  2 –x 2x 3 dx

a) d 2 + 22 n dx = 2 1 dx + 2 x –2 dx = 2 ln |x | – 2 + k x x x x

y

y

y

b)

= y (x – 1) –3 dx = – y (x dx 3 – 1)

c)

y x +x 2 x dx = yd 1x + x –3/2 n dx = ln |x| –

d)

y 1–+8x 2 dx = –  8arc tg x + k y

e)   3x 2 dx = 3 2 1+ x

y

2 f )   x 3 dx = – 1 3 2–x

y

1 +k 2 ( x – 1) 2 2 +k x

2x dx = 3 ln (1 + x 2) + k 2 1 + x2

y

–3x 2 dx = – 1 ln |2 – x 3| + k 3 2 – x3

5 Resuelve las integrales siguientes:

y

y

y

y

1 dx   dx 2 c)   3x – 4 dx d)  5 a)   dx b) 3x – 4 (3x – 4) ( 3x – 4) 3

y

a)   dx = 1 3 3x – 4

y (3x dx– 4) 2

b)  

y 3x3dx– 4 = 13 ln |3x – 4| + k

= 1 3

y

c)   3x – 4 dx = 1 3

y

d)  5

y (3x – 4) –2 3 dx = – 3 (3x1– 4) + k y (3x – 4) 1/2 3 dx = 13

1 dx = 1 3 (3x – 4) 3

(3x – 4) 3/2 + k = 2 (3x – 4) 3 + k 3 9 2

y (3x – 4) –3/5 3 dx = 13

(3x – 4) 2/5 +k = 5 2 6 5

5

(3x – 4) 2 + k

6 Halla las siguientes integrales del tipo exponencial:

y

y

y

y

 e   –2x + 9 dx c)  e   5x dx d)  (3x – x   3) dx a)  e   x – 4 dx b)

y

a)  e   x – 4 dx = e    x – 4 + k

y

b)  e   –2x + 9 dx = –1 2

y

c)  e   5x dx = 1 5

y –2e –2x + 9 dx = –21 e –2x + 9 + k

y 5e 5x dx = 15 e 5x + k

x 4 d)  (3x – x   3) dx = 3 – x + k 4 ln 3

y

24


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

7 Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente: a)

dx b) d) y 1 +225 y  1005xdx2 + 1 c) y  34+dx y  4 dx 3x 2 + x2 x2

y

y

a)

dx = y y 1 +225 x2

y

2 dx = 2 arc tg 5x + k 1 + (5x) 2 5

y 1005xdx2 + 1 = y

5 dx = 5 arc tg 10x + k = 1 arc tg 10x + k 2 (10x) 2 + 1 10

b)  

y

y

y

y

c)   4 dx 2 = 3 + 3x d)   dx 2 = 4+ x

y

x f )   dx 2 g)   dx 2 h)   e 2x dx 2 + 4x 1+ e 9+x

e)   dx 2 4 + 9x

4 dx = 4 3 (1 + x 2) 3

1/4 dx = 1 2 2 1+ c x m 2

x h)   e 2x dx = 1+ e

1/2 dx = 1 arc tg c x m + k 2 2 2 1+ c x m 2

2 arc tg ( 2 x) + k = 1 · 1 arc tg e 2x o + k = 2 2 4 2 2 x 1+ e o 2 2 ex dx = arc tg (e x ) + k x 2 1 + (e )

y

y

g)   dx 2 = 1 2 2 + 4x

y

dx = 1 · 1 arc tg c x m + k = 1 arc tg c x m + k 2 9 1 3 3 3 1+ c x m 3 3

y

y

f )   dx 2 = 1 9 9+ x

dx = 4 arc tg x + k 1 + x2 3

dx = 1 · 1 arc tg d 3x n + k = 1 arc tg d 3x n + k 2 2 6 2 4 3 1 + d 3x n 2 2

y

y

e)   dx 2 = 1 4 4 + 9x

y

y

y

dx

2

8 Expresa el cociente de la forma P = C + R y resuelve: Q Q 2 2 x   x – 5x + 4 dx a)   dx b) x +1 x –3

y

y

y

y

2 2 c)   x – 1 dx d)   2x + 2x + 4 dx x +2 x +2 3 2 f )   x – 3x + x – 1 dx x–2

y

y

3 e)   2x dx x –1

2 9 dx = x 2 + 3x + 9ln |x – 3| + k a)   x dx = d x + 3 + 9 n dx = x dx + 3 dx + x –3 x –3 x –3 2

y

y

y

y

y

2 2 b)   x – 5x + 4 dx = d x – 6 + 10 n dx = x – 6x + 10 ln |x + 1| + k x +1 x +1 2

y

y

2 3 dx = x 2 – 2x + 3ln |x + 2| + k c)   x – 1 dx = d x – 2 + 3 n dx = x dx – 2 dx + x +2 x +2 x +2 2

y

y

y

y

y

2 8 dx = x 2 – 2x + 8ln |x + 2| + k d)   2x + 2x + 4 dx = d 2x – 2 + 8 n dx = 2x dx – 2 dx + x +2 x +2 x +2

y

y

y

y

y

3 e)   2x dx = d x + 2 x n dx = x dx + 2 x dx = x dx + 1 2 x –1 x –1 x –1

y

y

y

y

y

y

2x dx = x 2 + 1 ln |x 2 – 1| + k 2 2 x2 – 1

3 2 f )   x – 3x + x – 1 dx = d x 2 – x – 1 – 3 n dx = x 2 dx – x dx – dx – 3 dx = x–2 x–2 x –2

y

y

y

y

3 2 = x – x – x – 3ln |x – 2| + k 3 2 25

y


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

9 Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno:

y

dx b) dx 1   dx c)     dx d) 1 – 4x 2 x · 1 – (ln x) 2 1 – 100x 2 4 – x2

y

y

dx = 1 2 2 1 – 4x

a)   a)  

y

b)   dx = 4 – x2

y y

y

y

y

2 dx = 1 arc sen (2x) + k 2 2 1 – ( 2x )

1/2 dx = arc sen c x m + k 2 x 2 1– c m 2

y

1 dx = 1 2 10 1 – 100x

c)   d)  

y

y

y

10 dx = 1 arc sen 10x + k 2 10 1 – (10x)

dx = arc sen ln x + k, ya que D [ln x] = 1 . 2 x x · 1 – (ln x)

10 Resuelve las siguientes integrales:

y

y

  sen x5 dx c)   2x dx d)   x dx a)  sen x cos x dx b) cos x 9 – x2 x2 + 5 2 a)  sen x · cos x dx = sen x + k 2

y

–4 b)   sen x5 dx = – (–sen x) · cos –5 x dx = – cos x + k = 14 + k –4 cos x 4cos x

y

y

(9 – x 2) c)   2x dx = – –2x (9 – x 2) –1/2 dx = – 1 9 – x2 2

y

y

y

y 2x (x 2 + 5) –1/2 dx = 12

d)   x dx = 1 2 x2 + 5

1/2

+ k = –2 9 – x 2 + k

(x 2 + 5) 1/2 = x2 + 5 + k 1 2

11 Resuelve las siguientes integrales:

y y

y y

y y

  arc sen x dx c)   (1 + cos x) 3 sen x dx a)   x 2 – 2x (x – 1) dx b) 1 – x2 2 x (1 + ln x) 2 dx e) d)     2x 3 2 dx f )   e x dx x (2 – x ) 1+ e

y

a)   x 2 – 2x (x – 1) dx = 1 2

y

b)   arc sen x dx = 1 – x2

y

y

x 2 – 2x (2x – 2) dx = 1 2

y (x 2 – 2x) 1/2 (2x – 2) dx =

(x 2 – 2x) 3/2 (x 2 – 2x) 3 = 1 +k= +k 3 3 2 2 2 1 arc sen x dx = arc sen x + k 2 1 – x2

y

y

c)   (1 + cos x) 3 sen x dx = – (1 + cos x) 3/2 (–sen x) dx = –

y (1 + lnx x)

d)  

2

dx =

y (1 + ln x) 2 · 1x dx = (1 + ln3 x)

y (2 –2xx23) 2 dx = 23 y

e)  

x f )   e x dx = 1+ e

y

3x 2 dx = 2 3 (2 – x 3) 2

3

+k

–2 (1 + cos x) 5 (1 + cos x) 5/2 +k = +k 5 5 2

y (2 – x 3) –2 3x 2 dx = – x 1/2

y (1 + e x) –1/2 e x dx = (1 + e1 )

+ k = 2 ex + 1 + k

2

26

2 +k 3 (x 3 – 2)


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Integración por partes 12 Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales:

y

y

y

y

 x   2 ln x dx a)  x e2x dx b) c)  3x cos x dx d)  ln (2x – 1) dx

y

y

e)   xx dx e

f )  arc cos x dx

y

a)  x e2x dx

u = x 8 du = dx

* dv = e 2x dx

8 v = 1 e 2x 2 – 1 e 2x dx = x e 2x – 1 e 2x + k 2 2 4

y x e 2x dx = 2x e 2x y y

b)  x   2 ln x dx

*

u = ln x 8 du = 1 dx x 3 dv = x 2 dx 8 v = x 2

y x 2 ln x dx = x y

3

ln x – 3

2

y x3

3 3 dx = x ln x – x + k 3 9

y

c)  3x cos x dx = 3 x cos x dx

*

u = x 8 du = dx dv = cos x dx 8 v = sen x

3 x cos x dx = 3 <x sen x – sen x dxF = 3 [x sen x + cos x] + k = 3x sen x + 3cos x + k

y

y

y

d)  ln (2x – 1) dx

*

u = ln 2x – 1 8 du = dv = dx 8 v = x

y ln (2x – 1) dx = x ln (2x – 1) – y 2x2x– 1 dx = x ln (2x – 1) – yd 1 + 2x1– 1 n dx = = x ln (2x – 1) – x – 1 ln (2x – 1) + k 2

y

e)   xx dx e

2 2x – 1

*

u = x 8 du = dx dv = e –x dx 8 v = –e –x dx

y xx dx = –x · e –x + y e –x dx = –x · e –x – e –x + k e

y

f )  arc cos x dx

*

u = arc cos x 8 du = dv = dx 8 v = x

y arc cos x dx = x · arc cos x + y

–1 dx 1 – x2 x dx = x · arc cos x – 1 – x 2 + k 2 1– x 27


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

13 Resuelve las siguientes integrales aplicando dos veces la integración por partes:

y

y

y

y

a)  x   2 sen x dx b)  x   2 e   2x dx c)  e   x cos x dx d)  (x + 1)2 e   x dx

y

a) x 2 sen x dx

*

u = x 2 8 du = 2x dx dv = sen x dx 8 v = – cos x

y x 2 sen x dx = –x 2 cos x + y 2x cos x dx = –x 2 cos x + 2 y x cos x dx

u 1 = x 8 du 1 = dx * dv 1 = cos x dx 8 v 1 = sen x

I1 = x sen x –

> I1

y sen x dx = x sen x + cos x

Por tanto:

y x 2 sen x dx = –x 2 cos x + 2x sen x + 2cos x + k y

b) x 2 e 2x dx

u = x 2 8 du = 2x dx * dv = e 2x dx 8 v = 1 e 2x 2 2

y x 2 e 2x dx = x2

y

e 2x – x e 2x dx > I1

u 1 = x 8 du 1 = dx

* dv

1=e

I1 = x e 2x – 2

2x

dx 8 v 1 = 1 e 2x 2

y 12 e 2x dx = 2x e 2x – 14 e 2x

Por tanto:

2

y x 2 e 2x dx = x2 y

2 e 2x – x e 2x + 1 e 2x + k = e x – x + 1 o e 2x + k 2 2 4 2 4

c) e x cos x dx

*

u = e x 8 du = e x dx dv = cos x dx 8 v = sen x

I = e    x sen x –

y e x sen x dx

> I1

*

x

u = e 8 du = e x dx dv = sen x dx 8 v = – cos x

y

I1 = – cos x e x + e x cos x dx I = e x sen x – (– cos x e x + I ) 2I = e x sen x + e x cos x x x I = e sen x + e cos x + k 2 28


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y

d) (x + 1) 2 e x dx

*

u = (x + 1) 2 8 du = 2 (x + 1) dx dv = e x dx 8 v = e x

y (x + 1) 2 e x dx = (x + 1) 2 e x – 2 y (x + 1) e x dx *

u 1 = (x + 1) 8 du 1 = dx

> I1

dv 1 = e x dx 8 v 1 = e x

y

I1 = (x + 1) e x – e x dx = (x + 1) e x – e x = (x + 1 – 1) e x = x e x Por tanto:

y (x + 1) 2 e x dx = (x + 1) 2 e x – 2x e x + k = (x 2 + 2x + 1 – 2x) e x + k = (x 2 + 1) e x + k

Página 351

Integrales racionales 14 Aplica la descomposición en fracciones simples para resolver las siguientes integrales: 3

y x 2 +1x – 6 dx b) y  x32 x– 4 dx

a)  

y (x 2 – 25dx) (x – 4) d) y  xx22 ++ 1x dx

c)  

y x 2 +4x – 2 dx

y x 2 +x42x + 3 dx

e)  

f )  

y x 2 +1x – 6 dx

a)  

1 = A + B x +x – 6 x +3 x – 2

y

A = –1/5 B = 1/5

2

y

y

1 dx = –1/5 dx + 1/5 dx = – 1 ln |x + 3| + 1 ln |x – 2| + k 5 x +3 x–2 5 x +x –6 2

3 b)   23x dx x –4

y

x   2 – 4 3x

3x   3 –3x   3 + 12x 12x

y

3x 3 = 3x + 12x x2 – 4 x2 – 4

3x 3 dx = 3x + 12x dx = 3x 2 + 6ln |x 2 – 4| + k e o 2 x2 – 4 x2 – 4

y

y (x 2 – 25dx) (x – 4) = y (x + 5) (x dx– 5) (x – 4)

c)  

Descomponemos en fracciones simples:

1 = A + B + C 8 A= 1 , B= 1 , C =– 1 90 10 9 (x + 5) (x – 5) (x – 4) x + 5 x – 5 x – 4

I= 1 90

y x 1+ 5 dx + 101 y x 1– 5 dx – 19 y x –1 4 dx = 901 ln |x + 5| + 101 ln |x – 5| – 19 ln |x – 4| + k 29


BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Unidad 11.

Matemáticas II

2 d)   x2 + 1 dx x +x

y

Por el mismo procedimiento: 2 x2 + 1 = 1 + –2x + 1 = 1 + 1 – 2 x x +1 x +x x +x

2

y x2 + 1 dx = x + ln |x| – 2ln |x + 1| + k x +x

y x 2 +4x – 2 dx

e)  

4 = A + B 8 A = – 4, B = 4 3 3 x + x – 2 x +2 x –1

y

2

4 dx = – 4 ln |x + 2| + 4 ln |x – 1| + k 3 3 x +x –2 2

y x 2 +x42x + 3 dx

f )  

x2 = 1 – 2 4x + 3 = 1 – d A + B n 8 A = 9 , B = – 1 x + 3 x +1 2 2 x 2 + 4x + 3 x + 4x + 3

y

x2 dx = >1 – d 9/2 + –1/2 nH dx = x – 9 ln |x + 3| + 1 ln |x + 1| + k 2 2 x + 3 x +1 x + 4x + 3

y

2

15 Resuelve las siguientes integrales: 2   2 –16 dx a)   2x2 – 5x + 3 dx b) x – 3x + 2 x – 2x – 15

y

y

y (x – 21x) 2–(x4 + 3) dx d) y  (x –22x)+(x3+ 5) dx

c)  

y (x – 1)1(x + 3) 2 dx

y

f )   3x2 – 2 dx x –4

e)  

2 a)   2x2 – 5x + 3 dx = e 2 + 2 x – 1 o dx = 2 dx + 2 x – 1 dx = 2x + I 1 x – 3x + 2 x – 3x + 2 x – 3x + 2

y

I1 =

y

y

y

y

y

y

x –1 x –1 1 dx = ln |x – 2| dx = dx = ( x – 1) ( x – 2) ( x – 2) x 2 – 3x + 2

Por tanto, I = 2x + ln (x – 2) + k

y x 2 ––216x – 15 dx = y (x + 3–)16(x – 5) dx

b)  

Descomponemos en fracciones simples:

–16 = A + B 8 A = 2, B = –2 (x + 3) (x – 5) x + 3 x – 5

I= 2

y x 1+ 3 dx – 2 y x 1– 5 dx = 2ln |x + 3| – 2ln |x – 5| + k

y (x –21x) 2–(x4 + 3) dx

c)  

Descomponemos en fracciones simples:

2x – 4 B = A + + C 2 2 x – 1 x +3 (x – 1) (x + 3) (x – 1) A (x – 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x – 1) 2 2x – 4 = (x – 1) 2 (x + 3) (x – 1) 2 (x + 3) 30


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

2x – 4 = A (x – 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x – 1) 2 Hallamos A, B y C   : 8 B = –1/2 x = 1 8 –2 = 4B 8 C = –5/8 4 x = –3 8 –10 = 16C x = 0 8 – 4 = –3A + 3B + C 8 A = 5/8 Por tanto:

y

y

y

y

–1/2 dx + –5/8 dx = 2x – 4 dx = 5/8 dx + x +3 x –1 (x – 1) 2 (x + 3) (x – 1) 2 = 5 ln |x – 1| + 1 · 1 – 5 ln |x + 3| + k = 5 ln d x – 1 n + 1 + k 8 2 ( x – 1) 8 8 x +3 2x – 2

y (x –22x)+(x3+ 5) dx

d)  

Descomponemos en fracciones simples:

A ( x + 5) + B ( x – 2 ) 2x + 3 = A + B = (x – 2) (x + 5) x – 2 x + 5 (x – 2) (x + 5)

2x + 3 = A (x + 5) + B (x – 2) Hallamos A y B   : 8 A =1 x = 2 8 7 = 7A 3 x = –5 8 –7 = –7B 8 B = 1 Por tanto:

y (x –22x)+(x3+ 5) dx = y x –1 2 dx + y x 1+ 5 dx = ln |x – 2| + ln |x + 5| + k = ln |(x – 2) (x + 5)| + k y (x – 1)1(x + 3) 2 dx

e)  

Descomponemos en fracciones simples:

1 = A + B + C (x – 1) (x + 3) 2 x – 1 x + 3 (x + 3) 2

A (x + 3) 2 + B (x – 1) (x + 3) + C (x – 1) 1 = 2 ( x – 1) ( x + 3) ( x – 1) ( x + 3) 2

1 = A (x + 3)2 + B (x – 1)(x + 3) + C (x – 1) Hallamos A, B y C   : 8 A = 1/16 x = 1 8 1 = 16A 8 C = –1/4 4 x = –3 8 1 = – 4 C x = 0 8 1 = 9A – 3B – C 8 B = –1/16 Por tanto:

y

y

y

y

y

–1/4 dx = 1 dx = 1/16 dx + –1/16 dx + x –1 x +3 ( x – 1) ( x + 3) 2 ( x + 3) 2

f )   3x2 – 2 dx = x –4

1 = 1 ln |x – 1| – 1 ln |x + 3| + 1 · 1 + k = 1 ln x – 1 + +k 16 16 16 x +3 4 (x + 3) 4 ( x + 3)

y (x –32x)–(x2+ 2) dx

Descomponemos en fracciones simples: A (x + 2) + B (x – 2) 3x – 2 = A + B = (x – 2) (x + 2) x – 2 x + 2 (x – 2) (x + 2) 3x – 2 = A (x + 2) + B (x – 2)

31


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Hallamos A y B   :

8 A =1 x = 2 8 4 = 4A 3 x = –2 8 –4 = – 4B 8 B = 2

Por tanto:

y 3x2 – 2 dx = y x –1 2 dx + y x +2 2 dx = ln |x – 2| + 2ln |x + 2| + k = ln [|x – 2| (x + 2) 2] + k x –4

Integrales por sustitución 16 Aplica el método de sustitución para resolver las siguientes integrales: x dx dx  x 3 x + 2 dx c)  3 d)   a)   dx b) x– x (3 – x) 2 – x x –1

y

y

y

y

a) Para eliminar la raíz hacemos x = t    2 → dx = 2t dt

y x –dx x = y 22t dt = y t2–dt1 = 2ln |t – 1| + k = 2ln | x – 1| + k t –t

b) Para eliminar la raíz hacemos x + 2 = t    3 → dx = 3t    2 dt (x = t    3 – 2)

y x 3 x + 2 dx = y (t 3 – 2) t · 3t 2 dt = 3 y (t 6 – 2t 3) dt = 37t

7

4 3 3 (x + 2) 7 3 3 (x + 2) 4 – 3t + k = – +k 2 7 2

c) Para eliminar la raíz hacemos x = t    6 → dx = 6t    5 dt

y 3 x dx = y x –1

t 3 6t 5 dt = 6 t 8 dt = 6 t 6 + t 4 + t 2 + 1 + 1 e o dt 2 t –1 t –1 t2 – 1

y

2

y

Calculamos, usando el método de descomposición en fracciones simples:

y

y

1 dt = 1 dt = – 1 2 ( t + ) ( t ) 1 – 1 t –1 2

y t +1 1 dt + 12 y t –1 1 dt = – 12 ln |t + 1| + 12 ln |t – 1| + k

1 = –1/2 + 1/2 . (t + 1) (t – 1) t + 1 t – 1

Ya que

Terminamos el cálculo de la integral: 7 5 3 I = 6 e t + t + t + t – 1 ln |t + 1| + 1 ln |t – 1| o + k = 7 5 3 2 2

=

6 6 x7 6 6 x5 + + 2 x + 6 6 x – 3ln |6 x + 1| + 3ln |6 x – 1| + k 7 5

d) Para eliminar la raíz hacemos 2 – x = t   2 → –dx = 2t dt → dx = –2t dt (x = 2 – t    2)

y (3 – xdx) 2 – x = y

y

–2t dt = –22d dt = –2arc tg t + k = –2arc tg 2 – x + k 2 t +1 [3 – (2 – t )] t

Para resolver 17 Resuelve las siguientes integrales:

y

5

y

y

y

y

y

y

 x sen x   2 dx c)  x · 2–x dx d)  x   3 sen x dx a)  x   4 e   x    dx b)

y

3 f )   –3x 2 dx g)  e   2x + 1 cos x dx h)  x   5 e   –x    dx 2 – 6x

e)   (x + 3) 5 dx

y

5 a)  x   4 e   x    dx = 1 5

y

y 5x 4 e x

b)  x sen x   2 dx = 1 2

5

5 dx = 1 e x + k 5

y 2x sen x 2 dx = –21 cos x 2 + k 32


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y

c)  x · 2–x dx u = x 8 du = dx –x * dv = 2 –x dx 8 v = –2 ln 2

–x

y x 2 –x dx = –xln· 32

+

–x

–x

y ln2 2 dx = –xln· 22

+ 1 ln 2

–x

y 2 –x dx = –xln· 22

2 –x + k (ln 2) 2

y

d)  x   3 sen x dx

*

u = x 3 8 du = 3x 2 dx dv = sen x dx 8 v = – cos x

x 2 cos x dx y x 3 sen x dx = –x 3 cos x + 3 y >

*

I1

2

u 1 = x 8 du 1 = 2x dx dv 1 = cos x dx 8 v 1 = sen x

y

I1 = x 2 sen x – 2 x sen x dx >

*

I2

u 2 = x 8 du 2 = dx dv 2 = sen x dx 8 v 2 = – cos x

y

I2 = –x cos x + cos x dx = –x cos x + sen x Así: I1 = x   2 sen x + 2x cos x – 2sen x Por tanto:

y x 3 sen x dx = –x 3 cos x + 3x 2 sen x + 6x cos x – 6sen x + k

y

e)   (x + 3) 5 dx =

y (x + 3) 5/2 dx = (x +7/32)

y

f )   –3x 2 dx = 1 4 2 – 6x

y

7/2

= 2 (x + 3) 7 + k 7

–12x dx = 1 ln |2 – 6x 2| + k 4 2 – 6x 2

g) Esta es una integral que se resuelve aplicando el método de integración por partes dos veces:

y

I =  e   2x + 1 cos x dx Integramos por partes:

*

u = e 2x + 1 8 du = 2e 2x + 1 dx dv = cos x dx 8 v = sen x

y

I = e 2x + 1 sen x – 2 e 2x + 1 sen x dx = e 2x + 1 sen x – 2I 1 I1 =

y e 2x + 1 sen x dx

Integramos I1 por partes:

*

u = e 2x + 1 8 du = 2e 2x + 1 dx dv = sen x dx 8 v = – cos x

y

I1 = –e 2x + 1 cos x + 2 e 2x + 1 cos x dx

33


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Sustituyendo en I   :

y e 2x + 1 cos x dx = e 2x + 1 sen x – 2d –e 2x + 1 cos x + 2 y e 2x + 1 cos x dx n = y

= e 2x + 1 sen x + 2e 2x + 1 cos x – 4 e 2x + 1 cos x dx

Pasamos la integral al primer miembro y despejamos:

y e 2x + 1 cos x dx = e y

3

h)  x   5 e   –x    dx =

2x + 1

sen x + 2e 2x + 1 cos x + k = e 2x + 1 (sen x + 2cos x) + k 5 5

y x 3 · x 2 e –x

3

dx

u = x 3 8 du = 3x 2 dx

* dv = x 2 e –x3 dx

y x 5 e –x

3

3 8 v = –1 e –x 3

3 3 3 3 3 3 (–x 3 – 1) –x 3 dx = –x e –x + x 2 e –x dx = –x e –x – 1 e –x + k = e +k 3 3 3 3

y

18 Calcula las siguientes integrales:

y

y

  2 1 2 dx a)   x2+ 2 dx b) x +1 ( x – 1)

y 2x 2x++x2– 1 dx d) y  4xx 2––19 dx

c)  

2 e)   23 x +2 7x – 1 dx x +x – x –1

y

(1) 1 a)   x2+ 2 dx = 2 x +1

y

(1) Hacemos

y

y

y

f )   3x2– 1 dx 2x + 8

y

2x dx + 2 dx = 1 ln (x 2 + 1) + 2 arc tg x + k 2 2 x +1 x +1 (x + 2) dx = e 2x + 22 o dx 2 x +1 x +1 x +1 2

y

y (x 2 –1 1) 2 dx = y

1 dx (x – 1) (x + 1) 2 Descomponemos en fracciones simples: b)  

2

1 B = A + + C + D 2 2 2 ( x – 1 ) (x + 1) (x + 1) (x – 1) (x + 1) ( x – 1)

A ( x – 1) ( x + 1) 2 + B ( x + 1) 2 + C ( x + 1) ( x – 1 ) 2 + D ( x – 1 ) 2 1 = (x – 1) 2 (x + 1) 2 (x – 1) 2 (x + 1) 2

2

1 = A (x – 1) (x + 1) 2 + B (x + 1) 2 + C (x + 1) (x – 1) 2 + D (x – 1) 2 Calculamos A, B, C y D dando a x los valores 1, –1, 0 y 2: x =1 x = –1 x =0 x =2

y

8 8 8 8

1 = 4B 8 B = 1/4 1 = 4D 8 D = 1/4 1 = –A + B + C + D 8 1/2 = –A + C 1 = 9A + 9B + 3C + D 8 –3/2 = 9A + 3C 8 –1/2 = 3A + C

y

y

y

4

A = –1/4 B = 1/4 C = 1/4 D = 1/4

y

1/4 dx + 1/4 dx + 1/4 dx = 1 dx = –1/4 dx + ( x – 1) (x + 1) (x – 1) 2 ( x + 1) 2 (x 2 – 1) 2

= –1 ln |x – 1| – 1 · 1 + 1 ln |x + 1| – 1 · 1 + k = 4 4 ( x + 1) 4 4 ( x + 1)

= –1 <ln |x – 1| + 1 – ln |x + 1| + 1 F + k = –1 >ln x – 1 + 22x H + k x –1 x +1 x +1 4 4 x –1 34


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y 2x 2x++x2– 1 dx = y (x + 1x) (+22x – 1) dx

c)  

Descomponemos en fracciones simples:

x +2 = A + B 8 A = – 1, B = 5 3 3 (x + 1) (2x – 1) x + 1 2x – 1

I= – 1 3

y xdx+ 1 + 53 y 2xdx– 1 = – 13 ln (x + 1) + 56 ln (2x – 1) + k

y

d)   x 2– 1 dx = 4x – 9

y (2x + x3)–(21x – 3) dx

Descomponemos en fracciones simples:

x –1 = A + B 8 A= 5 , B= 1 12 12 (2x + 3) (2x – 3) 2x + 3 2x – 3

y 2xdx+ 3 + 121 y 2xdx– 3 = 245 ln (2x + 3) + 241 ln (2x – 3) + k

I= 5 12

2 e)   23 x +2 7x – 1 dx = x + x – x –1

y

y

2x 2 + 7x – 1 dx (x – 1) (x + 1) 2

Descomponemos en fracciones simples (para ello, encontramos las raíces del denominador):

2x 2 + 7x – 1 = A + B + C (x – 1) (x + 1) 2 x – 1 x + 1 (x + 1) 2

2 2x 2 + 7x – 1 = A (x + 1) + B (x – 1) (x + 1) + C (x – 1) (x – 1) (x + 1) 2 (x – 1) (x + 1) 2

2x 2 + 7x – 1 = A (x + 1) 2 + B (x – 1) (x + 1) + C (x – 1) Hallamos A, B y C  : x = 1 8 8 = 4A 8 A=2 8 C = 34 x = –1 8 – 6 = –2C x = 0 8 –1 = A – B – C 8 B = 0 Por tanto:

y

2x 2 + 7x – 1 dx = 3 2 dx + dx = 2ln |x – 1| – 3 + k 3 2 2 – 1 x +1 x x + x – x –1 (x + 1)

y

y

y

f )   3x2– 1 dx 2x + 8 Como el denominador no tiene raíces: I= 3 4

y

4x dx – 2x 2 + 8

y

dx = 3 ln (2x 2 + 8) – 1 8 2x 2 + 8 4

y

dx = x 2 +1 c m 2

= 3 ln (2x 2 + 8) – 1 1 arc tg x + k = 3 ln (2x 2 + 8) – 1 arc tg x + k 2 2 8 1 4 4 4 2 35


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

19 Resuelve las integrales siguientes:

y

b)   1 – sen x dx x + cos x

y

y

d)   1x+ e dx e +x

y senx x dx

f )  ln (x – 3) dx

y ln x x dx

h)  ln (x   2 + 1) dx

a)   ln x dx x

y

c)   1 dx x ln x

y

e)  

y

g)  

y

a)   ln x dx = x

x

2

y 1x ln x dx = ln 2|x| + k

y

b)   1 – sen x dx = ln |   x + cos x   | + k x + cos x

y ln1/xx dx = ln |ln | x || + k

y

c)   1 dx = x ln x

x d)   1x+ e dx = ln |   e    x+ x   | + k e +x

y

y senx x dx = –2 y 21x (–sen

e)  

x ) dx = –2cos ( x ) + k

y

f )  ln (x – 3) dx

*

u = ln (x – 3) 8 du = dv = dx 8 v = x

1 dx x –3

y ln (x – 3) dx = x ln |x – 3| – y x –x 3 dx = x ln |x – 3| – y 1 + x 3– 3 dx =

= x ln |x – 3| – x – 3ln |x – 3| + k = (x – 3) ln |x – 3| – x + k

y ln x x dx

g)  

*

u = ln x 8 du = 1 · 1 = 1 dx x 2 x 2x v = 1 dx 8 dv = 2 x x

y ln x x dx = 2

x ln x –

y 22xx dx = 2

x ln x –

y 1x dx =

= 2 x ln x – 2 x + k = 2 x (ln x – 1) + k

y

h)  ln (x   2 + 1) dx

u = ln (x 2 + 1) 8 du = 22x dx x +1 * dv = dx 8 v = x

y ln (x 2 + 1) dx = x ln (x 2 + 1) – y

2x 2 dx = x ln (x 2 + 1) – 2 – 2 e o dx = x2 + 1 x2 + 1

y

= x ln (x 2 + 1) – 2x + 2 arc tg x + k 36


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

20 Calcula las siguientes integrales: tg x dx d)   sen4 x dx y senx(12 /x) dx b) y  x2+x2 dx c) y  arc y 2 1+ x

a)  

cos x

(1 – x) 2 f )  e   x cos e   x dx g)   1 2 dx h)   dx 1+ x 1– x

y

y

e)  (ln x)2 dx

y

y

y senx(12 /x) dx = – y –12 sen d 1x n dx = cos d 1x n + k

a)  

x

b)   2x dx = d 2 – 4 n dx = 2 dx – 4 dx = 2x – 4 ln |x + 2| + k x +2 x +2 x +2

y

y

y

y arc1 +tgx 2x dx = y

c)  

y

y

2 1 arc tg x dx = arc tg x + k 2 1 + x2

y

d)   sen4 x dx = – (–sen x) (cos x) – 4 dx = cos x

– (cos x) –3 + k = 13 + k –3 3cos x

y

e)  (ln x)2 dx

*

u = (ln x) 2 8 du = 2 (ln x) · 1 dx x dv = dx 8 v = x

y (ln x) 2 dx = x (ln x) 2 – 2 y ln x dx = x ln 2 |x| – 2x ln |x| + 2x + k y

f )  e   x cos e   x dx = sen e x + k

y

g)   1 2 dx = 1– x

y (x + 1–) (1x – 1) dx

Descomponemos en fracciones simples:

A (x – 1) + B (x + 1) –1 = A + B = (x + 1) (x – 1) x + 1 x – 1 (x + 1) (x – 1)

Hallamos A y B   : x = –1 8 –1 = –2A 8 A = 1/2 3 x = 1 8 –1 = 2B 8 B = –1/2 Por tanto:

y

1 dx = d 1/2 + –1/2 n dx = 1 ln |x + 1| – 1 ln |x – 1| + k = ln x +1 x – 1 2 2 1 – x2

y

y (11–+xx)

h)  

2

dx =

yx

2

x +1 + k x –1

– 2x + 1 dx = d x – 3 + 4 n dx = x 2 – 3x + 4 ln |x + 1| + k x +1 x +1 2

y

21 Resuelve por sustitución:

y

y

x a)   e x dx b)   3x – 2 dx 1– e

a) Hacemos e    x = t   2 → e   x dx = 2t dt e x dx = 2t dt = d –2 – 2 n dt = –2t – 2ln (t – 1) + k = –2 e x – 2ln ( e x – 1) + k 1– t t –1 1 – ex b) Hacemos 3x – 2 = t   2 → 3 dx = 2t dt → dx = 2 t dt 3

y

y

y

3x – 2 dx = t · 2 t dt = 2 3 3

y

y

3

y t 2 dt = 29t

+k=

2 (3x – 2) 3 +k 9 37


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

22 Resuelve:

y

y

dx   a)   x + 4 dx b) 1 – (2x – 3) 2 1 – x2

y

a)   x + 4 dx = 1 – x2

y

x dx + 1 – x2

y

4 dx = – 1 2 2 1– x

y

–2x dx + 4 1 – x2

y

1 dx = 1 – x2

(1 – x 2) 1/2 =– 1 + 4 arc sen x + k = – 1 – x 2 + 4arc sen x + k 1 2 2

b)  

y

dx = 1 2 2 1 – (2x – 3)

y

2 dx = 1 arc sen (2x – 3) + k 2 2 1 – ( 2x – 3)

23 Calcula estas integrales: 2

2

y x 3 – 3x52x+ 3x – 1 dx b) y  x 2x– 2–x3+ 5 dx

a)  

y

y

4 2 c)   x3 – 22x – 6 dx d)   2x + 12x2 – 6 dx (x – 2) (x + 9) x + x – 2x

5x 2 dx ( x – 1) 3 Descomponemos en fracciones simples: 2

y x 3 – 3x52x+ 3x – 1 dx = y

a)  

5x 2 = A + C B + 8 A = 5, B = 10, C = 5 ( x – 1 ) 3 x – 1 ( x – 1) 2 ( x – 1) 3

I= 5

y x dx– 1 + 10 y (x – 1) –2 dx + 5 y (x – 1) –3 dx = 5ln |x – 1| – x10– 1 –

5 +k 2 ( x – 1) 2

2 b)   2 x – 3 dx = e 1 + 22x – 8 o dx = dx + 22x – 8 dx x – 2x + 5 x – 2x + 5 x – 2x + 5 Calculamos la segunda integral teniendo en cuenta que el denominador no tiene raíces.

y

y

y

y

y

I1 =

y

2x – 8 dx = 2x – 2 – 6 dx = 2x – 2 dx – 6 1 dx = ln (x 2 – 2x + 5) – 6I 2 2 2 2 x – 2x + 5 x – 2x + 5 x – 2x + 5 x – 2x + 5

I2 =

y

1 1 1 dx = 2 dx = dx = 1 4 x 2 – 2x + 5 x – 2x + 1 + 4 ( x – 1) 2 + 4

2

y

y

y

y

= 1 · 1 arc tg x – 1 + k = 1 arc tg x – 1 + k 2 2 2 4 1 2 Sustituimos en I1:

y

1 dx = 2 x – 1 +1 d n 2

I1 = ln (x   2 – 2x + 5) – 3arc tg x – 1 + k 2 Sustituimos en I   : I = x + ln (x   2 – 2x + 5) – 3arc tg x – 1 + k 2 2 2 4 c)   x3 – 22x – 6 dx = f x – 1 – –33x +24x + 6 p dx = (x – 1) dx – –33x +24x + 6 dx x + x – 2x x + x – 2x x + x – 2x Calculamos la segunda integral descomponiendo en fracciones simples:

y

y

y

y

–3x 2 + 4x + 6 = –3x 2 + 4x + 6 = A + B + C 8 A = –3, B = – 7 , C = 7 3 3 x (x + 2) (x – 1) x x + 2 x – 1 x 3 + x 2 – 2x

y –33x

2

y

+ 4x + 6 dx = –3 dx – 7 x 3 x + x 2 – 2x

y xdx+ 2 + 73 y x dx– 1 = –3 ln x – 73 ln (x + 2) + 73 ln (x – 1) + k 38


BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Unidad 11.

Matemáticas II

Sustituimos en I   : 2 I = x – x + 3 ln x + 7 ln (x + 2) – 7 ln (x – 1) + k 2 3 3 2

y

d)   2x + 12x2 – 6 dx (x – 2) (x + 9) Descomponemos en fracciones simples:

2x 2 + 12x – 6 = A + Mx + N 8 A = 2, M = 0, N = 12 ( x – 2) ( x 2 + 9) x – 2 x2 + 9

I= 2

y

y x dx– 2 + 12 y

dx = 1 x2 + 9 9

y

dx x2 + 9

dx

= 1 · 1 arc tg x + k = 1 arc tg x + k 9 1 3 3 3 x c m +1 3 3 2

Sustituimos en I   : I = 2ln (x – 2) + 4 arc tg x + k 3 24 Resuelve estas integrales utilizando un cambio de variable:

y

y

y

y

y

f )  

  dx4 a)  x x + 1 dx b) x– x c)   x dx d)   1 dx x x +1 x +1

y 1+xx dx

e)   1 dx x+ x

y

a)  x x + 1 dx Cambio: x + 2 = t   2 → dx = 2t dt

yx

5 3 2 (x + 1) 5 2 (x + 1 ) 3 – x + 1 dx = (t 2 – 1) t · 2t dt = (2t 4 – 2t 2) dt = 2t – 2t + k = +k 5 3 5 3

y

y

y

b)   dx4 x– x Cambio: x = t   4 → dx = 4t   3 dt

y

dx = 4t 3 dt = 4t 2 dt = 4 x–4x t3 – 1 3 t4 – t

y

y

y 33t

2

dt = 4 ln |t 3 – 1| + k = 4 ln |4 x 3 – 1| + k 3 t –1 3

y

c)   x dx x +1 Cambio: x + 1 = t   2 → dx = 2t dt

y

2 3 x dx = (t – 1) · 2t dt = (2t 2 – 2) dt = 2t 3 – 2t + k = 2 (x + 1) – 2 x + 1 + k 3 t 3 x +1

y

y

yx

1 dx x +1 Cambio: x + 1 = t   2 → dx = 2t dt d)  

yx

y

y

A (t – 1 ) + B (t + 1 ) 2 = A + B = (t + 1) (t – 1) t + 1 t – 1 ( t + 1) ( t – 1 )

2t dt = 2 dt 1 dx = 2 ( t ) (t – 1) + 1 x +1 ( t – 1) t Descomponemos en fracciones simples:

2 = A (t – 1) + B (t + 1) 39


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Hallamos A y B   : t = –1 8 2 = –2A 8 A = –1 3 t = 1 8 2 = 2B 8 B = 1 Por tanto:

y (t + 12) dt(t – 1) = yd t –+11 + t –1 1 n dt = –ln |t + 1| + ln |t – 1| + k = ln

t –1 +k t +1

Así:

yx

x +1 – 1 +k x +1 +1

1 dx = ln x +1

y

e)   1 dx x+ x Cambio: x = t   2 → dx = 2t dt

y x +1 x dx = y 22t dt = y t2+dt1 = 2 ln |t + 1| + k = 2 ln ( x + 1) + k t +t

y 1+xx dx

f )  

Cambio: x = t   2 → dx = 2t dt

dt = 2 – 2 e o dt = 2t – 2 arc tg t + k = 2 x – 2 arc tg x + k 1 + t2 1 + t2

y 1 +xx dx = y t · 2t 2dt = y 2t 1+ t

2

y

25 Calcula:

y

y

y

y

  x + 3 dx a)   1 x dx b) 1+ e 9 – x2 sen (tg x) dx c)   2x dx x d)   cos 2 x e – 3e

y

y

3x x e)   e 2x – e dx e +1

f )   1 dx 1+ x

– e x dx = e 1 + e x – e x o dx = e 1 – e x o = x – ln (1 + e x ) + k 1 + ex 1 + ex 1 + ex 1 + ex (1) Sumamos y restamos e    x en el numerador.

y

y 1+ e

y

y

(1) a)   1 x dx = 1+ e

b)   x + 3 dx = 9 – x2

x

y

x dx + 9 – x2

= – 9 – x2 + 3

y

y e 2x dx– 3e x

y

y

3 dx = – 1 2 9 – x2 1/3 2

1– c x m 3

y

–2x dx + 9 – x2

Hacemos el cambio: e    x = t →x = ln t → dx = 1 dt t

y

y

y

y

dx = 21/t dt = 3 1 2 dt = 2 1 dt x e – 3e t – 3t t – 3t t ( t – 3) 2x

3 dx = 9 – x2

dx = – 9 – x 2 + 3 arc sen c x m + k 3

c)  

y

Descomponemos en fracciones simples: 2 A + B + C = At (t – 3) + B (t – 3) + Ct 1 = t 2 ( t – 3) t t 2 t – 3 t 2 ( t – 3) 1 = At (t – 3) + B (t – 3) + C  t   2

Hallamos A, B y C   :

40


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

8 B = –1/3 t = 0 8 1 = –3B t = 3 8 1 = 9C 8 C = 1/9 4 t = 1 8 1 = –2A – 2B + C 8 A = –1/9 Así, tenemos que: 1 dt = e –1/9 + –12/3 + 1/9 o dt = –1 ln |t | + 1 + 1 ln |t – 3| + k t –3 9 3t 9 t t 2 ( t – 3) t Por tanto:

y

y

y

dx = –1 ln e x + 1x + 1 ln |e x – 3| + k = – 1 x + 1x + 1 ln |e x – 3| + k x 9 9 9 9 e – 3e 3e 3e 2x

y sencos(tg2 xx) dx = – cos (tg x) + k ,

d)  

y

3x

ya que D [tg x] =

1 . cos 2 x

x

e)   e 2x – e dx e +1

Hacemos el cambio: e   x = t → x = ln t → dx = 1 dt t 3x x 3 2 – – – e e t t t 1 1 · dt = 2 dx = 2 dt = e 1 – 2 2 o dt = 2x t e +1 t +1 t +1 t +1 x x = t – 2 arc tg t + k = e – 2 arc tg (e ) + k

y

y

y

y

y

f )   1 dx 1+ x Hacemos el cambio: x = t   2 → dx = 2t dt

y 1 +1 x dx = y 21t+dtt = yd 2 – 1 2+ t n dt = 2t – 2 ln |1 + t | + k = 2

x – 2 ln (1 + x ) + k

Página 352 26 Para resolver la integral

y cos   3 x dx, hacemos:

cos   3 x = cos x cos   2 x = cos x (1 – sen  2 x) = cos x – cos x sen   2 x

y sen   3 x dx. 3 y cos 3 x dx = y (cos x – cos x · sen 2 x) dx = y cos x dx – y sen 2 x · cos x dx = sen x – sen3 x + k

Resuélvela y calcula después

Para la segunda parte del problema calculamos: sen 3 x = sen x · sen 2 x = sen x (1 – cos 2 x) = sen x – sen x · cos 2 x 3

y sen 3 x dx = y (sen x – sen x · cos 2 x) dx = y sen x dx + y cos 2 x (–sen x) dx = – cos x + cos3 x + k 27 Calcula las siguientes integrales utilizando las relaciones trigonométricas: (1 – 2 cos 2 x) cos x   a)  (sen 2 x + 2 cos 2x ) dx b) cos 2x

y

y

y

y

c)  (sen 2 x · sen 2x) dx d)  (cos 2 x – cos 2x) dx Ayuda: Ten en cuenta que 1 + cos 2x = 2cos   2 x y que 1 – cos 2x = 2sen   2 x.

a) Teniendo en cuenta que sen 2 x + 2cos 2x = 1 – cos 2x + 2cos 2x = 3 cos 2x + 1 , obtenemos: 2 2 2

y (sen 2 x + 2cos 2x) dx = yd 32 cos 2x + 12 n dx = 34 sen 2x + 2x + k 41


Unidad 11.

b)

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

2

2

cos x) cos x (1 – 2cos x) cos x dx = y dx = y – cos 2x · cos x dx = – y cos x dx = –sen x + k y (1 – 2cos cos 2x cos 2x 2x

c) Teniendo en cuenta que sen 2 x · sen 2x = 1 – cos 2x sen 2x = sen 2x – sen 2x · cos 2x , obtenemos: 2 2 2

y sen 2 x · sen 2x dx = yd sen22x – sen 2x 2· cos 2x n dx = 14 y sen 2x · 2 dx – 14 y sen 2x · cos 2x · 2 dx = 2 = – 1 cos 2x – 1 sen 2x + k = – 1 cos 2x – 1 sen 2 2x + k 2 8 4 4 4

d) Teniendo en cuenta que cos 2 x – cos 2x = 1 + cos 2x – cos 2x = 1 – cos 2x , obtenemos: 2 2 2

y (cos 2 x – cos 2x) dx = yd 12 – cos22x n dx = 12 y dx – 12 y cos 2x dx = 2x – sen42x + k

28 Calcula

y  (x +x 31) 2 dx

a) Por descomposición en fracciones simples. b) Mediante un cambio de variable. x 3 dx = e x – 2 + 3x + 2 o dx = (x – 2) dx + 3x + 2 dx (x + 1) 2 ( x + 1) 2 (x + 1) 2 Descomponemos la segunda integral en fracciones simples: a) I =

y

y

y

3x + 2 = A + B 8 A = 3, B = –1 (x + 1) 2 x + 1 (x + 1) 2

y

y

3x + 2 dx = 3 dx – x +1 (x + 1) 2 Sustituimos en I   :

y

y

dx = 3 ln |x + 1| + 1 x +1 (x + 1) 2

2 I = x – 2x + 3 ln |x + 1| + 1 + k 2 x +1

b) Llamamos u = x + 1 → du = dx (x = u – 1) 3 x 3 dx = (u – 1) du = u 3 – 3u 2 + 3u – 1 du = e u – 3 + 3 – 1 o du = u u2 (x + 1) 2 u2 u2 2 (x + 1) 2 – 3 (x + 1) + 3 ln |x + 1| + 1 + k = u – 3u + 3 ln u + 1 + k = 2 u 2 x +1

y

y

y

y

29 Resuelve las siguientes integrales:

y x 2 +dx4x + 5 b) y  x(2x ++25x) dx +3

a)  

y x 3 +x2x+21+ 3x dx d) y  2xx3 +– x1 dx

c)  

2 e)   x +23x + 8 dx x +9

y

y (x + 1)dx 2 (x 2 + 1)

f )  

a) El denominador no tiene raíces.

y

y

y

dx dx = arc tg (x + 2) + k = 2 dx = x 2 + 4x + 5 x + 4x + 4 + 1 (x + 2) 2 + 1 b) El denominador no tiene raíces. 1 (2x + 2) – 1 · 2 + 5 (x + 5) dx 2x + 2 dx + 4 2 1 = 2 dx = 1 dx = 1 I 1 + 4I 2 I= 2 2 x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3

y

y

y

42

y


BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Unidad 11.

Matemáticas II

I1 = ln (x   2 + 2x + 3) + k

y

I2 =

y

1 1 dx = dx = 1 2 x 2 + 2x + 1 + 2 (x + 1) 2 + 2

y

1

2

x +1 +1 e o 2

dx =

2 arc tg x + 1 + k = 1 1 arc tg x + 1 + k = 2 2 1 2 2 2 Por tanto: I = 1 ln (x 2 + 2x + 3) + 2 2 arc tg x + 1 + k 2 2

y

c) I =

y

x +1 x +1 dx = dx x 3 + 2x 2 + 3x x (2x + x 2 + 3)

Descomponemos en fracciones simples:

x +1 = A + 2Mx + N 8 A = 1 , M = – 1 , N = 1 2 3 3 3 x ( 2 x + x + 3) x x + 2 x + 3

y dxx – 13 y

I= 1 3

1 (2x + 2) – 1 · 2 – 1 2 2 dx = 1 2 x 2 + 2x + 3

y

I1 =

x –1 dx = 1 ln |x | – 1 I 1 3 3 x 2 + 2x + 3

y

2x + 2 dx – 2 x 2 + 2x + 3

y

1 dx = x 2 + 2x + 3

(*) = 1 ln (x 2 + 2x + 3) – 2 arc tg x + 1 + k 2 2 (*) La segunda integral está resuelta en el apartado anterior.

Por tanto: 2 arc tg x + 1 + k I = 1 ln x – 1 ln (x 2 + 2x + 3) + 3 6 3 2 d) I =

y 2x3 – 1 dx = y x +x

2x – 1 dx x ( x 2 + 1)

Descomponemos en fracciones simples:

2x – 1 = A + Mx + N 8 A = – 1 , M = 1, N = 2 2 x ( x 2 + 1) x x2 + 1

y dxx + y x2+ 2

I= – 1 2 e) I =

yx

2

=– 1 2 x +1

y dxx + 12 y

1 2x dx 2 dx = – 1 ln x + 1 ln (x 2 + 1) + 2 arc tg x + k 2 2 2 x +1 x +1

y

2

+ 3x + 8 dx = 1 + 3x – 1 dx = dx + 3x – 1 dx e o x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9

y

y 3x2 – 1 dx = 32 y

2x dx – x2 + 9

x +9

y

y

y

1 dx = 3 ln (x 2 + 9) – 1 arc tg x + k 2 3 3 x2 + 9

Ya que:

y

1 dx = 1 9 x +9 2

y

dx = 1 1 arc tg x + k = 1 arc tg x + k 9 1 3 3 3 x c m +1 3 3 1

2

Sustituyendo en I   : I = x + 3 ln (x 2 + 9) – 1 arc tg x + k 2 3 3 43


Unidad 11.

f ) I =

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y (x + 1)dx 2 2 (x + 1)

Descomponemos en fracciones simples:

B 1 = A + + Mx2 + N 8 A = 1 , B = 1 , M = – 1 , N = 0 2 2 x 1 2 2 2 + ( x + 1) ( x + 1 ) ( x + 1) x +1 2

y xdx+ 1 + 12 y

I= 1 2

dx – 1 (x + 1) 2 2

30 Encuentra la primitiva de f (x) = F (x) =

y

3x dx = – 3 2 1 – x2

y

y

x dx = 1 ln (x + 1) – 1 – 1 ln (x 2 + 1) + k 2 2 (x + 1) 4 x2 + 1

3x que pasa por el punto (0, 3). 1 – x2

–2x dx = – 3 ln |1 – x 2| + k 2 1 – x2

Como pasa por (0, 3) se cumple que F (0) = 3. – 3 +k =3 8 k = 9 2 2 Luego la primitiva buscada es F (x) = – 3 ln |1 – x 2| + 9 . 2 2 31 Halla la función F para la que F ' (x) = 12 y F (1) = 2. x F (x) = 12 dx = –1 + k x x

y

F (1) = –1 + k = 2 → k = 3 Por tanto: F (x) = –1 + 3 x 32 De todas las primitivas de la función y = 4x – 6, ¿cuál de ellas toma el valor 4 para x = 1? F (x) =

y (4x – 6) dx = 2x 2 – 6x + k

F (1) = 2 – 6 + k = 4 → k = 8 Por tanto: F (x) = 2x   2 – 6x + 8 33 Halla f (x) sabiendo que: f '' (x) = 6x, f ' (0) = 1 y f (2) = 5

y

f ' (x) = 6x dx = 3x 2 + c f ' (0) = c = 1

4

f ' (x) = 3x   2 + 1

y

f (x) = (3x 2 + 1) dx = x 3 + x + k f (2) = 10 + k = 5

4

→ k = –5

Por tanto: f (x) = x   3 + x – 5 34 Encuentra una primitiva de f (x) = x   2 sen x cuyo valor para x = 0 sea 1. F (x) =

y x 2 sen x dx

Integramos por partes:

*

u = x 2 8 du = 2x dx dv = sen x dx 8 v = – cos x 44


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y

F (x) = –x 2 · cos x + 2 x · cos x dx = –x 2 · cos x + 2I Integramos I por partes:

*

u = x 8 du = dx dv = cos x dx 8 v = sen x

y

I = x · sen x – sen x dx = x · sen x + cos x Sustituimos en F   : F (x) = –x 2 · cos x + 2x · sen x + 2cos x + k Ahora se debe cumplir que F (0) = 1 → 2 + k = 1 → k = –1. La primitiva es F (x) = –x 2 · cos x + 2x · sen x + 2cos x – 1 . 35 Determina la función f (x) sabiendo que: f '' (x) = x ln x, f ' (1) = 0 y f (e) = e 4 f ' (x) =

y f '' (x) dx

y x ln x dx

→ f ' (x) =

Integramos por partes:

*

u = ln x 8 du = 1 dx x 2 dv = x dx 8 v = x 2

2 f ' (x) = x ln x – 2

2

y 2x dx = x2

2 2 ln x – x + k = x d ln x – 1 n + k 2 2 4

f ' (1) = 1 d – 1 n + k = – 1 + k = 0 8 k = 1 2 2 4 4 2 f ' (x) = x d ln x – 1 n + 1 2 2 4

f (x) =

y f ' (x) dx

→ f (x) =

y > x2

*

2 d ln x – 1 n + 1 H dx = y x d ln x – 1 n dx + 1 x 2 2 2 4 4 > I

Integramos por partes:

2

u = d ln x – 1 n 8 du = 1 dx 2 x 2 3 dv = x dx 8 v = x 2 6

3 I = x d ln x – 1 n – 6 2

2

y x6

3 3 dx = x d ln x – 1 n – x + k 6 2 18

Por tanto:

3 3 f (x) = x d ln x – 1 n – x + 1 x + k 18 4 6 2 3 3 3 3 f (e ) = e – e + e + k = e + e + k = e 8 k = – e 12 18 4 36 4 36 4

3 3 3 f (x) = x d ln x – 1 n – x + 1 x – e 2 6 18 4 36

45

4


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

36 Calcula la expresión de una función f (x) tal que: 2 f ' (x) = x e   –x    y f (0) = 1 2

f (x) =

y x e –x

2

dx = – 1 2

y –2x e –x

2

2 dx = – 1 e –x + k 2

f (0) = – 1 + k = 1 8 k = 1 2 2 2 Por tanto: f (x) = – 1 e –x + 1 2

37 De una función y = f (x), x > –1, sabemos que tiene por derivada y ' = constante.

a , donde a es una 1+ x

Determina la función si, además, sabemos que f (0) = 1 y f (1) = –1. y=

y 1 +a x dx

8 f (x) = a ln (1 + x) + k (x > –1)

f (0) = 1 → a ln (1 + 0) + k = 1 → k = 1 f (1) = –1 → a ln 2 + k = –1 → a ln 2 = –1 – 1 → a = –2 ln 2 2 – Por tanto, f (x) = ln (1 + x) + 1, x > –1. ln 2 38 Dada la función f      : Á → Á definida por f (x) = ln (1 + x   2), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

y ln (1 + x 2) dx Integramos por partes:

*

u = ln (1 + x 2) 8 du = 2x 2 dx 1+ x dv = dx 8 v = x

2x 2 dx = x ln (1 + x 2) – 2 1 – 1 e o dx = 1 + x2 1 + x2 = x ln (1 + x   2) – 2(x – arc tg x) + k

y ln (1 + x 2) dx = x ln (1 + x 2) – y

y

F (x) = x ln (1 + x   2) – 2x + 2arc tg x + k Debe pasar por (0, 0) → F (0) = 0 F (0) = 0 – 2 · 0 + 0 + k = 0 → k = 0 Así, F (x) = x ln (1 + x   2) – 2x + 2arc tg x. 39 Calcula el valor del parámetro a para que una primitiva de la función:

y (ax   2 + x cos x + 1) dx pase por (π, –1). I=

y (ax 2 + x cos x + 1) dx = y (ax 2 + 1) dx + y x cos x dx =

Calculamos I1 por partes:

*

u = x 8 du = dx dv = cos x dx 8 v = sen x

y

I1 = x sen x – sen x dx = x sen x + cos x + k 46

ax 3 + x + x cos x dx > 3

y

I1


BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Unidad 11.

Matemáticas II

3 F (x) = ax + x + x sen x + cos x 3 Como pasa por (π, –1): 3 F (π) = –1 → aπ + π + π · sen π + cos π = –1 3

aπ 3 + π – 1 = –1 8 aπ 3 = –π 8 a = –3π = –3 3 3 π3 π2 3 3 Así, F (x) = –32 · x + x + x sen x + cos x = – x 2 + x + x sen x + cos x 3 π π

40 Halla

y e   ax (x   2 + bx + c) dx en función de los parámetros

a, b y c.

y e ax (x 2 + bx + c) dx

I=

Integramos por partes: u = x 2 + bx + c 8 du = (2x + b) dx * dv = e ax dx 8 v = 1 e ax a

Así:

I = 1 e ax (x 2 + bx + c) – 1 a a

e ax (2x + b) dx y>

Volvemos a integrar por partes:

I1

u = 2x + b 8 du = 2dx * dv = e ax dx 8 v = 1 e ax a I = 1 e ax (x 2 + bx + c) – 1 I 1 = 1 e ax (x 2 + bx + c) – 1 < 1 e ax (2x + b) – 1 a a a a a a

y e ax 2 dxF =

= 1 e ax (x 2 + bx + c) – 12 e ax (2x + b) + 23 e ax + k a a a 41 Encuentra la función derivable f     : [–1, 1] → Á que cumple f (1) = –1 y tal que: f ' (x) = *

x 2 – 2x si –1 ≤ x < 0 e x – 1 si 0 ≤ x ≤ 1

• Si x ≠ 0:

y (x 2 – 2x) dx y (e x – 1) dx

f (x) =

y f ' (x) dx

f (x) =

x 3 – x 2 + k si –1 ≤ x < 0 * 3x e – x +c si 0 < x ≤ 1

si –1 ≤ x < 0 si 0 ≤ x < 1

• Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (1) = –1 y que f (x) ha de ser continua en x = 0. f (1) = –1 → e – 1 + c = –1 → c = –e lím f (x) = k

x 8 0–

lím + f (x) = 1 – e

x 80

4

k=1–e

x 3 – x 2 + 1 – e si –1 ≤ x < 0 Por tanto: f (x) = * 3 ex – x – e si 0 ≤ x ≤ 1 47


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

42 De una función derivable se sabe que pasa por el punto A (–1, –   4) y que su derivada es: f ' (x) = )

2 – x si x ≤ 1 1/x si x > 1

a) Halla la expresión de f (x). b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f (x) en x = 2. a) Si x ≠ 1:

x 2 + k si x < 1 2 x – f (x) = * 2 ln x + c si x > 1

Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (–1) = –   4 y que f (x) ha de ser continua en x = 1:

f (–1) = – 5 + k = – 4 8 k = – 3 2 2 lím f (x) = 3 – 3 = 0 2 2

x 8 1–

lím + f (x) = c

x 81

4

c=0

x2 3 Por tanto: f (x) = * 2x – 2 – 2 si x < 1 ln x si x ≥ 1 b) f (2) = ln 2; f ' (2) = 1 2 La ecuación de la recta tangente será: y = ln 2 + 1 (x – 2) 2 43 Halla una primitiva F (x) de la función f (x) = 3x   2 – 6x tal que F (x) tenga un mínimo en el punto (2, 0). Determina los demás puntos singulares de F (x). F (x) =

y (3x 2 – 6x) dx = x 3 – 3x 2 + k

La función pasa por el punto (2, 0) por ser un mínimo. F (2) = 0 → –   4 + k = 0 → k = 4 Así: F (x) = x   3 – 3x   2 + 4 Calculamos los demás puntos singulares: F ' (x) = f (x) = 3x   2 – 6x F ' (x) = 0 → 3x   2 – 6x = 0 → x = 0, x = 2 F '' (x) = 6x – 6 F '' (0) < 0 → x = 0, y = 4 → El punto (0, 4) es un máximo relativo. F '' (2) > 0 → Efectivamente, el punto (2, 0) es un mínimo relativo. 44 Halla la función f (x) de la que conocemos f '' (x) = e   x, f ' (1) = 0 y f (0) = 1. f '' (x) = e    x → f ' (x) =

y x x dx = e x + c 1

f ' (1) = 0 = e   1 + c1 → c1 = –e

f ' (x) = e   x – e → f (x) = 9 (e x – e) dx = e x – xe + c 2 f (0) = 1 = e   0 – 0e + c2 → c2 = 0 f (x) = e    x – xe 48


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

45 Halla una primitiva F (x) de la función f (x) = 2x tal que F (x) ≤ 0 en el intervalo [–2, 2]. F (x) =

y 2x dx = x + k

x   2 + k ≤ 0 en [–2, 2] Debe ser k ≤ –   4; por ejemplo, la función F (x) = x  2 – 4 es menor o igual que 0 en [–2, 2]. Representamos x   2 y x   2 – 4: x2 x2 – 4 –2

2

46 Halla f (x) sabiendo que: f '' (x) = cos x , f ' (2π) = 0 y f (0) = 1 2 f ' (x) =

y f '' (x) dx = y cos 2x dx = 2 y 12 cos 2x dx = 2 sen 2x + k

f ' (x) = 2 sen x + k ; como f ' (2π) = 0 → 2 sen 2π + k = 0 8 k = 0 2 2 f (x) =

y f ' (x) dx = y 2 sen 2x dx = 2 · 2 y 12 sen 2x dx = 4c – cos 2x m + k'

f (x) = – 4cos x + k'; como f (0) = 1 → f (0) = –   4cos 0 + k' = 1 → –   4 + k' = 1 → k' = 5 2 Por tanto, la función que buscamos es f (x) = –   4cos x + 5 2 47 a) Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquiera de sus puntos viene dada por la función: f (x) = x – 2 2x + 4

b) Determina cuál es la curva de esta familia que pasa por el punto A c– 5 , 3 m . 2 4 a) La pendiente de la recta tangente a la curva en uno de sus puntos viene dada por la derivada de la curva en ese punto. Por tanto, m = F ' (x) = x – 2 . 2x + 4 Buscamos F (x) = F (x) =

y 2xx–+24 dx .

y 2xx–+24 dx = yd 12 – 2x4+ 4 n dx = 12 x – 2 y 2x2+ 4 dx = 2x – 2 ln |2x + 4| + k

b) Debe ser: F d – 5 n = 3 8 –5/2 – 2 ln 2 d – 5 n + 4 + k = 3 8 –5 – 2 ln 1 + k = 3 8 2 2 2 4 4 4 4

→ k = 3 + 5 = 2 8 F (x) = x – 2 ln |2x + 4| + 2 4 4 2 49


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Página 353 48 Calcula la función f (x) sabiendo que f '' (x) = x, que la gráfica de f pasa por el punto P (1, 1) y que la tangente en P es paralela a la recta de ecuación: 3x + 3y – 1 = 0 f ' (x) =

y f '' (x) dx

→ f ' (x) =

2

y x dx = x2

+k

3 + k o dx = 1 x + kx + k' 2 3 f pasa por P (1, 1) → f (1) = 1 → 1 + k + k' = 1 (1) 6 La pendiente de la recta tangente en P es m = –1; por ello: f ' (1) = –1 → 1 + k = –1 (2) 2 De las igualdades (1) y (2) obtenemos los valores de k y k'  : k = –1 – 1 = – 3 ; k' = 1 – 1 – k = 1 – 1 + 3 = 7 2 2 6 6 2 3 3 Por tanto, la función que buscamos es: f (x) = x – 3 x + 7 6 2 3

f (x) =

y f ' (x) dx

ye x2

2

49 Halla la función F (x) tal que F (0) = 2 y que sea primitiva de la función siguiente: x f (x) = xe e +1 x x e F (x) = dx = ln (e + 1) + k ex + 1 F (0) = 2 → ln 2 + k = 2 → k = 2 – ln 2

y

Por tanto: F (x) = ln (e    x + 1) + 2 – ln 2 50 Halla la ecuación de una curva y = f (x) sabiendo que pasa por el punto P (1, 1) y que la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera es 3x + 1. Como la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera es 3x + 1, se cumple que:

f ' (x) = 3x + 1

f (x) = Por otra parte:

y (3x + 1) dx = 32x

2

+x +k

f (1) = 1 → 3 + 1 + k = 1 8 k = – 3 2 2 Por tanto: 2 f (x) = 3x + x – 3 2 2

51 Dadas las funciones: f (x) = 12x   3 – 8x   2 + 9x – 5 halla la función H (x) =

y gf ((xx)) dx

que cumple la igualdad H (1) = 1.

– 8x 2 + 9x – 5 dx = 2x + 1 + 12x – 7 12x – 7 dx = e o dx = (2x + 1) dx + 2 2 6x – 7x + 2 6x – 7x + 2 6x 2 – 7x + 2 = x   2 + x + ln |   6x   2 – 7x + 2   | + k

H (x) =

y 12x

3

g (x) = 6x   2 – 7x + 2

y

y

H (1) = 1 → 2 + k = 1 → k = –1 Por tanto: H (x) = x   2 + x + ln |   6x   2 – 7x + 2   | – 1 50

y


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

52 Calcula

Matemáticas II

y  sen 2 x1cos 2 x dx .

Utiliza la igualdad sen   2 x + cos   2 x = 1.

y

sen 2 x + cos 2 x dx = sen 2 x cos 2 x 1 dx = + dx dx = sen 2 x · cos 2 x sen 2 x · cos 2 x sen 2 x · cos 2 x sen 2 x · cos 2 x

y

=

y

y

y

y

1 dx + 1 dx = tg x – cotg x + k cos 2 x sen 2 x

53 Resuelve:

y

a)  

y

x2 dx b)   81 – 25x 2 dx 1 – 9x 6

a) Haz t = 3x   3. b) Haz x = 9 sen t. 5

a) Hacemos t = 3x   3 → dt = 9x   2 dx → 1 dt = x 2 dx 9 x2 1 dt = 1 arc sen t + k = 1 arc sen 3x 3 + k dx = 1 6 9 9 9 1 – t2 1 – 9x b) Hacemos x = 9 sen t 8 dx = 9 cos t dt d t = arc sen 5x n 9 5 5

y

y

y

81 – 25x 2 dx =

y

2

81 – 25 d 9 sen t n 9 cos t dt = 5 5

y

1 – sen 2 t cos t dt = 81 5

y

81 – 81 sen 2 t 9 cos t dt = 5

2t dt = y cos 2 t dt = 815 y 1 + cos 2

= 81 5

= 81 t + 81 sen 2t + k = 81 arc sen 5x + 81 sen d 2 arc sen 5x n + k 10 20 10 9 20 9

54 Calcula:

y d) y   2x – 4 3

y dx e) y |   x – 2   | x dx

y f ) y  e   |   x   | dx

 (3 + |   x   |) dx c)  |   2x – 1   | dx a)  |   1 – x   | dx b)

y

a)  |   1 – x   | dx

|1 – x | = ) f (x) =

y

1 – x si x < 1 –1 + x si x ≥ 1

*

2 x – x + k si x < 1 2 |1 – x | dx = 2 –x + x + c si x ≥ 1 2

En x = 1, la función ha de ser continua.

lím f (x) = 1 + k 2

x 8 1–

lím f (x) = – 1 + c 2 x 8 1+

4

1 + k = – 1 + c 8 c =1+ k 2 2

Por tanto:

y

*

2 si x < 1 x – x +k 2 |1 – x | dx = 2 –x + x + 1 + k si x ≥ 1 2

51


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

y

b)  (3 + |   x   |) dx

3 + |x | = )

f (x) =

y

3 – x si x < 0 3 + x si x ≥ 0

*

2 3x – x + k si x < 0 2 (3 + |x |) dx = 2 x + c si x ≥ 0 3x + 2

En x = 0, la función ha de ser continua. lím f (x) = k

x 8 0–

lím + f (x) = c

x80

4

c=k

Por tanto:

y

*

2 3x – x + k si x < 0 2 (3 + |x |) dx = 2 x 3x + + k si x ≥ 0 2

y

c)  |   2x – 1   | dx

|2x – 1| = ) f (x) =

y

–2x + 1 si x < 1/2 2x – 1 si x ≥ 1/2

*

–x 2 + x + k si x < 1 2 |2x – 1| dx = 2 1 x – x + c si x ≥ 2

f (x) ha de ser continua en x = 1 . 2

lím

f (x) = 1 + k 4

lím

f (x) = – 1 + c 4

x 8 (1/2) – x 8 (1/2) +

4

1 +k =– 1 +c 8 c = 1 +k 2 4 4

Por tanto:

y

y

*

si x < 1 2 |2x – 1| dx = 2 1 x – x + + k si x ≥ 1 2 2 –x 2 + x + k

d)   2x – 4 dx 3 Expresamos f (x) por intervalos. 2x – 4 = 0 8 x = 6 3 – 2x + 4 si x < 6 3 2 x – 4 dx = 2x – 4 si x ≥ 6 3 3 Hallamos las primitivas por tramos:

*

yd – 23x + 4 n dx = – x3

yd 23x – 4 n dx = x3

2

2

+ 4x + k 1

– 4x + k 2 52


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

*

2 – x + 4x + k 1 si x < 6 3 F (x) =   2x – 4 dx = 3 x 2 – 4x + k si x ≥ 6 2 3

y

Como la primitiva es derivable, debe ser continua en x = 6.

2 F (6) = 6 – 4 · 6 + k 2 = –12 + k 2 3

lí m F ( x )

x86

*

2 lím – e – x + 4x + k 1 o = 12 + k 1 3 x86 2 lím + e x – 4x + k 2 o = –12 + k 2 3 x86

→ 12 + k1 = –12 + k2 → k2 = 24 + k1

Por tanto:

y

y

*

2 – x + 4x + k si x < 6 3   2x – 4 dx = 3 x 2 – 4x + 24 + k si x ≥ 6 3

e)  |   x – 2   | x dx |   x – 2  |x = *

–x 2 + 2x si x < 2 x 2 – 2x si x ≥ 2

Hallamos las primitivas por tramos: 3

y (–x 2 + 2x) dx = – x3

y (x 2 – 2x) dx = x3

3

+ x2 + k1

– x2 + k2

*

3 – x + x 2 + k 1 si x < 2 3 F (x) =  |   x – 2   | x dx = x3 – x2 + k si x ≥ 2 2 3

y

Como la primitiva es derivable, debe ser continua en x = 2.

3 F (2) = 2 – 4 + k 2 = – 4 + k 2 3 3

l ím F ( x )

x82

*

3 l ím – e – x + x 2 + k 1 o = 4 + k 1 3 3 x82

l ím e x – x 2 + k 2 o = – 4 + k 2 3 3 3

→ 4 + k1 = – 4 + k2 8 k2 = 8 + k1 3 3 3

x 8 2+

Por tanto:

y

*

3 – x + x2 + k si x < 2 3  |   x – 2   | x dx = x 3 – x 2 + 8 + k si x ≥ 2 3 3

y

f )  e   |   x   | dx e –x si x < 0 e x si x ≥ 0

e   |   x   | = )

y e   |   x   | dx = *–e xe + k+ k 1

–x

2

si x < 0 si x ≥ 0

53


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Como la primitiva es derivable, debe ser continua en x = 0.

F (0) = 1 + k2 lím F (x)

x 80

*

lím – (–e –x + k 1) = –1 + k 1

x 80

→ –1 + k1 = 1 + k2 → k2 = –2 + k1

lím + (e x + k 2) = 1 + k 2

x 80

Por tanto: –x

y e   |   x   | dx = )–e xe – 2+ +k k

si x < 0 si x ≥ 0

55 Determina una función f (x) que verifique la ecuación siguiente: x   3 f ' (x) + x   2 + 2x = 3 2 x   3 · f ' (x) + x   2 + 2x = 3 → x   3 · f ' (x) = 3 – x   2 – 2x → f ' (x) = 3 – x 3– 2x → f ' (x) = 33 – 22 – 1 x x x x f (x) = e 33 – 22 – 1 o dx = 3 dx3 – 2 dx2 – dx = – 3 2 + 2 – ln x + k x x x x x x x 2x

y

y

y

y

56 De una función derivable f    : Á → Á se sabe que pasa por el punto (–1, 0) y que su derivada es: f ' (x) = )

–e –x si x < 0 –1 si x ≥ 0

a) Halla la expresión de f (x). b) Obtén la ecuación de la recta tangente en x = 1. a) f (x) =

y

f ' (x) dx = *

e –x + k 1 si x < 0 –x + k 2 si x ≥ 0

Como la función es derivable, debe ser continua en x = 0.

f (0) = k2 l í m F ( x)

x 80

*

lím (–e –x + k 1) = 1 + k 1

x 8 0–

lím + (–x + k 2) = k 2

→ 1 + k1 = k2

x 80

Por tanto:

f (x) = )

e –x + k si x < 0 –x + 1 + k si x ≥ 0

Como pasa por el punto (–1, 0) → f (–1) = 0 → e + k = 0 → k = –e La expresión de la función buscada es:

f (x) = )

e –x – e si x < 0 –x + 1 – e si x ≥ 0

b) x = 1, f (1) = –e, f ' (1) = –1 La ecuación de la recta tangente es: y = –e – (x – 1). 57 Determina una función f    : Á → Á sabiendo que la derivada segunda es constante e igual a 3 y que la ecuación de la recta tangente en el punto de absicsa x = 1, es 5x – y – 3 = 0. f '' (x) = 3 → f ' (x) =

y 3 dx = 3x + k 1

Recta tangente en x = 1:

y = 5x – 3 → *

f ' (1) = 5 f (1) = 2 54


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

f ' (1) = 5 → 3 + k1 = 5 → k1 = 2 Luego:

f ' (x) = 3x + 2

f (x) =

y (3x + 2) dx = 32x

2

+ 2x + k 2

f (1) = 2 → 3 + 2 + k 2 = 2 8 k 2 = – 3 2 2 La función es:

2 f (x) = 3x + 2x – 3 2 2

58 Calcula una primitiva de la función f (x) = 1/x que no tome ningún valor positivo en el intervalo [1, e]. F (x) =

y 1x dx = ln |x| + k

Queremos que ln |   x   | + k ≤ 0 cuando x ∈ [1, e]. Como F (x) es creciente en dicho intervalo por ser su primera derivada positiva, basta que: ln e + k ≤ 0 → k ≤ –1

Por tanto, cualquier valor de k que satisfaga la condición anterior da lugar a una primitiva que resuelve el problema. Por ejemplo, F (x) = ln |   x   | – 1. 59 Resuelve las siguientes integrales: a)

y

x + 3 dx b) dx x +2 (x + 1) x

y

c)

y

x `1 + 3 x 2j dx d) x 2 x + 1 dx

y

a) Para eliminar la raíz hacemos x + 2 = t   2 → dx = 2t dt (x = t   2 – 2)

y xx ++32 dx = y t

2

3 + 1 2t dt = (2t 2 + 2) dt = 2t 3 + 2t + k = 2 (x + 2) + 2 x + 2 + k 3 3 t

y

b) Para eliminar la raíz hacemos x = t   2 → dx = 2t dt

y (x +dx1)

x

=

y

y

2t dt = 2 dt = 2 arc tg t + k = 2 arc tg x + k t2 + 1 ( t 2 + 1) t

c) Para eliminar la raíz hacemos x = t  6 → dx = 6t   5 dt

y

x (1 + 3 x 2) dx =

y

y

t 6 (1 + 3 (t 6) 2) 6t 5 dt = t 3 (1 + t 4) 6t 5 dt =

9 13 2 6 x 9 6 6 x 13 = 6 (t 8 + t 12) dt = 2t + 6t + k = + +k = 3 13 3 13

=

y

2 x 3 6 6 x 23 + +k 3 13

d) Para eliminar la raíz hacemos x + 1 = t  2 → dx = 2t dt

y x2

y

y

(x = t   2 – 1)

y

x + 1 dx = (t 2 – 1) 2 t · 2t dt = 2 t 2 (t 2 – 1) 2 dt = 2 (t 6 – 2t 4 + t 2) dt = 7 5 3 2 (x + 1) 7 4 (x + 1) 5 2 (x + 1) 3 – = 2t – 4 t + 2 t + k = + +k 7 5 3 7 5 3 55


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

60 a) Para resolver la siguiente integral, multiplica numerador y denominador por cos x y haz después un cambio de variable: dx cos x b) Utiliza el procedimiento anterior para resolver las integrales siguientes:

y

y cosdx3 x

a)

y cosdxx = y cos x2 dx = y cos x

y sendxx

cos x dx 1 – sen 2 x

Hacemos u = sen x → du = cos x dx

y

y

y

y

cos x dx = 1 du (=*) 1 du + 1 du = 1 ln |1 + u| – 1 ln |1 – u| + k = 2 2 1+ u 2 1 – u 2 2 1 – sen x 1 – u2 = 1 ln |1 + sen x | – 1 ln |1 – sen x | + k 2 2 (*) Se ha resuelto descomponiendo en fracciones simples.

y

y

y

dx = cos x dx = cos x dx 3 4 cos x (1 – sen 2 x) 2 cos x Hacemos u = sen x → du = cos x dx b)

y

y

y

= 1 4

du + 1 (1 + u ) 2 4

y 1du– u + 14 y

1 1 = 1 ln |1 + u| – – 1 ln |1 – u| + +k= 4 4 (1 + u ) 4 4 (1 – u )

1 1 = 1 ln |1 + sen x | – – 1 ln |1 – sen x | + +k 4 4 (1 + sen x) 4 4 (1 – sen x)

(*) cos x dx = du du = = 2 2 2 2 2 2 (1 – sen x) (1 – u ) ( 1 + u ) ( 1 – u)

y 1du+ u + 14 y

du = (1 – u ) 2

(*) Se ha resuelto descomponiendo en fracciones simples. I=

y sendxx = y sen x2 dx = y sen x

sen x dx 1 – cos 2 x

Hacemos u = cos x → du = –sen x dx → –du = sen x dx I=

y

y

sen x dx = – du (=*) – 1 ln |1 + u| + 1 ln |1 – u| + k = – 1 ln (1 + cos x) + 1 ln (1 – cos x) + k 2 2 2 2 2 1 – cos x 1 – u2

(*) Esta integral está resuelta en el primer apartado. 61 Sean a y b dos números reales cualesquiera. Calcula la siguiente integral indefinida. Ten en cuenta los casos a = 0 o b = 0. cos x dx (a + bsen x) 2

y

Si a = 0 y b = 0 el problema no tiene sentido. Por tanto, al menos uno de ellos debe ser no nulo. Si b = 0 → a ≠ 0:

y cos2x dx = sen2x + k a

a

Si b ≠ 0:

y

cos x dx = 1 2 b (a + b sen x)

y

b cos x 1 1 dx = – 1 +k=– +k 2 ( b a + b sen x b a + b sen x) (a + b sen x)

ya que D [a + b sen x] = b cos x. 56


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

62 Dada f (x) = sen x – sen   3 x, halla: a) Su integral indefinida.

π b) La primitiva que pase por el punto b , 1l . 3 3 a) (sen x – sen 3 x) dx = (1 – sen 2 x) sen x dx = cos 2 x · sen x dx = – cos 2 x (–sen x) dx = – cos x + k 3

y

y

y

y

3 b) Sea F (x) = – cos x + k la primitiva buscada. 3 cos 3 π 3 + k = 1 8 k = 25 π π Pasa por: c , 1 m 8 F c m = 1 8 – 3 3 3 24 2 Luego: F (x) = – cos x + 25 3 24

63 Calcula f (x) sabiendo que su derivada f ' (x) = 3 – 2sen x corta a la bisectriz del primer cuadrante en el punto x = π. f (x) =

y (3 – 2sen x) dx = 3x + 2cos x + k

Corta a la bisectriz del primer cuadrante en el punto x = π → pasa por (π, π). f (π) = π → 3π + 2cos π + k = π → k = 2 – 2π La función es: f (x) = 3x + 2cos x + 2 – 2π 64 Calcula la siguiente primitiva, en la que suponemos que a ≠ 1:

y x 2 – (adx+ 1) x + a El polinomio P (x) = x   2 – (a + 1)x + a tiene raíces x = 1 y x = a, ya que P (1) = P (a) = 0. Vamos a distinguir dos casos: • a ≠ 1 → Las raíces reales son distintas:

y

y

dx dx = (x – 1) (x – a) x 2 – (a + 1 ) x + a Descomponemos en fracciones simples:

I=

1 = A + B 8 1 = A (x – a) + B (x – 1) (x – 1) (x – a) x – 1 x – a

x = 1 → 1 = A (1 – a) → A =

1 1– a

x = a → 1 = B (a – 1) → B =

1 a –1

I=

1 1– a

y x dx– 1 + a 1– 1 y x dx– a = 1 –1 a ln |x – 1| + a 1– 1 ln |x – a| + k

• a = 1 → Tiene una raíz doble:

I=

y

y

dx dx = – 1 + k = x –1 x – 2x + 1 ( x – 1) 2 2

65 Determina una función f (x) de la que sabemos que f '' (x) = –sen x y que la recta x + y – 2 – π = 0 es tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = π. y = –x + 2 + π es la recta tangente en x = π → * f ' (x) =

f ' (π) = –1 f (π) = 2

y (–sen x) dx = cos x + k 1

f ' (π) = –1 → cos π + k1 = –1 → k1 = 0 57


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Luego: f ' (x) = cos x

y cos x dx = sen x + k 2

f (x) =

f (π) = 2 → sen π + k2 = 2 → k2 = 2 Por tanto: f (x) = sen x + 2 66 Calcula

y 3x |x – 2| dx .

3x   |   x – 2   | = *

–3x 2 + 6x si x < 2 3x 2 – 6x si x ≥ 2 Hallamos las primitivas por tramos.

y (–3x 2 + 6x) dx = –x 3 + 3x 2 + k 1

F (x) =

3

y (3x 2 – 6x) dx = x 3 – 3x 2 + k 2 2

y 3x   |   x – 2   | dx = *–x 3x –+33xx2 ++kk 1 2

si x < 2 si x ≥ 2

Como la primitiva es derivable, debe ser continua en x = 2.

F (2) = –   4 + k2 l ím F ( x) =

x82

*

lím (–x 3 + 3x 2 + k 1) = 4 + k 1

x 8 2–

→ 4 + k1 = –   4 + k2 → k2 = 8 + k1

lím + (x 3 – 3x 2 + k 2) = – 4 + k 2

x82

Por tanto:

y 3x   |   x – 2   | dx = *–x 3x –+33xx2 ++8k+ k 3

2

si x < 2 si x ≥ 2

67 De una función continua f (x) sabemos que tiene un mínimo en (–1, –2) y que su derivada es: 2x + 2 si x ≤ 1 f ' (x) = ) 4 si x > 1 a) Halla la expresión analítica de f (x). b) Escribe la ecuación de la recta tangente en x = 1. a) Integrando por tramos obtenemos que:

f (x) = *

x 2 + 2x + k 1 si x ≤ 1 4x + k 2 si x > 1

Como la función es continua en Á, lo es en x = 1.

f (1) = 3 + k1 l ím f (x )

x 81

*

lím (x 2 + 2x + k 1) = 3 + k 1

x 8 1–

lím + (4x + k 2) = 4 + k 2

→ 3 + k1 = 4 + k2 → k2 = –1 + k1

x 81

Por tanto:

f (x) = *

x 2 + 2x + k si x ≤ 1 4x – 1 + k si x > 1

Como tiene un mínimo en (–1, –2), pasa por ese punto.

f (–1) = –2 → –1 + k = –2 → k = –1

La expresión final de la función es:

f (x) = *

x 2 + 2x – 1 si x ≤ 1 4x – 2 si x > 1

b) x = 1, f (1) = 2, f ' (1) = 4 → La recta tangente es: y = 2 + 4(x – 1) 58


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Página 354

Cuestiones teóricas 68 Prueba que si F (x) es una primitiva de f (x) y C un número real cualquiera, la función F (x) + C es también una primitiva de f (x). F (x) primitiva de f (x) ⇔ F ' (x) = f (x) (F (x) + C   )' = F ' (x) = f (x) → F (x) + C es primitiva de f (x). 69 Representa tres primitivas de las siguientes funciones f   : a) 2

b)

f

f 2 1

1

a) f (x) = 2 → F (x) = 2x + k

F2

Por ejemplo:

F1 F3

2

F 1(x) = 2x

F2(x) = 2x + 1

F 3(x) = 2x – 1

1

cuyas gráficas son:

1

2

3

2

3

4

–1

b) f (x) = 2x → F (x) = x   2 + k 8 7 6 5 4 3 2

Por ejemplo:

F 1(x) = x   2

F2(x) = x   2 + 1

F 3(x) = x   2 – 1

cuyas gráficas son:

1 –4

–3

–2

–1

–1

1

70 En una integral hacemos el cambio t = tg x. ¿Cuál es la expresión de dx en función de t   ? t = tg x → dt = (1 + tg   2 x) dx → dt = (1 + t   2) dx → dx = 71 Comprueba que

dt 1 + t2

y  cos1 x dx = ln |   sec x + tg x   | + k.

Tenemos que probar que la derivada de f (x) = ln |  sec x + tg x   | + k es f ' (x) =

1 . cos x

Derivamos f (x) = ln 1+ sen x + k : cos x

cos 2 x + sen x (1 + sen x) cos 2 x + sen x + sen 2 x 2 cos x cos x 1 + sen x = = f ' (x) = = 1 1 + sen x 1 + sen x (1 + sen x) cos x cos x cos x 59


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

72 Calcula f (x) sabiendo que

Matemáticas II

y f (x) dx = ln |   tg x   | + k.

Debemos suponer que x ≠ k π con k ∈ 2 tangente. • Si tg x > 0 → f ' (x) = D [ln (tg x) + k] =

para que tenga sentido la función y se pueda evaluar la 1 + tg 2 x tg x

• Si tg x < 0 → f ' (x) = D [ln (–tg x) + k] =

73 Las integrales

y  (arc1 +tgx 2x)

2

dx y

–1 – tg 2 x 1 + tg 2 x = –tg x tg x

y (tg 3 x + tg 5 x) dx ,

¿son del tipo

y f (x)n f ' (x) dx?

En caso

afirmativo, identifica, en cada una de ellas, f (x), n y f ' (x). Ambas son del tipo •

y (arc tg 2x) 1+ x

2

y f (x) n  f ' (x) dx. y

dx = (arc tg x) 2 ·

f (x) = arc tg x  ; n = 2; f ' (x) =

y

1 dx 1 + x2

1 1 + x2

y

• (tg 3 x + tg 5 x) dx = tg 3 x (1 + tg 2 x) dx f (x) = tg x  ; n = 3; f ' (x) = 1 + tg   2 x 74 Sin utilizar el cálculo de derivadas, prueba que: –x 4 1 y G (x) = 1 + x4 1 + x4 son dos primitivas de una misma función. F (x) =

Si F (x) y G (x) son dos primitivas de una misma función, su diferencia es una constante. Veámoslo:

F (x) – G (x) =

1 – f –x 4 p = 1 + x 4 = 1 1 + x4 1 + x4 1 + x4

Por tanto, hemos obtenido que: F (x) = G (x) + 1 Luego las dos son primitivas de una misma función. 75 Calcula f (x) sabiendo que

y

F (x) =  f (x) dx = ln

3

y f (x) dx = ln (|xx +– 21|) 2 + k .

|x – 1| 3 +c (x + 2) 2

Sabemos que F ' (x) = f (x). Por tanto, calculamos la derivada de F (x). Aplicamos las propiedades de los logaritmos antes de derivar: F (x) = 3ln |   x – 1   | – 2ln (x + 2) + c 3 – 2 = 3 (x + 2) – 2 (x – 1) = x + 8 x –1 x +2 x2 + x – 2 x2 + x – 2 Por tanto, f (x) = 2 x + 8 . x +x –2 F ' (x) =

60


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

76 Sean f y g dos funciones continuas y derivables que se diferencian en una constante. ¿Podemos asegurar que f y g tienen una misma primitiva? No. Por ejemplo: f (x) = 2x + 1 8 F (x) = x 2 + x + k

g (x) = 2x + 2 8 G (x) = x 2 + 2x + c

4

f (x) y g (x) son continuas, derivables y se diferencian en una constante (pues f (x) = g (x) – 1). Y Ycualesquiera que seanYlos Y Sin embargo, sus primitivas, F (x) y G (x), respectivamente, son distintas, valores de k y c.

77 ¿Cuáles de los siguientes apartados representan la gráfica de una función f (x)Xy laXde una de sus primitivas F (x)? a) b) c) d) Y Y Y Y Y Y X X

X X

X

Y

X

X

X

X

Y

X

Y Y representadas son: Y Y a) Las funciones

y = 3 e y = 3x – 6, que cumplen: X X

y 3 dx = 3x + k X X

Por tanto, f (x) = 3, y F (x) = 3x – 6 es una primitiva de f. b) Las funciones son:

y = –1 e y = x + 1 →

y –1 dx = –x + k

No corresponden a una función y su primitiva. c) Las funciones son:

y = x   2 – 1 e y = 2x →

y 2x dx = x 2 + k

Por tanto, f (x) = 2x, y una de sus primitivas es F (x) = x   2 – 1. d) Las funciones son:

y = –x   2 – 1 + 4 e y = –2x + 1 →

y –2x + 1 dx = –x 2 + x + k

No corresponden a una función y su primitiva.

y f (x) dx = F (x) y y g (x) dx = G (x), halla en función de F (x) y de G (x): a) y  [ f (x) – g (x)] dx b) y – 12 [5g (x) + 4f (x)] dx

78 Si

y

y

c)  f (2x – 1) dx d)  [5 – g (x)] dx e)  g c x – 3 m dx 2

y

y

f )  [3f (5x – 1) – 6g (2 – 3x)] dx

f ' (x) dx   g)  G ' (x) g ' (x) dx h) F' (x)

y

y

y

y

a)  [ f (x) – g (x)] dx = F (x) – G (x) b)  – 1 [5g (x) + 4f (x)] dx = – 1 [5G (x) + 4F (x)] 2 2

y

c)  f (2x – 1) dx = 1 2

y [5 – g (x)] dx = 5x – G (x) y f (2x – 1) 2 dx = 12 F (2x – 1) d) 61


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

e)  g d x – 3 n dx = 2 g d x – 3 n 1 dx = 2G d x – 3 n 2 2 2 2

y

y y

y

y

f )  [3f (5x – 1) – 6g (2 – 3x)] dx = 3 f (5x – 1) dx – 6 g (2 – 3x) dx = = 3 5

y

g)  G ‘ (x) g ‘ (x) dx =

y g (x) g ' (x) dx =

y f (5x – 1) 5 dx + 2 y g (2 – 3x) (–3) dx = 35 F (5x – 1) + 2G (2 – 3x) [g (x)] 2 [G' (x)] 2 +k = +k 2 2

y Ff '' ((xx)) dx = y ff '((xx)) dx = ln | f (x)| + k = ln |F' (x)| + k

h)  

79 ¿Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos. a) Una función logarítmica puede ser una primitiva de una función racional.

y

y

y

b)  f (x) · g (x) dx =  f (x) dx ·  g (x) dx c) Las primitivas de una función racional irreducible cuyo denominador es de primer grado son un polinomio más un logaritmo neperiano. a) Verdadero. Por ejemplo, la función logarítmica F (x) = ln (x   2 + 1) es una primitiva de la función racional f (x) = 22x . x +1 b) Falso. Tomemos f (x) = g (x) = x. 3

y f (x) · g (x) dx = y x 2 dx = x3

y f (x) dx · y g (x) dx = y x dx · y x dx = x2

+k 2

2 4 · x +k = x +k 2 4

Ambos resultados son claramente distintos. p(x) c) Verdadero. Será de la forma y podemos reescribirlo como q (x) + k , que tiene como intex x gral un polinomio más un logaritmo neperiano. 80 Al aplicar el método de integración por partes para calcular

y f (x) cos x dx ,

donde f es una

función derivable, se obtiene:

y f (x) cos x dx = f (x) sen x – y 1x sen x dx Encuentra la expresión analítica de f (x) si sabemos que pasa por el punto (1, 2). Del enunciado del problema se deduce que el método de integración por partes se ha usando de la siguiente forma:

*

u = f (x) 8 du = 1 dx x dv = cos x dx 8 v = sen x

Por tanto:

f (x) =

y 1x dx = ln |x| + k

Por otra parte:

f (1) = 2 → k = 2

La función es:

f (x) = ln    |x   | + 2 62


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

81 Comprueba que las funciones: F (x) = arc tg x y G (x) = –arc tg c 1 m x son primitivas de una misma función f (x). a) ¿Son iguales las funciones F y G   ? b) ¿Se cortan sus gráficas? Para comprobarlo, calculamos sus derivadas. F ' (x) = 1 2 1+ x

G ' (x) = –

1 · e – 12 o = 1 · 12 = 21 2 x x +1 1 + 12 x 1+ d 1 n x x

a) Ambas funciones no son iguales, porque ni siquiera tienen el mismo dominio de definición. Concretamente, F (0) = arc tg 0 = 0 y G (0) no existe. b) En el dominio de definición de ambas funciones no pueden cortarse. Como no son iguales y son primitivas de una misma función, difieren en constantes no nulas en cada uno de los intervalos (–  ∞, 0) y (0, +  ∞). Página 355

Para profundizar 82 Calcula las siguientes integrales trigonométricas mediante un cambio de variable:

y

y

y

y

 sen 3 x cos 2 dx a)  sen 2 x cos 3 x dx b) c)  cos 5 x dx d)  cos 3 x sen 3 x dx a) Hacemos u = sen x → du = cos x dx

y sen 2 x · cos 3 x dx = y sen 2 x · cos 2 x · cos x dx = y u 2 (1 – u 2) du =

3 5 3 5 = u – u + k = sen x – sen x + k 3 5 3 5

b) Hacemos u = cos x → du = –sen x dx

y sen 3 x · cos x dx = – y sen 2 x · cos 2 x (–sen x) dx = – y (1 – u 2) u 2 du =

3 5 3 5 = – u + u + k = – cos x + cos x + k 3 5 3 5

c) Hacemos u = sen x → du = cos x dx

y cos 5 x dx = y (cos 2 x) 2 cos x dx = y (1 – u 2) 2 du = y (1 – 2u 2 + u 4) du =

3 5 3 5 = u – 2u + u + k = sen x – 2sen x + sen x + k 3 5 3 5 d) I = cos 3 x · sen 3 x dx = cos 2 x · sen 2 x · cos x · sen x dx = 1 + cos 2x · 1 – cos 2x · sen 2x dx = 2 2 2 2 1 = (1 – cos 2x) sen 2x dx 8 Hacemos u = cos 2x → du = –2sen 2x dx → –    du = sen 2x dx 2 3 3 I = – 1 (1 – u 2) du = – u + u + k = – cos 2x + cos 2x + k 16 16 48 16 48

y

y

y

y

y

63


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

83 Calcula:

y

y

a) sen 2 x cos 2 x dx

b ) sen 6 x dx

Recuerda: 1 + cos 2x = 2cos   2 x y 1 – cos 2x = 2sen   2 x. (*) a) 9 sen 2 x · cos 2 x dx = 1 – cos 2x · 1 + cos 2x dx = 1 (1 – cos 2 2x) dx = 1 sen 2 2x dx = 2 2 4 4

y

= 1 4

y

y

4x dx = 1 y (1 – cos 4x) dx = x – sen 4x + k y 1 – cos 8 32 2 8

(*) Sustituyendo en 1 – cos 2x = 2sen   2 x la letra x por 2x se obtiene 1 – cos 4x = 2sen   2 2x. b) I =

3

2x n y sen 6 x dx = y (sen 2 x) 3 dx = yd 1 – cos 2

y

y

dx = 1 (1 – cos 2x) 3 dx = 8

y

y

y

y

= 1 (1 – 3cos 2x + 3cos 2 2x – cos 3 2x) dx = 1 dx – 3 cos 2x dx + 3 cos 2 2x dx – 1 cos 3 2x dx 8 8 8 8 8 Calculamos cada integral por separado:

y cos 2x dx = sen22x + k

y cos 2 2x dx (=*) y 1 + cos2 4x dx = 2x + sen84x + k

(*) Sustituyendo en 1 + cos 2x = 2cos   2 x la letra x por 2x se obtiene 1 + cos 4x = 2cos   2 2x.

I1 = 9 cos 3 2x dx = cos 2 2x · cos 2x dx = (1 – sen 2 2x) cos 2x dx

y

y

Hacemos u = sen 2x → du = 2cos 2x dx → du = cos 2x dx 2 3 3 I1 = 1 (1 – u 2) du = u – u + k = sen 2x – sen 2x + k 2 2 6 2 6 Ya podemos obtener el resultado final: I = 1 x – 3 sen 2x + 3 x + 3 sen 4x – 1 sen 2x + 1 sen 3 2x + k = 16 16 16 8 64 48 = 5 x – 1 sen 2x + 3 sen 4x + 1 sen 3 2x + k 16 64 48 4

y

84 Para resolver integrales del tipo

y

a 2 – b 2 x 2 dx se utiliza el cambio de variable x = a sen t . b

Calcula las integrales siguientes:

y b) y c) y a)

100 – 25x 2 dx 25 – 64x 2 dx 2 – x 2 dx

y

9 – 25x 2 dx 16 a) Hacemos x = 2sen t → dx = 2cos t dt d)

y

100 – 25x 2 dx =

y

100 – 25 (2sen t) 2 2cos t dt =

y

y

y

100 – 100sen 2 t 2cos t dt =

y

1 – sen 2 t = 20 cos 2 t dt = 20 1 + cos 2t dt = 10t + 5sen 2t + k = 2

= 20

= 10 arc sen x + 5sen c 2 arc sen x m + k 2 2 64


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

b) Hacemos x = 5 sen t 8 dx = 5 cos t dt 8 8

y

25 – 64x 2 dx =

2

25 – 64 d 5 sen t n 5 cos t dt = 25 – 25sen 2 t 5 cos t dt = 8 8 8

y

y

y

1 – sen 2 t cos t dt = 25 cos 2 t dt = 25 8 8

2t dt = y 1 + cos 2

= 25 8

= 25 t + 25 sen 2t + k = 25 arc sen 8x + 25 sen d 2 arc sen 8x n + k 16 5 32 5 16 32

c) Hacemos x = 2 sen t 8 dx = 2 cos t dt

y

2 – x 2 dx = 2 – ( 2 sen t) 2 2 cos t dt =

y

y

2 – 2sen 2 t 2 cos t dt =

y

y

1 – sen 2 t cos t dt = 2 cos 2 t dt = 2 1 + cos 2t dt = t + 1 sen 2t + k = 2 2 = arc sen x + 1 sen d 2arc sen x n + k 2 2 2 d) Hacemos x = 3 sen t 8 dx = 3 cos t dt 20 20

= 2

y

9 – 25x 2 dx = 16

y

2

19 – 25 d 3 sen t n 3 cos t dt = 16 20 20

y

y

y

9 – 9 sen 2 t 3 cos t dt = 16 16 20

1 – sen 2 t cos t dt = 9 cos 2 t dt = 9 80 80

2t dt = y 1 + cos 2

= 9 80

=

9 t + 9 sen 2t + k = 160 320

=

9 arc sen 20x + 9 sen d 2arc sen 20x n + k 160 3 320 3

85 Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación en la que, además de x e y, figura también y '. Resolverla es buscar una función y = f (x) que la verifique: Por ejemplo, resolvamos x y   2 + y ' = 0:

y' = –x y 2 8

dy = –x y 2 8 dy = –x y 2 dx dx

Separamos las variables:

dy = –x dx 8 y2

= y (–x) dx y dy y2

2 – 1 =– x +k 8 y = 2 2 y 2 x – 2k

Hay infinitas soluciones. Busca la que pasa por el punto (0, 2) y comprueba que la curva que obtienes verifica la ecuación propuesta. • Buscamos la solución que pasa por el punto (0, 2):

y=

2 8 2 = 2 8 – 4k = 2 8 k = –1 2 –2k x – 2k 2

Por tanto, y =

2 x2 + 1

• Comprobamos que verifica la ecuación xy   2 + y' = 0:

xy   2 + y' = x e

2

2 o – 24x 2 = x · 2 4 2 – 24x 2 = 24x 2 – 24x 2 = 0 2 x +1 ( x + 1) (x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 65


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

86 Resuelve estas ecuaciones diferenciales de primer orden: a) yy ' – x = 0

b) y   2 y ' – x   2 = 1

c) y' – x y = 0

d) y' x – y = 0

e) y' e   y + 1 = e   x

f ) x   2 y' + y   2 + 1 = 0

 n todas ellas, al despejar y' se obtiene en el segundo miembro el producto o el cociente de dos funciones, E cada una de ellas con una sola variable.

a) yy' – x = 0 dy x y' = x 8 = 8 y dy = x dx 8 y dx y

y y dy = y x dx

y2 x2 = + k 8 y 2 = x 2 + 2k 8 y = ± x 2 + 2k 2 2

b) y   2 y' – x   2 = 1 2 dy 1 + x 2 8 y 2 dy = (1 + x 2) dx = y' = 1 + 2x 8 dx y y2 3 y3 y 2 dy = (1 + x 2) dx 8 = x + x + k 8 y 3 = 3x + x 3 + 3k 8 y = 3 3 x + x 3 + 3 k 3 3

y

y

c) y' – x y = 0 y' = xy →

dy dy = xy 8 = x dx 8 y dx

y dyy = y x dx

2 3 2 ln | y| = x + k 8 | y| = e (x /2) + k 8 y = ± e (x /2) + k 2

d) y' x – y = 0 y' =

dy y dy dx y 8 8 8 = = y dx x x x

ln |   y   | = 2 x + k 8 | y| = e 2

x +k

y dyy = y dxx

8 y = ± e2

x +k

e) y' e   y + 1 = e   x x dy e x – 1 y' = e –y 1 8 = dx e ey

e y dy = (e x – 1) dx 8

y e y dy = y (e x – 1) dx

e y = e x – x + k 8 y = ln |e x – x + k| f ) x   2 y' + y   2 + 1 = 0 y' =

–1 – y 2 x2 dy

8

y

y = tg d 1 + k n x

dy – (1 + y 2) dy = 8 = –1 dx 2 dx x 1 + y2 x2

y

= –12 dx 8 arc tg = 1 + k x 1+ y x 2

66


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

Autoevaluación Página 355 Resuelve las integrales siguientes:

y

1  (cos x + tg x) dx x dx = sen x – ln |cos x | + k y (cos x + tg x) dx = y cos x dx + y sen cos x 2  e 2 + x o dx x x

y

ye 2x +

x o dx = 2ln |x | + x 3/2 = 2ln |x | + 2 x 3 + k 3/2 3 x

y

3  x 3 2x 2 + 1 dx

y x 3 2x 2 + 1 dx = 14 y 4x (2x 2 + 1) 1/3 dx = 14 (2x 2 + 1) 4/3 · 34 = 163 3 (2x 2 + 1) 4 + k 2

tg x dx y cos 2x

4  

2

y tg 2 x

cos x

dx =

tg 3 x +k 3

y

5  2sen x cos x dx sen x

y 2 sen x cos x dx = 2ln 2

+ k , ya que D [sen x] = cos x.

y

6   1 sen (ln x) dx x

y 1x sen (ln x) dx = – cos (ln x) + k y x 2 + 4xx – 21 dx

7  

I=

y

x dx x + 4x – 21 2

Descomponemos en fracciones simples: x = –7 x   2 + 4x – 21 = 0 x =3 x = A + B 8 x = A (x + 7) + B (x – 3) 8 A = 3 , B = 7 10 10 (x – 3) (x + 7) x – 3 x + 7 I=

y x3/–103 dx + y x7/+107 dx = 103 ln |x – 3| + 107 ln |x + 7| + k

y 3x 2–+1 27 dx

8  

y

y

–1 1 dx = – 1 dx = – 1 · 1 arc tg x + k = – 1 arc tg x + k 2 3 9 27 27 1 3 3x 2 + 27 c x m +1 3 3

67


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

9 Resuelve, por el método de sustitución, la integral:

I=

y  11++ xx dx

y 11++ xx dx

Hacemos el cambio I=

2

y 11++tt

x = t 8 x = t 2 8 dx = 2t dt

3 2 3 (1) · 2t dt = 2 t + t dx = 2 d t 2 – t + 2 – 2 n dt = 2 e t – t + 2t – 2ln |t + 1| o 3 2 1+ t t +1

y

y

(1) Dividimos (t   3 + t  ) : (t + 2) y expresamos de la forma: dividendo = cociente + resto divisor Deshaciendo el cambio:

I = 2 x 3 – x + 4 x – 4ln ( x + 1) + k 3

10 Aplica la integración por partes para calcular:

y cos (ln x) dx I=

y cos (ln x) dx

*

cos (ln x) = 0 8 – 1 sen (ln x) dx = du x dx = dv 8 x = v sen (ln x) dx y>

I = x cos (ln x) +

I1

*

sen (ln x) = u 8 1 cos (ln x) dx = du x dx = dv 8 x = v

I1 = x sen (ln x)

cos (ln x) dx y> I

I = x · cos (ln x) + x · sen (ln x) – I → I =

x · cos (ln x) + x · sen (ln x) +k 2

11 De la función f (x), se sabe que: f ' (x) =

3 , f (2) = 0 (x + 1) 2

a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por (0, 1). a) f (x) =

y

3 (x + 1) –1 3 –2 3 1 dx = ( x + ) dx = + k = –3 + k –1 x +1 (x + 1) 2

y

f (2) = –3 + k = –1 + k → Como f (2) = 0, –1 + k = 0 → k = 1 2 +1 f (x) = –3 + 1 = x – 2 x +1 x +1 b) g (x) =

y xx –+ 12 dx = yd 1 + x–+31 n dx = x – 3ln |x + 1| + k

g (0) = 0 – 3ln |   0 + 1   | + k = k → Como g (0) = 1, k = 1. La primitiva de f que pasa por (0, 1) es g (x) = x – 3ln |   x + 1   | + 1. 68


Unidad 11.

BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Matemáticas II

12 Calcula las siguientes integrales:

y

y

  23x + 2 dx a)   sen 22x dx b) 1 + cos 2x x – 4x + 6 a) Hacemos el cambio u = cos 2x → du = –2sen 2x dx → – du = sen 2x dx 2 sen 2x dx = – 1 du = – 1 arc tg u + k = – 1 arc tg cos 2x + k 2 2 2 2 1 + cos 2x 1 + u2

y

y

b) Como el denominador no tiene raíces reales:

I=

y

3x + 2 dx = x 2 – 4x + 6

y

3 (2x – 4) + 3 · 4 + 2 2 2 dx = 3 2 x 2 – 4x + 6

y

y

2x – 4 dx + 8 1 dx x 2 – 4x + 6 x 2 – 4x + 6

Calculamos la segunda integral:

y

y

y

1 1 1 dx = 2 dx = dx = 1 2 x 2 – 4x + 6 x – 4x + 4 + 2 ( x – 2) 2 + 2

y

1

2

x – 2 +1 e o 2

dx =

2 arc tg x – 2 + k = 1 1 arc tg x – 2 + k = 2 2 1 2 2 2

El resultado final es:

I = 3 ln (x 2 – 4x + 6) + 4 2 arc tg x – 2 + k 2 2

13 De una función derivable f (x) se sabe que f (3) = 26 y que su derivada es: f ' (x) = )

4x + 3 si x ≤ 2 2x + 7 si x > 2

Halla la expresión de f (x). Integramos por tramos:

f (x) = *

2x 2 + 3x + k 1 si x ≤ 2 x 2 + 7x + k 2 si x > 2

Como es derivable, tiene que ser continua y, en particular, lo será en x = 2.

f (2) = 14 + k1 l í m f (x )

x82

*

lím (2x 2 + 3x + k 1) = 14 + k 1

x 8 2–

lím + (x 2 + 7x + k 2) = 18 + k 2

→ 14 + k1 = 18 + k2 → k2 = –   4 + k1

x82

Luego:

f (x) = *

2x 2 + 3x + k si x ≤ 2 x 2 + 7x – 4 + k si x > 2

Por otra parte:

f (3) = 26 → 26 + k = 26 → k = 0

La expresión de la función es:

f (x) = *

2x 2 + 3x si x ≤ 2 x 2 + 7x – 4 si x > 2 69


BACHILLERATO

Cálculo de primitivas

Unidad 11.

14 Calcula

Matemáticas II

y |   x + 2   | dx.

|   x + 2   | = )

–x – 2 si x < –2 x + 2 si x ≥ –2

*

2

– x – 2x + k 1 si x < –2 2 F (x) = |x – 2| dx = 2 x + 2x + k si x ≥ –2 2 2 Como es derivable, tiene que ser continua y, en particular, lo será en x = –2.

y

F (–2) = –2 + k2

lí m F (x)

x82

*

2 lím – e – x – 2x + k 1 o = 2 + k 1 2 x 8 –2

lím e x – 2x + k 2 o = –2 + k 2 2 2

→ 2 + k1 = –2 + k2 → k2 = 4 + k1

x 8 –2 +

Por tanto:

y

*

2

– x – 2x + k si x < –2 2 |x – 2| dx = x 2 + 2x + 4 + k si x ≥ –2 2

15 Halla la curva en la que la pendiente de las rectas tangentes en cualquier punto viene dada por la función: 2 f (x) = 1 + cos x 1 + cos 2x Se sabe también que la curva pasa por el punto P (π, 0). Llamemos F (x) a la curva en cuestión. Entonces: 2 x dx = 1 dx + cos 2x dx = 2 2 cos x 2 cos x 2 cos x tg x 1 dx + 1 dx = + x +k = 1 2 cos 2 x 2 2 2 tg π π Como pasa por P se cumple que: F (π) = 0 → + +k =0 8 k =– π 2 2 2 tg x x π La función es: F (x) = + – 2 2 2

F (x) =

2

2

cos x dx = y 1 + cos y 11 ++ cos 2 2x

y

y

y

y

16 Determina una función f (x) de la que sabemos: • f '' (x) = 2

La recta tangente en el punto T (3, 2) tiene pendiente m = 2 → * f ' (x) =

y 2 dx = 2x + k 1

f ' (3) = 2 → 6 + k1 = 2 → k1 = –   4 f ' (x) = 2x – 4 f (x) =

T

• r es la tangente a f en el punto T.

y (2x – 4) dx = x 2 – 4x + k 2

f (3) = 2 → –3 + k2 = 2 → k2 = 5 La función es: f (x) = x   2 – 4x + 5 70

f (3) = 2 f ' (3) = 2

r


11 resoluciones 2ºbach