12ª Edição – Abril 2010 Calheta
2009/2010
O NOSSO BLOG: matlandiacalheta.blogspot.com
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Curiosidades: Um pouco de história... Arquimedes foi um grande matemático que viveu entre 287 a.C. e 212 a.C. Viveu no Egipto e em Siracusa (Itália) e foi quem descobriu uma fórmula para calcular o volume da esfera.
Esta descoberta foi tão importante que foi escrita no seu túmulo.
Muito fácil… Entre que valores pode variar a pontuação obtida se lançares simultaneamente, • 2 dados? • 3 dados?
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Sabias que... Antes de ser adoptado em Portugal o actual sistema métrico decimal, criado por decreto a 13/12/1852, usavam-se outras unidades de capacidade.
Para líquidos: Tonel = 2 pipas = 840 l Pipa = 22 almudes = 420 l quartilhos Almude ou cântaro = 2 potes = 168 l Pote = 6 canadas = 8,4 l Canada = 4 quartilhos = 1,4 l e ainda o meio quartilho e o quarto quartilho.
Para secos: Alqueire = 4 quartas = 13,941 l Quarta = 2 oitavas = 3,46 l Oitava = 2 maquias = 1,730 l
Quadrado mágico
Num quadrado mágico, os números não se repetem e a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma (soma mágica). Verifica que é mágico este quadrado:
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Completa os quadrados seguintes de modo a serem quadrados mágicos. 1 8 7 13
2,6
1,3
1,5 2,1
1,8 1,6 2,2
2,4
1,1
Desafio 1 Quatro piratas perdidos no alto mar foram dar a uma ilha deserta, onde só havia um coqueiro. Todos tiveram a mesma ideia de noite, enquanto os outros dormissem, subir ao coqueiro e tirar alguns cocos. E assim foi! 1 dos cocos. 4 1 - O segundo tirou dos cocos que encontrou. 3 1 - O terceiro tirou dos cocos restantes. 2
- O primeiro tirou
- O quarto já só encontrou 3 cocos e tirou-os todos. Quem ficou com mais cocos?
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Desafio 2 Os rebuçados da Sofia A Sofia tem um saco com 200 rebuçados. Não sabendo muito bem com quem dividir os rebuçados tirou alguns para ela de modo a ficar com tantos que lhe permitam fazer a divisão pelos seus 2 irmãos ou pelos 7 amigos da natação ou pelos 11 colegas de turma, de modo a que o número de rebuçados que calha a cada um dos grupos seja igual.
Desafio 3 Os Pastores e os carneiros Um pastor diz para outro: — Dê um de seus carneiros que ficamos com igual número de carneiros. O outro responde: — Nada disso, dê-me um de seus carneiros que ficarei com o dobro dos seus. Quantos carneiros têm cada um.
Desafio 4
Igualdade Trocando apenas um único dígito de lugar, faça com que esta igualdade esteja correcta. 110-102=10
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Desafio 5
Número de pessoas Numa zona da cidade foram construídos apartamentos num total de 32 ¥ 33 + 52 ¥ 5-‐ 23 . Numa outra zona estão a construir mais
3
(22 ) -‐
23 ¥ 22
apartamentos com a mesma dimensão. Em qual das duas zonas será possível alojar mais pessoas?
Curiosidade:
M ultiplicações
Supõe que queres multiplicar dois números com estas características: o primeiro algarismo de ambos é igual; a soma do segundo algarismo de cada um dos números é 10. Por exem plo, queremos efectuar a seguinte multiplicação, sem usar calculadora, nem papel: 76 x 74 O 1.º algarismo de cada um dos números é 7 e a soma dos segundos é 10 (6 + 4 = 10). 1.º passo: Como o 1.º algarismo é 7, calculas 7 x 8 = 56; 2.º passo: Multiplicas os dois últimos algarismos de cada um dos números, ou seja, 6 x 4 = 24. Ficas então a saber que: 76 x 74 = 5624 Experimenta com outros números nas mesmas condições destes (não te esqueças que os primeiros algarismos têm de ser iguais e a soma dos segundos algarismos tem de ser 10).
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Desafio 6 Multiplicação Russa Vamos aprender um outro algoritmo da multiplicação. O exemplo seguinte mostra como se multiplica 72 por 35. Podes, depois de ler com atenção este exemplo, experimentar com outros números à tua escolha. Colocas um dos números no inicio da coluna A e o outro no inicio da coluna B. Na coluna A dividem-‐se por 2 e coloca-‐se, por baixo, o quociente da divisão inteira. Na coluna B multiplica-‐se o número por 2 e escreve-‐se, por baixo, o resultado dessa multiplicação. Sempre que aparece um número ímpar na coluna A, assinala-‐se o que lhe corresponde na coluna B, com * 72 x 35 = 280+2240= 2520 O resultado da multiplicação é a soma dos números marcados com *
CURIOSIDADE: Existem diversos provérbios que envolvem o número dois. Tal como prometido aqui estão mais dois provérbios! Esperem pela próxima edição, porque ainda há mais :)
"Dois proveitos não cabem num saco só". "Entre os dois venha o diabo e escolha".
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Humor:
Enigma 1 Combinar pontos Num dado normal os pontos não são dispostos ao acaso, mas sim colocados de modo a que as faces opostas tenham por soma 7: assim, 6 está oposto a 1, 4 a 3 e 5 a 2. Contudo, é possível dispor os pontos nas seis faces de um dado de outras maneiras diferentes. Quantas maneiras existem para fazer isso?
Dica: Experimenta começar por fixar a face que contém o número 1 e pensa nos números que podem pertencer às faces vizinhas.
Poema Muitos usam a Matemática como tema dos seus poemas. Por exemplo, António Aleixo, um poeta popular do século XX, brincou com a lógica, ao escrever: Sei que pareço um ladrão… Mas há muitos que eu conheço Que, sem parecer o que são, São aquilo que eu pareço.
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Enigma 2 Jogos de azar O Zéfiro e um amigo jogam com dois dados, mas não utilizam os números. Em vez disso eles pintaram algumas faces de vermelho e outras de azul e lançam os dois dados ao mesmo tempo. O Zéfiro ganha sempre que as duas faces voltadas para cima são da mesma cor e o amigo ganha sempre que são de cores diferentes. Deste modo, são iguais as oportunidades que cada um tem de ganhar. O primeiro dado tem cinco faces vermelhas e uma azul. Quantas faces vermelhas tem o segundo dado? Dica: Tenta descobrir os números de combinações de duas faces do dado com a mesma cor. O nosso Blog Visita-‐nos em matlandiacalheta.blogspot.com, coloca questões, dúvidas, responde aos enigmas e desafios!! Participa!
Soluções Desafio1: Descobre lá…15 e 20 E esta adivinhas? 5 e 7 Desafio 2: Para resolver esta actividade, podem ser seguidas as etapas indicadas na tabela.
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Desafio3: Páginas do livro 01 – 09 à 9 Dígitos 100 – 109 à 30 Dígitos 300 – 309 à 30 10 – 19 à 20 (…)à 9x30 310 – 319 à 30 (…)à8x20 200 – 209 à30 320à 3 (…)à 9x30 Total=189 Total=600 Total=63 Total=189+600+63=852 Logo o total de páginas do livro é de 320. Enigma 1: Quadrados e cubos Quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 (até 100) Cubos Perfeitos: 1, 8, 27, 64, 125 Logo o número comum é 64 Desafio 4: Podemos formar quadrados com 1, 2, 3, 4 ou 5 quadrados de lado. Além disso, a soma de números pares é sempre um par, enquanto a soma de números ímpares apenas é um par se tivermos uma quantidade par de números ímpares. Para que a soma dos números de um quadrado seja um número par, este terá que conter uma quantidade par de números ímpares. Deste modo, temos os seguintes casos: 1. Todo o quadrado com um número par de elementos de cada lado tem um número par de elementos, pelo que é constituído por igual quantidade de números pares e ímpares: 4 / 2 = 2 nos quadrados 2 x 2, e 16 / 2 = 8 nos quadrados 4 x 4, logo existem 16 quadrados 2 x 2, e 4 quadrados 4 x 4, cuja soma dos seus elementos é um número par. 2. Para os quadrados com um número ímpar de elementos podemos ter 1, 3 ou 5 elementos de cada lado. • Um quadrado com um elemento é simplesmente um número, portanto a soma é o próprio número. Assim, temos 12 destes quadrados 1 x 1 que contêm um número par. • Os quadrados 3 x 3 podem conter 4 números pares e 5 números ímpares, ou 5 números pares e 4 números ímpares, se o 1o elemento (canto superior esquerdo) for um número ímpar ou par, respectivamente. Interessam-‐nos pois aqueles cujo 1º elemento é um número par, ou seja:
logo, existem 4 quadrados 3 x 3, cuja soma dos seus elementos é um número par. • O único quadrado 5 x 5 é o inicial, formado por 13 números ímpares, logo não existem quadrados 5 x 5 cuja soma dos seus elementos é um número par. Concluímos então que o número pedido é 16 + 4 + 12 + 4 = 36. Desafio 5: Números Triangulares A resposta é T2007 = 2015028. A seguir mostramos duas maneiras de descobrir a solução do problema. 1. Representando geometricamente o número T5 duas vezes, e juntando os respectivos triângulos, obtemos um rectângulo com 6 unidades de comprimento e 5 de altura. Daqui concluímos que T5+T5 = 6×5 = 30 e portanto T5 = 15. Do mesmo modo, para um inteiro positivo qualquer, n, podemos representar Tn +Tn por um rectângulo de dimensão (n+1) × n e então Tn + Tn = (n+1) × n, logo Tn = ((n + 1) × n)/2. Em particular, para n = 2007 temos T2007 = (2008 × 2007)/2 = 2015028. 2. Tal como T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, podemos obter o 2007 -‐ ésimo número triangular através de T2007 = 1 + 2 + ·∙ ·∙ ·∙ + 2007 = (0+2007) + (1+2006) + (2+2005) + ·∙ ·∙ ·∙ + (1003+1004) = 2007 + 2007 + ·∙ ·∙ ·∙ + 2007 = 2007 x 1004 = 2015028.
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Laboratório de Matemática MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)
Professores de Matemática Escola Básica e Secundária da Calheta Professores organizadores: Prof. Catarina Ferreira Prof. Célia Martins Prof. Marisa Mendes Prof. Marisa Silva Prof. Tânia Marinho
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