2ª Edição – Novembro 2008 Calheta
Humor
Durante a resolução de um teste, 11º ano Matemática B, o aluno João Gil: "Professor, posso lhe entregar a minha calculadora no final do teste? É que estão aqui todos os cálculos!" (Alcino Simões, 3Fev06).
Encontro de duas rectas
Desafia a tua mente! Desafio 1 Na parede da sala da casa há uma pequena caixa de metal onde estão instalados três interruptores. Um deles acende a lâmpada situada no sótão, cujo acesso se dá por intermédio de uma escada na parede da frente da casa. Os outros dois interruptores nterruptores podem acender as duas lâmpadas - que, aliás, estão queimadas, de duas outras partes da casa. Se do local dos interruptores é totalmente impossível ver se a luz do sótão está acesa e se somente é permitido ir ao sótão uma única vez, como descobrir rir o interruptor que acende a lâmpada lá instalada?
Desafio 2 Qual o número mínimo de fósforos que é preciso remover para que não exista nenhum quadrado na figura?
Tangram Embora haja muitas teorias sobre a origem do tangram, Jerry Slocum verificou que as publicações mais antigas deste puzzle datam de 1813 na China, sendo que apenas em 1817 surgem relatos da sua publicação na Europa e na América. Dudeney, entre 1857 e 1930 verificou que muito embora as seguintes figuras construídas com tangrans fossem muito diferentes a sua área é a mesma. -Ao explorares o puzzle deves constatar que é constituído por sete peças: -um quadrado; -um paralelogramo; -dois triângulos grandes iguais; -um triângulo médio e dois triângulos pequenos iguais. Entre as peças do puzzle existe um grande número de relações geométricas. Relações entre as áreas: -o triângulo grande tem o dobro da área do triângulo médio; -o triângulo médio, o quadrado e o paralelogramo têm a mesma área; -o triângulo médio tem o dobro da área do triângulo pequeno. Está na hora de te divertires um pouco com este puzzle, recorta as peças da página seguinte e constrói as figuras que se seguem.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU PELO MÉTODO DO FALSO NÚMERO 1)
x = 15 4 Se fizer x = 4 teremos:
x+
4 +1 = 5 Como temos que multiplicar 5 por 3 para ficar 15, chegamos à conclusão que x = 12 , que é o 4 que substituímos multiplicado por 3 ( 4 × 3 = 12 )
S = {12} x x + = 38 3 4 Se fizer x = 12 teremos: 12 + 4 + 3 = 19
2) x +
Como temos que multiplicar 19 por 2 para ficar 38, chegamos à conclusão que x = 24 , que é o 12 que substituímos multiplicado por 2 ( 12 × 2 = 24 ).
S = {24} 3)
x 2x + = 24 3 3 Se fizer x = 3 teremos: x+
3+1+2 = 6 Como temos que multiplicar 6 por 4 para ficar 24, chegamos à conclusão que x = 12 que é o 3 que substituímos multiplicado por 4.
S = {12}
4)
x x + = 42 3 4 Fazendo x = 12 , teremos: 4+3=7 Como temos que multiplicar 7 por 6 para ficar 42, chegámos à conclusão que x = 72 que é o 12 que substituímos multiplicado por 6 ( 12 × 6 = 72 ).
S = {72} 5)
x + 10 = 72 7 Fazendo x = 7 , teremos: 7 + 1 + 10 = 18 x+
O 18 deve ser multiplicado por 4 para ser 72 logo 7 também será multiplicado por 4 resultando que x = 28 ????? OPS!!!... Não deu certo! Neste caso proceder da seguinte maneira:
x = 72 − 10 7 68 x = 7× 8 Fazendo x = 7 teremos: x+
7+1 = 8 Então
x=
7 × 62 434 217 = = 8 8 4
S=
{ } 217 4
As operações Como conseguir atingir o número 100 usando os algarismos de 0 a 9, somente com operações aritméticas (multiplicação e soma), desordenadamente?
O número mistério Determine o menor número natural cuja: Divisão por 2 tem resto 1; divisão por 3 tem resto 2; divisão por 4 tem resto 3; divisão por 5 tem resto 4; divisão por 6 tem resto 5; divisão por 7 tem resto 0.
PROB PROBLEMA:
Cada uma das caixas representadas na figura tem 10cm de comprimento, omprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura, tendo sido cada uma atada com uma fita. Em qual das caixas A, B ou C se gastou mais fita? E em qual delas se gastou menos fita? Justifica
2 é maior que 3 ??? Consideremos a seguinte situação. Seja:
1 1 > 4 8 mas esta mesma desigualdade pode ser escrita de outra forma em que o sinal da desigualdade será o mesmo: 2
1 1 > 2 2
3
Aplicando os logaritmos em ambos os membros e como o logaritmo é uma função crescente, isto é, a um número maior corresponde um logaritmo maior, teremos:
1 2 1 3 log >log , 2 2 então pelas propriedades dos logaritmos temos:
1 1 2.log >3.log , 2 2 1 2
em conclusão, se dividirmos ambos os membros por log teremos:
2>3
Um ponto num segmento
Considerem o seguinte exercício para comprovar a vossa familiaridade com grandes números. 1. Peguem numa folha e em algo com que escrever.
2. Tracem um segmento (façam-no no grande, não poupem papel precisamente agora, ainda que o exemplo funcione do mesmo modo) 3. Ponham o número 0 na extremidade esquerda desse segmento. 4. Ponham o número um milhão de milhões ilhões na extremidade direita. Ou seja, vão supor que o segmento que desenharam mede um milhão de milhões. Marquem sobre o mesmo segmento o número mil milhões. Onde o colocariam?
1=2 Suponhamos que se tem dois números quaisquer: a e b. Suponhamos ainda que:
a=b Acompanhem o raciocínio. Se multiplicar ambos os membros por a, a obtemos
a2 = ab Adicionemos agora (a2 - 2ab) a ambos os membros. Daí resulta a seguinte igualdade
a2 + ( a2 − 2ab ) = ab + ( a2 − 2ab ) Ou seja, agrupando,
2a2 − 2ab = a2 − ab Retirando a cada membro o factor comum,
2a ( a − b ) = a ( a − b ) Logo, simplificando ambos os lados pelo ( a − b ) tem-se:
2a = a Simplificamos agora o a de ambos os lados e ficamos com:
2=1 Onde está no erro? É que tem de haver algum, certo? Talvez já se tenham apercebido. Mas talvez não. Sugerimos que leiam cuidadosamente cada passo e procurem descobrir onde está o erro. erro
Átomos no Universo Universo Só como curiosidade e para mostrar outro número enorme, pensem que estima existirem no universo 2300 átomos. Se 210 é aproximadamente 103, então 2300 é aproximadamente 1090. E escrevemos tudo isto para podermos dizer que no universo existem tantos átomos como grafar o um seguido de noventa zeros. Conseguem imaginar??? Desafio Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por €100 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em €10. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?
Soluções da Edição Anterior: Os quadros mágicos As indicações para a resolução do quadro mágico no jornal passado estavam trocadas, assim as indicações para a alínea a eram para a b e viceversa 13 8 9 2 9 4 7
5
3
6
1
8
6
10
14
11
12
7
Consegue contar-se 29 quadrados, dezasseis interiores, um grande, quatro com a área de quatro unidades em cada canto do quadrado, quatro com a área de nove unidades em cada canto do quadrado e quatro com a área de quatro unidades em cada lado do quadrado.
Problema do Autocarro: R: No autocarro há 10 homens e 14 mulheres;)
Quantos rostos tem a árvore? R: Tem 10 rostos. O Problema das Moedas Falsas (Resolução): Ordenamos as pilhas por números de 1 até 10; tomamos i moedas da i-ésima pilha, para i de 1 até 10. Pesamos todas as 1 + 2 + 3 + ... + 10 moedas, num total de 55 moedas, juntas. Se todas as moedas tivessem o mesmo peso (massa de 2g), as 55 moedas pesariam 110g. Ora, se a k-ésima pilha é aquela que contém as moedas de 1g, haverá k destas moedas na pilha pesada, segundo a preparação, donde o peso medido será 110 - k.
Laboratório de Matemática MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)
Professores de Matemática Escola Básica e Secundária da Calheta Professores organizadores: Prof. Marisa Silva Prof. Nélia Nascimento Prof. Sofia Grandão Prof. Tânia Marinho
e-mail: mnst.labmat@gmail.com Visita-nos: http://matlandiacalheta.com.sapo.pt