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14.ª Edição  –  Março  2011   Calheta  

2010/2011

O NOSSO  BLOG:  matlandiacalheta.blogspot.com 2010/2011


Daniela Moura  n.º3  e  Jéssica  Segala  nº8                      T.  –  6.4      

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Jéssica e  Andreia  –  T.  9.1    

Desafio 1

Quanto é 8 dividido em duas partes?

Elisa Rubina  n.º9  –  T.  6.5  

Curiosidades: O

Como surgiu a raiz quadrada? símbolo

raiz

apareceu

pela

primeira vez em 1525, por Christoph Rudolf (1499 - 1545) no livro de álgebra Die Cross, o primeiro livro germânico sobre álgebra, que é das mais antigas obras impressas a usar fracções decimais, bem como o moderno símbolo para raízes. O símbolo, criado por Rudolff, não teve aceitação imediata nem mesmo na Alemanha, sua terra natal. 3


Sabe-se que, em 1655, John Wallis já utilizava o símbolo e o índice de raiz quadrada da mesma forma que hoje utilizamos. Catarina N.º4    -­‐  T.  6.3  

Desafio 2 - As dez moscas

Como é que distribuirias dez moscas em nove quadrados? Cada quadrado não pode levar mais do que uma mosca.

Diogo Miguel  n.º  4  e  Luís  Carlos  n.º  15                    T.  6.4  

Sabias que...

O maior número aceite no sistema de potências sucessivas de dez, é o Centilhão, registado pela primeira vez em 1852. Representa a centésima potência de um milhão, ou seja, o número 1 seguido de 600 zeros apenas é utilizado na GrãBretanha e na Alemanha. Pedro  Henrique  e  João  Francisco  –  T.  6.4   Francisco  Jardim  –  T.  12.1  

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Passatempos... Jogo do 24

Catarina n.4  –  T.  6.3  

As linhas azuis estão inclinadas ?       Jéssica  e  Andreia  –  T.  9.1    

Anedotas Na aula antes do teste, o professor disse aos alunos: "Os exercícios do teste serão parecidos aos das aulas, apenas os números serão diferentes, não todos por exemplo, o pi continuará a ser 3,14. Nelson Granel  n.º15  T.  11.5  

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Desafio 3 A Patrícia  precisa  de  comprar  canetas.  Numa  papelaria   vendem-­‐se  conjuntos  de  2  canetas  por  4  euros  e  conjuntos  de   3   canetas   por   5   euros.   Qual   é   a   quantidade   mínima   que   a   Patrícia   tem  que  gastar  para  comprar  40  canetas?     Marisa  Fernandes      n.º16  –  T.  11.4  

Desafio 4

– O Lago

Um lago demora 20 dias a encher. Em cada dia enche o dobro do dia anterior. Quantos dias demora a encher metade do lago? Ana Cabo  –  T.  9.3   Olívia  Maurício  –  T.5.5  

O golfista entrevista o jovem que ia passar a transportar os seus tacos: Preciso de alguém que seja bom a matemática. Responda-me depressa: quanto dá 5 mais 4 mais 3? - 10? - Óptimo, está contratado! Rodrigo  Jardim     Pedro  Miranda  –  T.  7.4  

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Desafio 5: Escadas Rolantes Procura-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subiu um degrau de cada vez enquanto que a outra subiu dois. Ao chegar ao topo, a primeira contou 21 degraus enquanto a outra 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (Obs.: a escada está em andamento). Sónia  e  Cristina  –  T.  10.4  

Passatempo... 4

9 8 1

6 1 8

6 2 9

5 4 9

7 3

9 8

6 2 4

1

2 3 3 8 5

                              Duarte  Canha  n.º6   Maria  Gonçalves  n.º15   T.  6.1  

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Adivinha!! Que número sou? Sou menor do que 50. Sou primo. A soma dos meus algarismos é 5. Dividido por 5 dou resto 3. Quem sou eu?

Carina Maciel  T.  9.3  

Um pouco de Historia da Matematica Matemático: Thales de  Mileto   Temas:  Semelhança  de  triângulos      Relação  numérica  entre  os  triângulos  rectângulos   Thales  de  Mileto   Nasceu   por   volta   do   ano   640   a.C.,   na   Ásia   Menor   (actualmente   Turquia).   Thales   era   um   homem   muito   prático,   considerado   o   primeiro   filósofo   que   introduziu   a   geometria   na   Grécia.   Destacou-­‐se   na   elaboração   dedutiva   de   teoremas   sobre   geometria   plana,   no   entanto   não   existem   documentos  da  sua  época  que  possam  confirmar,  com  certeza,  a  veracidade  desta  afirmação.  Thales   está  entre  os  Sete  Sábios.     Iniciou  a  sua  vida  como  comerciante  de  azeite  na  cidade  de  Mileto,   litoral   da   Ásia   Menor   e   conta-­‐se   que   um   ano,   antevendo   uma   grande   produção   de   azeitonas,   monopolizou   todos   os   lagares   de   fazer   o   azeite,   obtendo   assim   um   grande   lucro,   tornando-­‐se   rico,   o   suficiente,   para   dedicar   o   resto   da   sua   vida   ao   estudo.   Realizou   várias   viagens   pelo   litoral   do   Mar   Mediterrâneo  (entre  600  a.  C.  e  550  a.  C.),  conhecendo  assim  as  obras  de   Thales de Mileto alguns   matemáticos   e   astrónomos   de   algumas   regiões,   sobretudo   do   (624 a. C. - 548 a.C.) Egipto.  Dirigiu  obras  hidráulicas  e  diz-­‐se  também  que  desviou  a  direcção  do   rio  Halis  mediante  a  construção  de  diques.   Foi  mais  célebre  como  astrónomo  pois  previu  o  eclipse  total  do  Sol,  visível  na  Ásia  Menor,   crendo-­‐se  também  que  descobriu  a  constelação  da  Úrsula  Menor  e  que  considerava  a  Lua  700  vezes   menor  que  o  Sol.  Também  acredita-­‐se  que  conheceu  o  percurso  do  Sol  de  um  trópico  a  outro.     8  


Explicou os   eclipses   do   Sol   e   da   Lua.   Acreditava   que   o   ano   tinha   365   dias.   Estudou   rectas   e   ângulos   e   realizou   demonstrações   formais   e   rigorosas,   sobre   relações   geométricas   do   círculo   e   do   triângulo   isósceles.   Foi   ele   o   responsável   pelo   cálculo   da   altura   de   uma   pirâmide   a   partir   do   comprimento   da   sua   sombra,   em   determinado   horário   do   dia   e   dependendo   da   posição   do   Sol.   Esquematicamente   temos:   Observemos   o   desenho   abaixo,   a   vara   é   colocada   no   extremo   da   sombra   da  pirâmide,  ponto  C,  e  a  partir  da  sua  sombra  forma  o  triângulo  DCE  que  é  semelhante  ao  triângulo   ABC.       Notemos  que,  nesta  explicação  é  necessário  o   conhecimento  de  teoremas  sobre  triângulos.  

AB BC DC × BC , onde   AB =   = DC CE CE Da   mesma   maneira,   Thales   de   Mileto   mediu   também   a   distância   de   um   navio   à   praia,   supostamente   usando   a   semelhança   de   triângulos.   Esquematicamente   temos:   de   um   ponto   O   na   praia,   fixemos   o   olhar   ao   navio   (ponto   B).   Tracemos   uma   perpendicular   AO   a   OB.   De   A   fixemos   o   olhar  a  B.  Escolhendo  um  ponto  C  na  base  AO,  tracemos  uma  paralela  a  OB,  que  é  perpendicular  à   base.   Os  triângulos  ACD  e  AOB  são  semelhantes,  logo:  

OB OA OA × CD , onde   OB =   = CD CA CA Como   as   distâncias   podem   ser   calculadas   ao   longo   da   praia,   podemos   então   calcular   a   distância   OB.   Resumindo,   a  base  e  o  olhar  para  o  navio  podem   ser  quaisquer,  não  sendo  necessário   serem  perpendiculares,  desde  que  os  ângulos  do  olhar  para  o  navio  e  o  comprimento  da  base  sejam   conhecidos.   Na  filosofia,  Thales  defendeu  a  existência  de  uma  substância  fundamental  que  dá  origem   ao   movimento   e   à   transformação   da   vida,   afirmando   “o   morto   resseca,   enquanto   os   germes   são   húmidos   e   os   alimentos   cheios   de   seiva”.   Até   a   sua   época   todas   as   explicações   do   Universo   eram   mitológicas.   Nenhum   dos   seus   escritos   sobreviveu.   As   suas   ideias   filosóficas   são   conhecidas   devido   à   Metafísica  de  Aristóteles.  Actualmente,  sabemos  que  grande  parte  da  geometria  exercida  por  Thales   era  já  familiar  aos  Babilónios.   Referências:  

• Galeria de  matemáticos  do  Jornal  Elementar,  vol.1.Lisboa,  1991   • Struik,  Dirk,  Historia  Concisa  Das  Matemáticas,  Gradiva,  1997.  

Prof. Fátima  Gonçalves   9  


Nota Final:   Para   terminar   quero   apenas   salvaguardar   que   as   pesquisas   apresentadas   neste   Jornal,   foram  feitas  por  alunos  e  professores  da  Escola  Básica  e  Secundária  da  Calheta.   Mas...   Está  aberta  a  outras  escolas!   Participem!  

O nosso Blog Visita-­‐nos   em   matlandiacalheta.blogspot.com,   coloca   questões,   dúvidas,   responde   aos   desafios!!   E   se   tiveres   alguma   curiosidade   que   gostasses   que   fosse   publicada   (que   ainda   não   tenha   saído   nas   publicações   do   Jornal   MatLânda)  envia-­‐nos  para  o  email  do  Laboratório  de  Matemática.   Participa!!   Ficamos  à  tua  espera!       Soluções  da  13.ª  Edição    

Quadrados Mágicos     2   9   4    Desafio  1     2  +  2  -­‐  2  -­‐  2  =  0      (  2  +  2  )  :  (  2  +  2  )  =  1     7   5   3   2  :  2  +  2  :  2  =  2    2  +  2  -­‐  2  :  2  =  3   6   1   8   Desafio  2  –  Alice  no  País  das  Dúvidas   Se  o  caminho  fosse  o  1,  teríamos  as  placas  1  e  2  correctas,  o  que  contraria  o  enunciado.  Se  o  caminho  fosse  o  3,   novamente  teríamos  2  placas  correctas,  a  2  e  a  3.  Portanto  o  caminho  certo  é  o  2  e  a  única  placa  verdadeira  é  a   3.     Passatempos  -­‐  Caminho  do  Cachorro     50,  59,  34,  143,  55,  147   Quantos  rectângulos  vês  aqui?  7  rectângulos   Desafio  3:  Preencher  as  Nuvens:  5   Desafio  4:  Diferença  de  Patos  e  Cachorros   O  total  de  patos  e  cachorros  é  21:  P+C  =  21   O  total  de  pés  é  54.  Patos  têm  2  patas  e  cachorros  têm  4  patas,  então:  2P+4C  =  54   Portanto  temos  duas  equações.  Isolando  P  na  primeira  temos:  P  =  21-­‐C   Substituindo  na  segunda  equação  temos:   Agora  basta  encontrar  o  P:   2(21-­‐C)+4C  =  54   P  =  21-­‐C   42-­‐2C+4C  =  54   P  =  21-­‐6   2C  =  54-­‐42   P=15   2C  =  12     C  =  6   Há  15  patos  e  6  cachorros,  portanto  a  diferença  é  15-­‐6  =  9.   Desafio  5:  Mais  um  pouco  de  Geometria   Não  há  grandes  métodos  para  descobrir  a  medida,  porque  a  [AB]  é  igual  a  [CD]  que  é  igual  ao   raio  do  círculo.   Logo  é  igual  a  10  cm.   Desafio  6:  Jantar  de  Amigos  

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De acordo   com   o   enunciado   do   problema   teriam   de   estar   presentes   pelo   menos   3   amigos.   Podemos   ir   por   tentativas.   •   Se   fossem   3   amigos,   cada   um   pagaria   240   /   3   =   80.   Se   dois   deles   não   tivessem   trazido   dinheiro   o   terceiro   teria   de  ter  pago  a  despesa  desses  dois,  pelo  que  pagaria  mais  160  euros  e  não  os  10  euros  que  o  enunciado  refere.   •  Se  fossem  4  amigos,  cada  um  pagaria  240  /  4  =  60.  Se  dois  deles  não  tivessem  trazido  dinheiro  os  dois  restantes   teriam  de  ter  pago  mais  60  euros  cada  um  e  não  os  10  euros  que  o  enunciado  refere.   ...   •  Para  8  amigos.  A  despesa  de  cada  um  seria  240  /  8  =  30  euros.  Como  dois  não  tinham  dinheiro  os  restantes   teriam  de  dividir  60  euros  igualmente  por  cada  um  deles.  Ora,  como  60  /  6  =  10  euros,  então  está  de  acordo  com   o  enunciado  do  problema.     Passatempo     4 1 7 3 6 2 9 5 8   9 6 3 8 5 7 1 2 4     8 5 2 4 9 1 3 7 6     1 2 9 6 8 4 5 3 7   3 7 8 9 2 5 6 4 1     6 4 5 7 1 3 2 8 9   2 9 4 1 3 8 7 6 5     5 8 1 2 7 6 4 9 3   7 3 6 5 4 9 8 1 2     Adivinha:  É  o  ANO     Desafio  7   Podemos  notar  que  a  figura  é  parecida  com  um  "A".     Temos  13  pontos  no  total.  Portanto  o  total  de  combinações  entre  eles  é:     !!!" = 286   Porém,   nós   queremos   apenas   as   que   formam   triângulos,   então   temos   que   subtrair   todas   as   combinações   que   não  formam  triângulos,  ou  seja,  as  combinações  em  que  os  pontos  são  COLINEARES.  Temos  3  situações  onde  isso   acontece:     Na   "perna   esquerda"   do   "A",   temos   6   pontos   colineares   que   não   podem   ser   combinados   entre   si,   pois   não   formam  triângulos.     Na  "perna  direita"  do  "A",  temos  a  mesma  situação.     E  no  meio  temos  4  pontos  colineares  que  também  não  podem  ser  combinados  entre  si.     Temos  que  subtrair  essa  3  situações  do  total.  Então  o  número  de  triângulos  que  podem  ser  formados  é:     !!!" − !!! − !!! − !!! = 286 − 20 − 20 − 4 = 242   Portanto  podem  ser  formados  242  triângulos  distintos!     Desafio  8  Moedas   Coloque  a  moeda  4  em  cima  da  7;  a  moeda  6  em  cima  da  2;  a  1  em  cima  da  3;  e  finalmente,  a  8  em  cima  da  5.    

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Laboratório de Matemática MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)

Professores de Matemática Escola Básica e Secundária da Calheta

  Professores organizadores: Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Prof.

Alexandra Cruz Fernando Menezes Marisa Mendes Marisa Silva Nélia Nascimento Tânia Marinho

e-­‐mail:  mnst.labmat@gmail.com   Visita-­‐nos:  http://matlandiacalheta.blogspot.com/    

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14ª Edição do Jornal MatLândia  

14ª Edição de Março de 2011 do Jornal MatLândia

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