高一先修

陳浩 高中數學

高中數學銜接教材(高一新生) 第一單元

指數

A. 基本性質 1. 定義：設【 a 為實數】，【 n 為正整數】， ⇒【 a n  a  a  a  a  a 】（ a 自乘 n 次）。 n個

符號 a n 讀作「 a 的 n 次方（或 a 的 n 次冪）」，其中 a 稱為底數， n 稱為指數， a n 稱為指數式。 2. 常用公式 (1) a m  a n  a m  n 。 (2)

am  a mn 。 n a

(3) a 0  1 。 ( a  0 ) (4) a  n 

(註： 00 沒有定義)。

1 。( a  0 ) an

(5) (a m ) n  a mn 。 (6) a n  b n  (ab) n 。 3. 有理數指數 (分數指數) (1) 若 a  0 ， n 為大於 1 的正整數，則方程式 x n  a 恰有一個正實根，這個正實根稱為 1 n

a 的正 n 次方根，記作 a  a 。 n

(2) 有理數指數 設 a  0 , b  0 ， m, n 為大於 1 的正整數，則 1 n

a na。

① ②

n

a  n b  n ab 。 ⇔

1

n

1

1

a  n b  a n  b n  (ab) n  n ab 。 1

③

n

a na 。  n b b

a an a 1n n a 。   ( )  1 n b b b n b

n

⇔

1

m

④ ( n a )m  n a m 。 ⇔

( n a ) m  (a n ) m  a n  n a m 。

⑤ m n a  mn a 。

m n

1

⇔

1

1

a  (a n ) m  a mn  mn a 。

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陳浩 高中數學 (3) 有理數指數的大小次序 已知 r , s 皆為有理數： ① 設 a  1 ，若 r  s ，則 a r  a s 。 反之，若 a r  a s ，則 r  s 。 ② 設 0  a  1 ，若 r  s ，則 a r  a s 。 反之，若 a r  a s ，則 r  s 。 ③ 設 a  0 , a  1 ，若 a r  a s ，則 r  s 。

B. 範例練習 【例 1】 化簡下列各式 (1) a  (2a )3  (a 2 ) 2  (a ) 4  (2) 3a  (2ab)3  (ab2 )2  (3)

a 2  (ab 2 )3  ( a 2b) 2  b

(4)

a 3  (b 2 ) 2  ( a 2 )3  b 2

(答)：(1) 8a

12

(2) 24a b

6 7

(3) ab

3

b2 (4) 3 a

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陳浩 高中數學 【類題】 化簡下列各式 (1) a 3  (a 2 )3  (a ) 4  (2) (2ab)3  (3a 2b) 2  (a 4b3 )  (3) (a 2b)3  (ab3 ) 2 

(答)：(1) a 5

(2) 72a 3b 2

(3)

a4 b3

【例 2】 (1) 設 22 x  3 ，試求 26 x3 之值。 (2) 設 2 x  3  13 ， 3 y  5  22 ，試求 (2 x  y )(2 x  y ) 之值。

(答)：(1) 216

(2) 55 談笑間使你成為解題高手 -3- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【類題】 (1) 設 3x  18 ，試求 32x3 之值。 (2) 設 2 x +y  4 ， 2 x  y  1，試求 x , y 之值。

(答)：(1) 12

(2) x  1，y  1

【例 3】 81 8 2 求下列各式的值﹕(1) ( ) 0.25  ( ) 3  (0.25) 2.5 。 16 27

(2) 23  82  4 322  43 。

解

81 8 2 3 1 2 2 1 5 (1) ( ) 0.25  ( ) 3  (0.25) 2.5  (( ) 4 ) 4  (( )3 ) 3  (( ) 2 ) 2 16 27 2 3 2 2 1 5 3 4(  ) 2 3(  ) 1 2(  ) 3 2 1 2 9  ( ) 4  ( ) 3  ( ) 2  ( ) 1  ( ) 2  ( ) 5    32  48 ﹒ 2 3 2 2 3 2 3 4

(2) 23  82  4 322  43  23  (23 ) 2  4 (25 ) 2  (22 ) 3  23  26  4 252 2( 3) 4

 23  26  2 4  2361  22 

1 ﹒ 4

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陳浩 高中數學 【類題】

解

(1)原式 

(a 2 ) 2 3 2



 1

a a 2

2 1 3 5

(a 2  a 4 ) 2

(1)

試化簡下列各式的值（ a  0 ）：

a

3

a

1

(2) 5 a  3 a 2 

3

a4

a4  a3 ﹒ 1 a 4 1 3 2

5 1 3 5

2 3

1 3

2 3

(2)原式  (a  a )  (a )  (a )  a  a  a  a ﹒

C. 綜合練習 1. 求下列各式的乘積： (1) (2a )3  (2a 4 )  (2) (2a 2b3c 4 ) 2  (a 3b 2 c)  (3) [(3a 2 )  (a 4b3 )]2 

1 (4) 12a 2b  (4a 2 )  ( b) 2  3 (5) (

15 2 2 2 ab c)  ( a 2bc)3  4 3

2. 化簡下列各式： (1) a 3b 4  (a 2b) 2  (a 4b3 )  (2) (a 2b3 )3  (a 3 ) 2  (ab 2 ) 4  (3) (2ab)3  (3a 2b) 2  (4a 3b) 

2 (4) ( ab 2 c) 2  (3a 2b)3  (12a 4bc)  3

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陳浩 高中數學 3. 設 32x 1  6 ，試求 32x 與 34x  2 之值。

4. 設 22 x  y  8 ， 32 x  y  243 ， 42 z  1，試求 x , y , z 之值 。

(答)：1.(1) 16a 7 2.(1) a 3b3 3. 2 ,

4 9

(2) 4a 7b8c9 (2) a8b

(3) 9a12b 6

(3) 18a 4b 4

(4) 

16 4 3 ab 3

(5) 

25 8 7 5 abc 6

(4) a 4b 6 c

4. 2 ,  1 , 0

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談笑間使你成為解題高手 -6- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學

第二單元

乘法公式

A. 基本性質 1. a (b  c)  ab  ac 2. (a  b)(a  b)  a 2  b 2 3. (a  b) 2  a 2  b 2  2ab 4. (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2(ab  ac  bc) 5. (a  b  c  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2  2(ab  ac  ad  bc  bd  cd ) 6. (a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3 7. (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 8. (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 9. (a 2  ab  b 2 )(a 2  ab  b 2 )  a 4  a 2b 2  b 4 10. (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc)  a 3  b3  c3  3abc 11. ( x  1)( x n 1  x n  2    x  1)  x n  1 12. ( x  1)( x n 1  x n  2    x  1)  x n  1 (n 為奇數)

B. 範例練習 【例 1】 展開下列各式 (1) (2a +3) 2  (2) (3a  2) 2  (3) (2a +1)(2a  1) 

1 (4) (2a + )3  3 (5) (2a  3b)3  (6) (a  1)(a 2  a  1)  (a  1)(a 2  a  1)  (7) (3a  2b 2 )(9a 2  6ab 2  4b 4 )  (8) (a 2  2ab  4b 2 )(a 2  2ab  4b 2 )  (9) (a  2b  c)(a 2  4b 2  c 2  2ab  2bc  ac) 

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陳浩 高中數學 (答)：(1) 4a 2  12a  9

(2) 9a 2  12a  4

(5) 8a 3  36a 2b  54ab 2  27b3

(3) 4a 2  1

(6) 2

2 1 (4) 8a 3  4a 2  a  3 27

(7) 27 a 3  8b 6

(8) a 4  4a 2b 2  16b 4

(9) a 3  8b3  c3  6abc 【類題】 展開下列各式 (1) (4a  1) 2  (2) (2a  5) 2  (3) (3a  2)(3a  2)  1 (4) (3a  )3  2

(5) (a  2b)3  (6) (ab  1)(a 2b 2  ab  1) 

a b a 2 ab b 2  ) (7) (  )(  2 3 4 6 9

(答)：(1) 16a 2  8a  1 (4) 27 a 3 

(2) 16a 2  8a  1

27 2 9 1 a  a 2 4 8

(6) a 3b3  1

(7)

(3) 9a 2  4

(5) a 3  6a 2b  12ab 2  8b3

a 3 b3  8 27

【例 2】 試用乘法公式，求下列各式之值： (1) (30.1) 2 

1 1 (2) (27 ) 2  (22 ) 2  2 2 (3) (137) 2  137  74  (37) 2  (4) 342  212  452  2  34  21  2  21 45  2  45  34  (5) (10+20)(102  10  20  202 )  (6) (20  1)(202  20  1)  (7) (0.99)3  (8) (1.02)3 

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陳浩 高中數學 (4) 100

(答)：(1) 906.01

(2) 250

(3) 10000

(5) 9000

(6) 7999

(7) 0.970299

(8) 1.061208

【類題】 試用乘法公式，求下列各式之值：

1 1 1 1 (1) (151 ) 2  2 151  51  (51 ) 2  2 2 2 2 (2) 492 +(  85) 2  362  2  49  85  2  85  36  2  36  49  (3) (60  2)  (602  120  4)  (4) (10  3)(102  30  32 ) 

(答)：(1) 10000

(2) 0

(3) 215992

(4) 1027

【例 3】 (1) 設 a  b  4 , ab  3 , 試求 a 2  b 2 與 a 3  b3 之值。 (2) 設 a  b  c  7 , a 2  b 2  c 2  25 , 試求 ab  bc  ac 之值。 (3) 設 a 

1 1 1  2 , 試求 a 2  2 與 a 3  3 之值。 a a a

(答)：(1) 28

(2) 12

(3) 2 , 2 談笑間使你成為解題高手 -9- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【類題】 (1) 設 a  b  5 , ab  6 , 試求 a 2  b 2 與 a  b 之值。 (2) 設 a 2  b 2  c 2  2 , ab  bc  ca  1 , 試求 a  b  c 之值。 (3) 設 a 2  6 , 試求 (a  2)(a  2)(a 2  2a  4)(a 2  2a  4) 之值。 (4) 設 a  b  c  6 , ab  bc  ca  11 , abc  6 , 試求 a 3  b3  c3 之值。

(答)：(1) 37 ,  7

(2) 2

(3) 152

(4) 36

C. 綜合練習 1. 展開下列各式 (1) (a  b) 2 (a  b) 2  (2) (a  2)(a 2  2a  4)  (3) (a  b  c)(a  b  c)  (4) (a  2b)(a  3b)(a 2  2ab  4b 2 )(a 2  3ab  9b 2 )  (5) (a  1)(a  1)(a 2  1)(a 4  1) 

2. 若 2042  1962  (204  196)(204  x)  y , 試求 x , y 之值。

3. 若 (a  b) 2  21 , (a  b) 2  5 , 試求 ab 之值。

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陳浩 高中數學 4. 設 a  b  7 , ab  10 , 試求 a 2  b 2 與 a 4 +b 4 之值。

5. 設 x 

1 1 1  5 , xy   18 , 試求 y  之值。 y xy x

6. 設 xy  x  y  3 , 試求 ( x  1)( y  1) 之值。

(答)：1.(1) a 2  2a 2b 2  b 4

(2) a 3  8

(4) a 6  19a 3b3  216b 6 2. 196 , 3200

3. 4

(3) a 2  2ac  c 2  b 2

(5) a8  1 4. 29 , 641

5. 4

6. 2

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陳浩 高中數學

第三單元

因式分解

A. 基本性質 1. 提公因式法：分組分解法、分項分解法 2. 公式法：利用乘法公式作因式分解 3. 十字交乘法。 4. 一元二次方程式根與係數關係： 設  ,  為一元二次方程式 ax 2  bx  c  0 的兩實根，則： (1)      (2)    

b a

c a

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陳浩 高中數學

B. 範例練習 【例 1】 因式分解下列各式： (1) ( x  y )( x  2 y ) 2  ( x  y ) 2 ( x  2 y ) (2) 3a 2  6ax  5ab  10bx (3) x 4  x3  2 x 2  x  1

(答)：(1) y ( x  y )( x  2 y )

(2) (a  2 x)(3a  5b)

(3) ( x 2  x  1)( x 2  1)

【類題】 因式分解下列各式： (1) 2a 2b( x 2  xy )  4ab 2 ( y 2  xy ) (2) ab  2a  4b  8 (3) 2 x 4  4 x 3  x 2  10 x  15

(答)：(1) 2ab( x  y )(ax  2by )

(2) (a  4)(b  2)

(3) ( x 2  2 x  3)(2 x 2  5)

談笑間使你成為解題高手 -13- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【例 2】 因式分解下列各式： (1) (2 x  1) 2  ( x  2) 2 2 1 (2) x 2  xy  y 2 3 9

(3) a 2  b 2  c 2  2bc

(答)：(1) (3 x  1)( x  3)

(2)

1 (3 x  y ) 2 9

(3) (a  b  c)(a  b  c)

【類題】 因式分解下列各式： (1) 4 x 2 y 2  x 2  2 xy  y 2 (2)

1 3 1 6 x  y 27 8

(3) x 4  81

(答)：(1) (2 xy  x  y )(2 xy  x  y )

(2)

1 (2 x  3 y 2 )(4 x 2  6 xy 2  9 y 4 ) 216

(3) ( x2  9)( x  3)( x  3)

談笑間使你成為解題高手 -14- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【例 3】 因式分解下列各式： (1) x 4  11x 2  10 (2) 15( x  y ) 2  ( x  y )  2 (3) x 2  5 xy  6 y 2  3 x  7 y  2

(答)：(1) ( x 2  10)( x  1)( x  1)

(2) (3 x  3 y  1)(5 x  5 y  2)

(3) ( x  2 y  1)( x  3 y  2)

【類題】 因式分解下列各式： (1) x 6  7 x3  8 (2) (a  b) 2  5(a 2  b 2 )  4(a  b) 2 (3) x 2  5 xy  6 y 2  y  1

(答)：(1) ( x  1)( x 2  x  1)( x  2)( x 2  2 x  4)

(2) 2b(3a  5b)

(3) ( x  2 y  1)( x  3 y  1)

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陳浩 高中數學 【例 4】

設  ,  為 2 x 2  3 x  4  0 的兩根，則： (1)     ?

(2)  2   2  ?

(3)  3 + 3 = ?

(答)： (1)

3 2

(2)

25 4

(3)

99 8

【類題】

設  ,  為 x 2  ax  b  0 的兩根，若     3 且  2   2  17，試求 a , b 之值。

(答)： a  3 , b  4

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C. 綜合練習 因式分解下列各式 1. (x  2)( x  1)3  ( x  2)3 ( x  1) 2. a 2 x  abx  b 2 y  aby 3. x3  2 x 2  2 x  1 4. a 2  b 2  2a  2b 5. (a  b) 2  4(a 2  b 2 )  4(a  b) 2 6. a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 (a  b) 7. x 4  13 x 2  36 8. x 2  2 xy  y 2  4 x  4 y  3 9. x 4  4 10. (x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  44

(答)：1. (x  2)( x  1)(2 x  3) 5. (3a  b) 2

2. (a  b)(ax  by )

6. (a  b)(b  c)(a  c)

8. ( x  y  1)( x  y  3)

3. (x +1)( x 2  x  1)

4. (a  b)(a  b  2)

7. ( x  2)( x  2)( x  3)( x  3)

9. (x 2  2 x  2)( x 2  2 x  2)

10. (x 2  2 x  4)( x 2  2 x  19)

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陳浩 高中數學

第四單元

根式化簡與運算

A. 基本性質 1. 方根化簡原則： (1) 使分母不含根號。

(2) 把根號內的因數盡量移到根號外。

(3) 把開方次數化為最小。

(4) 多重根號化為單根號。

2. 常用公式：

a2  a

(1)

(2)

3

a3  a

(3) a  0 , 則 n a n  a

(4) a , b  0 , 則 n a nb  a n b

(5) a  0 , 則 mn a m  n a

(6) a  0 , 則 n m a  mn a

B. 範例練習 【例 1】 化簡下列各式：

500

(1)

81

(2)

72

(3)

3

(5)

1 3 2

(6)

3 2  2 3

(7)

3 2

(答)：1. 9

2. 6 2

3. 5 3 4

3  12  4 48

(4)

8

4. 13 3

5.

3 2

6.

6 6

7.

談笑間使你成為解題高手 -18- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

2

陳浩 高中數學 【類題】 將下列各根式化為最簡根式( a  0 )： (1)

24a 5

(2)

3

27a 7

(5) 6 3 4  3 32  2 3 108

(答)：1. 2a 2 6a

(3)

3 2

64a8

(4)

18  50  32

2 5 1

(6)

2. 3a 2 3 a

3. 2a 3 a

4. 4 2

5. 10 3 4

(3)

74 3

(4)

6.

5 1 2

【例 2】 將下列各根式化為最簡根式： (1)

5 2 6

(答)：1.

3 2

(2)

82 7

2.

7 1

3. 2  3

4.

4  15

10  6 2

談笑間使你成為解題高手 -19- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【類題】 將下列各根式化為最簡根式：

7  2 12

(1)

(答)：1. 2  3

(2)

17  12 2

2. 3  2 2

3.

(3)

5  21

14  6 2

C. 綜合練習 將下列各根式化為最簡根式： 8  12 + 18  27

1.

2.

3

7 6

3.

4.

40  3 135

3

5 9

5.

2 2  3 1 5 3

6.

96 2

7.

9  2 20

8. (2 3  5 6)(2 6  3)

談笑間使你成為解題高手 -20- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 2. 比較 2 + 11 與 6+ 7 的大小。

3. 比較 7  2 與 5  2 的大小。

4. 設 x 

3 2 3 2 ，y ，是求下列各式之值。 2 2

(1) x  y ？

(2) xy ？

(答)：1. (1) 5 2  3

2.

(2) 5 3 5

5 1

(5)

(3) x 2  y 2 ？

(6)

6 3

3

(2)

1 4

(7) 3.

6+ 7 大於 2 + 11

4. (1)

(3)

42 6

(3)

(4) 5 2

3

15 3

(8) 54  3 2

5  2 大於 7  2

5 2

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 談笑間使你成為解題高手 -21- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學

第五單元

方程式

A. 基本性質  b  ，當 a  0 時 1. 一元一次方程式： ax  b  x   a  無解，當 a  0，b  0 時 2. 一元二次方程式： ax 2  bx  c  0 ， a  0 ， D  b 2  4ac (1) 若 D  0 ，則 x 

b  b 2  4ac 2a

(2) 若 D  0 ，則 x 

b 2a

(有兩相異實根)

(有重根，原方程式為完全平方式)

(3) 若 D < 0 ，則 x 無實數解 (無實根，有兩共軛虛根)

3. 根與係數的關係：若 ， 為一元二次方程式 ax 2  bx  c  0 的兩個實根， b    +   a 則：     c  a

 當 x  0 時  4. 絕對值方程式：   當 x  0 時 

x x x  x

 a x  b1 y  c1 5. 二元一次聯立方程式  1 在直角坐標平面上的圖形為兩條直線，又若  a2 x  b2 y  c2 (1)

a1 b1  ，則此二直線相交於一點，即方程組恰有一組解。 a2 b2

(2)

a1 b1 c1 =  ，則此二直線互相平行，即方程組無解。 a2 b2 c2

(3)

a1 b1 c1 = = ，則此二直線重合，即方程組有無限多組解。 a2 b2 c2

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 談笑間使你成為解題高手 -22- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學

B. 範例練習 【例 1】 解方程式

0.3 (8 x  1)  2 x  2.9

(答)： 8

【類題】 解方程式 (1) 0.1( x  10)  9  0.2(1  x) (2) 3(3 y  1)  2(1  y )  3( y  3)

(答)：(1) x  26

(2) y  2

【例 2】 解一元二次方程式

15 x 2  14 x  16  0

8 2 (答)： x   或 5 3

談笑間使你成為解題高手 -23- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【類題】 解下列方程式 (1) 2x 2  3 x  5  0 (2) x 2  x  1  0 (3) x 2 +5x  7  0

(答)： (1) x  1 或 

5 2

(2) x 

1 5 2

(3) 無解

【例 3】 解分式方程式

24 24  1 x4 x

(答)： x  12 或  8

【類題】 解分式方程式

4 3  3 x x 1

(答)： x  2 或 

2 3

談笑間使你成為解題高手 -24- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【例 4】 解絕對值方程式 (1)

x4 3

(2)

(答)： (1) x  1 或  7

2x 1  3

(2) x  2 或  1

【類題】 解絕對值方程式

x2  x  6  0

(答)： x  2

【例 5】 下列各聯立方程式中，何者為平行的兩直線：

x  y  5 (1)  x  y  6

 2x  3y  1 (2)  3 x  2 y  5

 5x  y  5 (3)  10 x  2 y  10

 2x  5 y  2 (4)  4 x  10 y  3

(答)： (4) 談笑間使你成為解題高手 -25- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 【類題】 下列各聯立方程式中，何者為相交於一點的兩直線：

8 x  3 y  5 (1)  4 x  3 y  5

(答)：

 2x  3y  6  (2)  1 1  3 x  2 y  1

 0.99 x  0.99 y  1 (3)   x  y 1

2 x  3 y  5 (4)  2 x  3 y  5

(1)、(4)

C. 綜合練習 1. 解下列一元一次方程式 (1) 2 x  (4  3 x)  6  15 x (2) 25(1  2 x)  12.5  12.5(1  4 x) (3)

2 y 1 5 y 1 3y 1 1   3 8 6

2. 解下列一元二次方程式 (1) x 2  4 x  5  0 (2) 2 x 2  3 x  1  0 (3) x 2  x  1  0

談笑間使你成為解題高手 -26- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 3. 解下列方程式 (1)

2  1 x 1

(2)

4 2  3 x 1 x  2

(3) 2 x  1  5

4. 把 108 個玩具分給一群兒童，已知每人分得的玩具數恰比兒童總數少 3 個，試求這群兒童的總人 數。

5. 一正方形邊長 4，今截去 4 個角使成正 8 邊形，求此正 8 邊形的邊長。

6. 已知 ， 為 x 2  3 x  1  0 之兩根，求下列各值： (1)   

(2) 

(3)  2   2

(4)

    

7. 解方程式 ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24  0

談笑間使你成為解題高手 -27- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 8. 設 a 是整數，若方程式 x 2  (a  2) x  (3  2)  0 有一整數根，求 a 之值。

9. 已知 x  2 y  1  (3 x  4 y  3) 2  0 ，求 2x  y ？

10. 已知

x  2 3y 1 x  2 y  3 ，求 x ， y 之值。   2 4 5

 x  3 y  7  3x  y  3 11. 若  與  有相同的解，求  ax  by  8  2ax  3by  14

a，b 之值。

 2 x  (a 2  20) y  (a  6)  0 12. 已知  有無限多組解，則 a ？  x  2y  5  0

3 2

(2) x  0

(3) x  5

2. (1) x  5.1

3. (1) x  3

(2) x  0.3

(3) x  3

4. 12 人

(答)： 1. (1) x 

6. (1) 3

(2) 1

 a 1 11.  b2

(3) 7

(4) 7

7. 0 ， 5

8. 2

(2) x 

3  17 4

5. 4 2  4 9. 13

 x0 10.   y 1

12. a  4

談笑間使你成為解題高手 -28- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

(3) 無解

陳浩 高中數學

第六單元

不等式

A. 基本性質 1. 一元一次不等式： (1) 若 a  b ， c 為任意數  a  c  b  c (2) 若 a  b ， c 為任意數  a  c  b  c (3) 若 a  b 且 c  0  a  c  b  c 且

a b  c c

(4) 若 a  b 且 c  0  a  c  b  c 且

a b  c c

【口訣】：__________________________ 例 1：已知 2  5  (2)  (3)  (5)  (3) 例 2：已知 2  5  (2)  (3)  (5)  (3) 例 3：已知 2  5  (2)  3  (5)  3 且

(2) (5)  3 3

例 4：已知 2  5  (2)  (3)  (5)  (3) 且

(2) (5)  (3) (3)

2. 一次不等式類型： ▶ 一個不等號(移項法則)(不等量公理) <型 1>： 2 x  3  2 x  13 ▶ 二個不等號 <型 1>： 1  2 x  3  2

(未知數僅在中間)(脫衣法)

<型 2>： x  5  2 x  3  3 x  4

(未知數不僅在中間)(分段聯立，數線求解)

3. 絕對值不等式： (1) 一個絕對值：(去絕對值取正負)(小於在中間，大於在兩邊) <例 1>：  2x  3  1 <例 2>：  2x  3  1 (2) 不只一個絕對值：(數線上標出關鍵點)(分段討論)(數線求解) <例 1>： x  3  x  1  1 <例 2>：  x  2  x  1  x  5

談笑間使你成為解題高手 -29- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄

陳浩 高中數學 4. 高次不等式：(穿針引線，奇穿偶彈) <例 1>： x 2  4 x  3  0 <例 2>： x 2  2 x  3  0 <例 3>： ( x 2  2 x  3)( x 2  2 x  1)  0 <例 4>： ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  0

C. 綜合練習 1. 解下列不等式： (1) x 

2x  3  1 6

(2) 3 x  6  (5 x  2)  2( x  6)  4 (3) 2 x  1  4 x  4  3 x  1 (4) 2  4 x  3  10 (5) 2 2 x  1  12 (6) 3 x  6  2 x  8  x (7) (2 x  1)( x  1)  (2 x  1)( x  3)  (2 x  1) (8) (2 x 2  x  3)( x 2  6 x  9)  0 (9) (2 x  1)( x  3)(3 x  4)  0

(答)： 1. (1) x   (6) x 

1 2

9 4

(2) x  4 (7)

1 3 x 2 2

(3)

5  x3 2

(4)

(8) x  1 or x 

(5)

7 5 x 2 2

(9) x  3 or

1 4 x 2 3

5 13 x 4 4 3 2

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 談笑間使你成為解題高手 -30- 彈指時輕鬆讓你技壓群雄