Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
© www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega
1. Inledning
1
2. Enaxliga tillstånd 2.1 Krafter i en axialbelastad stång 2.2 Deformation av axialbelastad stång 2.3 Materialbeskrivning – Hookes lag
5 5 7 9
3. Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning 3.1 Normalspänning 3.2 Förskjutning – deformation 3.3 Normaltöjning 3.4 Jämvikt – axialbelastad stång 3.5 Hookes lag – tvärkontraktion 3.6 Skjuvspänning 3.7 Skjuvtöjning – skjuvning 3.8 Skjuvmodul
13 13 14 14 16 18 18 21 22
4. Elastiska stångbärverk 4.1 Statiskt bestämda – statiskt obestämda strukturer 4.2 Approximationer 4.3 Snittstorheter
25 25 28 30
5. Materialmodeller 5.1 Konstitutiva samband 5.2 Linjärt elastiskt material 5.3 Termoelastiskt material 5.4 Elastiskt – idealplastiskt material 5.5 Viskösa och viskoelastiska material
33 33 34 36 38 44
6. Vridning 6.1 Skjuvdeformation vid vridning 6.2 Skjuvspänningar vid vridning 6.3 Elastiskt - idealplastiskt material 6.4 Avlastning från plasticerat tillstånd
53 54 55 58 60
7. Teknisk balkteori 65 7.1 Inledning 65 7.2 Böjning av rak balk 66 7.3 Normalspänning vid böjning, linjärt elastiskt material 74 7.4 Areatröghetsmoment och tyngdpunkt, enkelsymmetriskt tvärsnitt 80 7.5 Skjuvspänning vid böjning, linjärt elastiskt material 87 7.6 Deformation vid balkböjning 94 7.7 Elementarfall 98 7.8 Skev böjning 102 7.9 Normalspänning – elastiskt idealplastiskt material 111
8. Elastisk instabilitet 8.1 Inledning 8.2 Fjädermodell 8.3 Eulers knäckningsfall 8.4 Differentialekvation för axialbelastad balk 8.5 Elementarfall vid inverkan av normalkraft 8.6 Praktisk dimensionering mot instabilitet 8.7 Böjknäckning med hjälp av partialkoefficenter
119 119 120 123 132 136 141 145
9. Spännings– och töjningstillstånd i ett kontinuum 9.1 Inledning 9.2 Spänningstillståndet i en punkt 9.3 Allmänna töjningstillstånd 9.4 Töjning vid cylindrisk och sfärisk symmetri
151 151 152 187 198
10. Konstitutiva ekvationer 10.1 Inledning 10.2 Hookes generaliserade lag 10.3 Sambandet mellan E, G och ν 10.4 Plana tillstånd
201 201 202 204 206
11. Tjockväggiga rör och cirkulära skivor 11.1 Tjockväggiga rör – plana cirkulära skivor
209 211
12. Plasticitetsteori – flythypoteser 12.1 Experimentell bakgrund
233 233
13. Utmattning 13.1 Inledning 13.2 Periodisk last 13.3 Laboratorieprovning 13.4 Praktisk dimensionering mot utmattning 13.5 Praktiska synpunkter på utmattning
243 243 245 246 250 257
14. Brott 14.1 Inledning 14.2 Brotteori 14.3 Brottmekanik 14.4 Spänningstillståndet vid sprickor 14.5 Brottkriterium - linjär brottmekanik 14.6 Spricktillväxt
263 263 265 269 271 275 276
15. Energimetoder 15.1 Inledning 15.2 Elastisk energi i strukturer 15.3 Virtuella arbetets princip 15.4 Satsen om potentiella energins minimum
285 285 292 301 303
15.5 Flexibilitetsmatrisen – styvhetsmatrisen 15.6 Castiglianos satser 16. Vridning av ickecirkulära tvärsnitt 16.1 Inledning 16.2 Skjuvcentrum – vridcentrum 16.3 Saint Venants vridteori 16.4 Membrananalogin 16.5 Massiva tvärsnitt 16.6 Öppna tunnväggiga tvärsnitt 16.7 Slutna tunnväggiga tvärsnitt
307 309 321 321 322 324 328 330 336 339
17. Dynamiska problem 347 17.1 Inledning 347 17.2 Harmonisk svängningsrörelse 350 17.3 Böjsvängningar hos balkar med diskreta punktmassor 362 17.4 Påtvungna böjsvängningar i balksystem med diskreta punktmassor 366 17.5 Svängningar hos kontinuerliga system 369 17.6 Approximativa metoder 372 17.7 Longitudinell vågutbredning i rak stång 378
Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning
3.
3.1 Normalspänning I avsnitten 2.1 och 2.2 infördes begreppet normalspänning på ett enkelt sätt, där vi definierade dragspänningen och tryckspänningen positiv respektive negativ enligt (2-7) och (2-9). Vi beräknade spänningen som en medelspänning, verkande jämnt över tvärsnittsarean. För att kunna behandla fall där spänningen varierar över ett tvärsnitt behöver vi definiera normalspänningen i en punkt, P ∆A ∆F enligt figuren. Vi utgår därvid från de storheter som återfinns i figuren, d.v.s. en inre kraft ∆F som verkar på areaelementet ∆A . Normalspänningen i punkten definieras enligt: ∆F (3-1) σ = lim ------∆ A → 0 ∆A
P
A
Figur 6.
Inre kraft på areaelement i stång
14
Grundläggande hållfasthetslära
Den inre kraften ∆F ritas som tidigare positiv utifrån delytan ∆A i normalriktningen. Normalspänningen σ blir därvid positiv om ∆F är positiv och negativ om ∆F är negativ. I det första fallet är per definition σ en dragspänning i det andra en tryckspänning.
3.2 Förskjutning – deformation Betrakta en stång med den ursprungliga längden L, vars tillståndsändring kan karakteriseras med stångändarnas förskjutningar u 1 och u 2 enligt figur 7a. Stångens deformation är som synes u 2 – u 1 = δ . Ett system kan ha stora förskjutningar utan att töjningarna är stora, vilket är fallet t.ex. vid stelkroppsrörelse, vilket visas i figur 7b. En stelkroppsrörelse ger ju töjningen noll! L
a)
u1
L+δ
u2
L
b)
Figur 7.
u1
L
u2
u1 = u2
a) Deformation b) Stelkroppsrörelse
Detta visar skillnaden mellan begreppen förskjutning och deformation.
3.3 Normaltöjning I avsnitt 2.2, ekvation (2-10), behandlades tidigare begreppet töjning (medeltöjning). Om medeltöjningen är densamma för alla stångens dellängder är töjningen homogen. I vissa fall kan det förekomma att töjningen inte är homogen längs stånglängden, varför det är lämpligt att införa en definition på töjningen i en punkt. Betrakta ett infinitesimalt element med längden ∆x som förskjuts under en deformationsprocess enligt figur 8.
15
Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning
Före x
u
∆x
u+∆u Efter
Figur 8.
Förskjutningen hos stång med inhomogen deformation
Normaltöjningen i en punkt definieras som gränsvärdet ( ε = δ ⁄ L ) ( u + ∆u ) – u du ( x ) ε = lim ------------------------------ = ------------- ∆x dx ∆ x → 0
(3-2)
där u ( x ) är tvärsnittets förskjutning vid koordinaten x. Exempel 2. Bestäm förlängningen hos en i sin överände fäst och fritt hängande stång på grund av egentyngden. Tvärsnittsarea A, densitet ρ, elasticitetsmodul E och längd L.
σ(x)A
x u
A ρ g(L - x)
Inför koordinaten x från stångens L u+du överände. I ett snitt vid x införes normalkraften uttryckt med hjälp av spänningen, varvid kraftjämvikt på den snittade stångdelen kan uppställas. Två tvärsnitt belägna vid x och x + dx i den odeformerade stången förskjuts sträckorna u respektive u + du. Vi kan härvid teckna töjningen mellan x och x + dx enligt (3-2) ovan. Med beräkningsmodellen enligt (2-5), (2-10) och (2-13) fås härmed: I. Jämvikt,
σ ( x ) A – Aρg ( L – x ) = 0
(1)
II. Definition av töjning:
du ε ( x ) = -----dx
(2)
III. Konstitutivt samband: σ ( x ) = Eε ( x ) (1), (2) och (3) ger:
du ρg ( L – x ) = E ⋅ -----dx
(3) (4)
16
Grundläggande hållfasthetslära
Integration ger u( x ) =
ρg
∫ -----E- ( L – x ) dx
ρg x2 u ( x ) = ------ Lx – ----- + C E 2
d.v.s.
Randvillkor: Den övre änden av stången är fäst vid ”taket”, vilket innebär att u ( x = 0 ) = 0 , som ger C = 0 d.v.s. Speciellt:
ρg x2 u ( x ) = ------ Lx – ----- E 2
(5)
ρgL 2 mgL u ( x = L ) = δ = ------------ = ----------2E 2EA
(6)
där m = ρAL = stångens massa och δ stångens totala förlängning.
3.4 Jämvikt – axialbelastad stång Betrakta en stång med längden L och varierande tvärsnittsarea A ( x ) , belastad med en volymkraft K x i axiell led (kraft/volymsenhet) enligt figur 9. Ett vid koordinaten x utskuret element med införda krafter finns även avbildat. P1 N(x) Kx A(x) L P2
Kx x
∆x
A(x)
N(x+∆x)
Kx ∆V = Kx A ∆x
Figur 9.
Stång med varierande tvärsnittsarea och fördelad axiallast samt ett vid koordinaten x utskuret element med införda krafter
Jämvikt för elementet ger : eller
– N ( x ) + K x A∆x + N ( x + ∆x ) = 0
(3-3)
N ( x + ∆x ) – N ( x ) -------------------------------------------- + K x A = 0 ∆x
(3-4)
17
Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning
Gränsövergång, d.v.s. ∆x → 0 ger den allmänna jämviktsekvationen för axialbelastad stång dN ------- + K x A = 0 dx
(3-5)
Medelspänningen blir σ = N ( x ) ⁄ A ( x ) . Om arean endast varierar svagt längs stången kommer spänningen att bli konstant över arean. Tillsammans med definitionen på töjning enligt (3-2) och Hookes lag fås du N = σA = AEε = AE -----dx
(3-6)
d du ------ EA ------ + K x A = 0 dx dx
(3-7)
som införd i (3-5) ger
I fallet konstant dragstyvhet EA kan (3-7) skrivas d2u K x --------2 + ------ = 0 E dx
(3-8)
För att entydigt bestämma u ( x ) ur (3-8) krävs två randvillkor: 1)
u = u rand
(vid föreskriven förskjutning)
(3-9)
N = N rand ger med Hookes lag och (3-6) 2)
du EA ------ = N rand dx
(vid föreskriven randkraft)
(3-10)
Vi skall med ett exempel visa hur ekvation (3-8) kan användas vid problemlösning. Exempel 3. Betrakta åter stången i exempel 2. Vi utgår från (3-8) och integrerar i två steg med K x = ( mg ⁄ AL ) = ( ρALg ⁄ AL ) = ρg . ρg u′ = – ------ x + C 1 E
(1)
ρg x 2 u = – ------ ----- + C 1 x + C 2 E 2
(2)
a) u( x = 0) = 0 b) N( x = L) = 0 Randvillkor b) ger med (3-6) Randvillkor:
ρgL EA – ---------- + C 1 = 0 E
⇒
C2 = 0
⇒
ρgL C 1 = ---------E
18
Grundläggande hållfasthetslära
Förskjutningen u ( x ) kan därmed tecknas 1 x 2 ρgL 2 x u ( x ) = ------------ --- – --- --- E L 2 L
(3)
Totala förskjutningen i stångens nedre ände blir som tidigare, se exempel 2. ρgL 2 u ( x = L ) = -----------2E
(4)
3.5 Hookes lag – tvärkontraktion I avsnitt 2.3 behandlades tidigare Hookes lag enligt (2-13), vilken ger en nöjaktig beskrivning av spänning och töjning för de flesta material, såväl i drag som i tryck, åtminstone vid låga spänningsnivåer. Vid experiment finner man, att en dragbelastad stång får såväl en axiell deformation (längs stången) som en tjockleksminskning, den senare kallas tvärkontraktion. Denna tjockleksminskning är proportionell mot stångens töjning i längsriktningen enligt ε tvärs = – νε längs
(3-11)
där ν är Poissons konstant, även kallad tvärkontraktionstalet. Poissons konstant bestämmes experimentellt och kan återfinnas i materialtabeller för olika material. För många metaller gäller att ν ≈ 0.3 .
3.6 Skjuvspänning Vi har tidigare behandlat normalspänning i axialbelastade stänger. Det finns ytterligare en typ av spänning som kallas skjuvspänning. För att åskådliggöra skillnaden mellan normalspänning och skjuvspänning visar vi två exempel med två olika belastningsfall i figur 10a och 10b. b)
a)
limfog
snitt P
P
B
P
P
B t
t
S P
A = B⋅S
σA τA A = B⋅t
Figur 10. a) Normalspänning i dragbelastad stång b) Skjuvspänning i limfog på ihoplimmad dragbelastad stång
P
Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning
19
Skillnaden är att den inre kraften i fall a verkar vinkelrätt mot snittytan (normalkraft) medan den i fall b verkar parallellt med densamma (skjuvkraft). I figur a påverkas stången med det rektangulära tvärsnittet av en dragkraft P. En kraftjämvikt enligt (2-6) uppställd på den frilagda delen ger (medel)normalspänningen σ över tvärsnittsarean A = B ⋅ t Jämvikt,
:
σ⋅A–P = 0
(3-12)
P P σ = --- = ---------A B⋅t
(3-13)
Om vi i stället limmat ihop två likadana rektangulära stänger där limskarvens längd är S enligt figur b, fås en spänningsupptagande skjuvarea A = B ⋅ S . Medelskjuvspänningen över denna skjuvarea betecknas med den grekiska bokstaven τ (tau). Ett snitt görs genom limfogen i fogens längdriktning, varvid en kraftjämvikt uppställd på den frilagda delen ger medelskjuvspänningen τ i limfogen. Jämvikt,
:
τ⋅A–P = 0
(3-14)
P P τ = --- = ----------A B⋅S
(3-15)
De allra flesta limtyper har väsentligt lägre skjuvhållfasthet än exempelvis stål. Genom att göra limfogens area tillräckligt stor, kan man kompensera för den lägre skjuvhållfastheten så att ett förband enligt figur 10b i stort kan ta upp lika stor kraft som stången i figur 10a. Om transversella (tvärs längsriktningen) belastningar existerar, uppstår en inre snittkraft, verkande i snittytans plan. Denna snittkraft kallas tvärkraft som vanligen betecknas med bokstaven T. Betrakta nu en stång med ett tänkt snitt och införd tvärkraft enligt figur 11a. Ett naturligt spänningsmått för denna typ av belastning, är medelskjuvspänningen τ över tvärsnittsarean A, definierad enligt (3-16). På samma sätt som för normalspänningen i figur 6, kan skjuvspänningen i en punkt P i delarean ∆A , se figur 11b, tecknas med gränsvärdet enligt (3-17). T (3-16) τ medel = --A T
a) T
b)
Figur 11.
∆T ∆A
P
Inre tvärkraft a) T i tvärbelastad stång b) ∆T på areaelement i stång
20
Grundläggande hållfasthetslära
∆T τ = lim ------∆ A → 0 ∆A
(3-17)
Newtons lag om verkan och motverkan återspeglas i figur 11a, ty tvärkrafterna har ritats lika stora och motriktade på den vänstra och den högra snittytan i stången. Naturligtvis måste motsvarande även råda för inre krafter i varje punkt och därmed även för spänningarna.
∆x
τ1 τ1
τ2 τ2 ∆x
τ1
τ1
∆y
τ3 τ1
τ1 τ3
Figur 12. Volymelement i skjuvspänningsbelastad stång
Betrakta ett infinitesimalt element med längden ∆x , där de inre krafterna är sådana att en skjuvspänning τ 1 och τ 2 uppstår enligt figur 12. Antag nu att skjuvspänningen varierar kontinuerligt i stångens längdriktning vilket medför att τ 2 blir godtyckligt nära τ 1 då ∆x minskar. Vi betraktar ett volymselement med längden ∆x och höjden ∆y och med tjockleken h. Ett sådant element är inte i jämvikt, då de inre krafterna på de vertikala ytorna vill rotera elementet. Således måste krafter även finnas på de horisontella snittytorna. Vi inför därför en tänkt skjuvspänning τ 3 på båda dessa ytor enligt figur 12. En momentjämvikt kring mittpunkten med avseende på de båda kraftparen ger härmed: ∆y ∆x 2 ( τ 3 h∆x ) ------ – 2 ( τ 1 h∆y ) ------ = 0 2 2 τ3 = τ1
(3-18)
Av denna studie framgår att skjuvspänningskomponenter vinkelräta mot skärningslinjen mellan två vinkelräta plan är lika stora och båda riktade mot eller båda från skärningslinjen. Detta innebär att skjuvspänningar på utskurna element alltid är riktade mot eller från ett vinkelrät hörn enligt figur 13.
21
Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning
τ dx
τ
dy τ
τ
Figur 13. Skjuvspänningar på två vinkelräta snittytor
3.7 Skjuvtöjning – skjuvning Vinkeländringar beskrivs med begreppet skjuvning. Betrakta ett rätblock med höjden H i en kropp och som deformeras så att en sidoyta förskjutes ett stycke u i sitt plan enligt figur 14. Rätblocket sägs då ha undergått en skjuvning, betecknad med den grekiska bokstaven γ (gamma) och definierad som u γ = ---H
(3-19)
u
ϕ H
Figur 14. Skjuvat rätblock
Mellan skjuvningen och ändringen av den ursprungligen räta vinkeln råder sambandet u (3-20) tan ϕ = ---H För små deformationer gäller att tan ϕ ≈ sin ϕ ≈ ϕ . Skjuvningen som är dimensionslös, kan således uppfattas som ändringen av en ursprungligen rät vinkel i kroppen (mätt i radianer). Gummi
Exempel 4. Ange skjuvningen i gummiblocken i figuren då skivan i mitten flyttas 0.2 mm nedåt.
15
Definitionen enligt (3-19) ger: 0.2 –2 γ = ------- = 4 ×10 5
5
10
22
Grundläggande hållfasthetslära
3.8 Skjuvmodul Hookes lag vid enaxlig belastning kunde tecknas enligt (2-13), som σ = Eε
(2-13)
Ett motsvarande samband kan även tecknas vid skjuvbelastning. Detta samband kallas Hookes lag vid skjuvdeformation och gäller, liksom motsvarande lag vid enaxlig belastning, endast i det område där ett linjärt samband råder mellan skjuvspänning och skjuvtöjning. Hookes lag för skjuvning kan tecknas enligt τ = Gγ
(3-21)
där G benämnes skjuvmodul med dimensionen kraft/area. För material med isotropa egenskaper, d.v.s., material med samma egenskaper i alla riktningar, råder ett samband mellan E, G och ν enligt: E G = -------------------2(1 + ν)
(3-22)
I de flesta materialtabeller ges vanligtvis endast värden på E och ν , varvid skjuvmodulen G kan bestämmas med sambandet (3-22). Exempel 5. En kopparlegering SS 5150-02 har elasticitetsmodulen E = 108 GPa och Poissons konstant ν = 0.41 . Bestäm härur kopparlegeringens skjuvmodul G. (3-22) ger: G = 108 ⁄ ( 2 ( 1 + 0.41 ) )GPa = 38.3 GPa Exempel 6. Ett nitförband visas i figuren. Om kraften P är 20 000 N och nitdiametern är 13 mm, hur stor blir därmed påkänningen i nitarna och hur stort blir hålkantstrycket? Beräkna även den minsta bredd b som plåten måste ha, för att påkänningen i plåtmaterialet inte skall överstiga 120 MPa. De båda nitarna är enskäriga var och en för sig, och vill skäras av vid delningsytan mellan de båda plåtarna. P
P
t=8
P
b
Med två nitar ger (3-16) påkänningen i respektive nit 4 ⋅ 20000 P 4P - = 75.3 MPa τ = ------- = -----------2- = --------------------2 2 A 2πd 2π ⋅ 13
P
23
Spänning – Förskjutning – Deformation – Töjning
Hålkanttrycket är det tryck som plåtmaterialet i hålets kanter utövar på nitens buktiga yta eller vice versa, se figuren. Liksom vid lagerberäkningar är detta tryck ej jämnt fördelat över den buktiga ytan. Vid beräkningar görs en approximation att den överförda kraften P fördelas jämnt över den rektangulära ytan d·t, där d är nitdiameter och t är plåttjocklek. Man betraktar alltså hålkanttrycket som jämnt fördelat.
b
p
Hålkanttrycket blir därvid med två nitar 20000 P p = ---------------- = --------------------- = 96.2 MPa 2⋅d⋅t 2 ⋅ 13 ⋅ 8 Plåtens erforderliga bredd b, fås med kraftjämvikt P = σ till ( b – d )t d.v.s.
20000 P b = --------------- + d = ---------------- + 13 = 33.8mm ≈ 34mm 8 ⋅ 120 t ⋅ σ till
Plåtarna måste alltså ha en minsta bredd på 34 mm.
P