9789144080833 by Smakprov Media AB

26 mm

Denna lärobok innehåller kärnan i en kurs i flerdimensionell analys, och har utvecklats för att användas i den grundläggande matematikutbildningen vid universitet och högskola. Förutom differentialkalkyl och integralkalkyl för funktioner av flera variabler, så behandlar boken även vektoranalys i planet och rummet. Författarnas ambition har varit att ge en relativt fullständig framställning av teorin, och samtidigt komplettera teorin med intuitiva resonemang och många exempel. Till boken hör också ett kompletterande och fördjupande nätmaterial, som gör det möjligt att anpassa boken till olika kursinriktningar.

Boken vann Kurslitteraturpriset 2012 med motiveringen: ''För en klassisk men samtidigt nutida presentation av den flerdimensionella analysen.'' Författarna är verksamma vid Matematikcentrum, Lunds universitet.

Art.nr 36065

Flerdimensionell analys

| Flerdimensionell analys

En förutsättning för att ta till sig den flerdimensionella analysen är att man har en viss vana vid ''rumsligt tänkande''. Därför innehåller boken ett kapitel som utförligt behandlar analytisk geometri i två och tre dimensioner. Likaså ges funktionsbegreppet mycket utrymme, för att underlätta förståelsen för hur olika funktionstyper mellan rum av olika dimension skall tolkas.

Jonas Månsson Patrik Nordbeck

Flerdimensionell analys

Jonas Månsson & Patrik Nordbeck

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08083-3_01_cover.indd 1

2013-07-16 20:07

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 36065 isbn 978-91-44-08083-3 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2013 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Elanders Poland, Poland 2013

978-91-44-08083-3_01_p01-02.indd 2

2013-06-24 09.42

Förord

Denna bok, som är en uppföljare till vår förra bok Endimensionell analys, behandlar analys av funktioner av flera variabler. Innehållet är i stora drag differential- och integralkalkyl, och du finner även en ordentlig genomgång av vektoranalys. Vissa delar av materialet är tänkt att fungera som förberedelse inför huvudinnehållet. En förutsättning för att kunna ta till sig den flerdimensionella analysen är att man har en viss vana vid ”rumsligt tänkande”. Vi har därför inkluderat ett kapitel där vi utförligt behandlar analytisk geometri i två och tre dimensioner. Något som brukar uppfattas som svårt är hur olika funktionstyper, mellan rum av olika dimension, skall tolkas. Funktionsbegreppet behandlas därför extra omsorgsfullt. I det allra första kapitlet har vi även inkluderat en snabbrepetition av viktiga begrepp och metoder från linjär algebra. En målsättning med vår framställning har varit att, så långt det går, förklara ingående begrepp och resultat intuitivt. Vi har samtidigt haft som ambition att presentera teorin så fullständigt som möjligt, utan att för den skull tappa den röda tråden. Precis som i vår tidigare bok så har vi valt att ge bevis i ett mindre typsnitt. Detta betyder inte att dessa är mindre viktiga, utan anledningen är i stället att det kan vara lämpligt att hoppa över bevisen vid en första genomläsning av ett avsnitt. Vi tror med andra ord att det är bra att skaffa sig en överblick av innehållet innan man går in på en mer detaljerad nivå. En del omfattande bevis samlar vi också sist i respektive kapitel, allt för att inte förlora helheten i framställningen. iii

iv I boken har vi valt att ta med det som vi uppfattar vara kärnan i en kurs i flerdimensionell analys. Utöver detta så finns det kompletterande material på bokens hemsida

www.flerdim.se Här hittar du exempelvis teoretisk fördjupning till vissa delar av framställningen. Materialet på hemsidan, som är skrivet i samma stil som huvudtexten och med sid- och satshänvisningar till denna, kommer att utvecklas med tiden, så vi tar gärna emot önskemål om dess framtida innehåll. Till boken finns också ett anpassat övningshäfte, även detta utgivet av Studentlitteratur.

Författarna, ett par dagar innan midsommarafton 2013

Innehåll 1 Grundläggande begrepp 1.1 Mängder och tallinjen R . . . . . . . . . . 1.2 Planet R2 och rummet R3 . . . . . . . . . 1.3 Begrepp och metoder från linjär algebra 1.4 Rummet Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

1 1 4 9 20

2 Analytisk geometri 2.1 Geometri i R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geometri i R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Polära och rymdpolära koordinater . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 32 46

3 Funktioner 3.1 Reellvärda funktioner . . . . . . 3.2 Vektorvärda funktioner . . . . . 3.3 Sammansättning av funktioner 3.4 Gränsvärden och kontinuitet . .

. . . .

55 55 64 78 80

. . . . . . . .

93 93 102 107 113 121 124 128 138

. . . .

4 Differentialkalkyl 4.1 Partiella derivator . . . . . . . . . . . . . 4.2 Differentierbarhet . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kedjeregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Mer om gradient och riktningsderivata 4.5 Differentialer och feluppskattning . . . 4.6 Högre derivator . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Kort om partiella differentialekvationer 4.8 Kompletterande bevis . . . . . . . . . . . v

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

INNEHÅLL

vi 5 Lokala undersökningar och optimering 5.1 Taylorutveckling . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Lokala extrempunkter . . . . . . . . . . . 5.3 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Optimering med bivillkor . . . . . . . . .

. . . .

145 145 150 162 170

6 Differentialkalkyl för vektorvärda funktioner 6.1 Vektorvärda funktioner av en variabel . . . . . 6.2 Vektorvärda funktioner av flera variabler . . . 6.3 Funktionalmatris och funktionaldeterminant . 6.4 Inversa och implicita funktionssatsen . . . . . 6.5 Mer om kurvor och ytor . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

181 181 186 189 200 209

7 Integralkalkyl 7.1 Dubbelintegraler över rektanglar . . . . . . 7.2 Dubbelintegraler över godtyckliga områden 7.3 Variabelbyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Generaliserade integraler . . . . . . . . . . . 7.5 Riemannsummor . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Trippelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Kompletterande bevis . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

217 218 226 235 242 252 254 259

8 Användning av integraler 8.1 Volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Massa, tyngdpunkt och tröghetsmoment . 8.3 Kurvintegraler av reellvärda funktioner . 8.4 Ytintegraler av reellvärda funktioner . .

. . . .

263 263 268 274 278

. . . . .

283 284 290 302 314 318

10 Vektoranalys i rummet 10.1 Kurv- och ytintegraler av vektorfält i R3 . . . . . . . . . . . . 10.2 Rotation och Stokes sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Divergens och Gauss sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327 327 334 347

9 Vektoranalys i planet 9.1 Kurvintegraler av vektorfält 9.2 Greens formel . . . . . . . . . 9.3 Potentialfält . . . . . . . . . . 9.4 Flödesintegraler . . . . . . . 9.5 Rotation och divergens . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

”Nobody can say what a variable is.” Hermann Weyl

Kapitel 3

Funktioner Vi övergår nu till att studera funktioner. Den huvudsakliga skillnaden mot envariabelanalysen är att vi nu kommer att studera funktioner av flera (reella) variabler, dvs. sådana vars definitionsmängd är en delmängd av Rn. En annan skillnad är att vi även kommer att betrakta funktioner vars funktionsvärden är punkter i rum av högre dimension, R p.

Målet med kapitlet är, förutom att införa ett antal grundläggande begrepp och beteckningar, att ge en översikt över de olika funktionstyper vi kommer att arbeta med. En vanlig indelning av funktionsbegreppet är i reellvärda funktioner (fallet p = 1) och vektorvärda funktioner (p ≥ 2). Vi börjar med att studera de förstnämnda.

3.1 Reellvärda funktioner Med en reellvärd funktion menar vi en funktion av typen Rn → R, dvs. en funktion av n variabler där varje funktionsvärde är ett reellt tal. De flesta begrepp och beteckningar ser i princip likadana ut oavsett vilket n vi väljer, så vi använder fallet n = 2 som grundläggande modell. Som vi kommer att se kan vi då dra nytta av det förarbete vi gjort i geometri. 55

Kapitel 3. Funktioner

Funktioner av typen R2 → R En reellvärd funktion f av två variabler består av en definitionsmängd D f , som är en delmängd av R2, samt en regel som till varje punkt (x, y) i D f ordnar precis ett tal f (x, y):

f ( x, y)

Man säger också att funktionen f avbildar (x, y) på bilden f (x, y). Ett exempel är funktionen f som ges av f (x, y) = x2 + x y + y,

−2 ≤ x ≤ 2,

−1 ≤ y ≤ 1.

Definitionsmängden är i detta fall ett rektangulärt område i x y-planet, och exempelvis gäller det att

(3.1)

Df 2

¢ ¡ f 1, 21 = 12 + 1 · 12 + 12 = 2.

Om vi väljer en annan definitionsmängd, så får vi formellt sett en annan funktion. Funktionen g(x, y) = x2 + x y + y,

x2 + y2 < 1,

har samma regel som funktionen f i (3.1), men D g är här en delmängd av D f . Man säger då att g är restriktionen av f till området x2 + y2 < 1. Om definitionsmängden i något fall inte skulle vara given, så är konventionen att låta denna bestå av alla punkter (x, y) för vilka funktionsuttrycket f (x, y) är meningsfullt. Exempelvis, om vi pratar om funktionen f som ges av p 1 , f (x, y) = 1 − (x2 + y2 ) + x − 1/2

3.1. Reellvärda funktioner

och inget speciellt sägs om definitionsmängden, så förutsätter vi att D f ges av den slutna enhetsskivan x2 + y2 ≤ 1 (kvadratroten är ej definierad för negativa tal), där vi tagit bort alla punkter på linjen x = 1/2 (nämnaren får ej bli noll). Om en funktion f har definitionsmängden E, och vi särskilt vill betona detta, så skriver vi f : E → R. Notera dock att vi av bekvämlighetsskäl ofta kommer att säga att f är av typen R2 → R, även om definitionsmängden inte skulle vara hela R2. Anmärkning 3.1. Observera skillnaden mellan f och f (x, y). Beteckningen f beskriver funktionen i sin helhet, och består av en regel och en definitionsmängd, medan f (x, y) är ett tal, själva funktionsvärdet i (x, y). Av praktiska skäl kommer vi dock att slarva något, och ibland tala om t.ex. ”funktionen f (x, y)”, speciellt då vi vill framhäva hur många variabler denna beror av och/eller vilka variablerna är. Andra lite slarviga varianter är ”funktionen f (x, y) = x2 y+ x ”, eller t.o.m. bara ”funktionen x2 y+ x ”; det vore här mer korrekt att säga ”funktionen f som ges av f (x, y) = x2 y + x ”. I fallet R2 → R så kan vi, precis som i envariabelfallet, få en geometrisk bild av en funktion f genom att skissera grafen till denna: För varje punkt (x, y) i definitionsmängden avsätter vi, rakt ovanför, en punkt i rummet med z-koordinat f (x, y). Med grafen G f till f menar vi alltså följande delmängd av R3 :

Gf Vf

f ( x, y)

y b

( x, y)

Grafen blir vanligtvis en yta i rummet, och kallas därför ibland för funktionsyx tan till f ; ekvationen för denna yta är helt enkelt z = f (x, y). Mängden av alla värden som en funktion antar kallas funktionens värdemängd, och betecknas Vf . Formellt kan denna skrivas © ª Vf = z ; z = f (x, y) för något (x, y) ∈ D f ,

och kan utifrån grafen avläsas på z-axeln (se figuren).

Kapitel 3. Funktioner

Exempel 3.1. Vi vill rita grafen till var och en av funktionerna f 1 (x, y) = x2 + y2, f 2 (x, y) =

9 − (x2 + y2 ),

x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ 9.

Grafen till den första funktionen har ekvationen z = f 1 (x, y) = x2 + y2 och svarar, som vi såg i Exempel 2.12 på sidan 32, mot en paraboloid. Definitionsmängden x2 + y2 ≤ 4 är den slutna cirkelskivan med centrum i origo p och radie 4 = 2. Vi inser att värdemängden blir intervallet [0, 4]. z z Vf 2

Vf 1

y y

D f2 D f1

p Den andra funktionens graf, z = f 2 (x, y) = 9 − (x2 + y2 ), ges i stället p av den övre delen av sfären med medelpunkt origo och radie 9 = 3 (se Exempel 2.18). Definitionsmängden x2 + y2 ≤ 9, den slutna cirkelskivan med radie 3 och medelpunkt origo, är här den naturliga så att grafen blir den fullständiga halvsfären. Värdemängden blir i detta fall [0, 3].

Anmärkning 3.2. Även den undre delen av sfären i exemplet kan beskrivas som en graf z = f (x, y) genom att sätta p f (x, y) = − 9 − (x2 + y2 ),

x2 + y2 ≤ 9.

Observera minustecknet; funktionsytan ligger under x y-planet.

y x

3.1. Reellvärda funktioner

Sfären i sin helhet, x2 + y2 + z2 = 9, är dock inte en graf z = f (x, y) till någon funktion f , eftersom en funktion endast ger ett z-värde för varje (x, y) i definitionsmängden. Vi inser nu att många av de ytor vi studerade i Kapitel 2 just av denna anledning ej1 kan ses som en graf z = f (x, y).

z b

y b

x b

En reellvärd funktion f (x, y) sägs vara begränsad om dess värdemängd är en begränsad mängd. Funktionerna f 1 och f 2 i Exempel 3.1, med värdemängderna [0, 4] respektive [0, 3], är således båda begränsade. Om vi i samma exempel hade låtit f 1 (x, y) = x2 + y2 vara definierad i hela R2, så hade värdemängden i stället blivit [0, ∞ [, och funktionen hade då ej varit begränsad. Den hade däremot fortfarande varit nedåt begränsad.

Nivåkurvor Ett sätt att få en uppfattning om en funktionsytas utseende är att studera ett antal nivåkurvor till funktionen. En sådan kurva består av samtliga punkter i x y-planet som avbildas på samma funktionsvärde. Konstruktionen är du säkert redan bekant med från kartor av olika slag, där en höjdkurva markerar punkter på kartan som svarar mot samma höjd över havet. En uppsättning höjdkurvor ger tillsammans oftast en god bild av den tredimensionella terrängen. z Vi gör nu en formell definition: Låt f vara en funktion av två variabler och C en konstant. Mängden i x y-planet som ges av ekvationen f (x, y) = C

(3.2)

C z=C

y nivåkurva f ( x, y) = C

kallas en nivåkurva till f . Konstanten C x motsvarar således ”höjden över x y-planet”. Ett sätt att tänka är att vi först skär funktionsytan med planet z = C, och sedan flyttar ner skärningskurvan i x y-planet (se figuren). Notera alltså speciellt att nivåkurvan är kurvan i x y-planet, inte kurvan på ytan. 1 Ibland kan en yta dock ses som en graf till en funktion i en annan uppsättning variab-

ler, t.ex. som x = f ( y, z). Det kommer dessutom att visa sig att ytor lokalt, kring de flesta av sina punkter, kan beskrivas som en graf. Detta följer av implicita funktionssatsen som studeras i Kapitel 6.4.

Kapitel 3. Funktioner

60 Exempel 3.2. Vi återvänder till funktionen f (x, y) = x2 + y2,

(x, y) ∈ R2,

och vill nu få en uppfattning om grafen z = f (x, y) genom att studera några nivåkurvor f (x, y) = C. Med några olika värden på C får vi C=0:

f (x, y) = 0

⇔

x2 + y2 = 0

punkten (x, y) = (0, 0),

C=1:

f (x, y) = 1

⇔

x2 + y2 = 1

cirkel med radie 1,

C=2:

f (x, y) = 2

⇔

x2 + y2 = 2

cirkel med radie

C=3:

f (x, y) = 3

⇔

x2 + y2 = 3

cirkel med radie

osv.

För ytan z = x2 + y2 kan vi därför rita ut ”kartan” till vänster: y nivåkurvor

z C =4 C =3

graf

C =2 C =1

C =0

y x

Eftersom vi har valt jämnt fördelade, så kallade ekvidistanta, C-värden, så kan vi från nivåkurvorna (figuren till vänster) avläsa var ytan är planare respektive brantare. Tätare liggande kurvor svarar mot ett brantare avsnitt. Speciellt ser vi i detta fall att ju större C är desto tätare ligger nivåkurvorna. Det verkar rimligt att kartan beskriver precis den ”skål” (paraboloid) som vi har sett tidigare.

3.1. Reellvärda funktioner

Exempel 3.3. Rita några nivåkurvor till funktionen f (x, y) =

x2 + y2 ,

(x, y) ∈ R2.

Vi sätter återigen f (x, y) = C, och för några (ekvidistanta) värden på konstanten får vi: C=0:

f (x, y) = 0

⇔

C=1:

f (x, y) = 1

⇔

C=2:

f (x, y) = 2

⇔

C=3:

f (x, y) = 3

⇔

x2 + y2 = 0

punkten (x, y) = (0, 0),

x2 + y2 = 1

cirkel med radie 1,

x2 + y2 = 2

cirkel med radie 2,

x2 + y2 = 3

cirkel med radie 3,

osv.

Precis som i föregående exempel så blir nivåkurvorna cirklar med medelpunkt origo, men nu ligger dessa lika långt ifrån varandra, vilket betyder att funktionsytan p har ”konstant lutning”. Det verkar därför rimligt att funktionsytan z = pel 2.13:

x2 + y2 svarar mot just den kon vi studerade i Exem-

y nivåkurvor

C=4 C=3 C=2

C=1

C=0

graf

y x

En intressant observation är att de funktionsytor som är rotationssymmetriska kring z-axeln (se avsnitt 2.2) är precis de vars nivåkurvor är cirklar2 med medelpunkt origo. 2 I alla fall om vi accepterar att en enskild nivåkurva får bestå av flera, eller t.o.m. oändligt många, sådana cirklar.

Kapitel 3. Funktioner

Exempel 3.4. För att rita några nivåkurvor till funktionen f (x, y) = x2 − y2,

(x, y) ∈ R2,

så sätter vi ännu en gång f (x, y) = C, och väljer ut ett antal värden på konstanten C: C = −1 :

f (x, y) = −1

⇔

x2 − y2 = −1,

C = −1/2 :

f (x, y) = − 12

⇔

x2 − y2 = − 21 ,

C=0:

f (x, y) = 0

⇔

x2 − y2 = 0,

C = 1/2 :

f (x, y) =

1 2

⇔

x2 − y2 = 21 ,

C=1:

f (x, y) = 1

⇔

x2 − y2 = 1,

osv.

I samtliga fall utom C = 0 får vi hyperbler med centrum i origo. Exemp pelvis svarar x2 − y2 = 1/2 mot hyperbeln som skär x-axeln då x = ±1/ 2, medan t.ex. x2 − y2 = −1/2 beskriver hyperbeln med motsvarande skärning på y-axeln. Alla hyperbler har dessutom asymptoterna y = ± x (jämför Exempel 2.10). I fallet C = 0 ges nivåkurvan av y = ± x, dvs. den består av precis dessa två asymptotlinjer. Det känns nu, om än inte helt klart, i alla fall troligt att kartan beskriver den sadelformade yta vi fick i Exempel 2.22. C = −3/2 C = −1 C = −1/2

nivåkurvor

C=0 C = 1/2 C=1 C = 3/2

graf

Begreppet nivåkurva går naturligt att relatera till de kurvor vi behandlat tidigare. Exempelvis kan samtliga kurvor i Kapitel 2 betraktas som nivåkurvor; ellipsen 4x2 + 16y2 = 1 kan t.ex. ses som nivåkurvan f (x, y) = 1 till funktionen f (x, y) = 4x2 + 16y2. Denna princip kommer vi att använda flera gånger senare i boken.

3.1. Reellvärda funktioner

Funktioner av typen Rn → R Vi kan givetvis också betrakta reellvärda funktioner av fler än två variabler, dvs. funktioner av typen Rn → R, n ≥ 3. Ett exempel är p f (x, y, z) = z − (x2 + y2 ), (3.3)

som är av typen R3 → R; den tar punkter (x, y, z) i rummet och avbildar dessa på reella tal f (x, y, z). Den naturliga definitionsmängden för (3.3) är den paraboloidformade kroppen z ≥ x2 + y2 (se Exempel 2.15). De flesta funktionsbegrepp från tvåvariabelfallet går direkt att överföra till fallet Rn → R. Den stora skillnaden är att funktioner av fler variabler än två inte lika lätt kan beskrivas geometriskt. För att exempelvis illustrera grafen w = f (x, y, z) till en reellvärd funktion av tre variabler så hade vi, förutom axlarna till koordinaterna (x, y, z) i definitionsmängden, behövt en extra koordinataxel, en w-axel, för att ange funktionsvärdena. Med andra ord hade det krävts fyra rumsdimensioner. Funktioner av tre variabler kan dock representeras geometriskt genom att utnyttja motsvarigheten till nivåkurvor; vi talar då i stället om nivåytor. Med en nivåyta till en funktion f av tre variabler menas således en yta i rummet av typen f (x, y, z) = C,

(3.4)

där C är en konstant. Eftersom vi inte kan rita grafen för f så kan sådana ytor bli ett viktigt redskap för att få en känsla för funktionen. Exempel 3.5. För funktionen f (x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2, definierad i hela rummet, blir nivåytorna ellipsoider: C=0:

f (x, y, z) = 0

⇔

C=1:

f (x, y, z) = 1

⇔

C=2:

f (x, y, z) = 2

⇔

C=3:

f (x, y, z) = 3

⇔

x2 + 2y2 + 3z2 = 0,

x2 + 2y2 + 3z2 = 1,

x2 + 2y2 + 3z2 = 2,

x2 + 2y2 + 3z2 = 3,

osv.

Jämför med Exempel 2.16 där vi ritade ellipsoiden för C = 3. Med C = 0 ”kollapsar” ellipsoiden till en punkt, origo.

26 mm

Art.nr 36065

Flerdimensionell analys

| Flerdimensionell analys

Jonas Månsson Patrik Nordbeck

Flerdimensionell analys

Jonas Månsson & Patrik Nordbeck

www.studentlitteratur.se

978-91-44-08083-3_01_cover.indd 1

2013-07-16 20:07