Sbírka úloh z matematiky 9

9 SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

pro základní školy

I. ÚVODNÍ OPAKOVÁNÍ

1 Početní operace s celými a desetinnými čísly a se zlomky

2 Poměr a procenta

3 Mocniny a odmocniny

4. Užití Pythagorovy věty v praxi

6. Rovnice

1

2. Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými a její

3. Rovnice a jejich soustavy kolem nás

4. Souhrnné opakování

GEOMETRIE

I. ÚVODNÍ OPAKOVÁNÍ

1. Úhly, trojúhelníky, shodnost

2. Souměrnost .

3. Čtyřúhelníky a trojúhelníky

4. Kružnice, kruh a její části

5. Konstrukční úlohy

6. Hranoly a válce .

II. PODOBNOST

1. Podobnost geometrických útvarů v rovině

2. Podobnost trojúhelníků

3. Dělení úseček v daném poměru

4. Postupný poměr

5. Redukční úhel

6. Podobné útvary kolem nás

7. Souhrnná cvičení

III. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1. Goniometrické funkce ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku

2. Grafy hodnot funkcí sinus α, cosinus α a využití obou funkcí k řešení úloh

3. Graf hodnot funkce tangens α a využití této funkce k řešení úloh

4. Další možné užití goniometrických funkcí

5. Goniometrické funkce kolem nás

6. Souhrnná cvičení

IV. JEHLAN 1. Základní pojmy

V.

VI. KOULE

Úlohy o pohybu

28. Z Olomouce do Krnova je 76 km. Ráno v 8 hod. vyjel z Olomouce Petr na kole a jel

směrem do Krnova průměrnou rychlostí 20 Patnáct minut po jeho odjezdu vyjela km h

za ním jeho matka v Oktávii a jela průměrnou rychlostí 80 . Za jak dlouho jej dostihla a v jaké vzdálenosti od Olomouce?

29. Vzdálenost mezi Pardubicemi a Kutnou Horou po silnici je 40 km. Ráno v 5 hod. vyjeli z těchto měst proti sobě „Pardubičák“ pan Čipera ve Fabii a „Kutnohorák“ pan Zounar ve Felicii. Pan Čipera jel jako obvykle rychlostí 70 a pan Zounar rychlostí 80 . V kolik hodin se míjeli?

30. Za jak dlouho po svém výjezdu dostihne pan Veselý s osobním autem jedoucím průměrnou rychlostí 90 svého syna Ondru, který vyjel na kole z téhož místa 3 hodiny km h km h km h km h před ním a jel průměrnou rychlostí 30 ?

31. Dva kamarádi se ve škole dohodli, že půjdou ve středu odpoledne na houby A protože bydleli v sousedních vesnicích, vyšli si ze svých domovů ve smluvený čas naproti. Šli přímočaře Jeden z nich šel průměrnou rychlostí 3 , druhý 4 Po půl hodině chůze se setkali. Jak jsou od sebe jejich domovy vzdáleny?

32. Mirkův lovecký pes Radián se rozběhl za zajícem, který byl od něho vzdálen 30 m Délka skoku Radiána byla 2 m a skoku zajíce 1,5 m Za stejnou dobu vykonali pes i zajíc 2 skoky.

a) Jakou vzdálenost uběhl Radián, než dohonil zajíce, a jakou zajíc, než byl dostižen psem?

b) Kolik skoků museli pes a zajíc při tom udělat?

33. Silniční vzdálenost ze Svitav do Havlíčkova Brodu je 80 km. Když Aleš včera ráno v 8 hod. vyjel na kole ze Svitav, dojel do Havlíčkova Brodu v půl jedenácté. Jeho otec ujel autem tuto vzdálenost za 1 h 20 min. Vypočítejte rozdíl jejich průměrných rychlostí.

34. Vzdálenost, kterou překonal cyklista za 1 h 10 min, překonal motocyklista za 20 min. Za 5 min ujel motocyklista vzdálenost o 3,75 km větší, než kterou za stejnou dobu ujel cyklista. Vypočítejte rychlosti obou účastníků silničního provozu. km h km h km h

35. Zlín je od Uherského Hradiště vzdálen 20 km Dopoledne v 9 hod vyšel Olda ze Zlína na túru do Uherského Hradiště. Šel průměrnou rychlostí 5 . Ve stejnou dobu

km h

z Uherského Hradiště vyjel na kole Honza směrem do Zlína. Jel „rekreační“ rychlostí 10 . V kolik hodin se oba chlapci míjeli?

36. Nákladní auta Tatra a LIAZ převážela bagry z Humpolce přes Brno do Hodonína Tatra jela průměrnou rychlostí 60 , auto Liaz 50 . Tatrovka přijela do Hodonína o 33 min dříve než liazka. Vypočítejte vzdálenost z Humpolce přes Brno do Hodonína.

37. Z Mohelnice do Olomouce je 32 km Z Mohelnice vyjel ráno v 8 hod autobus a jel do Olomouce průměrnou rychlostí 60 . Ze svého bydliště, které je 0,5 km před Mohelnicí směrem na Olomouc, vyjel v tentýž čas tímtéž směrem jako autobus cyklista Jarda. Jel průměrnou rychlostí 15 .V kolik hodin byla mezi Jardou a autobusem vzdálenost 2 km?

38. Z Ostravy vyjel nákladní vlak s uhlím v 6 h 30 min a jel směrem ku Praze průměrnou rychlostí 40 . Půl hodiny předtím, tj. v 6 hod., vyjel rychlík z Prahy a jel do Ostravy průměrnou rychlostí dvakrát větší než nákladní vlak. V jaké vzdálenosti od Prahy se na dvoukolejné trati dlouhé 360 km oba vlaky míjely?

km h km h km h km h km h km h km h

39. Nákladní vlak dlouhý 300 m, stojící v železniční stanici na vedlejší koleji, je míjen rychlíkem Pendolino, který je dlouhý 200 m a projíždí touto stanicí sníženou rychlostí 40 . Jak dlouho mu trvá míjení tohoto vlaku, čímž rozumíme dobu od okamžiku, kdy lokomotiva Pendolina začíná míjet poslední vagon nákladního vlaku, do okamžiku, kdy poslední vagon Pendolina míjí přední část jeho lokomotivy?

Úlohy o společné práci a výkonech lidí a strojů

40. Zednický mistr si na základě zjištění objemu zdiva sklepního prostoru domu vypočítal, že 10 zedníků je schopno vyzdít tento prostor za 12 směn. Před začátkem zdění 1 zedník onemocněl. Za kolik směn vyzdilo tento prostor zbývajících 9 zedníků?

41. Tři kopáči provedli výkop pro kanalizaci rodinného domu za 2 hod. První z nich byl schopen tento výkop provést sám za 9 hod., druhý za 6 hod. Za kolik hodin byl schopen vyhloubit tento výkop sám třetí kopáč?

V. LINEÁRNÍ FUNKCE

1. Pojem lineární funkce

Zopakujte si:

a) Lineární funkce je dána předpisem ve tvaru vzorce , ve kterém k, q a definiční obor čísel x jsou všechna reálná čísla

Grafem je přímka, která neprochází počátkem os souřadnic

b) Je-li v uvedeném vzorci k ≠ 0, q = 0, pak se lineární funkce nazývá přímá úměrnost a vzorec má tvar , ve kterém k ∈ R – {0} a definičním oborem čísel x jsou též všechna reálná čísla. Grafem je přímka procházející počátkem os souřadnic. c) Je-li v uvedeném vzorci k = 0 a q ≠ 0, pak se lineární funkce nazývá konstantní a vzorec má tvar

(y = 0 ∙ x + q), jejím definičním oborem je opět množina všech reálných čísel a grafem je přímka rovnoběžná s osou x. y = kx + q y = k∙x y = q

2. Lineární funkce a její graf

Přímá úměrnost

1. Která z následujících tabulek vyjadřuje přímou úměrnost? V kladném případě tuto funkci zapište i rovnicí a) b) x –3 –2 –1 1 2 y 3 1,5 0 –3 – 4,5 x –2 3 7 12 15 y – 1,5 2,25 5,25 9 11,25

2. Určete definiční obor (Df ) a obor hodnot (Hf ) funkce dané rovnicí y = 2x pro x ∈ {–1, 0, 1, 2}

3. Rozhodněte, zda následující rovnice vyjadřují přímou úměrnost:

a) y = 2x – 0 b) c)

d) y = 0 ∙ x e) s = – 75t f)

4. Na obrázku jsou naznačeny části grafů přímé úměrností dané rovnicemi s definičním oborem R (množiny všech reálných čísel):

a)

b) y = x (neboli 1x)

c) y = π x d) y = – 0,75x e) y = – x (neboli –1x) f) y = – 2,4 x

uv 2 3

yx 16 = yx 1 2 y x y x = –2,4 y x = –0,75 y x = y = π x y = –x 1 2 y x = –

Vypište všechny hodnoty k*) šesti daných rovnic tvaru y = k · x, které představují a) rostoucí funkci, b) klesající funkci

5. Sestrojte grafy funkcí:

a) y = 0,5x; x ∈ N a zároveň x < 6 b) y = 2x; x ∈ R a zároveň – 3 ≤ x ≤ 2

c) y = 2π x;1 cm ≤ x ≤ 1,5 cm d) y = – 3,4xx ∈ Za zároveň –1 < x < 1

6. Co je grafem rovnice y = 0 · x, která nepředstavuje přímou úměrnost? x – 2,7 14,88 3,2 – 1,5 y – 7,695 13,68 8,84 – 4,275 x 2,3 – 0,6 12 –2 y 7,866 – 2,052 41,04 – 6,84 = y x 2

*) Proměnná k je zkratka slova koeficient (dříve nazývaný součinitel)

VIII. NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

1. Pojem nepřímá úměrnost

1. Rozhodněte, které z daných dvou veličin jsou přímo úměrné a které nepřímo

úměrné:

a) délka a strany čtverce a jeho obvod o b) délka a a šířka b obdélníku při stálém obsahu

c) počet ujetých kilometrů x určitým automobilem a počet litrů benzinu y spotřebovaných tímto automobilem při této jízdě

d) průřez d přítokové trubky tvaru dutého válce, kterou protéká voda, a doba t potřebná k naplnění dětského bazénu touto vodou daného objemu

e) počet x stejně výkonných soustruhů řízených týmž softwarem a počet y stejných strojních součástek, které se s jeho pomocí vyrábějí

f) délka y (cm) spirály dané délky po prodloužení v důsledku zatížení závěsným závažím s hmotností x (kg), kde 0 kg ≤ x ≤ 5 kg

g) o b j e m p l y n u V ( l i t r ů ) v e v á l c o v é n á d o b ě s p í s t e m a v e l i k o s t j e h o t l a k u p (pascalů) h) počet x (jeřábů) a doba y (hodin), po kterou překládají pytle s pšenicí dané hmotnosti z lodě na nákladní auta

Své odpovědi zdůvodněte.

2. Následující dvě neúplné tabulky i s danými hodnotami veličin x, y si přepište do svých sešitů a doplňte je tak, aby hodnoty y byly nepřímo úměrné hodnotám x Zjištěnou nepřímou úměrnost vyjádřete rovnicí. a) b) a) b)

3. Je dána rovnice nepřímé úměrnosti a hodnoty x, pro které platí:

x ∈ {1; 1,5; 2; 2,5; 3; 6; 9}

a) Vypočítejte z této rovnice hodnoty proměnné y a vyjádřete je ve tvaru množiny M.

b) Uspořádané dvojice [x; y] zapište do tabulky. x 1 5 y 1 10 1 10 1 5 1 4 x 1,2 3,6 6 y 4 2 1 3 = y x 9

4. Z rovnice nepřímé úměrnosti vypočítejte hodnotu proměnné

II. x, je-li: a) y = 1,2 b) y = 3,2 c) y = 5 d) y = 24 II. y, je-li: a) x = 0,6 b) x = 1,5 c) x = 3 d) x = 20

5. Vypočítejte hodnotu konstanty (koeficientu) k rovnice nepřímé úměrnosti a pak napište rovnici této funkce, jestliže:

a) x = 2; y = 7 b) x = 4,5; y = 20 c) = y x 60 == x y 3 4 ; 1 2

2.

1. Na obrázku je část grafu nepřímé úměrnosti a na něm je vyznačen bod A[0,5; 4] Napište rovnici tvaru

která tomuto grafu přísluší, a potom ověřte, zda také body B[2; 1], C[1; 2], D[– 2; – 1] na něm leží

2. Sestrojte grafy nepřímé úměrnosti dané následujícími rovnicemi pro definiční obory, které si sami určíte: a) b)

–1 1 1 2 x y O[0; 0] D[–2; –1] –1 –2 A[0,5; 4] –3 – 4 2 3 4 3 4 C[1; 2] B[2; 1]

Doporučený návod k řešení následujících úloh:

Na začátku řešení každé úlohy se nejdříve rozhodněte, jakými písmeny označíte nezávisle a závisle proměnné, s jejichž pomocí pak vztah mezi nimi vyjádřete rovnicí Pomocí této rovnice řešení dokončete Zkoušky správnosti řešení úloh lze provádět trojčlenkou, kterou již znáte ze 7. ročníku.

3. Z nákladního prostoru zámořské lodi byly v přístavu překládány na nákladní auta žoky s kávou a rýží. Vykládka trvala 3 jeřábům 6 hod. Jak dlouho by tato vykládka trvala, kdyby do vykládání tohoto zboží byly zapojeny jen 2 jeřáby?

4. Dispečer technických služeb má již vyzkoušeno, že pomocí tří „sypačů“ stejné výkonnosti je možné zledovatělé vozovky města posypat solí za 5 hod. Kolik hodin by trvalo posypání těchto vozovek solí, kdyby jeden ze tří „sypačů“ nemohl být pro poruchu zapojen do provozu?

5. Zásoba potravin, kterou si 6 sportovců vzalo s sebou na obvyklou horskou túru, jim vystačí na 4 dny. Na kolik dní by tato zásoba vystačila pro 3 sportovce? = y k x ,

Graf funkce nepřímá úměrnost

2. a) Na obrázku a) na následující straně jsou barevně zvýrazněny útvary, které mohou připomínat tvary podlah různých místností Rozhodněte, které dvojice útvarů jsou:

a) ● shodné

a) ● podobné (při zjištěné podobnosti uveďte i poměr podobnosti)

a) Při zápisu shodnosti nebo podobnosti považujte za první ten útvar, který v abecedě předchází před druhým útvarem.

b) Který útvar není shodný ani podobný se žádným z uvedených útvarů?

3. a) Na obrázku b) jsou různé geometrické útvary Rozhodněte, které dvojice útvarů jsou:

a) ● shodné

a) ● podobné (při zjištěné podobnosti uveďte i poměr podobnosti)

a) Při zápisu shodnosti nebo podobnosti považujte za první ten útvar, který v abecedě předchází před druhým útvarem

b) Který útvar není shodný ani podobný se žádným z uvedených útvarů?

4. Jsou dány obdélníky:

a) ABCD (a = 4 cm, b = 3,5 cm)

c) KLMN (k = 5 cm, l = 3 cm)

e) UVXY (u = 9,6 m, v = 6,08 m)

● Které z nich jsou shodné?

b) EFGH (e = 12 m, f = 7,6 m)

d) PQRS (p = 80 mm, q = 70 mm)

f) MNOP (m = 50 mm, n = 0,3 dm

● Které z nich jsou podobné a v jakém poměru podobnosti?

5. Obdélníky MNOP a PQRS jsou podobné s poměrem podobnosti k = 1 : 2 (0,5) Straně MN přísluší strana PQ. Vypočítejte obvod a obsah obdélníku PQRS, víte-li, že pro délku úhlopříčky MO a délku strany MN platí: |MO| = 64 cm, |MN| = 51,2 cm.

6. Kóty jsou skutečné velikosti úseček Na technických stavebních výkresech vyjadřují velikosti úseček v centimetrech, na strojnických v milimetrech. Kótovaný technický výkres je výkres, jemuž by měl být výsledný objekt, podle něj vyráběný či budovaný, podobný, popřípadě by měl být s ním shodný.

4. Další možné užití goniometrických

funkcí

1. Na zmenšeném obrázku je barevně zvýrazněna tětiva MN kružnice k(O; r = 34 mm), která má délku 60 mm.

Vypočítejte:

a) její vzdálenost v = |OO´| od středu O kružnice k b) velikost středového úhlu ω = ∢NOM

2. Kvádr ABCDEFGH má rozměry |AB| = 2 cm, |BC| = 4,8 cm, |AE| = 8,7 cm.

Vypočítejte velikost úhlu ε = ∢ACE, který svírá tělesová úhlopříčka ut = CE kvádru se stěnovou úhlopříčkou u s = AC jeho podstavy ABCD (viz zmenšený obr.).

3. Úhlopříčky AC a BD kosočtverce ABCD mají délky 10 cm a 6,8 cm. Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů při téže straně.

5. Goniometrické funkce kolem nás

1. Na katastrálním plánu s měřítkem 1 : 4 000 má pozemek s kukuřicí tvar kosodélníku PQRS s rozměry |PQ| = 4 cm, |PS| = 3 cm a s úhlem SPS´, který má velikost 69° Vypočítejte výměru tohoto pozemku v hektarech (viz obr.).

2. Dálkoví plavci museli v rámci závodu přeplavat jezero po nejkratší trase směrem k olši osaměle rostoucí na jeho protějším břehu Tato trasa byla dlouhá 1 805 m. Vítězný plavec se od ní odchýlil o úhel velikosti 10° s vrcholem v místě startu. O kolik metrů si tuto nejkratší trasu dobrovolně prodloužil?

3. Cyklista Smolík překonal desetiprocentní stoupání přímé silnice*) rychlostí 20 za 12 minut.

a) Vypočítejte velikost úhlu β, pod kterým silnice stoupala (viz obr.).

b) Jak velké převýšení silnice**) musel cyklista překonat?

4. Z přízemí do prvního podlaží vede dvouramenné schodiště se 16 schody (viz schematickou kresbu schodiště a jednoho schodu). Sklon schodu i sklon každého ramene schodiště vyjadřují úhly α a β. Vypočítejte jejich velikosti, víte-li, že pro délku BC nášlapné části schodu platí: |BC| = 30 cm.

5. Po startu stoupalo letadlo pod úhlem průměrné velikosti 20° a překonalo šikmým směrem dráhu v délce 2 km Potom pokračovalo ve stoupání týmž směrem, avšak zvětšilo úhel stoupání o 5° a překonalo tak dráhu dlouhou 3 km Do jaké výšky vystoupalo?

6. Při leteckém dni po opuštění rozjezdové plochy letiště stoupala dvě letadla pod stejným úhlem k obloze průměrnou rychlostí 180 . Při tomto letu byla od sebe stále vzdálena 30 m. Po několika sekundách se od sebe začala vzdalovat. Jedno z nich se od směru svého letu v téže rovině letu odchýlilo o 30° doprava, druhé o 30° doleva. Jak velká vzdálenost v mezi nimi byla, jestliže odchýleným směrem překonala obě letadla stejnou dráhu s dlouhou 1 km? (Viz obrázek jejich letu při pohledu shora )

km h km h

**) Desetiprocentní stoupání silnice odpovídá převýšení 10 m na každých 100 ujetých metrů.

**) Převýšení silnice je dosažení její určité nadmořské výšky ve srovnání s nájezdem na tuto silnici směřující do kopce Výšku nájezdu považujme za 0 metrů

c) Na obrázku C je zrcadlo postavené kolmo na papír s jedním obrazem kaňky Je možné originál kaňky a její obraz v zrcadle považovat za souměrně sdružené obrazy podle osy? V kladném případě tuto osu charakterizujte.

3. a) Prohlédněte si obrázek chrousta, rodového erbu a Trojského zámku v Praze Souhlasíte s tím, že jsou to útvary osově souměrné? Určete, kudy prochází osa souměrnosti.

b) Uveďte další předměty či jejich obrázky, které jsou také osově souměrné.

4. Kolik os souměrnosti mají útvary na následujících obrázcích?

5. Mezi které dva shodné geometrické útvary na obrázku je možné narýsovat osu souměrnosti tak, aby byly podle této osy souměrně sdružené?

6. Narýsujte rovnoramenný trojúhelník ABC s rameny AC, BC dlouhými 8 cm a základnou AB délky 6 cm. Na ní vyznačte bod X tak, že |BX| = 1 cm. Dále narýsujte přímku o, která prochází bodem X a je kolmá k základně. Sestrojte trojúhelník A´B´C´, který je souměrně sdružený s trojúhelníkem ABC podle přímky o.V jaký útvar splynou všechny samodružné body?

7. Narýsujte trojúhelník KLM se stranami k = 3 cm, l = 2,8 cm a m = 3,4 cm. Sestrojte rovnoběžky se stranami trojúhelníku procházející každým jeho vrcholem. Průsečíky těchto rovnoběžek označte K´, L´, M´. Vypočítejte obvod trojúhelníku K´L´M´ a jeho výpočet zdůvodněte

8. Trojúhelníku ABC, jehož všechny vrcholy jsou nedostupné, vepište kružnici.

Návod k řešení: Ve vhodné vzdálenosti od všech stran trojúhelníku směrem dovnitř trojúhelníku sestrojte nejdříve pomocný trojúhelník A´B´C´ tak, aby jeho strany byly rovnoběžné se stranami daného trojúhelníku

9. Narýsujte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jehož odvěsny mají velikosti: |AC| = 7,2 cm, |BC| = 9,6 cm Dále vyznačte těžnice t a, tb, t c a vypočítejte jejich délky.

10. Je dán trojúhelník ABC: |AB| = 9 cm, |BC| = 8,2 cm, |AC| = 7,1 cm. Vepište mu kružnici.

11. Pravoúhlému trojúhelníku ABC s délkami odvěsen |AC| = 12 cm, |BC| = 5 cm je vepsána kružnice k se středem S (viz obr.).

II. Pomocí násobku čísla π a reálného čísla vyjádřete:

II. a) délku o kružnice k (v cm), II. b) obsah S kruhu K (v cm2); tento kruh K je ohraničen kružnicí k.

II. Je pravda, že délka kružnice k a obsah kruhu K jsou vyjádřeny týmž násobkem čísla π?

12. Vypočítejte objemy a povrchy těles, která jsou na obrázku.

Tato sbírka poskytuje učitelům další náměty procvičovacích úloh využitelných přímo při vyučování nebo při domácí přípravě. Je rozdělena na část algebraickou a geometrickou. V závěru sbírky najdete klíč k řešení všech úloh. Řazení tematických celků odpovídá struktuře učebnic Matematiky pro 9. ročník (algebra a geometrie) vydaných naším nakladatelstvím. Univerzálnost sbírky však zajišťuje její využití nezávisle na těchto učebnicích.

Tato publikace je poslední částí uceleného souboru učebnic, pracovních sešitů a sbírek z matematiky pro základní školu, vycházejících z osvědčené praxe. Všechny učebnice a pracovní sešity mají schvalovací doložku MŠMT.

Celou koncepční řadu učebnic pro 6. – 9. ročník ZŠ tvoří:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Sbírka úloh z matematiky pro 6. ročník ZŠ

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Sbírka úloh z matematiky pro 7. ročník ZŠ

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Sbírka úloh z matematiky pro 8. ročník ZŠ

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Sbírka úloh z matematiky pro 9. ročník ZŠ