Matematika 6 - Geometrie

pro základní školy

S = 6 . a . a

6MATEMATIKA geometrie

RPZ A COVÁNO V SOULAD U S RVP

PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ

V = a . b . c

V = a . a . a

Zpracovali:

prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D.

Lektorovali:

PaedDr. Eva Kučinová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Josef Trejbal, Mgr. Václav Bendl

Schválilo MŠMT čj. MSMT-14859/2019 dne 6. června 2019 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor

Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

© Zdeněk Půlpán, Michal Čihák, 2007, 2013, 2019

© SPN – pedagogické nakladatelství, akciová společnost, 2007, 2013, 2019

ISBN 978-80-7235-629-4

OBSAH

I. PROSTOR AJEHO ZOBRAZENÍ

1. Možná zobrazení prostoru ...............................................................................................5

2. Zobrazení èásti prostoru ..................................................................................................7

3. Zjednodušujeme ............................................................................................................10

4. Zobrazujeme, zapisujeme a poèítáme ...........................................................................12

II. ÚHEL

1. Úhel, pøenášení úhlù ......................................................................................................25

2. Osa úhlu .........................................................................................................................32

3. Velikost úhlu ..................................................................................................................34

4. Grafické sèítání a odèítání úhlù .....................................................................................47

III. OSOVÁ SOUMÌRNOST

1. Shodné útvary ................................................................................................................59

2. Osová soumìrnost .........................................................................................................67

3. Osovì soumìrné útvary .................................................................................................76

IV. TROJÚHELNÍK

1. Úhel a trojúhelník ..........................................................................................................83

2. Rovnoramenné a rovnostranné trojúhelníky .................................................................90

3. Výšky trojúhelníku ........................................................................................................96

4. Tìžištì a tìžnice trojúhelníku ......................................................................................101

5. Kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku .....................................................................103

6. Trojúhelníky – opakování ............................................................................................108

V. KRYCHLE AKVÁDR

1. Jak zobrazujeme krychli a kvádr .................................................................................110

2. Povrch kvádru a krychle ..............................................................................................114

3. Objem kvádru a krychle ..............................................................................................119

4. Jednotky objemu ..........................................................................................................123

5. Opakování ....................................................................................................................126

VI. ZÁVÌREÈNÉ

Obvod ètverce aobdélníku

Obvod ètverce o se stranou délky |AB| = a je o = 4 · a

Pøíklad 1:

p

Narýsujte ètverec ABCD se stranou délky a = |AB| = 5cm. Urèete jeho obvod.

Øešení:

• Obvod ètverce je o = 4 · a = 4 · 5 = 20 Ètverec má obvod 20cm.

• Obvod ètverce bychom mohli také urèit graficky pomocí pravítka:

délka obvodu ètverce ABCD

Úseèky PR, SQ jsou úhlopøíèky ètverce PQRS

|PR| = |QS|

O ∈ PR ∩ QS

Úhlopøíèky ètverce jsou na sebe kolmé – zapisujeme:

PR ⊥ QS

Jsou strany ètverce astrany obdélníku na sebe kolmé?

Úseèky AC, BD jsou úhlopøíèky obdélníku ABCD

|AC| = |BD|

S ∈ AC ∩ BD

Jsou úhlopøíèky obdélníku sebe kolmé?

Pøíklad 2:

Obvod ètverce je 60m. Urèete délku jeho strany.

Øešení:

Protože 60 = 4 · 15, je délka strany ètverce 15m.

C3

Na obrázku máme narýsován obdélník ABCD.

Pro obdélník ABCD platí: AB || DC AD || BC |AB| = |DC| |AD| = |BC|

Pøíklad 3:

Obvod obdélníku se stranami délky |AB| = a a |BC| = b je

o = 2 · (a + b)

Obdélník ABCD má stranu AB délky 4cm astranu BC délky 3cm. Urèete jeho obvod. Øešení:

Obvod obdélníku vypoèítáme:

o = 2 (a + b) = 2 (4 + 3) = 2 · 7 = 14

Obdélník ABCD má obvod 14cm.

Pøíklad 4:

Pozor! Délky stran obdélníku mohou být uvedeny vrùzných jednotkách.

Pøed výpoètem je musíme pøevést na stejné jednotky.

Pozemek ve tvaru obdélníku má stranu a odélce 1km astranu b odélce 400m. Jaký je obvod pozemku?

Øešení:

Protože rozmìry pozemku nejsou ve stejných jednotkách, musíme je nejdøíve pøevést na stejné jednotky:

a = 1km = 1 000m

b = 400m

Obvod pozemku vypoèítáme:

o = 2 (1 000 + 400) = 2 · 1 400 = 2 800

Pozemek má obvod 2 800m.

Pøíklad 5:

Vypoèítejte obvod zahrady, jejíž pùdorys je na obrázku.

Øešení:

Pùdorys zahrady mùžeme rozdìlit na dílèí útvary tak, jak je to vyznaèeno teèkováním vobrázku.

Podle obrázku vypoèítáme nejdøíve délky stran x a y:

x = 16 – 8 = 8 y = 25 – 10 = 15

Nyní již mùžeme urèit obvod zahrady:

25 + 16 + 10 + 8 + 15 + 8 = 82

Obvod zahrady je 82m.

8 m

25 m

10 m

16 m

e)190'

190' = 3 . 60' + 10' = 3° + 10' = 3°10'

f)225'

225' = 3 . 60' + 45' = 3° + 45'

D2 Cvièení

1. Vyjádøete vminutách:

a) 5°; 10°; 22°; 36°; 78°; 90° b) 1°12'; 3°08'; 9°27'; 13°49'

2. Vyjádøete ve stupních aminutách:

100'; 145'; 180'; 210'; 333'; 480'; 500'; 1 000'

a) Které stoupání je strmìjší? Stoupání pod úhlem α = 900', nebo pod úhlem β = 17°?

b) Závodní automobilový okruh má nìkolik zatáèek. Která znich je „nejostøejší“?

α = 127°

β = 1 800'

γ = 110°

Své odpovìdi zdùvodnìte.

c) Která ze støech je „ostøejší“?

D3

Úhel α, jehož velikost je vìtší než 0° amenší než 90°, se nazývá ostrý úhel

0° < β < 90°

Úhel β, jehož velikost je vìtší než 90° amenší než 180°, se nazývá tupý úhel.

90° < β < 180°

Je úhel α = 30° ostrý?

Ano, protože 0° < 30° < 90°.

Je úhel β = 150° tupý?

Ano, protože 90° < 150° < 180°.

1. Rozhodnìte, zda je daný úhel ostrý, nebo tupý: a) α = 50°b) β = 10° c) γ = 89°d) δ = 160° e) ϕ = 100° f) ω = 95°

2. Rozhodnìte, zda jsou narýsované úhly ostré, pravé, tupé nebo pøímé. a) b) c) d)

3. Který zvyznaèených úhlù je ostrý akterý tupý?

4. Narýsujte pøímý úhel AVB. Rozdìlte ho polopøímkou na dva rùznì velké úhly α, β. a) Zmìøte jejich velikost ve stupních avypoèítejte α + β. b) Rozhodnìte, zda platí tato vìta:

Je-li úhel α ostrý, pak úhel β je tupý (anaopak).

5. Jaký je souèet úhlù ϕ a ω?

Je možné urèit tento souèet bez mìøení úhlù ϕ a ω? D4 Cvièení

3. Následující dva obrázky se na první pohled zdají být shodné. Když se ale podíváte pozornìji, najdete na nich šest odlišností. Které to jsou?

4. Najdìte shodné obrazce arozhodnìte, které znich jsou shodné pøímo akteré nepøímo.

Shodnost nìkterých geometrických útvarù

Pomocí prùsvitky zjistìte, které znásledujících úseèek jsou shodné:

Zjistíme napøíklad, že úseèka CD je shodná súseèkou MN. Zapisujeme:

≅ MN

Mohli jsme rozhodnout oshodnosti úseèek bez použití prùsvitky? Ano. Staèí zmìøit pomocí pravítka délky jednotlivých úseèek aporovnat je.

Úseèky, které mají stejnou délku, jsou shodné.

Úkol:

Zmìøte azapište délky úseèek zpøedcházející úlohy. Kolik jste našli úseèek shodných súseèkou CD? Které to jsou? Zapište shodnost tìchto úseèek.

Poznámka:

Vpøípadì úseèek mluvíme vždy pouze opøímé shodnosti, protože pøi pøemístìní jedné úseèky nám staèí použít „posunutí“ a„otoèení“ vrovinì tak, aby se obì úseèky kryly.

Pomocí prùsvitky zjistìte, jsou-li následující dva úhly shodné:

Úhly α a β jsou shodné, protože se pøi pøemístìní kryjí. (Uvìdomte si, že ramena úhlu jsou polopøímky.)

Mohli jsme vpøedchozí úloze rozhodnout oshodnosti úhlù bez použití prùsvitky? Ano. Staèí zmìøit pomocí úhlomìru velikosti jednotlivých úhlù.

To, že úhly ABC aKLM mají stejnou velikost, zapisujeme:

Úhly, které mají stejnou velikost, jsou shodné. |< ) ABC| = |< ) KLM|

D1

tupoúhlý trojúhelník – má jeden vnitøní úhel tupý, zbývající dva jsou ostré;

pravoúhlý trojúhelník – má jeden vnitøní úhel pravý adva zbývající ostré

Žádný jiný pøípad již není možný.

1. Zapište, zda jde otrojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý, nebo tupoúhlý (nejprve si vypoèítejte velikosti všech úhlù).

2. Je možné, aby v Δ ABC mìly vnitøní úhly α, β, γ velikosti:

a) α = 15°, β = 74°, γ = 91°

b) α = 80°, β = 44°, γ = 56°

c) α = 45°, β = 45°, γ = 90°

Jestliže ano, uveïte názvy jednotlivých trojúhelníkù.

3. V Δ ABC urèete velikost tøetího úhlu γ:

a) α = 30°, β = 70°

b)

α = 15°37', β = 10° c)

α = 110°42', β = 50°11' Ojaké trojúhelníky se va), b), c) jedná?

4. Pøi tvorbì map aplánù se geodeti „napojují“ na zemìpisné souøadnice urèitých pevných bodù vterénu, jimiž jsou napøíklad vrcholy vìží kostelù èi jakési døevìné „rozhledny“, pod jejichž vrcholy jsou zabudovány žulové kameny skøížky. Pevné body tvoøí trojúhelníkovou sít,. Jeden ztrojúhelníkù sítì – Δ ABC – je na obrázku. Vnìm byla urèena délka strany AB. Velikosti úhlù α,β byly zjištìny úhlomìrným pøístrojem (theodolitem).

C2 Cvièení

Geodet namìøil α = 65°07', β = 40°54'. Zmísta C pak urèil úhel γ = 74°58'. Mìøil zcela pøesnì? Ovìøte si to narýsováním: Narýsujte Δ ABC do sešitu. Zvolte |AB| = 5cm avelikosti vnitøních úhlù α, β budou pøibližnì jako na obrázku (nejdøíve velikosti úhlù zaokrouhlete na celé stupnì). Zmìøte si pak ivelikost úhlu γ. Rýsovali jste pøesnì? Jaká je vzdálenost bodu C od bodu B?

5. Na obrázku je znázornìn trojúhelníkový øez sedlovou støechou svepsanými velikostmi dvou jeho vnitøních úhlù. Urèete velikost tøetího vnitøního úhlu γ. Je trojúhelník PQR tupoúhlý?

6. Na obrázku je znázornìna trochu komplikovanìjší geodetická sít,. Pøerýsujte si obrázek do sešitù tak, že vzdálenost |AB| bude ve vašem sešitu 5cm.

V.KRYCHLE AKVÁDR

1. Jak zobrazujeme krychli a kvádr

Uèíme se zobrazovat krychli

Všechny stìny krychle jsou ètverce. Pøední a zadní stìna krychle jsou zobrazeny ve skuteèné velikosti (nejsou zkresleny).

Pøední stìna je viditelná, zadní stìna není viditelná.

Hrany krychle, které nejsou viditelné, vyznaèujeme èárkovanou èarou, nebo je vùbec nezobrazujeme.

Zkreslené hrany krychle zobrazujeme tak, aby s vodorovným smìrem svíraly úhel 45°, a zkracujeme je na polovinu jejich skuteèné délky.

Oznaèování vrcholù krychle:

Z jakého pohledu se mùžeme dívat na krychli?

Uèíme se zobrazovat kvádr

Pøíklad:

Zobrazte kvádr ABCDA'B'C'D', jehož hrany mají délky

|AB| = 6 cm, |BC| = 5 cm, |AA'| = 4 cm.

Skuteèná délka hrany BC je 5 cm.

Zobrazíme ji ale zkrácenou na polovinu skuteèné délky –na 2,5 cm.

Postup konstrukce:

Tato učebnice je první částí řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií.

Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice, druhá geometrii. Praktickým a užitečným doplňkem učebnic jsou pracovní sešity ke každé z nich. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Vhodným doplňkem učebnic je řada sbírek cvičení a příkladů z matematiky. Pro výuku matematiky na 1. stupni ZŠ je určena obdobná ucelená řada učebnic. (blíže viz www.spn.cz) 5806

ISBN 978-80-7235-629-4