高中數學銜接教材(高一新生)
第一單元 指數
A. 基本性質
1. 定義：設【 a 為實數】，【 n 為正整數】，
⇒【 n n aaaaaa 個 】（ a 自乘 n 次）。
符號 n a 讀作「 a 的 n 次方（或 a 的 n 次冪）」，其中 a 稱為底數， n 稱為指數， n a 稱為指數式。
2. 常用公式
(1) mnmn aaa 。
(2) m mn n
a a a 。
(3) 01a 。 ( 0a ) (註： 00 沒有定義)。
(4) 1n n a a 。( 0a )
(5) ()mnmn aa 。
(6) ()nn nabab 。
3. 有理數指數 (分數指數) (1) 若 0a ， n 為大於 1 的正整數，則方程式 n xa 恰有一個正實根，這個正實根稱為 a 的正 n 次方根，記作 1 nn aa 。 (2) 有理數指數
陳浩 高中數學
談笑間使你成為解題高手 -1- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄
設
ab ， , mn 為大於 1 的正整數，則 ① 1 nn aa 。 ② nnnabab 。 ⇔ 111 () nn n nn n abababab 。 ③ n n n aa bb 。 ⇔ 1 1 1() n n nn n n aaaa bbb b 。 ④ ()nmnm aa 。 ⇔ 1 ()() m n m m m n n n aaaa 。 ⑤ mnmnaa 。 ⇔ 111 ()mn mnnmmn aaaa 。
0,0
(3) 有理數指數的大小次序
已知 , rs
皆為有理數：
① 設 1a ，若 rs ，則 rs aa 。
反之，若 rs aa ，則 rs 。
② 設 01 a ，若 rs ，則 rs aa 。
反之，若 rs aa ，則 rs 。
③ 設 0,1aa ，若 rs aa ，則 rs 。
B. 範例練習
【例 1】 化簡下列各式
(1) 3224 (2)()() aaaa
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(3) 223 22
abb (4) 322 232 () () ab ab (答)：(1) 128a (2) 6724ab (3) 3ab (4) 2 3 b a
(2) 322 3(2)() aabab
() () aab
【類題】 化簡下列各式
(1) 3234 ()() aaa
(2) 32243 (2)(3)() ababab
(3) 2332 ()() abab
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彈指時輕鬆讓你技壓群雄
(答)：(1) 5 a (2) 3272ab (3) 4 3 a b 【例 2】 (1) 2 63232 x x 設 ，試求之值。 (2) 23133522(2)(2) x y xyxy 設 ， ，試求 之值。 (答)：(1)216 (2)55
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -4- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 【類題】 (1) 233183 x x 設 ，試求之值。 (2) + 2421, xy xy xy 設 ，，試求之值。 (答)：(1)12 (2) 11xy ， 【例 3】 求下列各式的值﹕(1) 2 025325(818 1)()(0.25) 627 。 (2) 3223 4 28324 。 解 (1) 2 125 025325432432 818 321 ()()(0.25)(())(())(()) 1627 232 12543() ()432()125 2 (32132129 2)()()()()()3248 3223234 ﹒ (2) 4 3223332522336522(3) 4 4 283242(2)(2)(2)222 4 363612 4 1 22222 4 ﹒
()aa
a
1. 求下列各式的乘積：
(1) 34 (2)(2) aa
(2) 234232 (2)() abcabc
(3) 2432 [(3)()] aab
(4) 222 1 12(4)() 3 abab
(5) 2223(1524)() 3 abcabc
2. 化簡下列各式：
(2) 2333224 ()()() abaab
(3) 3223 (2)(3)(4) ababab
(4) 222342 ()(3)(12) 3 abcababc
陳浩 高中數學
-5-
0a ）： (1) 242 31 () aa aa (2) 53324 aaa
談笑間使你成為解題高手
彈指時輕鬆讓你技壓群雄 【類題】 試化簡下列各式的值（
解 (1)原式 224 3 311 22a aa ﹒
﹒
(2)原式 21451212 1 35335333 2 ()()() aaaaaaaa
C. 綜合練習
(1) 342243 ()()ababab
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -6- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 3. 21 2423633 x xx 設 ，試求與之值。 4. 2 2 2 28324341,, xy xy z xyz 設 ， ，，試求 之值。 (答)：1.(1) 716a (2) 7894abc (3) 1269ab (4) 4316 3 ab (5) 87525 6 abc 2.(1) 33ab (2) 8 ab (3) 4418ab (4) 46 abc 3. 4 2, 9 4. 2,1,0
第二單元 乘法公式
A. 基本性質
1. () abcabac
2. 22()() ababab
3. 222 ()2 ababab
4. 2222() 2() abcabcabacbc
5. 22222() 2( )abcdabcdabacadbcbdcd
6. 33223()33 abaababb
7. 2233()() abaabbab
8. 2233()() abaabbab
9. 22224224 ()() aabbaabbaabb
B. 範例練習
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10. 222 333 ()( )3 abcabcabacbcabcabc 11. 12(1)( 1)1 nn n xxxxx 12. 12(1)( 1)1() nn n xxxxxn 為奇數
【例 1】 展開下列各式 (1) 2(2+3) a (2) 2(32) a (3) (2+1)(21) aa (4) 31 (2+) 3 a (5) 3(23) ab (6) 2 2 (1)(1)(1)(1) aaaaaa (7) 2224 (32)(964) abaabb (8) 2 22 2 (24)(24) aabbaabb (9) 222 (2)(422) abcabcabbcac
(9)
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -8- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 (答)：(1) 2 4129 aa (2) 2 9124 aa (3) 2 41 a (4) 3221 84 327 aaa (5) 3223 8365427 aababb (6) 2 (7) 36278ab (8) 4224 416 aabb
33386 abcabc
(1) 2(41) a (2) 2(25) a (3) (32)(32) aa (4) 31 (3) 2 a (5) 3(2) ab (6) 22 (1)(1) ababab (7) 2 2 ()() 23469 abaabb (答)：(1) 2 1681 aa (2) 2 1681 aa (3) 2 94 a (4) 322791 27 248 aaa (5) 3223 6128 aababb (6) 331ab (7) 33 827 ab 【例 2】
2 2
【類題】 展開下列各式
試用乘法公式，求下列各式之值： (1) 2(30.1) (2) 2211 (27)(22) 22 (3) 2 2(137)13774(37) (4) 222 342145234212214524534
(5)
(10+20)(10102020)
(6) 2 (201)(20201)
(7) 3(0.99) (8) 3(1.02)
(5) 9000 (6) 7999 (7) 0970299 (8) 1061208
(1) 2 21111 (151)215151(51) 2222
(2) 222 49+(85)36249852853623649
(4) 22 (103)(10303)
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(答)：(1) 906.01 (2) 250 (3) 10000 (4) 100
【類題】 試用乘法公式，求下列各式之值：
2
(3)
(602)(601204)
(答)：(1) 10000 (2) 0 (3) 215992 (4) 1027 【例 3】 (1) 22334,3, abababab 設 試求與之值。 (2) 222 7,25,abcabc abbcac 設 試求 之值。 (3) 2 3 2 3 1 11 2,a aa a aa 設 試求 與 之值。 (答)：(1) 28 (2) 12 (3) 2,2
【類題】
(1) 225,6,abab abab
(2) 2222,1, abcabbccaabc
(3)
(4)
(答)：(1) 37,7 (2) 2 (3) 152 (4) 36
C. 綜合練習
1.
(5) 24 (1)(1)(1)(1) aaaa
2. 22 204196(204196)(204),,xyxy
陳浩 高中數學
-10-
談笑間使你成為解題高手
彈指時輕鬆讓你技壓群雄
設
試求與之值。
設 試求 之值。
2 2
a
設 試求 之值。
2 6,(2)(2)(24)(24)
aaaaaa
333
abc 設 試求 之值。
6,11,6,abcabbccaabc
展開下列各式
2
2
2
(1) 22 ()() abab
(2)
(2)(24) aaa
(3) ()() abcabc
(4)
22
(2)(3)(24)(39) ababaabbaabb
若 試求之值。
若 試求之值。
3. 2 2 ()21,()5, abab ab
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因式分解
A. 基本性質
1. 提公因式法：分組分解法、分項分解法
2. 公式法：利用乘法公式作因式分解
3. 十字交乘法。
4. 一元二次方程式根與係數關係：
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第三單元
, 為一元二次方程式 2 0axbxc 的兩實根，則：
b a
c a
設
(1)
(2)
B. 範例練習
因式分解下列各式：
(1) 22 ()(2)()(2) xyxyxyxy
(2) 2 36510 aaxabbx
(3) 43221xxxx
因式分解下列各式：
(1) 22 22 2()4() abxxyabyxy
(2) 248abab
(3) 432 241015 xxxx
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【例 1】
(答)：(1) ()(2) yxyxy (2) (2)(35) axab (3) 2 2 (1)(1) xxx
【類題】
(答)：(1) 2()(2) abxyaxby (2) (4)(2) ab (3) 2 2 (23)(25) xxx
【例 2】 因式分解下列各式：
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(1) 22 (21)(2) xx (2) 2 221 39 xxyy (3) 2222 abcbc (答)：(1) (31)(3) xx (2) 21 9(3) xy (3) ()() abcabc
(1) 222 242xyxxyy (2) 3611 278xy (3) 481x (答)：(1) (2)(2) xyxyxyxy (2) 2224 1 2(23)(469) 16xyxxyy (3) 2 (9)(3)(3) xxx
【類題】 因式分解下列各式：
【例 3】 因式分解下列各式：
(1) 421110xx
(2) 2 15()()2 xyxy
(3) 2 2 56372xxyyxy
(答)：(1) 2 (10)(1)(1) xxx (2) (331)(552) xyxy (3) (21)(32) xyxy
(1) 6378xx
(2) 222 2()5()4() ababab
(3) 2 2 561xxyyy
)：(1) 2 2 (1)(1)(2)(24) xxxxxx (2) 2(35) bab (3) (21)(31) xyxy
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【類題】
因式分解下列各式：
(答
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -16- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 【例 4】 2 22 33 ,2340 (1)? (2)? (3)+=? xx 設為 的兩根，則： (答)： (1) 3 2 (2) 25 4 (3) 99 8 【類題】 2 22 , 0 317, xaxb ab 設為 的兩根，若 且 ，試求之值。 (答)： 3,4ab
C. 綜合練習 因式分解下列各式
1. 33 (2)(1)(2)(1) xxxx
2. 2 2 axabxbyaby
3. 32221xxx
4. 2222 abab
5. 222 2()4()4() ababab
6. 2 2 2 ()()() abcbcacab
7. 421336xx
8. 2 2 2443xxyyxy 9. 44x
10. (2)(3)(4)(5)44 xxxx
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-17-
談笑間使你成為解題高手
彈指時輕鬆讓你技壓群雄
(答)：1. (2)(1)(23) xxx 2. ()() abaxby 3. 2 (+1)(1) xxx 4. ()(2) abab 5. 2(3) ab 6. ()()() abbcac 7. (2)(2)(3)(3) xxxx 8. (1)(3) xyxy 9. 2 2 (22)(22) xxxx 10. 2 2 (24)(219) xxxx
第四單元 根式化簡與運算
A. 基本性質
1. 方根化簡原則：
(1) 使分母不含根號。 (2) 把根號內的因數盡量移到根號外。
(3) 把開方次數化為最小。 (4) 多重根號化為單根號。
B. 範例練習
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(1) 2 aa (2) 33 aa (3) 0,nn aaa 則 (4) ,0,nnn ababab 則 (5) 0,mnmn aaa 則 (6) 0,nmmn a aa 則
2. 常用公式：
【例 1】 化簡下列各式： (1) 81 (2) 72 (3) 3500 (4) 312448 (5) 1 32 (6) 32 23 (7) 328 (答)：1. 9 2. 62 3. 3 54 4. 133 5. 32 6. 6 6 7. 2
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -19- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 【類題】 將下列各根式化為最簡根式( 0a )： (1) 524a (2) 37 27a (3) 38 264a (4) 185032 (5) 333 64322108 (6) 2 51 (答)：1. 2 26aa 2. 233aa 3. 32aa 4. 42 5. 3 104 6. 51 2 【例 2】 將下列各根式化為最簡根式： (1) 526 (2) 827 (3) 743 (4) 415 (答)：1. 32 2. 71 3. 23 4. 106 2
C. 綜合練習
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將下列各根式化為最簡根式： (1) 7212 (2) 17122 (3) 521 (答)：1. 23 2. 322 3. 146 2
【類題】
將下列各根式化為最簡根式： 1. 812+1827 2. 3340135 3. 7 6 4. 3 5 9 5. 22 3153 6. 962 7. 9220 8. (2356)(263)
陳浩 高中數學
談笑間使你成為解題高手 -21- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄
2. 比較 2+11 與 6+7 的大小。
設 32 2 x ， 32 2y ，是求下列各式之值。 (1) xy？ (2) xy？ (3) 22 xy？ (答)：1.(1) 523 (2) 3 55 (3) 42 6 (4) 315 3 (5) 51 (6) 63 (7) 52 (8) 5432 2. 6+7 大於 2+11 3. 52 大於 72 4.(1) 3 (2) 1 4 (3) 5 2
3.
比較 72 與 52 的大小。 4.
第五單元 方程式
A. 基本性質
1. 一元一次方程式： 0 00
b a axbxa ab
2. 一元二次方程式： 2 2 004 axbxcaDbac ，，
(1) 24 0 2 bbac Dx a 若，則 (有兩相異實根)
(2) 0 2 b Dx a 若，則 (有重根，原方程式為完全平方式)
(3) <0 Dx 若，則無實數解 (無實根，有兩共軛虛根) 2
則： 0
(1) 11 22
(2) 111 222
axbxc b a c a
絕對值方程式：當時
當時
axbyc axbyc
在直角坐標平面上的圖形為兩條直線，又若
ab ab ，則此二直線相交於一點，即方程組恰有一組解。
= abc abc ，則此二直線互相平行，即方程組無解。
(3) 111 222
== abc abc，則此二直線重合，即方程組有無限多組解。
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -22- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄
，當時 無解，當，時
3. 0 +
根與係數的關係：若，為一元二次方程式 的兩個實根，
4. 0 x xx x xx
5. 二元一次聯立方程式 111 222
範例練習
解方程式 03(81)229 xx
8
(1) 0.1(10)90.2(1) x x
(2) 3(31)2(1)3(3) y yy
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B.
【例 1】
(答)：
【類題】 解方程式
(答)：(1) 26x (2) 2y 【例 2】
(答)： 82 53 x或
解一元二次方程式 2 1514160 xx
(1) 2 2350 xx
(2) 210xx
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -24- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 【類題】 解下列方程式
(答)： (515 1)1(2)(3) 22 x x 或 無解 【例 3】 解分式方程式 2424 1 4 xx (答)： 128x或 【類題】 解分式方程式 43 3 1xx (答)： 2 2 3 x或
(3) 2+570xx
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -25- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 【例
】 解絕對值方程式 (1) 43x (2) 213 x (答)： (1) 17x或 (2) 21x或 【類題】 解絕對值方程式 260xx (答)： 2x 【例 5】 下列各聯立方程式中，何者為平行的兩直線： (1) 5 6 xy xy (2) 231 325 xy xy (3) 55 10210 xy xy (4) 252 4103 xy xy (答)： (4)
4
【類題】 下列各聯立方程式中，何者為相交於一點的兩直線：
C. 綜合練習
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(1) 835 435 xy xy (2) 236 11 1 32 xy xy (3) 0.990.991 1 xy xy (4) 235 235 xy xy (答)： (1)、(4)
1. 解下列一元一次方程式
x (3) 215131 1 386 yyy 2. 解下列一元二次方程式 (1) 2450xx (2) 2 2310 xx (3) 210xx
(1) 2(43)615 xxx (2) 25(12)12.512.5(14) x
3. 解下列方程式
(1) 2 1 1x
(2) 42 3 12xx
(3) 215 x
4. 把 108 個玩具分給一群兒童，已知每人分得的玩具數恰比兒童總數少 3 個，試求這群兒童的總人 數。
5. 一正方形邊長 4，今截去 4 個角使成正 8 邊形，求此正 8 邊形的邊長。
6. 已知 ， 為 2310xx
7. 解方程式 (1)(2)(3)(4)240 xxxx
談笑間使你成為解題高手 -27- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄
陳浩 高中數學
(1) (2) (3) 22 (4)
之兩根，求下列各值：
陳浩 高中數學 談笑間使你成為解題高手 -28- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄 8. 設 a 是整數，若方程式 2(2)(32)0xax 有一整數根，求 a 之值。 9. 已知 2 21(343)0xyxy ，求 2xy？ 10. 已知 23123 245 xyxy ，求 x ， y 之值。 11. 若 37 8 xy axby 與 33 2314 xy axby 有相同的解，求 ab ， 之值。 12. 已知 2 2(20)(6)0 250 xaya xy 有無限多組解，則 a？ (答)： 1.(1) 3 2 x (2) 0x (3) 5x 2.(1) 5.1x (2) 317 4 x (3) 無解 3.(1) 3x (2) 0.3x (3) 3x 4.12 人 5. 424 6.(1)3 (2)1 (3)7 (4)7 7. 0 ， 5 8.2 9.13 10. 0 1 x y 11. 1 2 a b 12. 4a
第六單元 不等式
A. 基本性質
1. 一元一次不等式：
(1) 若 ab ， c 為任意數 acbc
(2) 若 ab ， c 為任意數 acbc
(3) 若 ab 且 0cacbc 且 ab cc
(4) 若 ab 且 0cacbc 且 ab cc
例 1：已知 25(2)(3)(5)(3)
例
2. 一次不等式類型：
▶ 一個不等號(移項法則)(不等量公理)
<型 1>： 23213 xx
▶ 二個不等號
<型 1>： 1232 x (未知數僅在中間)(脫衣法)
<型 2>： 52334xxx (未知數不僅在中間)(分段聯立，數線求解)
3. 絕對值不等式：
(1) 一個絕對值：(去絕對值取正負)(小於在中間，大於在兩邊)
<例 1>： 231 x
<例 2>： 231 x
(2) 不只一個絕對值：(數線上標出關鍵點)(分段討論)(數線求解)
<例 1>： 311xx
<例 2>： 215xxx
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【口訣】：
2：已知
(2)(3)(5)(3) 例 3：已知 25 (2)(5)(2)3(5)333 且 例 4：已知 25 (2)(5) (2)(3)(5)(3)(3)(3) 且
25
<例 1>： 2430xx
<例 2>： 2230xx
<例 3>： 2 2 (23)(21)0 xxxx
<例 4>： (1)(2)(3)(4)0 xxxx
C. 綜合練習
1. 解下列不等式：
(1) 23 1 6 x x
(2) 36(52)2(6)4 xxx
(3) 214431 xxx (4) 24310 x
22112 x
陳浩 高中數學
談笑間使你成為解題高手 -30-
4. 高次不等式：(穿針引線，奇穿偶彈)
(9)
(答)： 1.(1) 9 4 x (2) 4x (3) 5 3 2 x (4) 513 44 x (5) 75 22 x (6) 1 2 x (7) 13 22 x (8) 3 1 2 xorx (9) 14 3 23 xorx
(5)
(6) 3628 xxx
(7) (21)(1)(21)(3)(21) xxxxx
(8) 2 2 (23)(69)0 xxxx
(21)(3)(34)0 xxx
