Matematika pro 6.–9.
ročník základní školy (Jana Coufalová a kolektiv)
Tato řada učebnic pro 6.–9. ročník byla vytvořena s důrazem na rozvoj klíčových kompetencí žáka. Osvojování nového učiva vždy vychází z úvodní motivační situace, která odpovídá problému z běžného života žáků. Rovněž úlohy, které jsou určeny k procvičení učiva a k získání dovednosti aplikovat nové poznatky v praxi, odrážejí každodenní životní realitu. Témata úloh jsou volena často tak, aby jejich vyřešením získal žák informace z oblasti péče o zdraví, ochrany přírody, využívání techniky, bezpečnosti dopravy apod.
Střídání textu s grafickým znázorněním situací a členění informací do tabulek zohledňují individuální styly učení žáků. Ověřování učebnic v praxi ukázalo, že zejména slabším žákům pomáhá členění algoritmů výpočtů a postupu řešení typových úloh do dílčích kroků, které jsou popsány slovně a doprovázeny konkrétním příkladem. Při vhodném přístupu učitele tak dostává i žák méně úspěšný v matematice možnost zažít pocit úspěchu.
Vedle podnětů k tvořivému myšlení a logickému uvažování dávají učebnice řadu dalších příležitostí k formování osobnosti žáka. Některé úkoly jsou formulovány tak, aby byl žák veden k vyslovení hypotézy a jejímu potvrzení nebo vyvrácení. Učitel by měl takových příležitostí využít k rozvoji kompetencí v oblasti komunikace i v oblasti sociální. V zadání některých úloh jsou žáci přímo vybízeni k práci ve dvojicích nebo ve skupině. Žák dostává příležitost obhajovat svůj názor, ale i respektovat postup a tempo jiných. Při srovnání postupů a výsledků jednotlivých skupin zároveň poznává, že k výsledku lze dojít různými způsoby. Učebnice nabízí úlohy různého stupně obtížnosti. Zpravidla jsou v každé kapitole postupně zařazovány úlohy se vzrůstající obtížností. Neočekává se, že každý žák bude řešit vše. Dostatečný počet úloh umožňuje individuální výběr. Úlohy, k jejichž řešení je nutné využívat více poznatků, jsou označeny speciálním symbolem. V závěru kapitol jsou zařazeny úlohy pro žáky s hlubším zájmem o matematiku. Speciálním symbolem jsou označeny i úlohy zaměřené na rozvoj digitálních kompetencí žáka. Do učebnice je zařazeno i rozšiřující učivo, které může učitel využít při práci s těmito žáky.
Řada učebnic obsahuje učivo vymezené pro vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (RVP ZV).
V souladu s RVP ZV lze učivo jednotlivých kapitol učebnice Matematika pro 6. ročník základní školy zařadit do tematických okruhů podle následující tabulky:
Tematický okruh vymezený RVPKapitola
Číslo a proměnnáDesetinná čísla
Dělitelnost přirozených čísel
Závislosti, vztahy a práce s datyDesetinná čísla – úlohy na práci s daty uvedenými jako desetinná čísla, převody jednotek a měn
Geometrie v rovině a v prostoruÚhel
Osová souměrnost Trojúhelník Tělesa
Nestandardní aplikační úlohy a problémyúlohy typu Pro chytré hlavy, úlohy využívající více poznatků, úlohy, k jejichž řešení je třeba zjistit údaje doma nebo na internetu (uvedené typy úloh jsou v textu označeny)
V učebnici jsou použity následující symboly:
úlohy pro práci s kalkulačkou nebo počítačem, resp. tabletem
náročnější úlohy, ve kterých použijete více poznatků
úlohy, k jejichž řešení musíte zjistit údaje doma nebo na internetu
úlohy vhodné i pro práci s programem dynamické geometrie
na konci učebnice je uveden výsledek
symbolický zápis
čtení symbolického zápisu
upozornění, důležitá poznámka
Rozšiřující učivo pro žáky s hlubším zájmem o matematiku je označeno svislou čarou podél textu.
1
Opakování a rozšíření učiva z 1.– 5. ročníku
1.1 Přirozená čísla, sčítání a odčítání ...............................................................9
1.2
a dělení přirozených čísel
2 Desetinná čísla 2.1
Sčítání a odčítání desetinných
2.4 Násobení desetinných čísel přirozeným číslem (včetně 10, 100, 1 000) ....63
2.5 Dělení desetinných čísel přirozeným číslem (včetně 10, 100, 1 000) ......66
Dělení desetinných čísel víceciferným přirozeným číslem
2.6 Převody jednotek délky, hmotnosti a objemu ..........................................70
2.7 Násobení desetinného čísla desetinným číslem
Vlastnosti násobení desetinných čísel ......................................................75
2.8 Dělení desetinného čísla desetinným číslem ............................................78
2.9 Jednotky obsahu
2.10 Opakování
3.1
3.4 Přesnější měření aneb další jednotky
3.5
4 Osová souměrnost
5 Dělitelnost přirozených čísel
6 Trojúhelník
6.1 Úhly v trojúhelníku
6.3 Třídění trojúhelníků ...............................................................................164
6.4 Kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku ................................................166
6.5 Těžnice a těžiště trojúhelníka
6.6 Výšky trojúhelníka
6.7 Střední příčky trojúhelníka .....................................................................174
6.8 Souměrné trojúhelníky ...........................................................................176
6.9 Opakování ..............................................................................................179
7 Tělesa
7.1 Objem tělesa v krychlové síti, jednotky objemu ....................................183
7.2 Povrch kvádru a krychle.........................................................................186
7.3 Stěnová a tělesová úhlopříčka krychle nebo kvádru ..............................188
7.4 Obraz krychle a kvádru ve volném rovnoběžném promítání .................189
7.5 Pravoúhlé promítání kvádru a krychle na dvě k sobě kolmé průmětny ......191 8 Závěrečné opakování ......................................................................193
Dvěma různými body A, B je určena jediná přímka. Přímky označujeme malými písmeny latinské abecedy (např. a, b, p, q) nebo pomocí dvou různých bodů, které na přímce leží (např. AB).
Každý bod (např. P) přímky p dělí tuto přímku na dvě (navzájem) opačné polopřímky. Společný bod P obou polopřímek je jejich počátek, každý další bod, např. A (A P), je vnitřní bod příslušné polopřímky.
polopřímka opačná k polopřímce PA polopřímka PA
Jsou-li na přímce dány různé body A, B, pak se společná část (průnik) polopřímek AB a BA nazývá úsečka AB. Body A, B jsou krajní body úsečky AB, ostatní její body nazýváme vnitřní body úsečky AB.
Délku úsečky označujeme symbolem |AB|, kde A, B jsou krajní body úsečky. Délky měříme v milimetrech, centimetrech, decimetrech, metrech a kilometrech.
|AB| = 3 cm
Úsečka AB má délku 3 cm
Jednotky délky
Název metr decimetr centimetr milimetr kilometr
Označení m dm cm mm km
Převodní vztahy mezi jednotkami délky
1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1cm = 10 mm 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,1 dm 1 mm = 0,1 cm
Pro vzájemné převody jednotek délky je důležité číslo 10.
Předpona kilo znamená tisíc. Jeden kilometr je tedy jeden tisíc metrů.
Vzájemná poloha dvou přímek v rovině
Dvě přímky v rovině mohou být různoběžné (různoběžky), nebo rovnoběžné (rovnoběžky). Na obrázku jsou různoběžky p, q, které se protínají v bodě P. Nazýváme ho průsečíkem různoběžných přímek.
Rovnoběžky jsou od sebe v kterémkoliv bodě stejně vzdáleny, tj. všechny body jedné přímky mají od druhé rovnoběžky stejnou vzdálenost (připomeňme jen, že vzdáleností bodu od přímky rozumíme jeho vzdálenost od paty kolmice vedené daným bodem k dané přímce). Rovnoběžky si lze představit jako přímé části železničních kolejí. Při konstrukci rovnoběžek využíváme trojúhelník a pravítko.
m, n rovnoběžky m||n m n
1.6 Prostorové útvary
Až dosud jsme se zabývali obrazci, které bylo možno umístit do roviny. Prostorové útvary (tělesa) do roviny nelze umístit. Patří mezi ně např. krychle nebo kvádr.
Krychle je těleso ohraničené šesti shodnými čtverci. Ty tvoří stěny
krychle. Dvě sousední stěny mají
společnou stranu – říkáme jí hrana
krychle. Tři hrany krychle se sbíhají ve společném bodě – vrcholu
krychle. Stěna, na níž krychle stojí, a stěna k ní protější se jmenují podstavy.
Kvádr je ohraničen šesti obdélníky, vždy protější dva jsou shodné. Obdobně jako u krychle tvoří tyto obdélníky stěny, sousední stěny se stýkají v hranách a hrany se sbíhají ve vrcholech kvádru. Spodní a vrchní stěna kvádru jsou podstavy, ostatní stěny jsou boční.
Kostka mocca cukru má tvar krychle, krabice od zubní pasty či trvanlivého mléka mají tvar kvádru.
Těleso, jehož podstava má tvar mnohoúhelníku, tj. trojúhelníku, čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, obecného čtyřúhelníku, pětiúhelníku atd., a jeho boční stěny jsou obdélníkové, se nazývá hranol.
Krychle nebo kvádr jsou také hranoly. Příklady některých dalších hranolů jsou na následujícím obrázku.
Těleso, které vznikne otáčením pravoúhelníku (tj. obdélníku nebo čtverce) kolem jedné strany, se nazývá válec.
Válec má dvě kruhové podstavy. Plechovky na konzervy mají často podobu válce.
Kdybychom odřízli střechu věže se čtvercovým půdorysem podle obrázku a postavili ji na vodorovnou podložku, pak těleso, které střecha tvoří, se jmenuje jehlan. Jehlan má jen jednu podstavu. Jehlan na obrázku je čtyřboký se čtvercovou podstavou. Podstava jehlanu nemusí být vždy čtvercová. Může mít obecně tvar mnohoúhelníku.
Boční stěny jsou vždy trojúhelníkové. Dvě sousední boční stěny mají společnou hranu, všechny pak mají společný jeden vrchol, který je vrcholem jehlanu.
Pokud by věž neměla čtvercový, nýbrž kruhový půdorys, měla by odříznutá střecha tvar kužele. kužel jehlan
Sestrojte úhel XYZ o velikosti 62°.
Postup:
a) Narýsujte polopřímku YX.
b) Přiložte úhloměr středovou ryskou k bodu Y tak, aby stupnice začínala na polopřímce YX.
c) Vyznačte bod Z u hodnoty 62° na úhloměru.
d) Dejte úhloměr stranou a sestrojte polopřímku YZ. Úhel XYZ má požadovanou velikost.
e) Řešení úlohy zopakujte v programu dynamické geometrie.
8
9
Jaký konvexní úhel vymezují hodinové ručičky a) v 6.00 h, b) ve 3.00 h, c) v 16.00 h, d) v 8.00 h, e) v jednu hodinu odpoledne?
Na obrázku vidíte kmen stromu a stín, který vrhá. Určete, pod jakým úhlem dopadají sluneční paprsky na zemský povrch.
3.4 Přesnější měření aneb další jednotky
Automobil ujel za 3 hodiny 240 kilometrů. Kolik kilometrů by ujel stejnou rychlostí za 4 hodiny? Jak závisí počet ujetých kilometrů na počtu hodin jízdy?
Stejně jako se hodina skládá ze 60 minut, tak i stupeň je tvořen dílčími jednotkami. Tato nová jednotka se nazývá úhlová minuta a má značku [ ′].
1° = 60′ 1 stupeň = 60 minut
Úhel PQR má velikost 34°. Vyjádřete velikost úhlu PQR v minutách.
Sestavíme tabulku, která zachycuje vztah mezi počtem stupňů a minut.
x – počet stupňů y – počet minut
y = 60 · x
Při převádění stupňů na minuty násobíme počet stupňů šedesáti.
Úhel CDE má velikost 1221′. Určete jeho velikost ve stupních.
Při převádění minut na stupně dělíme počet minut šedesáti.
Z tabulky je patrné, že velikost úhlu ve stupních nalezneme mezi hodnotami 20° a 21°.
Doplňte tabulku. 5
7 x 40° x + x 50° x + 30° 112° 21′ x – 20° 54° 51′
Připravte si řešení úlohy ve vhodném tabulkovém procesoru tak, aby se výsledky automaticky počítaly pomocí zadaných funkcí. Následně měňte zadané hodnoty.
Určete úhly: 6
Vypočítejte:
a) 100° – (15° + 60°)
d) (102° – 14°) – (20° 30′ + 35° 30′)
b) 120° + (78° – 14°) e) 120° 47′ – (32° 32′ + 63° 23′)
c) (90° + 12°) – (14° + 11°) f) 90° 14′ – (62° 14′ – 34° 28′)
Určete úhly: 8
9 x 15°
y
Součtem dvou úhlů je úhel pravý. Jejich rozdíl dává úhel o velikosti 30°. Určete velikosti původních úhlů.
3.8 Osa úhlu
Vezměte arch papíru. (Kolik vidíte pravých úhlů?) V jednom rohu papír přeložte tak, že kratší stranu přiložíte k té delší. Po rozevření máme vymodelovanou polopřímku, která původní úhel rozdělila na dvě části. Změřte velikosti nově získaných úhlů. Co pro tyto velikosti platí?
Nově získaná polopřímka se nazývá osa úhlu. Osa úhlu rozdělí původní úhel na dva nové úhly. Každý z nich je polovinou původního úhlu. Jedná se o poloviční úhly.
Pokračujte v překládání dále podle obrázku. Poté papír opět rozložte. Označte body A, B, C, D, E, V podle náčrtku. Určete velikosti konvexních úhlů AVB, AVC, AVD, AVE, BVC, BVD, BVE, CVD, CVE a DVE. 1
Podívejte se na hořejší obrázek. Doplňte chybějící údaje.
Polopřímka VC je osou úhlu
c) Polopřímka NZ je osou úhlu MNP. 2 3
Polopřímka je osou úhlu AVC.
Polopřímka VD je osou úhlu
Abychom nemuseli papír stále překládat, naučíme se sestrojovat osu úhlu jen pomocí kružítka a pravítka.
Je dán úhel MNP o velikosti 60°. Sestrojte osu tohoto úhlu.
Postup:
a) Sestrojíme oblouk kružnice se středem v bodě N o libovolném poloměru, který protíná polopřímku NM v bodě X a polopřímku NP v bodě Y.
b) Sestrojíme oblouky kružnic se středy v bodech X, Y o stejném poloměru, které se protnou v bodě Z.
4
e) Naučte se konstruovat osu úhlu v programu dynamické geometrie.
Sestrojte osu úhlu MNP o velikosti 60° pomocí úhloměru. Obrázek napoví.
Hoďte třikrát kostkou. Každý hod udává jednu číslici v trojciferném čísle. Kolik různých čísel můžete těmito číslicemi zapsat? Zjistěte, která z těchto čísel jsou prvočísla. Čísla složená se pokuste rozložit na součin prvočísel.
Najděte nejmenší číslo, které je násobkem čísel: a) 5 a 9, b) 6 a 3, c) 48 a 4, d) 12 a 30. Vysvětlete, jak jste postupovali.
Najděte nejmenší trojciferné číslo, které je násobkem 5 a 7.
– Sečtěte první dvě lichá čísla. Jejich součet rozložte na součin prvočísel. 1 + 3 = 4 4 = 2 · 2
– Sečtěte první tři lichá čísla. Jejich součet rozložte na součin prvočísel.
– Sečtěte první čtyři lichá čísla. Jejich součet rozložte na součin prvočísel.
– Sečtěte prvních pět lichých čísel. Jejich součet rozložte na součin prvočísel.
Co jste zjistili?
Dokážete určit zpaměti součet prvních 10 lichých čísel, aniž byste je postupně sčítali? (Využijte pravidlo, které jste objevili v předchozí úloze.)
5.5 Nejmenší společný násobek
Martin a Jarda závodili v běhu do schodů. Martin bral schody po dvou, Jarda po třech. Na které schody skočili oba?
..... násobky čísla 2 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
..... násobky čísla 3 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
..... společné násobky čísel 2 a 3 6, 12, 18, ...
nejmenší společný násobek
čísel 2 a 3 n (2, 3) = 6
Nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel je nejmenší číslo, které je těmito čísly dělitelné.
Narýsujte do sešitu číselnou osu s čísly 0–20.
– Vyznačte na číselné ose násobky čísla 2.
– Vyznačte na číselné ose násobky čísla 4.
– Najděte společné násobky čísel 2 a 4 menší než 20.
– Určete nejmenší společný násobek čísel 2 a 4.
Určete první tři společné násobky čísel: a) 3, 4, b) 5, 6, c) 2, 7, d) 4, 6.
Napište všechny společné násobky čísel:
a) 3 a 5, které jsou menší než 50. Který z nich je nejmenší?
b) 6 a 8, které jsou menší než 100. Určete n (6, 8).
Najděte: a) n (2, 5), b) n (5, 7), c) n (4, 8), d) n (4, 7), e) n (3, 8).
n (3, 4, 8) = ?
násobky čísla 3
násobky čísla 4
a) 2, 3, 5, b) 4, 3, 6, c) 3, 9, 5, d) 2, 6, 8. 1 2 3 4 5
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,...
násobky čísla 8 8, 16, 24, 32, 40, ...
nejmenší společný násobek
čísel 3, 4, 8 n (3, 4, 8) = 24
Vypište násobky daných čísel a najděte jejich nejmenší společný násobek.
