Matematika 9

Tematický okruh

vymezený RVP

Kapitola

Číslo a proměnná Lomený výraz

Řešení lineárních rovnic

Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými

Jednoduché úrokování

Závislosti, vztahy

a práce s daty

Geometrie v rovině a v prostoru

Nestandardní aplikační

úlohy a problémy

Rozšiřující učivo

Funkce

Přímá úměrnost, nepřímá úměrnost (v kapitole Pojem funkce)

Graf funkce

Lineární funkce

Množiny všech bodů dané vlastnosti

Podobnost geometrických útvarů

Povrchy a objemy těles

Pravoúhlé promítání

úlohy Pro chytré hlavy

úlohy využívající více poznatků

úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit údaje doma

Základy finanční matematiky

Mocniny se zápornými mocniteli

Složené lomené výrazy

Stejnolehlost

Komolý jehlan a komolý kužel

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Mocniny se záporným mocnitelem

Iracionální čísla, reálná čísla (v kapitole Množiny čísel)

Lineární nerovnice

Lomený výraz

Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

Rostoucí a klesající funkce

Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Složené úrokování (v kapitole Jednoduché a složené úrokování)

Komolý jehlan a komolý kužel

Pravoúhlé promítání na dvě průmětny

Technické zobrazování jednoduchých těles

V učebnici jsou použity následující symboly:

úlohy pro práci s kalkulačkou nebo počítačem, resp. tabletem

náročnější úlohy, ve kterých použijete

více poznatků

úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit

údaje doma nebo na internetu

úlohy vhodné i pro práci s programem dynamické geometrie

na konci učebnice je uveden výsledek

symbolický zápis

čtení symbolického zápisu

upozornění, důležitá poznámka

Rozšiřující učivo je označeno svislou čarou podél textu.

2 Lomený

3 Řešení

8 Povrchy

9 Pravoúhlé

9.9

10 Závěrečné

1 Opakování a rozšíření učiva z 8. ročníku

1.1 Druhá a třetí mocnina a odmocnina

1 Pěničkovi potřebují vymalovat stěnu tvaru čtverce o straně 3,3 m. Kolik korun zaplatí, jestliže malíř chce za 1 m2 zaplatit 15 Kč? 

2 Kouzelník potřeboval pokrýt látkou stěny krychle o hraně 42 cm. Kolik m2 látky spotřeboval? Jaký objem zaujímala krychle? 

Druhá (třetí) mocnina je součin dvou (tří) stejných činitelů.

a · a = a2

základ mocniny mocnitel

b3 = b · b · b

Druhá mocnina všech racionálních čísel je kladná nebo rovna nule. Třetí mocnina záporných čísel je záporné číslo.

Pro druhé a třetí mocniny dvou racionálních čísel platí:

(a · b)2 = a2 · b2

(a · b)3 = a3 · b3 (a : b)2 = a2 : b2 (a : b)3 – a3 : b3 b Æ 0

3 Vypočítejte

■ druhé mocniny čísel: 3; 8; 10; 4 9 ; –0,8; 200; –3 000; 0,07;

■ třetí mocniny čísel: 2 5 ; –0,02; 3; 0; 0,2; 40; –0,5; 600.

4 Pomocí tabulek zjistěte, a) která z čísel 28; 459; 132; 81,7; 0,036; 0,234; 148; 92,9 mají druhé mocniny větší než 8 000; b) která z čísel 608; 804; 57; 10,5; 92,4; 8,4; 378; 0,19 mají třetí mocniny menší než 2 000.

19 Vypočítejte obsah vybarvené a nevybarvené části čtverce, jehož obsah je 144 cm2. Kolik procent obsahu čtverce tvoří nevybarvená část? 

20 Vypočítejte obsah mezikruží, které je ohraničeno dvěma kružnicemi s poloměry r1 = 15 cm a r2 = 20 cm. 

21 a) Vypočítejte součet obsahů tzv. Hippokratových měsíčků, které byly sestrojeny nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníka (a = 6 cm, b = 8 cm).

[Návod: vypočítejte nejprve obsahy polokruhů nad všemi stranami ¦ABC.]

b) Porovnejte součet obsahů měsíčků s obsahem ¦ABC. 

22 Kolik m2 látky je třeba na zhotovení ubrusu na kruhový stůl s průměrem 120 cm, chceme-li, aby ubrus přesahoval stůl kolem dokola o 20 cm2? Na záhyby připočítejte 5 % z vypočítané hodnoty. 

23 Rychlostí 4 km/hod obejdeme Ďáblovo jezero, které má tvar kruhu, za 36 minut. Jaká je rozloha jezera? Výsledek vyjádřete v hektarech. 

Délku l oblouku, který vznikl jako průnik kružnice s poloměrem r a úhlu s vrcholem ve středu kružnice o velikosti x°, počítáme podle vzorce

l = πrx

360

Obsah výseče S, která vznikla jako průnik kruhu s poloměrem r a úhlu s vrcholem ve středu kruhu o velikosti x°, počítáme podle vzorce

S = πr2x

360

24 Vypočítejte délku oblouku, který je společnou částí kružnice k(S, 5 cm) a úhlu s vrcholem ve středu S o velikosti: a) 45°, b) 72°, c) 60°, d) 150°, e) 180°. 

25 Vypočítejte obsah kruhové výseče, která je společnou částí kruhu K(S, 3 cm) a úhlu s vrcholem ve středu S o velikosti: a) 72°, b) 30°, c) 144°, d) 60°, e)90°. 

26 Narýsujte kružnici /(S, 4 cm). Sestrojte body A, B el takové, že obsah kruhové výseče ohraničené poloměry AS a BS a obloukem kružnice l je jednou pětinou obsahu celého kruhu. 

27 Na turistické mapě s měřítkem 1 : 50 000 je úsek železniční trati mezi Bobrovou Lhotou a Javořištěm nahrazen obloukem kružnice s poloměrem 6 cm (příslušný úhel s vrcholem ve středu kružnice má velikost 96°). Určete skutečnou délku trati mezi oběma vesnicemi. 

28 Je dána kružnice k(A, 3 cm) a dva její body B, C takové, že trojúhelník ABC je rovnostranný. Vypočítejte:  a) délku menšího i většího oblouku, na které dělí kružnici / body B, C, b) obsah menší i větší kruhové výseče ohraničené poloměry AB a AC a příslušným obloukem kružnice k, c) obsah menší i větší kruhové úseče, na které dělí kruh K(A, 3 cm) tětiva

BC.

1.10 Válec

válce

Povrch válce vypočítáme podle vzorce:

S = Spl + 2 · Sp = 2πrv + 2πr2 = = 2πr(v + r)

Objem válce vypočítáme podle vzorce:

Síť

3 Řešení lineárních rovnic

3.1 Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

Řešení lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli.

Aby měla rovnice smysl, musí mít smysl výrazy, které obsahuje.

Obě strany rovnice vynásobíme tak, abychom odstranili zlomky.

Reste rovnici 5 = 10 x

Lomený výraz 10 x ma smysl pro x ≠ 0

Rovnici proto řešíme za předpokladu, že x ≠ 0.

Protože x ≠ 0, můžeme obě strany rovnice vynásobit x. 5 = 10 x /·x 5x = 10

Dále řešíme rovnici známým postupem. 5x = 10 /:5 x = 2

Ověříme, zda nalezený kořen splňuje podmínku, za které jsme rovnici řešili.

Provedeme zkoušku dosazením do levé i pravé strany rovnice.

Kořen x = 2 splňuje podmínku x ≠ 0.

L = 5 P = 10 x = 10 x = 5

L = P

1 Řešte rovnice:

a) 6 = 18 x d) 4 = 1 2x g) 60 4x = 3

b) 1 x = 3 e) 5 3x = 1 h) –7 = 21 3x

c) 10 = 5 x f) 15 2x = 30 i) –45 x = 3 2

2 Podívejte se, jak řešili rovnice s neznámou ve jmenovateli Jarka a Ivan. Odůvodněte jednotlivé kroky.

Jarka Ivan

8x – 4 x + 2 = 6

Aby lomený výraz v rovnici měl smysl, musí platit:

x + 2 ≠ 0 x ≠ – 2

8x – 4

x + 2 = 6 /·(x + 2)

8x – 4 x + 2 · (x + 2) = 6 · (x + 2)

8x – 4 = 6x + 12 /· 6x + 4 2x = 16 /: 2 x = 8

Zkouška:

L = 8x – 4 x + 2 = 8 · 8 – 4 8 + 2 = 60 10 = 6

P = 6

L = P

Číslo 8 je řešením rovnice. x – 1 3x + 2 + 5 2 = 3 Řešíme pro 3x + 2 ≠ 0 3x ≠ – 2 x ≠ –2 3 x – 1 3x + 2 + 5 2 = 3 / · (3x + 2) · 2 2(x – l) + 5 (3x + 2) = 3 · 2 · (3x + 2) 2x – 2 + 15x + 10 = 18x + 12 – 4 = x

Zkouška: L = x – 1 3x + 2 + 5 2 = – 4 – 1 3 · (–4) + 2 + 5 2 = = –5 –10 + 5 2 = 1 2 + 5 2 = 6 2 = 3

P = 3

L = P

Řešením rovnice je číslo – 4.

3 Řešte rovnice:  a) 19 x – 2 = 3 x d) 3 2x –5 x + 7 3 = 0

b) 2 x + 3 2 = 5 x e) 1 8x + 1 9x + 1 12x + 1 24x = 13 72 c) 5 x + 2 5x = 9 10 f) 3 4x + 11 14x –1 4 = 8

4.1 Podobné útvary

Z uvedených obrázků je patrné‘, jak lze pomocí čtvercové‘ sítě buďto zvětšit, anebo zmenšit předlohu.

Originál Zvětšení v poměru 2:1 Zmenšení v poměru 1:2

Použijte zmíněnou metodu pro následující obrázky.

Pomocí předcházejícího postupu jsme získali dvojice útvarů, které mají různou velikost, ale stejný tvar. Původní útvar nazýváme vzor, nově získaný útvar je jeho obraz.

1 Jsou dány dva čtverce A1B1C1D1 a A2B2C2D2. Čtverec A2B2C2D2 byl zobrazen pomocí vhodně zvolené čtvercové sítě. Porovnejte čtverce A1B1C1D1 a A'2B'2C'2D'2 za pomoci průsvitky. 

Dva geometrické útvary nazýváme podobné, je-li možné jeden z nich zobrazit pomocí čtvercové sítě tak, že získáme dvojici shodných útvarů.

Dva podobné útvary mají stejný tvar; např. všechny čtverce jsou podobné, všechny kružnice a kruhy jsou podobné, avšak ne všechny trojúhelníky nebo obdélníky jsou podobné.

Při používání slova „tvar“ musíme být velice obezřetní. Jistě jste již například slyšeli, že určité ploché předměty mají trojúhelníkový, obdélníkový, popř. kruhový tvar. V těchto případech však je „tvar“ chápán ve významu „druh geometrického útvaru“. V souvislosti s podobností rozumíme pod významem slova „tvar“ výhradně vlastnost rovinného útvaru, která se nemění při zobrazení pomocí čtvercové sítě.

Vety o podobnosti trojúhelníků pro libovolný poměr podobnosti k

■ Věta sss (strana – strana – strana) o podobnosti dvou trojúhelníků

Náčrtek situace Podmínky a závěr

Platí: |KL| |AB| = |LM| |BC| = |MK| |CA| = k

Z toho vyplývá:

WABC ~ WKLM

Označení věty

sss

Znění věty

Jestliže dva trojúhelníky mají sobě rovny poměry délek všech dvojic odpovídajících si stran, pak jsou podobné.

■ Věta sus (strana – úhel – strana) o podobnosti dvou trojúhelníků

Náčrtek situace Podmínky a závěr

Platí: |KL| |AB| = |KM| |AC| = k

¯CAB = ¯MKL

Z toho vyplývá:

WABC ~ WKLM

Označení věty

Znění věty

sus Jestliže dva trojúhelníky mají stejný poměr délek dvou párů odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, pak jsou podobné.

■ Věta uu (úhel – úhel) o podobnosti dvou trojúhelníků

Náčrtek situace Podmínky a závěr

Platí:

¯CAB = ¯MKL

¯ABC= ¯KLM

Z toho vyplývá:

WABC ~ WKLM

Označení věty

uu

Znění věty

Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou vnitřních úhlech, pak jsou podobné.

V případě poslední věty o podobnosti trojúhelníků je zbytečné určovat poměr

Tjpi |KL| |AB| = k, nebot tento poměr není s čím porovnat (na rozdíl od vět sss a sus). Věta usu tak přechází pouze ve větu uu.

5 Jsou dány trojúhelníky ABC, XYZ, PQR a KLM. Které z nich jsou podobné a podle které věty? 

WABC: |AB| = 3,4 cm; |BC| = 5,6 cm; |CA| = 6,2 cm;

WXYZ: x = 0,3 m; y = 0,6 m; z = 0,5 m;

WPQR: |PQ| = 0,31 dm; |QR| = 0,28 dm; |RP| = 0,17dm;

WKLM: |KL| = 1000 mm; |LM| = 1200 mm; |MK| = 600 mm.

6 Jsou trojúhelníky ABC a A'B'C podobné? Podle které věty? Podobnost trojúhelníků zapište. 

a) |AB| = 4,4 cm; |BC| = 7,8 cm; |¯ABC| = 45°; |A'B'| = 2,2 cm; |B'C'| = 3,9 cm; |¯A'B'C'| = 45°;

b) |AB| = 10,1 cm; |CA| = 5,9 cm; |¯BAC| = 125°; a' = 11,8 cm; c' = 20,2 cm; |¯C'A'B'| = 125°; c) a = 1,8 cm; b = 2,6 cm; |¯BCA| = 30°; a' = 36 mm; b' = 52 mm; γ' = 60°.

7 Jsou trojúhelníky ABC a A'B'C' podobné? Podle které věty? Podobnost trojúhelníků zapište. 

a) |¯ABC| = 45°; |¯BAC| = 60°; |¯A'B'C'| = 45°; |¯B'A'C'| = 125°;

b) a = 40°; β = 30°; a' = 80°; β' = 60°;

c) a = 60°; β = 50°; a' = 70°; γ' = 50°.

8 Zdůvodněte pomocí vět o podobnosti trojúhelníků: 

a) Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou podobné.

b) Každé dva rovnoramenné trojúhelníky, které se shodují v úhlu při hlavním vrcholu, jsou podobné.

c) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky, které se shodují v jednom ostrém úhlu, jsou podobné.

Řešení soustavy rovnic

Přesvědčíme se, zda žádnou rovnici nemůžeme pomocí ekvivalentních úprav ještě zjednodušit. V opačném případě toto provedeme.

Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou. Pokud to jde, volíme nejjednodušší případ – neznámou s koeficientem 1.

Vyjádřenou neznámou dosadíme do druhé rovnice.

Příklad

x + 5y = 23

5x + 2y = 23

Žádnou z rovnic již nemůžeme zjednodušit.

x + 5y = 23

5x + 2y = 23

Z první rovnice vyjádříme neznámou

x · x + 5v = 23 /–5y x = 23 – 5y

Za neznámou x dosazujeme do druhé rovnice výraz x = 23 – 5y.

5x + 2v = 23

5 · (23 – 5y) + 2y = 23

Dostaneme rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme.

Určili jsme hodnotu jedné neznámé. Toto číslo dosadíme do upravené rovnice soustavy a vypočítáme druhou neznámou.

Správnost řešení soustavy rovnic ověříme zkouškou. Vypočtené hodnoty neznámých dosazujeme postupně do obou stran obou původních rovnic soustavy.

5 · (23 – 5v) + 2v = 23

115 – 25v + 2v = 23

115 – 23v = 23 /·115 –23v = –92 /·(–1)

23y = 92 /:23 y = 4

x = 23 – 5y

x = 23 – 5 · 4

x = 23 – 20

x = 3

Levá strana první rovnice soustavy

L1 = 3 + 5 · 4 = 3 + 20 = 23

Pravá strana první rovnice soustavy

P1 = 23

L1 = P1

Levá strana druhé rovnice soustavy

L2 = 5 · 3 + 2 · 4 = 15 + 8 = 23

Pravá strana druhé rovnice soustavy

P2 = 23

L2 = P2

Výsledek zapíšeme buď pomocí čísel x, y, nebo uspořádanou dvojicí [x, y]

x = 3 y = 4 [3, 4]

1 Zkuste vysvětlit způsob řešení soustavy rovnic 4h + 7v = 10 2u + 3v = 4

4u + 7v = 10

2u + 3v = 4 u = 2 – 3 2 v 2w = 4 – 3v u = 2 – 3 2 v u = 2 – 3 2 · 2 = 2 – 3= – 1

4 · (2 – 3 2 v) + 7v = 10 u = –1

Zkouška:

8 – 6v + 7v = 10 L1 = 4 · (–1) + 7 · 2 = – 4 + 14= 10 8 + v = 10 P1 = 10 L1 = P1 v = 2

L2 = 2 · (–1) + 3 · 2 = –2 + 6 = 4 P2 = 4 L2 = P2

Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [–1, 2].

2 Metodou dosazovací řešte soustavu rovnic.  a) 2x + 5y = –3 d) 6r – s = –7 g) 2m + 3n = 2 3x – y = 4 2r – 3s = 11

u + v = 10 –5x + 3y = –12

+ 6s = –8 c) 2m + n = 10 f) 2u – 7v = –8 –3m + n = –15 4u + 5v = 3

Máme dvě čísla. Jestliže k dvojnásobku prvního čísla přičteme polovinu druhého čísla, dostaneme výsledek – 4. Když od třetiny prvního čísla odečteme dvojnásobek druhého čísla, je výsledek –9. Určete obě čísla.

první číslo .............................................. r druhé číslo ............................................. s

První případ: dvojnásobek prvního čísla ...................... 2r

polovina druhého čísla ........................... s 2

součet ..................................................... 2r + s 2

součet ..................................................... – 4 2r + s 2 = – 4

6.5 Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Hledáme dvě čísla. Součet prvního čísla a dvojnásobku druhého čísla je –3. Rozdíl trojnásobku prvního čísla a druhého čísla je 5. Určete tato dvě čísla. první číslo ............... x druhé číslo .............. y

1. situace první číslo ............... x dvojnásobek druhého čísla .. 2y součet .................. x + 2y součet .................. –3 x + 2y = –3

2. situace trojnásobek prvního čísla ... 3x druhé číslo ............... y rozdíl ................... 3x – y rozdíl ................... 5 3x – y = 5

Dostaneme soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými: x + 2y = –3 3x – y = 5

a) Danou soustavu rovnic řešte metodou dosazovací.

b) Danou soustavu rovnic řešte metodou sčítací.

c) Danou soustavu rovnic řešte graficky.

Grafické řešení soustavy x + 2y = –3 3x – y = 5

Každou rovnici soustavy upravíme na tvar rovnice lineární funkce y = ax + b, x ∈ R. x + 2y = –3 /–x 3

Dostaneme rovnice dvou lineárních funkcí. f1: y = –x 2 –3 2 f2: y = 3x – 5

Sestavíme tabulky funkčních hodnot obou funkcí. f1: f2: x

V téže soustavě souřadnic sestrojíme grafy obou funkcí. Určíme průsečík přímek.

Souřadnice průsečíku jsou řešením dané soustavy rovnic.

Řešením dané soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je uspořádaná dvojice [1; –2]. Řešení soustavy rovnic: x = 1, y = –2

1 Graficky řešte soustavy rovnic.  a) 2x + 2y = –10 d) x 4 – y = 4

2(x + 2) – y = 5 3x – 4y = –1 3x – 4(y + 2) = –9 5x + y 4 = –1 b) x 2 – y = 2

Sledujte, jak Vašek a Lenka řešili graficky soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Tabulku naleznete na další straně.