Mjerna nesigurnost-pregled normativnih dokumenata

MJERNA NESIGURNOST – PREGLED NAJVAŽNIJIH MEĐUNARODNIH NORMATIVNIH DOKUMENATA IZ PODRUČJA MJERNE NESIGURNOSTI I NJIHOV TEORETSKI TEMELJ

Mirko Vuković

Hrvatski zavod za norme

Sažetek: U ovome se članku daje kratki pregled načela na kojima se temelje najvažniji međunarodni normativni dokumenti za iskazivanje nesigurnosti mjernih rezultata koje su pod pokroviteljstvom Međunarodnog ureda za utege i mjere (BIPM‐a) zajednički sastavile međunarodne organizacije u čijem su djelokrugu različiti aspekti mjeriteljstva (BIPM, OIML, IEC, ISO, ILAC, IFCC, IUPAC, IUPAP).

Mjerenja se provode u gotovo svim područjima ljudske djelatnosti: industriji, trgovini, znanosti, zaštiti zdravlja i sigurnosti, zaštiti okoliša itd. Njihovi se rezultati upotrebljavaju za donošenje različitih tehničkih, gospodarskih, zakonskih, upravnih i političkih odluka. Da bi takve odluke mogle biti ispravne mjerenja moraju davati objektivne podatke. Ona bi bila beskorisna ako se normiranjem ne bi osigurala njihova vjerodostojnost i prihvatljivost svugdje u svijetu. Složenost života, gospodarskih i društvenih odnosa u suvremenome svijetu zahtijevali su utvrđivanje pravila koja se odnose na iskazivanje mjernih rezultata i njihove pouzdanosti.

Nijedno mjerenje nije savršeno točno. Na mjerenja utječu mnogobrojni čimbenici (mjerni sustav, mjerni postupak, vještina tehničara, okoliš) koje nije moguće nadzirati i koji se mijenjaju od jednoga do drugog mjerenja.

Zbog takvih utjecaja mjerni se rezultati međusobno razlikuju (odnosno pokazuju slučajno rasipanje) te pojedinačne vrijednosti ne daju pravu sliku o mjernome rezultatu. Stoga je za dobivanje prave slike o mjernome rezultatu potrebno odrediti ne samo vrijednost oko koje se gomilaju mjerni rezultati nego i područje mogućih vrijednosti mjernih rezultata (neki parametar koji daje procjenu njihova rasipanja) s određenom vjerojatnošću obuhvata. Taj se parametar naziva mjernom nesigurnošću. Mjerna je nesigurnost dakle izraz činjenice da za određenu mjerenu veličinu ili njezin mjerni rezultat ne postoji jedna vrijednost nego beskonačan broj vrijednosti koje su sukladne sa svim opažanjima i podacima i mjeriteljevim poznavanjem fizičkog svijeta te da se one s različitim stupnjem povjerenja mogu pridijeliti toj mjernoj veličini.

Mjerna se nesigurnost može upotrebljavati u procesu profesionalnog odlučivanja i prosudbi atributa u mnogim industrijskim područjima. S povećanjem zahtjeva za dopuštena odstupanja u industrijskoj 8

proizvodnji, uloga mjerne nesigurnosti postaje sve važnija kad se ocjenjuje sukladnost s tim dopuštenim odstupanjima. Mjerna nesigurnost igra središnju ulogu u ocjeni kakvoće i normama kakvoće.

1 Normizacija u području mjerne nesigurnosti, temeljni dokumenti

Svrha je mjerenja određivanje vrijednosti mjerene veličine. Mjerenje prema tomu počinje s odgovarajućom specifikacijom mjerene veličine, mjerne metode i mjernoga postupka. Mjerni je razultat općenito samo približenje ili procjena vrijednosti mjerene veličine, te je potpun samo onda kad ga prati iskaz o nesigurnosti te procjene. Ta se nesigurnost iskazuje područjem ili intervalom u kojem se s navedenom vjerojatnošću (razinom povjerenja) očekuje da leži vrijednost mjerene veličine. U statistici se takav odsječak naziva intervalom povjerenja. Te se granice intervala povjerenja oko procjene x (mjerene veličine X) izražavaju kao x ± U(x) pri čemu U(x) ovisi o slučajnoj promjenjivosti mjerenja, nepoznatim sustavnim djelovanjima i razini povjerenja.

U praksi specifikacija ili definicija mjerene veličine ovisi o zahtijevanoj točnosti mjerenja. Mjerena veličina treba biti što je moguće potpunije određena, tako da za sve praktične svrhe vrijednost mjerene veličine bude jedinstvena te da svaka nesigurnost koja nastaje iz nepotpune definicije bude zanemariva u usporedbi sa zahtijevanom mjernom točnošću što međutim u praksi nije uvijek izvedivo.

U praksi postoji velik broj mogućih izvora mjerne nesigurnosti. Najčešći su od tih izvora nepotpuna definicija mjerene veličine, nesavršeno ostvarenje definicije mjerene veličine, neodgovarajuće poznavanje djelovanja uvjeta okoliša na mjerni postupak ili njihovo nesavršeno mjerenje, vrijednosti pridružene mjernim etalonima, vrijednosti stalnica i drugih parametara dobivene iz vanjskih izvora, približenja i pretpostavka ugrađenih u mjernu metodu i mjerni postupak.

Kako bi se postigla uzajamna suglasnost laboratorija koji provode umjeravanja i izdaju potvrde o umjeravanju o istovrijednosti njihovih mjernih rezultata i potvrda o umjeravanju bilo je potrebno postići međunarodno usklađen pristup izračunavanju mjerne nesigurnosti i njezina iskazivanja u potvrdama o umjeravanju kako bi se lako razumjeli i ispravno tumačili mjerni rezultati u znanosti, tehnici, trgovini, industriji i propisima.

Zbog toga je Međunarodni ured za utege i mjere (Bureau International des Poids et Mesures; BIPM) 1980. godine sazvao sastanak u svrhu postizanja jedinstvenoga i općeprihvaćenoga postupka za opis nesigurnosti. Na tom su sastanku bili nazočni stručnjaci iz 11 državnih primarnih laboratorija. Ta je radna skupinu razvila preporuku .INC‐1 Izražavanje eksperimentalne nesigurnosti. Tu je preporuku 1982. odobrio i ponovno potvrdio 1986. godine Međunarodni odbor za utege i mjere (Comité International des Poids et Mesures, CIPM).

KOMPETENTNOST LABORATORIJA 2012

9

U skladu s Preporukom INC‐11 (1980.) veličina koju bi trebalo upotrebljavati za izražavanje mjerne nesigurnosti trebala bi biti unutarnje povezana, tj. izravno izvediva iz sastavnica koje joj doprinose i neovisna o tome kako su te sastavnice razvrstane u skupine i o raščlanjivanju tih sastavnica u podsastavnice i prenosiva, tj. trebalo bi biti moguće nesigurnost izračunanu za jedan rezultat izravno upotrijebiti kao sastavnicu u izračunu nesigurnosti drugog mjerenja u kojem se upotrebljava taj prvi rezultat. Te se sastavnice prema načinu na koji se određuju njihove brojčane vrijednosti trebaju razvrstavati u dva razreda: sastavnice koje se izračunavaju statističkim metodama (sastavice A‐vrste) i sastavnice koje se izračunavaju na drugi način (sastavnice B‐vrste), a svaki izvještaj o nesigurnosti treba sadržavati potpun popis tih sastavnica navodeći za svaku sastavnicu metodu upotrijebljenu za njezino određivanje. Nadalje, preporuka utvrđuje da se sastavnice A‐vrste opisuju procijenjenim varijancijama si2 (ili procijenjenim standardnim odstupanjima si) i brojem stupnjeva slobode νi.

Sastavnice B‐vrste opisuju se veličinama u i2 koje se mogu smatrati približnim vrijednostima odgovarajućih varijancija, a veličine uj kao standardna odstupanja. Sastavljena se nesigurnost treba opisivati brojčanom vrijednošću dobivenom primjenom uobičajenih metoda sastavljanja varijancija, a treba se, kao i njezine sastavnice, izražavati u obliku standardnih odstupanja.

Drugim riječima, standardna nesigurnost A‐vrste dobiva se iz normalne funkcije gustoće vjerojatnosti, primjenom klasičnih statističkih metoda intervalnih procjena dok se standardna nesigurnost B‐vrste dobiva iz drugih pretpostavljenih nenormalnih funkcija gustoće vjerojatnosti koje se temelje na predviđanju da će se određene utjecajne veličine koje pridonose mjernoj nesigurnosti ponašati na određeni način.

Ukupna nesigurnost mjernog rezultata koja se naziva sastavljenom standardnom nesigurnošću i označuje s uc procijenjeno je standardno odstupanje koje je jednako pozitivnomu kvadratnom korijenu ukupne varijancije dobivene zbrajanjem svih varijancija i kovarijancija (bez obzira na to kako su određene) uporabom zakona prijenosa nesigurnosti.

Kako bi se zadovoljile potrebe nekih industrijskih i trgovinskih primjena te zahtjevi u područjima zaštite zdravlja i sigurnosti, sveukupna nesigurnost U, čija je svrha određivanje intervala oko mjernog rezultata u kojemu se s visokom određenom razinom povjerenja može očekivati da leže vrijednosti koje se razumno mogu pripisati mjerenoj veličini, dobiva se množidbom sastavljene standardne nesigurnosti uc faktorom pokrivanja (obuhvata) k. Faktor pokrivanja k uvijek treba navesti kako bi se standardno odstupanje mjerene veličine moglo količinski izraziti pri računanju sveukupne standardne nesigurnosti drugih mjernih rezultata koji mogu ovisiti o toj veličini.

Na temelju preporuke INC‐1 bilo je potrebno razviti odgovarajuće upute za primjenu. Zadatak razvoja iscrpnih uputa koje se temelje na toj preporuci CIPM je uputio ISO‐u jer je on mogao bolje izraziti potrebe i interes industrije i trgovine. Taj je zadatak dodijeljen savjetodavnoj tehničkoj skupini za mjeriteljstvo TAG 4 ISO‐a. Savjetodavna tehnička skupina TAG 4 osnovala je radnu skupinu WG 3

1

Ta je preporuka koja obuhvaća približno pola tiskane staranice reproducirana u uvodnome dijelu Uputa za iskazivanje mjerne nesigurnosti (GUM = JCGM 100), vidi JCGM 100:2008 (hrvatski prijevod, DZM, 2009.).

10

sastavljenu od stručnjaka koje su imenovali BIPM, IEC, ISO i OIML. Rezultat rada radne skupine WG 3 bile su iscrpne Upute za iskazivanje mjerne nesigurnosti (Guide for exspression uncertainty in measurement, GUM).

Godine 1997. sedam međunarodnih organizacija koje su 1993. godine priredile izvornu verziju Uputa za iskazivanje mjerne nesigurnosti (GUM‐a) i Međunarodnog rječnika osnovnih i općih naziva u mjeriteljstvu (VIM) osnovalo je Zajednički odbor za upute u mjeriteljstvu (JCGM) kojemu je predsjedavao ravnatelj Međunarodnog ureda za utege i mjere (BIPM‐a). JCGM je preuzeo odgovornost za te dvije skupine dokumenata od tehničke savjetodavne skupine 4 ISO‐a (TAG 4).

Zajednički je odbor osnovao BIPM s Međunarodnim elektrotehničkim povjerenstvom (IEC), Međunarodnim savezom za kliničku kemiju i laboratorijsku medicinu (IFCC), Međunarodnom suradnjom na akreditaciji (ILAC), Međunarodnom organizacijom za normizaciju (ISO), Međunarodnom unijom za čistu i primijenjenu kemiju (IUPAC), Međunarodnom unijom za čistu i primijenjenu fiziku (IUPAP) i Međunarodnom organizacijom za zakonsko mjeriteljstvo (OIML).

JCGM ima dvije radne skupine. Zadaća je radne skupine 1, Izražavanje mjerne nesigurnosti, promicanje uporabe GUM‐a i priprema dopuna za njegovu širu primjenu. Radna skupina 2, Radna skupina o Međunarodnom rječniku osnovnih i općih naziva u mjeriteljstvu (VIM), ima zadaću prerađivati i promicati uporabu VIM‐a.

Planirane bi se upute trebale sastojati od sedam dokumenta pod općim naslovom Evalutation of measurement data2. Dijelovi toga niza su:

• JCGM 100:2008, Evalutation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM) • JCGM 101:2008, Evalutation of measurement data – Supplement 1 to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ – Propagation of distributions using a Monte Carlo method • JCGM 102:2008, Evalutation of measurement data – Supplement 2. to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ – Models with any number of output quanitities • JCGM 103, Evalutation of measurement data – Supplement 2. to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ – Modelling • JCGM 104:2009, Evalutation of measurement data – An introduction to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ • JCGM 106:2011, Evalutation of measurement data – The role of measurement uncertainty in conformity assessment

2

Te dokumente izdaju uspredno BIPM (pod navedenim oznakama), ISO i IEC kao ISO/IEC Guide 98 i oznakom odgovarajućega dijela, OIML s odgovarajućim oznakama OIML‐a G1‐100, G1‐101, itd.

KOMPETENTNOST LABORATORIJA 2012

11

• JCGM 200:2008, International Vocabulary of Metrology – Basic and general concepts and associated terme, 3. edition

Radna je skupina dosad objavila pet dokumenta. To su JCGM 100:2008, JCGM 101:2008, JCGM 102:2008, JCGM 104:2008 i JCGM 106:2008. Ostali su dokumenti u različitim fazama pripreme.

2 Određivanje mjerne nesigurnosti

Problem je mjerenja kako najbolje izraziti dobiveno znanje o mjerenoj veličini. Jedan je pristup koji se često upotrebljavao prije uvođenja GUM‐a izražavanje vrijednosti sustavne i slučajne pogrješke koje su povezane s mjerenjem, zajedno s najboljom procjenom mjerene veličine. GUM (JCGM 100) osigurava drukčiji način razmišljanja o mjerenju, posebno o tome kako izraziti uočenu kakvoću mjernog rezultata. Pristup je GUM‐a da se mjerni rezultat izražava kao najbolja procjena mjerene veličine zajedno s pridruženom mjernom nesigurnošću, a ne izražava davanjem najbolje procjene mjerene veličine zajedno s podatcima o vrijednostima sustavne i slučajne pogrješke (u obliku analize pogrješke).

Temeljna je pretpostavka pristupa prema GUM‐u da nije moguće utvrditi koliko je dobro poznata vrijednost mjerene veličine, nego samo koliko se vjeruje da je dobro poznata. Mjerna se nesigurnost, prema tomu, može opisati kao mjera nečijeg vjerovanja u znanje o, u biti, jedinstvenoj vrijednosti mjerene veličine. Ta nesigurnost odražava nepotpuno znanje o mjerenoj veličini. Pojam „vjerovanja“ važan je jer on premješta mjeriteljstvo u područje u kojem se mjerni rezultati trebaju razmatrati i kvantificirati s pomoću vjerojatnosti kojima se izražava stupanj vjerovanja.

3 Zakon prijenosa nesigurnosti

Prethodna se rasprava odnosila na izravno mjerenje veličine što se veoma rijedak slučaj u praksi. U mnogim slučajevima mjerena se veličina ne mjeri izravno, nego se određuje iz drugih veličina na temelju mjernog modela. Elementi za definiranje mjerene veličine koji se zahtijevaju modelom nazivaju se ulaznim veličinama mjernog modela. Mjerena je veličina izlazna veličina mjernog modela koja je s ulaznim veličinama matematički povezana odgovarajućim funkcionalnim odnosom. Odnos između izlazne veličine Y, o kojoj se zahtijevaju podatci, i ulaznih veličina X1, …, XN o kojima su dostupni podatci, daje u obliku (eksplicitno zadane) funkcije mjerenja3:

3

Model mjerenja može biti izražen i implicitno zadanom funkcijom:

h(Y, X1, …, XN) = 0

12

Y = f(X1, X2, …, XN)

Među veličine Xi uključeni su ispravci (ili faktori ispravka) i veličine kojima se uzimaju u obzir drugi izvori promjenjivosti, kao na primjer različiti izvršitelji, različita mjerila, različiti uzorci i laboratoriji i različita vremena u kojima se provode opažanja (npr. različiti dani). Prema tomu, funkcija f iz gornje jednadžbe treba izražavati ne jednostavno kakav fizikalni zakon, nego mjerni proces, a posebno ona mora sadržavati sve veličine koje mogu u većoj mjeri doprinositi nesigurnosti mjernog rezultata.

Osim podataka koji predstavljaju izmjerene vrijednosti veličine, u model su često uključeni i drugi podatci kao što su fizičke stalnice od kojih nijedna nije savršeno poznata. U model mogu biti uključeni i drugi bitni podatci dani u priručnicima, potvrdama o umjeravanju itd. koji se smatraju procjenama dodatnih veličina.

Na slici 1 shematski je prikazan mjerni model s više ulaznih veličina s različitim funkcijama razidobe vjerojatnosti.

Slika 1.

Istinite vrijednosti ulaznih veličina X1, …, XN nisu poznate. U pristupu koji preporučuje GUM te se veličine matematički obrađuju kao slučajne varijable i opisuju razdiobama vjerojatnosti. Često se znanje o ulaznim veličinama Xi mjernog modela prikazuje u sažetu obliku s pomoću procjena xi i njima pridruženih standardnih nesigurnosti u(xi). Ako su neke ulazne veličine Xi i Xj međusobno povezane (ovisne), u taj sažeti prikaz podataka također će biti uključena mjera jačine toga odnosa

pri čemu se tada smatra da se je implicitno zadana jednadžbe rješiva po izlaznoj varijabli Y te da je ona na jedinstven način definirana tom jednadžbom.

KOMPETENTNOST LABORATORIJA 2012

13

koja se specificira kao kovarijancija ili korelacija. Kad veličine Xi i Xj nisu međusobno povezane (kad su neovisne), njihova je kovarijancija jednaka ništici.

Za izvođenje odgovarajuće razdiobe koja opisuje izlaznu veličinu Y na temelju mjernog modela upotrebljava se raspoloživo znanje o ulaznim veličinama modela X1, …, XN koje se opisuju njihovim razdiobama vjerojatnosti. Takvo određivanje razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine Y iz razdioba ulaznih veličina naziva se prijenosom razdioba.

Znanje o ulaznoj veličini Xi može biti izvedeno iz vrijednosti opetovanih mjerenja (određivanje A‐ vrste) ili iz drugih podataka koji se odnose na moguće vrijednosti veličine (određivanje B‐vrste).

Pri određivanju mjerne nesigurnosti A‐vrste često se pretpostavlja da ulaznu veličinu X koja je dana vrijednostima (neovisno dobivenih) ponovljenih mjerenja najbolje opisuje Gaussova razdioba. Tada X ima očekivanje jednako prosječnoj vrijednosti pokazivanja i standardno odstupanje jednako standardnom odstupanju prosječne vrijednosti. Kad se nesigurnost određuje iz malog broja izmjerenih vrijednosti (koje se smatraju posebnim vrijednostima veličine opisane Gaussovom razdiobom), za odgovarajuću se razdiobu može uzeti t‐razdioba.

Za određivanje nesigurnosti B‐vrste, često su dostupni samo podatci da veličina X leži u nekom specificiranom intervalu promjenjivosti te veličine. U takvom se slučaju znanje o toj veličini može opisati pravokutnom razdiobom vjerojatnosti s granicama koje odgovaraju graničnim točkama intervala promjenjivosti. Kad bi bili dostupni drukčiji podatci, upotrebljavala bi se razdioba vjerojatnosti u skladu s tim podatcima (trokutna, trapezna itd.).

Kad su jednom ulazne veličine X1, …, XN opisane odgovarajućim razdiobama vjerojatnosti i kad je razvijen model mjerenja, razdioba vjerojatnosti mjerene veličine Y potpuno je specificirana tim podatcima. Posebno se očekivanje veličine Y upotrebljava kao procjena veličine Y, a standardno odstupanje veličine Y kao standardna nesigurnost veličine Y pridružena toj procjeni.

Često se zahtijeva interval koji sadržava izlaznu veličinu Y sa specificiranom vjerojatnošću. Takav se interval, interval pokrivanja, može izvesti iz razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine Y. Specificirana se vjerojatnost naziva vjerojatnošću pokrivanja.

4 Metode određivanja mjerne nesigurnosti za složene mjerne modele

Nakon definiranja mjernog modela koji povezuje izlaznu veličinu Y s ulaznim veličinama i dodjele ulaznim veličinama Xi funkcija gustoće vjerojatnosti (Gaussove ili normalne, jednolične itd.) (ili zajedničke funkcije gustoće vjerojatnosti onim ulaznim veličinama Xi koje nisu neovisne) na temelju raspoloživog znanja, provodi se prijenos funkcija gustoće vjerojatnosti ulaznih veličina kroz model 14

mjerenja kako bi se dobila razdioba vjerojatnosti izlazne veličine Y i ta razdioba prikazuje u sažetom kako bi se dobilo očekivanje izlazne veličine Y koje se uzima kao procjena y te veličine, standardno odstupanje izlazne veličine Y koje se uzima kao standardna nesigurnost u(y) pridružena procjeni y i interval pokrivanja koji sadržava izlaznu veličinu Y sa specificiranom vjerojatnošću pokrivanja.

Postupak prijenosa nesigurnosti može se provoditi primjenom tzv. okvira nesigurnosti prema GUM‐u koji se sastoji od primjene zakona prijenosa nesigurnosti i opisa izlazne veličine Y Gaussovom ili t‐ razdiobom, analitičkim metodama u kojima se upotrebljava matematička analiza za izvod algebarskog oblika razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine Y i primjenom metode monte karlo (MCM) pri kojoj se aproksimacija razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine Y utvrđuje numerički slučajnim izvlačenjima iz razdioba vjerojatnosti ulaznih veličina i izračunavanjem modela u tim vrijednostima.

Pritom je pristup koji se temelji na okviru nesigurnosti prema GUM‐u općenito približan, pristup s pomoću analitičkih metoda je točan, a pristup koji se temelji na metodi monte karlo daje rješenje s navoljnom brojčanom točnošću.

4.1 Primjena okvira nesigurnosti GUM‐u

Pri primjeni okvira nesigurnosti prema GUM‐u za formiranje procjene y izlazne veličine Y i pridružene standardne nesigurnosti u(y) upotrebljavaju se najbolje procjene xi veličina Xi, standardne nesigurnosti u(xi) pridružene procjenama xi i koeficijenti osjetljivosti ci.

Procjena mjerene veličine ili izlazne veličine Y, koja se označuje s y, dobiva se iz jednadžbe modela uporabom procjena ulaznih veličina x1, x2, …, xN umjesto vrijednosti N ulaznih veličina X1, X2, …, XN. Prema tomu, procjena y izlazne veličine, koja je jednaka mjernomu rezultatu, dana je formulom:

y = f(x1, x2, …, xN)

Sastavljena standardna nesigurnost mjernog rezultata y, koja se označuje s uc(y), a uzima se da prikazuje procijenjeno standardno odstupanje rezultata, pozitivni je kvadratni korijen procijenjene varijancije u c2 ( y) dobivene iz izraza:

⎛ ∂f u ( y) = ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂xi 2 c

N

2

N −1 N ⎞ ∂f ∂f ⎟⎟ + 2∑ ∑ u ( xi , u j ) i =1 j =i +1∂xi ∂x j ⎠

KOMPETENTNOST LABORATORIJA 2012

15

Gornja jednadžba temelji se na aproksimaciji funkcije Y = f(X1, X2, …, XN) njezinim razvojem u Taylorov red i zadržavanjem samo članova prvoga reda te određivanjem varijancija tih članova, a naziva se zakonom prijenosa nesigurnosti. Parcijalne derivacije ∂f/∂xi (koje se često nazivaju koeficijentima osjetljivosti) jednake su parcijalnim derivacijama ∂f/∂Xi određenim u vrijednostima ulazne veličine Xi = xi; u(xi) standardno je odstupanje pridruženo procijenjenoj vrijednosti ulazne veličine xi, a u(xi, xj) procijenjena je kovarijancija pridružena procijenjenim vrijednostima xi i xj ulaznih veličina.

Okvir nesigurnosti GUM‐u daje točne rezultate kad je funkcija mjerenja linearna po ulaznim veličinama i kad su razdiobe vjerojatnosti tih veličina Gaussove. On se za praktične svrhe može na zadovoljavajući način primjenjivati i kad funkcija mjerenja nije jako nelinearna i kad razdiobe ulaznih veličina nisu izrazito asimetrične.

U mnogim slučajevima okvir nesigurnosti prema GUM‐u ne mora davati zadovoljavajuće rezultate.

To su slučajevi kad je mjerna funkcija izrazito nelinearna, kad su razdiobe vjerojatnosti izlaznih veličina asimetrične, kad doprinosi nesigurnosti |c1|u(x1), …, |cN|u(xN) nemaju približno istu apsoultne vrijednosti, i kad je razdioba vjerojatnosti izlazne veličine asimetrična ili kad nije Gaussova ili t‐razdioba.

Katkad je teško unaprijed utvrditi mogu li se primjenjivati uvjeti koji vrijede za okvir nesigurnosti prema GUM‐u. Na slici 2. shematski je prikazan postupak određivanja nesigurnosti uporabom okvira nesigurnosti GUM‐u (prema dokumentu JCGM 1004:2010) pri čemu se gornji lijevi dio slike (omeđen isprekidanim crtama) odnosi na dobivanje procjene y izlazne veličine Y i pridružene standardne nesigurnosti u(y), a ostatak se odnosi na određivanje intervala pokrivanja za Y.

Slika 2 16

Uporaba okvira nesigurnosti prema GUM‐u postaje teža kad je potrebno odrediti parcijalne derivacije (ili njihove numeričke aproksimacije) složenog mjernog modela, što je potrebno prema zakonu o prijenosu nesigurnosti (katkad s članovima višega reda).

Premda se uc može upotrebljavati za izražavanje nesigurnosti mjernog rezultata često je nužno tu nesigurnost dati u obliku intervala oko mjernog rezultata u kojem s visokom razinom povjerenja leže vrijednosti koje se razumno mogu pripisati mjerenoj veličini. Ta dodatna mjera nesigurnosti koja daje takav interval povjerenja naziva se povećanom nesigurnošću i označuje se U. Povećana nesigurnost U dobiva se množenjem sustavljene standardne nesigurnosti uc faktorom pokrivanja k:

U = kuc

Odabir faktora pokrivanja koji odgovara točnoj razini povjerenja može biti teško postići u praksi jer to zahtijeva potpuno poznavanje razdiobe vjerojatnosti mjerene veličine. Međutim za velik broj mejrenja te razdiobu vjerojatnosti koja je približno normalna faktori pokrivanja od 2 i 3 odgovaraju približno razinama povjerenja redom od 95 % i 99 %.

Za dobivanje bolje aproksimacije faktora pokrivanja potrebno je odrediti taj faktor s pomoću Studentove t‐razdiobe. Kad je broj opažanja ograničan (malen broj stupnjeva slobode) može biti potrebno izračunati stvarni broj stupnjeva slobode uporabom Welch‐Satterwaiteove formule (vidi JCGM 100).

4.2 Analitičke metode

Analitičke metode s pomoću kojih se može dobiti algebarski oblik razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine ne unose nikakve aproksimacije, ali se mogu primjenjivati samo u razmjerno jednostavnim slučajevima. Neki slučajevi koji se mogu obrađivati za opći broj N ulaznih veličina linearne su funkcije mjerenja u kojima su razdiobe svih ulaznih veličina Xi Gaussove ili su sve razdiobe ulaznih veličina pravokutne s istom širinom.

Slučajevi u kojima postoji jedna ulazna veličina (N = 1) često se mogu obrađivati analitički uporabom formule za algebarski izvod razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine. Takvi se slučajevi pojavljuju pri transformaciji mjernih jedinica, npr. od linearnih na logaritamske jedinice.

Prednost je algebarskog rješavanja u tome što ono pomaže boljem razumijevanju prikazom ovisnosti razdiobe vjerojatnosti izlazne veličine o parametrima razdiobe vjerojatnosti ulaznih veličina.

KOMPETENTNOST LABORATORIJA 2012

17

4.3 Metoda monte karlo

JCGM 101:2008 daje podrobne podatke o metodi monte karlo kao implementaciji prijenosa razdioba.

Uporabi metode monte karlo pridruženo je manje uvjeta nego uporabi okvira nesigurnosti prema GUM‐u. JCGM 101:2008 daje primjere za usporedbu metode monte karlo s uporabom okvira nesigurnosti prema GUM‐u.

JCGM 101:2008 također daje adaptivni postupak monte karlo u kojem se automatski određuje broj M pokusa monte karlo uporabom mjere konvergencije cijeloga procesa. U JCGM 101:2008 također postoji postupak koji upotrebljava metodu monte karlo za donošenje odluke o tome je li primjena okvira nesigurnosti prema GUM‐u u nekom posebnom slučaju valjana. Na slici slici 3 shematski je prikazan postupak određivanja mjerne nesigurnosti uporabom metode monte karlo (prema dokumentu JCGM 1004:2010), pri čemu se dio slike lijevo od isprekidane crte odnosi na dobivanje procjene izlazne veličine Y i pridružene standardne nesigurnosti u(y), a ostatak se odnosi na određivanje intervala pokrivanja za veličinu Y.

Slika 3

5 Modeli s više izlaza

Dani se prikaz odnosio na univarijatne mjerne modele, tj. modele koji imaju jednu skalarnu izlaznu veličinu. Međutim, u mjeriteljstvu se pojavljuju i modeli s više izlaznih veličina. Takve su veličine općenito međusobno korelirane jer ovise o zajedničkim ulaznim veličinama. Nadalje ulazne ili izlazne veličine u mjernom modelu mogu biti realne ili kompleksne.

18

Takvi mjerni modeli s bilo kojim brojem ulaznih veličina i bilo kojim brojem izlaznih veličina obrađuju se u dokumentu JCGM 102. U JCGM 102 se razmatraju dva pristupa za obradbu takvih modela. Prvi je pristup poopćenje okvira nesigurnosti GUM‐a, a drugi je primjena metoda monte karlo za prijenos razdioba.

Formule za prikaz standardnih nesigurnosti pridruženih procjeni (višedimenzijske) izlazne veličine daju u kompaktnijem obliku s pomoću matrica i vektora, čiji elementi sadržavaju varijancije (kvadrate standardnih odstupanja), kovarijancije i koeficijente osjetljivosti. Prednost je takvoga oblika prikaza u tome što se te formule mogu lako primjenjivati u mnogim programskim jezicima i sustavima koji se temelje na linearnoj algebri.

U JCGM 102 dane su također upute za određivanje područja pokrivanja za izlazne veličine viševarijatnog modela, što bi odgovaralo intervalu pokrivanja za jednu skalarnu veličinu. U takvim višedimenzijskim modelima područja povjerenja poprimaju oblik hiperelipsoida ili hiperpravokutnika.

Bibliografija:

[1] JCGM 100:2008, Evalutation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM) (BIPM, 2008.) (hrvatski prijevod: JCGM 100:2008, Vrednovanje mjernih podataka – Upute za iskazivanje mjerne nesigurnosti, DZM, Zagreb, 2009., ISBN: 978‐953‐6783‐08‐3) [2] JCGM 101:2008, Evalutation of measurement data – Supplement 1 to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ – Propagation of distributions using a Monte Carlo method (BIPM, 2008.) (hrvatski prijevod: JCGM 101:2008, Vrednovanje mjernih podataka – Dopuna 1. Uputama za iskazivanje mjerne nesigurnosti – Prijenos razdioba uporabom metode monte karlo, DZM, Zagreb, 2009., ISBN: 978‐953‐6783‐09‐0) [3] JCGM 102:2008, Evalutation of measurement data – Supplement 2. to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ – Models with any number of output quanitities (BIPM, 2008.)

[4] JCGM 104:2009, Evalutation of measurement data – An introduction to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ (BIPM, 2009.)

[5] JCGM 200:2008, International Vocabulary of Metrology – Basic and general concepts and associated termes, 3. edition (BIPM, 2008.) (hrvatski prijevod: JCGM 200:2008, Međunarodni mjeriteljski rječnik – Osnovni i opći pojmovi i pridruženi nazivi Vrednovanje mjernih podataka – Upute za iskazivanje mjerne nesigurnosti, DZM, Zagreb, 2009., ISBN: 978‐953‐6783‐06‐9) [6] ISO 3534‐1:2006, Statistics – Vocabulary and symbols – Part 1: General statistical terms and terms used in probability [7] Uncertainty, Calibration and Probability, The Statistics of Scientific and Industrial Measurement (C. F. Dietrich) (Adam Hilger, second edition 1991.)

KOMPETENTNOST LABORATORIJA 2012

19