UNDERSÖKANDE MATEMATIK DIFFERENTIERADE PROBLEM
Henrik Petersson
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess. Art.nr 39589 isbn 978-91-44-11914-4 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2017 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Lotta Bruhn Omslagsbild: Svetlana Lukienko/Shutterstock Printed by GraphyCems, Spain 2017
INNEHÅLL
Förord 9
Bokens upplägg 13
Läsanvisning 17 DEL I
Inledning
KAPITEL 1
Olika typer av öppna problem 21
KAPITEL 2
Att formulera slutsatser 29
2.1 2.2
Nödvändigt respektive tillräckligt villkor 29 Generalisering 35
KAPITEL 3
3.1 3.2
Begreppens innebörd 37 Implikation och ekvivalens i beräkningar 40
KAPITEL 4
4.1 4.2 4.3
Implikation och ekvivalens 37
Att redovisa lösningar 43
Riktlinjer 43 Exempel på elevarbeten 46 Analys av elevarbeten 55
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
3
innehåll
DEL II
Problem
KAPITEL 5
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30 5.31 5.32 4
Problem för årskurs 1 och 2 61
Fibonaccis talföljd och delbarhet 62 Ett speciellt tal 63 Olikhet för potenser 64 Tolka bråk* 65 Ålder 66 Fibonaccitalföljder 67 Addiplikation 68 Räknekedja 69 Monstermönster 70 Samband mellan kvadrattal och udda heltal 71 Areafunktion* 72 Linjärt eller exponentiellt 73 Ett problem för ljushuvuden 74 Upprepad prisökning 75 Dubbla prisökningar 76 Vektorsamband* 77 Triangeldrama 78 Cirkellinje 79 Geometriskt samband* 80 Sida i kvadrat i kvadrat 81 Trigonometriskt samband 82 Parallellvinklar 83 Triangelspegling 84 Trianglar i kvadrat* 86 Triangeluppdelning 87 Brädspel 88 Positiv summa* 89 En potentiell likhet 90 Ett kolossalt intressant problem* 91 Kvadratlinje 92 Räta linjer bildar en kvadrat 93 Ett viktigt problem 94 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
innehåll
5.33 5.34 5.35 5.36 5.37 5.38 5.39 5.40 5.41 5.42 5.43 5.44 5.45 5.46 5.47 5.48 5.49 5.50 5.51
Kvadratrötter 95 Medelvärden och kvadrering 96 Differens av summor 97 Olikhet* 98 Parabeltangent 99 Parabel i kvadrat* 100 Rotekvation 101 Heltalsminimum 102 Tre parablar 103 Rätvinklig andragradsfunktion 104 Kvadrat i kvadrat 106 Ett träigt problem 107 Bisektris i triangel 108 Ekvation för bisektris 109 Sinussatsen från Randvinkelsatsen 110 Cirkelresonemang 111 Kvadratcirkeltangent* 112 Likformighet och tangent 113 Cirklar och areor* 114
KAPITEL 6
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14
Problem för årskurs 2 och 3 115
Rektangeluppdelning 116 Drakvinkel* 117 Spegeltriangel 118 Trigonometriska ekvationer 119 Absolutbelopp* 120 Skärningspunkter 121 Gränsvärdesberäkning av rationella uttryck 122 Asymptoter* 123 Smakprov på Differentialkalkylens medelvärdessats* 124 Exponentialfunktioner 125 Spegeltangent 126 Tredjegradspolynom och tangent 127 Ortogonala polynom 128 Rät skärningsvinkel 129
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
5
innehåll
6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30 6.31 6.32
Största värde 130 Minimal omkrets 131 Minimal area* 132 Rundaste figuren 133 Visdom 134 Derivatas nollställen* 135 Extrempunkt 136 Nollställen och derivata för andragradsfunktioner 137 Tangentprimitiv 138 Halva arean 139 Smakprov på Integralkalkylens medelvärdessats 140 Parabel i rektangel* 142 Konstanter i differentialekvation 143 Partikulärlösning 144 Ett komplext samband 145 En komplex ekvation* 146 Rötters placering 147 Skärningsfunktion 148
KAPITEL 7
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 6
Problem för årskurs 3 och högskolan 149
Maximal delbarhet* 150 Rika tal 151 Parabel* 152 Rötter och koefficienter 153 Nollställepolynom* 154 Delbarhetsegenskaper i Fibonaccis talföljd 155 Triangeltal 156 Linjekvadrater* 157 Antal heltalslösningar 158 Komplexa talplanet 159 Mängdekvation 160 Ett kalasproblem 161 Talrader 162 Heltal med eller utan etta* 163 Placering av brickor 164 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
innehåll
7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30 7.31 7.32 7.33 7.34 7.35 7.36 7.37 7.38 7.39 7.40 7.41 7.42 7.43 7.44 7.45 7.46 7.47 7.48 7.49 7.50 7.51
Bevismetoder 165 Ensidigt gränsvärde 166 Ett naturligt gränsvärde* 167 Gränsvärdesregler 168 Kvadratareor 169 Existens av lösning 170 Invers och skärningspunkter 171 Asymptotbestämning* 172 Beräkning av derivator* 173 Två modeller 174 Ett roligt problem 176 Antal nollställen 177 Graf i kvadrat* 178 Ett problem som ger träsmak 179 Gemensam tangent 180 Tangents skärning med grafen* 181 Tangenter till hyperblar 182 Exponentialfunktioner och polynom 184 Funktionsutvidgning 185 Areaförhållande 186 Köproblem 188 Skärningspunktskurva 189 Färgblandning 190 Klok på klot* 192 Gränsvärdeslösning 193 Likhet för potensuttryck 194 Invers* 195 Parallella vektorer* 196 Höjdvektor 197 Vektorekvation 198 Parallella plan 199 Gemensamma punkter för plan* 200 Linjär avbildning 201 Skärningslinje 202 Närmaste punkt* 203 Rätvinklig triangel 204
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
7
innehåll
DEL III
Lösningsförslag och svar
KAPITEL 8
Årskurs 1 och 2 207
KAPITEL 9
Årskurs 2 och 3 271
KAPITEL 10
Årskurs 3 och högskolan 307
8
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
KAPITEL 7
Problem för årskurs 3 och högskolan
I detta avsnitt presenteras problem kring teman som är relevanta för gymnasiets kurs Matematik 5 samt för inledande högskolestudier (kurser i envariabelanalys, linjär algebra och diskret matematik.) Problemen berör därmed den matematik som eleverna möter i årskurs tre på gymnasiet och under det första året av högskolestudier i matematik. Det handlar om: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
Delbarhet: 1, 2, 6. Polynom: 3, 4, 5. Talföljder, summor och serier: 2, 7, 8. Diofantiska ekvationer: 7, 9. Komplexa tal: 10. Mängdbegreppet och mängdoperationer: 11. Bevismetoder: 16. Kombinatorik: 12, 13, 14, 15. Gränsvärdesberäkning: 17, 18, 19, 34, 40. Trigonometriska ekvationer: 20. Rotekvationer: 21. Begreppet invers funktion: 22. Asymptotbestämning: 23. Derivatans definition: 24. Tillämpningar på derivata: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32. Integraler och primitiva funktioner: 33, 34, 35, 36. Kurvor och parameterframställning: 37. Lösning av differentialekvationer: 38, 39, 40. Linjära ekvationssystem och linjära avbildningar: 41, 42, 48. Vektorbegreppet och vektorkalkyl: 43, 44, 45. Framställning av linjer och plan i rummet: 46, 47, 49. Avståndsberäkning i rummet: 50, 51.
(För varje område så anges problemnumren för de problem som direkt berör området. Följande problem i föregående problemdel, kapitel 6, är lämpliga för Matematik 5: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.)
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
149
7 problem för årskurs 3 och högskolan
7.1 Maximal delbarhet* Begrepp Delbarhet. Satser Delbarhetsregler. Tema Arbete med delbarhet och delbarhetsregler.
Det här problemet går ut på att konstruera tal med maximal delbarhet, i en viss mening. Ett positivt heltal säger vi är sifferdelbart då: P P P P P
Första siffran i talet är delbart med ett. (Detta är alltid uppfyllt.) De två första siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med två. De tre första siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med tre.
Alla n siffrorna i talet bildar ett tal som är delbart med n.
Som exempel så är 123 sifferdelbart, då 12 är jämnt och 123 är delbart med tre. Däremot är inte talet 1234 sifferdelbart, eftersom det inte är delbart med fyra. Det här problemet handlar om att undersöka mångsiffriga sifferdelbara tal. (a) Ge exempel, så många som möjligt, på sifferdelbara femsiffriga tal bestående av olika siffror bland siffrorna 1 9. (b) Ge exempel, så många som möjligt, på sifferdelbara sexsiffriga tal bestående av olika siffror bland siffrorna 1 9. (c) Undersök hur mångsiffrigt sifferdelbart tal du kan bilda bestående av olika siffror bland siffrorna 1 9.
Kommentar
Här kan man följa upp med att reflektera kring motsvarande då vi byter talbas.
150
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
7 problem för årskurs 3 och högskolan
7.2 Rika tal Begrepp Delbarhet, geometrisk summa. Tema Arbete med begreppet delbarhet.
Vi kommer här arbeta med ett mått på hur pass delbart ett givet heltal är. Låt n C 2 vara ett givet heltal. Låt nu S n vara summan av alla positiva delare d till n sådana att d x n. Ett tal n kallas perfekt då S n n (n 6 är ett exempel på ett perfekt tal då S 6 1 2 3 6). Ett tal kallas nu rikt då S n A n, dvs. då S n A 1. n Att n är rikt innebär att talet har många (stora) delare i förhållande till talets storlek. Inget primtal är rikt, snarare väldigt fattigt, då S p 1 för varje primtal p, så S p ~ p 1~ p @ 1. Det här problemet handlar om att undersöka rika tal på formen 2n 3m där n och m är icke-negativa heltal. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
Utred vilka av talen 2,4,8 som är rika. Utred om 210 är rikt. Utred vilka tal på formen 2n , där n är ett positivt heltal, som är rika. Utred vilka tal på formen 3n , där n är ett positivt heltal, som är rika. Utred vilka av talen 3 2, 3 22 , 3 23 som är rika. Utred vilka tal på formen 3 2n , där n är ett heltal C 0, som är rika. Utred vilka tal på formen 2n 3n 6n , där n är ett heltal C 0, som är rika. Undersök möjliga rika tal på formen 2n 3m där n,m är heltal C 0.
Kommentar
Blir resultatet annorlunda om vi istället utgår från p n q m , där p och q är vilka som helst skilda primtal.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
151
7 problem för årskurs 3 och högskolan
7.3 Parabel* Begrepp Andragradsfunktion, parabel, ekvationssystem, extrempunkt. Tema Algebraisk bearbetning av andragradsfunktioner. Låt A och B vara två olika punkter i planet, med positiva y-koordinater och skilda x-koordinater. Dessa par av punkter definierar då en tredje punkt C på det sätt som illustreras i figuren nedan. Det här problemet handlar om att undersöka var extrempunkten (vertex) för parabeln genom A,B,C hamnar i förhållande till just A,B,C. För undersökningen så är det ingen inskränkning att anta att A ligger på y-axeln, och till vänster om B, vi antar med andra ord att A 0,r och B p,q för några p,q,r A 0.
(a) Utred om extrempunkten kommer vara en maximi- eller minimipunkt. (b) Antag att r q, utred var kurvans extrempunkt ligger i förhållande till punkterna A,B,C. (c) Antag att r p 1 och q 2. Bestäm punkten C. (d) Antag att r p 1 och q 2, utred var kurvans extrempunkt ligger i förhållande till A,B,C. (e) Utred var kurvans extrempunkt hamnar i förhållande till A,B,C.
152
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
7 problem för årskurs 3 och högskolan
7.4 Rötter och koefficienter Begrepp Rot, andragradsekvation, andragradsfunktion. Satser Faktorsatsen, Nollfaktorlagen, sambandet mellan rötter och koefficienter vid polynomekvationer. Tema Förstå sambandet mellan rötter och koefficienter vid polynomekvationer.
Låt x 1 och x 2 vara reella rötter till ekvationen x
a x b c
0
där a,b,c är givna reella tal. Det är möjligt att x 1 x 2 (dubbelrot). Det här problemet går ut på att undersöka hur rötterna till ekvationen x
x 1 x x 2 c
0
(7.1)
då förhåller sig till a,b och c. (a) (b) (c) (d) (e)
Bestäm eventuella lösningar till (7.1) givet att a 0, b 2, c 0. Bestäm eventuella lösningar till (7.1) givet att c 0. Bestäm eventuella lösningar till (7.1) givet att a 0, b 2. Bestäm eventuella lösningar till (7.1) givet att a b 1, c 1. Undersök hur lösningarna till (7.1) förhåller sig till a, b och c.
Kommentar
Här kan man gå vidare med att undesöka tredjegradspolynom. Vad kan sägas om lösningarna till ekvationen x x 1 x x 2 x x 3 d 0 där talen x i är lösningar till ekvationen x a x b x c d 0?
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
153
Henrik Petersson är docent vid Chalmers t ekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.
UNDERSÖKANDE MATEMATIK – DIFFERENTIERADE PROBLEM I den här boken presenteras problem för olika målgrupper. Den centrala idén bakom boken tar sig uttryck i på det sätt som problemen är upp byggda. Varje problem är uppdelat i en sekvens av delproblem som mynnar ut i en mer öppen frågeställning, själva huvudproblemet. Tanken med denna differentierade problemform är att delproblemen ska exemplifiera hur mer komplexa problemställningar kan delas upp i enklare delar. Många elever och studenter blir passiva då de inte kan överblicka hela lösningen. De behöver nycklar för att göra ansatser. Materialet tjänar som en erfarenhetsbank för hur man kan lösa upp problemställningar. En andra central baktanke med problemens upp byggnad är att erbjuda aktiviteter som, i ett slag, möter alla elever och studenter. Den differentierade problemformen gör att de svagare bjuds in till problemlösningsaktiviteter, och samtidigt får de riktigt drivna ut vecklande utmaningar. Bokens dryga 130 rika problem möter kursplanerna för gymnasiets samtliga kurser och för inledande högskolekurser i envariabelanalys, linjär algebra och diskret matematik. Boken är tänkt att användas som sidolitteratur för gymnasiets alla nationella kurser (Matematik 1–5), för inledande matematikkurser på högskolan och för basårets kurser. Varje problem är förpackat så att det framgår i vilket sammanhang det är relevant i undervisningen. Boken kan komma i fråga som del av huvudlitteratur vid exempelvis ämnes didaktiska kurser på lärarutbildningar, vid problemlösningskurser på högskolan samt för gymnasiets Matematik specialisering. Art.nr 39589
studentlitteratur.se