Matematika 8 - Algebra

A COVÁNO V SOULAD U S

pro základní školy x + 3 x - 4 ——— = 2 + ——— 4 5

8MATEMATIKA

c2 = a2 + b2 (A + B) . (A - B) = A2 - B2

algebra

RVP

30 % 25 % 7 % 18 % 20 %

RPZ

PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ

Zpracovali: prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D., Mgr. Josef Trejbal

Lektorovali: PaedDr. Eva Kučinová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Barbora Stušová

Schválilo MŠMT č. j. MSMT-26392/2021-5 dne 23. 11. 2021 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

Tato učebnice je třetí částí ucelené řady učebnic pro výuku matematiky na 2. stupni základních škol. Věnuje se algebraické části učiva 8. ročníku ZŠ, je přehledná, důkladně vysvětluje učivo a je vybavena dostatečným množstvím úloh k procvičení a upevnění probraného učiva. Doplňuje ji pracovní sešit.

Koncepce celé řady matematik vychází z osvědčené praxe škol. Respektuje však také doporučení a záměry Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou koncepční řadu učebnic tvoří tyto publikace:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Vhodným doplňkem učebnic je řada sbírek cvičení a příkladů z matematiky (viz www.spn.cz).

ISBN 978-80-7235-653-9

OBSAH

OPAKOVÁNÍ

Zlomky...........................................................................................................................5

Početní operace s celými čísly.......................................................................................6

Poměr a postupný poměr..............................................................................................7

Úměra a trojčlenka..........................................................................................................8

Procenta a úroky ...........................................................................................................9

I.DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA

1. Druhá mocnina ............................................................................................................11

2. Určování druhých mocnin pomocí Tabulek a kalkulačky ..........................................14

3. Druhá odmocnina ........................................................................................................16

4. Určování druhých odmocnin pomocí kalkulačky a Tabulek ......................................18

II. PYTHAGOROVA VĚTA A JEJÍ UŽITÍ

1. Pythagorova věta .........................................................................................................21

2. Výpočet délek stran pravoúhlého trojúhelníku ...........................................................25

3. Pythagorova věta kolem nás .......................................................................................29

4. Obrácená Pythagorova věta .........................................................................................32

III. MOCNINA S PŘIROZENÝM MOCNITELEM

1. Třetí mocnina ..............................................................................................................

2. Mocnina s přirozeným mocnitelem .............................................................................43

3. Pravidla pro počítání s mocninami .............................................................................45

4. Zápis čísla v desítkové soustavě .................................................................................53

5. Procvičování mocnin s přirozeným mocnitelem .........................................................56

IV. VÝRAZY

1. Výrazy s čísly ..............................................................................................................58

2. Výrazy s proměnnými .................................................................................................63

3. Mnohočleny..................................................................................................................

Jednočlen a mnohočlen.................................................................................................70

Sčítání a odčítání mnohočlenů.....................................................................................73

Násobení mnohočlenů..................................................................................................77

Rozklad mnohočlenu na součin...................................................................................84

Opakování ...................................................................................................................87

3

35

70

V.LINEÁRNÍ ROVNICE

1. Rovnost .......................................................................................................................88

2. Lineární rovnice .........................................................................................................89

3. Rovnice kolem nás .....................................................................................................95

Slovní úlohy ...............................................................................................................95

Úlohy o pohybu .........................................................................................................99

Úlohy o práci a výkonu lidí i strojů .........................................................................104

Úlohy o směsích .......................................................................................................108

4. Souhrnná cvičení ......................................................................................................111

VI. ZÁKLADY STATISTIKY

1. Četnost a relativní četnost ........................................................................................113

2. Aritmetický průměr, modus, medián ........................................................................121

VII. PRAVDĚPODOBNOST –rozšiřující učivo

1. Hody mincí ...............................................................................................................131

2. Hody kostkou ...........................................................................................................135

3. Náhodné jevy a pravděpodobnost jejich uskutečnění ..............................................138

4. Hod dvěma kostkami

5. Souhrnná cvičení

VIII. ZÁVĚREČNÉ OPAKOVÁNÍ

1. Mocnina a odmocnina ..............................................................................................147

2. Pythagorova věta

3. Výrazy

4. Lineární rovnice .......................................................................................................150

5. Základy statistiky .....................................................................................................153

6. Pravděpodobnost ......................................................................................................155

Poznámka redakce:

Z důvodu přehlednosti a snazší orientace ve výkladovém textu a v zadáních úloh jsou malá písmena označující geometrické útvary (např. kružnice k, přímka p, strana a apod.) zvýrazněna tučnou kurzivou. V matematických zápisech – např. a = 3 cm, c 2 = a 2 + b2 ... – již tučné zvýraznění není.

4

...............................................................................................143

......................................................................................................146

......................................................................................................148

......................................................................................................................149

VÝSLEDKY ................................................................................................................157

OPAKOVÁNÍ

Zlomky

1. Zlomky sečtětěte avýsledek upravte na zlomek vzákladním tvaru:

a) 1 2 + 1 3 b) 2 5 + 1 6 c) 3 4 + 1 5

d) 4 5 + 2 10 e) 2 6 + 1 3 f) 4 5 + 2 5

2. Zlomky odečtěte avýsledek upravte na zlomek vzákladním tvaru:

a) 1 3 –1 4 b) 7 8 –1 4 c) 4 5 –5 4

d) 2 5 –3 10 e) 3 7 –2 21 f) 9 16 –15 48

3. Vypočítejte avýsledný zlomek vyjádřete vzákladním tvaru:

a) 3 1 4 – 2 1 2 b) 5 1 5 – 2 3 4 c) 42 3 – 2 3 5 d) 7 2 3 – 3 1 4 e) 4 3 8 – 2 5 6 f) 10 7 12 – 5 3 20

4. Vypočítejte:

a) 12 7 – ⎛ ⎝ 4 7 + 2 21 ⎞ ⎠ b) –3 · ⎛ ⎝ 5 2 –9 4 ⎞ ⎠ + 3 10 c) 1 5 7 – ⎛ ⎝2 –1 3 4 ⎞ ⎠ d) 12 5 – ⎛ ⎝ 7 3 –4 5 ⎞ ⎠ · 2

5. Vynásobte avýsledný zlomek napište vzákladním tvaru: a) 5 6 · 3 2 b) 4 5 · ⎛ ⎝ –5 16 ⎞ ⎠ c) 7 9 · 3 8 d) ⎛ ⎝ –5 2 ⎞ ⎠ · ⎛ ⎝ –7 5 ⎞ ⎠ e) –2 9 · ⎛ ⎝ 1 2 + 1 4 ⎞ ⎠ f) 5 6 · 6 5

6. Upravte avypočítejte:

a)b)c)d)

2 1 3 – 1 5 6 31 4 – 2 1 2 12 5 – 2 3 4 25 6 – 12 3 17 8 – 3 3 4 4 1 5 – 5 1 4 5 3 4 – 21 3 2 – 5 1 2

5

OPAKOVÁNÍ ? A

d) –1 3 · √36 + 2e) √152 –102 – √ 52 f) √132 – √122 – √ 92

g) √ 49 100 · √ 16 81 · 45h) (√3 · √2 · √6) · 0,82 i) √1 9 16 + √121 36 j) √ 81 · 1 100 k) 2 · √ 72 + 3 l) –√64 –2 · √81 · 6

4. Určete délku strany čtverce s obsahem:

a) 64 m2 b) 0,04 km2 c) 14,44 cm2 d) 2,5 ha

5. Číslo 8 464 má tuto vlastnost: jeho druhá odmocnina je rovna součtu dvojciferného

čísla zapsaného dvojicí číslic zleva a druhé odmocniny z čísla zapsaného zbývajícími

dvěma číslicemi zleva. Pro číslo 8 464 tedy platí:

√ 8 464 = 84 + √64 = 84 + 8 = 92

Ověřte, zda uvedenou vlastnost mají též čísla 8 281, 8 649, 9 216 a 9 025.

6. Zahrádka paní Petrové měla tvar čtverce se stranou délky 15 m.

Po jejím zvětšení o 64 m2 měla opět tvar čtverce.

O kolik metrů byla prodloužena délka

každé strany zahrádky?

O kolik procent se zvětšila výměra zahrádky?

m

Z Mezopotámie pocházejí jedny z prvních písemných památek z období let 2 200 až 1 800 př. n. l.

Jsou to například různé druhy tabulek, zejména keramických, psaných klínopisem. Babyloňané měli tabelovány i druhé a třetí mocniny a odmocniny.

Například √ 2 704= 52 či 522 = 2 704 zapsali:

45 · 60 + 4 slovo ibdi 52 (= 2 704) (mocnina, odmocnina)

Tabulky jim pomáhaly i při násobení a dělení přirozených čísel, které prováděli pomocí jejich převrácených hodnot. Přirozená čísla psali pozičně. Jejich základem byly mocniny čísla 60. Užívali tedy šedesátkovou číselnou soustavu. Skutečnost, že mezopotámské „počtářství“ bylo velmi vyspělé, dokládají dodnes námi užívané jednotky pro měření času a velikosti úhlů.

René Descartes [dekárt], významný francouzský filozof a matematik žijící v letech 1596 –1650, zavedl matematickou symboliku, kterou využíváme dodnes: Písmeny zkonce abecedy označujeme proměnné: x, y, z, ....; písmena ze začátku abecedy zastupují konkrétní čísla: a, b, c, ...Takže úloha: najděte takové číslo, aby jeho dvojnásobkem bylo číslo 10, se pak zapsala takto: 2 . x = 10, kde x označovalo to číslo, které se mělo najít.

Místo a . a píšeme podle Descarta a 2, místo a . a . a píšeme a 3, atd.

Descartes, jako jeden z prvních filozofů, vytvořil ucelený matematický pohled na přírodu. Známý je jeho výrok: „Cogito, ergo sum.“ – „Přemýšlím, tedy jsem.“

20

2 √ I. DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA

15

II.PYTHAGOROVA

VĚTA A JEJÍ UŽITÍ

1.Pythagorovavěta

Vhodinách českého jazyka jste se učili, že věty jsou myšlenky vyjádřené slovy. Rozdělovali jste je na oznamovací, tázací, rozkazovací apřací. Vmatematice budeme za větu považovat výrok,jehožpravdivostmůžemematematickýmiprostředkydokázat.

Mezi dokazatelné výroky patří i Pythagorovavěta, na kterou se nyní zaměříme.

Začněme příklady:

Příklad1:

Na obrázku je zobrazena část mostní konstrukce, jejíž pevnost zajišťuje soustava krytých lan. Pomocí písmen A, B, C, D, E aznaku ∆ zapište pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou je a) nejkratší, b) nejdelší polovina lana.

Příklad2:

Na obrázku je půlkružnice k se středem Saprůměrem |AB| = 8cm (obr. je zmenšen). a) Narýsujte si tento obrázek do sešitů ana půlkružnici k vyznačte bod C tak, aby |AC| = 4,8 cm, C ≠ A, C ≠ B. Bod C spojte úsečkami CA aCB do tvaru ∆ABC.

b) Změřte velikost úhlu BCA azapište ji. Co zjišťujete?

c) Změřte délku strany BC azapište ji.

(K příkladu 2 se později vrátíme.)

21

II. PYTHAGOROVA VĚTA A JEJÍ UŽITÍ

A

(7 : 5)3 = ⎛ ⎝ 7 5 ⎞ ⎠ 3 = 7 5 · 7 5 · 7 5 = 7 · 7 · 7 = 73

:

=

= (–2,3) · (–2,3) · (–2,3) · (–2,3) = ⎛ ⎝ –2,3 94 ⎞ ⎠ 4

Zapamatujtesi:

(a : b)n = a n : bn Podíl umocníme, když umocníme dělence

⎛ ⎝ a b ⎞ ⎠ n = a n bn idělitele. Zlomek umocníme, když umoc-

a – libovolné číslo níme jeho čitatele i jmenovatele.

b ≠0

n – přirozené číslo

D1 Cvièení

1. Vypočítejte hodnoty výrazů vdesetinných číslech co nejúsporněji: a) (2 · 3)2 b) (5 · 7)2 c) (3 : 5)3 d) (12 : 15)2 e) (10 · 2)3 f) (11 : 4)2 g) (1 : 4)2 h) (5 : 8)3

2. Napište jako mocninu spřirozeným mocnitelem:

a) 22 · 52 b) 33 · 73 c) ⎛ ⎝ 11 5 ⎞ ⎠

3. Vypočítejte avyjádřete desetinným číslem:

4. Určete přirozené číslo n tak, aby platilo:

5. Vypočítejte hodnotu výrazu:

50

⎛ ⎝ –2,3 9 ⎞ ⎠ · ⎛ ⎝ –2,3 9 ⎞ ⎠ · ⎛ ⎝ –2,3 9 ⎞ ⎠ · ⎛ ⎝ –2,3 9 ⎞ ⎠ =

53 (–2,3

9)4

⎛ ⎝ –2,3 9 ⎞ ⎠ 3 =

2 · ⎛ ⎝ 10 4 ⎞ ⎠ 2 d)

e) (–2)3

43 f) ⎛ ⎝ –1 4 ⎞ ⎠ 3 · ⎛ ⎝ –4 21 ⎞ ⎠ 3

123 · 53

·

a) ⎛ ⎝

⎞ ⎠

b) ⎛ ⎝ –

4 ⎞ ⎠ 3 c) ⎛ ⎝ 5 2 ⎞ ⎠ 2 d) ⎛ ⎝ –4 5 ⎞ ⎠ 3

1 2

3

a) ⎛ ⎝ 1 2 ⎞ ⎠ n · ⎛ ⎝ 4 3 ⎞ ⎠ 3 = ⎛ ⎝ 2 3 ⎞ ⎠ 3 b) ⎛ ⎝ 5 3 ⎞ ⎠ n · ⎛ ⎝ –3 5 ⎞ ⎠ 4 = 1 c) ⎛ ⎝ 1 3 ⎞ ⎠ 2 · ⎛ ⎝ 2 5 ⎞ ⎠ n = ⎛ ⎝ 2 15 ⎞ ⎠ n d) ⎛ ⎝ –3 5 ⎞ ⎠ n · ⎛ ⎝ 2 7 ⎞ ⎠ 2 = ⎛ ⎝ –6 35 ⎞ ⎠ n

a) ⎛ ⎝ –1 2 ⎞ ⎠ 3 · ⎛ ⎝ 4 5 ⎞ ⎠ 3 b) ⎛ ⎝ 2 5 ⎞ ⎠ 2 · ⎛ ⎝ 5 2 ⎞ ⎠ 3 c) ⎛ ⎝ 3 4 ⎞ ⎠ 2 · ⎛ ⎝ 4 5 ⎞ ⎠ 3 d) ⎛ ⎝ 9 3 ⎞ ⎠ 2 : ⎛ ⎝ 3 4 ⎞ ⎠ 2 e) ⎛ ⎝ 4 5 ⎞ ⎠ 3 : ⎛ ⎝ 4 5 ⎞ ⎠ 2 f) ⎛ ⎝ –2 9 ⎞ ⎠ 2 : ⎛ ⎝ 2 9 ⎞ ⎠ 3

7 · 7 · 7 9 · 9 · 9 · 9 an III. MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM

Mocnina mocniny

Výraz (am)n vyjadřuje n-tou mocninu m-té mocniny čísla a

Někdy potřebujeme vynásobit stejné mocniny téhož základu, např.:

23 · 23 = (23)2 = 2

činitelé 3 činitelé

(–3) · (–3) (exponent 2 znamená 2 činitele)

(–3)2 · (–3)2 · (–3)2 · (–3)2 = [(–3)2]4 = (–3)8 = 6 561

4krát dva činitelé = 8 činitelů

(–0,7)3 · (–0,7)3 · (–0,7)3 · (–0,7)3 · (–0,7)3 = [(–0,7)3]5 = (–0,7)15 = –0,004 748

Jak jsme určili poslední hodnotu? Použili jsme kalkulačku, která měla tlačítko xy .

Uložili jsme nejprve do její paměti hodnotu základu x = –0,7, pak tlačítkem xy umožnili vložit hodnotu mocnitele y = 15. Tlačítkem = nebo EXE jsme vyvolali výsledek, zaokrouhlený na 6 desetinných míst. (Zaokrouhlení je možné na kalkulačce volit, zde bylo voleno šest desetinných míst.)

Zapamatujtesi:

(a m)n = a m · n

Mocninu umocníme, když základ mocniny a – libovolné číslo umocníme součinem mocnitelů. m, n – přirozená čísla

Budeme přímo počítat, např.: (52)3 = 52 · 3 = 56 [(–0,2)3]4 = (–0,2)3 · 4 = (–0,2)12

Cvièení

1. Zapište jako mocninu sjedním mocnitelem: a) (32)4 b) (24)2 c) (102)5 d) (24)3 e) (0,12)3 f) (103)2 g) (0,13)3 h) (102)3

2. Jsou následující výpočty správné? a) (23)2 = 23+3 = 26 b) (33)3 = 33+3 = 36 c) (0,12)3 = (0,01)3 = 0,000 001d) ((–0,1)2)3 = 0,16 = 0,000 000 1

· 2 · 2 · 2 · 2

2

· 2

= 23 ·

= 26

⎣ ⎛ ⎝ 3 2 ⎞ ⎠ 2 ⎤ ⎦ 5 = ⎛ ⎝ 3 2 ⎞ ⎠ 2 · 5 = ⎛ ⎝ 3 2 ⎞ ⎠ 10

⎡

E1

3

51 E III. MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM an

Všimnětesi:

Možnosti různého vyjádření mocnin jedné proměnné:

a 2 = a · a

a 3 = a · a · a

a 4 = a · a · a · a = = (a · a) · (a · a) = a 2 · a 2 = = a · (a · a · a) = a · a 3 = = (a · a · a) · a = a 3 · a

a 5 = a · a 4 = a 2 · a 3 = a 3 · a 2 = = a 4 · a

Evropská matematika byla ovlivněna hlavně matematikou řeckou. Úvahy omyšlení vedly květší vědeckosti matematiky; Řekové svá tvrzení začali dokazovat. Vzorem byly Eukleidovy Základy (3. stol. př. n.l.), které byly inspirací pro matematiky až do 19. století. Do dnešní doby se učíme téměř všechno, co zapsali starověcí matematici Pythagoras, Archimedes, Diofantos a jejich pokračovatelé např. Descartes, ...

1. Zjednodušte uvedené výrazy s proměnnými: a) 7 · x · x b) a · a · a · b · 8c) 4 · x · 9 · x · y d) 5 · x · 3 · y · 2 · y e) x · 2 · y · x · 3f) 2 · a · 2 · a

2. Je zjednodušení zápisu jednočlenu správné? a) 3 · 5 · x · y · x = 35x 2 y b) 2 · 7

2

x · x · x = 22 · 7 · x 3 c) a 2 · b · 5

3. Zapište stručně jednočlen: a) t · t · t b) p 2 · p c) 3 · r

Zapamatujtesi:

Mnohočlen je jednočlen nebo výraz, který se dá zapsat jako součet několika jednočlenů: 5x 4 + 3x 3 + 0,1x 2 + 9x + (–10)

jednočleny mnohočlenu, krátce nazýváme členy mnohočlenu

Podle počtu členů se mnohočlen nazývá dvojčlen, trojčlen, čtyřčlen atd.

Jednočlen můžeme považovat za mnohočlen sjediným členem.

Mnohočleny jsou:

jednočlen např.: 21; 3x 2 y; 0,25a 3b

dvojčlen: x + 1; 3x 2 + (–5)y; 0,7x + (–2)

trojčlen: x + y + z; 5a + b + (–1); – 6x + 5 + (–2)y

čtyřčlen:2a + (– b) + c + 1; a 2 + 2ab + 2bc + b2

72 (A –B)2 IV.

VÝRAZY

·

· a = 5a 3b d) 6 · a

5

b

a = 52 · 6a 2b

· r · r

· p

g) 2 · r ·

·

3 d) (– s) · 2(– s) e) t · 7 · t · t2 f) p · p 2 · p

3

r 2 h) x · y · x · y

· · · A1 Cvièení

Všimnětesi:

1 · a = a

(– 1) · a = – a

7 + (– 2) · a = 7 – 2 · a = 7 – 2a

Závorky po provedených úpravách můžeme

(– 3) · x + (– 5) · x 2 · y = – 3x – 5x 2 y u záporných koeficientů vynechat.

A2 Cvièení

1. Je možné zápisy jednočlenů ještě zjednodušit? Jestliže ano, udělejte to.

a) 5a 2 · 2a b) 3a · 3a · 3a c) 5h2 · 5h3 d) x · x 3 · m 2 · m 2 · m 2 e) 5x 2 y · z f) 4k · 4k · 2k2

2. Určete, který znásledujících mnohočlenů

A = 7a 2 + 5ab B = a 3 + 5a 2 + a – 1C = 3x 4 yz

je a) dvojčlen, b) jednočlen, c) trojčlen, d) čtyřčlen, e) mnohočlen.

3. Zapište následující výrazy co nejstručněji:

a) (– 7)a 2 + (– 5)ax

c) 0,02b2 + (– 1,03)b

b) 10,5x 2 + (– 4)x 2

d) 5,6 + (– 3,1)x

4. Je možné dva uvedené mnohočleny upravit na stejný tvar?

A = 5 · x · x + (– 7)x · (– 3) · x

Sčítání a odčítání mnohočlenů

B1

Sčítání a odčítání jednočlenů

B = – 21 · x2 + 5x 2

jablko + jablko = 2 · jablko = 2 jablka

a + a = 2 · a = 2a

a 2 + a 2 = 2 · a 2 = 2a 2

hruška + hruška = 2 hrušky

b + b = 2b

b2 + b2 = 2b2

jablko + hruška

!

Sčítáme jen stejné proměnné ve stejné mocnině.

a + b Nemůžeme sečíst různé proměnné.

a 2 + b2

Pozoruj sčítání:

a + a + a = 3 · a = 3a (a + a) + a = 2 · a + a = 3 · a = 3a

a + (a + a) = a + 2 · a = 3 · a = 3a

a 2 + a 2 + a 2 = 3 · a 2 = 3a 2 = 2a 2 + a 2 = a 2 + 2a 2

73

IV. VÝRAZY (A –B)2

B

! POZOR

Rozbor příkladu a jeho řešení:

Křivolakou běžeckou trať mezi oběma chatami vyjádříme schematicky úsečkou VR, na níž představují:

V – poloha chaty Větrná; R – poloha chaty Roubenka; M – místo setkání obou „běžkařů“;

s (km) – vzdálenost obou chat, schematicky |VR|; s1 (km) – délka trati |VM|, kterou urazil Mirek;

v1 ( km h ) – Mirkova průměrná rychlost;

s2 (km) – délka trati |RM|, kterou urazil Hynek;

v2 ( km h ) – Hynkova průměrná rychlost;

t (h) –čas, který uplynul od 9 h ráno do okamžiku setkání obou „běžkařů.

Po pozorném přečtení textu příkladu si vypíšeme důležité údaje (např. do tabulky). Některé znich označíme jako neznámé:

Průměrná rychlost

Lyžař

jeho jízdy ( km h )

Doba jeho jízdy

Překonaná vzdálenost (km)

Mirek 13 t 13t Hynek 15 t 15t

Celková vzdálenost obou chat (km): 35

Výpočet, zkouška a odpověď týkající se otázky a):

Použijeme vzorec pro výpočet délky dráhy rovnoměrného pohybu: s = v· t, kde s je délka dráhy vkm, v je rychlost v km h , t je čas vh.

s1 = v1 · ts2 = v2 · t

s1 = 13 · ts2 = 15 · t

s1 + s2 = s

13t + 15t = 35

28t = 35 |: 28 t = 5 4

t = 5 4 h = 114h = 1 h 15 min = 1,25 h

Oba chlapci se setkali za1 hodinu 15 minut.

100

ax = b V. LINEÁRNÍ ROVNICE · ·

Výpočet, zkouška a odpověď týkající se otázky b):

9 h + 1 h 15 min = 10 h 15 min …… 10 h 15 min – 1 h 15 min = 9 h (je zkouška)

Oba spolužáci se setkali v10 hodin a15 minut.

Výpočet, zkouška a odpověď týkající se otázky c):

Mirek: 13 km h · 1,25 h = 16,25km = 16 1 4 km

Hynek: 15 km h · 1,25 h = 18,75km = 18 3 4 km

16,25km + 18,75km = 35km

Mirek uběhl 16 1 4 km, Hynek 18 3 4 km.

Příklad 2:

V7 hodin ráno vyjel Dan zchebského náměstí na kole ajel do Plzně průměrnou rychlostí 15 km h .V9 hodin ráno vyjel ztéhož náměstí pan Barošosobním automobilem ajel po stejné trase také do Plzně. Jeho průměrná rychlost byla 60 km h . Vzdálenost mezi oběma městy je 102km. Za kolik minut po výjezdu zchebského náměstí dohonil pan Baroš Dana ana kolikátém kilometru od Plzně to bylo?

Rozbor příkladu a jeho řešení (viz obr.):

Silniční trať mezi oběma městy vyjádříme schematicky úsečkou CP, na níž představují: C – místo výjezdu Dana apana Baroše zchebského náměstí; P – začátek Plzně na silnici od Chebu; M – místo, ve kterém byl Dan dostižen panem Barošem; s (km) – silniční vzdálenost zChebu do Plzně, schematicky |CP|; d (km) – vzdálenost (dráha) zC do M, kterou překonali Dan ipan Baroš;

v1 ( km h ) – průměrná rychlost Danovy jízdy;

v2 ( km h ) – průměrná rychlost jízdy pana Baroše; t (h) – čas Danovy jízdy na trati.

Postupujeme obdobně jako při řešení předcházejícího příkladu.

101

V. LINEÁRNÍ ROVNICE ax = b

Tato učebnice je třetí částí řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií.

Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice (algebře), druhá geometrii. Praktickým a užitečným doplňkem učebnic jsou pracovní sešity ke každé z nich. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří: