Přehled Matematiky pro 2.st.

Zpracovala: Mgr. Alena epíková

Lektorovala: PaedDr. Eva Ku inová

V této publikaci je p ehledn shrnut výklad u iva aritmetiky, algebry a geometrie na úrovni 2. stupn ZŠ. Pro kontrolu správného pochopení teorie je každá kapitola zakon ena blokem Procvi ení u iva s úlohami, které navazují na pojmy a ešené p íklady uvedené v kapitole. V záv ru publikace je za azeno ešení všech procvi ovacích úloh. Na vnit ních stranách obálky jsou p ehledn se azeny základní vzorce u iva aritmetiky, algebry a geometrie.

P ehled u iva matematiky je ur en k celkovému opakování u iva matematiky na 2. stupni ZŠ, zejména pro p ípravu žák 9. ro níku na záv re né srovnávací zkoušky na ZŠ.

P EHLED MATEMATIKY je vhodným dopl kem ucelené ady u ebnic matematiky pro 6.–9. ro ník, kterou tvo í tyto publikace: Matematika pro 6. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit) Matematika pro 6. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit) Sbírka úloh z matematiky pro 6. ro ník ZŠ

Matematika pro 7. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit) Matematika pro 7. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit) Sbírka úloh z matematiky pro 7. ro ník ZŠ

Matematika pro 8. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit) Matematika pro 8. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit) Sbírka úloh z matematiky pro 8. ro ník ZŠ

Matematika pro 9. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit) Matematika pro 9. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit) Sbírka úloh z matematiky pro 9. ro ník ZŠ

© Alena

© SPN –

Obsah

ARITMETIKA A ALGEBRA

1.Matematické symboly .............................5

2.Přirozená čísla..........................................6

Porovnávání, zaokrouhlování...........................6 Početní operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) ..................7 Procvičení učiva ...............................................10

3.Desetinná čísla .......................................11

Porovnávání, zaokrouhlování.........................11 Početní operace (sčítání, odčítání, násobení dělení) ..................12 Procvičení učiva ...............................................16

4.Celá čísla ................................................17 Porovnávání....................................................18

Početní operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení)..................18 Procvičení učiva ................................................20

5.Zlomky, racionální čísla ........................21 Zlomky, základní tvar, smíšená čísla ..............21 Rozšiřování, krácení, porovnávání zlomků ....23 Početní operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) .................26 Výpočet části zcelku.......................................28 Procvičení učiva

6.Násobek, dělitel......................................30 Znaky dělitelnosti ............................................31 Společný dělitel přirozených čísel...................33 Společný násobek přirozených čísel................34 Procvičení učiva

7.Poměr

Rozšiřování a krácení poměru

Postupný poměr

Měřítko plánu, mapy

Procvičení učiva

(přímá, nepřímá,

Procvičení učiva

Procvičení

mocnina

Mocniny se základem 10 ................................57 Procvičení učiva ..............................................58

11.Pythagorova věta ...................................59 Obrácená Pythagorova věta ............................61 Pythagorova věta vrovině (výpočet velikosti výšky, úhlopříčky, tětivy vobrazcích .................62

Pythagorova věta vprostoru (stěnová a tělesová úhlopříčka) .......................68 Pythagorova věta v praxi ................................71 Procvičení učiva ..............................................72

12.Výrazy, mnohočleny ..............................73 Úpravy výrazů (sčítání, odčítání, násobení) ............................74 Rozklad mnohočlenu na součin vytýkáním........................................................75 Vzorce pro úpravu mnohočlenů ......................76 Procvičení učiva ..............................................77

13.Lomené výrazy (rozšiřující učivo)..........78 Rozšiřování a krácení ......................................79 Početní operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) .................81 Složený lomený výraz .....................................84 Procvičení učiva ..............................................84 14.Lineární rovnice .....................................85 Nerovnice ........................................................88 Slovní úlohy řešené rovnicí sjednou neznámou ..........................................90 Úlohy na společnou práci ............................92 Úlohy o pohybu............................................93 Výpočet neznámé ze vzorce ............................94 Procvičení učiva ..............................................96 15.Soustavy rovnic .....................................97 Dosazovací metoda..........................................97 Sčítací metoda .................................................99 Porovnávací (komparační) metoda................102 Slovní úlohy řešené soustavou rovnic ...........103 Počítání směsí............................................105 Úlohy o pohybu .........................................107 Procvičení učiva ............................................ 110 16.Funkce...................................................111 Lineární funkce (graf přímé a nepřímé úměrnosti) .................111 Kvadratická funkce........................................117 Absolutní hodnota..........................................119 Grafické řešení soustavy rovnic ....................119 Procvičení učiva ............................................121 17.Základy statistiky (aritmetický průměr, modus, medián).122 Procvičení učiva ............................................123

GEOMETRIE

1.Symboly, pojmy vgeometrii................125

2.Geometrické útvary..............................126

3.Rovinné geometrické útvary...............127

Trojúhelníky....................................................128

Rovnostranný, rovnoramenný, různostranný................................................128

Ostroúhlý, tupoúhlý, pravoúhlý.................130 Čtyřúhelníky..................................................130

Rovnoběžníky: Pravoúhelníky(čtverec, obdélník).........130 Kosoúhelníky (kosočtverec, kosodélník)..132

Lichoběžníky (rovnoramenné, pravoúhlé, různostranné) .............................................134 Nepravidelné čtyřúhelníky.........................135

Mnohoúhelníky (n-úhelníky)

svíce než čtyřmi stranami .............................135 Pětiúhelník, šestiúhelník, osmiúhelník, nepravidelné mnohoúhelníky.....................135 Kružnice, kruh, mezikruží..............................137 Procvičení učiva ............................................140

4.Převody jednotek..................................142 Jednotky délky................................................142 Jednotky obsahu ............................................143 Jednotky objemu ...........................................144 Jednotky hmotnosti .......................................145 Procvičení učiva ............................................146

5.Úhly........................................................147 Rozdělení úhlů podle velikosti (ostrý, tupý, pravý, přímý).............................149 Dvojice úhlů (vrcholové –vedlejší, souhlasné– střídavé)..150 Sčítání úhlů ...................................................152 Odčítání úhlů .................................................153 Násobení a dělení úhlů...................................153 Procvičení učiva ............................................154

6.Shodnost, souměrnost........................155 Shodnost trojúhelníků (věty: sss, sus, usu).....155 Souměrnost (osová, středová)........................159

Procvičení učiva .............................................161

7.Množiny bodů dané vlastnosti vrovině .................................................162

Užití množin bodů dané vlastnosti vrovině při konstrukčních úlohách..............................162

Procvičení učiva .............................................164

8. Trojúhelníky..........................................165

Výpočty úhlů vtrojúhelníku..........................165

Výška trojúhelníku, těžnice, střední příčka...166

Kružnice trojúhelníku opsaná........................167 Kružnice trojúhelníku vepsaná .....................168

Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu....................................................169

Konstrukce trojúhelníků s využitím množin bodůdané vlastnosti vrovině........................172 Výpočty vtrojúhelníku..................................175 Procvičení učiva ............................................175

9.Čtyřúhelníky .........................................176

Konstrukce čtyřúhelníků................................177 Procvičení učiva ............................................182

10.Mnohoúhelníky.....................................183 Konstrukce šestiúhelníku a osmiúhelníku ....183 Procvičení učiva ............................................183

11.Kruh, kružnice ......................................183 Vzájemná poloha přímky a kružnice..............185 Konstrukce tečen ke kružnici.........................185 Vzájemná poloha dvou kružnic ....................187 Procvičení učiva ............................................188

12.Prostorové geometrické útvary (tělesa) ..................................................189

13.Krychle, kvádr, kolmý hranol ..............190 Krychle...........................................................190 Kvádr..............................................................192 Kolmý hranol.................................................195 Trojboký.....................................................195 Čtyřboký...................................................196 n-boký........................................................198 Procvičení učiva .............................................200

14.Válec, koule...........................................201

Válec..............................................................201 Koule..............................................................203 Procvičení učiva .............................................204

15.Kužel, jehlan..........................................205 Kužel..............................................................205 Jehlan (čtyřboký, trojboký)............................206 Procvičení učiva .............................................209

16.Podobnost ............................................210 Věty o podobnosti trojúhelníků (sss, sus, uu) ..................................................211 Změna nebo rozdělení úsečky (početně, graficky)..........................................214 Měřítko plánu, mapy......................................217 Procvičení učiva .............................................219

17.Goniometrické funkce .........................220 Funkce sinus x (sin x).....................................222 Funkce cosinus x (cos x)................................223 Funkce tangens x (tg x), kotangens x (cotg x)...223

Výpočty pomocí goniometrických funkcí: Velikost úhlů vpravoúhlém trojúhelníku..224 Délka stran pravoúhlého trojúhelníku........226 Výška obrazců............................................228 Velikost úhlů vtělesech.............................229 Procvičení učiva .............................................230 Výsledky ....................................................231

ARITMETIKA

A ALGEBRA

1. Matematické symboly

Znaky početních operací

� + sčítání výsledek – součet

�odčítání výsledek – rozdíl

� · násobení výsledek – součin

� : dělení výsledek – podíl nebo poměr čísel

Matematické symboly

= rovnost ––zlomková čára

≠ nerovnost %procenta

= · rovná se přibližně (zaokrouhleno) ‰promile

> je větší |2|absolutní hodnota (např. čísla 2)

≥ je větší nebo rovno

< je menší

≤ je menší nebo rovno

� (3,14) Ludolfovo číslo [pí]

● mocniny: x 2 (x – základ, 2 – mocnitel), x 2 (druhá mocnina), x 3 (třetí mocnina)

● odmocniny: 2 √ (druhá odmocnina), 3 √ (třetí odmocnina)

● závorky: ( ) okrouhlé, [ ] hranaté, { } složené Odstraňujeme je v tomto pořadí – okrouhlé, hranaté, složené.

● čísla: N ... přirozená, C ... celá, R ... reálná

Matematické zákony

Komunikativní zákon (zákon o záměně sčítanců nebo činitelů) – platí pro sčítání anásobení. a+ b = b + aa· b = b · a

Vypočítejte délku tětivy AB kružnice k spoloměrem r = 3,6 cm, tětiva je vzdálená od středu kružnice 21 mm (obr. 29). (Údaje vzadání nejdříve vyjádříme ve stejných jednotkách.)

r = 3,6 cm

v = 21 mm = 2,1 cm

|AB| = ? cm

= 2,1

y = 0,5 · |AB|

y 2 = r 2 – v 2 y 2 = 3,62 – 2,12 y 2 = 12,96 – 4,41 y 2 = 8,55 y = √ 8,55 y = · 2,9 ______ y = · 2,9 cm

|AB| = 2y = 2 · 2,9 cm= · 5,8 cm Délka tětivy AB je 5,8 cm.

Obr. 29

Pythagorova věta vprostoru

● Pythagorova věta se využívá vprostoru kvýpočtům stěnových a tělesovýchúhlopříček krychle, kvádru, kolmého hranolu.

Stěnová úhlopříčka u je úsečka, která spojuje dva protější vrcholy ve stěně. Tělesová úhlopříčka u t je úsečka, která spojuje dva protější vrcholy protějších stěn.

● Pythagorova věta se také využívá kvýpočtům výšek jehlanu a kuželu.

● U kuželu počítáme pomocí Pythagorovy věty i poloměr podstavy a stranu s (seznámíte se stímto učivem vgeometrické části této publikace, vkapitole 15. Kužel, str. 205). Úhlopříčky krychle (obr. 30): stěnová úhlopříčka BD (nebo BE, AH, …..) tělesová úhlopříčka BH (nebo CE, AG …)

Obr.30 Stěnová úhlopříčka krychle je úhlopříčka čtverce, stěny krychle tvoří 6 shodných čtverců, takže krychle má 12 shodných stěnových úhlopříček (vkaždém čtverci dvě).

u 2 = a 2 + a2 (už bylo vysvětleno učtverce, str. 64 –65)

Vypočítejte stěnovou úhlopříčku krychle shranou dlouhou 19cm (obr. 31).

= 19cm

?cm

u 2 = a 2 + a2

u 2 = 192 + 192 u 2 = 361 + 361 u 2 = 722 u = √722

u = · 26,9 _______ u = 26,9cm

C BA D

a a = 19 cm u ua a

Délka stěnové úhlopříčky krychle je 26,9cm. Obr.31

Tělesová úhlopříčka krychlespojuje dva protější vrcholy protějších stěn, krychle má celkem 4 shodné tělesové úhlopříčky. Tělesová úhlopříčka(u t) společně se stěnovou úhlopříčkou(u) ajednou hranou krychle (a) vytvářejí pravoúhlý trojúhelník (obr. 30 a32).

ut 2 = u 2 + a2 (tělesová úhlopříčka je přepona) ut 2 =a 2 + a2 + a2 (protože u 2 = a 2 + a2, použijeme jeden vztah)

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky ut krychle shranou dlouhou 25cm (obr. 32). a = 25cm ut = ?cm

ut 2 = a 2 + a2 +a2 ut 2 = 252 + 252 + 252 ut 2 = 625 + 625 + 625 ut = √ 1 875

ut = 43,3 __________ ut = 43,3cm

Délka tělesové úhlopříčky krychle je 43,3cm.

F a a = 25 cm u ut a a

H G C BA D E F .

Obr. 32 Úhlopříčky kvádru (obr. 33): stěnové úhlopříčky AC, AF, BG, FH,…… tělesové úhlopříčky AG, BH, CE, DF Stěnové úhlopříčky: u1 2 = a 2 + b2 (úhlopříčka podstavy) u2 2 = a 2 + c2 (úhlopříčka zadní stěny) u3 2 = b2 + c2 (úhlopříčka boční stěny)

c a

u t u2 u3

F

1 b

H G C BA

Obr. 33

Stěnová úhlopříčka kvádru je úhlopříčka obdélníku. Stěny kvádru tvoří 6 obdélníků, takže má celkem 12 stěnových úhlopříček (šest dvojic). Úhlopříčky protějších stěn jsou shodné (vkaždé stěně jsou dvě úhlopříčky). Vypočítejte v kvádru boční stěnovou úhlopříčku u, jsou-li dány délky hran b = 3,4 dm, c = 55cm (obr. 34). Návod: Délky hran vyjádříme ve stejných jednotkách (cm): b = 3,4dm = 34cm c = 55cm u = ?cm

3. Nepřímá úměrnost

(viz kapitola 8. Úměrnost,str. 42)

Funkce je dánarovnicí: y = k x neboli (k : x), x ≠ 0 a k > 0; k = x · y Graf – je rovnoosá hyperbola – křivka, která má dvě větve přibližující se kosám pravoúhlé soustavy souřadnic, avšak nikdy je neprotne (obr. 49).

Pro nepřímou úměrnost platí: Kolikrát se zvětší x, tolikrát se zmenší y (a naopak).

=

0 1

–1–2–3–4–5–6 23456 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Obr. 49

1. Sestrojte graf nepřímé úměrnosti zadané y = 12 x , pro x � R, x ≠ 0 (obr. 50), za x zvolte např. 1, 2, 3, 4; pro záporné hodnoty x jsou hodnoty y také záporné:

4. Kvadratická funkce

Obsahuje kvadratický člen – druhou mocninu. Rovnice kvadratické funkce: y = ax 2 pro a ≠ 0 nebo y = ax 2 + b (pak nemá vrchol vpočátku O, ale v b)

Graf parabola (křivka tvaru písmene U – obr. 51) y = ax 2

–2–3

–1 –1 –2 –3

pro a > 0 graf směřuje nahoru, obor hodnot jsou kladná čísla pro a < 0 graf směřuje dolů, obor hodnot jsou záporná čísla

� Určení, zda bod náleží grafu: Stejně jako u lineární funkce můžeme zjistit, zda zadaný bod náleží grafu dosazením souřadnic x, y do rovnice zadané funkce. Pokud vyjde rovnost, bod náleží grafu.

1. Je dána kvadratická funkce y = 2,5x2. Zjistěte, zda body A[–2; 6] a B [1,2; 3,6] náleží grafu dané funkce.

Pro bod A[–2; 6]: dosadíme souřadnice x = –2, y = 6 do rovnice zadané funkce y = 2,5x 2 6 ≠ 2,5 · (–2)2 6 ≠ 10

Bod A[–2; 6] nenáleží grafu.

Pro bod B[1,2; 3,6]: dosadíme souřadnice x = 1,2 a y = 3,6 do rovnice funkce y = 2,5x 2 3,6 = 2,5 · 1,22 3,6 = 2,5 · 1,44 3,6 = 3,6

Bod B[1,2; 3,6] náleží grafu funkce y = 2,5x 2

� Určení zadání funkce

Lze také určit rovnici funkce ze zadaného bodu na grafu –opět dosazením souřadnic daného bodu do obecné rovnice a vypočítáním hodnoty a.

Bod R[3; 5,4] náleží grafu kvadratické funkce. Určete rovnici této funkce. Do obecné rovnice y = ax 2 dosadíme souřadnice bodu R[3; 5,4], vypočítáme hodnotu a: 5,4 = a · 32 5,4 = 9a (koeficienty píšeme před neznámou) 0,6 = a Kvadratická funkce je daná rovnicí y = 0,6x 2

b) Počet sourozenců žáků 9. ročníku

Ztabulky určete: modus medián četnost hodnoty 2 (tj. 2 sourozenci) relativní četnost (v %) hodnoty 1 (tj. 1 sourozenec)

3. a) Vypočítejte aritmetický průměr známek zČj a M vjednotlivých třídách 9. ročníku a celkový aritmetický průměr známek zmatematiky:

aritm. průměr Čj aritm. průměr M

b) Určete četnost známky 3zČj v9. B a četnost známky 2zM v9. C.

4. Určete ze sloupkového diagramu, kolik žáků z9. C sportuje o víkendu 0–1 h, nejvíce 2 h, více než 2 h a vypočítejte relativní četnosti těchto skupin (v %). Návod: výška jednotlivých sloupců diagramu vyjadřuje četnost (tj. počet žáků) daného jevu (tj. doba sportování). Celkový počet žáků 9. C (tj. rozsah sledovaného souboru) je 26 (viz tabulka vúloze 2a). Relativní četnost např. skupiny žáků sportujících nejvíce 2 hodiny vypočítáme:

Z kruhového diagramu, vyjadřujícího možnosti dopravy všech žáků 9. ročníku do školy, určete počet žáků, kteří dojíždí autobusem, vlakem, srodiči autem a počet nedojíždějících (tj. místních). (Celkový počet žáků 9. ročníku – viz tabulka v úloze

GEOMETRIE

1. Symboly a pojmy vgeometrii

Symboly

A, B, C, Dbody A, B, C (velká písmena oddělená čárkou, kterou nelze vynechat)

a, b, c přímky a, b, c (případně označení stran v trojúhelníku ABC nebo kvádru)

↔AB přímka AB

→ AB polopřímka AB

← AB opačná polopřímka k polopřímce AB

↔ ABC rovina určená body A, B, C

→ pA polorovina s hraniční přímkou p avnitřním bodem A AB úsečka AB

|AB| délka úsečky AB k kružnice k K kruh K

r poloměr kružnice opsané ρ poloměr kružnice vepsané d průměr kružnice (kruhu)

a || b přímka a je rovnoběžná s přímkou b

a || / b přímka a je různoběžná s přímkou b a � b přímka a je kolmá k přímce b

∆ABC � ∆KLM trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem KLM

∆ABC ~ ∆KLMtrojúhelník ABC je podobný trojúhelníku KLM

� náleží (je prvkem)

A � a bod Aleží na přímce a � nenáleží (není prvkem)

B � a bod B neleží na přímce a � průnik

11. Kruh,kružnice

11. Kruh, kružnice

Definice, vlastnosti, obvod a obsah kruhu, kružnice viz kapitola 3. Rovinné geometrické útvary (str. 137).

Zopakujeme si: Kružnice k – množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S (středu) stejnou vzdálenost, ta je rovna poloměru kružnice r.

● Body, které náleží kružnici, leží na kružnici (křivce – čáře), jejich vzdálenost od středu Sje rovna poloměru r této kružnice.

● Průměr d úsečka, která spojuje dva body kružnice a prochází středem kružnice. Průměr se rovná dvojnásobku poloměru d = 2 r (součtu dvou poloměrů).

● Délka kružnice: o = 2 � r = � d (� = 3,14)

● Tětiva – úsečka, která spojuje dva různé body na kružnici, nejdelší tětiva prochází středem kružnice (je to průměr kružnice).

Kruh K – množina všech bodů, které mají od středu Svzdálenost menší nebo rovnu poloměru kruhu r

● Body, které náleží kruhu, leží na obvodu kruhu (vzdálenost od středu Sje rovna poloměru kruhu) nebo uvnitř kruhu (jejich vzdálenost od středu Sje menší než poloměr kruhu).

● Obvod kruhu: o = 2 � r = � d

● Obsah kruhu: S= � r2 =

� · d2 4

● Oblouk kružnice (dva různé body na kružnici rozdělí kružnici na dva oblouky kružnice):

a =

�r� 180°

● Kruhová úseč – část kruhu ohraničená tětivou kruhu apříslušným obloukem kružnice (průnik kruhu apoloroviny).

● Kruhová výseč – část kruhu ohraničená dvěma poloměry a obloukem kružnice příslušným ke středovému úhlu (průnik kruhu astředového úhlu � = 90°... čtvrtkruh, � = 180°... půlkruh)

S =

� · r · � 360°

Vzájemná poloha přímky akružnice

● Vnější přímka kružnice – přímka akružnice nemají žádný společný bod, přímka leží vně kružnice (obr. 133).

● Tečna – přímka akružnice mají jeden společný bodTbod dotyku tečny (obr. 134),

– tečna je kolmá na poloměr kružnice procházející bodem dotyku,

– vzdálenost bodu dotyku tečny od středu kružnice je rovna poloměru této kružnice.

● Sečna přímka, která má s kružnicí dva společné body, kružnici protíná ve dvou bodech A, B (obr. 135),

– část sečny (úsečka AB) se nazývá tětiva kružnice

Konstrukce tečen ke kružnici

1.Sestrojte tečny zbodu R ke kružnici k se středem Sa poloměrem 2,2 cm, bod R nenáleží kružnici k a je od středu S vzdálený 5,4 cm.

Rozbor (obr. 136a): k(S; r = 2,2 cm) |RS|= 5,4 cm sestrojte t1, t2 Tečny jsou kolmé na poloměr kružnice, � SRT je pravoúhlý, hledáme body dotyku T1, T2, které jsou vrcholy pravého úhlu. Pro konstrukci využijeme Thaletovu kružnici

Popis konstrukce (obr. 136b):

1. k; k (S; r = 2,2 cm)

2.SR; |SR|= 5,4 cm

3.O; O střed úsečky SR (střed Thaletovy kružnice)

4. h; h (O; r = |OS|= 2,7 cm)

5.T1,T2 (body dotyku); {T1 , T2} � k � h ; T1 � T2

6. t1, t2;↔RT1 = ↔ t1;↔ RT2 =

sin � = 26,5 42

sin � = sin � = 0,630 9 � = 39°10′ Stěny pravidelného čtyřbokého jehlanu svírají spodstavou úhel 39°10′.

V • Obr.188

w = 42 cm v = 26,5 cm a a � A B

CD

Procvičení učiva:

1.Vyhledejte hodnoty funkcí vTabulkách pro ZŠ:

2.Dopočítejte neznámé údaje v �ABC (pomocí goniometrických funkcí):

14°30′ 44° 87°40′ 53°10′ 5° sin cos tg cotg a b c � � � 8,3 cm

cm

cm 90°

cm 90°

cm

cm 90°

3.Vypočítejte velikost výškového úhlu, pod kterým vidí pozorovatel vrchol rozhledny. Rozhledna je vysoká 12 m, pozorovatel stojí od rozhledny 4,8 m daleko. (Kvýšce pozorovatele nepřihlížíme.)

4.Vypočítejte výšku dvojitého žebříku (štaflí), jestliže délka každého ramene žebříku je 2,5 m, úhel při vrcholu rozevřeného žebříku je 45°.

5.Vypočítejte velikost úhlu, který svírá tělesová úhlopříčka krychle spodstavou (stěnovou úhlopříčkou podstavy). Délka hrany krychle je 15 cm. (Vypočítejte nejprve délku úhlopříčky, pak počítejte velikost úhlu.)

Výsledky příkladů kprocvičení učiva ARITMETIKA A ALGEBRA

2. Přirozená čísla

1. a) 0, 5, 7, 8; b) 78, 11, 46. 2. a) Např. 13, 35, 59, 95; b) např. 135, 951, 513, 359; c) např. 1359, 3591, 5913, 9135. 3. a) <; b) <; c) >; d) <; e) = ; f) >. 4. a) 160, 3630, 740, 1 510; b) 2000, 56000, 2000, 321000. 5. a) 65; b) 250; c) 129; d) 29; e) 52; f) 238. 6. a) 2 618; b) 1 459; c) 8 415; d) 69; e) 1 586; f) 14766. 7. a) 153; b) 2 808; c) 14 616; d) 84420. 8. a) 121 (zb.1); b) 89 (zb. 6); c) 112 (zb. 3 ); d) 220 (zb. 8). 9. a) 63; b) 132; c) 26; d) 10; e) 212; f) 312; g) 523; h) 42. 10. a) O 4 564; b) 164krát.

3. Desetinná čísla

1. a) 1,05; b) 2,153; c) 14, 002 6. 2. a) <; b) <; c) >; d) >; e) <; f) >. 3. 0,32 < 0,89 < 0,9 < 1,5 < 1,771 < 2,03 < 2,36. 4. a) 0,4; 1,2; 5,8; 0,5; b) 1; 3; 12; 2; c) 3,101; 0,942; 10,006; 1,766; d) 0,74; 3,22; 11,61; 1,13. 5. a)2,03; b)4,05; c) 0,918; d) 5,89; e) 65,26; f) 1,43; g) 2,041; h) 0,161; 21,44. 6. a) 0,72; b) 0,212; c) 3,12; d) 2,847. 7. a)11,9; b) 40,625; c) 4,2; d) 22,7 (zb.0,2); e) 32,5; f) 7,06 (0,0001). 8. a) 22,42; b) 8,15; c) 15,3; d) 2,59; e) 0,12; f) 41,63. 9. a) 41,76; b) 5,195 8.

4. Celá čísla

1. 3, 6, 0, 11, 15, 9, 1. 2. – 5, 9, 12, –8, –27, 31. 3. a)<; b) <; c) >; d) >; e) >; f) <. 4. a) 6 > 3 > 2 > 1 > –1 > –3 > –5;b) –10 < –8 < –6 < –4 < 0 < 1 < 3 < 7 < 9. 5. a) –4; b) 10; c) –10; d) 3; e) 6; f) 25; g) 3; h) 5; i) 27. 6. a) –36; b) –35; c) –45; d) 96; e) 120; f) –13; g) 8; h) 30; i) –13. 7. a)–19; b) 200.

5. Zlomky, racionální čísla

e) 0,846; 0,4; 2,6; 1,25;