Matematika 9 - Geometrie

pro základní školy

RPZ A COVÁNO V SOULAD U S RVP

9MATEMATIKA geometrie

PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ

Zpracovali: prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D., Mgr. Josef Trejbal

Lektorovali: PaedDr. Eva Kučinová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Barbora Stušová

Schválilo MŠMT č.j. MSMT-3665/2022-4 dne 2. 6. 2022 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor

Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

Grafické zpracování obálky Michal Špatz

Technické obrázky Kateřina Samková

Vydalo roku 2022 SPN – pedagogické nakladatelství, akciová společnost,

Ostrovní 30, 110 00 Praha 1

Odpovědná redaktorka RNDr. Soňa Samková

Grafické zpracování a technická redakce Marcela Jirsová

Publikaci vyrobila tiskárna GRASPO CZ, a. s., Pod Šternberkem 324, 763 02 Zlín

Počet stran 104

2. vydání

5956

© Zdeněk Půlpán za kolektiv, 2010, 2022

© SPN – pedagogické nakladatelství, akciová společnost, 2010, 2022

ISBN 978-80-7235-659-1

OPAKOVÁNÍ UČIVA Z NIŽŠÍCH ROČNÍKŮ

Úhly,

1. Podobnost

Podobnost

3.

II. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1.

III. JEHLAN

1.

2. Podobnost trojúhelníků

Při studiu dvou shodných geometrických útvarů v rovině bylo důležité sledovat jejich vlastnosti. Jednou z nich bylo například jejich vzájemné krytí při přemístění. Také při studiu podobnosti dvou geometrických útvarů v rovině budou důležité jejich společné vlastnosti. Dříve, než se jim budeme věnovat, zaměříme se na využitelnou vlastnost každých dvou úseček v rovině, kterou je poměr jejich délek.

Poměry délek úseček

Příklad:

Změřte a posléze vypočítejte poměry délek úseček na obrázcích a), b), c). Jakými zápisy je možné tyto poměry vyjádřit?

Řešení:

a) k1 = |MN| : |M´N´| = 4 cm : 2,5 cm = ... = 4 : 2,5 = 40 : 25 = 8 : 5 ... k1 = 8 : 5

b) k2 = |OP| : |O´P´| = 1,5 cm : 4,5 cm = ... = 1,5 : 4,5 = 15 : 45 = 1 : 3 ... k2 = 1 : 3 c) k3 = |QR| : |Q´R´| = 3 cm : 3 cm = ... = 3 : 3 = 1 : 1 ... k3 = 1 : 1

Všimněte si:

k = |AB| : |CD| = , neboli |AB| = k . |CD| |AB| |CD| a) c) b)

Z uvedeného výpočtu vyplývá, že pro každé dvě úsečky AB, CD je možné určit takové kladné číslo k, pro které platí:

Číslu k říkáme poměr úseček AB a CD (přesněji – poměr délek těchto dvou úseček).

Úkol 1: Co vyjadřuje poměr k3 = 1 : 1, který se vztahuje k obrázku c)?

V

ěty o podobnosti trojúhelníků

Příklad 1:

Sestrojte DABC, je-li |AB| = 6 cm, |BC| = 4 cm, |AC| = 5 cm a jeho vnitřní úhly označte , b, g. Pak sestrojte DA´B´C´ s délkami stran |A´B´| = k . |AB|, |B´C´| = k . |BC|, |A´C´| = k . |AC|, kde k = 1,2. Jeho vnitřní úhly označte ´, b´, g´.

Řešení:

|A´B´| = 1,2 . 6 cm = 7,2 cm, |B´C´| = 1,2 . 4 cm = 4,8 cm, |A´C´| = 1,2 . 5 cm = 6 cm. Konstrukce trojúhelníků ABC a A´B´C´ je ve zmenšení na obrázku.

Oba trojúhelníky mají podobné tvary. Prohlásíme o nich, že jsou podobné a tuto podobnost budeme definovat:

Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC, jestliže existuje kladné číslo k, které má tuto vlastnost: |A´B´| = k . |AB | |B´C´| = k . |BC| |A´C´| = k . |AC|

Podobnost DABC a DA´B´C´ vyjádříme symbolickým zápisem

DA´B´C´ DABC,

který čteme: „Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC.“

V tomto zápise dodržíme pořadí odpovídajících si vrcholů, tím i stran a úhlů

Číslu k říkáme poměr podobnosti trojúhelníků

Je-li , vyjadřuje podobnost zvětšení,

0 < k < 1 k > 1

je-li , vyjadřuje podobnost zmenšení.

Příklad 2:

Platí-li: DA´B´C´ DABC s poměrem pak DABC  DA´B´C´ s poměrem .

Vypočítejte poměry délek dvou odpovídajících si stran DABC a DA´B´C´, které jsou na obrázku, nebo které jste si narýsovali. Co zjišťujete?

Řešení: k1

5. Goniometrické funkce kolem nás

Příklad 1:

Štít výrobní haly má tvar trojúhelníku ABC. Průřez tímto trojúhelníkem i s několika rozměry je na obrázku. Sedlová střecha této haly se na jedné straně štítu odchyluje od vodorovné půdní roviny o úhel , na druhé straně o úhel b. Vypočítejte spády obou částí střechy vyjádřené velikostmi těchto úhlů

Řešení:

tg  = 0,722 892   35°52´

tg b = = 0,6  b 30°58´

Příklad 2

Vypočítejte délku klínového řemene, který obepíná dvě kruhové řemenice s poloměry r1 =20 cm, r2 = 8 cm, víte-li, že vzdálenost jejich středů je 37 cm (viz obr.).

Na obrázku platí: |A´B| = x = 20 cm – 8 cm = 12 cm |A´A| = |S1S2| = a = 37 cm

II. GONIOMETRICKÉ

Obrazec S1S2AA´ je rovnoběžník. Úsečka AB je částí tečny t1, úsečka CD částí tečny t2. Dále platí: | ABS1| = | S2AB| = 90°. Označíme-li v DA´AB úhel DBA´A proměnnou , platí:

cos  = = 0,324 3   = 71°. Pro velikost úhlu b platí: b = 180° – 71° = 109°.

x a

sin  = | . a

a . sin  = |AB|

|AB| = a . sin 

|AB| = 37 . sin 71°

|AB| 37 . 0,945 5

|AB| 35

|AB| 35 cm

Ověření správnosti hodnoty |AB| = 35 cm

pomocí Pythagorovy věty:

|AB| = √ 372 – 122

|AB| = √ 1 225

|AB| = 35

|AB| = 35 cm

K výpočtu délek kružnicových oblouků y1 =|BXC| a y2 = |DYA| určíme velikosti středových úhlů w1 a w2, které jim přísluší: w1 = | BS1C| = 360° – 2 . 71° = 360° – 142° = 218° w2 = | AS2D| = 360° – 2 . 109° = 360° – 218° = 142°

y1 = . w1 y2 = . w2

y1 = . 218 y2 = . 142

y1 = 24 . p y2 = 6 . p y1

Označíme-li délku klínového řemene proměnnou k, platí: k = y1 + y2 + 2 . |AB| = 76 cm + 19,8 cm + 2 . 35 cm = 165,8 cm Klínový řemen je dlouhý 165,8 cm

Cvi č ení

1. Podél polní cesty, která nejdříve vede po vodorovném terénu a pak stoupá do kopce pod úhlem 20°, se budou sázet břízky tak, aby jejich vodorovná vzdálenost byla 8 m (viz obrázek). V jaké vzdálenosti budou středy jamek pro jejich sázení na svahu?

2. Známý badatel František Běhounek se připravoval na cestu vzducholodí Italia k severnímu pólu. Aby zdokonalil svoji „fyzičku“, vyšel ráno pod azimutem 10°

Všimněte si:

Podstavou n-bokého jehlanu je n-úhelník.

V praxi se často setkáváme s jehlany, jejichž podstavou je pravidelný n-úhelník.

Prohlédněte si pozorně následující obrázky. Pod každým jehlanem je znázorněna jeho podstava.

Na prvním obrázku je trojboký jehlan s podstavou tvaru rovnostranného trojúhelníku. Jeho boční stěny jsou rovnoramenné trojúhelníky. Takovému jehlanu říkáme pravidelný trojboký jehlan. Jehlan na druhém obrázku má podstavu tvaru čtverce a boční stěny jsou opět rovnoramenné trojúhelníky. Tento jehlan nazýváme pravidelný čtyřboký jehlan. Na třetím obrázku je jehlan s podstavou tvaru pravidelného šestiúhelníku. Jeho boční stěny jsou opět rovnoramenné trojúhelníky. Takový jehlan nazýváme pravidelný šestiboký jehlan.

Je-li podstavou jehlanu pravidelný n-úhelník a všechny jeho boční stěny jsou rovnoramenné trojúhelníky, říkáme, že je jehlan pravidelný.

AV případě, že jsou všechny stěny trojbokého jehlanu (čtyřstěnu) rovnostranné trojúhelníky, nazýváme jej pravidelný čtyřstěn. Pro zajímavost si na obrázku prohlédněte, jak je možné pravidelný čtyřstěn vepsat do krychle (hrany čtyřstěnu splývají s úhlopříčkami jednotlivých stěn krychle).

2. Výška jehlanu

Na obrázku je nejvyšší mrakodrap v San Francisku – Transamerica Pyramid. Jeho tvar připomíná pravidelný čtyřboký jehlan. Má 48 pater a jeho výška je 260 metrů. Tuto výšku bylo možné určit výpočtem z technických výkresů této stavby. Položme si ale otázku: Jak je možné určit (vypočítat) výšku jakéhokoli jehlanu?

Prohlédněte si pečlivě obrázky jehlanů, které jsou vedle fotografie vpravo. Nejdříve si bez důkazu sdělíme, že přímka je kolmá k rovině, je-li kolmá aspoň ke dvěma různoběžným přímkám této roviny.

Sestrojme přímku, která prochází vrcholem V jehlanu a je kolmá k rovině podstavy. Pata P této kolmice může u některých jehlanů ležet přímo v podstavě, u jiných mimo podstavu. Úsečka VP se nazývá výška jehlanu. Často také pojmem výška jehlanu rozumíme délku úsečky VP.

IV. KUŽEL

1. Základní pojmy

Při jízdě autem jste si již určitě všimli dopravních kuželů.

Bývají umístěny na vozovce v místech, kde se provádějí různé opravy, nebo se obnovuje nátěr čar dopravního značení. Dopravní kužely mají přibližně tvar tělesa, kterému se v geometrii říká kužel. Podobný tvar mají i střechy zámeckých věží, některé kornouty zmrzlin atd.

Úkol:

Zkuste si vzpomenout na nějaké předměty ve svém okolí, které mají tvar kuželu.

Jak poznáme kužel? Jak jej rozlišíme od jiných těles? Nejprve si vysvětlíme, co je to kužel. Představme si, že je v rovině dán libovolný kruh K. Dále je dán bod V, který neleží v téže rovině jako daný kruh (obr. vlevo).

Jestliže spojíme všechny body daného kruhu K s bodem V, získáme těleso, které se nazývá kužel (obr. vpravo).

Je-li navíc úsečka spojující střed kruhu K s bodem V kolmá k rovině, ve které kruh K leží, říkáme takovému kuželu rotační kužel (obr. a). Rotační proto, že jej můžeme získat rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho odvěsen (na obrázku b je to odvěsna SV pravoúhlého trojúhelníku AVS).

Poznámka (důležitá): V této učebnici se dále budeme zabývat pouze rotačními kužely. Pro zjednodušení a zkrácení vyjadřování ale budeme slovo „rotační“ vynechávat.

Nyní si popíšeme jednotlivé části kuželu:

Daný kruh K se nazývá podstava kuželu. Bod V se nazývá vrchol kuželu. Úsečka spojující vrchol s libovolným bodem ležícím na kružnici, která tvoří hranici podstavy, se nazývá strana kuželu. Všechny tyto úsečky tvoří plášť kuželu.

Výškou kuželu (rotačního) je úsečka spojující vrchol kuželu se středem jeho podstavy. Pojmem výška kuželu často také vyjadřujeme velikost této úsečky.

Příklad 1:

Vypočítejte výšku kuželu s poloměrem podstavy 3 cm a stranou délky 7 cm.

b) neprocházejí středem kruhu (obr. c, d). c) d)

● Popište, jakou část prostoru otáčející body kruhu vyplní.

● Ve kterém případě získáte jen body koule?

Cvi č ení

1. Koule na obrázku je zobrazena ve skutečné velikosti.

a) Určete její poloměr.

b) Jakou možnou vzdálenost od středu S koule mají vyznačené body A, B, C?

c) Který bod koule má jistě vzdálenost od středu S rovnu jejímu poloměru?

Popište možné zkreslení polohy bodů B, C zobrazených na obrázku.

2. Jak se promítne koule ležící na rovině určené přímkami x, y při pohledu

a) ve směru shora dolů (tj. ve směru osy z),

b) zpředu dozadu (tj. ve směru osy x),

c) zprava doleva (tj. ve směru osy y)?

3. Přeséváme „kulová“ zrnka máku drátěným sítkem, které má dráty tloušťky 1 mm vzdáleny od sebe svými středy 12 mm (viz obr.).

Jak velký poloměr mají kulová zrnka máku zachycená tímto sítem?

4. Kolikrát větší je poloměr Země než poloměr Měsíce?

(Nápověda: rZ = 6 371 km, rM = 1 738 km.)

Poznámka:

Představte si, že koule na vedlejším obrázku je umístěna do části prostoru, který je ohraničen levou, zadní a dolní stěnou kvádru. Tyto stěny se protínají ve třech přímkách, jejichž části jsou na obrázku označeny písmeny x, y, z. Tyto polopřímky považujeme za osy souřadnicového systému v prostoru.

Povrch koule

• Povrch koule tvoří všechny body prostoru, jejichž vzdálenost od středu koule je rovna jejímu poloměru, Tento povrch si lze představit jako zakřivenou plochu, kterou nelze rozvinout do roviny, a proto na povrchu koule nemůžeme vyznačit přímku.

• Protože se povrch koule nedá rozvinout do roviny, nemůžeme ho znázornit pomocí rovinné sítě (koule nemá síť). Na povrchu koule však můžeme nalézt kružnice různého poloměru (viz obr.). Které z nich mají největší poloměr a kde leží jejich středy?

Na povrchu koule nemůže ležet ani část přímky p.

Nechť bod A je střed koule a X1, X2, X3 jsou body přímky p a současně i povrchu koule.

Pak musí platit (viz obr.):

|AX1| > |AX2|

|AX3| > |AX2|

To ale odporuje tomu, že body X1, X2, X3 leží na povrchu koule.Vysvětlete proč

Velikost povrchu koule můžeme určit pomocí poloměru koule.

Povrch koule S s poloměrem r vypočítáme pomocí vzorce:

S = 4πr2

Příklad:

Protože povrch koule nemá sí ť , nelze snadno odvodit vzorec pro velikost povrchu koule, aniž bychom nepoužili vyšší matematiku.

Podle vztahu v rámečku vypočítejte povrch koule o poloměru 10 cm.

Řešení:

S = 4πr2

S 4 . 3,14 . 102

S = 1 256

S = 1 256 cm2 12,6 dm2

Za π jsme dosadili hodnotu 3,14.

Poznámka:

Postačující zaokrouhlená hodnota pro p bude pro nás dále vždy p 3,14.

Pokud však budeme k výpočtům používat kalkulačku, využijeme její přesnější hodnotu stiskem tlačítka p Každý výsledek pak ale uvážlivě zaokrouhlíme.

Dosadíme-li za π přesnější údaj 3,141 6, získáme tak přesnější číselnou hodnotu povrchu S 1 256,64 cm2 12,6 dm2.

Vhodným zaokrouhlením na dm2 jsme dostali stejnou hodnotu.

Tato učebnice je závěrečnou částí řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií. Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice (algebře), druhá geometrii. Praktickým a užitečným doplňkem učebnic jsou pracovní sešity ke každé z nich. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům

Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Pro výuku matematiky na 1. stupni ZŠ je určena obdobná ucelená řada učebnic (blíže viz www.spn.cz).