L A IMPORTANCIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Expresiones como: 2, 3, 5, π, e, ϕ, entre otros son muy empleados en matemáticas, ingeniería, administración, arquitectura, en otras ciencias y en muchas actividades de la vida cotidiana; pues bien, en estas cortas letras quiero compartir la importancia y un poco de la historia de estas importantes expresiones.

Los números irracionales son un subconjunto de los de los números reales con características muy especiales, es así como llamamos número irracional a los números decimales ilimitados no periódicos, dicho de otra forma, un número irracional es un número de infinitas cifras decimales no periódicas, es decir son aquellos números que no se pueden representar en fracciones; también quiero resaltar que la cantidad de números irracionales es infinitamente mayor que la de los números racionales (los números racionales son el otro gran subconjunto de los números reales que contienen a los naturales, los enteros, los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos, todos ellos se pueden expresar como fracciones). Entre los irracionales están todas las raíces cuadradas, cúbicas, cuartas, etc., que no sean exactas, y otros números tan famosos que describiré más adelante.

La aparición de los números racionales se da en la antigua Grecia, gracias al trabajo y legado de uno de los grandes genios de }aquellos tiempos; comparto esta pequeña introducción histórica que fue tomada de https://www.educarex.es › modulo_III › matematicas (Introducción históricaNúmeros irracionales – Educarex), quienes relatan:

“A finales del siglo V a.C., la Escuela de Pitágoras descubrió que no existían dos números naturales m y n, cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado de un cuadrado y su diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales {1, 2, 3...}, no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, 2 , es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números naturales, y se tuvo que crear una nueva teoría.” Solo hasta el siglo XVI se despliega la gran importancia, utilidad y aplicación de los números irracionales, no solo con las raíces de los números primos, también con aquellos que se encuentran haciendo parte de la naturaleza y de nuestra propia existencia, tales números cambiaron las diferentes perspectivas de científicos y apasionados por la matemática. En este apartado solo presentaré tres de ellos.

El número PI (π): La historia del número irracional más popular del mundo, la constante matemática cuya búsqueda interminable ha cautivado al ser humano durante siglos y que aún en la actualidad, lo sigue haciendo. Aunque hoy conocemos pi (π) como la proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, las primeras aproximaciones históricas surgen al analizar la relación entre polígonos y círculos.

En la antigua Babilonia (ahora compuesta por escasas ruinas ubicada en la actual Irak) se calculó un valor de 3/8, o 3,125, valor que relacionaba la longitud de una circunferencia con el perímetro de un hexágono inscrito en ella, esto ocurrió hacia el año 1900 a.C.; otro valor estimado aparece en el papiro Rhind, un documento matemático egipcio del año 1650 a.C. que arroja un cálculo de 256/81, en torno a 3,1604. Como curiosidad y justamente antes de las propuestas descritas, tal vez el último valor entero de pi aparece en la Biblia, en el libro primero de los Reyes, escrito sobre el siglo VI a.C., habla de un mar de metal fundido con una circunferencia de 30 codos y un diámetro de 10 codos, lo que daría un valor de pi igual a 3, ¡Curioso verdad! Sobre el 250 a.C., el polímata griego Arquímedes creó un algoritmo, basado en el teorema de Pitágoras, que permitía una mejor aproximación. Inscribiendo y circunscribiendo un círculo con polígonos, calculó sus límites superior e inferior, 3/7 y 310/71 respectivamente, lo que predecía un valor medio de 3,1418… Arquímedes observó también que este mismo número relacionaba el área de un círculo con su radio. El uso de π se comienza a estandarizar y a reconocer en muchos procedimientos de las ciencias a finales del siglo XVI, de hecho, fue Leonhard Euler quien en 1736 impuso la definición de π como la mitad de una circunferencia de radio igual a 1 y cuyo valor es el que conocemos hoy en día.

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El número Euler (e): La constante matemática e, es uno de los números irracionales más importantes en el uso de las ciencias fácticas. El número e surge en las matemáticas quizá treinta siglos después que π; no obstante, se trata de un número que de manera natural se hace presente en muchísimas consideraciones matemáticas, su valor es aproximadamente igual a 2,71828 y aparece en diversas ramas de las matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas, es decir, que este número es muy importante en matemáticas y muchos otros campos relacionados con la producción, la ciencia y en la vida cotidiana de muchos de nosotros.

El número e conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. Este número juega un papel muy importante en el campo del cálculo y forma parte de muchos resultados fundamentales como límites, derivadas, integrales, series, entre otros, además, tiene un conjunto de propiedades que permiten su uso para definir expresiones que tienen aplicaciones importantes en muchos dominios del conocimiento humano, entre alguna de tantas están:

En economía, en el cálculo del interés compuesto; en biología, permite describir el crecimiento celular; en electrónica, describe la descarga de un capacitor; describe el desarrollo de concentraciones iónicas o reacciones en el campo de la química; en el manejo de números complejos, principalmente fórmula de Euler; en datación de fósiles por carbono 14 en paleontología; mide la pérdida de calor de objetos inertes en medicina forense para conocer el momento de la muerte; en estadística con la teoría de la probabilidad y funciones exponenciales en proporción áurea y espiral logarítmica.

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El número e, descubierto por los pitagóricos tiene su auge en el siglo XVI cuando John Napier lo emplea para demostrar su compendio logarítmico, pero es solo en el siglo XVII, cuando Leonhard Euler lo masifica y le otorga la trascendencia que tiene al emplearlo en sus grandes descubrimientos que cobijan la matemática, la geometría, el cálculo infinitesimal y en su gran obra de la teoría de los números.

La constante El número Áureo (φ):

Otro de los grandes números irracionales, tal vez el mas enigmático de los tres que les he querido compartir. El número áureo es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas, fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza, de ahí mi denominación de enigmático. Amenudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura o del arte, como se evidencia en el hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está obra esta proporcionada según el número áureo.

El número áureo, a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción, posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y misterioso, en los sitios más dispares de nuestro mundo.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que “una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor.” En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a + b) / a = a / b. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo valor aproximado es 1,6180339887498...

Casi 2000 años más tarde, en 1525, Alberto Durero publicó su “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, la misma que hoy conocemos como espiral de Durero. Unas décadas después, el astrónomo Johannes Kepler desarrolló su modelo del Sistema Solar, explicado en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico), para tener una idea de la importancia que tenía este número para Kepler, basta con citar un pasaje de esa obra: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional, el primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Es posible que el primero en utilizar el adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número haya sido el matemático alemán Martin Ohm en 1835.

El número áureo también está directamente relacionado con la famosa y muy conocida serie de Fibonacci, serie de la que ya hablé en algún artículo anterior y donde se le relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que como hemos visto antes, la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos gracias al número áureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembra que hay en una colmena, o la disposición de los pétalos de las flores. De hecho, el papel que juega el número áureo en la botánica es tan grande que se lo conoce como la Ley de Ludwig. Quizás uno de los ejemplos más conocidos sea la relación que existe en la distancia entre las espiras del interior espiralado de los caracoles como el nautilus. En realidad, casi todas las espirales que aparecen en la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea, ya que su número generalmente es un término de la sucesión de Fibonacci.

Este número también aparece con mucha frecuencia en el arte y la arquitectura. Por algún motivo, las figuras que están proporcionadas según el número áureo nos resultan más agradables. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulte atractivo, esconde entre sus partes esta relación, ¡asombroso, verdad!

En síntesis, los números irracionales juegan un papel muy importante en nuestra cotidianidad y en nuestra formación académica, tal como lo hemos expresado en los pequeños relatos históricos de Euler (e), de pi (π) y el número áureo (φ), estos irreverentes (en el mejor sentido de la palabra), que no se expresan mediante una razón de dos números enteros, o bien, no pueden ser representados por un número decimal exacto o un decimal periódico, además, también son números trascendentes, es decir, que no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

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