Sbírka úloh z Matematiky - početní úlohy

SBÍRKA úloh

Početní úlohy z

pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň základních škol

7.4

9.2 Slovní úlohy II (slovní úlohy řešitelné pomocí lineární

11 PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY

DĚLITELNOST PŘIROZENÝCH ČÍSEL

A MNOHOČLENŮ

PŘÍKLAD 1

Doplňte chybějící číslice tak, aby bylo číslo 6 * 7 * dělitelné třemi a čtyřmi zároveň.

Řešení:

Číslo je dělitelné čtyřmi, právě když je poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi nebo to jsou dvě nuly.

Poslední dvojčíslí je 7 *. Místo hvězdičky musíme tedy doplnit takové číslice, aby toto dvojčíslí bylo dělitelné čtyřmi:

V úvahu připadají jen číslice 2 a 6. Poslední dvojčíslí tedy může mít podobu 72 nebo 76.

Číslo je dělitelné třemi, právě když je třemi dělitelný ciferný součet tohoto čísla.

V číslech 6 * 7 2 a 6 * 7 6 musíme tedy nahradit hvězdičky číslicemi tak, aby byl ciferný součet takto vzniklého čísla dělitelný třemi.

Číslo 6 * 7 2 – hvězdičku můžeme nahradit čísly:

0 – (6 072 – ciferný součet – 15)

3 – (6 372 – ciferný součet – 18)

6 – (6 672 – ciferný součet – 21)

9 – (6 972 – ciferný součet – 24)

Číslo 6 * 7 6 – hvězdičku můžeme nahradit čísly:

2 – (6 276 – ciferný součet – 21)

5 – (6 576 – ciferný součet – 24)

8 – (6 876 – ciferný součet – 27)

Nalezli jsme sedm možností, jak doplnit zadané číslo dle daných podmínek. Jedná se o čísla: 6 072, 6 372, 6 672, 6 972, 6 276, 6 576, 6 876.

ÚLOHY

1. Určete, která ze zadaných čísel jsou dělitelná dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, šesti, devíti a desíti:

1 800, 356, 168, 855, 380, 768, 2 880, 5 076, 1 626, 435, 1 572, 2 000, 21 753, 6 165, 37 596.

PŘÍKLAD 1

RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Vypočítejte: (2 1 3 –5 9 ) – ( 2 5 + 0,3)

Řešení:

Nejprve převedeme smíšené a desetinné číslo na zlomky, odstraníme závorky tak, že provedeme naznačené odčítání a sčítání, a výsledky odečteme.

ÚLOHY

1. Vypočítejte: ( ( ( 2 1 –5 –2 +

2. Vypočítejte:

3. Vypočítejte:

4. Vypočítejte:

5. Vypočítejte:

6. Vypočítejte:

7. Vypočítejte:

8. Vypočítejte:

9. Vypočítejte:

MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM

PŘÍKLAD 1

Vypočítejte: (27 · 22)3 37 · 8 · 25 · 32 (62)3

Řešení:

Při násobení mocnin o stejném základu se mocnitelé sčítají, při dělení odčítají a při umocňování násobí.

ÚLOHY

1. Vypočítejte bez pomoci kalkulačky: a) 6 · 105 – 9 · 104 – 103 – 2 · 102 b) 2 · 104 + 7 · 102 – 8 · 10 c) 1,5 · 106 – 8 · 104 + 3 · 103 d) 2,3 · 107 – 3,6 · 105 – 104 e) 7,7 · 104 – 103 + 1,5 · 102 f) 4,8 · 105 – 2,9 · 103 + 6 · 10 g) 1,9 · 103 – 104 h) 103 – 104 – 106

2. Vynásobte, výsledek ponechte ve tvaru mocniny: a) 23 · 25 b) 42 · 42 c) 55 · 55 d) 104 ·

f) 2 · 24 g)

3. Dělte, výsledek ponechte ve tvaru mocniny: a) 24 : 22 b) 57 :

33 : 35

4. Zjednodušte: (některé

lutní hodnoty) (27 ∙ 22)3 2 5 ∙ 3 2 (33 ∙ 22)3

c) 23 · (–7)4 · 52 · ( 1 70 )2

e) (Ž–2Ž – Ž3Ž)10 · (62)3 [(– 3)2]4 · (–1 2 )3

f) Ž–33Ž + Ž(–2)3Ž – 72

g) 16 + (–3)2 + (–2)3 + (–1)7 + 04

h) (38)4 · [(–3)5]2 : [(Ž–3Ž)15 · (–3)21]

d) 27 · (–2)6 · 9 81 · 23 · 45 : (–2)4 · 16 33 · 82

5. Dané výrazy vyjádřete jako mocniny se základem 2 nebo 3 a vypočítejte:

36 ∙ 34 27 ∙ 3

33 ∙ 128 64 a) ( ) 1 : b) : ( )2 32 ∙ 27 (–16)2 (22 ∙ 3) 3 25

(81 ∙ 23)2 2 4 ∙ 3

2 2 (–3) 6 8 c) ∙ d) ( ) 2 ∙ ∙ ( )1 3 5 ∙ 4 (63)2

6. Zjednodušte:

a) (–32)3; [(–3)2]3

c) (–6 3) 2; [(–6) 3] 2

e) (–7 4) 3; [(–7) 4] 3

7. Zjednodušte:

b) (–2 4) 2; [(–2) 4] 2

d) (–2 2) 5; [(–2) 2] 5

f) (–53)4; [(–5)3]4

(–3 4)3 ∙ (–2) 2 [(–5) 3]2 ∙ (–7 2)5 b) )a (–9) 5 ∙ (–2 2)3 (–7 3)2 ∙ (–25) 2

(–3 2)3 ∙ (–5 3)2

73 : (–7) 1 – (–3 2)3 : 3 2 d) )c (–125) 3 ∙ (–27 2 2 (– ) 2)2

PŘÍKLAD 2

Vypočítejte: a) (3x – 2)4 · (2 – 3x)5 b) –8c4d2 : 6c4d6

Řešení:

a) (3x – 2)4 · (2 – 3x)5 = (3x – 2)4 · [(–1)5 · (3x – 2)5] = = (3x – 2)4 · (3x – 2)5 · (–1)5 = (3x – 2)9 · (–1) = – (3x – 2)9

Abychom dostali mocniny se stejným základem, vytkli jsme ze druhého

A ODMOCNINY

POMĚR, PŘÍMÁ A NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST, TROJČLENKA

5.1

POMĚR, POSTUPNÝ POMĚR

PŘÍKLAD

1

Dva brigádníci dostali za vykonanou práci peněžní odměnu ve výši 2 500 Kč. O výdělek se rozdělili v poměru počtu odpracovaných hodin. Kolik tedy dostal každý z nich, jestliže první brigádník pracoval v pondělí 7 hodin a v úterý 4 hodiny a druhý brigádník v pondělí 6 hodin a v úterý 8 hodin?

Řešení:

První brigádník pracoval celkem 11 hodin, druhý brigádník 14 hodin. Odměnu ve výši 2 500 Kč si tedy rozdělili v poměru 11 : 14. Částku 2 500 Kč rozdělíme na 11 + 14 = 25 dílů. Prvnímu brigádníkovi připadne 11 dílů, druhému brigádníkovi 14 dílů.

celková odměna .............................................................................. 2 500 Kč počet dílů v poměru ........................................................... 11 + 14 = 25 dílů na jeden díl připadne ................................................ 2 500 Kč : 25 = 100 Kč

první brigádník ......................................................... 11 · 100 Kč = 1 100 Kč druhý brigádník ........................................................ 14 · 100 Kč = 1 400 Kč

Zkouška:

výdělek prvního brigádníka ............................................................

výdělek druhého brigádníka ............................................................ 1

Kč

Kč celkem .............................................................................................. 2 500 Kč

První brigádník dostal 1 100 Kč, druhý brigádník 1 400 Kč.

PŘÍKLAD 2

Počty dětí, dospělých a důchodců bydlících v jednom domě jsou v poměru 3 : 7 : 2. Kolik lidí obývá tento dům za předpokladu, že v něm bydlí 10 důchodců?

Řešení:

Počtu důchodců odpovídají v daném poměru 2 díly. Zjistíme, kolik obyvatel připadá na 1 díl, a následně dopočítáme počty dětí a dospělých.

důchodci (2 díly) ...............................................................10 obyvatel domu na 1 díl připadne ........................... 10 obyvatel domu : 2 = 5 obyvatel domu

děti (3 díly) ................................... 3 · 5 obyvatel domu = 15 obyvatel domu

dospělí (7 dílů) ............................. 7 · 5 obyvatel domu = 35 obyvatel domu celkový počet ....................................................................60 obyvatel domu

Zkouška: 1 dílek v poměru 5 obyvatel domu 12 dílků v poměru 12 · 5 obyvatel domu = 60 obyvatel domu

Dům obývá celkem 60 lidí.

ÚLOHY

1. Zadané poměry vyjádřete v nejjednodušším tvaru pomocí přirozených čísel:

a) 18 : 6 b) 20 : 32 c) 63 : 14 d) 50 : 175 e) 1 : 0,01 f) 10,8 : 16,2 g) 2 5 : 1 3 h) 7 6 : 9 4 i) 1 1 7 : 1 1 2

2. Které z daných poměrů se rovnají?

2 : 2,5; 7 : 0,5; 5 : 4; 28 : 2; 0,4 : 1; 6 : 7,5

3. Úsečku AB o délce 18 cm máme rozdělit na dvě části v následujícím poměru. Vypočítejte délky jednotlivých částí.

a) 4 : 5 b) 2 : 1 c) 5 : 13

4. Petr si vybral kuličky dvou barev. Kolik kterých měl, jestliže počty žlutých a červených byly v poměru 7 : 5 a žlutých bylo o šest více?

5. V jakém poměru jsou průměry dvou různých kol na traktoru, je­li poměr mezi jejich obvody 2 : 1?

6. Jaké délce na mapě měřítka 1 : 200 000 odpovídá délka 5 km ve skutečnosti?

7. Zvětšete číslo: a) 6 v poměru 3 : 2 b) 20 v poměru 7 : 4 c) 0,8 v poměru 11 : 8 d) 12 v poměru 4 : 3

8. Zadané postupné poměry vyjádřete v nejjednodušším tvaru pomocí přirozených čísel:

a) 2 : 8 : 10

b) 14 : 21 : 35

7. Řešte v R rovnice a proveďte zkoušky:

g) – = h) – = 4 12 9 – s 14 3a + 8 2 x + 7 x a) – = –x – 2 x + 2 x2 – 4

b – 2 4 – b 6

b) + = b – 1 b + 1 b2 – 1 t – 4 10 t – 6

c) – = t + 3 t2 – 9 t – 3 n + 1 7 4 – n d) – = –2n – 3 4n2 – 9 2 n + 3 2s + 1 2s + 7 6 e) – = s + 3 s – 1 s2+ 2s – 3 3y y + 1 f) – = 3y + 2 6y2 + y – 2 2y – 1 2 2 a) = (3 – x) ∙ (x – 1) (x – 1) ∙ (x + 7) 3 1 b) = (x – 2) ∙ (x + 3) (x – 2) ∙ (x – 1) 9 6 c) = (t – 1) ∙ (5 – 2t) (5 – 2t) ∙ (t – 2) 5 1

10. Pro které t je zlomek 5 – 3t t + 3 roven 4? s + 1 3s – 1 4

8. Řešte v R rovnice a proveďte zkoušky:

d) = (u + 6) ∙ (u – 1) (u + 7) ∙ (u + 6)

9. Pro které x je zlomek x – 7 6x + 1 roven 0?

11. Pro které a je zlomek 3a – 4 5 – 2a roven –2?

12. Pro které x nemá zlomek 2x – 11 3x + 2 smysl?

13. Pro které v nemá zlomek 5v + 9 4 – 3v smysl?

14. Pro které c nemá zlomek 10c – 1 6 – 4c smysl?

15. Pro které y se výrazy 5 2y – 1 a 10 8 – y rovnají?

VÝSLEDKY

1. a) x = 5; zk.: L = P = 6 5 , b) d = –2; zk.: L = P = – 1 2 , c) 0 · v = 7; rovnice

nemá řešení v R, d) x = 10; zk.: L = P = 12 5 , e) p = –3; zk.: L = P = 3 2 ,

f) rovnice má nekonečně mnoho řešení, t ∈R – {0}, g) a = 4;

zk.: L = P = 35 24 , h) x = 1; zk.: L = P = 0, i) u = 1 2 ; zk.: L = P = 11 12 ,

j) b = –2 3 ; zk.: L = P = 2 3 . 2. a) x = 4; zk.: L = P = 5, b) a = –1;

zk.: L = P = 2, c) 0 · t = 19; rovnice nemá řešení v R, d) v = 0;

zk.: L = P = –3, e) z = –3; zk.: L = P = 3, f) x = 1 3 ; zk.: L = P = 2, g) x = 4 5 ;

zk.: L = P = –1, h) m = –2; zk.: L = P = – 1 2 , i) p = 1; zk.: L = P = 1 3 ,

j) r = 1 2 ; zk.: L = P = – 5 2 , k) x = 4; zk.: L = P = 5 2 , l) y = 2 5 ; zk.: L = P = 3 5 .

3. a) x = –6; zk.: L = P = – 1 8 , b) b = 2; zk.: L = P = 1 6 , c) n = 8;

zk.: L = P = 2 3 . 4. a) t = 18; zk.: L = P = 1 2 , b) u = –5; zk.: L = P = 2 5 ,

c) x = –1; zk.: L = P = 1 2 , d) r = 0; zk.: L = P = 2 3 , e) p = –7; zk.: L = P = 3 4 ,

f) a = 3; zk.: L = P = 4 5 , g) x = – 4; zk.: L = P = 1 2 , h) z = 1; zk.: L = P = 3 4 ,

55x = 90(x – 1,75)

55x = 90x – 157,5

55x – 90x = –157,5 –35x = –157,5 / : (–35) x = 4,5

Nákladní auto je osobním autem dostiženo za 4,5 hodiny od výjezdu [za (4,5 – 1,75) hodiny jízdy osobního auta]. Za tuto dobu při průměrné rychlosti 55 km h ujede nákladní auto dráhu 247,5 km. Nákladní auto je tedy

osobním autem dostiženo v 15 hodin a 42,5 km od města N.

Zkouška:

doba jízdy nákladního auta ........................................................... 4,5 hodiny doba jízdy osobního auta ......................... (4,5 – 1,75) hodiny = 2,75 hodiny

délka dráhy nákladního auta ....................................55 · 4,5 km = 247,5 km

délka dráhy osobního auta .....................................90 · 2,75 km = 247,5 km

Délky drah obou aut se rovnají.

Osobní auto dostihne nákladní auto v 15 hodin 42,5 km od města N.

PŘÍKLAD 5

Cena jedné fotografie o rozměrech 9 a 13 cm je 5,90 Kč. Cena jedné fotografie o rozměrech 13 a 18 cm je 12 Kč. Za 25 fotografií těchto dvou formátů jsme zaplatili 184,10 Kč. Kolik kterých fotografií jsme si objednali?

Řešení:

1. způsob (2. způsob je uveden v kapitole SLOVNÍ ÚLOHY II):

Jako neznámou x si označíme počet fotografií o rozměrech 9 a 13 cm. Pomocí neznámé x vyjádříme počet fotografií o rozměrech 13 a 18 cm a cenu fotografií obou formátů: počet fotografií o rozměrech 9 a 13 cm ................................................... x ks počet fotografií o rozměrech 13 a 18 cm ...................................... (25 – x) ks cena fotografií o rozměrech 9 a 13 cm ............................................ 5,90x Kč cena fotografií o rozměrech 13 a 18 cm ................................... 12(25 – x) Kč

celková cena za fotografie ........................................[5,90x + 12(25 – x)] Kč

celková cena za fotografie ............................................................. 184,10 Kč

Můžeme sestavit a následně vyřešit rovnici:

5,9x + 12(25 – x) = 184,1

5,9x + 300 – 12x = 184,1

SLOVNÍ ÚLOHY

5,9x – 12x = 184,1 – 300

–6,1x = –115,90 / : (–6,1) x = 19

Zkouška:

počet fotografií o rozměrech 9 a 13 cm ................................................. 19 ks

počet fotografií o rozměrech 13 a 18 cm ......................... (25 – 19) ks = 6 ks

cena fotografií o rozměrech 9 a 13 cm 5,90 · 19 Kč = 112,10 Kč

cena fotografií o rozměrech 13 a 18 cm 12(25 – 19) Kč = 72 Kč

celková cena za fotografie 184,10 Kč

Objednali jsme si 19 fotografií o rozměrech 9 a 13 cm a 6 fotografií o rozměrech 13 a 18 cm.

ÚLOHY

1. Celková výměra dvou parkovišť je 900 m2. První parkoviště je o 60 m2 větší než polovina druhého parkoviště. Určete výměru obou parkovišť.

2. Do knihovny bylo během roku zakoupeno 115 nových knih. Za 2. pololetí jich přitom do knihovny přibylo o 30 % více než za 1. pololetí. Kolik knih bylo do knihovny zakoupeno ve 2. pololetí?

3. Přičteme­li k neznámému číslu jeho čtvrtinu, dostaneme 210. Určete neznámé číslo.

4. Tři základní školy navštěvuje celkem 678 žáků. Do první dochází o 21 žáků více a do třetí o 108 žáků méně než do druhé školy. Kolik žáků navštěvuje jednotlivé školy?

5. První cyklista vyjel na trať časovky rychlostí 12 m s . O minutu později startoval druhý cyklista, který na trať vyjel rychlostí 13 m s . Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od startu dostihl prvního cyklistu?

6. Majitel kempu nabízí 79 míst ve 22 chatičkách. Kolik z nich je třílůžkových a kolik čtyřlůžkových?

7. Pavel utratil na pouti během tří dnů 630 Kč tak, že každý následující den svoji útratu zdvojnásobil. Kolik korun utratil první den?

8. Předvánočním hitem se stala mluvící panenka. V obchodě s hračkami jich v pondělí, úterý, středu a čtvrtek prodali vždy stejné množství. V pátek jich prodali o 10 % víc než ve čtvrtek a v sobotu ještě o 8 víc než v pátek. Dohromady jich za těchto šest dní prodali 132. Kolik jich prodali v jednotlivých dnech?

K procvičení a doplnění matematických znalostí

doporučujeme:

M. Dytrych, I. Dobiasová, L. Livňanská: Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň ZŠ – geometrie a funkce

M. Dytrych, J. Dytrych: Testy pro páťáky k jednotným přijímacím zkouškám na osmiletá gymnázia – matematika

M. Dytrych, J. Dytrych: Testy pro deváťáky k jednotným přijímacím zkouškám – matematika

E. Kučinová: Matematická cvičení s diferencovaným zadáním pro 6.–9. ročník ZŠ

A. Řepíková: Přehled matematiky pro 2. stupeň ZŠ

www.naseucebnice.cz

ISBN 978-80-7373-184-7