9789127409798

Kurs

B BlĂĽ LENA ALFREDSSON ∙ HANS BROLIN ∙ PATRIK ERIXON HANS HEIKNE ∙ ANITA RISTAMĂ„KI

Kurs

B BlĂĽ

MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fÜregüngaren Matematik 3000 baserad pü färdigheter – fÜrstüelse – problemlÜsning, men nu med Ükat fokus pü kommunikation. Nya begrepp introduceras pü ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

BÜckerna i Matematik 4000 finns i tre svürighetsnivüer: RÜd, GrÜn och Blü, där Blü är den mest krävande.

FĂśr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

*4#/

4000

Eleverna für med hjälp av denna bok och tillhÜrande kompletterande material münga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken – genom elevnära exempel, aktiviteter och Üvningar, de senare av olika slag och svürighetsgrad.

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

4000 MATEMATIK

Till lärare och elever Matematik 4000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning.

Den ger eleven goda möjligheter att utveckla de förmågor och nå de mål som beskrivs i kursplanen.

2. I varje kapitel finns Aktiviteter och Historik i anslutning till teorin. Aktiviteterna är främst avsedda för arbete i par eller i grupp och finns i fyra olika kategorier: Undersök, Upptäck, Laborera och Diskutera. På några ställen i boken finns också *-märkta fördjupningsavsnitt.

3. Kapitlet avslutas med

Denna bok, Kurs B Blå lärobok, riktar sig främst till de elever som planerar för vidare studier i matematik, som t ex naturvetare och tekniker.

• förslag till Hemuppgifter som är grupperade efter momentrubrikerna.

Kurs B Blå lärobok är en komplett lärobok för kurs B. Den förutsätter att eleven har tillgång till en grafritande räknare, men ger även några exempel på hur kraftfulla symbolhanterande räknare kan användas.

Framställningen är oberoende av vilken typ av grafritande räknare som används. För att underlätta användningen av räknare finns aktiviteter, tips samt markeringar i marginalen som visar när eleven kan behöva instrueras i hur räknaren ska användas.

• Blandade övningar som består av två likvärdiga och parallella test med uppgifter även från tidigare kapitel. Blandade övningar innehåller A-, B- och C-uppgifter och har en struktur liknande ett Nationellt prov.

Del I ska lösas utan räknare och Del II avslutas med Utredande uppgifter.

Varje enskilt avsnitt har följande struktur: 1. Teorin framställs så att eleverna ges en chans att förstå och upptäcka matematiken och så att den är möjlig att läsa på egen hand. Teorin utgår oftast från ett konkret Exempel.

2. Lösta uppgifter belyser det viktigaste och stärker förståelsen.

• en Sammanfattning där eleven kan repetera det viktigaste i kapitlet.

• en sida Problem för alla med problemlösning av annorlunda slag.

Boken avslutas med • Repetitionsuppgifter, vilka är texten till de lösta uppgifterna i varje kapitel. Dessa kan användas som en självständig repetition.

Lärarhandledningen innehåller bl a • didaktiska kommentarer till bokens olika avsnitt och Aktiviteter.

• kopieringsunderlag till ytterligare Aktiviteter.

3. Övningsuppgifterna är uppdelade i tre nivåer A, B och C i stigande svårighetsgrad.

• förslag till diagnos och prov till varje kapitel.

Varje kapitel har följande struktur:

Vi hoppas att Matematik 4000 är lätt att använda, att den inbjuder till en variation av arbetssätt samt att den erbjuder många olika möjligheter för lärare och elever att lägga upp undervisningen.

1. De olika momenten har delats in i mindre avsnitt med underrubriker för att underlätta lektionsplaneringen. Varje sådant avsnitt har den struktur som beskrivits ovan.

FÖRORD

Lycka till med matematiken! önskar Författarna

3

Innehåll 1. Algebra och geometri

6

Inledande aktivitet: Rektanglar och algebra 7

1.1 Polynom

1.2 Andragradsekvationer

24

Enkla andragradsekvationer 24 Kvadratkomplettering 26 En lösningsformel 28 Aktivitet: Upptäck – Samband mellan rötter och koefficienter 31 Historik: Ekvationer och lösningsformler 32 Algebra och tillämpningar 34

1.3 Några geometriska satser

37

Yttervinkelsatsen 37 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 39 Aktivitet: Laborera – Randvinklar 42 Randvinklar och medelpunktsvinklar 43 Historik: Den axiomatiska metoden 46 Några bevis med likformighet 47 *Kongruens 49 *Geometriska konstruktioner 51 Historik: Tre klassiska problem 52

53

Avståndsformeln 53 Mittpunktsformeln 55 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 56 Hemuppgifter 1 57 Sammanfattning 1 60 Blandade övningar 1A 63 Blandade övningar 1B 65 Problem för alla 1 67

4

Inledande aktivitet: Rektangel med given omkrets 69

2.1 Grundbegrepp

8

Vad är ett polynom? 8 Räkna med polynom 11 Multiplikation av binom 15 Konjugat- och kvadreringsreglerna 18 Faktorisera 21 Aktivitet: Undersök – Kan du förklara regeln? 23

1.4 Koordinatgeometri

2. Funktioner 68 70

Funktionsbegreppet 70 Symbolen f ( x ) 73

2.2 Linjära funktioner

75

Linjers lutning 75 Parallella och vinkelräta linjer 79 Räta linjens ekvation 80 Aktivitet: Laborera – Trästavar med skruv 84 Räta linjens ekvation i allmän form 85 Linjära modeller 87 *Linjär anpassning 90

2.3 Linjära ekvationssystem

92

Vad menas med en lösning? 92 Grafisk lösning 93 Substitutionsmetoden 94 Additionsmetoden 95 Några speciella ekvationssystem 97 Aktivitet: Undersök – Ekvationsbilder 99 Tillämpningar 100

2.4 Olikheter

102

Algebraisk lösning 102 Grafisk lösning 104 Aktivitet: Undersök – Andragradsfunktioner

2.5 Icke-linjära funktioner

105

106

Andragradsfunktioner 106 Kvadratiska modeller 112 Icke-linjära modeller 115 *Funktionsanpassning 117 Aktivitet: Diskutera – Graf, formel, tabell och beskrivning 118 *Historik: Minsta kvadratmetoden och regression Problem för alla 2 121 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 122 Hemuppgifter 2 123 Sammanfattning 2 126 Blandade övningar 2A 130 Blandade övningar 2B 133

120

INNEHÅLL

3. Sannolikhetslära och statistik 136 Inledande aktivitet: Byta eller inte? 137

3.1 Enkla slumpförsök

138

Inledning 138 Den klassiska sannolikhetsmodellen Experimentella sannolikheter 142

139

3.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg

144

Försök med två föremål 144 Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 146 Träddiagram 147 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 150 Komplementhändelse 153 Historik: Sannolikhetslärans födelse 155

3.3 Statistik

156

Repetition av lägesmått 156 Några spridningsmått 158

3.4 Statistiska undersökningar

163

Population, stickprov och urvalsmetoder 163 Formulera frågor 166 Några felkällor vid undersökningar 168 Aktivitet: Undersök – En egen undersökning – några tips 171 *Standardavvikelse – Normalfördelning 172 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 175 Hemuppgifter 3 176 Sammanfattning 3 178 Blandade övningar 3A 180 Blandade övningar 3B 183 Problem för alla 3 185

Repetition Svar

186

192

Register

INNEHÅLL

214

5

Med algebran som spr책k kan vi beskriva geometrins former.

1 ALGEBRA OCH GEOMETRI

Inledande aktivitet

Undersök

REKTANGLAR OCH ALGEBRA 1 Arean av rektangel A kan beskrivas med uttrycket 3(x – 1). a) Ange ett uttryck för arean av rektangel B.

3

A

3 Skriv en likhet som visar att hela rektangelns area är lika med summan av de fyra mindre rektanglarnas area.

x B

2

x–1

x

1

b) Beräkna areorna för några olika värden på x. c) Hittar du något värde som ger rektanglarna samma area?

x

4 Se figuren. (a + b)2 = ? a

2 I figuren nedan har vi två identiska rektanglar.

Skriv likheten A = A1 + A2 med algebraiska uttryck som motsvarar respektive area.

2

b

b

a a

A a+2

1 ALGEBRA OCH GEOMETRI

a

A1

A2

a

2

7

1.1 Polynom Vad är ett polynom?

Många situationer runt omkring oss kan beskrivas med en polynomfunktion som matematisk modell.

Exempel 1 förstagradspolynom

En boll kastas rakt upp med hastigheten 30 m/s.

Vad är hastigheten efter x s?

Hastigheten y m/s får vi med förstagradspolynomet y = 30 – 9,8x En bil håller hastigheten x km/h.

Vad blir stoppsträckan på torr asfalt?

andragradspolynom

Stoppsträckan d m får vi med andragradspolynomet d = 0,2x + 0,006 x2 30

(cm)

Vi klipper bort kvadrater med sidan x cm från en pappskiva med måtten 20 cm × 30 cm.

Hur stor blir volymen, om man viker upp sidorna till en öppen låda? tredjegradspolynom

Polynom Termer Koefficient

Gradtal

20

Volymen V cm3 får vi med tredjegradspolynomet V = x (20 – 2 x) (30 – 2 x) eller förenklat V = 4x3 – 100 x2 + 600 x Ett polynom är en summa av termer.

Varje term är antingen en variabelterm eller en konstantterm.

Ett polynoms variabelterm är en produkt av ett tal, som kallas koefficient, och variabeln upphöjt till ett positivt heltal.

Den högsta exponenten i ett polynom anger polynomets gradtal. fjärdegradspolynom konstantterm

5x 4 – 2 x + 10 variabeltermer med koefficienterna 5 och –2

Exempel 2

Uttrycken x 3 + 2 x –2 + 1 och x + 5 x 1/2 är inte polynom.

I polynom är variablernas exponenter positiva heltal.

8

1.1 POLYNOM

Värdet av ett polynom Vad är p (x )?

Om vi vill beräkna värdet av polynomet 5x2 + 3x – 9 för x = 2 så är det praktiskt att kalla polynomet för p(x). p(x) = 5x 2 + 3 x – 9

Vad är p (2)?

p(x) utläses ”p av x” eller bara ”p x”

Med p(2) menar vi polynomets värde då x = 2 Låt p(x) = 5x2 + 3x – 9 och byt för ett ögonblick ut variabeln x mot p(

)=5∙

2

+ 3∙

–9

Vill vi beräkna p(2), ersätter vi alla

med en 2:a.

p(2) = 5 ∙ 22 + 3 ∙ 2 – 9 = 20 + 6 – 9 = 17 På samma sätt beräknas p(−4) = 5 ∙ (– 4)2 + 3 ∙ (–4) – 9 = 5 ∙ 16 – 12 – 9 = 59 Vad är p (2h)?

Med p(2h) menar vi det uttryck vi får om x i p(x) ersätts med 2h. p(2h) = 5(2h) 2 + 3(2h) – 9 = 20h2 + 6h – 9

1101

Varje kväll under sommaren mätte Cilla längden h( x) cm av en solros.

Hon fann att längden under juni månad kunde beskrivas med polynomet h(x) = 0,04x 2 + 0,3x +7 där x = 1 svarar mot den 1 juni.

Beräkna och tolka a) h(5)

b)

h(30) − h(23) 7

a) h(5) = 0,04 ∙ 52+ 0,3 ∙ 5 +7 = 9,5 Den 5 juni är solrosens längd 9,5 cm. b)

h(30) − h(23) = 7 =

0,04 · 302 + 0,3 · 30 + 7 − (0,04 ·232 + 0,3 · 23 + 7 ) = 2,42 7

Under veckan 23 – 30 juni var den genomsnittliga tillväxthastigheten 2,4 cm/dag.

1.1 POLYNOM

9

1102 Avgör om uttrycket är ett polynom.

Ange i så fall koefficienten för x2 -termen och polynomets gradtal. a) 5x 3 – 3x 2 + 8

c) x 4 + x 2 + 1

b) 6 + 3 x 2 – 4x –3

d) 2 + x – 8x 4

1110

1103 Låt p(x) = 5x + x 3 a) Förklara vad p(4) står för. b) Hur beräknas p(4)? c) Vad blir p(4)?

1104 Låt p(x) = x 2 + 2x + 11 och beräkna a) p(0)

b) p(3)

c) p(−5) d) p(−8)

1105 Låt g(z) = 3z – z 2. Bestäm a) g(1)

b) g(−1) c) g(−5) d) g(b)

1106 En sten kastas ner från ett fönster och faller då s m på t s enligt s = 5t + 5t 2 Beräkna och tolka vad s(0,8) betyder.

1107 Låt h(t) = 50 + t − 3t 2 − 4t 3 och beräkna a) h(1)

c) h(2)

b) h(−1)

d) h(−2)

1108 a) Skriv ett förstagradspolynom p(x) som uppfyller att p(1) = 7 b) Skriv ett andragradspolynom h(x) som uppfyller att h(2) = 7 1109 Stoppsträckan d(x) m för en bil som körs på en torr väg med hastigheten x km/h ges av uttrycket d( x) = 0,2x + 0,006x 2

Tillväxten av en bakteriekultur studeras.

När försöket börjar är antalet bakterier 2 500. Efter x min finner man att antalet uppgår till N(x) = 2 500 + 350 x + 25 x 2 Beräkna och tolka a) N(12)

b)

/ o /

1111 Låt p(x) = ax 2 − 2 ax + 11a Bestäm a om p(−2) = 5 1112 En 20 cm lång planta fördubblar sin längd på en vecka. Vilket av polynomen beskriver bäst plantans höjd i cm efter x dygn under denna vecka?

Beräkna och tolka i ord

A p(x) = 20 + 20 x

a) d(50)

c) d(100) − d(50)

B g(x) = 0,26 x 2 + x + 20

b) d(100)

d(100) d) d(50)

C h(x) = 10,2 x – 0,64 x 2 1113 Beräkna h(5) om du vet att h(x + 2) = x 2 + 3 x + 1

10

1.1 POLYNOM

Räkna med polynom Många av våra räkneregler för polynom och algebraiska uttryck är en direkt följd av grundläggande egenskaper som gäller alla reella tal.

Ordningen mellan termerna i en addition kan kastas om.

5+2=2+5 Kommutativa lagarna

a+b=b+a

Ordningen mellan faktorerna i en produkt kan kastas om.

3∙4=4∙3

a∙b=b∙a

Dessa regler kallas de kommutativa lagarna.

Additioner får utföras i vilken ordning man vill.

(5 + 3) + 10 = 5 + (3 + 10) Associativa lagarna

(a + b) + c = a + (b + c)

Multiplikationer får utföras i vilken ordning man vill.

(2 ∙ 4) ∙ 5 = 2 ∙ (4 ∙ 5)

(a ∙ b ) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Dessa regler kallas de associativa lagarna.

5 ∙ (2 + 7) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 7 Distributiva lagen

Vi kan ”multiplicera in”.

a (b + c) = ab + ac (5 + 2)x = 5x + 2x Denna regel kallas den distributiva lagen.

Egenskapen att vi får utföra additioner i vilken ordning vi vill leder till den första parentesregeln.

Parentesreglerna

En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort.

(3x + 4y ) + (5x + 6y) = 3x + 4y + 5x + 6y = 8 x + 10y Vi har tidigare definierat subtraktion som ”addition av det motsatta talet”.

5 – (– 3 ) = 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 x – (3x + 4) = 5 x + (– 3 x – 4 ) = 5 x – 3 x – 4 = 2 x – 4 vilket ger den andra parentesregeln.

En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen (alltså även den första).

1.1 POLYNOM

11

Exempel

Samband kan ofta motiveras geometriskt. x+3

x

x

x

3

x2

3x

Area = x 2 + 3x

Area = x (x + 3)

Rektanglarna och dess areor är lika: x( x + 3) = x 2 + 3 x Detta är den distributiva lagen som ofta beskrivs så här: multiplicera in

”Faktorn x har multiplicerats in”, ”uttrycket har skrivits som en summa” eller ”multiplikationen har utförts”.

Lagen omvänt ger att x2 + 3x = x(x+3)

bryta ut

vilket vi kan beskriva som att ”faktorn x har brutits ut”, ”uttrycket har skrivits som en produkt” eller

faktorisera

”uttrycket har faktoriserats”.

Många uttryck kan faktoriseras på flera sätt, t ex 4x 2 – 2x = x(4x – 2) eller 2(2 x 2 – x) eller 2 x(2 x – 1) Vi föredrar ofta att bryta ut så mycket som möjligt, här är det 2x.

1114

Förenkla a) (3x + 4y + 15) + (2x + y – 2)

b) (5x2 – 0,6x + 3) – (–2x2 – 3x + 1)

a) (3x + 4y + 15) + (2x + y – 2) = 3x + 4y + 15 + 2x + y – 2 = = 5x + 5y + 13 b) (5x2 – 0,6x + 3) – (–2x2 – 3x+ 1) = 5x2 – 0,6x + 3 + 2x2 + 3x – 1 = = 7x2 + 2,4x + 2

12

1.1 POLYNOM

1115

Förenkla a) 4(a + b) – 3(b – a)

b) 4x(x – y) – ( x – 2y)2 y

Vi multiplicerar först in och tar därefter bort parenteserna. a) 4(a + b) – 3(b – a) = (4 a + 4b) – (3 b – 3 a) = = 4a + 4b – 3 b + 3a = 7a + b b) 4 x(x – y) – ( x – 2y)2 y = (4 x 2 – 4xy) – (2 xy – 4y 2) = = 4x 2 – 4xy – 2 xy + 4 y 2 = 4x 2 – 6xy + 4y 2

1116

OBS! (x – 2y )2y = = 2y (x – 2y)

Bryt ut så mycket som möjligt. a) 6 a 2 – 4ab

b) 10 x 2 y 3 + 5xy 2 + 25x 3 y

a) 6 a2 – 4ab = 2a (3a – 2 b) b) 10 x 2 y 3 + 5 x y 2 + 25 x 3 y = 5 x y( 2 x y 2 + y + 5 x 2 ) Att utbrytningen blev korrekt kan vi pröva genom att multiplicera in igen!

1117

Summan av tre på varandra följande hela tal är 36. Vilka är talen?

Metod 1 (minsta talet = x)

Metod 2 (mellersta talet = x)

Talen är x, x + 1 och x + 2

Talen är x – 1, x och x + 1

x + (x + 1) + (x + 2) = 36

(x – 1) + x + (x + 1) = 36

3 x + 3 = 36

3 x = 36

3 x = 33

x = 12

x = 11 x + 1 = 12 och x + 2 = 13

x – 1 = 11 och x + 1 = 13

Svar: Talen är 11, 12 och 13.

En symbolhanterande räknare löser enkelt de flesta algebraiska uppgifter.

Har du en sådan så använd den gärna för kontroll −men lös först uppgifterna för hand.

1.1 POLYNOM

13

1118 Förenkla

1123 Vilka är talen? Summan av

a) (5x + 2y) + (2 x + y)

a) tre på varandra följande hela tal är 72

b) (3x – 2y) + (4x – 2y)

b) fem på varandra följande jämna tal är 70.

c) 9y – (5y + 3) d) 13x – (6x – 4)

1124 Lös ekvationerna a) 5 – 2(2 y – 1) = 3

1119 Multiplicera in a) 3(x + 4)

c) 2ab(a3 – b 2)

b) x( x + y + 1)

d) –2x 2(x – y)

b) 9 x – ( x – 2)3 = 42

1125 Bryt ut så mycket som möjligt. a) 12x 3 + 4 x 2 – 6 x

1120 Förenkla

b) 28a 2 b 4 – 42a 3 b 3

1126 Rita en rektangel med sidorna (a + b) och a. Förklara varför (a + b)a = a 2 + ab.

a) (x 2 + 3x – 5) + (–3x 2 – 8x + 9) b) (x 2 – 4x + 8) – (– x 2 – 4x + 7)

1127 Bestäm värdet på a om ekvationen 2 a(x – 4) = ax – 8 har lösningen x = 5.

c) (a + 2) + (3a – 3) – (2a + 1) d) (b – 2) – (2 – b) – (– b – 2)

1128 a) Undersök om summan av fem på varandra följande hela tal alltid är delbar med 5.

1121 Förenkla a) 3a – 2(a – b)

b) Undersök om summan av sex på varandra följande hela tal alltid är delbar med 6.

b) a(a + b) – (a – b)b c) 3x(2 + y) + 3y(2 – x) d) 4(x 2− x) − 3(x 2− x) 1122 Bryt ut så mycket som möjligt.

D d

a) x 2 – 4x b) 12x 2 – 16x

f

c) 12x 2 y – 4x y

d

e

c

d) 14x 2 + 21x y D d

c C

Höghussudoku: Placera ut a – d eller a – f i varje ruta.

Varje bokstav får bara förekomma en gång i varje rad, kolumn och region.

14

A a

a

b

c

a

e

f

a

d

1.1 POLYNOM

Multiplikation av binom Ett polynom med två termer kallas ett binom. För polynom med en respektive tre termer kan man använda beteckningarna monom och trinom.

Binomprodukter

Hur multipliceras binom med varandra? (x – 3) (x + 2) = ?

Börja med produkten A ∙ (x + 2) = A ∙ x + A ∙ 2 Sätt sedan in att A = (x – 3) så ger det (x – 3) (x + 2) = (x – 3) ∙ x + (x – 3) ∙ 2 = x2 – 3x + 2x – 6 = x2 – x – 6

Resultatet får vi enklare så här: ➁ ➂ ➃ ➀ ➁

➀ (x – 3) (x + 2) = x ∙ x + x ∙ 2 + (–3) ∙ x + (–3) ∙ 2 = ➂ ➃ = x 2 + 2x − 3 x – 6 = x 2 – x – 6

Varje term i det ena binomet multipliceras med varje term i det andra binomet.

Resultat

De vanliga teckenreglerna (”lika tecken ger plus, olika tecken ger minus”) gäller.

Polynom med flera termer kan också multipliceras på samma sätt.

Resultatet kan även beskrivas med en formel och figur: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

1.1 POLYNOM

c

d

a

ac

ad

b

bc

bd

15

1129

Multiplicera följande polynom. a) (x – 2) (2x + 3)

c) ( x + 1) (x 2 – x + 1)

b) (2s 2 + 0,4) (0,5 s – 3)

d) 2(x – a) (4 x + 3a)

a) (x – 2) (2x + 3) = 2x 2 + 3x – 4x – 6 = 2x 2 – x – 6 b) (2s 2 + 0,4) (0,5 s – 3) = s 3 – 6s 2 + 0,2s – 1,2 c) (x + 1) (x 2 – x + 1) = x 3 – x 2 + x + x 2 – x + 1 = x 3 + 1 d) Här kan vi börja med binomprodukten: 2 (x – a) (4 x + 3a) = = 2 (4x 2 + 3ax – 4ax – 3 a 2) = 2 (4 x 2 – ax – 3a 2) = 8x 2 – 2ax – 6a 2

1130

Lös ekvationen 2x(x – 2) = (x + 4) (2x – 6) Utför multiplikationerna 2 x 2 – 4x = 2x 2 – 6x + 8x – 24

Subtrahera 2x 2 från båda leden

– 4 x = 2x – 24 24 = 6x x=4 Svar: x = 4

1131

Utveckla produkterna och förenkla a) 6 x 2 – (2x – 3) (3 x – 2)

b) 4x 2 – 2( x + 3) (x – 1)

Här är det lämpligt att utveckla produkten inom parentes. a) 6 x 2 – (2x – 3) (3x – 2) = 6x 2 – (6x 2 – 4x – 9x + 6) = = 6 x 2 – 6x 2 + 4x + 9x – 6 = 13x – 6 b) 4x2 – 2(x + 3) (x – 1) = 4x2 – 2 (x2 – x + 3x – 3 ) = = 4 x 2 – 2(x 2 + 2x – 3) = 4x 2 – 2x 2 – 4x + 6 = 2x 2 – 4x + 6

16

1.1 POLYNOM

1132 Multiplicera följande binom a) (x + 3) (x + 5)

1137 Förenkla a) 4(x + 1) ( x + 3) – 3( x – 1) (x – 4)

b) (4a – 3) (2a + 1)

b) 6 – (x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3)

c) ( p – 2q ) (2 p – 5q)

c) 6b 3 – (a – b) (a – 2 b) (a – 3 b)

1133 Multiplicera följande polynom 2

a) (x – 2) (x + 2x + 2) b) (5a 2 + 6a + 6) (a + 3) c) 4 (1,5x – y ) (3x – 0,8y) 1134 Rektangeln och kvadraten har samma area.

Bestäm arean. x

(m)

1138 En rektangel har omkretsen 48 cm.

Ange ett uttryck för basen, om höjden är a) x cm

b) (10 – x) cm

1139 Två rektanglar har areorna A1 och A2 enligt figuren.

2x

x

A1

x + 10

2x – 10

A2

x+4 x + 25 x–2

a) Skriv som ett förenklat polynom A2 – A1 b) För vilka värden på x är A2 > A1 ?

1135 Lös ekvationerna a) (6p – 3) – (2p + 8) = 25 + 3p b) ( y + 2) ( y + 7) = y 2 + 6y + 20 c) ( x – 1) (x – 2) = (x – 3) (x – 4) 1136 Utveckla produkterna och förenkla

1140 Finns det något positivt värde på a som ger en rektangel med sidorna ( x + a) och (x – a) cm samma area som en kvadrat med sidan x cm ?

1141 För ett andragradspolynom

a) 4 x 2 + 2(x + 1) (x – 3)

p (x) = ax 2 + bx + c

b) 4 x 2 – 2(x + 1) (x – 3)

gäller att (x – 1) ∙ p(x) = x 3 + x – 2

c) 4 s (s + 3) – (2s + 1) (2s – 3)

Vilket är polynomet p(x)?

1.1 POLYNOM

17

Konjugat- och kvadreringsreglerna Vi kan alltid multiplicera binom med den allmänna metoden. För vissa multiplikationer finns speciella regler med vars hjälp vi snabbare kan hantera uttryck och lösa ekvationer.

Produkten av ett konjugatbinom

(a + b) (a – b) = a 2 – ab + ab – b 2 = a 2 – b 2 (3 x – 4y) (3 x + 4 y) = 9 x 2 + 12 xy – 12 xy – 16 y 2 = 9 x 2 – 16 y 2 Binom av typen a + b och a – b kallas konjugatbinom.

Produkten av två konjugatbinom får man med konjugatregeln.

Konjugatregeln

Kvadraten av ett binom

(a + b ) (a – b) = a 2 – b 2

( x + 3)2 = (x + 3) ( x + 3) = x 2 + 3 x + 3 x + 9 = x 2 + 6 x + 9 (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b)2 =

a2

+

kvadraten av den första termen

2ab

b2

+

dubbla produkten av de två

kvadraten av den andra termen

På samma sätt får vi (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Kvadraten av ett binom kan beräknas med kvadreringsreglerna.

Kvadreringsreglerna

1142

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b)2 = a 2 – 2ab + b 2

Utveckla med hjälp av konjugatregeln a) (x + 4) (x – 4)

b) (2 x – 7y 2 ) (2 x + 7y 2 )

c) ( b + 3 a) (3a – b)

a) (x + 4) ( x – 4) = x 2 – 4 2 = x 2 – 16 b) (2x – 7y 2 ) (2 x + 7y 2 ) = (2 x)2 – (7 y 2 )2 = 4x 2 – 49y 4 c) (b + 3 a) (3 a – b) = (3 a + b) (3a – b) = (3 a) 2 – b 2 = 9a 2 – b 2 OBS! (b + 3a) = (3a + b )

18

1.1 POLYNOM

Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna

1143

a) (x + 3) 2

b) ( 2x + 4) 2

c) (3 y 2 – 4x) 2

a) (x + 3) 2 = x 2 + 2 ∙ x ∙ 3 + 32 = x 2 + 6x + 9 b) (2 x + 4) 2 = (2x) 2 + 2 ∙ 2x ∙ 4 + 42 = 4x 2 +16x + 16 c) (3y 2 – 4x) 2 = (3 y 2 ) 2 – 2 ∙ 3y 2 ∙ 4x + (4x)2 = 9y 4 – 24xy 2 + 16x 2 Förenkla

1144

a) 3x 2 – (x + 2) 2

b) 3x 2 – (x + 1) ( x – 1)

a) 3 x 2 – ( x + 2) 2 = 3x 2 – (x 2 + 4 x +4) = 3x 2 – x 2 – 4 x – 4 = 2x 2 – 4x – 4 b) 3 x 2 – (x + 1) ( x – 1) = 3x 2 – (x 2 – 1) = 3x 2 – x 2 + 1 = 2x 2 + 1

1145 Utveckla med hjälp av konjugatregeln

1151 Jossan gör följande utveckling

a) (x + 3) (x – 3)

(2 x – 3) 2 = 2 x 2 – 6 x + 9

b) (2x – 3) (2x + 3)

Vilka fel har hon gjort? Förklara hur hon kan rätta till felen.

c) (x + 25) (25 – x) d) (8y – 3x 2 ) (8y + 3x 2 )

1152 Förenkla/utveckla

1146 Utveckla med hjälp av kvadreringsreglerna a) (a + 5)

2

c) (3 x + 4y)

b) (x – 8) 2

2

d) (a – 0,5 b) 2

2 ⎛ ⎛ ⎞ y⎞ b) ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ x − y ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 4 ⎠ ⎝3 ⎠ 2

1147 Förklara hur du förenklar

¤ Y ´ a) (0,4x 3 ) 2 b) ¥¥ µµµ ¦ ¶

c) 3(0,2x – 2) (0,2 x + 4) d) 5x(10 x + 3) (3 – 10 x)

1148 Utveckla och förenkla

1153 Vad står

a) (x + 5) 2 + (x – 5) 2

a) (6x +

b) x 2 – (x + 4) (x – 4) 1149 Vad står a) (x + b) (

b) (

för? ) (x –

+ 5) (

och

för?

2

) = 36 x 2 + 60 x +

– 7) 2 = 9 y 2 –

+ 49

1154 Vilka binom a + b och a – b ger produkten

) = x2 –

a) x 2 – 100

– 5) = 16x 2 – 25

1150 Vilken regel kan illustreras med följande figur?

Förklara.

⎛y ⎞⎛ y ⎞ a) ⎜⎜ + 2 x ⎟⎟ ⎜⎜ − 2 x ⎟⎟ – x 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3

a b

b

b) 64 x 2 – 81 y 2 ?

1155 a) I en kvadrat med sidan x cm ökas båda sidorna med 5 cm. Med hur mycket ökar kvadratens area? b) I en annan kvadrat ökas ena sidan med 5 cm och den andra minskas med 5 cm.

Hur förändras arean då?

a

1.1 POLYNOM

19

1156

Lös ekvationen ( x + 3) 2+ (x + 1) ( x – 1) – 2(x – 3) 2 = 8 x 2 + 6x + 9 + (x 2 – 1) – 2( x 2 – 6x + 9) = 8 x 2 + 6x + 9 + x 2 – 1 – 2x 2 + 12x – 18 = 8 18 x – 10 = 8 18 x = 18 x=1

1157

Utveckla (x + 2)3 (x + 2) 3 = (x + 2) ( x + 2) 2 = (x + 2) ( x 2 + 4x + 4) = = x 3 + 4x 2 + 4x + 2x 2 + 8x + 8 = x 3 + 6x 2 + 12x+ 8

1158 Lös ekvationerna 2

a) (x – 1) = (2x + 1) (x + 1) – (x + 3)

1162 Med kvadreringsreglerna kan vissa multiplikationer utföras snabbt, t ex

b) 9(x + 1) 2 = (3x – 3) 2

52 2 = (50 + 2) 2 = 50 2 + 2 ∙ 50 ∙ 2 + 2 2 =

c) ( 2x – 3) (2x + 3) = 4(x + 1) (x – 1)

= 2 500 + 200 + 4 = 2 704 Bestäm med denna metod och huvudräkning

1159 Utveckla a) (x – 4) 3

c) (1 + t 2 ) 3

a) 312

c) 49 2

b) (1 + 2y ) 3

d) (2 x – 3) 3

b) 22 2

d) 88 2

1160 Utveckla och förenkla

1163 Förenkla följande uttryck

a) (x + h) 2 – (x – h) 2 3

b) (x + h) – (x – h)

⎛ p + 1 ⎞⎟ ⎛ p − 1 ⎞⎟ ⎜ a) ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ − ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2

3

1161 Med konjugatregelns hjälp kan vissa multiplikationer utföras snabbt, t ex 42 ∙ 38 = (40 + 2) (40 – 2) = = 40 2 – 2 2 = 1 600 – 4 = 1 596 Bestäm med denna metod och huvudräkning

20

2

a) 33 ∙ 27

c) 18 ∙ 22

b) 51 ∙ 49

d) 101 ∙ 99

2

b) (2 t ) 2 + (k – 2 t 2 ) 2 – (k – 2 t 2 – 1) 2 1164 För vilket värde på a har ekvationen ( x 2+ 2 x + 1) 2 = ( x + a) 4 oändligt många lösningar?

Likheten gäller för alla x.

1.1 POLYNOM

Faktorisera Vi kan skriva ett tal eller ett uttryck som en produkt av faktorer.

När vi skriver Faktorisera

1 001 = 7 ∙ 11 ∙ 13 faktoriserar vi talet 1 001 x 2 – 9 = (x + 3) ( x – 3 ) faktoriserar vi polynomet x 2 – 9 Faktorisering av algebraiska uttryck kan användas vid förenkling och ekvationslösning. Vi visar två metoder att faktorisera polynom.

två metoder

1 Utbrytning av största möjliga faktor.

2 x 4 + 6x 3 – 4 x 2 = 2 x 2 (x 2 + 3 x – 2) 2 Användning av konjugat- och kvadreringsreglerna ”omvänt”.

a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 a 2 – 2ab + b 2 = (a – b)2

1165

Faktorisera a) a2 – 9b2

b) x 2 – 6x + 9

c) 8x 2 + 8x + 4

a) a 2 – 9b 2 = a 2 – (3b)2 = (a + 3b) (a – 3b)

konjugatregeln omvänt

b) x 2 – 6x + 9 = x 2 – 2 ∙ 3 ∙ x + 32 = (x – 3) 2

kvadreringsregeln omvänt

c) Här bryter vi först ut 5: 5x 2 + 20x + 20 = 5( x 2 + 4x + 4 ) = 5(x2 + 2 ∙ 2 ∙ x + 2 2) = 5(x + 2)2

Vi kan bryta ut en faktor även om faktorn är ett binom eller en potens.

1166

Faktorisera a) (a + b) x + (a + b)y

b) 5 x + 5 x+1

bryta ut ett binom

a) (a + b) x + (a + b)y = (a + b) (x + y)

bryta ut en potens

b) 5 x + 5 x+1 = 5 x + 5 x ∙ 5 = 5 x(1 + 5) = 6 ∙ 5x

1.1 POLYNOM

21

1167 Bryt ut största möjliga faktor. a) 50a2 + 2a3

c) 15 a3 + 5a2 + 25a

b) 10x y – 3x 2 y

d) 21x y – 7x 2 y – 14 xy 2

1173 Faktorisera a) 2 x + 2 x + 1 b) 3 x + 2 – 3 x c) (u + v)x + (u + v) y

1168 Faktorisera

d) p(5x – y) – q(5 x – y)

a) x 2 – 100

c) 4a2 – 25 16 x 2 d) 49 – 9

b) 9x 2 – 1 och

1169 Vad står a) x 2 –

+ 25 = (3y +

) )2

1170 Faktorisera a) x 2 + 10x + 25 b) x – 24x + 144 b2 – b+1 4

c) 2x +2a + b(x + a)

b) s 6 – 2 s 3 + 1

d) a 2 x + 2 – a2 x 4 − 10−20 2 − 10−10

1177 Bryt ut största möjliga faktor a) (2x + 4)2

1171 Faktorisera a) 6x – 24

a) a 2 – ( b + c) 2

(Jämför med räknarens svar!)

c) 16a2 + 24a + 9

2

1175 Faktorisera

1176 Faktorisera och förenkla kvoten

2

d)

a) 32a 2 – 48ab + 18b 2 b) 20x – 2 x 2 – 50

för?

= (x +3 ) (x –

b) 9y 2 +

1174 Faktorisera

b) x n – 1 – x n 2

b) 24b + 24b + 6

1172 Ange talet k så att uttrycken kan faktoriseras med hjälp av kvadreringsreglerna. a) x – 14x + k

22

b) x 2 + x + k

1.1 POLYNOM

Kurs

B BlĂĽ LENA ALFREDSSON ∙ HANS BROLIN ∙ PATRIK ERIXON HANS HEIKNE ∙ ANITA RISTAMĂ„KI

Kurs

B BlĂĽ

MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fÜregüngaren Matematik 3000 baserad pü färdigheter – fÜrstüelse – problemlÜsning, men nu med Ükat fokus pü kommunikation. Nya begrepp introduceras pü ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

BÜckerna i Matematik 4000 finns i tre svürighetsnivüer: RÜd, GrÜn och Blü, där Blü är den mest krävande.

FĂśr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

*4#/

4000

Eleverna für med hjälp av denna bok och tillhÜrande kompletterande material münga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken – genom elevnära exempel, aktiviteter och Üvningar, de senare av olika slag och svürighetsgrad.

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

4000 MATEMATIK